八年级因式分解的四种方法
因式分解法的四种方法
因式分解法的四种方法
因式分解法的四种方法:提公因式法、分组分解法、待定系数法、十字分解法等等。
1、如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
2、分组分解法指通过分组分解的方式来分解提公因式法和公式分解法无法直接分解的因式，分解方式一般分为"“1+3"式和"2+2"式。
3、待定系数法是初中数学的一个重要方法。
用待定系数法分解因式，就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值。
4、十字分解法的方法简单来讲就是:十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
其实就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解。
八年级数学上册_因式分解的方法
2 2 x 4 xy 4 y 2x 4 y 3 (7)
(1)原式= a 2 4a 4 b 2 2b 1
(a 2) 2 (b 1) 2 (a b 1)(a b 3)
（2）原式 = x2 5 xy 6 y 2 ( x 3 y )
(8) ( x y 2xy)(x y 2) ( xy 1)2 (9) ( x4 x 2 4)(x 4 x 2 3) 10 (10) a4 64b 4 3 x(11) 2 x 2 5x 6 a 4(12) 2a3b 3a 2b2 2ab3 b4 (13)证明恒等式： a 4 b4 (a b)4 2(a 2 ab b2 )2
(2 x 1) 2 ( y 2) 2 (2 x y 3)(2 x y 1)
方法六、拆项、添项法
因式分解是多项式乘法的逆运算。在多 项式乘法运算时，整理、化简将几个同 类项合并为一项，或将两个仅符号相反 的同类项相互抵消为零。在对某些多项 式分解因式时，需要恢复那些被合并或 相互抵消的项，即把多项式中的某一项 拆成两项或多项，或者在多项式中添上 两个仅符号相反的项，前者称为拆项， 后者称为添项。
方法五、分组分解法
（1）形如：am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn) =a(m+n)+b(m+n) =(a+b)(m+n) (2)形如： x2 y2 2x 1
( x 2 2 x 1) y 2 ( x 1) 2 y 2 ( x y 1)(x y 1)
例题1：如果
因式分解法的四种方法
因式分解法的四种方法因式分解是代数学中的一个重要概念，它在解方程、简化表达式、求极限等方面都有着重要的应用。
在因式分解法中，有四种常见的方法，分别是公因式提取法、分组分解法、换元法和特殊因式分解法。
下面我们将逐一介绍这四种方法的原理和应用。
首先，公因式提取法是因式分解中最基本的方法之一。
当一个多项式中的各项有一个公共因子时，可以利用公因式提取法进行因式分解。
例如，对于多项式2x+4xy，我们可以提取公因式2x，得到2x(1+2y)。
这种方法在简化表达式时非常常见，也是其他因式分解方法的基础。
其次，分组分解法是一种常用的因式分解方法。
当一个多项式中含有四项或更多项时，可以尝试将其分成两组，然后分别提取公因式。
例如，对于多项式x^2+2xy+3x+6y，我们可以将其分成x^2+2xy和3x+6y两组，然后分别提取公因式x(x+2y)和3(x+2y)，最终得到(x+2y)(x+3)。
这种方法在解方程和简化复杂多项式时非常实用。
第三种方法是换元法，也称为代换法。
在一些特殊的多项式中，可以通过适当的换元来进行因式分解。
例如，对于多项式x^2+2x+1，我们可以令t=x+1，然后将多项式转化为t^2，最终得到(t+1)^2。
这种方法在一些特殊的多项式中非常有效，可以大大简化因式分解的过程。
最后，特殊因式分解法是一些特殊形式的多项式的因式分解方法。
例如，完全平方公式、差几何公式、和差立方公式等都属于特殊因式分解法的范畴。
这些特殊形式的多项式在因式分解时有着固定的公式和规律，掌握这些特殊因式分解法可以大大提高因式分解的效率。
总的来说，因式分解法的四种方法各有其特点，可以根据具体的多项式形式来选择合适的方法进行因式分解。
在学习和应用因式分解法时，需要多加练习，熟练掌握各种方法的原理和技巧，以便能够灵活运用于解决各种代数问题。
