组合数学漫谈
高中数学组合数学的趣味教学
高中数学组合数学的趣味教学组合数学是高中数学中一个有趣且富有挑战性的领域，它不仅能够锻炼学生的逻辑思维能力，还能培养学生的创新意识和解决实际问题的能力。
然而，由于其概念较为抽象，学生在学习过程中往往感到困难和枯燥。
因此，如何让组合数学的教学变得趣味横生，激发学生的学习兴趣和积极性，成为了高中数学教师需要思考和探索的重要课题。
一、组合数学的重要性与挑战组合数学在现代科学和技术中有着广泛的应用，如计算机科学、密码学、统计学等。
在高中数学中，组合数学主要包括排列组合、二项式定理等内容，这些知识是进一步学习概率论和数理统计的基础。
然而，组合数学的概念较为抽象，学生在理解和应用时容易出现混淆和错误。
例如，排列和组合的区别、组合数的计算方法等，都需要学生有较强的逻辑思维能力和抽象概括能力。
此外，组合数学的题目往往具有较强的综合性和灵活性，需要学生能够灵活运用所学知识，进行分析和推理。
这对于学生来说是一个较大的挑战，容易让学生产生畏难情绪。
二、趣味教学的方法与策略1、引入实际生活中的例子将组合数学与实际生活中的问题相结合，能够让学生感受到组合数学的实用性和趣味性。
例如，在讲解排列组合时，可以让学生计算彩票中奖的概率、足球比赛的胜负情况、生日相同的概率等。
通过这些实际问题的引入，能够激发学生的好奇心和求知欲，让学生主动参与到学习中来。
2、开展数学游戏和活动数学游戏和活动是激发学生学习兴趣的有效手段。
例如，可以组织学生进行“抽奖游戏”，让学生计算自己中奖的概率；开展“数独比赛”，锻炼学生的逻辑思维能力；进行“组合拼图”活动，让学生通过拼图的方式理解组合的概念。
这些游戏和活动不仅能够让学生在轻松愉快的氛围中学习组合数学，还能够培养学生的团队合作精神和竞争意识。
3、利用多媒体教学手段多媒体教学手段能够将抽象的组合数学知识直观形象地展示给学生。
例如，通过制作动画演示排列组合的过程、利用图形展示二项式定理的展开式等，能够让学生更加清晰地理解和掌握所学知识。
浅谈中学数学中的组合数学问题
浅谈中学数学中的组合数学问题【摘要】组合数学起源于数学游戏，但随着计算机的日益发展，组合数学已经在各个领域有了越来越广泛的应用。
本文主要介绍了组合数学的几个重要原理在中学数学中的应用。
【关键词】中学数学；组合计数；抽屉原理1.证明某种现象的存在性在组合数学中，证明存在性主要运用抽屉原理。
抽屉原理：如果个物体被放进个抽屉，那么至少有一个抽屉包含两个或更多的物体。
应用抽屉原理的关键是构造出合适的抽屉，请看下面两个例子：例1.从1～98的自然数中，任意取出50个数，证明其中一定有两个数，它们中的一个是另一个的整数倍。
分析：因为要取出50个数，所以抽屉的个数要少于50个，并且同一个抽屉内的任意两个数要满足性质“其中一个是另外一个的整数倍”。
证明：因为任何一个正整数都能表示成一个奇数乘以2的形式（其中n为），并且这种表示是唯一的。
所以我们可以把1～98的正整数分成如下49个抽屉：（1）（2）（3）（4）（5）（25）（26）（49）这样，我们就可以将1～98的正整数无重复、无遗漏地放进这49个抽屉内了。
从这98个数中任取50个数，也即将50个物体放入49个抽屉中，根据抽屉原理，其中必定至少有两个物体放入了同一个抽屉，也就是说，其中必定至少有两个数是从同一抽屉中取出的。
从抽屉的构造容易看出，这两个数中的一个是另一个的整数倍。
例2.证明，在整数数列中，可以找出若干个连续的数（允许），它们的和可被10整除。
分析：任意整数除以10所得的余数只有这10种可能。
若两个整数除以10得到相同的余数，则这两个整数的差可被10整除。
由此想到用模10的剩余类来构造抽屉。
证明：作如下数列：若这10个整数中至少有一个能被10整除，则结论成立。
