组合数学试题

《组合数学》期末试题（A ）姓名班级学号成绩一，把m 个负号和n 个正号排在一条直线上，使得没有两个负号相邻，问有多少种不同的排法。

二，在1和100之间既不是某个整数的平方，也不是某个整数的立方的数有多少个？三，边长为1的等边三角形内任意放10个点，证明一定存在两个点，其距离不大于1/3。

四，凸10边形的任意三条对角线不共点，试求(1)这凸10边形的对角线交于多少个点？(2)又把所有对角线分割成多少段？五，求和=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑k－（－）k+1111nk n k 六，求解递推关系--++=⎧⎨==⎩12016930,1n n n a a a a a 七，用红白蓝三种颜色对1×n 的方格涂色，每个方格只能涂一种颜色，如果要求偶数个方格涂成红色，问有多少种方法？八，用红、蓝二种颜色对1×n 的方格涂色，每个方格只能涂一种颜色，如果要求涂成红色的两个方格不能相邻，问有多少种方法？注，1-4、6题各15分，第5题10分，第7题8分，第八题7分。

北京邮电大学2005 ——2006 学年第1 学期《组合数学》期末试题答案一， (15)解： 由于正负号不能相连，故先将正号排好，产生n+1个空档。

--------5分则负号只能排在两个正号之间，这相当于从n+1个数中取m 个数的组合，故有---------10分1n m +⎛⎞⎜⎝⎠⎟种方式。

----15备注：若写出m>n+1时为0，m=n+1时为1，给5分二， （19分）解：设A 表示是1-100内某个数的平方的集合，则 |A|=10, -----4分设B 表示是1-100内某个数的立方的集合，则|B|=4, --8分 |A ∩B|=2, -----12分由容斥原理得100||||||100104288A B A B A ∩=−−+∩=−−+=B --------19分三， （15分）证明：将此三角形剖分成9个小的边长为1/3的等边三角形。

- ------5分由鸽巢原理，必有两点在某一个小三角形内，----12分 此时，这两点的距离不超过小三角形边长1/3。

从而得证。

-------15分四， （15分）解：（1）由于没有三条对角线共点，所以这凸多边形任取4点，组成的多边形内唯一的一个四边形，确定唯一一个交点，--5分 从而总的交点数为C(10,4)=210-------------10分（2）如图，不妨取顶点1，考察由1出发的对角线被其他对角线 剖分的总数。

不妨设顶点标号按顺时针排列，取定对角线1 i一个在右侧，则与对角线1i 相交的其他对角线必定一个顶点在左侧，于是，这种交点总数为（10-i ）(i-2) --- 1分 从而此对角线被剖分成（10-i ）(i-2)+1段 ----2从而由顶点1出发的所有对角线被分割成的小段总数为 -----4分从而全体对角线被分割的小段总数为：93((10)(2)1)91j i i =−−+=∑10914552×=条 ----- 5分五， （6分）解：原式=11111111111==⎛⎞+⋅⎜⎟+⎝⎠+⎛⎞=⎜⎟++⎝⎠∑∑nk n k n n k n n k n k－k+1（－）k+1（－）11011(11111)1011(111(0)11=−+=)+⎛⎞=⎜⎟++⎝⎠++⎛⎞⎛⎞+−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠+⎛⎞=+⎜⎟+⎝⎠=+=++∑∑n k n k k n k n n n n n k n n n n n k+1（－）（－）------- 6分六， （15分）解：对应齐次递推关系的特征方程为x 2+6x+9=0 特征根x 1=x 2=-3,所以齐次递推关系的通解为a n =(k 1+k 2n)(-3)n ---- 5分设特解为C ，则C+6C+9C=3 ------- 7分所以 C=3/16, 所以通解为a n =3/16 +(k 1+k 2n)(-3)n-------10分由初始条件可得：3/16 +k 1 =0，⇒ k 1 =-3/163/16 +(k 1+k 2)(-3)=1⇒ k 2 =-1/12所以n n 313a ()(3)161216=−+−+-------15分七， （8分）解：设a n 表示涂色的方案数，定义a 0=1，则{a n }的指数型母函数为24212223000()(1......)2!4!2!(1......)1!2!!11()()2211(3)(31)2!!2ne nx x x x x n n n n n n n x x x f x n x x x n e e e e e !nx x x n n −∞∞∞====+++++⋅+++++=+⋅=+=+=+∑∑∑n -----4分 所以 1(31)2n n a =+---------8分 另外，直接由组合方法求得结果为20312 (1)22⎡⎤⎣⎦−=⎛⎞+⋅=≥⎜⎟⎝⎠∑n n n k k n n k 亦可。

