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2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套文档 7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性


由图可知，当直线 z＝1 600x＋2 400y 经过可行域的点 P 时，直线 z＝1 600x＋2 400y 在 y 轴上 z 的截距 最小，即 z 取得最小值． 2 400 故应配备 A 型车 5 辆、B 型车 12 辆，可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小． 思维升华 解线性规划应用问题的一般步骤： (1)分析题意，设出未知量； (2)列出线性约束条件和目标函数； (3)作出可行域并利用数形结合求解； (4)作答． 某企业生产甲、 乙两种产品， 已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨、 B 原料 2 吨； 生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨、B 原料 3 吨．销售每吨甲产品可获得利润 5 万元、每吨乙产 品可获得利润 3 万元，该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨、B 原料不超过 18 吨，那么该企业可获得的最大利润是________万元． 答案 27 解析 设生产甲产品 x 吨、乙产品 y 吨， 则获得的利润为 z＝5x＋3y.
§ 7.3
二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
1．二元一次不等式表示的平面区域 (1)一般地，二元一次不等式 Ax＋By＋C>0 在平面直角坐标系中表示直线 Ax＋By＋C＝0 某一 侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标 系中画不等式 Ax＋By＋C≥0 所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画 成实线． (2)由于对直线 Ax＋By＋C＝0 同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入 Ax＋By＋C，所 得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由 Ax0＋By0 ＋C 的符号即可判断 Ax＋By＋C>0 表示的直线是 Ax＋By＋C＝0 哪一侧的平面区域． 2．线性规划相关概念 名称 约束条件 线性约束条件 目标函数 线性目标函数 可行解 可行域 最优解 线性规划问题 3.应用 利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是 (1)在平面直角坐标系内作出可行域． (2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形． (3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解． (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)不等式 Ax＋By＋C>0 表示的平面区域一定在直线 Ax＋By＋C＝0 的上方．( × ) (2)不等式 x2－y2<0 表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成的
且 z＝2x＋y 的最大值和最小值分
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x≥1， (2)(2013· 课标全国Ⅱ)已知 a>0， x， y 满足约束条件x＋y≤3， y≥ax－3， 则 a＝________. 1 答案 (1)B (2) 2 解析 (1)画出可行域，如图阴影部分所示． 由 z＝2x＋y，得 y＝－2x＋z.
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7 所以 k＝ . 3 (2)两直线方程分别为 x－2y＋2＝0 与 x＋y－1＝0. 由(0,0)点在直线 x－2y＋2＝0 右下方可知 x－2y＋2≥0， 又(0,0)点在直线 x＋y－1＝0 左下方可知 x＋y－1≥0，
x＋y－1≥0， 即 为所表示的可行域． x－2y＋2≥0
x＋y≥2， (2)已知 O 是坐标原点， 点 A(1,0)， 若点 M(x， y)为平面区域x≤1， y≤2 → ＋OM|的最小值是________． 3 3 2 答案 (1) (2) 2 2
→ 上的一个动点， 则|OA
y 3 解析 (1) 表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率，在点(1， )处取到最大值． x 2 → → → → (2)依题意得，OA＋OM＝(x＋1，y)，|OA＋OM|＝ x＋12＋y2可视为点(x， y)与点(－1,0)间的距离，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区 域，结合图形可知，在该平面区域内的点中，由点(－1,0)向直线 x＋y＝2 引 → → 垂线的垂足位于该平面区域内，且与点 ( － 1,0) 的距离最小，因此 | OA ＋ OM | 的最小值是 |－1＋0－2| 3 2 ＝ . 2 2 思维升华 常见代数式的几何意义有 (1) x2＋y2表示点(x，y)与原点(0,0)的距离； (2) x－a2＋y－b2表示点(x，y)与点(a，b)之间的距离； y (3) 表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率； x y－b (4) 表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率． x－a x≥1， 跟踪训练 4 (1)设不等式组x－2y＋3≥0， y≥x
2， 给定．若
)
且 z＝y－x 的最小值为－4，则 k 的值为(
)
0≤x≤ y≤2， x≤ 2y
2，
→ → 画出可行域如图阴影部分所示，目标函数 z＝OM· OA＝ 2x＋y，将其 化为 y＝－ 2x＋z，结合图形可知，目标函数的图象过点( 2，2)时，z 最大，将点( 2，2)代入 z＝ 2x＋y 得 z 的最大值为 4. (2)作出可行域，如图中阴影部分所示，直线 kx－y＋2＝0 与 x 轴的交 2 点为 A(－ ，0)． k
易知直线 z＝2x＋y 过交点 A 时，z 取最小值，
x＝1， 由 y＝ax－3， x＝1， 得 y＝－2a，
∴zmin＝2－2a＝1， 1 解得 a＝ . 2 思维升华 线性规划问题的解题步骤： (1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一 条直线； (2)平移——将 l 平行移动，以确定最优解的对应点的位置；
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பைடு நூலகம்
x≥0， y≥0， 由题意得 3x＋y≤13， 2x＋3y≤18， 可行域如图阴影所示． 由图可知当 x、y 在 A 点取值时，z 取得最大值，此时 x＝3，y＝4，z＝5×3＋3×4＝27(万元)． 题型四 求非线性目标函数的最值 x－y－2≤0， 例 4 (1)设实数 x，y 满足x＋2y－4≥0， 2y－3≤0， y 则 的最大值为________． x
思维升华 二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法： 直线定界，测试点定域． 注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可 以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点． x＋y－1≥0， (1)在平面直角坐标系中， 若不等式组x－1≤0， ax－y＋1≥0 域的面积等于 4，则 a 的值为( A．－5 B．3 C．5 D．7 (2)如图所示的平面区域(阴影部分)满足不等式________． )
且 z＝2x＋y 的最小值为－6，则 k＝
＋y，则 y＝－2x＋z.易知当直线 y＝－2x＋z 过点 A(k，k)时，z＝2x＋ y 取得最小值，即 3k＝－6，所以 k＝－2.
