三明市普通高中2018—2019学年第一学期期末质量检测高一数学试题参考答案

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19．解：（1）向量 a (4 , 3) , b (1 , 2) ，
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则 a b 10 , | a | 5 , | b | 5 ，
……………2 分
cos
10 2 5 . 5 5 5
……………4 分
2 （2） | a c | 25 1 2 (4cos 3sin ) 26 10sin( ) ，
g ( x) 在区间 ( , b )和( b , ) 上单调递增；
同理 g ( x ) 在区间 ( b , 0)和(0 , b ) 上单调递减. 综上可知：当 b 0 时， g ( x ) 的单调递增区间为 ( , 0) (0 , ) ；当 b 0 时， g ( x ) 的单调 递增区间为 ( , 0)和(0 , ) ；当 b 0 时， g ( x ) 的单调递增区间为 ( , b )和( b , ) ，
区间 [
π 13π 1 3 ， , ] 上有三个交点，结合草图可知 k 6 12 2 2 π 13π 1 3 . …………10 分 , ] 上有三个零点时， k 6 12 2 2
所以函数 g ( x ) 在区间 [
1 ， 22． 解：（1）当 a 1 时， f ( x) log（ 2 1 ） x 1 1 ）（ 0 , 1] ， 因为 x [1 , ) ，所以 1 (1 , 2] ，则 f ( x ) log（ 2 1 x x
π sin （2 x ） ， ……………3 分 6 π π π π π 由 2kπ 2 x 2kπ ，得 kπ x kπ+ ( k Z ) . 2 6 2 3 6 π π 所以函数 f ( x ) 的单调递增区间为 [kπ ，kπ+ ] ( k Z) ． …………5 分 3 6 π π 3π π 2π (2)由 2kπ+ 2 x 2kπ ， ( k Z) ，得 kπ+ x kπ 2 6 2 6 3 π 2π 函数 f ( x ) 的单调递减区间为 [kπ+ ，kπ ](k Z) . 6 3 π 13π π π 2π 1 [ , ] 上单调递增， 6 12 6 6 3 12 π 2π ……………7 分 f ( x ) 在区间 [ ， ] 上单调递减. 6 3
所以实数 m 的取值范围是 m 18. 解：(1)由题意知 =
1 ． 2
……………8 分
2π =2 ， π π 所以 f ( x ) 2sin(2 x ) ． …………2 分 6 π π π π π (2) x [ ， ] , 2x [ ， ] ， ……………3 分 6 3 6 6 2 π 2 sin(2 x ) [1 , 2] ， 6 π π 所以当 x [ ， ] 时， f ( x ) 的值域为 [1 , 2] ． ……………5 分 6 3 π (3)依题意得 g ( x ) 2sin(2 x 2 ) ， …………………6 分 6 π π g ( x) 为偶函数， g (0) 2 sin(2 )= 2 ，即 sin(2 )= 1 ， 6 6 π π kπ π 2 =kπ ，即 = (k Z ) ， 6 2 2 3 π π 又0 ， = ． ……………8 分 2 3
（0 , 1] ． 所以 f ( x ) 在 x [1 , ) 时的值域为
（2）依题意对任意 t [2 , 4] ， x [t 1 , t 1] ， a 所以
………4 分
1 0 恒成立， x
…………5 分 ……………6 分
1 1 a 0 在 t [2 , 4] 时恒成立，则 a ． t 1 5
所以 log 2 (
…………7 分 …………8 分
1 g (2) 3 3a 0, 7 1 0, 则 a 0 . 所以 g (4) 15 3a 9 1 5 a 0,
由①、②可得 a 的取值范围为 a
1 ． 9
…………10 分
b ． x
……………4 分
设 x1 , x2 为区间 A 上的任意两个数，且 x1 x2 ， 则 g ( x1 ) g ( x2 ) x1
b b b x2 ( x1 x2 )(1 )， x1 x2 x1 x2
……………5 分
①当 b 0 时， g ( x ) 的单调递增区间为 ( , 0) (0 , ) ； ②当 b 0 时， A ( , 0) 或 (0 , ) 时， g ( x1 ) g ( x2 ) 0 ， 所以 g ( x ) 在区间 ( , 0)和(0 , ) 上单调递增； ③当 b 0 时， A ( , b ) 或 ( b , ) 时， g ( x1 ) g ( x2 ) 0 ，
对任意 t [2 , 4] ，函数 f ( x ) 在区间 [t 1 , t 1] 上单调递减，
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由已知 x1 , x2 [t 1 , t 1] ，均有 | f ( x1 ) f ( x2 ) | 2 ，
1 1 a ) log 2 ( a ) 2 在 t [2 , 4] 时恒成立， t 1 t 1 1 4 5 3t 2 即 3a 在 t [2 , 4] 时恒成立． t 1 t 1 t 1 5 3t 0 ，则 a 0 符合题意. ①当 a 0 ， t [2 , 4] 时， 2 t 1 1 5 3t ②当 a 0 时， 3a 2 在 t [2 , 4] 时恒成立， 5 t 1 1 5 2 ) 0 在 t [2 , 4] 时恒成立， 则 t t (1 a 3a 1 5 2 )， 令 g(t) t t (1 a 3a
三明市普通高中 2018—2019 学年第一学期期末质量检测
高一数学试题参考答案及评分细则
一、选择题：
题号 答案 1 B 2 B 3 A 4 D 5 C 6 D 7 A 8 C 9 A 10 B 11 D 12 A
二、填空题： 13. e
2
14.
1 4
15.
ab b
16. [ 2
1 1 ， 1) [ 2 , 1) 2 2
π 1 π 2π 13π 3 ， f ( ) , f ( ) 1 , f ( ) 1 , f ( ) 6 2 6 3 12 2
又 g ( x ) f ( x ) k 在区间 [
…………………9 分
π 13π 等价于函数 y f ( x ) 与 y k 的图象在 , ] 上有三个零点， 6 12
1 a0． 2 （2） f ( x ) 为偶函数， f ( x ) f ( x ) ，
所以实数 a 的取值范围是 即 ax2 2(1 a)x b ax2 2(1 a)x b 对任意 x 0 都成立， 所以 a 1 ，则 g ( x ) x
…………3 分
……………2 分 ……………4 分
三、解答题： 17. 解：（1）当 m 1 时， A {x | 1 x 3} , R B {x | x 0或x 2} ， 则 A R B {x | 1 x 0或2 x 3} ．
1 （2）因为 A B B , 所以 A ，则 m 2 1 2m ，所以 m ， 3 1 m 3 , 1 A B B ，所以 B A ，则 m 2 2, 解得 m ， 2 1 2m 0,
所以 16 | a c |2 36 ， 所以 | a c | 的取值范围为 [4 , 6] ． 20．解：（1）因为 a 0 ，且函数 f ( x ) 在 ( ,3] 上单调递增, ……………8 分
a 0, 1 则 a 1 解得 a 0 3, 2 a
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单调递减区间为 ( b , 0)和(0 , b ) . 21．解：(1) f ( x )
……………8 分
π 3 sin 2 x cos(2 x ) 3
1 3 3 1 3 sin 2 x cos 2 x sin 2 x sin 2 x cos 2 x 2 2 2 2