考研数学三必背知识点：线性代数
考研数学重要知识点解析线性代数
考研数学重要知识点解析线性代数线性代数是考研数学中的一个重要知识点，也是研究线性空间和其上的线性映射的一门数学分支。
它在数学中具有广泛的应用，例如在物理学、工程学、计算机科学等领域都有着重要的地位。
线性代数的重要知识点主要包括线性空间、线性映射、矩阵和向量等。
首先，线性空间是指满足一定条件的集合，其中的元素称为向量。
线性空间具有加法和数乘两种运算，满足一定的性质。
线性空间的基可以用来表示该空间中的任意向量，并且可以通过坐标来表示向量。
线性映射是线性代数中的一个重要概念，它是指将一个线性空间映射到另一个线性空间的函数。
线性映射保持向量空间的加法和数乘运算。
线性映射的矩阵也是线性代数中的一个重要概念，它可以通过矩阵乘法来表示。
矩阵是一个矩形的数表，由行和列组成。
矩阵是线性代数中的重要工具，可以用来表示线性映射、线性方程组等。
向量是线性代数中的另一个重要概念，它可以用来表示一个点或一个方向。
向量具有大小和方向两个属性，可以通过加法和数乘来进行运算。
向量的点乘和叉乘是线性代数中的两种重要运算，它们分别表示向量的数量积和向量的向量积。
在研究线性代数时，我们需要掌握线性映射和矩阵的基本性质，理解线性方程组、特征值和特征向量的概念，掌握矩阵的行列式和逆矩阵的计算方法，熟练运用向量的点乘和叉乘进行计算等。
同时，在解决线性代数相关问题时，我们还可以运用线性代数的一些方法和技巧，如矩阵的变换、矩阵的秩等。
这些方法和技巧在解决实际问题时往往能够提高解题的效率和准确度。
总之，线性代数是考研数学中的一个重要知识点，掌握线性空间、线性映射、矩阵和向量等的基本概念和性质，熟练运用相关的计算方法和技巧对于考研数学的学习和考试至关重要。
通过对线性代数的深入理解和应用，我们可以更好地理解和应用数学在实际问题中的作用。
考研数学线性代数重点整理
考研数学线性代数重点整理一、矢量空间矢量空间是线性代数的基础概念，它描述了一组对象（称为矢量）的性质及其之间的运算规则。
以下是矢量空间的一些重要性质和定义：1. 定义：矢量空间是满足以下8个条件的集合V，其中两个运算（加法和乘法）满足特定的性质。
2. 加法：对于任意的矢量u和v，它们的和u+v也是V中的一个矢量。
3. 加法交换律：对于任意的矢量u和v，有u+v = v+u。
4. 加法结合律：对于任意的矢量u、v和w，有(u+v)+w = u+(v+w)。
5. 加法单位元：存在一个称为零矢量的特殊矢量0，对于任意的矢量v，有v+0 = 0+v = v。
6. 加法逆元：对于任意的矢量v，存在一个称为负矢量的特殊矢量-u，使得v+(-u) = (-u)+v = 0。
7. 乘法定义：对于任意的矢量v和实数c，cv也是V中的一个矢量。
8. 乘法分配律：对于任意的矢量v和实数c和d，有c(dv) = (cd)v。
9. 乘法单位元：对于任意的矢量v，有1v = v。
二、矩阵与线性方程组矩阵是线性代数中另一个重要的概念，它可以用来表示线性方程组和线性变换。
以下是与矩阵和线性方程组相关的一些重要内容：1. 矩阵定义：将数按矩形排列成的矩形数表称为矩阵，其中行数和列数分别称为矩阵的行数和列数。
2. 矩阵运算：矩阵之间可以进行加法和乘法的运算，具体规则如下：- 矩阵加法：对应位置元素相加。
- 矩阵乘法：设A是一个m×n矩阵，B是一个n×p矩阵，那么它们的乘积AB是一个m×p矩阵，乘法规则为A的行乘以B的列。
3. 线性方程组：线性方程组是一组线性方程的集合，矩阵可以用来表示和求解线性方程组。
对于一个m×n矩阵A、一个n×1矩阵X和一个m×1矩阵B，线性方程组可以表示为AX=B。
4. 线性方程组的解：根据矩阵的性质，可以通过高斯消元法、矩阵求逆等方法求解线性方程组。
考研数学三必背知识点：线性代数
线性代数必考知识点一、行列式1、逆序数一个排列n i i i i ,,,321若有类似21i i >时，我们称21i i 组成一个逆序。
一个排列中逆序总的个数之和称为逆序数，记为)(21n i i i τ 2、行列式性质(1) 行列式行列互换，其值不变，即TAA =(2) 行列式两行或两列互换，其值反号。
(3) 行列式某行或某列乘以k 等于行列式乘以k 。
