组合数学(9)
奥数 数字排列组合解题技巧
奥数数字排列组合解题技巧在奥数（奥林匹克数学竞赛）中，数字排列组合是一个常见的考查点，涉及到的技巧和方法有很多。
以下是一些常见的解题技巧：1. 全排列与重复排列：-全排列：n个元素的全排列有n!种情况，其中n!表示n的阶乘。
-重复排列：有重复元素时，全排列的总数要除以重复元素的阶乘。
2. 循环置换：-对于n个元素的排列，可以通过循环置换的方式进行计算。
循环置换的计算可以借助循环节的长度和总元素个数。
3. 组合公式：-对于从n个元素中选取m个元素的组合数，使用二项式系数的组合公式：C(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)4. 二项式定理：-利用二项式定理展开多项式，特别是在计算特殊值时，如计算(x+y)^n的展开式。
5. 递推关系：-有时候可以通过递推关系，找到某一项与前面项之间的关系，从而简化计算。
6. 逆向思维：-有时候可以从目标结果出发，逆向思考，找到排列组合的解。
7. 利用对称性：-利用对称性质，减少计算量。
例如，当问题中存在对称性时，可以利用对称性简化问题。
8. 鸽巢原理：-当分配的对象多于容器的个数时，至少有一个容器中含有两个或两个以上的对象。
这个原理在一些排列组合问题中经常被使用。
9. 图论中的排列组合：-在一些图论问题中，可以利用排列组合的知识，特别是在解决路径计数等问题时。
10. 二叉树与组合数学的关系：-一些问题可以通过构建二叉树的方式来求解，从而转化为组合数学的问题。
总的来说，对于奥数中的数字排列组合问题，关键是灵活运用数学知识，善于发现问题中的规律，并通过巧妙的思考和计算得到正确的结果。
组合数学-第九节：容斥原理
3.2 容斥原理将3.1节讨论的原理进一步推广，总结成一般性规律，就得到定理3.2.1所描述的容斥原理。
定理3.2.1 设S 是有限集合，12,m P P P 是同集合S 有关的m 个性质，设i A 是S 中具有性质i P 的元素构成的集合()1i m ≤≤，i A 是S 中不具有性质i P 的元素构成的集合()1i m ≤≤，则S 中不具有性质12,m P P P 的元素个数为{}{}()1211,2,21,2,2121m mi i ji m i ji k m mmA A A S A A A A A A A A A ==-+-++-∑∑∑的合的合（3.2.1）证明 可以利用等式（3.1.1），通过对m 作归纳进行证明。
下面通过其组合意义来证明。
等式（3.2.1）的左端表示的是S 中不具有性质12,m P P P 的元素的个数。
下面我们来证明：对于S 中每个元素x ，若x 不具有性质12,m P P P ，则对等式（3.2.1）的右端贡献1；否则，若x 具有某个性质()1i P i m ≤≤，则对等式（3.2.1）的右端贡献0，从而证（3.2.1）式。
任给x S ∈，则（1）若x 不具有性质12,m P P P ，即12,,m x A x A x A ∉∉∉ ，则x 在集合S 中，但不在（3.2.1）式右端的任一其他集合中。
所以，x 对（3.2.1）式右端的贡献为()1000101m-+-+-⨯=（2）若x 恰具有12,m P P P 中的()1n n ≥个性质12,i i i nP P P ，则x 对S 的贡献为10n ⎛⎫= ⎪⎝⎭因x 恰具有n 个性质12,i i i n P P P ，所以x 恰属于集合12,,n i i i A A A ，共n 个。