否则，设上述数列中没有一个能被10整除，于是，当我们将它们分到模10的剩余类中去时，它们只能进入以下9个类：可是数列中有10个整数，由抽屉原理，数列中至少有两个数属于同一类，从而这两个数的差可被10整除，不妨设与属于同一剩余类，其中，则可被10整除。
组合数学是研究什么的学科组合数学研究中的四大问题是什
鸽巢原理应用
1. 366个人中必定有两个人生日相同。 2. N对夫妇，为保证能够有一对夫妇被选出，至少
要从这2n个人中选出多少人？
3. 鸽子：366个人 巢：365天 4. 鸽子： 2n个人 巢：n对夫妇
鸽巢原理的理解
• 组合学原理 • 用来证明一个排列或某种现象的存在 • 如果n+1个物体用n种颜色涂，必然有两个物体
作业
Part1: ch2: 3，4，9，15, 16
Part 2: 收集资料并撰写已经成功地应用鸽巢原理解 决的实际问题。
r (k, l) 表
可以将Ramsey 定理推广到任意多种颜色的情况。 引进记号 Kp Kn1 , …, Knk
表示：用 k 种颜色 c1,…, ck 为 Kp 的边任意染色， 或者有一个被染成 c1 色的 Kn1 ，…，或者有一个被 染成 ck 色的 Knk 。
Ramsey 定理 若 n1,…, nk 2，则存在正整数p使得 Kp Kn1 , …, Knk 使得 Kp Kn1 , …, Knk 成立的最小正整数 p 称为 Ramsey 数 r(n1,…, nk )。 r(3, 3, 3) = 17
被涂成同一颜色。
• 使用该原理时，要设置鸽子和巢
鸽巢原理应用
从 1, 2, …, 200 中任意选出 101 个数，必有两个数 其中一个能够整除另一个。
证明 将数表示成形式 2k a，其中 a 是奇数。小于 200 的奇数只有 100 个，即 1, 3, …, 199，所以这 101 个数中必有两数表示为 2k a 和 2j a ，
无向图中的边是顶点集 的 2 元子集，可以将Ramsey定理
t 推广到为t 元子集染色。用K n 表示一个 n 元集的所有t 元
组合数学
组合数学概述组合数学，又称为离散数学，但有时人们也把组合数学和图论加在一起算成是离散数学。
组合数学是计算机出现以后迅速发展起来的一门数学分支。
计算机科学就是算法的科学，而计算机所处理的对象是离散的数据，所以离散对象的处理就成了计算机科学的核心，而研究离散对象的科学恰恰就是组合数学。
组合数学的发展改变了传统数学中分析和代数占统治地位的局面。
现代数学可以分为两大类：一类是研究连续对象的，如分析、方程等，另一类就是研究离散对象的组合数学。
组合数学不仅在基础数学研究中具有极其重要的地位，在其它的学科中也有重要的应用，如计算机科学、编码和密码学、物理、化学、生物等学科中均有重要应用。
微积分和近代数学的发展为近代的工业革命奠定了基础。
而组合数学的发展则是奠定了本世纪的计算机革命的基础。
计算机之所以可以被称为电脑，就是因为计算机被人编写了程序，而程序就是算法，在绝大多数情况下，计算机的算法是针对离散的对象，而不是在作数值计算。
正是因为有了组合算法才使人感到，计算机好象是有思维的。
组合数学不仅在软件技术中有重要的应用价值，在企业管理，交通规划，战争指挥，金融分析等领域都有重要的应用。
在美国有一家用组合数学命名的公司，他们用组合数学的方法来提高企业管理的效益，这家公司办得非常成功。
此外，试验设计也是具有很大应用价值的学科，它的数学原理就是组合设计。
用组合设计的方法解决工业界中的试验设计问题，在美国已有专门的公司开发这方面的软件。
最近，德国一位著名组合数学家利用组合数学方法研究药物结构，为制药公司节省了大量的费用，引起了制药业的关注。
在1997年11月的南开大学组合数学研究中心成立大会上，吴文俊院士指出，每个时代都有它特殊的要求，使得数学出现一个新的面貌，产生一些新的数学分支，组合数学这个新的分支也是在时代的要求下产生的。
