全等三角形知识点总结及复习.docx
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（完整版）全等三角形知识点梳理,推荐文档第十二章全等三角形2018.9 杨1．全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．对应边相等。
2．全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．对应角相等。
证明三角形全等基本思路：三角形全等的判定(1)三边分别相等的两个三角形全等，简写成边边边或SSS ．1.如图，AB ＝AD ，CB ＝CD ，求证：(1)△ABC≌△ADC；(2)∠B ＝∠D.证明：(1)中，2.已知在四边形ABCD 中，AB=CD,AD=BC,,求证AD//BC做辅助线，连接AC ，利用SSS 证明全等，得到∠DAC=∠ACB ，从而证明平行三角形全等的判定(2)两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”)．两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.1.如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接(A ，B ，D 三点共线，AB ＝CB ，EB ＝DB ，∠ABC＝∠EBD＝90°)，连接AE ，CD ，试确定AE 与CD 的关系，并证明你的结论．解：结论：AE ＝CD ，AE⊥CD.证明：延长AE 交CD 于F ，在△ABE 与△CBD 中，{AB ＝CB ，∠ABE ＝∠CBD ，BE ＝BD ，)∴△ABE≌△CBD(SAS )，∴AE＝CD ，∠EAB＝∠DCB，∵∠DCB＋∠CDB＝90°，∴∠EAB＋∠CDB＝90°，∴∠AFD＝90°，∴AE⊥CD.2.在△ABC 和△CDE 中，CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=90°，AE 与BD 交与点F （1）求证：△ACE≌△BCD（2）求证：AE⊥BD1,利用SAS 证明全等，AC=BC DC=EC ∠BCD=∠ACE2，全等得到角相等∠CAE=∠DCB∠CAB+∠EAB+∠ABC=90°∠DCB∠EAB+∠ABC=90°三角形全等的判定(3)两角和它们的夹边分别对应相等的两个三角形全等，简称角边角或ASA ．两个角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等，简称角角边或AAS ．求证：三角形一边的两端点到这边的中线或中线延长线的距离相等．如图，AD 为△ABC 的中线，且CF⊥AD 于点F ，BE⊥AD，交AD 的延长线于点E ，求证：BE ＝CF.证法1：∵AD 为△ABC 的中线，∴BD＝CD.∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BED＝∠CFD＝90°.在△BED 与△CFD 中{∠BED ＝∠CFD ，∠BDE ＝∠CDF ，BD ＝CD ，)F∴△BED≌△CFD(AAS )，∴BE＝CF.证法2：∵S △ABD ＝AD·BE ，S △ACD ＝AD·C F ，1212且S △ABD ＝S △ACD (等底同高的两个三角形面积相等)，∴AD·BE ＝AD·CF ，∴BE＝CF.1212三角形全等的判定(4)斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等，简称“斜边、直角边”或“HL ”．如图，E ，F 分别为线段AC 上的两点，且DE⊥AC 于点E ，BF⊥AC 于点F ，若AB ＝CD ，AE ＝CF ，BD 交AC 于点M. 求证：BM ＝DM ，ME ＝MF.证明：∵AE＝CF ，∴AE＋EF ＝CF ＋EF∴AF＝CE.在Rt △ABF与Rt △CDE 中{AB ＝CD ，AF ＝CE ，)∴Rt △ABF≌Rt △CDE(HL )，∴BF＝DE.∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEM＝∠BFM＝90°.在△BFM 与△DEM 中{∠BFM ＝∠DEM ，∠BMF ＝∠DME ，BF ＝DE ，)∴△BFM≌△DEM(AAS )，∴BM＝DM ，ME ＝MF.角的平分线的性质角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．文字命题的证明方法：a .明确命题中的已知和求证；b .根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；c .经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程．方法总结：（1）角平分线的性质是证明线段相等的另一途径．（2）在已知角平分线的条件下，也可想到翻折构造全等的方法．角平分线的性质是证线段相等的常用方法之一，角平分线的性质与判定通常是交叉使用，作角的平分线或过角的平分线上一点作角两边的垂线段是常用的辅助线．1.在△ABC 中，AD 是△ABC 的角平分线，E ，F 分别是AB ，AC 上一点，并且有∠EDF＋∠EAF＝180°.试判断DE 和DF的大小关系并说明理由．