组合数学 期末试卷1
组合数学期末试题
组合数学期末试题期末试卷2012—2013学年第二学期课程：组合数学专业：数学与应用数学年级：2010本试卷共2页满分：100分考试时间：120分钟考试方式：闭卷一、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1、将5个苹果分给3个小孩，有_______种不同的分法.2、多项式()4012324x x x x +++中项22012x x x ??的系数是 .3、22件产品中有2件次品，任取3件，恰有一件次品方式数为________.4、Fibbonacci 数F(9)= .5、6()x y +所有项的系数和是________.6、含3个变元,,x y z 的一个对称多项式包含9个项，其中4项包含x ，2项包含xyz ，1项包含常数项，求包含xy 的项有个.7、在{1，2，3，4,5,6}全排列中，使得只有偶数在原来位置的排列方式数为 .8、把某英语兴趣班分成两个小组，甲组有2名男同学，5名女同学；乙组有3名男同学，6名女同学，从甲乙两组均选出3名同学来比赛，则选出的6人中恰有1名男同学的方式数 .二、单项选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）9、在一次聚会上有15位男士和20位女士，则形成15对男女一共有多少种方式数（）A 、20!5!B 、20!15!C 、2015D 、152010、某年级的课外学科小组分为数学、语文二个小组，参加数学小组的有23人，参加语文小组的有27人；同时参加数学、语文两个小组的有7人。
这个年级参加课外学科小组人数（）。
B 、57C 、43D 、1111、组合式???? ??50120与下列哪个式子相等？（）A 、???? ??60120B 、???? ??50119+???? ??49119C 、512???? ??49120D 、???? ??4911912、从1至1000的整数中，有多少个整数能被5整除但不能被6整除？（）A 、167B 、200C 、166D 、3313、商店有六种饮料供选择，若小明每天至少和一种饮料（喝过的不再选择），5天里把全部饮料都喝过，则有多少种不同的安排？（）A 、9B 、16C 、90D 、180014、...0110p q p q p q r r r +++= ??? ??? ???-????????（）min{,}r p q ≤。
《组合数学》练习题一参考答案
《组合数学》练习题一参考答案《组合数学》练习题一参考答案一、填空：1.!()!m n P n m m n m =- 2.2)1(-n n 3. 0. 4. 2675.),2,1,0(3)2(2321 =+-+=n c c c a n n n n .6.4207.78.()()!!11...!31!21!111n n n ??-++-+-9.22 10.267二、选择：1. 1—10 A B D D A D A B B C三、计算： 1. 解因为]250[=25, ]450[=12, ]850[=6, ]1650[=3, ]3250[=1, ]6450[=0, 所以, 所求的最高次幂是2(50!)=25+12+6+3+1=47.2. 解由我们最初观察的式子,有614,1124,634,144=??===, 再利用定理1,我们得到24!415,102)15(545,155==??=-?==, 3511642434435=+?=???+=, 5061141424425=+?=??+=. 所以,x x x x x x f 24503510)(23455+-+-=.3. 解：设所求为N ，令}2000,,2,1{ =S ，以A ，B ，C 分别表示S 中能被32?，52?，53?整除的整数所成之集，则53466663133200333 532200053220003532000522000322000 =+?-++=+-???????+???????+???????=+---++==C B A C B C A B A C B A CB A N 4. 解：记7个来宾为1A ，2A ，…，7A ，则7个来宾的取帽子方法可看成是由1A ，2A ，…，7A 作成的这样的全排列：如果i A （1≤i ≤7）拿了j A 的帽子，则把i A 排在第j 位，于是（1）没有一位来宾取回的是他自己的帽子的取法种数等于7元重排数7D ，即等于1854。
数学组合数学测试题
数学组合数学测试题第一题：排列组合在一个班级中，有10个男生和12个女生。
从这些学生中挑选一位班长和一位副班长，问有多少种不同的选法？解析：选班长有10种选择，选副班长有9种选择（因为副班长不能是已经当选的班长）。
所以总共的选法为10 × 9 = 90种。
第二题：组合问题从5个数中挑选3个不同的数，问有多少种不同的选法？解析：C(5,3) = 10。
即从5个数中选择3个数的组合数为10。