最近，吴文俊院士又指出，信息技术很可能会给数学本身带来一场根本性的变革，而组合数学则将显示出它的重要作用。
数学论文：《集合学习漫谈》
集合学习漫谈中国是由五十六个民族组成的大家庭；高一（3）班全体同学；小于10的所有质数；到线段AB 两端距离相等的所有点组成的图形．常言道：“物以类聚，人以群分”．其实，用数学的观点来看，这就是一种最朴素、最生活化的集合的概念．上面的四句话分别表示中国民族的集合、高一（3）班同学的集合、小于10的质数集合和AB 的垂直平分线（点的集会）．集合是数学中最基本的概念之一，集合论也成为现代数学中重要的基础理论．集合是高中数学必修教材（1）中所学到的第一个数学内容，也是今后学习和研究函数的基础．学习数学，首先应该注重数学概念的学习，只有真正理解了概念的内涵，才能进一步运用概念去分析和解决问题．集合是指在一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成的整体．研究集合，就须要分析构成集合的对象——元素，以及这些元素所具有的共同属性．描述法就清楚的反映了集合的本质，它的基本模式是：{ 元素 | 元素的共同属性 }．例如“到线段AB 两端距离相等的所有点组成的图形”运用描述法可以表示为{ P | PA=PB }，即它表示一个点集，且集合中每一个元素P 都满足PA=PB ．又如，对于集合A={ y | y=x 2+1 }与集合B={ ( x, y ) | y=x 2+1 }．首先应分析集合的代表元，确定该集合的元素是什么；进而弄清该集合中元素的共同属性．集合A 中的元素是数，集合B 中的元素是点．虽然两个集合的元素的共同属性的表达形式都是y=x 2+1，但意义却完全不同．集合A 是数集，它表示x 2+1的取值范围，即集合A 表示不小于1的实数集；集合B 是平面上的点集，它表示平面直角坐标系中，顶点在（0，1）且开口向上的抛物线上所有点构成的集合，即函数12+=x y 的图象．理解了元素和集合的概念，才能对元素与集合、集合与集合间的关系作出正确判断，并进行集合间的各种运算．例如，空集ϕ与集合{}ϕ之间关系的正确回答应该是，当φ表示元素时，{}ϕϕ∈；当φ表示集合时，{}ϕϕ⊂．又如，已知集合}|{2x y y P ==，}2|{x y y Q ==，}|),{(2x y y x M ==， }2|),{(x y y x N ==A B 3,5,117 29 17,23 2,13,19U 试求：(1);(2);(3);(4);(5)()()U U P Q P Q M N P N C M C Q ．因为集合P 、Q 为数集，{|0}P y y =≥，Q R =，所以，（1）{|0}P Q P y y ==≥ ；（2）P Q Q R == ．而集合M 、N 均为点集，因此（3）2{(,)|}{(0,0),(2,4)}2y x M N x y y x⎧===⎨=⎩ ；（4）P N ϕ= ； （5）()()U U C M C N = {平面上除去（0，0）和（2，4）的点}．若不能准确理解集合的概念，解答上述问题就有可能误解为{(0,0),(2,4)}P Q P N == ．对概念有了正确的理解为数学学习奠定了良好的基础．要进一步学好数学，还需要具备一定的数学的基本技能和数学思想方法．数学的内容通常都表现为“数”和“形”两个方面．实际上，数与形是同一事物的两种不同的表现形式，以形助数可以使问题变得更直观、生动，而依数解形则可以使问题变得更加严谨、精确．恰当地运用“数形结合”的思想，不仅可以使问题得到正确解决，还可以使解题变得更简捷明了．集合既可以运用列举法或描述法表示，也可以运用Venn 图表示．恰当的运用Venn 图表示法，不仅可以帮助我们理解概念，还可以开拓解题思路．