希望本文对因式分解法的四种方法有所帮助，谢谢阅读！。
【初中数学】因式分解的九种方法
【初中数学】因式分解的九种方法一、运用公式法我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。
如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。
于是有：a -b =(a+b)(a-b)a +2ab+b =(a+b)a -2ab+b =(a-b)如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。
这种分解因式的方法叫做运用公式法。
二、平方差公式1、式子：a -b =(a+b)(a-b)2、语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
这个公式就是平方差公式。
三、因式分解1.因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。
2.因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。
四、完全平方公式1、把乘法公式(a+b) =a +2ab+b 和(a-b) =a -2ab+b 反过来，就可以得到： a +2ab+b =(a+b) 和a -2ab+b =(a-b) ，这两个公式叫完全平方公式。
这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方。
把a +2ab+b 和a -2ab+b 这样的式子叫完全平方式。
2、完全平方式的形式和特点：①项数：三项；②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同；③有一项是这两个数的积的两倍。
3、当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。
4、完全平方公式中的a、b可表示单项式，也可以表示多项式。
这里只要将多项式看成一个整体就可以了。
5、分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。
五、分组分解法我们看多项式am+an+bm+bn，这四项中没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式。
如果我们把它分成两组(am+an)和(bm+bn)，这两组能分别用提取公因式的方法分别分解因式。
原式=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)做到这一步不叫把多项式分解因式，因为它不符合因式分解的意义。
八年级因式分解法的四种方法
八年级因式分解法的四种方法在八年级数学课程中，因式分解是一个重要的内容。
下面我将介绍四种常见的因式分解方法，希望能够满足你的需求。
1. 公因式提取法：公因式提取法是最常见的因式分解方法之一。
它适用于多项式中存在公共因子的情况。
首先，找出多项式中的公因式，然后将这个公因式提取出来，剩下的部分进行简化。
例如，对于多项式2x^2 + 4x，可以提取公因式2x，得到2x(x + 2)。
2. 完全平方公式：完全平方公式是因式分解中常用的方法之一，适用于形如a^2 + 2ab + b^2或a^2 2ab + b^2的多项式。
利用完全平方公式，我们可以将这些多项式分解成两个平方的和或差。
例如，对于多项式x^2 + 6x + 9，可以将其分解为(x + 3)^2。
3. 分组分解法：分组分解法适用于四项式中存在两对互补的项的情况。
首先，将四项式中的项进行分组，然后在每个组内进行因式分解，最后再进行合并。
例如，对于多项式x^3 + 2x^2 + 3x + 6，可以将其分组为(x^3 + 2x^2) + (3x + 6)，然后在每个组内进行因式分解，得到x^2(x + 2) + 3(x + 2)，最后合并得到(x^2 + 3)(x + 2)。
4. 平方法：平方法适用于三项式中存在平方项和线性项的情况。
它的思路是将三项式中平方项的系数和线性项的系数相乘，然后找到一个数使得它的平方等于这个乘积，然后利用这个数进行分解。
例如，对于多项式x^2 + 5x + 6，我们可以将5乘以6得到30，找到一个数使得它的平方等于30，即5，然后将多项式分解为(x + 2)(x + 3)。