于是，x 对iA∑的贡献为1n n ⎛⎫= ⎪⎝⎭从12,i i i nP P P 中选出两个性质，共有2n ⎛⎫ ⎪⎝⎭种，所以x 恰在2n ⎛⎫ ⎪⎝⎭个形如()k l i i A A k l ≠ 的集合中，x 对i j A A ∑的贡献为2n ⎛⎫ ⎪⎝⎭；……；同理，x 对12n i i i A A A ∑ 的贡献为n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭。
11转9组合计算公式
11转9组合计算公式在组合数学中，组合是指从给定的集合中选择出一些元素的方式。
组合数是指从n个元素中取出k个元素的组合的个数，通常用C(n,k)表示，也可以记作Cn,k或者nCk。
而11转9组合是一种特殊的组合计算方式，它是在给定的11个元素中选择出9个元素的组合个数。
下面将介绍11转9组合的计算公式及其应用。
我们可以使用组合数公式来计算11转9组合的个数：C(11,9) = 11! / (9! * (11-9)!) = 11! / (9! * 2!)其中，n!表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1。
根据上述公式，我们可以计算得到：C(11,9) = 11! / (9! * 2!) = (11 * 10 * 9!) / (9! * 2) = 11 * 10 / 2 = 55因此，11转9组合的个数为55个。
接下来，我们可以通过具体的例子来说明11转9组合的应用。
假设有11个人参加一场比赛，现在需要从中选择出9个人组成一个团队。
根据11转9组合的计算公式，我们可以知道，共有55种不同的选择方式。
这种组合方式可以应用于各种不同的实际问题。
比如，在一家公司中，有11个员工可以参加一个重要的会议，但是由于会议室的容量限制，只能选择其中9个员工参加。
通过11转9组合的计算公式，我们可以知道，总共有55种不同的员工组合方式。
11转9组合还可以用于解决排列组合问题。
在某个集合中，有11个元素，现在需要选择其中的9个元素进行排列，即确定元素的顺序。
通过11转9组合的计算公式，我们可以确定不同排列的个数。
例如，当元素是数字时，可以得到不同的九位数的个数。
11转9组合计算公式可以用于确定从给定集合中选择出指定个数元素的组合个数。
通过该公式，我们可以计算出11转9组合的个数，并应用于各种实际问题中。
无论是在团队选择、员工安排还是排列组合问题中，11转9组合都能提供有用的信息和解决方案。
《组合数学》第二版(姜建国著)-课后习题答案全
习题一（排列与组合）1．在1到9999之间，有多少个每位上数字全不相同而且由奇数构成的整数？解：该题相当于从“1，3，5，7，9”五个数字中分别选出1，2，3，4作排列的方案数；（1）选1个，即构成1位数，共有15P 个；（2）选2个，即构成两位数，共有25P 个；（3）选3个，即构成3位数，共有35P 个；（4）选4个，即构成4位数，共有45P 个；由加法法则可知，所求的整数共有：12345555205P P P P +++=个。
2．比5400小并具有下列性质的正整数有多少个？（1）每位的数字全不同；（2）每位数字不同且不出现数字2与7；解：（1）比5400小且每位数字全不同的正整数；按正整数的位数可分为以下几种情况：① 一位数，可从1～9中任取一个，共有9个；② 两位数。
十位上的数可从1～9中选取，个位数上的数可从其余9个数字中选取，根据乘法法则，共有9981⨯=个；③ 三位数。
百位上的数可从1～9中选取，剩下的两位数可从其余9个数中选2个进行排列，根据乘法法则，共有299648P ⨯=个；④ 四位数。