题型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域 x≥0， 例 1 (1)若不等式组x＋3y≥4， 3x＋y≤4 分，则 k 的值是( 7 3 4 3 A. B. C. D. 3 7 3 4 (2)如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为________．
(a 为常数)所表示的平面区
答案 (1)D (2)x＋y－1>0 解析 (1)直线 ax－y＋1＝0 过点(0,1)， 作出可行域如图知可行域由点 A(1,0)，B(1，a＋1)，C(0,1)组成的三角形的 内部(包括边界)， 1 且 a>－1，则其面积等于 ×(a＋1)×1＝4，解得 a＝7. 2 (2)边界对应直线方程为 x＋y－1＝0，且为虚线，区域中不含(0,0)，由以上可知平面区域(阴影 部分)满足 x＋y－1>0. 题型二 求线性目标函数的最值 y≤x， 例 2 (1)(2014· 广东)若变量 x， y 满足约束条件x＋y≤1， y≥－1， 别为 m 和 n，则 m－n 等于( A．5 B．6 C．7 D．8 )
)
表示的平面区域是如图所示的阴影部分．( × )
(4)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．( √
)
(5)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．( √ ) (6)目标函数 z＝ax＋by(b≠0)中，z 的几何意义是直线 ax＋by－z＝0 在 y 轴上的截距．( × )
1．下列各点中，不在 x＋y－1≤0 表示的平面区域内的是( A．(0,0) C．(－1,3) 答案 C 解析 把各点的坐标代入可得(－1,3)不适合，故选 C. x－y≥－1， 2．若实数 x，y 满足不等式组x＋y≥1， 3x－y≤3， A．3 B. 答案 C 解析 因为直线 x－y＝－1 与 x＋y＝1 互相垂直， 所以如图所示的可行域为直角三角形， 易得 A(0,1)，B(1,0)，C(2,3)， 1 故|AB|＝ 2，|AC|＝2 2，其面积为 ×|AB|×|AC|＝2. 2 5 2 C．2 D．2 2 B．(－1,1) D．(2，－3)
y＝x， x＝－1， 由 得 y＝－1， y＝－1，
若 z＝2x＋y 的最小值为 1，
∴A(－1，－1)．
x＋y＝1， x＝2， 由 得 y＝－1， y＝－1，
∴B(2，－1)． 当直线 y＝－2x＋z 经过点 A 时，zmin＝2×(－1)－1＝－3＝n.当直线 y＝－2x＋z 经过点 B 时， zmax＝2×2－1＝3＝m，故 m－n＝6. (2)作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．
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车 7 辆．若每天运送人数不少于 900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备 A 型车、B 型车各多少辆？ 解 设 A 型、B 型车辆分别为 x、y 辆，相应营运成本为 z 元，则 z＝1 600x＋2 400y.由题意， 得 x，y 满足约束条件 x＋y≤21， y≤x＋7， 36x＋60y≥900， x，y≥0，x，y∈N. 作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为 P(5，12)，Q(7,14)，R(15,6)．
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2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套学案61古典概型

2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套学案61古典概型

教案 61古典概型导学目标 ： 1.理解古典概型及其概率计算公式 .2.会计算一些随机事件所含的基本领件数及事件发生的概率．自主梳理1．基本领件有以下特色：(1)任何两个基本领件是 ________的．(2)任何事件 (除不行能事件 )都能够表示成 ______________． 2．一般地，一次试验有下边两个特色(1)有限性．试验中所有可能出现的基本领件只有有限个；(2)等可能性．每个基本领件出现的可能性同样，称这样的概率模型为古典概型．判断一个试验是不是古典概型，在于该试验能否拥有古典概型的两个特色：有限性和等可能性．3．假如一次试验中可能出现的结果有 n 个，并且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本领件的概率都是 ________；假如某个事件 A 包含的结果有 m 个，那么事件 A 的概率 P(A) ＝ ________.自我检测1．(2011 ·州模拟滨 )若以连续掷两次骰子分别获得的点数m 、 n 作为点 P 的横、纵坐标，则点 P 在直线 x ＋ y ＝ 5 下方的概率为 ( )1 1 1 1A.6B.4C.12 D .9 2．(2011 临·沂高新区期末 )一块各面均涂有油漆的正方体被锯成 1 000 个大小同样的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一同，则随意拿出一个， 其两面涂有油漆的概率是 () 1 1 3 12 A.12 B.10 C.25D .1253．(2010 ·宁辽 ) 三张卡片上分别写上字母E ， E ， B ，将三张卡片随机地排成一行，恰巧排成英文单词 BEE 的概率为 ________．4．有 100 张卡片 (编号从 1 号到 100 号 )，从中任取 1张，取到卡号是 7 的倍数的概率为________．5． (2011 大·理模拟 )在平面直角坐标系中，从五个点： A(0,0) ， B(2,0) ， C(1,1) ， D(0,2) ，E(2,2) 中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 ________( 用分数表示 ).研究点一 基本领件的概率例 1 扔掷六个面分别记有1,2,2,3,3,3 的两颗骰子．(1)求所出现的点数均为 2 的概率； (2)求所出现的点数之和为 4 的概率．变式迁徙 1 一只口袋内装有大小同样的 5 只球，此中 3 只白球， 2 只黑球，从中一次摸出两只球．问：(1)共有多少个基本领件？(2)摸出的两只球都是白球的概率是多少？研究点二古典概型的概率计算例 2班级联欢时，主持人拟出了以下一些节目：跳双人舞、独唱、朗读等，指定 3 个男生和 2 个女生来参加，把 5 个人分别编号为1,2,3,4,5，此中 1,2,3 号是男生， 4,5 号是女生，将每一个人的号分别写在 5 张同样的卡片上，并放入一个箱子中充足混淆，每次从中随机地取出一张卡片，拿出谁的编号谁就参加表演节目．(1)为了选出 2 人来表演双人舞，连续抽取 2 张卡片，求拿出的 2 人不所有是男生的概率；(2)为了选出 2 人分别表演独唱和朗读，抽取并察看第一张卡片后，又放回箱子中，充足混淆后再从中抽取第二张卡片，求独唱和朗读由同一个人表演的概率．变式迁徙2同时扔掷两枚骰子，求起码有一个 5 点或 6 点的概率．研究点三古典概型的综合问题例 3 (2009 ·山东 )汽车厂生产 A，B ，C 三类轿车，每类轿车均有舒坦型和标准型两种型号，某月的产量以下表 (单位：辆 )：轿车A轿车B轿车C舒坦型100150z标准型300450600按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50 辆，此中有 A 类轿车 10 辆．(1)求 z 的值；(2)用分层抽样的方法在 C 类轿车中抽取一个容量为 5 的样本．将该样本当作一个整体，从中任取 2 辆，求起码有 1 辆舒坦型轿车的概率；(3) 用随机抽样的方法从B类舒坦型轿车中抽取8 辆，经检测它们的得分以下：9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0 ，8.2.把这 8 辆轿车的得分当作一个整体，从中任取一个数，求该数与样本均匀数之差的绝对值不超出0.5 的概率．变式迁徙3为了认识《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及状况，检查部门对某校 6 名学生进行问卷检查， 6 人得分状况以下：5,6,7,8,9,10.把这 6 名学生的得分当作一个整体．(1)求该整体的均匀数；(2)用简单随机抽样方法从这 6 名学生中抽取 2 名，他们的得分构成一个样本．求该样本均匀数与整体均匀数之差的绝对值不超出0.5 的概率．分类议论思想的应用例(12 分 )甲、乙二人用 4 张扑克牌 (分别是红桃2、红桃 3、红桃 4、方片 4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，反面向上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．(1)设 (i， j) 分别表示甲、乙抽到的牌的牌面数字，写出甲、乙二人抽到的牌的所有状况；(2)若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌面数字比 3 大的概率是多少？