这些是八年级常见的因式分解方法，每种方法都适用于不同的多项式形式。
在实际应用中，可以根据多项式的特点选择合适的因式分解方法。
希望这些解释能够帮助你更好地理解因式分解的方法。
因式分解的常用方法
因式分解的常用方法因式分解是数学中常用的一种方法，它是将一个复杂的表达式或多项式分解成更简单的因子的过程。
因式分解在代数、方程、不等式等数学问题的解题中经常出现。
下面将介绍因式分解的常用方法。
一、公因式提取法公因式提取法是指在多项式中提取出公共的因式，然后将剩余的部分进行因式分解。
例如：1.3x+6y可以提取出公因子3，得到3(x+2y)。
2.4x^2+8x可以提取出公因子4x，得到4x(x+2)。
二、配方法配方法也被称为乘法公式法，它适用于二次型的因式分解。
当二次型为(ax+b)^2形式时，常采用配方法进行分解。
配方法的步骤如下：1. 将二次型展开为(ax+b)^2的形式，即去掉开头的系数和常数项；2. 将二次型写成(a^2x^2+2abx+b^2)的形式；3.因式分解成(a*x+b)^2的形式，即加法的平方。
例如：1.x^2+6x+9可以写成(x+3)^2的形式。
2.4x^2+12x+9可以写成(2x+3)^2的形式。
三、辗转相除法辗转相除法也是因式分解中常用的方法，它适用于多项式的因式分解和整除。
辗转相除法的步骤如下：1.对多项式进行约去常因子；2.将多项式按照次数从高到低进行排列；3.用低次多项式除以高次多项式，得到商和余数；4.如果余数为0，则表示能整除，否则继续用余数进行除法；5.将多项式的因式写成约去的常因子与商的乘积的形式；例如：1.x^2+2x+1可以通过辗转相除法整除(x+1)，得到商为x+12.3x^3-2x^2+3x+4可以通过辗转相除法整除(3x-2)，得到商为x^2+x+2四、根式分解法根式分解法适用于含有平方根或立方根的表达式因式分解。
根式分解法的步骤如下：1.提取出平方根或立方根；2.将根式进行化简；3.根据提取出的根式与原表达式进行乘法、加法运算；4.将原表达式分解成根式与其他因子的乘积的形式；例如：1.x^2+8x+16可以分解为(x+4)^22. x^3+y^3 可以分解为(x+y)(x^2-xy+y^2)。
八年级因式分解的四种方法
一对一个性化辅导讲义学科：数学任课教师：授课时间：年月日(星期 )3.因式分解(公式法):(1) 4x2-9；解：原式二(2) 16x2 + 24x + 9 ； 解：原式二(3) -4x2 + 4xy -y2 ；解：原式二 (4) 9(m + n)2 - (m - n)2 ； 解：原式二1.下列由左到右的变形，是因式分解的是 ________________ .①-3x2y2 --3-X2 - y2 ； (2)((2 + 3)(〃 - 3) = "2 一9 ； ④ 2mR + 2mr = 2m(R + r)；③ “2 — Z?2 +1 = (〃 + b)(a -Z?) + l ； (S)x2 -xy + x = x(x - y);⑦尸4y + 4 = (y-2)2.2.因式分解(提公因式法)：(1) 12a2b - 24ab2 + 6ab ；解：原式二- 4 = (m + 2)(m - 2)； (2)一“3 — a2 + Cl ； 解：原式二 (3) (a-Z?)(m + l)-(Z?-a)(M-l);解：原式二⑷ x(x-y)2-y(y-x)2 ；解：原式二(5 ) Xm + Xm-1 . 解：原式二(5)(x + 3y)2 -2(x + 3y)(4x-3y) + (4x-3y)2 ；解：原式二(6) x2(2x-5) + 4(5 -2x)；解：原式二(7) -8ax2 +16axy - 8ay2 ；(8) x4 - y4 ；解：原式二解：原式二(9) a4 -2a2 +1 ；(10) (a2 + b2)2 -4a2b2.解：原式二解：原式二4.因式分解（分组分解法）：(1) 2ax -10ay + 5by - bx；(2) m2 —5m一mn +5n；解：原式二解：原式二(3) 1 -4a2 -4ab-b2 ；(4) a2 + 6a + 9-9b2 ；解：原式二解：原式二♦【典型例题】因式分解(十字相乘法)：(1) x 2 + 4 x + 3 ；解：原式二(2) x2 + x一6 ；解：原式二(3) -x2 + 2x + 3 ；解：原式二(4) 2x2 + x-1 ；解：原式二(5) 3x2 + xy -2y2 ；解：原式二(6) 2x2 +13xy +15y2 ；解：原式二【巩固练习】1.