(4) 行列式某行货某列乘以k 加到另一行或列上，行列式值不变。
(5) 行列式两行或两列对应成比例，则行列式为零。
(6) 行列式某行或某列元素为零，则行列式为零。
(7) 上、下三角行列式其值为主对角线上元素乘积。
(8) 行列式值等于对应矩阵所有特征值的乘积，即n A λλλ 21= (9) 齐次线性方程组0=Ax有非零解n A r A <⇔=⇔)(03、行列式行列展开定理 (1) 余子式ijji ijA M +-=)1( (2) 代数余子式ijji ijMA +-=)1(4、三阶行列式展开公式332112322311312213322113312312332211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++=二、矩阵1、矩阵运算(1) 矩阵加减法即是将对应元素进行加减。
(2) 矩阵乘法是将对应行与对应列元素相乘再相加。
(3) 矩阵除法是乘以逆矩阵。
(4) 矩阵加减法满足交换律、结合律，乘法满足结合律、分配率。
(5)n阶方阵一般可以有1*,,,-AA A A T 四大基本矩阵运算2、矩阵的行列式(1) A k kA A A n T ==, (2) A B B A BA AB === 3、矩阵转置(1) T T T T T T T T T T A B AB kA kA B A B A A A ==+=+=)(,)(,)(,)( (2) **11)()(,)()(T T T T A A A A ==--4、伴随矩阵(1) *1*****11*2****1*)(,)(,)()(,)(,,AkkA A B AB AA A AA E A A A AA A A A n n -----=======(2)1)(0)(1)(1)()()(***-<⇔=-=⇔==⇔=n A r A r n A r A r nA r n A r5、逆矩阵 (1)1111*111111*1)(,1)(,,)(,,1-----------=======ABAB A AA AAA AE A AAAA AA(2) 分块矩阵的逆矩阵 ①111---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭AO A O OB O B （主对角分块）② 111OA O BB O AO ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（副对角分块） ③11111AC A A C BO B OB-----⎛⎫-⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（拉普拉斯）④ 11111A O A O C B B C A B -----⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭（拉普拉斯）6、矩阵初等变换(1) 交换矩阵两行或两列(2) 矩阵某行或某列乘以k(3) 矩阵某行或某列乘以k 并加到另一行或列 (4) 矩阵初等变换的实质是矩阵与初等矩阵相乘 ① 矩阵初等行变换=矩阵左乘初等矩阵 ② 矩阵初等列变换=矩阵右乘初等矩阵7、矩阵其他考点(1) 行列矩阵相乘：α为行矩阵),,(21n a a a ，β为列矩阵),,(21n b b b ， 则βααβααβαβββαβαβαβα1)()()()())(()(-===k k(2) 矩阵n A 的求法：若A 可对角化，则有Λ=-AP P 1，于是1-Λ=P P A n n (3) 若n B r m A r ==)(,)(，则有m A r B A r =≤+)()(且n B r B A r =≤+)()(三、向量1、向量运算：βαβαλβαλβααββαk k k ±=±±±=±±±=±)(),()(,2、线性表示对于向量组s ααα ,,21和向量β，若存在一组数s k k k ,,21使得s s k k k αααβ+++= 2211 (1) 若s s k k k αααβ+++= 2211有唯一解，则β能由向量组s ααα ,,21唯一线性表示。
线性代数考研知识点总结
线性代数考研知识点总结线性代数是数学的一个重要分支，它研究向量空间及其上的线性变换。
