2020考研数学复习:线代知识点
考研线性代数知识点全面总结

《线性代数》复习提纲第一章、行列式(值,不是矩阵)1.行列式的定义:用2n 个元素ija 组成的记号称为n 阶行列式。
(1)它表示所有可能的取自不同行不同列的n 个元素乘积的代数和; (2)展开式共有n!项,其中符号正负各半; 2.行列式的计算一阶|α|=α行列式,二、三阶行列式有对角线法则; N 阶(n ≥3)行列式的计算:降阶法定理:n 阶行列式的值等于它的任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。
方法:选取比较简单的一行(列),保保留一个非零元素,其余元素化为0,利用定理展开降阶。
特殊情况:上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积;◊行列式值为0的几种情况:Ⅰ 行列式某行(列)元素全为0; Ⅱ 行列式某行(列)的对应元素相同;Ⅲ 行列式某行(列)的元素对应成比例; Ⅳ 奇数阶的反对称行列式。
3.概念:全排列、排列的逆序数、奇排列、偶排列、余子式ijM 、代数余子式ijj i ijM A+-=)1(定理:一个排列中任意两个元素对换,改变排列的奇偶性。
奇排列变为标准排列的对换次数为基数,偶排列为偶数。
n 阶行列式也可定义:nq q q n a aa⋯=∑21t211-D )(,t 为nq q q ⋯21的逆序数4.行列式性质:1、行列式与其转置行列式相等。
2、互换行列式两行或两列,行列式变号。
若有两行(列)相等或成比例,则为行列式0。
3、行列式某行(列)乘数k,等于k 乘此行列式。
行列式某行(列)的公因子可提到外面。
4、行列式某行(列)的元素都是两数之和,则此行列式等于两个行列式之和。
5、行列式某行(列)乘一个数加到另一行(列)上,行列式不变。
6、行列式等于他的任一行(列)的各元素与其对应代数余子式的乘积之和。
(按行、列展开法则)7、行列式某一行(列)与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和为0.5.克拉默法则::若线性方程组的系数行列式0D ≠,则方程有且仅有唯一解DD D Dx D D n =⋯==n 2211x ,x,,。
考研数学线性代数重点整理

考研数学线性代数重点整理一、矢量空间矢量空间是线性代数的基础概念,它描述了一组对象(称为矢量)的性质及其之间的运算规则。
以下是矢量空间的一些重要性质和定义:1. 定义:矢量空间是满足以下8个条件的集合V,其中两个运算(加法和乘法)满足特定的性质。
2. 加法:对于任意的矢量u和v,它们的和u+v也是V中的一个矢量。
3. 加法交换律:对于任意的矢量u和v,有u+v = v+u。
4. 加法结合律:对于任意的矢量u、v和w,有(u+v)+w = u+(v+w)。
5. 加法单位元:存在一个称为零矢量的特殊矢量0,对于任意的矢量v,有v+0 = 0+v = v。
6. 加法逆元:对于任意的矢量v,存在一个称为负矢量的特殊矢量-u,使得v+(-u) = (-u)+v = 0。
7. 乘法定义:对于任意的矢量v和实数c,cv也是V中的一个矢量。
8. 乘法分配律:对于任意的矢量v和实数c和d,有c(dv) = (cd)v。
9. 乘法单位元:对于任意的矢量v,有1v = v。
二、矩阵与线性方程组矩阵是线性代数中另一个重要的概念,它可以用来表示线性方程组和线性变换。
以下是与矩阵和线性方程组相关的一些重要内容:1. 矩阵定义:将数按矩形排列成的矩形数表称为矩阵,其中行数和列数分别称为矩阵的行数和列数。
2. 矩阵运算:矩阵之间可以进行加法和乘法的运算,具体规则如下:- 矩阵加法:对应位置元素相加。
- 矩阵乘法:设A是一个m×n矩阵,B是一个n×p矩阵,那么它们的乘积AB是一个m×p矩阵,乘法规则为A的行乘以B的列。
3. 线性方程组:线性方程组是一组线性方程的集合,矩阵可以用来表示和求解线性方程组。
对于一个m×n矩阵A、一个n×1矩阵X和一个m×1矩阵B,线性方程组可以表示为AX=B。
4. 线性方程组的解:根据矩阵的性质,可以通过高斯消元法、矩阵求逆等方法求解线性方程组。
考研数学《线性代数》考点知识点总结

记作: ri rj ( ci cj ) D D 0 .