(3)甲、乙商定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜．你以为此游戏能否公正，说明你的原因．多角度审题此题属于求较复琐事件的概率，重点是理解题目的实质含义，把实质问题转变为概率模型，联想掷骰子试验，把红桃2、红桃 3、红桃 4 和方片 4 分别用数字2,3,4,4′表示，抽象出基本领件，把复琐事件用基本领件表示，找出整体I 包含的基本领件总数n 及事件 A 包含的基本领件个数 m，用公式 P(A) ＝m求解． n【答题模板】解(1) 甲、乙二人抽到的牌的所有状况( 方片 4 用 4′表示，其余用相应的数字表示)为 (2,3) ，(2,4)， (2,4′)， (3,2)， (3,4)， (3,4′)， (4,2)， (4,3) ， (4,4′)，(4′，2)， (4′，3)， (4′，4)，共 12 种不同状况． [6 分 ](2)甲抽到红桃3，乙抽到的牌的牌面数字只好是2,4,4′，所以乙抽到的牌的牌面数字比3大的概率为23.[9 分](3)甲抽到的牌的牌面数字比乙大的状况有(3,2)， (4,2)， (4,3)， (4′，2)， (4′，3)，共 5 种，55故甲胜的概率P1＝12，同理乙胜的概率P2＝12.因为 P1＝ P2，所以此游戏公正．[12分]【打破思想阻碍】(1)对一些较为简单、基本领件个数不是太大的概率问题，计数时只要要用列举法即可计算一些随机事件所含的基本领件数及事件发生的概率，但应特别注意：计算时要严防遗漏，绝不重复．(2)取球模型是古典概型计算中的一个典型问题，很多实质问题都能够归纳到取球模型上去，特别是产品的抽样查验，解题时要分清“ 有放回” 与“ 无放回”，“ 有序” 与“ 无序” 等条件的影响．【易错点分析】1．题目中“红桃 4”与“方片 4”属两个不一样的基本领件，应用不一样的数字或字母标明．2．注意“抽出的牌不放回” 对基本领件数量的影响．1．基本领件的特色主要有两条：①任何两个基本领件都是互斥的；②任何事件都能够表示成基本领件的和．2．古典概型的基本特色是：①试验中所有可能出现的基本领件只有有限个；②每个基本领件出现的可能性相等．3．计算古典概型的基本步骤有：①判断试验结果能否为等可能事件；②求出试验包含的基本领件的个数n，以及所求事件 A 包含的基本领件的个数m；③代入公式P(A) ＝mn，求概率值．(满分： 75 分)一、选择题 (每题 5 分，共 25分 )1．(2011 浙·江宁波十校联考)将一枚骰子扔掷两次，若先后出现的点数分别为b，c，则方程 x2＋ bx＋ c＝ 0 有实根的概率为 ()191517A.36B.2C.9 D .362．(2009 ·建福)已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%.现采纳随机模拟的方法预计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0 到 9 之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4 表示命中， 5,6,7,8,9,0 表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模 生了以下 20 随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估 ， 运 三次投 恰有两次命中的概率 ()A ． 0.35B ． 0.25C ． 0.20D ． 0.153． (2011 西·南名校 考 ) 两次骰子分 获得点数m 、 n ， 向量 (m ， n)与向量 (－ 1,1)的 角 θ>90°的概率是 ( )5 7 1 1A.12B.12C.3 D .2 4． 会合 A ＝ {1,2} ， B ＝ {1,2,3} ，分 从会合 A 和 B 中随机取一个数 a 和 b ，确立平面上的一个点 P(a ， b)， “点 P(a ， b)落在直 x ＋y ＝ n 上” 事件 C n (2≤ n ≤ 5， n ∈ N )，若事 件 C n 的概率最大， n 的所有可能 ( )A ． 3B ． 4C ． 2,5D ．3,4 5．在一个袋子中装有分 注数字 1,2,3,4,5 的五个小球， 些小球除 注的数字外完整同样． 从中随机拿出2 个小球， 拿出的小球 注的数字之和 3或 6的概率是 () 1 1 1 3A. 12B. 10C.5D.10二、填空 (每小 4 分，共 12 分 )6．在一次教 会上，到会的女教 比男教 多12 人，从 些教 中随机挑 一人表演 目．若 到男教 的概率9， 参加 会的教 共有________人．20n π7． (2011 上·海十四校 考 )在会合 { x|x ＝ 6 ， n ＝ 1,2,3，⋯， 10} 中任取一个元素，所取元素恰巧 足方程 cos x ＝ 1的概率是 ________．28．(2009 · 江 ) 有 5 根竹竿，它 的 度( 位： m)分 2.5,2.6,2.7,2.8,2.9，若从中一 次随机抽取 2 根竹竿， 它 的 度恰巧相差0.3 m 的概率 ________．三、解答 (共 38 分 )9．(12 分 )(2011 北·京旭日区模 )袋子中装有 号a ，b 的 2 个黑球和 号c ，d ，e 的3 个 球，从中随意摸出 2 个球．(1)写出所有不一样的 果； (2)求恰巧摸出 1 个黑球和 1 个 球的概率； (3)求起码摸出 1 个黑球的概率．10． (12 分 )(2010 天·津 海新区五校 考 )某商 行抽 活 ，从装有 号0,1,2,3 四个小球的抽 箱中，每次拿出后放回， 取两次，拿出的两个小球号 相加之和等于 5 中一等 ，等于 4 中二等 ，等于 3 中三等 ．(1)求中三等 的概率； (2)求中 的概率．11． (14 分)(2011 广·州模 )已知数 a， b∈ { － 2，－ 1,1,2} ．(1)求直 y＝ ax＋ b 不第四象限的概率；(2)求直 y＝ ax＋ b 与 x2＋ y2＝ 1 有公共点的概率．教案 61古典概型自主梳理1m1．(1)互斥(2)基本领件的和 3.n n自我141．A 2.D 3.3 4.0.14 5.5堂活区例 1 解引确立古典概型的基本领件有两条：一、每个事件生的可能性相等；二、事件空Ω 中的任一个事件都能够表示些基本领件的和，基本领件确实定有必定的相性，并不是一成不的．解因骰子出1,2,3 的概率不一，所以， 6 个面 1，a，b，x，y，z，此中 a，b 都表示 2， x， y， z 都表示 3，投两骰子，基本领件(1,1)， (1， a)， (1， b)， (1，x)，(1，y)，(1 ，z)，(a,1)， (a，a)，(a， b)，(a，x)，(a，y)，(a，z)，⋯， (z,1)，(z，a)，(z，b)，(z，x)， (z， y)， (z， z)共 36 种果．(1)两骰子出点数均 2 的基本领件有 (a，a)， (a，b)， (b， a)， (b， b)共 4 种，∴概4 1率 P1＝36＝9.(2)出点数之和 4，明有两种状况，即 1＋ 3 或 2＋ 2，基本领件有 (1，x)，(1，y)，(1，z)， (x,1) ，(y,1)， (z,1) ， (a， a)， (a， b)， (b， a)， (b， b)共 10 种，10 5∴概率 P2＝36＝18.式迁徙1解(1) 分白球1,2,3 号，黑球 A ， B 号，从中摸出 2 只球，有以下基本领件：(1,2)， (1,3) ， (1，A) ， (1， B) ， (2,3)， (2， A) ，(2，B) ， (3， A) ， (3， B) ， (A ， B)，所以，共有 10 个基本领件．(2)上述 10 个基本领件生的可能性同样，且只有 3 个基本领件是摸到两只白球 (事3件 A) ，即 (1,2)， (1,3)， (2,3) ，故 P(A) ＝10.P(A) ＝m.由此可知，利用列法算出所有例 2 解引古典概型的概率算公式是n基本领件的个数 n 以及事件 A 包含的基本领件数m 是解关．必需能够采纳画状或列表法助列基本领件．解 (1) 利用树形图我们能够列出连续抽取2 张卡片的所有可能结果 (以下列图所示 )．由上图能够看出，试验的所有可能结果数为20，因为每次都随机抽取，所以这 20 种结果出现的可能性是同样的，试验属于古典概型．用 A 1 表示事件 “连续抽取 2 人一男一女 ”， A 2 表示事件 “ 连续抽取 2 人都是女生 ”，则A 1 与 A 2 互斥，并且 A 1∪A2 表示事件 “连续抽取 2 张卡片，拿出的 2 人不所有是男生 ”，由列出 的所有可能结果能够看出， A 1 的结果有 12 种，A 2 的结果有 2 种，由互斥事件的概率加法公式，可得P(A 1∪A 2)＝ P(A 1)＋P(A 2)＝ 1220＋ 202＝ 107＝0.7，即连续抽取 2 张卡片，拿出的 2 人不所有是男生的概率为 0.7.(2)有放回地连续抽取2 张卡片，需注意同一张卡片可再次被拿出，并且它被拿出的可能性和其余卡片相等，我们用一个有序实数对表示抽取的结果，比如 “ 第一次拿出 2 号，第二次拿出 4 号 ” 就用 (2,4)来表示，所有的可能结果能够用下表列出.