在计算机科学、物理学、工程学等领域中，线性代数都有着广泛的应用。
在考研中，线性代数是一个必考的科目，以下是线性代数考研的一些重要知识点总结。
1. 向量空间：向量空间是线性代数的基础概念，它包括一组向量和一些满足特定条件的运算规则。
向量空间中的向量可以进行加法和数乘运算，满足交换律、结合律和分配律。
2. 向量的线性相关性和线性无关性：如果向量可以通过线性组合表示为另一组向量的形式，那么这组向量就是线性相关的；如果向量不满足线性相关的条件，那么它们就是线性无关的。
3. 矩阵：矩阵是线性代数中的另一个重要概念，它是一个由数字排列成的矩形阵列。
矩阵可以用于表示线性变换、解线性方程组等。
常见的矩阵类型有方阵、对称矩阵、对角矩阵、单位矩阵等。
4. 行列式：行列式是一个用于刻画矩阵性质的重要工具。
行列式可以用来计算线性变换的缩放因子，判断矩阵是否可逆，以及计算矩阵的逆等。
5. 矩阵的相似和对角化：两个矩阵A和B，如果存在一个非奇异矩阵P，使得PAP^(-1)=B，那么矩阵A和B就是相似的。
相似的矩阵有着相同的特征值和特征向量。
对角化是指将一个矩阵通过相似变换变成对角矩阵的过程。
6. 线性变换：线性变换是指一个向量空间到另一个向量空间的映射，它满足线性性质。
线性变换可以用矩阵表示，相应的矩阵称为线性变换的矩阵表示。
线性变换可以进行合成、求逆等操作。
7. 内积空间：内积空间是一个带有内积运算的向量空间。
内积运算满足对称性、线性性、正定性等性质。
内积空间可以用来定义向量的长度、夹角、正交性等概念。
8. 特征值和特征向量：对于一个线性变换，如果存在一个非零向量使得线性变换作用在该向量上等于该向量的某个常数倍，那么这个常数就是该线性变换的特征值，而对应的非零向量就是特征向量。
特征值和特征向量可以用来分析矩阵的性质，求解线性方程组等。
9. 奇异值分解：奇异值分解是矩阵分解的一种常用方法，它将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积，其中一个矩阵是正交矩阵，另两个矩阵是对角矩阵。
线性代数知识点总结
线性代数知识点总结1 行列式（一）行列式概念和性质1、逆序数：所有的逆序的总数2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和3、行列式性质：（用于化简行列式）（1）行列互换（转置），行列式的值不变（2）两行（列）互换，行列式变号（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k 乘此行列式（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。
（5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。
（6）两行成比例，行列式的值为0。
（二）重要行列式4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则7、n阶（n≥2）范德蒙德行列式数学归纳法证明★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值：（三）按行（列）展开9、按行展开定理：（1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0（四）行列式公式10、行列式七大公式：（1）|kA|=k n|A|（2）|AB|=|A|·|B|（3）|A T|=|A|（4）|A-1|=|A|-1（5）|A*|=|A|n-1（6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，则（7）若A与B相似，则|A|=|B|（五）克莱姆法则11、克莱姆法则：（1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解（2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0（3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。
