[考研类试卷]考研数学三(线性代数)模拟试卷17.doc
考研试题(线性代数部分)
05年一、选择题（１１）设12,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别是12,αα，则112,()A ααα+线性无关的充分必要条件是（ ）。
（A ）10λ≠（B ）20λ≠ （C ）10λ=（D ）20λ=（１２）设A 为ｎ(2)n ≥阶可逆矩阵，交换Ａ的第一行与第二行得到矩阵B ，**,A B 分别是矩阵A ，B 的伴随矩阵，则（ ）。
（A ）交换*A 的第一列与第二列得*B （B ）交换*A 的第一行与第二行得*B （C ）交换*A 的第一列与第二列得－*B （D ）交换*A 的第一行与第二行得－*B 二、填空题（５）设123,,ααα是三维列向量，记矩阵123(,,)A ααα=，123123123(,24,39)B ααααααααα=++++++，如果1A =，则B = 。
三、解答题（２０）已知二次型22221231312(,,)(1)(1)22(1)f x x x a x a x x a x x =-+-+++的秩为２．①求a 的值；②求正交变换X QY =，把二次型123(,,)f x x x 化成标准形；③求方程123(,,)0f x x x =的解．（２１）已知３阶矩阵A 的第一行是(,,)a b c ，,,a b c 不全为零，矩阵12324636B k ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（k 为常数），且0AB =，求线性方程组0AX =的通解．06年一、选择题（11）设12,,,,a a a 均为n 维列向量，A 是m n ⨯矩阵，下列选项正确的是 （A ）若12,,,,a a a 线性相关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关. （B ）若12,,,,a a a 线性相关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关.（C ）若12,,,,a a a 线性无关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关.（D ）若12,,,,a a a 线性无关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关. 【 】（12）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的－1倍加到第2列得C ，记110010001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（A ）1C P AP -= （B ）1C PAP -= （C ）TC P AP = （D ）TC PAP = 【 】 二、填空题（4）点(2,1,0)到平面3450x y z ++=的距离z = ． （数一）（4）已知12,a a 为2维列向量，矩阵1212(2,)A a a a a =+-，12(,)B a a =。
考研数学三(线性代数)模拟试卷120(题后含答案及解析)
考研数学三（线性代数）模拟试卷120(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设A，B，A＋B，A－1＋B－1皆为可逆矩阵，则(A－1＋B－1)－1等于( )．A．A＋BB．A－1＋B－1C．A(A＋B)－1BD．(A＋B)－1正确答案：C解析：A(A＋B)－1B(A－1＋B－1)＝[(A＋B)A－1]－1(BA－1＋E)＝(BA－1＋E)－1(BA－1＋E)＝E，选(C)．知识模块：线性代数2．设则m，n可取( )．A．m＝3，n＝2B．m＝3，n＝5C．m＝2，n＝3D．m＝2，n＝2正确答案：B解析：P1mAP2n＝经过了A的第1，2两行对调与第1，3两列对调，P1＝＝E13，且Eij2＝E，P1mAP2n＝P1AP2，则m＝3，n＝5，选(B)．知识模块：线性代数3．设A＝(α1，α2，…，αm)，其中α1，α2，…，αm是n维列向量，若对于任意不全为零的常数k1，k2，…，km，皆有k1α1＋k2α2＋…＋kmαm ≠0，则( )．A．m＞nB．m＝nC．存在m阶可逆阵P，使得AP＝D．若AB＝O，则B＝O正确答案：D解析：因为对任意不全为零的常数k1，k2，…，km，有k1α1＋k2α2＋…＋kmαm≠0，所以向量组α1，α2，…，αm线性无关，即方程组AX＝0只有零解，故若AB＝O，则B＝O，选(D)．知识模块：线性代数4．设α1，α2，…，αM与β1，β2，…，βs为两个n维向量组，且r(α1，α2，…，αm)＝r(β1，β2，…，βs)＝r，则( )．A．两个向量组等价B．