第二次抽取12345 第一次抽取1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5)2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5)3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5)4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) 5(5,1) (5,2) (5,3) (5,4)(5,5)试验的所有可能结果数为25，并且这 25 种结果出现的可能性是同样的，试验属于古典概型．用 A 表示事件 “ 独唱和朗读由同一个人表演 ”，由上表能够看出， A 的结果共有 5 种，因此独唱和朗读由同一个人表演的概率P(A) ＝ 5＝ 0.2.25变式迁徙2解方法一同时扔掷两枚骰子，所有基本领件以下表：1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)共有 36 个不一样的结果，此中 “起码有一个 5 点或 6 点 ”的基本领件数为 20，所以起码有一个 5 点或 6 点的概率为 P ＝ 20 5 36＝ 9.方法二 利用对峙事件求概率． “ 起码有一个5 点或6 点”的对峙事件是 “没有 5 点或 6 点 ”，如上表，“ 没有 5 点或 6 点 ”包含 16 个基本领件，没有5 点或6 点的概率为 P ＝16＝ 436 9.∴起码有一个 5 点或 6 点的概率 1－4＝ 59 9. 例 3 解 引 本 主要考 抽 的方法及古典概型概率的求法，考 用概率知 解 决 的能力．解 (1) 厂 个月共生n ，50 10由 意得 n ＝，所以 n ＝ 2 000.100＋ 300z ＝ 2 000－(100＋ 300)－ (150 ＋450)－ 600＝400. (2) 所抽 本中有 a 舒坦型 ，由 意得 1400000＝ a5，即 a ＝ 2.所以抽取的容量 5 的 本中，有2 舒坦型 ，3 准型 ．用 A 1，A 2 表示 2 舒坦型 ，用B 1，B 2，B 3 表示 3 准型 ．用E 表示事件 “在本中任取2 ，此中起码有 1 舒坦型 ”，基本领件空 包含的基本领件有：(A 1 ，A 2 1，B 1 1，B 2 1， B 3)，(A 2，B 12，B 2 ，(A 2，B 31， B 2)，(B 1，)，(A )，(A ) ，(A)，(A))，(B32，B 3(A 1，A21， B 1)，(A1 ，B 21，B 3B )，(B)共 10 个．事件 E 包含的基本领件有：)，(A)，(A)，(A 2， B 1)， (A 2， B22， B 3)共 7 个．)， (A7 7故 P(E) ＝ 10，即所求概率 10.(3) 本均匀数x ＝ 1× (9.4＋ 8.6＋ 9.2＋ 9.6＋ 8.7＋ 9.3＋ 9.0＋8.2)＝ 9.8D 表示事件 “ 从 本中任取一数， 数与 本均匀数之差的 不超0.5”， 基本领件空 中有 8 个基本领件，事件D 包含的基本领件有：9.4,8.6,9.2,8.7,9.3， 9.0，共 6 个，所以 P(D) ＝ 6 3 38＝ 4，即所求概率4.1×(5＋ 6＋ 7＋ 8＋ 9＋ 10)＝ 7.5.式迁徙 3 解 (1) 体均匀数6(2) A 表示事件 “ 本均匀数与 体均匀数之差的 不超0.5”．从 体中抽取2 个个体所有可能的基本 果有：(5,6)， (5,7)， (5,8)， (5,9)， (5,10)，(6,7) ，(6,8)， (6,9)， (6,10) ， (7,8) ， (7,9)， (7,10) ， (8,9)， (8,10) ， (9,10) ，共 15个基本 果．事件 A 包含的基本 果有：(5,9)， (5,10) ，(6,8) ，(6,9)，(6,10) ，(7,8)， (7,9)，共有7 个基本 果．7所以所求的概率 P(A) ＝ 15.后 区 1．A2．B [ 由 意知在20 随机数中表示三次投 恰有两次命中的有：191、271、932、812、393，共 5 随机数，故所求概率5 ＝ 1＝ 0.25.]20 43．A [由 意知， (m ， n) ·(－1,1)＝－ m ＋ n<0 ，∴m>n.基本领件 共有6× 6＝ 36(个 )，切合要求的有 (2,1) ，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2) ，(4,3)，(5,1)，⋯，(5,4)， (6,1)， ⋯ ， (6,5)，共 1＋ 2＋ 3＋ 4＋ 5＝15( 个)．15 5∴P ＝ 36＝ 12.]124．D[落在直 x ＋y ＝ 2 上的概率 P(C 2)＝6，落在直 x ＋ y ＝ 3 上的概率 P(C 3)＝ 6；落2 1在直 x ＋ y ＝ 4 上的概率 P(C 4)＝ 6；落在直 x ＋ y ＝ 5上的概率 P(C 5 )＝6，故当 n3 和 4，事件 C n 的概率最大． ]5．D[由袋中随机拿出2 个小球的基本领件 数 10，拿出小球 注数字和3 的事件1,2.拿出小球 注数字和6 的事件 1,5 或 2,4.∴拿出的小球 注的数字之和3或6的概率1＋ 2 3P ＝10＝ 10.]6．120分析男教 有 n 人， 女教 有 (n ＋ 12)人．由已知从 些教 中 一人， 到男教 的概率P ＝ n ＝ 9，得 n ＝54，2n ＋ 12 20故参加 会的教 共有 120 人．17.5分析 cosπ5π 13＝ cos 3 ＝2，共 2 个．21x 体共有 10 个，所以概率 10＝ 5. 8．0.2分析 从 5 根竹竿中一次随机抽取 2 根竹竿共有 10( 种 ) 抽取方法，而抽取的两根竹竿度恰巧相差 0.3 m 的状况是 2.5 和 2.8,2.6 和 2.9 两种，∴概率 P ＝ 2＝ 0.2.10 9．解 (1)ab ， ac ， ad ，ae ， bc ， bd ， be ， cd ，ce ， de.共 10 种不一样 果． (2 分 )(2)“ 恰巧摸出 1 个黑球和 1 个 球 ” 事件 A ， 事件A 包含的基本领件ac ， ad ，6ae ， bc ， bd ， be ，共 6 个基本领件．所以P(A) ＝10＝ 0.6.所以恰巧摸出 1 个黑球和 1 个 球的概率 0.6.(7 分)(3)“起码摸出1 个黑球 ” 事件 B ， 事件 B 包含的基本领件ab ，ac ， ad ，ae ， bc ，bd ， be ，共 7 个基本领件，7所以 P(B) ＝ 10＝ 0.7.所以起码摸出 1 个黑球的概率0.7.(12 分 )10． 解“ 中三等 ” 的事件 A ，“ 中 ” 的事件 B ，从四个小球中有放回的取两个共有 (0,0)， (0,1)，(0,2) ，(0,3) ， (1,0) ，(1,1)， (1,2)， (1,3)， (2,0)， (2,1)， (2,2)， (2,3)， (3,0) ，(3,1)， (3,2)， (3,3)16 种不一样的方法． (2 分 )(1)两个小球号 相加之和等于 3 的取法有 4 种：(0,3)、 (1,2) 、 (2,1)、 (3,0)．故 P(A) ＝ 4 ＝ 1分 ) 16 4.(6 (2)由 (1)知，两个小球号码相加之和等于 3 的取法有 4 种．两个小球号码相加之和等于4 的取法有 3 种： (1,3)， (2,2) ， (3,1)， (8 分 ) 两个小球号码相加之和等于5 的取法有 2 种： (2,3)， (3,2) ，4329P(B) ＝16 ＋ 16＋16＝16.(12 分 )11．解因为实数对 (a ，b)的所有取值为： ( －2，－ 2)， (－ 2，－ 1)，(－ 2,1)，(－ 2,2)，(－1，－ 2)， (－ 1，－ 1)， (－ 1,1)， (－1,2) ，(1，－ 2)， (1，－ 1)， (1,1)， (1,2)， (2，－ 2)， (2，－1)， (2,1)， (2,2)，共 16 种． (3 分 )设“ 直线 y ＝ ax ＋ b 不经过第四象限 ” 为事件 A ，“ 直线 y ＝ ax ＋ b 与圆 x 2＋ y 2＝ 1 有公共点”为事件 B.(1)若直线 y ＝ ax ＋ b 不经过第四象限，则一定知足a ≥ 0，即知足条件的实数对(a ， b)b ≥ 0，有 (1,1)， (1,2)， (2,1)， (2,2)，共 4 种．∴P(A) ＝ 4 116＝ 4.故直线 y ＝ax ＋ b 不经过第四象限的概率为1 4.(6 分)(2)若直线 y ＝ ax ＋b 与圆 x 2＋ y 2＝ 1 有公共点， 则一定知足|b|≤ 1，即 b 2≤ a 2＋ 1.(8 分 )a 2＋ 1若 a ＝－ 2，则 b ＝－ 2，－ 1,1,2 切合要求，此时实数对 (a ， b)有 4 种不一样取值；若 a ＝－ 1，则 b ＝－ 1,1 切合要求，此时实数对 (a ， b)有 2 种不一样取值；若 a ＝ 1，则 b ＝－ 1,1 切合要求，此时实数对(a ， b)有 2 种不一样取值，若 a ＝ 2，则 b ＝－ 2，－ 1,1,2 切合要求，此时实数对 (a ， b)有 4 种不一样取值．∴知足条件的实数对 (a ， b)共有 12 种不一样取值．123∴P(B) ＝ 16＝ 4.故直线 y ＝ax ＋ b 与圆 x 2＋y 2＝ 1 有公共点的概率为34.(14 分)。

2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套学案70 算法与程序框图

2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套学案70 算法与程序框图
解第一步，设S的值为1.