例如，设全集U ={x |为不大于30的质数}，(){3,5,11}U A C B = ，(){17,23}U C A B = ，()(){2,13,19}U U C A C B = ，求集合A 和B ．此题可以从“数”的角度，运用逻辑推理得到正确答案，其解答过程为：}29,23,19,17,13,11,7,5,3,2{=U ,由}11,5,3{)(=⋂B C A U 可得A ∈11,5,3,且B ∉11,5,3；由}23,17{)(=⋂B A C U 得A ∉23,17，且B ∈23,17；由}19,13,2{)()(=⋂B C A C U U 得}19,13,2{)(=⋃B A C U ．综上可得}29,11,7,5,3{=A ，}29,23,17,7{=B ．若此题能运用Venn 图从“形”的角度分析，显得更加直观清晰．具体方法为：如图，全集被分成四个部分B A ⋂，)(B C A U ⋂，B A C U ⋂)(和)(B A C U ⋃．根据题设将各部分所确定的元素填进去即可得到正确答案}29,11,7,5,3{=A ，}29,23,17,7{=B ．严密的逻辑性是数学的基本特点．在学习数学的过程中，重视思维的逻辑性和严谨性的培养与训练是十分必要的．如，已知集合}012|{2=+-=x ax x M 中只有一个元素，求实数a 的取值．此题若不注意二次项系数是否为零的问题，就会使解答不完整，仅由044=-=∆a 得到a =1，实际上，当二次项系数a =0时，集合M 中也只有一个元素．再如，已知集合}032|{2=--=x x x P ，}01|{=-=ax x Q ，若Q Q P =⋂，求实数a 的值．此题的解答中若不注意到集合Q 可以为空集的情况，必将漏解．由于同学们刚刚进入高中阶段的数学学习，对数学的一些思想方法可能还不是很熟悉，想要熟练地加以运用就会显得更加困难，但这并不可怕，只要能在平时的学习中，多问几个为什么，使解题从偶然走向必然，那么，你的学习能力和解题能力一定会得到提高．集合论的创立者——德国伟大的数学家康托尔（1845—1918），就是因为不满足于对一些看似矛盾却又实际存在的问题的大众化认识，而去刻苦钻研，抛弃一切经验和直观，用理论进行论证，最终取得了令世人瞩目的成就，创立了对数学具有深远而广泛影响的基础理论——集合论．最后，留给同学们两个有趣的问题，空闲时你不妨想一想：如果从两个同心圆出发画射线，那么射线就在这两个圆的点与点之间建立起一一对应，然而两圆的周长却是不一样的；正整数可以和它们的平方构成一一对应，只要使每个正整数同它们的平方对应起来就行了，1 2 3 4 …… n ……↓ ↓ ↓ ↓ …… ↓ ……21 22 23 24 …… 2n ……难道，正整数和它的一部分（正整数的平方）的个数竟然是相当的！。
第一章(Chapter 1) 什么是组合数学
一,组合数学发展概述
组合数学问题在生活中随处可见: 组合数学问题在生活中随处可见: 例如: 计算下列赛制下总的比赛次数:n 计算下列赛制下总的比赛次数:n支球队参赛,每 队只能和其他队比赛一次; 创建幻方; 一笔画问题(在纸上画一个网络,用铅笔沿着网络 路线走,在笔不离开纸面且不重复线路的条件下, 一笔画出网络); 在玩扑克牌的游戏中,计算满堂红(full-house)牌 在玩扑克牌的游戏中,计算满堂红(full-house)牌 的手数,以确定出现一手满堂红的几率……等等 的手数,以确定出现一手满堂红的几率……等等 所有这些都是组合数学问题.
组合数学是计算机软件产业的基础,中国最终一 定能成为一个软件大国,但是要实现这个目标的 一个突破点就是发展组合数学.中国在软件技术 上远远落后于美国,而在组合数学上则更是落后 于美国和欧洲.如果中国只是想在软件技术上跟 着西方走,而不在组合数学上下功夫,那么中国 的软件将一直处于落后的状态.