第三题：全排列问题有4个不同的字母A、B、C、D，从中选出3个字母排成一排，问有多少种不同的排列方式？解析：全排列意味着每个字母都可以排在第一位、第二位或第三位，所以总共有4 × 3 × 2 = 24种不同的排列方式。
第四题：组合数的性质用组合数C(n, k)表示从n个元素中选择k个元素的组合数。
给出以下等式的性质：a) C(n, k) = C(n, n-k)b) C(n, 0) = 1c) C(n, 1) = nd) C(n, k) + C(n, k+1) = C(n+1, k+1)证明：a) C(n, k) = n! / (k!(n-k)!) = n! / ((n-k)!k!) = C(n, n-k)b) C(n, 0) = n! / (0!(n-0)!) = n! / (1 * n!) = 1c) C(n, 1) = n! / (1!(n-1)!) = nd) C(n, k) + C(n, k+1) = n! / (k!(n-k)!) + n! / ((k+1)!(n-(k+1))!)= [n! * (n-(k+1))] / ((k+1)! * (n-k)!) + [n! * k] / ((k+1)! * (n-k)!)= [n!(n-k-1) + n!k] / ((k+1)! * (n-k)!)= [(n!n - n!k - n!) + n!k] / ((k+1)! * (n-k)!)= (n!n - n!) / ((k+1)! * (n-k)!)= (n+1)! / ((k+1)! * (n-(k+1))!)= C(n+1, k+1)第五题：二项式定理给出二项式定理的表达式和证明：二项式定理表达式：(a + b)^n = C(n, 0)a^n b^0 + C(n, 1)a^(n-1) b^1 + C(n, 2)a^(n-2) b^2 + ... + C(n, n) a^0 b^n证明：对于一个展开的项C(n, k)a^(n-k)b^k，可以考虑从n个位置中选择k个位置来放置a，剩余的n-k个位置就自动放置了b。
图论与组合数学期末复习试题含答案
图论与组合数学期末复习试题含答案组合数学部分第1章排列与组合例1：1)、求⼩于10000的含1的正整数的个数；2、)求⼩于10000的含0的正整数的个数；解：1)、⼩于10000的不含1的正整数可看做4位数,但0000除外.故有9×9×9×9－1＝6560个.含1的有：9999－6560=3439个2)、“含0”和“含1”不可直接套⽤。
0019含1但不含0。
在组合的习题中有许多类似的隐含的规定，要特别留神。
不含0的1位数有19个，2位数有29个，3位数有39个，4位数有49个不含0⼩于10000的正整数有()()73801919999954321=--=+++个含0⼩于10000的正整数9999－7380=2619个。
例2：从[1,300]中取3个不同的数，使这3个数的和能被3整除，有多少种⽅案？解：将[1,300]分成3类：A={i|i ≡1(mod 3)}={1,4,7,…,298},B={i|i ≡2(mod 3)}={2,5,8,…,299},C={i|i ≡0(mod 3)}={3,6,9,…,300}.要满⾜条件，有四种解法：1)、3个数同属于A;2)、3个数同属于B ；3)、3个数同属于C;4)、A,B,C 各取⼀数；故共有3C(100,3)+1003=485100+1000000=1485100。
例3：（Cayley 定理：过n 个有标志顶点的数的数⽬等于2-n n ）1）、写出右图所对应的序列；2）、写出序列22314所对应的序列；解：1）、按照叶⼦节点从⼩到⼤的顺序依次去掉节点（包含与此叶⼦节点相连接的线），⽽与这个去掉的叶⼦节点相邻的另外⼀个内点值则记⼊序列。
如上图所⽰，先去掉最⼩的叶⼦节点②，与其相邻的内点为⑤，然后去掉叶⼦节点③，与其相邻的内点为①，直到只剩下两个节点相邻为⽌，则最终序列为51155.。
2）、⾸先依据给定序列写出（序列长度+2）个递增序列，即1234567，再将给出序列按从⼩到⼤顺序依次排列并插⼊递增序列得到：112223344567。
数学竞赛组合试题及答案
数学竞赛组合试题及答案试题一：排列组合问题题目：某班级有30名学生，需要选出5名代表参加校际数学竞赛。
如果不考虑性别和成绩，仅考虑组合方式，问有多少种不同的选法？答案：这是一个组合问题，可以用组合公式C(n, k) = n! / (k! *(n-k)!)来计算，其中n为总人数，k为选出的人数。
将数值代入公式，得到C(30, 5) = 30! / (5! * 25!) = 142506。
试题二：概率问题题目：一个袋子里有10个红球和20个蓝球，随机抽取3个球，求至少有1个红球的概率。
答案：首先计算没有红球的概率，即抽到3个蓝球的概率。
用组合公式计算，P(3蓝) = C(20, 3) / (C(30, 3)) = (20! / (3! * 17!)) / (30! / (3! * 27!))。