第二步，设i的值为2.
第三步，如果i≤100执行第四步，否则转去执行第七步．
第四步，计算S乘i并将结果赋给S.
第五步，计数i加1并将结果赋给i.
第六步，转去执行第三步．
第七步，输出S的值并结束算法．
根据自然语言描述，程序框图如下：
变式迁移3286
解析数列{an}：4,7,10，…为等差数列，令an＝4＋(n－1)×3＝40，得n＝13，∴s＝4＋7＋…＋40＝＝286.
自我检测
1．A[由循环结构的程序框图可知需添加的运算为S＝x1＋x2＋…＋x10的累加求和．]
2．D[第一次运行N＝5，k＝1，S＝0，S＝0＋，1<5成立，进入第二次运行；k＝2，S＝＋，2<5成立，进入第三次运行；k＝3，S＝＋＋，3<5成立，进入第四次运行；k＝4，S＝＋＋＋，4<5成立，进入第五次运行；k＝5，S＝＋＋＋＋＝1－＝，5<5不成立，此时退出循环，输出S.]
变式迁移1阅读如图的程序框图，若输入的a、b、c分别是21、32、75，则输出的a、b、c分别是()
A．75、21、3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱB．21、32、75
C．32、21、75D．75、32、21
探究点二算法的条件结构
例2 (2011·杭州模拟)函数y＝，写出求该函数的函数值的算法，并画出程序框图．
变式迁移2给出一个如图所示的程序框图，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值的个数是()
3．D[由框图可知i＝0，s＝2→i＝1，s＝→i＝2，s＝－→i＝3，s＝－3→i＝4，s＝2，循环终止，输出s，故最终输出的s值为2.]
4．68
解析当输入l＝2，m＝3，n＝5时，不满足l2＋m2＋n2＝0，因此执行：y＝70l＋21m＋15n＝70×2＋21×3＋15×5＝278.由于278>105，故执行y＝y－105，执行后y＝278－105＝173，再执行一次y＝y－105后y的值为173－105＝68，此时68>105不成立，故输出68.

2016届高考数学文自由复习步步高系列专题01函数(通用版)(解析版)

2016届高考数学文自由复习步步高系列专题01函数(通用版)(解析版)

2016年高考备考之考前十天自主复习第一天 函数(文科)第一块 集合与简易逻辑考点一 集合的概念及运算[1]集合概念,元素与集合的属于关系1. 已知集合A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ∈Z ，且32－x ∈Z ，则集合A 中的元素个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【解析】选C ∵32－x ∈Z ，∴2－x 的取值有－3，－1,1,3，又∵x ∈Z ，∴x 值分别为5,3,1，－1，故集合A 中的元素个数为4，故选C.2. ( 四川省遂宁市2016届高三第二次诊断考试数学) 已知集合A ＝{1,2,4}，则集合B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A }中元素的个数为( )A ．3B ．6C ．8D ．9【答案】D【解析】选D 集合B 中元素有(1,1)，(1, 2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(4,1)，(4,2)，(4,4)，共9个．[2]集合间的关系(相等与包含)3.已知集合A ={}1,2,3,B ={}2,3，则（ ）A 、A =B B 、A ⋂B =∅C 、A ØBD 、B ØA 【答案】D【解析】由于2,2,3,3,1,1A B A B A B ∈∈∈∈∈∉，故A 、B 、C 均错，D 是正确的，选D . 4. 设集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，B ＝{(x ，y )|x －y ＝3}，则满足M ⊆(A ∩B )的集合M 的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C5.已知集合{}0,1,2,3,4M =,{}1,3,5N =,P M N =⋂,则P 的子集共有( ) A .2个 B .4个 C .6个 D .8个 【答案】B【解析】因为{}1,3M N ⋂=中有两个元素，所以其子集个数为224=个,故选B .6. ( 2016年浙江省杭州市严州中学高三三月阶段测试数学)已知集合{}2/320A x x x =-+=,{}/05,B x x x N =<<∈,则满足条件A C B ⊆⊆的集合C 的个数为( )A .1B . 2C .3D .4 【答案】D【解析】根据题意{}{}2/3201,2A x x x =-+==,{}/1,2,3,4B x =,再根据集合包含的定义可得满足A C B ⊆⊆的集合C 有{}{}{}{}1,2,1,2,3,1,2,4,1,2,3,4共 4个,故选D .[3]集合间的运算7. (江西省六校2016届高三3月联考数学)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1＜x ＜2m －1}．若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是( )A ．－3≤m ≤4B ．－3＜m ＜4C ．2＜m ≤4D ．m ≤4 【答案】D解析：当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2. 当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图11．则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1＜2m －1，解得2＜m ≤4.综上，m 的取值范围为m ≤4，故选D.8. (吉林省长春市普通高中2016届高三质量监测（二）)已知集合{}0x x P =≥，1Q 02x x x ⎧+⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，则()R Q P =I ð（ ）A ．(),2-∞B ．(],1-∞-C ．()1,0-D ．[]0,2 【答案】D【解析】由题意可知{|1Q x x =-≤或2}x >，则{|12}Q x x =-<≤R ð，所以()R Q P =I ð[]0,2. 故选D.9. 已知集合{}2430A x x x =-+<，{}24B x x =<<,则AB =（ ）（A ）（1，3） （B ）（1，4） （C ）（2，3） （D ）（2，4） 【答案】C【解析】因为{}{}243013A x x x x x =-+<=<<， 所以{}{}{}132423A B x x x x x x =<<<<=<<.故选：C.[4]韦恩图10. (宁夏回族自治区银川一中2016届高三第一次模拟考试数学) 设函数f (x )＝lg(1－x 2)，集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．[－1,0]B ．(－1,0)C ．(－∞，－1)∪[0,1)D ．(－∞，－1]∪(0,1)【答案】D[5]新概念11. 已知数集A ＝{a 1，a 2，…，a n }(1≤a 1＜a 2＜…＜a n ，n ≥2)具有性质P ：对任意的i ，j (1≤i ≤j ≤n )，a i a j 与a ja i两数中至少有一个属于A ，则称集合A 为“权集”，则( )A ．{1,3,4}为“权集”B ．{1,2,3,6}为“权集”C ．“权集”中元素可以有0D ．“权集”中一定有元素1 【答案】B【解析】由于3×4与43均不属于数集{1,3,4}，故A 不正确，由于1×2,1×3,1×6,2×3，62，63，11，22，33，66都属于数集{1,2,3,6}，故B 正确，由“权集”的定义可知a ja i 需有意义，故不能有0，同时不一定有1，C ，D 错误，选B. 考点二 命题[6]命题的真假判断与四种命题(原命题,否命题,逆命题,逆否命题)12. （黄冈中学2016届高三（上）期末考试数学试题理）以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号)．①“若log 2a >0，则函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在其定义域内是减函数”是真命题； ②命题“若a ＝0，则ab ＝0”的否命题是“若a ≠0，则ab ≠0”； ③命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆命题为真命题； ④命题“若a ∈M ，则b ∉M ”与命题“若b ∈M ，则a ∉M ”等价． 【答案】②④13. ( 2016年2月甘肃省部分普通高中高三第一次联考)下列推断错误的是( ) A.命题“若2320,x x -+=则1x = ”的逆否命题为“若1x ≠则2320x x -+≠”B.命题:p 存在R x ∈0，使得20010x x ++<，则非:p 任意R x ∈，都有210x x ++≥C.若p 且q 为假命题，则q p ,均为假命题D.“1x <”是“2320x x -+>”的充分不必要条件 【答案】C【解析】命题“若2320,x x -+=则1x = ”的逆否命题为“若1x ≠则2320x x -+≠”，正确；命题:p 存在R x ∈0，使得20010x x ++<，则非:p 任意R x ∈，都有012≥++x x ，正确；若p 且q 为假命题，则q p ,可能都是假命题，也可能一真一假，错误；当1<x 时，能得到0232>+-x x ；当0232>+-x x2>x 或1<x ，故答案为C.考点：命题真假性的判断.14.命题“若4πα=，则tan 1α=”的逆否命题是( )A .