八， （7分）解：设a n 表示涂色的方案数，考察第一个方格的染色方案，若染红色，则下一个必须染蓝色，于是剩下的方格染色方案数恰为a n-2,若第一个方格染蓝色，则剩下的方格染色方案数恰为a n-1,由加法原理，我们建立如下递推关系：a n =a n-1+a n-2 --------- 3分确定初始条件:显然，对一个方格有两种方案，对两个方格有3种方案：第一个红第二个蓝色，第一个蓝第二个红色，二个都是蓝色，即 a 1=2, a 2=3 ------4分 求解此递推关系，实际上它是斐波那契数列F n+1， 特征方程为,解得特征根为012=−−x x 251,251−=+=βα 得通解为,于是有n n n k k a βα21+=⎩⎨⎧+=+=22212132βαβαk k k k 则10535,1053521−=+=k k 从而 n n n a βα1053510535−++=--------7分 另外，若直接由组合方法求得1201n n k n k a k +⎢⎥⎣⎦=−+⎛⎞=⎜⎟⎝⎠∑亦对。

注：由于组合问题求解方法众多，不一一列出。

北京邮电大学2005——2006学年第1学期《组合数学》期末试题(计算机院)姓名班级学号成绩一，有颜色不同的4盏灯。

（20分）（1）把它们按不同的顺序全部挂在灯杆上表示信号，共有多少种不同的信号？（2）每次使用一盏、二盏、三盏或四盏按一定的次序挂在灯杆上表示信号，共有多少种不同的信号？（3）在(2)中如果信号与灯的次序无关，共有多少种不同的信号？二，（1）在边长为1的等边三角形内任意放5个点，证明一定存在两个点，其距离不大于1/2。

而放4个点则结论不成立。

（2）由此推广，确定最小的m(n),使当放m(n)点在边长为1的等边三角形内时其中必有两点的距离不大于1/n （20分）三，把m 个负号和n 个正号排在一条直线上，使得没有两个负号相邻，问有多少不同的排法。

（15分）四，求解递推关系---+=⎧⎨==⎩12013214,6n n n a a a a a （15分）五，在1和10000之间不能被4、5和6整除的数有多少个？（15分）六，用红白2种颜色对1×n 的方格涂色，每个方格只能涂一种颜色，如果要求偶数个方格涂成白色，问有多少种方法？（8分）七，用红、蓝二种颜色对1×n 的方格涂色，每个方格只能涂一种颜色，如果要求涂成红色的两个方格不能相邻，问有多少种方法？（7分）北京邮电大学2005 ——2006 学年第1学期 《组合数学》期末试题答案(计算机院)一， （20分）解: (1)由于颜色不同,这相当于[1,2,3,4]上的一个全排列,从而有4!=24种不同的信号…….6分(2)由于可以使用的灯盏数可以不同,从而由(1)我们有 种不同信号…….8分6444342414=+++P P P P (3),这里,信号与灯的次序无关,从而是一个组合问题,与(2)类似不同的信号种类有种不同的信号.1544342414=+++C C C C --------6分二， （（20分）解: (1)将此三角形剖分成4个小的边长为1/2的边三角形。

--4分 由鸽巢原理，必有两点在某一个小三角形内，此时，这两点的距离不超过1/2.----10分但若将4个点放入则不行,实际上只要在三角形中心放一个点,在三个顶点附近各放一个点即可,如图.------15分(2),由此推广,将此三角形剖分成n 个小的边长为1/n 的等边三角形。

将个点放入此三角形中,由鸽巢原理，必有两点在某一个小三角形内，此时，这两点的距离不超过1/n------5分 2n三， （15分）解： 由于正负号不能相连，故先将正号排好，产生n+1个空档。

--------5分则负号只能排在两个正号之间，这相当于从n+1个数中取m 个数的组合，故有---------10分1n m +⎛⎞⎜⎝⎠⎟种方式。

----15备注：若写出m>n+1时为0，m=n+1时为1，给5分四， （15分）解: 对应齐次递推关系的特征方程为x 2-3x+2=0 -------3分 特征根x 1=2,x 2=1,所以齐次递推关系的通解为a n =k 1+k 22n ---- 5分由于1是特征根,所以设特解为Cn ，则C n-3C(n-1)+2C(n-2)=1 …….. 7分所以 C=-1, 所以通解为a n =- n +k 1+k 22n-------10分由初始条件可得：k 1 +k 2 =4，k 1+2k 2-1=6解得k 1 =1, k 2 =3.所以a n =- n +1+3·2n -------15分五， （15分）解：用A,B,C 分别表示1-10000之间被4，5和6整除的数的集合。

于是由容斥原理问题是求|A B C |∩∩。

----2分100001000010000|A |2500,|B |2000,|C |1666,4561000010000|A B |500,|A C |833,45431000010000|C B |333,|A B C |166,65453⎡⎤⎡⎤⎡⎤======⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥××⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥×××⎣⎦⎣⎦∩∩∩∩∩ --------10分|A B C |10000(|A ||B ||C |)(|A B ||A C ||B C |)|A B C |10002500200016665008333331665334=−+++++−=−−−+++−=∩∩∩∩∩∩∩ ---------15分六， （8分）解：设a n 表示涂色的方案数，定义a 0=1，则{a n }的指数型母函数为2421220()(1......)2!4!2!(1......)1!2!!11()(1)221(21)2!−∞==+++++⋅+++++=+⋅=+=+∑ne nx x x x nn n x x x f x n x x x n e e e e x n -------3分 所以 12 (1)−=≥n n a n ---------8分注：若规定偶数不含0，则12-1 (1)−=≥n n a n 。