又可分三种情况：⏹ 千位上的数从1～4中选取，剩下的三位数从剩下的9个数字中选3个进行排列，根据乘法法则，共有3942016P ⨯=个；⏹ 千位上的数取5，百位上的数从1～3中选取，剩下的两位数从剩下的8个数字中选2个进行排列，共有283168P ⨯=个；⏹ 千位上的数取5，百位上的数取0，剩下的两位数从剩下的8个数字中选2个进行排列，共有2856P =个；根据加法法则，满足条件的正整数共有：9816482016168562978+++++=个；（2）比5400小且每位数字不同且不出现数字2与7的正整数；按正整数的位数可分为以下几种情况：设{0,1,3,4,5,6,8,9}A =① 一位数，可从{0}A -中任取一个，共有7个；② 两位数。
十位上的数可从{0}A -中选取，个位数上的数可从A 中其余7个数字中选取，根据乘法法则，共有7749⨯=个；③ 三位数。
组合的计算方法
组合的计算方法组合是数学中的一个重要概念，在概率论、统计学和组合数学等领域中有许多重要应用。
组合是指从给定的个数或集合中选择若干个元素的方式。
本文将介绍组合的计算方法，包括排列、组合公式以及应用实例。
一、排列排列是指从给定的一组元素中按照一定的顺序选择若干个元素进行排列的方式。
在排列中，每个元素只能选取一次，且顺序是重要的。
排列的计算方法如下：假设有n个元素，要从中选择r个元素进行排列，则排列的总数可以用阶乘来表示，即n的阶乘除以(n-r)的阶乘，即：P(n, r) = n! / (n-r)!其中，P(n, r)表示n个元素中选取r个元素进行排列的总数。
例如，从1、2、3三个元素中选择2个元素进行排列，排列的总数为P(3, 2) = 3! / (3-2)! = 3。
二、组合组合是指从给定的一组元素中选择若干个元素进行组合的方式。
在组合中，每个元素只能选取一次，且顺序不重要。
组合的计算方法如下：假设有n个元素，要从中选择r个元素进行组合，则组合的总数可以用公式表示，即n的阶乘除以r的阶乘再除以(n-r)的阶乘，即：C(n, r) = n! / (r! * (n-r)!)其中，C(n, r)表示n个元素中选取r个元素进行组合的总数。
例如，从1、2、3三个元素中选择2个元素进行组合，组合的总数为C(3, 2) = 3! / (2! * (3-2)!) = 3。
三、应用实例组合的计算方法在实际问题中有广泛的应用，下面以两个实例来说明。
实例一：假设有8位同学参加一场比赛，要从中选出3位同学获得奖品。
求获奖的不同组合方式。
解：根据组合的计算方法，可以得知从8位同学中选出3位同学进行组合的总数为C(8, 3) = 8! / (3! * (8-3)!) = 56。
因此，获奖的不同组合方式有56种。
实例二：某公司有9位员工，其中3位员工要参加一次培训班，问有多少种不同的组合方式？解：根据组合的计算方法，可以得知从9位员工中选出3位员工进行组合的总数为C(9, 3) = 9! / (3! * (9-3)!) = 84。
9卡特兰数（蓝桥杯）
9卡特兰数（蓝桥杯）卡特兰数⼜称卡塔兰数，英⽂名Catalan number，是组合数学中⼀个常出现在各种计数问题中出现的数列。
以⽐利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰(1814–1894)的名字来命名，其前⼏项为: 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, ...常规分析⾸先，我们设f（n）=序列个数为n的出栈序列种数。
（我们假定，最后出栈的元素为k，显然，k取不同值时的情况是相互独⽴的，也就是求出每种k最后出栈的情况数后可⽤加法原则，由于k最后出栈，因此，在k⼊栈之前，⽐k⼩的值均出栈，此处情况有f(k-1)种，⽽之后⽐k⼤的值⼊栈，且都在k之前出栈，因此有f(n-k)种⽅式，由于⽐k⼩和⽐k⼤的值⼊栈出栈情况是相互独⽴的，此处可⽤乘法原则，f(n-k)*f(k-1)种，求和便是Catalan递归式。