3.行列式乘以 k 等于某行(列)所有元素都乘以 k. 推论:某一行(列)所有元素公因子可提到行列式的外面.
记作: kD ri k ( kD ci k ).
记作: kD ri k ( kD ci k ).
行列式的 性质:
a2i a2n
a21
a22
a2i a2n
an1 an2 (ani ani ) ann
an1 an2 ani ann an1 an2 ani ann
上式为列变换,行变换同样成立.
6.把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去,行列式不变.
记作: ci ci kcj ( ri ri krj ), D 不变.
n
aki Akj
k 1
Dij
D, 0,
当i 当i
j, n
j;
或
k 1
aik
Ajk
Dij
D, 0,
当i 当i
j, j; 其中ij
1, 0,
当i j, 当i j.
1 1 11
范德蒙德 行列式:
x1 Dn x12
x2 x22
x3 xn
x32 xn2 = (xi x j ) .证明用数学归纳法.
定理 2:
n 阶行列式可定义为 D (1)ta a p11 p2 2 apnn = (1)ta1p1a2 p2 anpn .
1.D=DT,DT 为 D 转置行列式.(沿副对角线翻转,行列式同样不变)
2.互换行列式的两行(列),行列式变号.
推论:两行(列)完全相同的行列式等于零.
记作: ri rj ( ci c j ) D D .
线性代数知识点总结

线性代数知识点总结1 行列式(一)行列式概念和性质1、逆序数:所有的逆序的总数2、行列式定义:不同行不同列元素乘积代数和3、行列式性质:(用于化简行列式)(1)行列互换(转置),行列式的值不变(2)两行(列)互换,行列式变号(3)提公因式:行列式的某一行(列)的所有元素都乘以同一数k,等于用数k 乘此行列式(4)拆列分配:行列式中如果某一行(列)的元素都是两组数之和,那么这个行列式就等于两个行列式之和。
(5)一行(列)乘k加到另一行(列),行列式的值不变。
(6)两行成比例,行列式的值为0。
(二)重要行列式4、上(下)三角(主对角线)行列式的值等于主对角线元素的乘积5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘6、Laplace展开式:(A是m阶矩阵,B是n阶矩阵),则7、n阶(n≥2)范德蒙德行列式数学归纳法证明★8、对角线的元素为a,其余元素为b的行列式的值:(三)按行(列)展开9、按行展开定理:(1)任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值(2)行列式中某一行(列)各个元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和等于0(四)行列式公式10、行列式七大公式:(1)|kA|=k n|A|(2)|AB|=|A|·|B|(3)|A T|=|A|(4)|A-1|=|A|-1(5)|A*|=|A|n-1(6)若A的特征值λ1、λ2、……λn,则(7)若A与B相似,则|A|=|B|(五)克莱姆法则11、克莱姆法则:(1)非齐次线性方程组的系数行列式不为0,那么方程为唯一解(2)如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解,则它的系数行列式必为0(3)若齐次线性方程组的系数行列式不为0,则齐次线性方程组只有0解;如果方程组有非零解,那么必有D=0。
2 矩阵(一)矩阵的运算1、矩阵乘法注意事项:(1)矩阵乘法要求前列后行一致;(2)矩阵乘法不满足交换律;(因式分解的公式对矩阵不适用,但若B=E,O,A-1,A*,f(A)时,可以用交换律)(3)AB=O不能推出A=O或B=O。
2020年考研数学线性代数知识点