2 矩阵（一）矩阵的运算1、矩阵乘法注意事项：（1）矩阵乘法要求前列后行一致；（2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律）（3）AB=O不能推出A=O或B=O。
考研数学线性代数重点知识
考研数学线性代数重点知识线性代数是考研数学中非常重要的一部分，对于许多考生来说，掌握好线性代数的重点知识是取得高分的关键。
下面我们就来详细梳理一下线性代数中的重点知识。
一、行列式行列式是线性代数中的基本概念之一，它有着多种计算方法和重要的性质。
计算行列式的方法包括：按行（列）展开法、三角化法、利用行列式的性质化简等。
其中，利用行列式的性质将其化为上三角或下三角行列式是比较常用且有效的方法。
行列式的性质包括：行列式与其转置行列式相等；对换两行（列），行列式变号；某行（列）元素乘以 k，等于用 k 乘以此行列式；若某行（列）元素是两数之和，则行列式可拆分为两个行列式之和等。
行列式在求解线性方程组、判断矩阵可逆性等方面有着重要的应用。
二、矩阵矩阵是线性代数的核心概念，包括矩阵的运算、逆矩阵、矩阵的秩等内容。
矩阵的运算有加、减、乘、数乘。
矩阵乘法需要注意其规则，不满足交换律。
逆矩阵是一个重要概念，如果矩阵 A 可逆，则存在 A 的逆矩阵A⁻¹，使得 AA⁻¹＝ A⁻¹A ＝ E（单位矩阵）。
求逆矩阵的方法有伴随矩阵法和初等变换法。
矩阵的秩反映了矩阵的“有效信息”量，通过初等变换可以求出矩阵的秩。
三、向量向量部分包括向量组的线性相关性、极大线性无关组、向量组的秩等。
判断向量组的线性相关性有定义法、行列式法、矩阵秩法等。
极大线性无关组是向量组中“最核心”的部分，它不唯一，但所含向量个数是确定的。
向量组的秩等于其极大线性无关组所含向量的个数。
四、线性方程组线性方程组是线性代数的重点应用之一。
齐次线性方程组，当系数矩阵的秩等于未知数个数时，只有零解；当系数矩阵的秩小于未知数个数时，有非零解。
非齐次线性方程组，当增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩时，有解；当增广矩阵的秩大于系数矩阵的秩时，无解。
求解线性方程组可以使用高斯消元法。
五、特征值与特征向量特征值和特征向量反映了矩阵的某种特性。
求特征值就是求解特征方程｜λE A| ＝ 0 的根，求特征向量则是通过解齐次线性方程组（λE A)X ＝ 0 得到。
考研数学线性代数必背知识点
反对称矩阵 A = A 。
0 0 0 0 1 0 3 0 (A ) * 0 03 0 01 0 0* * *对称矩阵 A = A 。
考研数学知识点－线性代数第一讲 基本知识二．矩阵和向量1．线性运算与转置① A + B = B + A② (A + B ) + C = A + (B + C )③ c (A + B ) = cA + cB (c + d )A = cA + dA④ c (dA ) = (cd )A⑤ cA = 0 ™ c = 0 或 A = 0 。
向量组的线性组合〈 1 ,〈 2 ,⊄ ,〈 s ，T 三．矩阵的初等变换，阶梯形矩阵 ♣初等行变换 初等变换分 ♦ ♥初等列变换 三类初等行变换 ①交换两行的上下位置 A B ②用非零常数 c 乘某一行。
③把一行的倍数加到另一行上（倍加变换） 阶梯形矩阵 转置 c 1〈 1 + c 2〈 2 + ⊄ + c s 〈 s 。
A 的转置 A T （或 A 2 ）4 1 0 1 0 2 0 0 25 2 0 0 1 2 1 4 3 T T= A①如果有零行，则都在下面。
②各非零行的第一个非 0 元素的列号自上而下严格 (A ± B )T = A T ± B T单调上升。
或各行左边连续出现的 0 的个数自上而下严格单调 (cA )T = c (A T )。
上升，直到全为 0 。
台角：各非零行第一个非 0 元素所在位置。
简单阶梯形矩阵： 3． n 阶矩阵3．台角位置的元素都为 1 n 行、 n 列的矩阵。
对角线，其上元素的行标、列标相等 a 11 , a 22 ,⊄对角矩阵 0 * 00 0 *4．台角正上方的元素都为 0。
每个矩阵都可用初等行变换化为阶梯形矩阵和简单 阶梯形矩阵。