建议收藏下载本文，以便随时学习！解：结论：DE ＝DF.证明：过点D 作DG⊥AB 于点G ，作DH⊥AC 于点C ，∵AD 是△ABC 的角平分线，∴DG＝DH.∵∠DGA＝∠DHA＝90°，∴∠GDH＋∠BAC＝180°，∵∠EDF＋∠EAF＝180°，∴∠GDH＝∠EDF，∴∠GDH－∠EDH＝∠EDF－∠EDH，∴∠GDE＝∠FDH.在△DGE 与△DHF 中，{∠DGE ＝∠DHF ＝90°，DG ＝DH ，∠GDE ＝∠HDF ，)∴△DGE≌△DHF(ASA )，∴DE＝DF 2.如图，在△ABC 中，D 是BC 边上一点，连接AD ，过点B 作BE ⊥AD 于点E ，过点C 作CF ⊥AD 交AD 的延长线于点F ，且BE ＝CF.求证：AD 是△ABC 的中线．利用AAS 证明全等∠BDE=∠F∠BDE=∠CDFBE=CF利用全等证明垂直此类题目中必有垂直，利用垂直角度和是90°，再根据全等转换一个角，达到另外的两个角度和是90°，得到第三个角是90°，进一步证明线的垂直关系。
全等三角形知识点总结
一、知识框架:全等三角形二、知识概念：1.基本定义：⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.（注意对应的顶点写在对应的位置上）⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.夹边就是三角形中相邻两角的公共边，夹角就是三角形中有公共端点的两边所成的角。
两个三角形的形状、大小、都一样时，其中一个可以经过平移、旋转、对称等运动（或称变换）使之与另一个重合,一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。
2.全等三角形的性质和表示性质：（1）：全等三角形的对应边相等、对应角相等。
（2）：全等三角形的周长相等、面积相等。
（3）：全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。
表示：全等用符号“竺”表示，读作“全等于”。
如^ABC^ADEF，读作“三角形ABC 全等于三角形DEF”注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
3.全等三角形的判定定理：⑴边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等.⑵边角边（SAS ）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.⑶角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.⑷角角边（AAS ）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.⑸斜边、直角边（HL）:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. （只适用于两个直角三角形）4、学习全等三角形应注意以下几个问题：（1）：要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与“对角”的不同含义；（2） :表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；（3）：“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；（4）：时刻注意图形中的隐含条件，如“公共角”、“公共边”、“对顶角”5、全等变换只改变图形的位置，二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。
全等三角形的讲义整理讲义
全等三角形专题一 全等三角形的性质【知识点1】能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
（两个三角形全等是指两个三角形的大小和形状完全一样，与他们的位置没有关系。
）【知识点2】两个三角形重合在一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做 对应边；重合的角叫做对应角。
【例题1】如图，已知图中的两个三角形全等，填空：(1)AB 与 是对应边，BC 与 是对应边， CA 与 是对应边；(2)∠A 与 是对应角，∠ABC 与 是对应角， ∠BAC 与 是对应角【方法总结】在两个全等三角形中找对应边和对应角的方法。
(1)有公共边的，公 共边一定是对应边；(2)有公共角的，公共角一定是对应角；(3)有对顶角的，对顶角是对应角；(4)在两个全等三角形中，最长的边对最长的边，最短的边对最短的边，最大的角对最大的角，最小的角对最小的角。
【练习1】 如图，图中有两对三角形全等，填空： (1)△BOD ≌ ； (2)△ACD ≌ .【知识点3】 全等三角形的对应边相等，对应角相等。
（由定义还可知道，全等三角形的周长相等，面积相等，对应边上的中线和高相DABCOE ABCD等，对应角的角平分线相等）【例题2】 （海南省中考卷第5题） 已知图2中的两个三角形全等，则∠α度数是（ ）A.72°B.60°C.58°D.50°【例题3】（清远）如图，若111ABC A B C △≌△，且11040A B ∠=∠=°，°，则1C ∠= ．【练习2】 如图，ACB A C B '''△≌△，BCB ∠'=30°，则ACA '∠的度数为（ ）A 20° B．30° C ．35° D ．40°【练习3】如图，△ABD 绕着点B 沿顺时针方向旋转90°到△EBC ， 且∠ABD=90°。