r(α1，α2，…，αm，β1，β2，…，βs)＝r．C．若向量组α1，α1…，αm可由向量组β1，β2，…，βs线性表示，则两向量组等价D．两向量组构成的矩阵等价正确答案：C解析：不妨设向量组α1，α2，…，αm的极大线性无关组为α1，α2，…，αr，向量组β1，β2，…，βs的极大线性无关组为β1，β2，…，βr，若α1，α2，…，αm可由β1，β2，…，βs线性表示，则α1，α2，…，αr，也可由β1，β2，…，βαr，线性表示，若β1，β2，…，βr，不可由α1，α2，…，αr，线性表示，则β1，β2，…，βs也不可由α1，α2，…，αm线性表示，所以两向量组秩不等，矛盾，选(C)．知识模块：线性代数5．设A为m×n阶矩阵，则方程组AX＝b有唯一解的充分必要条件是( )．A．r(A)＝mB．r(A)＝nC．A为可逆矩阵D．r(A)＝n且b可由A的列向量组线性表示正确答案：D解析：方程组AX＝b有解的充分必要条件是b可由矩阵A的列向量组线性表示，在方程组AX＝b有解的情形下，其有唯一解的充分必要条件是r(A)＝n，选(D)．知识模块：线性代数6．设A为n阶矩阵，下列结论正确的是( )．A．矩阵A的秩与矩阵A的非零特征值的个数相等B．若A～B，则矩阵A与矩阵B相似于同一对角阵C．若r(A)＝r＜n，则A经过有限次初等行变换可化为D．若矩阵A可对角化，则A的秩与其非零特征值的个数相等正确答案：D解析：(A)不对，如A＝，A的两个特征值都是0，但r(A)＝1；(B)不对，因为A～B不一定保证A，B可以对角化；(C)不对，如A＝，A经过有限次行变换化为，经过行变换不能化为；因为A可以对角化，所以存在可逆矩阵P，使得P －1AP＝，于是r(A)＝，故选(D)．知识模块：线性代数填空题7．设A为n阶矩阵，且｜A｜＝a≠0，则｜(kA)*｜＝______．正确答案：kn(n－1)an－1解析：因为(kA)*＝kn－1A*，且｜A*｜＝｜A｜n－1，所以｜(kA)*｜＝｜kn－1A*｜＝kn(n－1)｜A｜n－1＝kn(n－1)an－1．知识模块：线性代数8．设A＝，B≠O为三阶矩阵，且BA＝O，则r(B)＝______．正确答案：1解析：BA＝Or(A)＋r(B)≤3，因为r(A)≥2，所以r(B)≤1，又因为B≠O，所以r(B)＝1．知识模块：线性代数9．设三阶矩阵A的特征值为λ1＝－1，λ2＝，λ3＝其对应的特征向量为α1，α2，α3，令P＝(2α3,－3α1，－α2)，则P－1(A－1＋2E)P＝______．正确答案：解析：P－1(A－1＋2E)P－1A－1P＋2E，而P－1A－1P＝，所以P－1(A－1＋2E)P＝知识模块：线性代数10．设A＝有三个线性无关的特征向量，则a＝______．正确答案：0解析：由｜λE－A｜＝0得A的特征值为λ1＝－2，λ2＝λ3＝6．因为A 有三个线性无关的特征向量，所以A可以对角化，从而r(6E－A)＝1，解得a＝0．知识模块：线性代数解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
22数三考研真题试卷
22数三考研真题试卷由于我无法生成实际的考研真题试卷，但我可以提供一个模拟的数学三考研真题试卷的大致结构和内容。
请注意，以下内容是虚构的，仅用于示例。
数学三考研模拟真题试卷一、选择题（共10题，每题4分，共40分）1. 函数\( f(x) = x^2 - 4x + 4 \)的最小值是（）A. 0B. 1C. 4D. -42. 极限\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \)的值是（）A. 0B. 1C. 2D. 无穷大3. 以下哪个选项不是连续函数？（）A. \( y = x^2 \)B. \( y = |x| \)C. \( y = \frac{1}{x} \)D. \( y = \sin x \)4. 以下哪个选项是可导函数？（）A. \( y = x^2 \)B. \( y = x^3 \)C. \( y = |x| \)D. \( y = \frac{1}{x} \)（x≠0）5. 以下哪个选项是原函数？（）A. \( \int x^2 dx \)B. \( \int \frac{1}{x} dx \)C. \( \int \sin x dx \)D. \( \int e^x dx \)6. 以下哪个选项是微分方程\( y'' - y' - 6y = 0 \)的解？（）A. \( y = e^x \)B. \( y = e^{-x} \)C. \( y = e^{3x} \)D. \( y = e^{-3x} \)7. 以下哪个选项是线性代数中的正交矩阵？