若α ≠4π，则tan α≠1 B . 若α=4π，则tan α≠1C . 若tan α≠1，则α≠4πD . 若tan α≠1，则α=4π【答案】C【解析】因为“若p ，则q ”的逆否命题为“若p ⌝，则q ⌝”，所以 “若α=4π，则tan α=1”的逆否命题是 “若tan α≠1，则α≠4π”.故选C .15. (四川省雅安中学2016届高三开学考试数学)下列命题正确的是（ ） ①若2(3)4log 32x f x =+，则8(2)(4)...(2)180f f f +++=；②函数()tan 2f x x =的对称中心是)0,2(πk （k Z ∈）； ③“32,10x R x x ∀∈-+≤”的否定是“01,23>+-∈∃x x R x ”；④设常数a 使方程sin x x a +=在闭区间[0,2π]上恰有三个解123,,x x x ，则123x x x ++73π=A ．①③B ．②③C ．②④D ．③④ 【答案】D[7]简单的逻辑连接词(真值表,否定)16. (广东省汕头市2016年高三第一次模拟考试数学)已知命题:p R x ∃∈，2lg x x ->，命题:q R x ∀∈，1x e >，则（ ）A ．命题p q ∨是假命题B ．命题p q ∧是真命题C ．命题()p q ∧⌝是真命题D ．命题()p q ∨⌝是假命题 【答案】D【解析】因为命题:p R x ∃∈，2lg x x ->是真命题，而命题:q R x ∀∈，1x e >，由复合命题的真值表可知命题()p q ∧⌝是真命题，选C17. ( 吉林省吉林市第一中学校2016届高三3月“教与学”质量检测（一）数学) 若命题p ：φ＝π2＋k π，k ∈Z ，命题q ：f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω≠0)是偶函数，则p 是q 的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A[8]全称与特称命题(命题真假与否定)18.命题"存在实数x ,使得1"x >的否定( )A .对任意实数x ,都有1x >B .不存在实数x ,使得1x ≤C .对任意实数x ,都有1x ≤D .存在实数x ,使得1x ≤ 【答案】C【解析】特称命题的否定为全称命题(注意要否定结论),故选C .19.已知命题:p x R ∀∈，23x x <；命题:q x R ∃∈，321x x =-，则下列命题中为真命题的是( ) A .p q ∧ B .p q ⌝∧C .p q ∧⌝D .p q ⌝∧⌝【答案】B【解析】当1x =-时,11112323--=>=,所以命题p 为假命题,不妨设()321f x x x =+-,因为()()011f f =-,所以根据零点存在性定理可得()f x 有零点,即()32010f x x x =⇒+-=321x x ⇒=-有根,则命题q 是真命题,所以p q ⌝∧为真命题,故选B .20.若命题“2,(1)10x R x a x ∃∈+-+<”是假命题，则实数a 的取值范围是 . 【答案】[]1,3-【解析】命题“2,(1)10x R x a x ∃∈+-+<”是假命题,则该命题的否定“()2,110x R x a x ∀∈+-+≥”为真命题，即不等式()2110x a x +-+≥在x R ∈上恒成立，则有()2140a ∆=--≤13a ⇒-≤≤，故填[]1,3-.考点三 充要条件的判断[9]充要条件的判断(大范围小范围)21.“2320x x -+->”是“1x >”成立的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件 【答案】A22.已知函数lg(4)y x =-的定义域为A ,集合{|}B x x a =<,若P ：“x A ∈”是 Q ：“x B ∈”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围 .【答案】()4,+∞【解析】函数()lg 4y x =-的定义域为{}{}/40/4x x x x ->=<,因为P ：“x A ∈”是Q ：“x B ∈”的充分不必要条件,故根据小范围可以推出大范围,大范围不能推出小范围可得A B Ø,则画出数轴可得4a >(注4a =时,P 是Q 的充要条件),故填()4,+∞.[10] 充要条件的判断(递推关系,命题真假)23. ( 四川省遂宁市2016届高三第二次诊断考试数学理6)设a 、b 是实数，则“22a b >”是“0a b >>”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】若0a b >>，则必有22a b >.22a b >时，不一定有0a b >>，故为必要而不充分条件，选B.24. ( 2016年浙江省杭州市严州中学高三三月阶段测试数学)若π02x <<，则1tan <x x 是1sin <x x 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A25. ( 2016漳州市普通高中毕业班质量检查数学) “211n n n a a a +-=，2n ≥且n ∈N ”是“数列{}n a 为等比数列”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】如数列{}n a 为等比数列，根据等比中项定义，等比数列从第二项起，每一项都是其相邻两项的等比中项，即2n ≥且n N ∈时，211n n n a a a +-=成立，反过来，若0n a =，满足条件“211n n n a a a +-=，2n ≥且n ∈N ”的要求，但数列{}n a 不是等比数列，所以“211n n n a a a +-=，2n ≥且n ∈N ”是“数列{}n a 为等比数列”成立的必要不充分条件 ,选A.[11]已知条件关系求条件26.双曲线221y x m-=的充分必要条件是( )A .12m >B .1m ≥C .1m >D .2m >【答案】C【解析】根据题意得,()221,0a b m m ==>,则121e m m =>⇔+>⇔>,故选C .27. (安徽省安庆五校联盟2016届高三下学期3月联考数学)已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，3()log (1)=+f x x ．若关于x 的不等式2[(2)](22)f x a a f ax x ++≤+的解集为A ，函数()f x 在[8,8]-上的值域为B ，若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】20a -≤≤第二块 基本初等函数 函数与方程及函数的应用考点一 基本初等函数的图像与性质 [1]基本初等函数图像1. ( 2016漳州市普通高中毕业班质量检查数学) 函数f (x )＝2x ＋sin x 的部分图象可能是( )【答案】A【解析】选A 因为x ∈R ，f (－x )＝－2x －sin x ＝－f (x )，所以函数图象关于原点对称，又f ′(x )＝2＋cos x ＞0，所以函数单调递增，因此选A.2. 已知f (x )＝⎩⎨⎧－2x ，－1≤x ≤0，x ，0＜x ≤1，则下列函数的图象错误的是( )解析：选D 先在坐标平面内画出函数y ＝f (x )的图象，如图所示，再将函数y ＝f (x )的图象向右平移1个单位长度即可得到y ＝f (x －1)的图象，因此A 正确；作函数y ＝f (x )的图象关于y 轴的对称图形，即可得到y ＝f (－x )的图象，因此B 正确；y ＝f (x )的值域是[0,2]，因此y ＝|f (x )|的图象与y ＝f (x )的图象重合，C 正确；y ＝f (|x |)的定义域是[－1,1]，且是一个偶函数，当0≤x ≤1时，y ＝f (|x |)＝x ，相应这部分图象不是一条线段，因此选项D 不正确．综上所述，选D.3.函数13y x x =-的图像大致为( )【答案】A【解析】函数13y x x =-为奇函数.当0x >时,由130x x ->,即3x x >,可得21x >,故x >1,结合选项A ,故选A .[2]基本初等函数性质4. （怀化市中小学课程改革教育质量监测2016年高三第一次模）已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ，若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)【答案】C【解析】 ∵f (x )是奇函数，∴当x ＜0时，f (x )＝－x 2＋2x .作出函数f (x )的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f (x )是R 上的增函数，由f (2－a 2)＞f (a )，得2－a 2＞a ，解得－2＜a ＜1.5. (江西省六校2016届高三3月联考数学)若函数221,0()(1),0ax ax x f x a e x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩在(,)-∞+∞上单调，则实数a 的取值范围是 ．【答案】((,-∞⋃.【解析】若20,1,0a y ax x >=+≥表示开口向上的抛物线位于y 轴右侧的部分，且过点(0,1)，此时函数为单调增函数；为使函数221,0()(1),0axax x f x a e x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩在(,)-∞+∞上单调，须2(1),0ax y a e x =-<是单调增函数且20(1)1a a e⨯-≤，即2210,(11a a e ⎧->⎨-≤⎩）解得1a <≤；若20,1,0a y ax x <=+≥表示开口向下的抛物线位于y 轴右侧的部分，且过点(0,1)，此时函数为单调减函数；为使函数221,0()(1),0ax ax x f x a e x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩在(,)-∞+∞上单调，须2(1),0ax y a e x =-<是单调减函数且20(1)1a a e⨯-≥，即2210,(11a a e ⎧->⎨-≥⎩）解得a ≤；综上知，答案为((,-∞⋃.6. 