人教版八年级上册第十二章全等三角形知识点总结及复习
全等三角形知识点总结及复习一、知识网络⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪→⇒⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎧⎨⎩对应角相等性质对应边相等边边边 SSS 全等形全等三角形应用边角边 SAS 判定角边角 ASA 角角边 AAS 斜边、直角边 HL 作图 角平分线性质与判定定理二、基础知识梳理 （一）、基本概念1、“全等”的理解 全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；即能够完全重合的两个图形叫全等形。
同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
全等三角形定义 ：能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。
（注：全等三角形是相似三角形中的特殊情况）当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。
由此，可以得出：全等三角形的对应边相等，对应角相等。
(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； (3)有公共边的，公共边一定是对应边； (4)有公共角的，角一定是对应角；(5)有对顶角的，对顶角一定是对应角； 2、全等三角形的性质（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等； 3、全等三角形的判定方法（1）三边对应相等的两个三角形全等。
（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
4、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上（二）灵活运用定理1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。
2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。
(完整版)全等三角形知识总结和经典例题
全等三角形复习[ 知识要点 ]一、全等三角形1．判定和性质一般三角形直角三角形边角边（ SAS）、角边角（ ASA）具备一般三角形的判定方法判定斜边和一条直角边对应相等（ HL ）角角边（ AAS）、边边边（ SSS）对应边相等，对应角相等性质对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等注：①判定两个三角形全等必须有一组边对应相等；② 全等三角形面积相等．2．证题的思路：找夹角（ SAS）已知两边找直角（ HL ）找第三边（ SSS）若边为角的对边，则找任意角（ AAS）找已知角的另一边（SAS）已知一边一角边为角的邻边找已知边的对角（AAS）找夹已知边的另一角（ASA）找两角的夹边（ASA）已知两角找任意一边（AAS）性质1、全等三角形的对应角相等、对应边相等。
2、全等三角形的对应边上的高对应相等。
3、全等三角形的对应角平分线相等。
4、全等三角形的对应中线相等。
5、全等三角形面积相等。
6、全等三角形周长相等。
( 以上可以简称 : 全等三角形的对应元素相等)7、三边对应相等的两个三角形全等。
（SSS)8、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
(SAS)9、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
(ASA)10、两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。
(AAS)11、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
(HL)运用1、性质中三角形全等是条件，结论是对应角、对应边相等。
而全等的判定却刚好相反。
2、利用性质和判定，学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角是关键。
在写两个三角形全等时，一定把对应的顶点，角、边的顺序写一致，为找对应边，角提供方便。
3，当图中出现两个以上等边三角形时，应首先考虑用 SAS找全等三角形。
4、用在实际中，一般我们用全等三角形测等距离。
以及等角，用于工业和军事。
有一定帮助。
5、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上做题技巧一般来说考试中线段和角相等需要证明全等。