ps.author.陶百百）⾸次出空之前第⼀个出栈的序数k将1~n的序列分成两个序列，其中⼀个是1~k-1，序列个数为k-1，另外⼀个是k+1~n，序列个数是n-k。
此时，我们若把k视为确定⼀个序数，那么根据乘法原理，f（n）的问题就等价于——序列个数为k-1的出栈序列种数乘以序列个数为n - k的出栈序列种数，即选择k这个序数的f（n）=f（k-1）×f（n-k）。
⽽k可以选1到n，所以再根据加法原理，将k取不同值的序列种数相加，得到的总序列种数为：f（n）=f （0）f（n-1）+f（1）f（n-2）+……+f（n-1）f（0）。
9的组成与分解
9的组成与分解9的组成与分解9是一个非常特殊的数字，它是3的平方，也是3个3的乘积。
因此，9的组成和分解有很多有趣的特点。
首先，我们可以将9分解为3×3。
这个分解方法非常简单，但它告诉我们一个非常重要的事实：9是一个完全平方数。
完全平方数是指一个数可以表示为另一个整数的平方的形式，例如4、9、16等等。
完全平方数在数学中有着非常重要的应用，例如在几何学中，它们可以用来表示正方形的面积。
除了分解为3×3之外，9还有其他的分解方法。
例如，我们可以将9分解为1+8或2+7或4+5。
这些分解方法虽然看起来比较奇怪，但它们告诉我们一个非常重要的事实：9是一个奇数。
奇数是指不能被2整除的整数，例如1、3、5、7等等。
奇数在数学中也有着非常重要的应用，例如在代数学中，它们可以用来表示多项式的次数。
除了分解为1+8、2+7或4+5之外，9还有其他的分解方法。
例如，我们可以将9分解为3+6或5+4。
这些分解方法虽然看起来比较简单，但它们告诉我们一个非常重要的事实：9是一个偶数的平方。
偶数是指可以被2整除的整数，例如2、4、6、8等等。
偶数在数学中也有着非常重要的应用，例如在组合数学中，它们可以用来表示排列和组合的个数。
除了分解为3+6或5+4之外，9还有其他的分解方法。
例如，我们可以将9分解为1+2+3+3或1+1+1+1+1+1+1+1+1。
这些分解方法虽然看起来比较复杂，但它们告诉我们一个非常重要的事实：9是一个三角形数。
三角形数是指可以表示为连续自然数之和的形式，例如1、3、6、10等等。
三角形数在数学中也有着非常重要的应用，例如在几何学中，它们可以用来表示三角形的数量。
除了分解为1+2+3+3或1+1+1+1+1+1+1+1+1之外，9还有其他的分解方法。
例如，我们可以将9分解为1+1+1+1+1+1+1+1+1或2+2+2+2+1。
这些分解方法虽然看起来比较简单，但它们告诉我们一个非常重要的事实：9是一个正整数的平方和。
组合数学讲义(南基洙 大连理工大学应用数学系)
相传在四千多年前的中国,大禹为了治理好滔天的洪水,领导人民日夜奔忙,三过家门而不入.在大禹 治好那汹涌澎湃的洪水之后,就有一龙马自河中跃出,献给大禹一幅河图,另外在洛河里也有一神龟背驮了 洛书献给大禹.据传这两部书都包含了治国安邦、平治天下的大道理.以至于在《论语》中,圣人孔子因为 当时的世风日下,人心不古,而感叹“河不出图”.
在中国古代,由于 3 阶幻方中配置的 9 个数是如此的均衡和完美,它产生了极大的美学冲击,以至使我 们的先人认为其中包含了某种至高无上的真理.如我们的先人把 3 阶幻方和“九宫说”等同起来、把 3 阶 幻方用来占卜吉凶,以及把它视为举行国事大典的建筑格局等等.自从幻方从中国传到世界其他地区之后, 引起了人们的广泛兴趣和重视,一代又一代的学者对它进行了不懈的研究,取得了非常丰富的成果,有关的 文献资料不胜枚举---“单单是关于幻方的著作就足够办一个规模可观的图书馆了”(J.R.Newman).虽然 关于幻方的研究开展的很早,但是目前还没有一般的普遍适用的方法.有些想知道的结论也不是十分清楚,
如 n 阶幻方的个数等.在此我们仅就幻方的构造问题作一简单的介绍.