下列函数中，既是偶函数又在区间 (－∞，0)上单调递增的是( )A ．f (x )＝1x 2B ．f (x )＝x 2＋1C ．f (x )＝x 3D ．f (x )＝2－x【答案】A【解析】因为y ＝x 2在(－∞，0)上是单调递减的，故y ＝1x2在(－∞，0)上是单调递增的，又y＝1x2为偶函数，故A 对；y ＝x 2＋1在(－∞，0)上是单调递减的，故B 错；y ＝x 3为奇函数，故C 错；y ＝2－x为非奇非偶函数，故D 错．选A.[3]指对数运算(求值)7. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 4x ，x >0，2－x，x ≤0，则f (f (－4))＋f ⎝⎛⎭⎫log 216＝________. 【答案】8【解析】f (f (－4))＝f (24)＝log 416＝2，∵log 216<0，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫log 216＝221log 6-＝221log 6＝6，即f (f (－4))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 216＝8.8.方程91331xx+=-的实数解为 . 【答案】3log 49. lg 51 000－823＝( )A ．235B ．－175C ．－185 D ．4【答案】B【解析】lg 51 000－823＝lg 1035－(23)23＝35－4＝－175.10.已知y x ,为正实数,则( ) A .y x yx lg lg lg lg 222+=+ B . lg()lg lg 222x y x y += C .y x y x lg lg lg lg 222+=∙ D .lg()lg lg 222xy x y =【答案】D【解析】根据指对数的运算公式((),log log log a b a ba a a x x x x y xy +=+=)有lg lg lg lg 222x yx y +=,()lg lg lg lg lg 2222xy x y x y +==,()lg lg lg lg 22yx y x =,所以选项D 是正确的,故选D .11.23log 9log 4⨯=( ) A .14B .12C .2D .4【答案】D【解析】根据对数的换底公式(log log log c a c bb a=)得23lg 9lg 42lg 32lg 2log 9log 44lg 2lg 3lg 2lg 3⨯=⨯=⨯=,故选D .[4]指对数大小比较12. 已知a ＝312，b ＝log 1312，c ＝log 213，则( )A ．a >b >cB ．b >c >aC ．c >b >aD ．b >a >c 【答案】A【解析】 ∵a ＝312>1,0<b ＝log 1312＝log 32<1，c ＝log 213<0，∴a >b >c ，故选A.13.若()ln 1ln 1,1,ln ,,2xx x e a x b c e -⎛⎫∈=== ⎪⎝⎭则a ,b ,c 的大小关系为( )A .c >b >aB .b >c >aC .a >b >cD .b >a >c【答案】B【解析】根据对应指对数的单调性可得,当()1,1x e -∈时,1ln ln ln110e x a -<<⇒-<<,()ln 1,1xc e x e -==∈,0ln 11111ln ln ln11ln 0222xe x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<⇒-<<⇒<< ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则b >c >a .故选B .[5]幂函数概念14.已知幂函数()y f x =的图象过点1(2,则4log (2)f 的值为( ) A .14 B .－14C .2D .－2 【答案】A15.已知幂函数()253()1m f x m m x---=-在(0，＋∞)上是增函数，则m ＝________.【答案】1-【解析】因为函数()253()1m f x m m x---=-是幂函数，所以m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m＝－1.当m ＝2时，－5m －3＝－13，函数y ＝x－13在(0，＋∞)上是减函数；当m ＝－1时，－5m －3＝2，函数y ＝x 2在(0，＋∞)上是增函数,所以m ＝－1.故填1-.[6]反函数16.设函数()y f x =存在反函数1()y f x -=,且函数()y x f x =-的图象过点(1,2),则函数1()y f x x -=-的图象一定过点 .【答案】()1,2-【解析】由函数()y x f x =-的图象过点(1,2)得: (1)1,f =-即函数()y f x =过点(1,1),-则其反函数过点(1,1),-即()111f --=,所以函数1()y f x x -=-的图象一定过点(1,2).-考点二 函数零点[7]零点存在性定理(正向用 逆向用)17. 已知函数f (x )＝6x－log 2x ，在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,4)D ．(4，＋∞)【答案】C【解析】因为f (1)＝6－log 21＝6＞0，f (2)＝3－log 22＝2＞0，f (4)＝32－log 24＝－12＜0，所以函数f (x )的零点所在区间为(2,4)．18. 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ln x －a ，x ＞0，－x 2－2x －a ，x ≤0，有三个零点，则实数a 的取值范围是________．【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，1【解析】令g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ln x ，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0，h (x )＝a ，则问题转化为g (x )与h (x )的图象有三个交点，g (x )图象如图．由图象知－1e＜a ＜1.[8]二次函数零点问题19. (四川省雅安中学2016届高三开学考试数学)函数()f x 的零点与()422xg x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25， 则()f x 可以是（ ） A. ()1xf x e =-B. ()2(1)f x x =-C. ()41f x x =-D.)21ln()(-=x x f【答案】C【解析】由已知易知()422xg x x =+-是增函数，0232)41(<-=g ，01)21(>=g ，故)21,41(0∈∃x ，使得0)(0=x g ，选项A 的零点为0，故)21,41(00∈-x ；选项B 的零点为1，)1,21(10∈-x ；选项C 的零点为41，)41,0(410∈-x ；选项D 的零点为23，)45,1(230∈-x ，综上应选C[9]分段函数的零点问题20. (浙江省绍兴市2016届高三上学期期末统考数学)已知()11f x x =-，()()()111n n f x n f x +=+-，n *∈N ，若函数()3y f x kx =-恰有4个不同零点，则正实数k的值为 ． 【答案】2 【解析】试题分析：作出函数)(2x f 图象， 1)(3)(23-=x f x f 可看做在)(2x f 的基础上纵坐标伸长为原来的3倍，再将图象向下移一个单位得到1)(32-x f ，最后将x 轴下方的翻折可得到1)(3)(23-=x f x f 的图象如图，由图可知函数()3y f x kx =-恰有4个不同零点即)(3x f y =与kx y =只有4个交点，此时k 的值为0或2，又k 为正实数，故k 的值为221. (山东省潍坊市第一中学2014届高三1月期末考前模拟数学理12)已知函数⎩⎨⎧>≤+=0,10,2)(x nx x kx x f ()k R ∈，若函数()y f x k =+有三个零点，则实数k 的取值范围是（A ）2k ≤ （B ）10k -<< （C ）21k -≤<- （D ）2k ≤-【答案】D【解析】由题意若0>k ，则函数()y f x k =+无零点，若0=k 时，函数()y f x k =+只有1个零点，故0<k ，要使函数()y f x k =+有三个零点，只需)(x f y =与k y -=有三个交点即可，作出示意图，易知当2≥-k 即2k ≤-时，函数()y f x k =+有三个零点[11]图像交点(数形结合)22. (江苏省扬州中学2016届高三3月期初考试数学试题12)已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()|2|f x x x =-．若关于x 的方程2()()0(,)f x af x b a b R ++=∈恰有10个不同实数解，则a 的取值范围为 ___▲ ． 【答案】(2,1)-- 【解析】试题分析：函数()f x 的图象如图所示，要使方程2()()0(,)f x af x b a b R ++=∈恰有10个不同实数解，则方程02=++b ax x 有两个根21,x x ，且一个根101<<x ，另一个根12=x ，故⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=++<-<>∆0011200b b a a12-<<-a23.