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一、知识要点：1 •全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形•2•全等形的性质：(1)形状相同.(2)大小相等.3•全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形•4 •全等三角形的表示：(1)两个全等的三角形重合时：重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角•(2)如图，二七C 和丄七匸「全等，记作-<5：/ - 士1弓「•通常对应顶点字母写在对应位置上.5 •全等三角形的性质：(1)全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等.(2)全等三角形的周长、面积相等.6.全等变换：只改变位置，不改变形状和大小的图形变换. 平移、翻折(对称)、旋转变换都是全等变换.7•全等三角形基本图形翻折法：找到中心线经此翻折后能互相重合的两个三角形，易发现其对应元素旋转法：两个三角形绕某一定点旋转一定角度能够重合时，易于找到对应元素AE8•两个三角形全等的条件(1)全等三角形的判定1――边边边公理三边对应相等的两个三角形全等，简写成 边边边”或“SSS.边边边”公理的实质：三角形的稳定性(用三根木条钉三角形木架)(2) 全等三角形的判定 2――边角边公理两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成(3) 全等三角形的判定 3――角边角公理两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.简写为(4) 全等三角形的判定 4――角角边推论两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等•简称(5) 直角三角形全等的判定 一一斜边直角边公理 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.简写成 判定直角三角形全等的方法：① 一般三角形全等的判定方法都适用；② 斜边-直角边公理9、判定三角形全等方法的选择: 平移法：将两个三角形沿某一直线推移能重合时也可找到对应元素边角边”或“SAS.角边角”或“ASA . 角角边”或“AAS . 斜边直角边”或“ HL'. EL芳定一般二曲恶全等的稅有____ \ ___ 、___ 、等四冲，判定直巾二角殛全寺的力法还扫___ -露全刼定方弦的迭择；1）已知两逆先找第三辺，用爭Ife 再找夹角.用丼定异2）已知两角，找T&,用或判C3）已fflT£F,先找另F,电盍刑乱再按夹这个角的另TS,用爭嵐“4）对于直角三角形，先肴虑用^_判定.再用其他判走*注意；读題时畴簸含条杵（如公共址公共角、对顶角）”10、一般情况下，证明关于三角形全等的题有以下步骤：（1）读题：明确题中的已知和求证；（2 ）要观察待证的线段或角，在哪两个可能全等的三角形中（3）、分析要证两个三角形全等，已有什么条件，还缺什么条件。
全等三角形总结与复习
1
Ｂ
4
3
Ｄ
2
Ｃ
试一试：
2、如图:AC和DB相交于点O,若 AB=DC，AC=DB，则∠A=∠D,请说 明理由. A D
O
B
C
试一试：
2、如图:AC和DB相交于点O,若 AB=DC，AC=DB，则∠B=∠C,请说 明理由. A D
O
B
C
题型四：多次利用全等
1：如图，已知E在AB上，∠1=∠2， ∠3=∠4，那么 AC等于AD吗？为什么？
找这个角的另一个边(SAS) 找这边的对角 (AAS) 找一角(AAS) RT△中，找直角边(HL)
(3)已知两角
找两角的夹边(ASA) 找夹边外的任意边(AAS)
题型二：给出条件并非三角形的 边或角
1、如图,已知AB=ED,AF=CD,EF=BC, 说明∠EFD=∠BCA的理由。
E A F C B D
A 1 2 D 证明：在△ABC和△DCB中 C AC=DB
B
∠1=∠2
BC=CB ∴ △ABC≌△DCB （SAS）
∴ ∠A=∠D
例8：如图，已知AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC,AE=CF 求证：△ABF≌△CDE
D
F E A B
证明：∵ DE⊥AC,BF⊥AC C ∴ ∠AFB=∠CED=90°
题型二：给出条件并非三角形的 边或角
2、如图，已知，∠C＝∠E，∠1＝∠2， AB＝AD，△ABC和△ADE全等吗？为什 么？
A 13 B 2 E
D
C
题型三：添加辅助线
1、如图，ＡＢ=ＣD，ＡＤ=ＣB， 试说明∠B=∠D。
Ａ Ｂ
Ｄ
Ｃ
拓展延伸
变式：如图，ＡＢ∥ＤＣ，ＡＤ∥ＢＣ， 试说明△ABＤ≌ △ＣＤＢ。
初中数学全等三角形知识点总结及复习
全等三角形知识点总结及复习一、知识网络⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪→⇒⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎧⎨⎩对应角相等性质对应边相等边边边 SSS 全等形全等三角形应用边角边 SAS 判定角边角 ASA 角角边 AAS 斜边、直角边 HL 作图 角平分线性质与判定定理二、基础知识梳理 （一）、基本概念1、“全等”的理解 全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；即能够完全重合的两个图形叫全等形。