容易验证下面的图构成 4 阶幻方
16 2 3 13 5 11 10 8 9 7 6 12 4 14 15 1
注记,在上图中将对角线及斜对角线上的数字对称换位后,我们可以得到按顺序添成的下面图:
- 2-
1234 5678 9 10 11 12 13 14 15 16
注记：在上图中将主对角线及斜对角线上的元素对称换位,短线上的元素逆时针方向移动 8 个格,则可 以得到按数字顺序添画的图:
12345678 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64
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以A以字典序先于B。即拿不同的元素比较大小。
组合中的元素本身是无序的，但为了方便 讨论，我们规定{1, 2, …, n}中的任一r-组合
均按字典序书写成如下“单词”的形式：
a1a2…ar 其中a1<a2<…<ar
特别是书写成 “单词”形式中不允许由
相同的元素重复出现。 回到前个例子：从{1,2,3,4}中选出2-组合中 2 3
23
一个二元组的形式，就是序偶。 例如：集合A={a,b} 和B={1,2,3}, 如果规定A
集合的元素作为第一坐标，B集合的元素作为
第二坐标，那么它们可以构成下列序偶： <a,1>, <a,2>,<a,3>,<b,1>,<b,2>,<b,3> 笛卡儿积------两个集合A，B作下列运算： A×B={< ai, bj > ai A, bj B } 得到全部序偶。
8
根据上述定理，我们可以描述生成{1, 2, …, n} 的字典序r-组合的算法如下：
1. 输出正整数n，r，并且r ≤ n；
2. 构造{1, 2, …, n}的字典序的第一个r-组 合a1a2…ar ＝1 2…r，并输出； 3. 当a1a2…ar ≠ (n-r+1)(n- r+2)…n时，做 ⅰ) 确定最大的整数k，使得ak＋1 ≤ n且ak
n a r 1 n a r 2 1
证明：i) 从a1a2…ar 的第一位字符a1开始分析，a1
后面肯定存在比a1大的数： (a1+1), (a1+2),……
18
n a1 共n－a1个, 以它们作为第一为字符r-组合有 r 个。 保持第一个字符a1不变，对第二个字
输出：以升序列出{1,2,…,n}的所有r组合。 1.procedure combination(r,n) 2. for i:=1 to r do 3. si=i 4. print s1,…,sr //打印第一个r组合 5. for i:=2 to c(n, r) do
13
6. begin
7. m:=r
符a2进行分析：
n a 2 ii)在a1a2…ar 后面存在从a2开始增大的 r 1 个r-组合，其中固定了第一个元素是a1，这样
的实际变化的组合是(r-1)-组合，第二个元素 大于a2。
……..
19
r-1) 在a1a2…ar 后面存在从第ar-1个元素开始增大
7
例如 S＝ {1, 2, 3, 4, 5, 6}， a1a2 a3a4＝1456是S的 一个4-组合，对于该组合来讲，k＝4时
ak＝6； k＝3时ak＝5<6，但ak＋1＝6已在该组
合之中；当k＝2时ak＝4 <6 ，但ak＋1＝5也在
该组合之中； k＝1时ak＝1<6，并且ak＋1＝2
不在该组合中。于是k＝1是我们求得的最大 整数，因此，1456的直接后继4-组合是 (ak+1)(ak+2) (ak+3)(ak+4-1+1)，即： 2345
第四章 生成排列和组合
4.4 生成r-组合
前面我们讨论了逐次性法则生成一个集合
的所有组合的算法。本次课我们将讨论n个元
素的集合中取出r个元素的组合算法；这就如同
“陕西风采”33选7的彩票选号方案。
例：从{1,2,3,4}中选出2-组合:
(1,2), (1,3), (2,3), (1,4) ,(2,4) ,(3,4) 。
= 22。
21
2467的位置：
8 8 2 8 4 8 6 8 7 8 6 4 2 1 4 4 4 1 4 2 4 3 4 4 3 2 1
＋1 不在a1a2…ar 之中；
9
ⅱ) 构造r-组合 a1a2…ak－1 (ak+1)(ak+2)… (ak+r-k+1)
作为新的r-组合a1a2…ar ；
ⅲ) 输出r-组合a1a2…ar ； 这里有一个用 C++编写的求 r-组合的程序，提 供给大家参考：
10
