《函数对称性的解题方法归纳》

函数对称性的解题方法归纳
讲函数的对称性主要是讲奇偶函数图像的对称性，函数与反函数图像的对称性。

前者是函数自身的性质，而后者是函数的变换问题。

下文中我们均简称为函数的变换性。

函数的对称性在近几年高考中屡见不鲜，对于解决其它问题也很有帮助，同时也是数学美的很好体现。

现通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称变换这两个方面来探讨函数对称性有关的性质。

1. 函数自身的对称性探究
设函数
)2()2(),()(x f x f x f +=-∞+-∞上满足在，)7()7(x f x f +=-，且在闭区间［0，7］上只有0)3()1(==f f
（1）试判断函数)(x f y =的奇偶性；
（2）试求方程0)(=x f 在闭区间［－2005，2005］上根的个数并证明你的结论。

分析：由)7()7(),2()2(x f x f x f x f +=-+=-可得：函数图象既关于x ＝2对称，又关于x ＝7对称，进而可得到周期性，然后再继续求解，而本题关键是要首先明确函数的对称性，因此，熟悉函数对称性是解决本题的第一步。

定理1 函数)(x f y =的图像关于直线x ＝a 对称的充要条件是)()(x a f x a f -=+即)2()(x a f x f -=
证明（略）
推论 函数)(x f y =的图像关于y 轴对称的充要条件是)()(x f x f -= 定理2 函数)(x f y =的图像关于点A （a ，b ）对称的充要条件是 b x a f x f 2)2()(=-+
证明（略）
推论 函数)(x f y =的图像关于原点O 对称的充要条件是0)()(=-+x f x f 偶函数、奇函数分别是定理1，定理2的特例。

定理3 ①若函数)(x f y =的图像同时关于点A （a ，c ）和点B （b ，c ）成中心对称（b a ≠），则)(x f y =是周期函数，且b a -2是其一个周期。

②若函数)(x f y =的图像同时关于直线b x a x ==和直线成轴对称（b a ≠），则)(x f y =是周期函数，且b a -2是其一个周期。

③若函数)(x f y =的图像既关于点A （a ，c ）成中心对称又关于直线x ＝b 成轴对称（b a ≠），则)(x f y =是周期函数，且b a -4是其一个周期。

以下给出③的证明，①②的证明留给读者。

因为函数)(x f y =的图像关于点A （a ，c ）成中心对称。

所以x b c x a f x f -=-+2,2)2()(用代x 得：
[](*)2)2(2)2(c x b a f x b f =--+-
又因为函数)(x f y =的图像关于直线b x =成轴对称。

所以)()2(x f x b f =-代入（*）得：
[]x x b a x b a f c x f 代用+-+--=)(2(**),)(22)(得
[][]x b a f c x b a f +--=+-)(42)(2代入（**）得：
[])(,)(4)(x f y x b a f x f =+-=故是周期函数，且b a -4是其一个周期。

2. 不同函数对称性的探究
定理4 函数)2(2)(x a f b y x f y --==与的图像关于点),(b a A 成中心对称。

证明：设点)(),(00x f y y x P =是图像上任一点，则)(00x f y =。

点),(00y x P 关于点),(b a A 的对称点为)2,2('00y b x a P --，此点坐标满足)2(2x a f b y --=，显然点)2,2('00y b x a P --在)2(2x a f b y --=的图像上。

同理可证：)2(2x a f b y --=图像上关于点),(b a A 对称的点也在)(x f y =的图像上。

推论 函数)(x f y =与)(x f y --=的图像关于原点成中心对称。

定理5 函数)(x f y =与)2(x a f y -=的图像关于直线a x =成轴对称。

证明 设点),(00y x P 是)(x f y =图像上任意一点，则)(00x f y =。

点),(00y x P 关于直线a x =的对称点为),2('00y x a P -，显然点),2('00y x a P -在)2(x a f y -=的图像上。

同理可证：)2(x a f y -=图像上关于直线a x =对称的点也在)(x f y =图像上。

推论 函数)(x f y =与)(x f y -=的图像关于直线y 轴对称。

定理6 ①函数)(x f y =与)(y a f x a -=-的图像关于直线a y x =+成轴对称。

②函数)(x f y =与)(a y f a x +=-的图像关于直线a y x =-成轴对称。

现证定理6中的②
设点),(00y x P 是)(x f y =图像上任一点，则)(00x f y =。

记点),(00y x P 关于直线a y x =-的对称点),('11y x P ，则a x y y a x -=+=0101,，所以
a x y y a x -=+=1010,代入
)(00x f y =之中得)(11y a f a x +=-。

所以点),('11y x P 在函数)(a y f a x +=-的图像上。

同理可证：函数)(a y f a x +=-的图像上任一点关于直线a y x =-的轴对称点也在函数)(x f y =的图像上。

故定理6中的②成立。

推论 函数)(x f y =的图像与)(y f x =的图像关于直线y x =成轴对称。

3. 函数对称性应用举例
例 1 定义在R 上的非常数函数满足：)10(x f +为偶函数，且)5()5(x f x f +=-，则)(x f 一定是（ ）
A. 是偶函数，也是周期函数
B. 是偶函数，但不是周期函数
C. 是奇函数，也是周期函数
D. 是奇函数，但不是周期函数
解：因为)10(x f +为偶函数，所以)10()10(x f x f -=+。

所以)(x f 有两条对称轴105==x x 与，因此)(x f 是以10为其一个周期的周期函数，所以x ＝0即y 轴也是)(x f 的对称轴，因此)(x f 还是一个偶函数。

故选
（A ）。

例2 设定义域为R 的函数)(x f y =、)(x g y =都有反函数，并且)1(-x f 和)2(1--x g 的函数图像关于直线x y =对称，若2002)5(=g ，那么=)4(f （ ）
A. 2002
B. 2003
C. 2004
D. 2005
解：因为)2()1(1-=-=-x g y x f y 和的函数图像关于直线x y =对称，所以)2(1-=-x g y 的反函数是)1(-=x f y ，而)2(1-=-x g y 的反函数是)(2x g y +=，
所以)(2)1(x g x f +=-，所以有2004)5(2)15(=+=-g f 故2004)4(=f ，应选（C ）。

例3 设)(x f 是定义在R 上的偶函数，且)1()1(x f x f -=+，当01≤≤-x 时，
x x f 2
1)(-=，则=)6.8(f ___________ 解：因为f(x)是定义在R 上的偶函数，所以)(0x f y x ==是的对称轴； 又因为)(1)1()1(x f y x x f x f ==-=+也是所以的对称轴。

故)(x f y =是以2为周期的周期函数，所以3.0)6.0()6.0()6.08()6.8(=-==+=f f f f 例4 函数)252sin(π+
=x y 的图像的一条对称轴的方程是（ ）
45.8.4.2.ππ
π
π
==-=-=x D x C x B x A
解：函数)252sin(π+
=x y 的图像的所有对称轴的方程是2252πππ+=+k x ，所以ππ-=2k x ，显然取1=k 时的对称轴方程是2
π-=x ，故选（A ）。

例5 设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且)(x f y =的图象关于直线21=
x ，则：=++++)5()4()3()2()1(f f f f f _____________ 解：函数)(x f y =的图像既关于原点对称，又关于直线21=x 对称，所以周期是2，又0)0(=f ，图像关于2
1=
x 对称，所以0)1(=f ，所以 0)5()4()3()2()1(=++++f f f f f。