同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
全等三角形定义 ：能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。
（注：全等三角形是相似三角形中的特殊情况）当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。
由此，可以得出：全等三角形的对应边相等，对应角相等。
(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； (3)有公共边的，公共边一定是对应边； (4)有公共角的，角一定是对应角；(5)有对顶角的，对顶角一定是对应角； 2、全等三角形的性质（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等； 3、全等三角形的判定方法（1）三边对应相等的两个三角形全等。
（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
4、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上（二）灵活运用定理1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。
2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。
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全等三角形知识点总结及复习、知识网络•对应角相等 对应边相等I r作图角平分线性质与判定定理、基础知识梳理 （一）、基本概念 1、全等”的理解全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；即能够完全重合的两个图形叫全等形。
同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
全等三角形定义：能够完全重合的两个 三角形称为全等三角形。
（注：全等三角形是相似三角形中 的特殊情况）当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合 的角叫做对应角。
由此，可以得出：全等三角形的对应边相等，对应角相等。
（1） 全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2） 全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3） 有公共边的，公共边一定是对应边； （4） 有公共角的，角一定是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； 2、全等三角形的性质（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等； 3、全等三角形的判定方法（1） 三边对应相等的两个三角形全等。
（2） 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
（3） 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
（4） 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
'边 边 边 角形J边 角 边判定J角 边 角角 角 边斜 边 、 全等形、全等三SSS SAS ASA AAS直角边 HL（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
4、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上（二）灵活运用定理1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。
2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。
3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。
（1）已知条件中有两角对应相等，可找：①夹边相等（ASA ）②任一组等角的对边相等（AAS）（2）已知条件中有两边对应相等，可找①夹角相等（SAS）②第三组边也相等（SSS）（3）已知条件中有一边一角对应相等，可找①任一组角相等（AAS或ASA）②夹等角的另一组边相等（SAS）（三）经典例题例1.已知：如图所示，AB=AC , 一一一「二亠 ~ ■■ ■■,求证l∙''1'.例2.如图所示，已知：AF=AE，AC=AD，CF与DE交于点B。
求证：I-二AL二例3 .如图所示，AC=BD，AB=DC ,求证：二匸厶例4.如图所示垂足分别为D、E, BE与CD相交于点0,且］二求证：BD=CE。
例5：已知：如图，在四边形ABCD中，AC平分∠ BAD、CE⊥AB于E，且∠ B+ ∠ D=180。
求证：AE=AD+BE分析：从上面例题，可以看出，有时为了证明某两条线段和等于另一条线段，可以考虑“截长补短”的添加辅助线，本题是否仍可考虑这样“截长补短”的方法呢？由于AC是角平分线，所以在AE 上截AF=AD ,连结FC，可证出ADC BAAFC,问题就可以得到解决。