如果我们的软件产业还是把眼光一直盯在应用软 件和第二次开发,那么我们在应用软件这个领域 也会让国外的企业抢去很大的市场. 如果我们现在在信息技术的数学基础上,大力支 持和投入,那将是亡羊补牢,犹未为晚.吴文俊 院士开创和领导的数学机械化研究,为中国在信 息技术领域占领了一个重要的阵地,有了雄厚的 数学基础,自然就有了软件开发的竞争力.这样 的阵地多几个,我们的软件产业就会产生新的局 面.
组合数学涉及到将一个集合的物体排列成满 足一些指定规则的格式. 研究排列的存在性(存在的必要和充分条件) 研究排列的计数和分类 研究研究一个已知排列的性质和结构 构造一个最优的排列 因此,组合数学可以一般地描述为:组合数学 是研究离散结构的存在,计数,分析和优化等问 题的一门科学.
组合数学是一个古老而又年轻的数学分支,据 传说,大禹在4000多年前就观察到了神龟背上的幻 方…….贾宪,北宋数学家(约11世纪)著有:《黄 帝九章细草》,《算法敩古集》(又称"古算法导 引" ),都已失传.杨辉著《详解九章算法》 (1261年)中曾引贾宪的"开方作法本源图"(即 指数为正数的二项式展开系数表 , 现称"杨辉三 角" )和"增乘方法"(求高次幂的正根法).前 者比帕斯卡(Pascal)三角形早600年,后者比霍纳 (William Geoge.Horner,1786-1837)的方法(1819年) 早770年.
组合数学中的论问题分析
组合数学中的论问题分析组合数学是数学的一个重要分支，它研究的是集合论、图论、数论和代数等数学分支之间的组合关系。
在组合数学中，论问题是一个具有重要理论意义和广泛应用价值的研究领域。
本文将对组合数学中的论问题进行分析与讨论。
一、问题的提出与背景论问题是指在一定条件下，研究一个集合具有某种性质的问题。
论问题由于其对应用领域的重要性，成为组合数学中的一个重要分支。
论问题的研究有助于深入理解数学的结构和规律，并能应用于通信、计算机科学、优化问题等领域。
二、经典论问题1. 托波利茨矩阵的论问题托波利茨矩阵是一种具有特殊结构的矩阵，它的每一条对角线上的元素都相等。
论问题涉及到托波利茨矩阵的性质与应用，研究如何刻画托波利茨矩阵的一些重要参数，比如最大特征值和最小特征值等。
2. 图的论问题图论是组合数学中的一个重要分支，其研究的对象是用顶点和边构成的图。
论问题中的图可以是有向图或无向图，研究的问题包括图的连通性、路径问题、最短路径问题等。
经典的论问题有哈密顿回路问题、旅行商问题等。
3. 组合问题组合问题是论问题的一个重要分支，研究的是集合的排列组合。
常见的组合问题包括组合数的计算、排列问题、选择问题等。
论问题在组合问题的研究中起到了重要的作用，能够给出组合问题的理论刻画和应用推广。
三、论问题的应用论问题不仅仅是数学中的一个理论问题，它在实际应用中也具有重要的作用。
1. 信息理论信息理论中的熵是论问题的一个重要概念。
熵用来表示信息的不确定性，它是对信息分布的度量。
通过对论问题的研究，可以对信息传输、编码等问题进行分析与优化。
2. 优化问题论问题与优化问题密切相关，通过论问题的研究可以对优化问题进行分析与求解。
例如，在调度问题中，可以利用论问题的方法对任务的分配进行优化，以提高效率和资源利用率。
3. 密码学密码学中的编码问题与论问题有着密切的联系。
通过对论问题的研究，可以设计出高效、安全的编码算法，保护信息的安全性和隐私性。
数学强则国强，“组合数学”告诉我们：“人工智能”时代真的来临
数学强则国强，“组合数学”告诉我们：“人工智能”时代真的来临来源：数学真美当我们翻开世界历史，会发现一个有意思的现象，世界强国的背后，都有着强大的数学实力作为支撑。
17-19世纪的英国、德国、法国等世界强国，它们同样是“数学强国”。
而今天，在美国成为世界霸主的背后，其实也正是以强大的数学实力作为支撑的。
正如拿破仑所说：“一个国家只有数学蓬勃的发展，才能展现它国力的强大。