如果 A 是一个 n 阶矩阵 A 是阶梯形矩阵 ® A 是上三角矩阵，反之不一定， 数量矩阵 0 3 0 = 3E0 0 3单位矩阵 0 1 0 E 或I0 0 1如 0 0 1 0 1 0 是上三角，但非阶梯形 0 0 1 四．线性方程组的矩阵消元法 用同解变换化简方程再求解 上（下）三角矩阵 0 * *0 0 *T 1 三种同解变换： ①交换两个方程的上下位置。
考研数学线性代数必考的知识点
考研数学线性代数必考的知识点一、行列式与矩阵第一章《行列式》、第二章《矩阵》是线性代数中的基础章节，有必要熟练掌握。
行列式的核心内容是求行列式，包括具体行列式的计算和抽象行列式的计算二、向量与线性方程组三、特征值与特征向量相对于前两章来说，本章不是线性代数这门课的理论重点，但却是一个考试重点。
其原因是解决相关题目要用到线代中的大量内容，既有行列式、矩阵又有线性方程组和线性相关，“牵一发而动全身”。
四、二次型本章所讲的内容从根本上讲是第五章《特征值和特征向量》的一个延伸，因为化二次型为标准型的核心知识为“对于实对称矩阵A存在正交矩阵Q使得A可以相似对角化”，其过程就是上一章相似对角化在为实对称矩阵时的应用。
考研数学概率以大纲为本夯实基础从考试的角度，大家看看历年真题就发现比较明显的规律：概率的题型相对固定，哪考大题哪考小题非常清楚。
概率常考大题的地方是：随机变量函数的分布，多维分布(边缘分布和条件分布)，矩估计和极大似然估计。
其它知识点考小题，如随机事件与概率，数字特征等。
从学科的角度，概率的知识结构与线性代数不同，不是网状知识结构，而是躺倒的树形结构。
第一章随机事件与概率是基础知识，在此基础上可以讨论随机变量，这就是第二章的内容。
随机变量之于概率正如矩阵之于线性代数。
考生也可以看看考研真题，数一、数三概率考五道题，这五题的第一句话为“设随机变量X……”，“设总体X……”，“设X1，X2，…，Xn为来自X的简单随机样本”，无论“随机变量”、“总体”和“样本”本质上都是随机变量。
所以随机变量的理解至关重要。
讨论完随机变量之后，讨论其描述方式。
分布即为描述随机变量的方式。
分布包括三种：分布函数、分布律和概率密度。
其中分布函数是通用的描述工具，适用于所有随机变量，分布律只针对离散型随机变量而概率密度只针对连续型随机变量。
之后讨论常见的离散型和连续性随机变量，考研范围内需要考生掌握七种常见分布。
介绍完一维随机变量之后，推广一下就得到了多维随机变量。
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线性代数必考知识点一、行列式1、逆序数一个排列n i i i i ,,,321若有类似21i i 时，我们称21i i 组成一个逆序。
一个排列中逆序总的个数之和称为逆序数，记为)(21n i i i 2、行列式性质(1) 行列式行列互换，其值不变，即T A A(2) 行列式两行或两列互换，其值反号。
(3) 行列式某行或某列乘以k 等于行列式乘以k 。
(4) 行列式某行货某列乘以k 加到另一行或列上，行列式值不变。
(5) 行列式两行或两列对应成比例，则行列式为零。
(6) 行列式某行或某列元素为零，则行列式为零。
(7) 上、下三角行列式其值为主对角线上元素乘积。
(8) 行列式值等于对应矩阵所有特征值的乘积，即n A 21 (9) 齐次线性方程组0 Ax 有非零解n A r A )(0 3、行列式行列展开定理(1) 余子式ij j i ij A M )1( (2) 代数余子式ij j i ij M A )1( 4、三阶行列式展开公式332112322311312213322113312312332211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 二、矩阵1、矩阵运算(1) 矩阵加减法即是将对应元素进行加减。
(2) 矩阵乘法是将对应行与对应列元素相乘再相加。
(3) 矩阵除法是乘以逆矩阵。
(4) 矩阵加减法满足交换律、结合律，乘法满足结合律、分配率。