然后，用1减去这个概率得到至少有1个红球的概率，P(至少1红) = 1 - P(3蓝)。
试题三：几何问题题目：在一个半径为10的圆内，随机选择两个点，连接这两点形成弦。
求这条弦的长度小于8的概率。
答案：首先，弦的长度小于8意味着弦所对的圆心角小于某个特定角度。
通过几何关系和圆的性质，可以计算出这个特定角度。
然后，利用面积比来计算概率。
圆的面积为πr²，而弦所对的扇形面积可以通过角度来计算。
最后，将扇形面积除以圆的面积得到概率。
试题四：数列问题题目：给定一个等差数列，其首项为3，公差为2，求前10项的和。
答案：等差数列的前n项和公式为S_n = n/2 * (2a + (n-1)d)，其中a为首项，d为公差，n为项数。
将数值代入公式，得到S_10 = 10/2* (2*3 + (10-1)*2) = 10 * 13 = 130。
试题五：逻辑推理问题题目：有5个盒子，每个盒子里都有不同数量的球，分别是1个，2个，3个，4个和5个。
现在有5个人，每个人随机选择一个盒子，每个人只能拿一个盒子。
问至少有一个人拿到的盒子里球的数量与他选择的顺序号相同的概率。
组合数学考试题目及答案
组合数学考试题目及答案**组合数学考试题目及答案**一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 从10个不同的元素中取出3个元素的组合数为（）。
A. 120B. 210C. 100D. 150答案：B2. 以下哪个不是排列数的性质？（）。
A. \( P(n, n) = n! \)B. \( P(n, 0) = 1 \)C. \( P(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!} \)D. \( P(n, k) = \frac{n!}{k!} \)答案：D3. 从5个不同的元素中取出2个元素的排列数为（）。
A. 10B. 20C. 15D. 25答案：B4. 组合数 \( C(n, k) \) 和排列数 \( P(n, k) \) 之间的关系是（）。
A. \( C(n, k) = \frac{P(n, k)}{k!} \)B. \( P(n, k) = \frac{C(n, k)}{k!} \)C. \( C(n, k) = k \times P(n, k) \)D. \( P(n, k) = k \times C(n, k) \)答案：A5. 以下哪个是组合数的性质？（）。
A. \( C(n, k) = C(n, n-k) \)B. \( C(n, k) = C(n-1, k-1) \)C. \( C(n, k) = C(n, k+1) \)D. \( C(n, k) = C(n+1, k+1) \)答案：A6. 从8个不同的元素中取出3个元素的组合数为（）。
A. 56B. 54C. 48D. 35答案：A7. 以下哪个是排列数的递推关系？（）。
A. \( P(n, k) = P(n-1, k) + P(n-1, k-1) \)B. \( P(n, k) = P(n-1, k) - P(n-1, k-1) \)C. \( P(n, k) = P(n-1, k) \times P(n, 1) \)D. \( P(n, k) = P(n-1, k-1) \times P(n, 1) \)答案：D8. 从7个不同的元素中取出4个元素的排列数为（）。
2014年秋组合数学期末考试试卷
2014年秋《组合数学》期末考试试题一．填空（每空5分，共6×5 = 30分）1.将5个标有不同序号的珠子穿成一环，共有_____种不同的穿法。
2.教室有两排座位，每排6 个座位，现有学生9 人。
其中有3 名学霸总坐在第一排，2 名学渣总坐在最后一排。
求有_____种坐法？3.(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)7的展开式中，项231345a a a a的系数是_____。
4.从n双互相不同的鞋中取出r只（nr ），要求其中没有任何两只是成对的，问共有_____种不同的取法。
5.a,b,c,d,e,f六个字母的全排列中不允许出现ace和df的排列数为_____。
6.箱子中放有10双手套，从中随意取出11只，则至少有_____只是完整配对的。
二．选择题（每题5分，共6×5 = 30分）1.{1,2,3,4,5}组成的全排列，按字典序法，25431 的下一个排列是（）。
A. 31254B. 31245C. 21345D. 354212.由1，2，3，4，5这五个数字能组成（）个大于43500的五位数。
A. 800B. 1000C. 900D. 11003.盒中有3个红球，2个黄球，3个篮球，从中取4个球，排成一列，问共有（）种不同排列方案。