数学的发展和国家繁荣昌盛密切相关。
”曾几何时，“微积分”的创立直接导致了英国“工业革命”的成功，英国也随之成为世界第一强国，帝国主义的野心迅速膨胀，侵略的铁蹄打开了我们的国门，给积贫积弱的中国带来了百年屈辱史。
今天，“离散数学”的快速发展已经取代了昔日“微积分”的主流地位。
如果说“微积分”的发展直接导致了“近代工业革命”的成功，那么“离散数学”中的“组合数学”的发展就是推动“计算机革命”的原动力。
“组合数学”与“计算机科学”相结合，使得冷冰冰的机器似乎拥有了思维，一个崭新的“人工智能时代”呼之欲出。
然而，“组合数学”到底是怎么一回事呢？现代数学体系可以分为两大类：一类是研究“连续对象”的，比如“微积分”等，另一类则是研究“离散对象”的，比如“离散数学”。
在“离散数学”中，其核心内容就是“组合数学”。
“组合数学”无处不在，它的主要应用就是在“各种复杂关系”中快速地找出“最优方案”。
所以组合数学完全可以看成是“量化”了的“关系学”、“运筹学”，“管理学”。
“四色定理”、“中国邮差问题”、“河洛图”等问题都属于“组合数学”的范畴。
以造出第一颗原子弹著称于世的美国国家实验室，一直都非常重视“组合数学”的研究。
世界上的其它国家，比如英国、法国、德国、荷兰、丹麦、奥地利、瑞典、意大利、西班牙等国家都建立了各种形式的“组合数学”研究中心。
在很早以前，澳大利亚、新西兰、新加坡、韩国、马来西亚以及我国大陆、台湾、香港等地区就已组建了很强的组合数学研究机构。
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Ramsey理论的哲理意义
完全的无序是不可能的(Complete disorder is impossible)。 任一足够大的结构中必定包含一个给定大小的规则子结构。 无序无意的行为产生了有规律的后果，发人深思耐人寻味。 古人在满天的星斗中发现野兽和众神群集于天空的图形，以 为是造物主的杰作。但根据Ramsey 定理，只要随机分布的 星星数目足够多，就可以描绘出各种图形的轮廓。 1994年Statistical Science的一篇论文利用统计方法证明： 圣经隐藏了许多讯息，而这些讯息是有意安排的，绝非文字 排列偶然造成的。 1997 年Michael Drosnin的《The Bible Code 》通过计算机扫读圣经中的304805个字母，发现圣经 密码当中传达的讯息除了拉宾被刺杀外，还包括美国肯尼迪 和林肯两位总统，以及印度总理甘地遇刺的事件，日本神户、 美国旧金山的大地震、世界末日与广岛原子弹轰炸等，种种 过去与未来发生的大事件。
中国的组合数学
河图洛书九宫图
易曰：河出图，洛出书，圣人则之。河图洛书是最早的幻方。 “二、九、四；七、五、三；六、一、八” ----《大戴礼记明堂》 《黄帝内经灵枢》的《九宫八风》篇。 “九宫者，即二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央 ” ----(汉)徐岳撰 (北周)甄鸾注 杨辉《续古摘奇算法》(1275)进一步给出了四阶幻方构造方法。此外， 他还构造出了五阶、六阶、七阶、八阶、九阶和十阶幻方(百子图 )。
离散数学(Discrete mathematics)是研究离散量的结构及其相互 离散数学 是研究离散量的结构及其相互 关系的数学学科，是现代数学的一个重要分支。它在各学科领域， 关系的数学学科，是现代数学的一个重要分支。它在各学科领域， 特别在计算机科学与技术领域有着广泛的应用， 计算机科学与技术领域有着广泛的应用 特别在计算机科学与技术领域有着广泛的应用，同时离散数学也 计算机专业的许多专业课程 的许多专业课程， 程序设计语言、数据结构、 是计算机专业的许多专业课程，如程序设计语言、数据结构、操 作系统、编译技术、人工智能、数据库、算法设计与分析、 作系统、编译技术、人工智能、数据库、算法设计与分析、理论 计算机科学基础等必不可少的先行课程。