（）A. \( A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \)B. \( A = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \)C. \( A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \)D. \( A = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \)8. 以下哪个选项是概率论中的独立事件？（）A. 连续抛掷两次硬币，第一次和第二次都是正面B. 一个骰子连续掷两次，第一次是1，第二次是2C. 一个袋子里有红球和蓝球，第一次摸到红球不放回去，第二次摸到红球D. 一个袋子里有红球和蓝球，第一次摸到红球放回去，第二次摸到红球9. 以下哪个选项是统计学中的总体平均数？（）A. 样本平均数B. 总体中所有数据的总和除以总体大小C. 样本中所有数据的总和除以样本大小D. 总体中数据的中位数10. 以下哪个选项是多元函数偏导数的几何意义？（）A. 函数在某一点的切线斜率B. 函数在某一点的法线方向C. 函数在某一点的变化率D. 函数在某一点的曲率二、填空题（共5题，每题4分，共20分）1. 若\( \int_{0}^{1} f(x) dx = 2 \)，则\( \int_{0}^{1} x f(x) dx = \) _______。
2023数三考研真题试卷
2023数三考研真题试卷数三考研真题试卷是针对中国高等教育中数学三科目的模拟考试材料，通常包含高等数学、线性代数、概率论与数理统计等部分。
以下是一份模拟的2023年数三考研真题试卷内容：一、选择题（每题4分，共40分）1. 函数\( f(x) = x^2 - 4x + 4 \)的最小值出现在哪个点？A. \( x = 0 \)B. \( x = 2 \)C. \( x = 4 \)D. \( x = -2 \)2. 已知矩阵\( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，求矩阵\( A \)的行列式。
A. 2B. 4C. -2D. -43. 设随机变量\( X \)服从正态分布\( N(0, 1) \)，求\( P(X > 1) \)。
A. 0.1587B. 0.3173C. 0.8413D. 0.6827...（此处省略其他选择题）二、填空题（每题4分，共20分）1. 若\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)，则\( \lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3} \)等于______。
2. 设\( A \)为\( n \times n \)的正交矩阵，证明\( \det(A) \)等于______。
...（此处省略其他填空题）三、解答题（每题15分，共40分）1. 证明：对于任意的正整数\( n \)，\( 1^3 + 2^3 + \cdots + n^3 = \left(\frac{n(n + 1)}{2}\right)^2 \)。
2. 给定函数\( f(x) = \ln(1 + x) \)，求其在区间\( [0, 1] \)上的最大值和最小值。
...（此处省略其他解答题）四、综合题（每题20分，共20分）1. 某工厂生产一种产品，其生产成本\( C(x) \)与生产量\( x \)之间的关系为\( C(x) = 10x + 30 \)，产品售价为\( p = 50 \)。
[考研类试卷]考研数学三(线性代数)模拟试卷127.doc
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22设A～B，
23求a，b；
24求可逆矩阵P，使得P-1AP=B．
24设 且A～B．
25求a；
26求可逆矩阵P，使得P-1AP=B．
26设 有三个线性无关的特征向量．
27求a；
28求A的特征向量；
29求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角阵．
15设
16证明A可对角化；
17求Am．
18设 有三个线性无关的特征向量，求x，y满足的条件．
19设A为n阶非零矩阵，且存在自然数k，使得Ak=0．证明：A不可以对角化．
20设A为三阶矩阵，Aα1=iαi(i=1，2，3)， 求A．
21设 的逆矩阵A-1的特征向量，求x，y，并求A-1对应的特征值μ．
[考研类试卷]考研数学三（线性代数）模拟试卷127
一、选择题
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1设A为n阶实对称矩阵，下列结论不正确的是( )．
（A）矩阵A与单位矩阵E合同
（B）矩阵A的特征值都是实数
（C）存在可逆矩阵P，使PAP-1为对角阵
（D）存在正交阵Q，使QTAQ为对角阵
2设n阶矩阵A与对角矩阵相似，则( )．