(5) n 阶方阵一般可以有1*,,, A A A A T 四大基本矩阵运算 2、矩阵的行列式(1) A k kA A A n T , (2) A B B A BA AB 3、矩阵转置(1) T T T T T T T T T T A B AB kA kA B A B A A A )(,)(,)(,)( (2) **11)()(,)()(T T T T A A A A4、伴随矩阵(1) *1*****11*2****1*)(,)(,)()(,)(,,A k kA A B AB A A A AA E A A A AA A A A n n(2) 1)(0)(1)(1)()()(*** n A r A r n A r A r nA r n A r5、逆矩阵 (1) 1111*111111*1)(,1)(,,)(,,1A B AB A AA A A A A E A A AA A A A (2) 分块矩阵的逆矩阵① 111A O A O OB OB （主对角分块）② 111O A O B B O AO（副对角分块） ③ 11111A C A A CB O B OB（拉普拉斯）④ 11111A O A O C B B CA B（拉普拉斯） 6、矩阵初等变换(1) 交换矩阵两行或两列 (2) 矩阵某行或某列乘以k(3) 矩阵某行或某列乘以k 并加到另一行或列 (4) 矩阵初等变换的实质是矩阵与初等矩阵相乘 ① 矩阵初等行变换=矩阵左乘初等矩阵 ② 矩阵初等列变换=矩阵右乘初等矩阵 7、矩阵其他考点(1) 行列矩阵相乘： 为行矩阵),,(21n a a a ， 为列矩阵),,(21n b b b ， 则 1)()()()())(()( k k(2) 矩阵n A 的求法：若A 可对角化，则有 AP P 1，于是1 P P A n n (3) 若n B r m A r )(,)(，则有m A r B A r )()(且n B r B A r )()(三、向量1、向量运算： k k k )(),()(,2、线性表示对于向量组s ,,21和向量 ，若存在一组数s k k k ,,21使得s s k k k 2211 (1) 若s s k k k 2211有唯一解，则 能由向量组s ,,21唯一线性表示。
(2) 若s s k k k 2211有无穷解，则 能由向量组s ,,21不唯一线性表示。
(3) 若s s k k k 2211无解，则 不能由向量组s ,,21线性表示。
3、线性相关性(1) 方程02211 s s k k k 中有021 s k k k 时线性相关，不全为零则线性无关。
(2) 一组向量线性无关，则在每个向量相同位置添加分量后仍然线性无关。
(3) 一组向量线性相关，则减少其中某些分量后仍然线性无关。
(4) 设有m 个n 维列向量组),,(21m A ，m A r )(时线性无关，m A r )(时线性相关。
(5) 设有n 个n 维列向量组),,(21m A ，0 A 时时线性无关，0 A 时线性相关。
4、向量内积：向量的对应元素之积（常数），即 n n T n T n b a b a b a b b a a 221111,),(,),(5、施密特正交化（三阶向量组）一线性无关向量组321,, 所对应的正交向量组321,, 为：222231111333111122211),(),(),(),(,),(),(,四、线性方程组1、克莱姆法则方程组n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a22112222212111212111中，系数行列式0212222111211 nnn n nn a a a a a a a a a D时，方程有唯一解，且 DD x D Dx D D x n n,,2211，其中j D 是将行列式D 中第j 列元素用n b b b ,,21来代替 (1) 当021 n b b b 时，对应方程组称为n 元齐次线性方程组。
(2) 克莱姆法则只适用于方程个数和未知量个数相等的线性方程组，若0 D 时法则失效。
2、齐次线性方程组0 Ax(1) 0 Ax 一定有解，当n r A r )(（即0 A ）时有非零解，当n A r )(（即0 A ）时仅有零解。