因式分解(分组分解法)：(1)9 ax 2 + 9 bx 2 - a一b；解：原式二(2) a2 -2a + 4b-4b2. 解：原式二2.因式分解(十字相乘法):(1)x 3 - 2 x 2 - 8 x；解：原式二33) x4 -6x2 -27 . 解：原式二(2) x4 一7x2 +12 ；解：原式二三、随堂检测用适当的方法因式分解:(1) (2a一b)2 + 8ab；解：原式二(2) x2 - 2xy + y2 - 2x + 2y +1.解：原式二四、课堂小结五、课后作业用适当的方法因式分解：(1) a 2 - 8 ab +16b 2一c2 ；解：原式二(2) 4xy2 -4x2y- y3 ；解：原式二(3) 2(a -1)2 -12(a-1) +16 ；(4) (x +1)(x + 2) -12 ；解：原式二解：原式二因式分解拓展提高板块一：因式分解知识回顾1、列式子从左边到右边的变形中是分解因式的是( )A. x2 - x + 2 = x(x -1)+ 2 C. x2 -1 =(x + 1)Q -1)B. (a +b)aD. x -1 = x-b)=(.(1 \1 -72-b 2提公因式法一形如ma+mb+mc=m(a+b+c)分解因式：(1) 2a2bc2 + 8ac2 -4abc(2) m(m + n)3 + m(m + n)2 一m(m + n)(m 一n)运用公式法一平方差：a2 - b2 = (a + b)(a - b)完全平方公式：a2 土2ab+b2 = (a土b)2(1) a8 -1 (2) 4a2 +12ab + 9b2(3) 16(2m + n)2 一8n(2m + n) + n2 (4)(x2 + 4y2)2-16x2y2十字相乘法：x 2 + (p + q) x + pq = (x + p)(x + q)(1) x2 + 3x + 2 (2) 6a4 + 11a2b2 + 3b2 (3) x2 -(2m + 1)x + m2 + m - 2分组分解法：分组后能提取公因式，分组后能直接运用公式分解因式(1)3ax+4by+4ay+3bx (2)4x2 -4x- y2 + 4y-3板块二：综合应用例 1 ① x (x -1) + y (y +1) - 2 xy②(xy -1)2 + (x + y - 2)( x + y - 2 xy)③(x+y)(x+y+2xy)+(xy+1) (xy-1)例 2 x 3 - 3 x 2 + 4 x 3+6 x 2 +11 x + 6板块三：实际应用例3求证：一个三位数的百位数字与个位数字交换后，得到的数与原数之差能被99整除。
初二下册因式分解公式法、十字相乘法
因式分解的常用方法第一部分：方法介绍提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法． 一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.【知识要点】1．运用公式法：如果把科法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。
2．乘法公式逆变形（1）平方差公式：))((22b a b a b a -+=-（2）完全平方公式：222222)(2,)(2b a b ab a b a b ab a -=+-+=++ 3．把一个多项式分解因式，一般可按下列步骤进行： （1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；（2）如果多项式没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解； （3）如果上述方法不能分解，那么可以尝试用。
思维导航：运用公式法是分解因式的常用方法，运用公式法分解因式的思路主要有以下几种情况： 一、直接用公式:当所给的多项式是平方差或完全平方式时，可以直接利用公式法分解因式。
例1、 分解因式：（1）x 2-9 （2）9x 2-6x+1二、提公因式后用公式:当所给的多项式中有公因式时，一般要先提公因式，然后再看是否能利用公式法。