30 (1)设A，B为n阶矩阵，|λE—A|=|λE一B|且A，B都可相似对角化，证明：A～B．(2)设 矩阵A，B是否相似?若A，B相似，求可逆矩阵P，使得P-1AP=B．
（B）A-1+B-1
（，其中 则x=____________，y=_________．
6设A是三阶实对称矩阵，其特征值为λ1=3，λ2=λ3=5，且λ1=3对应的线性无关的特征向量为 则λ2=λ3=5对应的线性无关的特征向量为___________．
[考研类试卷]考研数学三(常微分方程与差分方程)模拟试卷17.doc
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[考研类试卷]考研数学三（常微分方程与差分方程）模拟试卷17一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1 方程y(4)一2y"'一3y"=e-3x一2e-x+x的特解形式是(其中a，b，c，d为常数) ( ) （A）axe-3x+bxe-x+cx3（B）ae-3x+bxe-x+cx+d（C）ae-3x+bxe-x+cx3+dx2（D）axe-3x+be-x+cx3+dx2 设线性无关的函数y1(x)，y2(x)，y3(x)均是方程y"+p(x)y’+q(x)y=f(x)的解，C1，C2是任意常数，则该方程的通解是 ( )（A）C1y1+C2y2+y3（B）C1y1+C2y2一(C1+C2)y3（C）C1y1+C2y2一(1一C1一C2)y3（D）C1y1+C2y2+(1一C1一C2)y33 函数(其中C是任意常数)对微分方程而言 ( )（A）是通解（B）是特解（C）是解，但既非通解也非特解（D）不是解4 微分方程y"一6y’+8y=e x+e2x的一个特解应具有的形式为(其中a，b为常数)( ) （A）ae x+be2x（B）ae x+bxe2x（C）axe x+be2x（D）axe x+bxe2x5 微分方程y"+2y’+2y=e-x sin x的特解形式为(其中A，B为常数) ( )（A）e-x(Acos x+Bsin x)（B）e-x(Acos x+Bx sin x)（C）xe-x(Acosx+Bsinx)（D）e-x(Axcosx+Bsinx)6 微分方程的通解是(其中C为任意常数)( )7 微分方程y"一4y’+4y=x2+8e2x的一个特解应具有形式(其中a，b，c，d为常数) ( ) （A）ax2+bx+ce2x（B）ax2+bx+c+dx2e2x（C）ax2+bx+cxe2x（D）ax2+(bx2+cx)e2x8 微分方程y"+y’+y=的一个特解应具有形式(其中a，b为常数)( )9 微分方程y"+2y’+y=sh x的一个特解应具有形式(其中a，b为常数) ( ) （A）ash x（B）ach x（C）ax2e-x+be x（D）axe-x+be x10 设f(x)连续，且满足f(x)=+ln 2，则f(x)= ( )（A）e x ln 2（B）e2x ln 2（C）e x+ln 2（D）e2x+ln 211 设f(x)，f’(x)为已知的连续函数，则方程y’+f’(x)y=f(x)f’(x)的通解是 ( ) （A）y=f(x)+Ce-f(x)（B）y=f(x)+1+Ce-f(x)（C）y=f(x)一C+Ce-f(x)（D）y=f(x)一1+Ce-f(x)12 微分方程y"一y=e x+1的一个特解应具有形式(其中a，b为常数) ( )（A）ae x+b（B）axe x+b（C）ae x+bx（D）axe x+bx13 微分方程(x＞0)满足y(1)=0的特解是( )14 设以下的A，B，C为某些常数，微分方程y"+2y’一3y=e x sin2x有特解形如 ( )（A）e x(A+Bcos 2x+Csin 2x)（B）e x(Ax+Bcos 2x+Csin 2x)（C）e x(A+Bx COS 2z+Cx sin 2z)（D）xe x(A+Bcos 2x+Csin 2x)15 已知y1=xe x+e2x和y2=xe x+e-x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的两个解，则此方程为 ( )（A）y"一2y’+y=e2x（B）y"一y’一2y=xe x（C）y"一y’一2y=e x一2xe x（D）y"一y=e2x二、填空题16 设y1=e x，y2=x2为某二阶齐次线性微分方程的两个特解，则该微分方程为________．17 微分方程y’+ytan x=cosx的通解为y=_______．18 微分方程y"一4y=e2x的通解为y=________．19 微分方程3e x tan ydx+(1一e x)sec2ydy=0的通解是_______．20 微分方程y'tan x=yln y的通解是_________．21 微分方程(6x+y)dx+xdy=0的通解是_______．