通过离散数学的学习， 计算机科学基础等必不可少的先行课程。通过离散数学的学习， 不但可以掌握处理离散结构的描述工具和方法， 离散结构的描述工具和方法 不但可以掌握处理离散结构的描述工具和方法，为后续课程的学 习创造条件，而且可以提高抽象思维和严格的逻辑推理能力， 习创造条件，而且可以提高抽象思维和严格的逻辑推理能力，为 将来参与创新性的研究和开发工作打下坚实的基础。 将来参与创新性的研究和开发工作打下坚实的基础。 随着信息时代的到来，工业革命时代以微积分为代表的连续 随着信息时代的到来，工业革命时代以微积分为代表的连续 微积分 数学占主流的地位已经发生了变化， 数学占主流的地位已经发生了变化，离散数学的重要性逐渐被人 们认识。离散数学课程所传授的思想和方法， 们认识。离散数学课程所传授的思想和方法，广泛地体现在计算 机科学技术及相关专业的诸领域，从科学计算到信息处理， 机科学技术及相关专业的诸领域，从科学计算到信息处理，从理 论计算机科学到计算机应用技术，从计算机软件到计算机硬件， 论计算机科学到计算机应用技术，从计算机软件到计算机硬件， 从人工智能到认知系统，无不与离散数学密切相关。 从人工智能到认知系统，无不与离散数学密切相关。
组合数学的分支
组合分析 代数组合 极值集论 图 论 组合设计 组合优化 组合算法
组合数学的应用
应用促进理论发展
36个军官问题这个纯粹来自智力游戏的题目孕育着 艰深的数学问题 。Euler猜想直到二十世纪中叶才 获得解决，有两个原因：一是理论上的准备。这类 问题用初等方法很难解决，二十世纪代数和几何的 发展为解决问题提供了必要工具（如Galois域上的 射影几何即有限几何等）；二是生产实际的推动。 数理统计学家Fisher将正交拉丁方用于试验设计， 例如，用二种原料合成某染料，每种原料有3个水 平，怎样安排试验能使每种原料的各种水平各碰一 次？这正好是3阶的正交拉丁方阵问题。 Fisher的 试验设计是一股巨大的推动力量，把一种数学游戏 变成了节约人力物力的具有重大价值的科学方法。
拉丁方阵与正交拉丁方阵 拉丁方阵与正交拉丁方阵
每名军官对应一个有序对（军团，军衔） 以9名军官为例：
军团阵列 军衔阵列 并置阵列
（正交拉丁方阵） 正交拉丁方阵） （拉丁方阵） （拉丁方阵） 拉丁方阵） 拉丁方阵）
1 2 3 1 2 3 (1,1) (2,2) (3,3) 3 1 2 + 2 3 1 (3,2) (1,3) (2,1) 2 3 1 3 1 2 ຫໍສະໝຸດ (2,3) (3,1) (1,2)
源出于游戏受惠于数学落脚于应用
“Kirkman女生问题”引出组合数学的一个重要分 支—组合设计。对这些数学游戏，一旦当人们认识 到它们在数学和其他科学上的深刻含义后，便又促 使人们对它进行更深入的研究，从而丰富了数学学 科的内容和知识。该问题就是最典型的组合设计问 题。其本质就是如何将一个集合中的元素组合成一 定的子集系以满足一定的要求。表面上看来， Kirkman女生问题是纯粹的数学游戏，然而它的解 却在医药试验设计上有很广泛的运用。德国组合数 学家利用组合设计的方法研究药物结构，为制药公 司节省了大量的费用。在美国也有专门的公司用组 合设计的方法开发软件，来解决工业界中的试验设 计问题。
〈胃痛〉（The Stomachion） 胃痛〉 ）
左上图为一份用希腊文写在羊皮纸上的 Archimedes手稿“Stomachion”的副本, 它考虑的是现在名为“tiling”的组合问题
Stomachion
〈胃痛〉（The Stomachion） 胃痛〉 ） 阿基米德以惡作劇、謎題及走捷徑而聞名。從《阿基米德寶 典》裡，已發掘出一個會讓人玩到胃痛的14巧板遊戲，如右 圖。 我們可以拿這14片，拼成各種圖案，譬如大象、鳥、 魚等等，但是這並不稀奇！真正稀奇的是，把這14片「拼成 同樣大小的一個正方形」。