证明（一）：在AE上截取AF=AD ,连结FC。
在AFC和ADC中L AF = AD已作■ 1二/2已知AC=AC （公共边）AFC B ADC （边角边）∙∙∙∠AFC= ∠ D （全等三角形对应角相等）τ∠B+ ∠D= 180 （已知）∙∠B= ∠ EFC （等角的补角相等）在CEB 和-CEF 中Z B E EFC 已证*∕CEB =N CEF =90 °（已知） CE=CE （公共边）Λ . ：CEB BuCEF （角角边） ∙∙∙ BE=EF ∙∙∙ AE=AF+EF ∙ AE=AD+BE （等量代换） 证明（二）： 在线段EA 上截EF=BE ,连结FC （如右图）。
小结：在几何证明过程中，如果现成的三 角形不可以证明，则需要我们选出所需要的三角形，这就需要我们恰到好处的添加辅助线。
（四）全等三角形复习练习题一、选择题 1. 如图，给出下列四组条件： ① AB =DE , BC =EF , AC =DF :② AB =DE,. B= . E , BC ③.B- E , BC=EF , . C- F :④ AB=DE , 其中，能使 △ ABC B △ DEF 的条件共有（ ）A . 2. 如图，D , E 分别为△ ABC 的AC , BC 边的中点， 的点P 处•若.CDE =48 °则/APD 等于（ 3. 如图 △ =EF ； AC=DF , . B=E . 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组 将此三角形沿D E 折叠，使点C 落在AB 边上 APC） （四），点P 是AB 上任意一点，∙ ABC B △ APD .从下列条件中补充一个条件，不一定能 =.ABD ,还应补充一个条件，才能推出 推出△ APC B △ APD 的是（ ）BC A . =BD B . AC = AD C . . ACB- ADB.52 ° D . O58ABC DEF ,不能添 A图（四）加的一组条件是（） （A ） ∠ B= ∠ E,BC=EF （ B ） BC=EF , AC=DF 如图， △ABC 中，∠ C = 90 ； AC = BC , AC = 10cm ,贝U △DBE 的周长等于（ A . 10cm B . 8cm C . 6cm 如图所示，表示三条相互交叉的公路， ）A. 1 处5. 若6. 则可供选择的地址有（（C ） ∠ A= ∠ D , ∠ B= ∠ E （ D ）∠ A= ∠ D , BC=EF AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E , D . 9cm 现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等, B. 2处 C. 3处 D. 4处博士教育李老师4题图C7.某同学把一块三角形的玻璃打碎了 么最省事的方法是（）A .带①去3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那D .带①②③去B .带②去 C .带③去&如图，在 Rt △ ABC 中，∙ B =:90 ，ED 于点E .已知∙ BAE =10 ■,则∙ C 的度数为 是AC 的垂直平分线，交 AC 于点D ，交BCA . 30B . 40C . 50D . 609. 如图， △ ACB 4 △ ACB , . BCB =30 A . 20° B . 30° 10. 如图，AC = AD , BC = BD ,则有A . AB 垂直平分CD1题图C . AB 与CD 互相垂直平分,则.ACA •的度数为（11.尺规作图作 OABB . CD 垂直平分 D . 40°ABACBD . CD 平分∠ 10题图.AOB 的平分线方法如下：以 O 为圆心，任意长为半径画弧交1再分别以点 C 、D 为圆心，以大于 一CD 长为半径画弧，两弧交于点2OA 、,作射线 OP,由作法得 △ OCP 4 △ ODP 的根据是（ ）A . SAS B . ASA C . AAS D .12. 如图,∠ C=90o ,AD 平分∠ BAC 交BC 于D,若BC=5cm,BD=3c∏则点D 到AB 的距离为（13. 如图，OP 平分.AOB , （）A . PA14. 如图，已知 SSS)A. 5cm B. 3cm C. 2cm D.不能确定PA 丄OA , PB 丄OB ,垂足分别为 A , B .下列结论中不一定成立的是B . PO 平分.APBC . OA =OBD . AB 垂直平分 OP4 △ ADC 的是( )D . ∠ B - ∠ D = 90=PBAB =AD ,那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ ABC B . ∠ BAC =∠ DAC C . ∠ BCA = ∠ DCA 12题图13题图C14题图、填空题1. 如图，已知AB=AD , . BAE =V DAC ,要使 △ ABC △ ADE ,可补充的条件是（写出一个即可） ________________ .2. 如图，在厶 ABC 中，∠ C=90o ,AC=BC,AD 平分∠ BAC 交 BC 于 D,DE ⊥AB 于 E,且 AB=5cm 则△ DEB 的周长为__5个大三角形中白色三角形6. 