例2、 分解因式：（1）x 5y 3-x 3y 5 （2）4x 3y+4x 2y 2+xy 3三、系数变换后用公式:当所给的多项式不能直接利用公式法分解因式,往往需要调整系数,转换为符合公式的形式,然后再利用公式法分解.例3、 分解因式：(1)4x 2-25y 2 (2)4x 2-12xy 2+9y 4四、指数变换后用公式:通过指数的变换将多项式转换为平方差或完全平方式的形式,然后利公式法分解因式,应注意分解到每个因式都不能再分解为止.例4、 分解因式:(1)x 4-81y 4 (2)16x 4-72x 2y 2+81y 4五、重新排列后用公式:当所给的多项式不能直接看出是否可用公式法分解时，可以将所给多项式交换位置，重新排列，然后再利用公式。
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（1）提公因式法
需要注意三点：
①___________________________；
②___________________________；
③___________________________．
（2）公式法
两项通常考虑_____________，三项通常考虑_____________．
（9） ；（10） ．
解：原式=解：原式=
4.因式分解（分组分解法）：
（1） ；（2） ；
解：原式=解：原式=
（3） ；（4） ；
解：原式=解：原式=
◆【典型例题】
因式分解（十字相乘法）：
（1） ；（2） ；
解：原式=解：原式=
（3） ；（4） ；
解：原式=解：原式=
（5） ；（6） ；
解：原式=解：原式=
十字相乘法：
(1) (2) (3)
分组分解法：分组后能提取公因式，分组后能直接运用公式
分解因式（1）3ax+4by+4ay+3bx（2）
板块二：综合应用
例1 ①
②
③
例2
板块三：实际应用
例3求证：一个三位数的百位数字与个位数字交换后，得到的数与原数之差能被99整除。
例4已知 ，求 的值.
例5已知：a、b、c为△ABC的三边，
十字相乘法常用于二次三项式的结构，其原理是：
3.因式分解是有顺序的，记住口诀：“_____________________”；因式分解是有范围的，目前我们是在______范围内因式分解．
二、新课讲解
1.下列由左到右的变形，是因式分解的是________________．
① ；② ；
③ ；④ ；
⑤ ；⑥ ；
【巩固练习】
1.因式分解（分组分解法）：
（1） ；（2） ．
解：原式=解：原式=
2.因式分解（十字相乘法）：
（1） ；（2） ；
解：原式=解：原式=
（3） ．
解：原式=
三、随堂检测
用适当的方法因式分解：
（1） ；
解：原式=
（2） ．
解：原式=
四、课堂小结
五、课后作业
用适当的方法因式分解：
（1） ；（2） ；
（1）若满足ABC的形状.
签
字
学生签字：
教学组长签字：
⑦ ．
2.因式分解（提公因式法）：
（1） ；（2） ；
解：原式=解：原式=
（3） ；
解：原式=
（4） ；（5） ．
解：原式=解：原式=
3.因式分解（公式法）：
（1） ；（2） ；
解：原式=解：原式=
（3） ；（4） ；
解：原式=解：原式=
（5） ；
解：原式=
（6） ；
解：原式=
（7） ；（8） ；
解：原式=解：原式=
一对一个性化辅导讲义
学科：数学 任课教师： 授课时间：年 月 日(星期 )
姓名
年级
八年级
学校
中
第 课
教师
寄语
课题
因式分解的四种方法
重点
因式分解的四种方法
难点
因式分解的四种方法
教
学
过
程
一、知识回顾
1.__________________________________________叫做把这个多项式因式分解．
运用公式法的时候需要注意两点：
①___________________________；
②___________________________．
（3）分组分解法
多项式项数比较多常考虑分组分解法，首先找____________，然后再考虑____________或者_____________．
（4）十字相乘法
解：原式=解：原式=
（3） ；（4） ；
解：原式=解：原式=
因式分解拓展提高
板块一：因式分解知识回顾
下列式子从左边到右边的变形中是分解因式的是（ ）
A. B.
C. D.
提公因式法——形如ma+mb+mc=m(a+b+c)
分解因式：（1） （2）
运用公式法——平方差：
完全平方公式：
（1） (2) (3) (4)