Ramsey定理
Ramsey(1903-1930)：给定任意 正整数p和q，总存在一个最小正 整数R(p,q)，使得R(p,q)个人中 或者有 p 个人互相认识，或者有 q 个人互不相识。 R(p,q) 称为Ramsey数。 只要人数足够多，则互相认识的 人会越来越多，或互不相识的人 会越来越多。
组合数学漫谈
要点
组合数学的问题 组合数学的内容 组合数学的应用 中国的组合数学
组合数学的问题
组合数学概述
组合数学（Combinatorial Mathematics) 也称组合学(Combinatorics) 或离散数学(Discrete Mathematics) 现代数学根据所研究的对象可分为两类： 连续数学：以微积分为基础，传统主流 离散数学：伴随计算机科学，方兴未艾 1666年Leibniz著《Dissertatio de arte combinatoria》,首次使用了组合一词。
Ramsey数的计算
Ramsey数的计算是对人类智力 的挑战！例如R(4,5)=25 (1993年计算机11年的计算量) Erds用如下比喻说明其困难程 度：一伙外星人入侵地球，要 求一年内求得R(5,5)，否则将 灭绝人类！那么也许人类能集 中所有计算机和专家来求出它 以自保；但如果外星人问的是 R(6,6) ，那么人类将别无选择， 只能拼死一战了。
Kirkman女生问题
Kirkman （1806～1895） 1850年：有15个女生，她们 每天要做三人行的散步，要 使每个女生在一周内的每天 做三人行散步时，与其她同 学在组成三人小组同行时， 彼此只有一次相遇在同一小 组，应怎样安排？ 组合设计的起源
Kirkman女生问题的一个解
Sun Mon Tue Wed Thu Fri Sat ABC ADH AEM AFI AGL AJN AKO DEF BEK BHN BLO BDJ BIM BFG GHI CIO CGK CHJ CFM CEL CDN JKL FLN DIL DKM EHO DOG EIJ MNO GJM FJO EGN IKN FHK HLM
最精美的组合定理
Rota：如果要求在 组合学中仅举出 一个精美的定理， 那么大多数组合 学家会提名 Ramsey定理。
1984年Wolf奖得主Erds 1997年Fulkerson奖得主Kim 1998年Fields奖得主Gowers 1999年Wolf奖得主Lovasz 2003年Steele奖得主Graham 2005年Gdel奖得主Alon 2006年Fields奖得主Tao 均对Ramsey理论有杰出贡献
Euler猜想
Euler(1779)：不存在4t+2阶正交拉丁方？ Tarry(1900)：不存在6阶正交拉丁方！ 存在10阶正交拉丁方！ Bose, Shrikhande和Parker(1960)： 当t>2时，存在4t+2阶正交拉丁方！ 首次数学上了The New York Times的头版！
阿基米德(287? -212 B.C.)在计算把14条不规则的 纸带拼成正方形有多少种不同的拼法.
Bill Cutler （2003）：答案是17152=536x32
Knigsberg七桥问题 七桥问题
Pregel河横穿Knigsberg城，河上建有七座桥 ，能 否设计散步路线，走过所有七座桥，每座桥恰好经 过一次而回到同一地点？
组合数学的内容
组合数学的研究内容
组合数学研究的中心问题是按照一定的规划来安排 一些与物件有关的问题。 1.存在问题——当符合要求的安排并非显然存在或不 存在时，首要的问题是证明或否定它的存在. 2.计算问题或分类问题——当符合要求的安排显然存 在，或者已证明它存在时，求出这类安排的各抒己 见，或者把它分类. 3.构造问题（组合设计）——把满足某种条件的安排 构造出来. 4.优化问题——给出最优标准，找出满足给定条件的 最优安排.