2020年考研数学线性代数知识点第一章行列式
1、行列式的定义
2、行列式的性质
3、特殊行列式的值
4、行列式展开定理
5、抽象行列式的计算
第二章矩阵
1、矩阵的定义及线性运算
2、乘法
3、矩阵方幂
4、转置
5、逆矩阵的概念和性质
6、伴随矩阵
7、分块矩阵及其运算
8、矩阵的初等变换与初等矩阵
9、矩阵的等价
10、矩阵的秩
第三章向量
1、向量的概念及其运算
2、向量的线性组合与线性表出
3、等价向量组
4、向量组的线性相关与线性无关
5、极大线性无关组与向量组的秩
6、内积与施密特正交化
7、n维向量空间(数学一)
第四章线性方程组
1、线性方程组的克莱姆法则
2、齐次线性方程组有非零解的判定条件
3、非齐次线性方程组有解的判定条件
4、线性方程组解的结构
第五章矩阵的特征值和特征向量
1、矩阵的特征值和特征向量的概念和性质
2、相似矩阵的概念及性质
3、矩阵的相似对角化
4、实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵第六章二次型
1、二次型及其矩阵表示
2、合同变换与合同矩阵
3、二次型的秩
4、二次型的标准型和规范型
5、惯性定理
6、用正交变换和配方法化二次型为标准型
7、正定二次型及其判定
数学的学习是比较有难度的,大家平时的学习中,大家要积累跟多的解题思路,这样自己在考试时遇到难题就能迎刃而解。
2020考研考研线性代数知识点归类

2020考研考研线性代数知识点归类内容和微分方程有异曲同工之妙,记忆的内容比较多,但比较简单。
小编整理了相关内容,希望能帮助到您。
2020考研考研线性代数知识点归类01特点与难点1、特点前面是基础,后面是应用。
这句话有三层意思⑴、前面的内容学好,后面内容才看得懂。
⑵、前面内容不会单独考,70%会结合后面内容考查,所以题目综合性强。
⑶、前面内容需要记忆,类似于泰勒公式,类似于求导公式,但是不同于泰勒公式的是,可以通过理解记忆。
2、难点⑴、没有一本好的辅导书。
①刚刚说过,前面的内容可以通过理解记忆,但是辅导书不讲深层原因,而是直接罗列出来。
比如:行列式性质②大部分考研难度的题目都具有一定综合性,编者不好编辑例题。
比如:行列式内容中,抽象行列式涉及矩阵内容(此时矩阵还没有学习)矩阵内容中秩的相关概念需要用向量和方程组的知识理解(此时向量还没有学习)⑵、网课老师深浅把握不好张宇:线性代数讲得深!他可以把深层次原因讲出来,但是作为新手,你会质疑老师的能力!李永乐:讲的细致,风格恰好与张宇相反。
杨超:同李永乐⑶、某些概念理解有困难这部分原因是两部分造成的:①没有理解前面某些概念。
②由于题目综合性强,练的题目少。
把这三个难点联系在一起,你们有没有发现?线性代数复习进入了一个死循环前期复习没有涉及后面的知识点做题少、不能够通过做题加深概念后面知识点理解困难做题少、不能够通过做题加深概念。
所以,堂主下面写的内容对你们有三个帮助帮助1:知道哪些习题是综合性题目,哪些知识点是为后面做铺垫。
帮助2:让你们对线性代数有一个系统的了解。
帮助3:帮助你们梳理知识点,避免盲目的学习!02各章知识点总结【行列式】1、行列式本质就是一个数2、行列式概念、逆序数考研:小题,无法联系其他知识点,当场解决。
3、二阶、三阶行列式具体性计算考研:不会单独出题,常常结合伴随矩阵、可逆矩阵考察。
4、余子式和代数余子式考研:代数余子式的正负是一个易错点,了解代数余子式才能学习行列式展开定理。
线性代数知识点总结