已知：如图，△OA dA OBQ 且∠ ______ 70°,∠ C = 25° ,则∠ AEB=度.7如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A ,E 重合），在AE 同侧分别作正三角形 ABC 和正三角形 CDE 、 AD 与BE 交于点O , AD 与BC 交于点P , BE 与CD 交于点 Q ,连结PQ.以下五个结论：① AD=BE ; ②PQ // AE :③ AP=BQ ; @ DE=DP :⑤/ AOB=60 ° .恒成立的结论有 _________________________ （把你认为正确的序号都填上）∠1 = ∠2 ,添加一个适当的条件，使 △ ABC 也A ADE ,则需要添加的条件是3.如图，.BAC =. ABD ,请你添加一个条件: ____________ ,使OC=OD （只添一个即可）4. _______________________________ 如图，在Δ ABC 中，/ C=90°∠ ABC 的平分线 则点D 到直BD 交AC 于点D,若BD=10厘米，BC=8厘米，DC=6厘米,1题图2题图 3题图8.如图所示，AB = AD , 4题图5.观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第三、解答题1.如图，已知AB=AC , AD=AE ,求证：BD=CE.2. 如图，在△ABC中，AB =AC, £BAC =40 °分别以AB, AC为边作两个等腰直角三角形ABD和AC E ,使乙BAD /CAE =90 °.(1)求.DBC的度数；(2)求证：BD=CE .3. 如图，在△ ABE中，AB= AE,AD= AC,∠ BAD=∠ EAC, BC DE交于点O.求证：(1) △ ABC^△ AED (2) OB= OE .4. 如图，D是等边△ ABC的边AB上的一动点，以的一组全等三角形，并说明理由.ECD为一边向上作等边△ EDC,连接AE ,找出图中E5. 如图，在△ ABC 和厶DCB 中，AB = DC , AC = DB , AC 与DB 交于点M . (1)求证：△ ABC ◎△ DCB ; (2)过点 C 作 CN // BD ,过点 B 作 BN // AC ,7.如图，在 △ ABC 和△ ABD 中，现给出如下三个论断：①AD =BC •,②.C =/D ; 3.12 •请选择其中两个论断为条件，另一个论断为结论，构造一个命题.(2)请选择一个真命题加以证明.你选择的真命题是： ---------- 一 _____________J判断线段BN 与CN 的数量关系，并证明你的结论.CC6.如图，四边形ABCD 求证：(1) △ ABC 幻 CN 与BN 交于点N ,试(1)写出所有的真命题(写成形式，用序号表示)证明:8.已知：如图，B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上， AB =DC , BE = CF , ∠ B =∠ C .求证：OA = OD .11. 已知：如图， DC // AB ,且DC=AE , E 为AB 的中点,(1)求证：△ AED 也厶EBC.9. 如图，△ ABC 中，∠ BAC=90度，AB=AC , BD 是∠ ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过 C 点的直线于E ,直线CE 交BA 的延长线于F . 求证：BD=2CE .10. 如图， AB =AC, AD _ BC 于点D , AD =AE , AB 平分DAE 交DE 于点F ,请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明.(2)观看图前，在不添辅助线的情况下，除△形.(直接写出结果，不要求证明)： EBC 夕卜，请再写出两个与△ AED 的面积相等的三角C12. 如图①，E 、F 分别为线段 AC 上的两个动点， 且DE 丄AC 于E, BF 丄AC 于F ,若AB=CD , AF=CE , BD 交AC 于点M .(1) 求证：MB = MD , ME = MF(2) 当E 、F 两点移动到如图②的位置时， 其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明； 若不成立请说明理由.13已知：如图 A 、D 、C 、B 在同一直线上,求证：(1) DF // CE (2) DE=CF 14. 如图，已知在△ ABC 中，BE 、CF 分别是AC 、AB 两条边上的高，在BE 上截取BD = AC , 在CF 的延长线上截取CG = AB ,连结AD 、AG ,贝U AG 与AD 有何关系？试证明你的结 论AC=BD , AE=BF , CE=DF A15. 如图，已知BE⊥AC于E, CF⊥AB于F, BE、CF相交于点D ,若AB=AC .求证：AD 平分∠BAC .16. 如图，∠ B= ZC=90 ° M 是BC中点，DM 平分∠ADC ,求证：AM 平分∠ DAB .17. 如图，在△ ABC 和厶DBC 中，∠ ACB = ∠ DBC = 90o, E 是BC 的中点，EF⊥ AB ,垂足为F,且AB = DE .1 8.如图，AD是厶ABC的角平分线，DE丄AB , DF丄AC ,垂足分别为E、F ,连接EF, EF与AD交于G ,AD与EG垂直吗？证明你的结论。