A. 70B. 170C. 60D. 804.若两个整数的最大公因子是1，则称这两个整数互素，请问1-500 之间与105 互素的数有（）个？A. 242B. 240C. 238D. 2295.等边三角形的3个顶点用红，蓝，绿3着色，有（）种方案。
A. 15B. 24C. 10D. 126. 班级中30人，有至少（）位同学在同一个月出生。
A．2 B. 3 C.1 D. 4三．简答题（第1题10分，第2题10分，第3题20分）1.一个有障碍的格路如下图所示: 从(0,0)点到(10,5)点的路径中,求不能过AB, CD,EF, GH的路径数。
（各点坐标为A(2,2), B(3,2), C(4,2), D(5,2), E(6,2), F(6,3), G(7,2),H(7,3) ）2.用1 x 1 和2 x 2 的两种瓷砖若干块，不重叠地铺满8 x 3 的地面，共有多少种方案？3.对如下正方形的4个小格用红、蓝两种颜色着色，可得多少种不同的图象，其中经过旋转后能吻合的两种方案只能算一种。
大学数学组合数学试题与答案(修正版)4
组合数学期末考查卷一、选择题。
（每小题3分，共24分）1.在组合数学的恒等式中n k ⎛⎫= ⎪⎝⎭A 11(1)1n n n k k k --⎛⎫⎛⎫+>≥ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭B 1(1)1n n n k k k -⎛⎫⎛⎫+>≥ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭C 1(1)11n n n k k k -⎛⎫⎛⎫+>≥ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭D (1)1n n n k k k ⎛⎫⎛⎫+>≥ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭2、14321=++x x x 的非负整数解个数为（ ）。
A.120B.100C.85D.503、()()=94P 。
A. 5B. 8C. 10D. 64、递推关系12432(2)n n n n a a a n --=-+≥的特解形式是（a 为待定系数）（）A 、2n anB 、2n aC 、32n anD 、22nan 5、错排方式数n D =（）A 1(1)n n nD ++-B (1)(1)n n n D ++-C -1(1)n n nD +- D 1(1)(1)n n n D +++-6、将n 个不同的球放入m 个不同的盒子且每盒非空的方式数为（ ）。
Ａ（nm ） Ｂ (),P n m Ｃ ｍ！Ｓ2（ｎ，ｍ） Ｄ（nm ）ｍ！7、有100只小鸟飞进6个笼子，则必有一个笼子至少有（ ）只小鸟。
A 15B 16C 17D 188、若颁发26份奖品给4个人，每人至少有3份，有（ ）种分法A 55B 40C 50D 39二、填空。
（每小题4分，共20分）1、现有7本不同的书，要分给6个同学，且每位同学都要有书，有__________________种不同的分法2、设q 1, q 2,…… ,q n 是n 个正整数，如果将q 1+ q 2+…+q n －n ﹢1件东西放入n 个盒子里，则必存在一个盒子j 0，1≤j 0≤n ，使得第0j 个盒子里至少装有0j q 件东西，我们把该定理称为__________________。
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4.用组合分析或非降路径方法证明组合恒等式: n m n m n m m n L , 0 r 1 r 1 r 0 r n n n 2n L . 0 1 n n
六、从个,橘子数为偶数(包括 0 个),香蕉数为 6 的倍数(包括 0 个),哈密瓜数最多 5 个,问选法数.
七、某儿童乐园中有一个由 7 匹木马构成的旋转木马供儿童游玩。现欲用蓝、红、黄三种颜色涂这 7 匹木马，使成为 3 蓝、2 红、2 黄，求方案数．
2 2 2
6.证明组合恒等公式: .
四、设 A 、 B 为有限集，若映射 f 满足：对任意 b B ，存在 a A ，使 f a b ，则称 f 为满射． ⑴若 A 为 n 元集， B 为 k 元集，( n k ),求 A 到 B 的满射个数； ⑵当⑴中， n 6 ， k 3 时，求 A 到 B 的满射个数． 五、一个 1 n 的方格图形，用红、蓝、绿、橙四种颜色涂色，如果有奇数个方格被涂成红色，奇数 个方格被涂成蓝色，共有多少种方案．
1．证明： 在任意 给出的 n 1 (n 2) 个正整数中必有两个数，它们的差能被 n 整除。 2． 计算多项式 3x 2 y 4 z 的展开式中 x 6 yz 3 的系数。
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a 4an 1 4an 2 3． 求解递推关系式： n ． a0 1, a1 3