线性代数知识点总结第一章 行列式一要点1、二阶、三阶行列式2、全排列和逆序数;奇偶排列可以不介绍对换及有关定理;n 阶行列式的定义3、行列式的性质4、n 阶行列式ij a D =;元素ij a 的余子式和代数余子式;行列式按行列展开定理5、克莱姆法则二基本要求1、理解n 阶行列式的定义2、掌握n 阶行列式的性质3、会用定义判定行列式中项的符号4、理解和掌握行列式按行列展开的计算方法;即+11j i A a +22j i A a ⎩⎨⎧≠==+j i j i D A a jn in 0 +j i A a 1122i j a A +⎩⎨⎧≠==+j i j i D A a nj ni0 5、会用行列式的性质简化行列式的计算;并掌握几个基本方法:归化为上三角或下三角行列式;各行列元素之和等于同一个常数的行列式;利用展开式计算6、掌握应用克莱姆法则的条件及结论会用克莱姆法则解低阶的线性方程组7、了解n 个方程n 个未知量的齐次线性方程组有非零解的充要条件第二章 矩阵一要点1、矩阵的概念n m ⨯矩阵n m ij a A ⨯=)(是一个矩阵表..当n m =时;称A 为n 阶矩阵;此时由A 的元素按原来排列的形式构成的n 阶行列式;称为矩阵A 的行列式;记为A .注:矩阵和行列式是两个完全不同的两个概念..2、几种特殊的矩阵:对角阵;数量阵;单位阵;三角形矩阵;对称矩阵3、矩阵的运算;矩阵的加减法;数与矩阵的乘法;矩阵的转置;矩阵的乘法1矩阵的乘法不满足交换律和消去律;两个非零矩阵相乘可能是零矩阵..如果两矩阵A 与B 相乘;有BA AB =;则称矩阵A 与B 可换..注:矩阵乘积不一定符合交换2方阵的幂:对于n 阶矩阵A 及自然数k ;个k k A A A A ⋅⋅= 规定I A =0;其中I 为单位阵 .3 设多项式函数k k k k a a a a ++++=--λλλλϕ1110)( ;A 为方阵;矩阵A 的多项式I a A a A a A a A k k k k ++++=--1110)( ϕ;其中I 为单位阵..4n 阶矩阵A 和B ;则B A AB =.5n 阶矩阵A ;则A A nλλ=4、分块矩阵及其运算5、逆矩阵:可逆矩阵若矩阵A 可逆;则其逆矩阵是唯一的;矩阵A 的伴随矩阵记为*A ; E A A A AA ==**矩阵可逆的充要条件;逆矩阵的性质..6、矩阵的初等变换:初等变换与初等矩阵;初等变换和初等矩阵的关系;矩阵在等价意义下的标准形;矩阵A 可逆的又一充分必要条件:A 可以表示成一些初等矩阵的乘积;用初等变换求逆矩阵..7、矩阵的秩:矩阵的k 阶子式;矩阵秩的概念;用初等变换求矩阵的秩8、矩阵的等价二要求1、理解矩阵的概念;矩阵的元素;矩阵的相等;矩阵的记号等2、了解几种特殊的矩阵及其性质3、掌握矩阵的乘法;数与矩阵的乘法;矩阵的加减法;矩阵的转置等运算及性质4、理解和掌握逆矩阵的概念;矩阵可逆的充分条件;伴随矩阵和逆矩阵的关系;当A 可逆时;会用伴随矩阵求逆矩阵5、了解分块矩阵及其运算的方法1在对矩阵的分法符合分块矩阵运算规则的条件下;其分块矩阵的运算在形式上与不分块矩阵的运算是一致的..2特殊分法的分块矩阵的乘法;例如n m A ⨯;l n B ⨯;将矩阵B 分块为) (21l b b b B =;其中j b l j 2, ,1=是矩阵B 的第j 列;则=AB ) (21l b b b A ) (21l Ab Ab Ab =又如将n 阶矩阵P 分块为) (21n p p p P =;其中j p n j 2, ,1=是矩阵P 的第j 列.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n P λλλ 0 0 00 0 00 0 0 21 ) (21n p p p = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n λλλ 0 0 00 0 00 0 0 21) (2211n n p p p λλλ = 3设对角分块矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=SS A A A A 2211 ;),2,1(s P A PP =均为方阵; A 可逆的充要条件是PP A 均可逆;s P ,2,1=;且⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=----11221111 ss A A A A6、理解和掌握矩阵的初等变换和初等矩阵及其有关理论;掌握矩阵的初等变换;化矩阵为行最简形;会用初等变换求矩阵的秩、求逆矩阵7、理解矩阵的秩的概念以及初等变换不改变矩阵的秩等有关理论8、若矩阵A 经过有限次初等变换得到矩阵B ;则称矩阵A 和矩阵B 等价;记为B A ≅. n m ⨯矩阵A 和B 等价当且仅当)()(B r A r =;在等价意义下的标准型:若r A r =)(;则r D A ≅;⎥⎦⎤⎢⎣⎡=000 r r I D ;r I 为r 阶单位矩阵.. 因此n 阶矩阵A 可逆的充要条件为n I A ≅..第三章 线性方程组一要点1、n 维向量;向量的线性运算及其有关运算律记所有n 维向量的集合为n R ;n R 中定义了n 维向量的线性运算;则称nR 为 n 维向量空间..2、向量间的线性关系1线性组合与线性表示;线性表示的判定2线性相关与线性无关;向量组的线性相关与无关的判定3、向量组的等价;向量组的秩;向量组的极大无关组及其求法;向量组的秩及其求法 1设有两个向量组,1α,2αs α )(A,1β,2βt β )(B向量组)(A 和)(B 可以相互表示;称向量组)(A 和)(B 等价..向量组的等价具有传递性..2一个向量组的极大无关组不是惟一的;但其所含向量的个数相同;那么这个相同的个数定义为向量组的秩..4、矩阵的秩与向量组的秩的关系5、线性方程组的求解1线性方程组的消元解法2线性方程组解的存在性和唯一性的判定3线性方程组解的结构4齐次线性方程的基础解系与全部解的求法5非齐次方程组解的求法二要求1、理解n 维向量的概念;掌握向量的线性运算及有关的运算律2、掌握向量的线性组合、线性表示、线性相关、线性无关等概念3、掌握线性表示、线性相关、线性无关的有关定理4、理解并掌握向量组的等价极大无关组、向量组的秩等概念;及极大无关组、向量组秩的求法5、掌握线性方程组的矩阵形式、向量形式的表示方法6、会用消元法解线性方程组7、理解并掌握齐次方程组有非零解的充分条件及其判别方法8、理解并掌握齐次方程组的基础解系、全部解的概念及其求法9、理解非齐次方程组与其导出组解的关系;掌握非齐次方程组的求解方法第四章 矩阵的特征值与特征向量一要点1、矩阵的特征值与特征向量的定义;特征方程、特征值与特征向量的求法与性质2、相似矩阵的定义、性质;矩阵可对角化的条件3、实对称矩阵的特征值和特征向量向量内积的定义及其性质;正交向量组;施密特正交化方法;正交矩阵;实对称矩阵的特征值与特征向量的性质;实对称矩阵的对角化二要求1、理解矩阵的特征值、特征向量的概念及有关性质2、掌握特征值与特征向量的求法3、理解并掌握相似矩阵的概念与性质4、掌握判断矩阵与对角矩阵相似的条件及对角化的方法5、会将实对称矩阵正交相似变换化为对角矩阵..第五章二次型一要点1、二次型与对称矩阵:二次型的定义;二次型与对称矩阵的对应关系2、二次型与对称矩阵的标准形配方法;初等变换法;正交变换法;合同矩阵;二次型及对称矩阵的标准形与规范形 3、二次型与对称矩阵的有定性二次型与对称矩阵的正定、负定、半正定、半负定二要求1、理解并掌握二次型的定义及其矩阵的表示方法..2、会用三种非退化线性替换:即配方法、初等变换法、正交变换法化二次型为标准形及规范型3、掌握二次型的正定、负定、半正定、半负定的定义;会判定二次型的正定性..。
考研数学线性代数必考的知识点

考研数学线性代数必考的知识点一、行列式与矩阵第一章《行列式》、第二章《矩阵》是线性代数中的基础章节,有必要熟练掌握。
行列式的核心内容是求行列式,包括具体行列式的计算和抽象行列式的计算二、向量与线性方程组三、特征值与特征向量相对于前两章来说,本章不是线性代数这门课的理论重点,但却是一个考试重点。