(2) 0 Ax 的基础解系不是唯一的，且基础解系中所含向量个数r n k (3) 若21, 为0 Ax 的解，则2211 k k 为0 Ax 的解，其中21,k k 为常数 (4) 若0 Ax 和0 Bx 同解)()(B r A r(5) 若0 Ax 和0 Bx 有公共解，则两方程组联立的新方程组0 Cx 有非零解，即0 C 3、非齐次线性方程组b Ax(1) nb A r A r b Ax n b A r A r b Ax b A r A r b Ax )()()()()()( 有无穷解有唯一解无解(2) 若21, 为b Ax 的解，则21 为0 Ax 的解(3) 若 为b Ax 的解，且 为对应0 Ax 的解，则 为b Ax 的解 (4) 若* 为b Ax 的特解，且 为对应0 Ax 的通解，则* 为b Ax 的通解(5) 若r A r )(，则0 Ax 有r n k 1个线性无关解，且b Ax 有12 r n k 个线性无关解。
(6) 若1b Ax 和2b Bx 同解)()(21b B r b A r五、特征值与特征向量1、基本定义(1) 特征值和特征向量：对于n 阶方阵A ，有非零向量x 使得x Ax 成立，则 为特征值，对应的x 为特征向量 (2) 特征方程和特征多项式：求特征值时0 A E 为特征方程，而A E 为特征多项式。
2、特征值的性质(1) n A 21 n nn a a a A tr 212211)((2) 不同特征值对应的特征向量 特征向量线性无关(3) 一个特征值可能对应多个特征向量，一个特征向量有且仅有一个对应特征值 (4) 若i 为k 重特征值（k 重根）i 对应的线性无关特征向量个数k(5) 若n 阶矩阵有n 个线性无关特征向量 每个特征值重根数 对应线性无关特征向量个数 3、相似矩阵(1) 定义：若B AP P 1，则A 与B 相似。
(2) 常用运算式：BP lP AP kP P lB kA P BP P AP P ABP P 111111)(),)(((3) 若A 和B 相似B A B E A E B tr A tr B A B r A r )()()()( (4) 若A 和B 相似1 A 和1 B 相似 A 和B 相似于同一个对角阵(5) 若T n T n b b a a ),(,),(11 ，则有n n T T T b a b a b a tr 2211)( 4、矩阵对角化(1) 定义：n 阶矩阵A ，若有 AP P 1，则称A 可对角化(2) n 阶矩阵A （特征值为s ,,21且n r A r )(）可对角化的充要条件： ①若s ,,21互不相等A 可对角化②若s ,,21中有k 个 相等，且A k n A E r )( 可对角化 ③若s ,,21中有k 个 相等，且A k n A E r )( 不可对角化 5、正交矩阵(1) A 是正交矩阵11, A A A A E AA T T T 也是正交矩阵 (2) A 是正交矩阵A A 1的各行（列）是单位向量且两两正交 (3) B A ,都是正交矩阵AB 是正交矩阵六、二次型1、基本概念(1) 二次型(三元二次型)：32233113211223333222222111222x x a x x a x x a x a x a x a f (2) 标准二次型(三元二次型)：233222211y k y k y k f2、矩阵合同(1) 定义：若AB 矩阵有B AC C T ，则称AB 合同，记为B A(2) 设AB 均为n 阶实对称矩阵，则有相似 合同，相似 等价，反之不成立。
(3) 若)()(B r A r B A 且AB 有相同的正惯性指数B A , 正负特征值个数相同 3、正定二次型和正定矩阵（A 为n 阶实对称方阵）(1) 定义：对阵矩阵A 的二次型Ax x f T 如果对于任何非零向量x 都有0 Ax x T 则称Ax x f T 为正定二次型，称矩阵A 为正定矩阵。
(2) A 为正定矩阵)2,1(,0 i i (3) A 为正定矩阵*1,,A A A T 为实对称矩阵 (4) A 为正定矩阵A 的正惯性指数n p (5) A 为n m 矩阵且A A m n A r T )(为正定矩阵(6) A 为正定矩阵且有非奇异矩阵C 使得E A C C A T (7) B A ,为n 正定矩阵B A 为正定矩阵，但BA AB ,不能确定 (8) A 为正定矩阵0 A 且)2,1(0n i a ii(9) A 为正定二次型A 各阶顺序主子式全大于零，即：0,0,011112221121111 nnn n a a a a a a a a a。