产生字典序r-组合的程序 此算法以升序列出{1,2,…8}的所有4-组合。 以下用C++程序编写。 # include <fstream. h>
{ h[0] = a[s] ;h[1] = a[t]; h[2] = a[u];
h[3] = a[v]
for (int q =0 ;q ＜4;q++)
myf <<h[q]<<― ―;
myf<<end;}}
结束
12
产生字典序r-组合的程序 此算法以升序列出{1,2,…,n}的所有r-组合。
输入：r，n
8 8 1 8 2 8 5 8 8 8 7 6 3 0 4 4 4 1 4 2 4 3 4 4 3 2 1
的前后组合是：1 4和2 4。下面说的组合都有序
3
例：考虑{1,2,3,4,5,6,7}的5-组合被列出的顺序。 第一个组合是12345，接下来是12346和12347。
下面是12356和12357。最后一个组合是34567。
（第一个组合）1, 2, | 3, 4, 5, | 6,7 （最后一个组合）
1
设集合S={1, 2, 3, …, n}，于是S中的元素存 在一种自然顺序1< 2<…< n 。如果A，B是S
的两个r-组合(子集)，且在集合A∪B－A∩B中
(即：在其中一个集合中而不在两个集合中)的最
小元素属于A，则称组合A以字典序先于B。
例:集合{1,2,3,4}的两个组合A={1,2,3};B={2,3,4}, 它们中不同的元素是1和4,其中1小,而且在A中,所
定理4.4.1设a1a2…ar 是{1, 2, …, n}的一个r-组合。 在字典 顺序中，第一个r-组合是123…r；
最后一个r-组合是 (n-r+1)(n-r+2) …n 。如果
a1a2…ar ≠ (n-r+1)(n- r+2)…n，则a1a2…ar 的直
接后继r-组合是：
a1a2…ak－1 (ak+1)(ak+2)… (ak+r-k+1) 其中，k是满足ak<n且ak＋1不在a1, a2,…, ar中的最 大整数, 即从ak开始改变字符，按加1方式。
出2367后面的组合。
没有以23开始的X的4-组合排在2367之后。
于是2367后面的组合必然是以24开始。因为 2456是以24开始的描述X的4-组合的最小组合， 则答案是2456。 (为何不可以是2413？)
5
由于所有组合都安定了由小到大的顺序，我们寻 找的后一个组合一定大于前一个。
可建立一个模式。给出一个字符串α=a1…ar ，
n a r 1 个r-组合，它们都从a1a2…ar-2开始， 2
第(r-1)个元素大于原来的ar-1，这样的实际变化
的组合是2-组合。
n ar r ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ在a1a2…ar 后面存在 个r-组合，它们都 1 从a1a2…ar-1开始，但第r个元素大于ar，这样的
# include <iomanip. h>
const n=8
main c
Int a[n]={1,2,…8}
Int h[4]={0} Int s,t,u,v
11
Ofstream myf (―c://out.txt); for (s = 0; s＜＝n - 4;s++); { for (t=s+1; t ＜＝n – 3;t++) for (u=t+1; u ＜＝n – 2 ;u++) for (v=u+1; v ＜＝n – 1 ;v++)
例：当我们列出X={1,2,3,4,5,6,7}的-5组合时，找
出13467后面的组合。 没有以134开始的的5-组合的字符串排在
13467之后。于是13467后面的组合必然是以
4
135开始。因为13567是以135开始的描述X的5- 组 合的最小组合，则答案就是13567。
例：当我们列出X={1,2,3,4,5,6,7}的4-组合时，找
2 3 4 再进行全排列
234 243
312
321
412
421
413
431
423
432
231
213
241
214
341
314
342
324
17
关于每一个r-组合的位置 定理4.4.2 {1,2,….n}的r-组合a1a2…ar 出现
在{1,2,….n}的r-组合的字典序中的位置如下：
n n a1 n a 2 r r r 1 .....
8.
9.
max_val:=n
while sm= max_val do
10.
11. 12. 13. 14.
// 找到不是最大值的最右元素sm
begin m:=m-1 max_val:= max_val-1 end
14
15. // 最右元素增一
16. 18.