其原因是解决相关题目要用到线代中的大量内容,既有行列式、矩阵又有线性方程组和线性相关,“牵一发而动全身”。
四、二次型本章所讲的内容从根本上讲是第五章《特征值和特征向量》的一个延伸,因为化二次型为标准型的核心知识为“对于实对称矩阵A存在正交矩阵Q使得A可以相似对角化”,其过程就是上一章相似对角化在为实对称矩阵时的应用。
考研数学概率以大纲为本夯实基础从考试的角度,大家看看历年真题就发现比较明显的规律:概率的题型相对固定,哪考大题哪考小题非常清楚。
概率常考大题的地方是:随机变量函数的分布,多维分布(边缘分布和条件分布),矩估计和极大似然估计。
其它知识点考小题,如随机事件与概率,数字特征等。
从学科的角度,概率的知识结构与线性代数不同,不是网状知识结构,而是躺倒的树形结构。
第一章随机事件与概率是基础知识,在此基础上可以讨论随机变量,这就是第二章的内容。
随机变量之于概率正如矩阵之于线性代数。
考生也可以看看考研真题,数一、数三概率考五道题,这五题的第一句话为“设随机变量X……”,“设总体X……”,“设X1,X2,…,Xn为来自X的简单随机样本”,无论“随机变量”、“总体”和“样本”本质上都是随机变量。
所以随机变量的理解至关重要。
讨论完随机变量之后,讨论其描述方式。
分布即为描述随机变量的方式。
分布包括三种:分布函数、分布律和概率密度。
其中分布函数是通用的描述工具,适用于所有随机变量,分布律只针对离散型随机变量而概率密度只针对连续型随机变量。
之后讨论常见的离散型和连续性随机变量,考研范围内需要考生掌握七种常见分布。
介绍完一维随机变量之后,推广一下就得到了多维随机变量。
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2020考研数学复习:线代知识点
考研数学中的线性代数试题,从难易程度上其实要远低于高数,却依然困扰了很多考生。
究其原因,我们就不得不从线性代数的学
科特点及命题方向着手分析。
线性代数从内容上看纵横交错,前后
联系紧密,环环相扣,相互渗透,因此解题方法灵活多变。
而且线
性代数的命题重点,除了对基础知识的注重外,还偏向于知识点的
衔接与转换。
考生在复习的时候要结合这两个方向进行有针对性的
复习。
举例来说,设A是m×n矩阵,B是n×s矩阵,且AB=0,那么用分块矩阵可知B的列向量都是齐次方程组Ax=0的解,再根据基础解
系的理论以及矩阵的秩与向量组秩的关系,可以有r(B)≤n-r(A)即
r(A)+r(B)≤n,进而可求矩阵A或B中的一些参数。
再如,若A是n阶矩阵可以相似对角化,那么,用分块矩阵处理
P-1AP=∧可知A有n个线性无关的特征向量,P就是由A的线性无
关的特征向量所构成,再由特征向量与基础解系间的联系可知此时
若λi是ni重特征值,则齐次方程组(λiE-A)x=0的基础解系由ni
个解向量组成,进而可知秩r(λiE-A)=n-ni,那么,如果A不能相
似对角化,则A的特征值必有重根且有特征值λi使秩r(λiE-A)
又比如,对于n阶行列式我们知道:若|A|=0,则Ax=0必有非零解,而Ax=b没有惟一解(可能有无穷多解,也可能无解),而当
|A|≠0时,可用克莱姆法则求Ax=b的惟一解;可用|A|证明矩阵A
是否可逆,并在可逆时通过伴随矩阵来求A-1;对于n个n维向量
α1,α2,……αn可以利用行列式|A|=|α1α2……αn|是否为零
来判断向量组的线性相关性;矩阵A的秩r(A)是用A中非零子式的
最高阶数来定义的,若r(A)
凡此种种,正是因为线性代数各知识点之间有着千丝万缕的联系,代数题的综合性与灵活性就较大,同学们整理时要注重串联、衔接
与转换。
复习时应当常问自己做得对不对?再问做得好不好?只有不
断地归纳总结,努力搞清内在联系,使所学知识融会贯通,接口与切入点多了,熟悉了,思路自然就开阔了。
最后,希望考生在复习过程中能给掌握技巧,拿下线性代数,早日取得考研成功。