22 微分方程的通解是_______．23 微分方程的通解是________．24 微分方程y"一7y’=(x—1)2由待定系数法确定的特解形式(系数的值不必求出)是_______.25 以y=cos 2x+sin 2x为一个特解的二阶常系数齐次线性微分方程是_______．26 微分方程的通解是________．27 微分方程(1一x2)y—xy’=0满足初值条件y(1)=1的特解是_______．28 微分方程y"一2y’=x2+e2x+1由待定系数法确定的特解形式(不必求出系数)是________.29 微分方程xdy—ydx=ydy的通解是______．30 以y=7e3x+2x为一个特解的三阶常系数齐次线性微分方程是________．三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三线性代数(向量)模拟试卷3(题后含答案及解析)
考研数学三线性代数（向量）模拟试卷3(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．现有四个向量组①(1，2，3)T，(3，一l，5)T，(0，4，一2)T，(1，3，0)T；②(a，l，b，0，0)T，(c，0，d，2，0)T，(e，0，f,0，3)T；③(a，l，2，3)T，(b，1，2，3)T，(c，3，4，5)T，(d，0，0，0)T；④(1，0，3，1)T，(一1，3，0，一2)T，(2，1，7，2)T，(4，2，14，5)T。
则下列结论正确的是( ) A．线性相关的向量组为①④；线性无关的向量组为②③。
B．线性相关的向量组为③④；线性无关的向量组为①②。
C．线性相关的向量组为①②；线性无关的向量组为③④。
D．线性相关的向量组为①③④；线性无关的向量组为②。
正确答案：D解析：向量组①是四个三维向量，从而线性相关，可排除B。
由于(1，0，0)T，(0，2，0)T，(0，0，3)T线性无关，添上两个分量就可得向量组②，故向量组②线性无关。
所以应排除C。
向量组③中前两个向量之差与最后一个向量对应分量成比例，于是α1，α2，α4线性相关，那么添加α3后，向量组③必线性相关。
应排除A。
由排除法，本题应选D。
知识模块：向量2．设α1，α2，…，αs均为n维向量，下列结论中不正确的是( )A．若对于任意一组不全为零的数k1，k2，…，ks，都有k1α1+k2α2+…+ksαs≠0，则α1，α2，…，αs线性无关。
B．若α1，α2，…，αs线性相关，则对于任意一组不全为零的数k1，k2，…，ks，都有k1α1+k2α2+…+ksαs=0。
C．α1，α2，…，αs线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s。
D．α1，α2，…，αs线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关。
正确答案：B解析：对于选项A，因为齐次线性方程组x1α1+x2α2+…+xsαs=0只有零解，故α1，α2，…，αs线性无关，A选项正确。
线性代数历年考研真题
−1 (B)P1 P2
(C)P2 P1
−1 (D)P2 P1
21.【11数三】设A为4 × 3矩阵, η1 , η2 , η3 是非齐次线性方程组Ax = β 的三个线性无关的解, k1 , k2 为任意实数, 则Ax = β 的通解为(
η3 (A) η2 + + k1 (η2 − η1 ) 2 η3 (C) η2 + + k1 (η3 − η1 ) + k2 (η2 − η1 ) 2
(B)仅含一个非零解向量 (D)含有三个线性无关的解向量
9.【05数一/二/三】设λ1 , λ2 是矩阵A的两个不同的特征值, 对应的特征向量分别为α1 , α2 , 则α1 , A(α1 + α2 )线性无关的充要条件是( (A)λ1 ̸= 0 (B)λ2 ̸= 0 (C)λ1 = 0 ). (D)λ2 = 0
12.【07数一/二/三/四】设向量组α1 , α2 , α3 线性无关, 则下列向量组中线性无关的是( (A)α1 − α2 , α2 − α3 , α3 − α1 (C)α1 − 2α2 , α2 − 2α3 , α3 − 2α1 (B)α1 + α2 , α2 + α3 , α3 + α1
(D)α1 + 2α2 , α2 + 2 α3 , α 3 + 2 α1 2 −1 −1 1 0 0 13.【07数一/二/三/四】设矩阵A = −1 2 −1 , B = 0 1 0 , 则A与B ( −1 −1 2 0 0 0 (A)合同且相似 (B)合同但不相似 (C)不合同但相似 (D)既不合同也不相似 14.【08数一/二/三/四】设A为n阶非零矩阵, 且A3 = O, 则( (A)E − A不可逆, E + A不可逆 (C)E − A可逆, E + A可逆 ).
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[考研类试卷]考研数学三（线性代数）模拟试卷17
一、选择题
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1 设A，B为两个n阶矩阵，下列结论正确的是( )．
（A）｜A+B｜=｜A｜+｜B｜
（B）若｜AB｜=0，则A=0或B=0
（C）｜A—B｜=｜A｜—｜B｜
（D）｜AB｜=｜A｜｜B｜
2 设α1，α2，α3，β1，β2都是四维列向量，且｜A｜=｜α1，α2，α3，β1=m，｜B｜=｜α1，α2，β2，α3｜=n，则｜α1，α2，α3，β1+β2｜为( )．
（A）m+n
（B）m一n
（C）一(m+n)
（D）n一m
3 设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则( )．
（A）当m＞n时，必有｜AB｜≠0
（B）当m＞n时，必有｜AB｜=0
（C）当n＞m时，必有｜AB｜≠0
（D）当n＞m时，必有｜AB｜=0
4 设A，B，A+B，A-1+B-1皆为可逆矩阵，则(A-1+B-1)-1等于( )．（A）A+B
（B）A-1+B-1
（C）A(A+B)-1B
（D）(A+B)-1
5 设A，B都是n阶可逆矩阵，则( )．
（A）(A+B)*=A*+B*
（B）(AB)*=B*A*
（C）(A—B)*=A*一*
（D）(A+B)*一定可逆
6 设A为n阶矩阵，k为常数，则(kA)*等于( )．
（A）kA*
（B）k n A*
（C）k n-1A*
（D）k n(n-1)A*
7 设A为n阶矩阵，A2=A，则下列成立的是( )．
（A）A=0
（B）A=E
（C）若A不可逆，则A=0
（D）若A可逆，则A=E
8 设A为m×n矩阵，且r(A)=m＜n，则( )．（A）A的任意m个列向量都线性无关
（B）A的任意m阶子式都不等于零
（C）非齐次线性方程组Ax=b一定有无穷多个解（D）矩阵A通过初等行变换一定可以化为(E m｜0)
9 设
P1=
，则m，n可取( )．
（A）m=3，n=2
（B）m=3，n=5
（C）m=2，n=3
（D）m=2，n=2
10 设
A=
，则B为( )．
（A）A-1P1P2
（B）P1A-1P2
（C）P1P2A-1
（D）P2A-1P1
11 设P=，Q为三阶非零矩阵，且PQ=O，则( )．
（A）当t=6时，r(Q)=1
（B）当t=6时，r(Q)=2
（C）当t≠6时，r(Q)=1
（D）当t≠6时，r(Q)=2
二、填空题
12 设D=，则A31+A32+A33=________．
13 设A，B都是三阶矩阵，A相似于B，且｜E一A｜=｜E一2A｜=｜E一3A｜=0，则｜B-1+2E｜=________．
14 设A为三阶正交阵，且｜A｜＜0，｜B｜—｜A｜=一4，则｜E—AB T｜
=________．
15 设A为n阶矩阵，且｜A｜一a≠0，则｜(kA)*｜=________．
16 设A，B都是三阶矩阵，A=，且满足(A*)-1B=ABA+2A2，则
B=________．
17 设矩阵A，B满足A*BA=2BA一8E，且A=，则B=________．
18 =________．
19 设A=，B为三阶矩阵，r(B*)=1且AB=0，则t=________．
20 设A=，B≠0为三阶矩阵，且BA=O，则r(B)=________．
三、解答题
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
21 设A是正交矩阵，且｜A｜＜0．证明：｜E+A｜=0．
22 设A=(a ij)n×n是非零矩阵，且｜A｜中每个元素a ij与其代数余子式A ij相等．证明：｜A｜≠0．
23 计算D2n=
24 计算(a i≠0，i=1，2，…，n)．
25 设D=，求A k1+A k2+…+A kn．
26 设A，B为三阶矩阵，且A～B，且λ1=1，λ2=2为A的两个特征值，｜B｜=2，求
27 设A=E一ααT，其中α为n维非零列向量．证明： (1)A2=A的充分必要条件是α为单位向量； (2)当α是单位向量时A为不可逆矩阵．
28 设A为n阶非奇异矩阵，α是n维列向量，b为常数，
P=(1)计算PQ；(2)证明PQ可逆的充分必要条件是αT A-1α≠b．
29 设矩阵A满足(2E—C-1B)A T=C-1，且
B=，求矩阵A．
30 设α，β是n维非零列向量，A=αβT+βαT．证明：r(A)≤2．
31 设α是n维单位列向量，A=E一ααT．证明：r(A)＜n．
32 设A为n阶矩阵，证明：r(A*)=，其中n≥2．
33 设A为n阶矩阵，证明：r(A)=1的充分必要条件是存在，2维非零列向量α，β，使得A=αβT．
34 设A为n阶矩阵且r(A)=n一1．证明：存在常数k，使得(A*)2=hA*．
35 设A是n(n≥3)阶矩阵，证明：(A*)*=｜A｜n-2A．
36 设A，B分别为m×n及n×s矩阵，且AB=0．证明：r(A)+r(B)≤n．。