设函数22,()ln )3(x x g x x x x f e +-=+-=. 若实数a , b 满足()0,()0f a g b ==, 则( ) A .0a b << B .0b a << C .0a b <<D .0b a <<【答案】C【解析】由题得,,a b 分别为函数()(),f x g x 零点,因此考虑利用函数图像的交点判断()(),f x g x 零点,a b 的大致位置(即范围),因为函数()f x 的零点a 为()0202x x f x e x e x =⇒+-=⇒=-的根,所以a 为函数x y e =与2y x =-的图像交点的横坐标,画出两个函数的图像如图1,同理,b 为函数ln y x =与23y x =-的图像交点的横坐标,画出两个函数的图像如图2,则根据图1和图2可以判断01,1a b <<>,故选C .图1 图2<另解>因为()()()()010,10f f g g e <<,所以根据零点存在性定理可得()0,1a ∈()1,b e ∈,故选C .24.对实数a 和b ,定义运算“⊗”: a b ⊗=,1,1a ab b a b -≤⎧⎨->⎩,设函数2()(2)(1)f x x x =-⊗-,x R ∈.若函数()y f x c =-的图象与x 轴恰有两个公共点,则实数c 的取值范围是( )A .(1,1](2,)-⋃+∞B .(2,1](1,2]--⋃C . (,2)(1,2]-∞-⋃D .[2,1]-- 【答案】B【解析】根据运算“⊗”的定义可得2()(2)(1)f x x x =-⊗-()()()()2222,2111,211x x x x x x ⎧----≤⎪=⎨---->⎪⎩()22,121,12x x f x x x x ⎧--≤≤⇒=⎨-<->⎩或,画出分段函数()22,121,12x x f x x x x ⎧--≤≤=⎨-<->⎩或的图像,而数()y f x c =-的图象与x 轴恰有两个公共点,即()()0f x x f x c -=⇒=有两个根,因此()f x 与y c =的图像有两个公共点,而y c =的图像为一条平行于x 轴的直线,由图可得当21c -<≤-或12c <≤时,()f x 与y c=的图像有两个公共点,故选B .[11]二分法25.用二分法研究函数()331f x x x =+-的零点时，第一次经计算f (0)<0，f (0.5)>0可得其中一个零点x 0∈______，第二次应计算________．【答案】()0,0.5,()0.25f【解析】因为()331f x x x =+-是R 上的连续函数，且f (0)<0，f (0.5)>0，则f (x )在()0,0.5x ∈上存在零点，且第二次验证时需验证f (0.25)的符号．考点三 函数的实际应用 [12]二次,三次等多项式函数模型26. （怀化市中小学课程改革教育质量监测2016年高三第一次模考）某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x)(+∈N x 名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为3x10（a-）500万元)0(>a ，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高%2.0x ．（Ⅰ）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a 的取值范围是多少？ 【答案】（1）500，（2）05a <≤．【解析】（1）设调整x 名工人从事第三产业，由题意，得110(1000)(10.2)101000100x x -+⋅≥⨯，即25000x x -≤2x ，又x ＞0，所以0500x <≤．即最多调整500名员工从事第三产业1. （黄冈中学2016届高三（上）期末考试数学试题）设全集U =R ，{}111,202x A x x B x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=+<=-≥⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则图中阴影部分所表示的集合( ）A ．()2,0-B ．(]2,1--C ．(1,0]-D ．(1,0)-【答案】D【解析】试题分析：图中阴影部分所表示的集合A B C u ⋂,由题意{}{}02|1|1||<<-=<+=x x x x A ， {}1|02)21(|-≤=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-=x x x B x ，{}1|-≥=x x B C u 所以=⋂A B C u (1,0)-.考点：集合的运算性质.2.已知集合32A x x Z Z x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭且，则集合A 中的元素个数为（ ） A .2 B .3 C .4D .5【答案】C 【解析】32Z x∈-，2x -的取值有3-、1-、1、3，又x Z ∈， x ∴值分别为5、3、1、1-，故集合A 中的元素个数为4，故选C .考点：数的整除性3.定义在R 上的偶函数f (x )在（0，＋∞)上是增函数，且f (13)＝0，则不等式()0xf x >的解集是( )A ．(0，13)B ．(13 ，＋∞)C ．(-13，0)∪(13，＋∞)D ．(-∞，-13)∪(0，13) 【答案】C【解析】∵偶函数f (x )在（0，＋∞)上为增函数，又f (13)＝0，所以函数f (x )的代表图如图，()0xf x >解集是(-13，0)∪(13，＋∞)，选C考点：函数单调性 数形结合4. (2016年3月德阳市四校高三联合测试数学理2)下列命题中，真命题是( )A.000≤∈∃x e R x ，B.11>>b a ，是1>ab 的充分条件C.R x ∈∀，22x x >D. 0=+b a 的充要条件是1-=ba 【答案】B【解析】因为对任意的x R ∈ ，都有0x e > ，所以选项A 不正确； 因为根据不等式的性质，由10,10a b >>>> 可得：1ab > ，所以11>>b a ，是1>ab 的充分条件；所以选项B 正确；因为当3x = 时，3223< ，所以选项C 不正确；因为当0a b == 时，0a b +=，但1a b=-不成立，所以选项D 不正确.综上只有选项B 正确，故选B. 考点：命题与充要条件.5.函数1,0()2,0x x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩，则f (f (0))的值为_________.【答案】1 【解析】因为1,0()2,0x x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩，所以(0)1f =,则f (f (0))=f (1)=1，管填1 考点：分段函数6.已知函数f (x )=x -[x ],其中[x ]表示不超过实数x 的最大整数，若关于x 的方程f (x )=kx +k 有三个不同的实根，则实数k 的取值范围是__________. 【答案】1111,,243⎛⎤⎡⎫--⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【解析】关于x 的方程()f x kx k =+有三个不同的实数根，转化为()y f x =，()1y kx k k x =+=+，两个函数图像有三个不同的交点，函数()y f x =的图像如图，函数()1y k x =+恒过定点为()1,0-，观察图像易得：1111,,243k ⎛⎤⎡⎫∈--⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.考点：新概念 数形结合7. (2016年3月德阳市四校高三联合测试数学理10)已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<-+-+≥-+=0)3()4(0)1()(2222x a x a a x x a k kx x f ，，，其中a ∈R ，若对任意非零实数1x ，存在唯一实数)(212x x x ≠，使得)()(21x f x f =成立，则实数k 的最小值为( )A.-8B.-6C.6D.8【答案】D8. (2016江西省景德镇高三第二质检数学)已知函数()(2)(-5)f x x x ax =++2的图象关于点(-2,0)中心对称，设关于x 的不等式()()f x m f x +<的解集为A ，若(5,2)A --⊆，则实数m 的取值范围是 ．【答案】3m ≤-或3m =【解析】函数()f x 的图象关于点(-2,0)中心，()()()()0f x m f x f x m f x +<⇔+-<，22()()[33(4)63]f x m f x m x m x m m +-=+++++，显然0m =不舍题意，当0m >时，()()0f x m f x +-<⇔对称，则(4)(0)f f -=-，由此求得4a =，所以 232()(2)(45)6310f x x x x x x x =++-=++-2233(4)630x m x m m +++++<，由题意22223(5)15(4)6303(2)6(4)630m m m m m m ⎧⋅--++++≤⎪⎨⋅--++++≤⎪⎩3633m m ≤≤⎧⇒⎨-≤≤⎩3m ⇒=， 当0m <时，()()0f x m f x +-<⇔2233(4)630x m x m m +++++>， 因为422m +->-，所以由题意223(2)6(4)630m m m ⋅--++++≥3m ⇒≤-或3m ≥（舍去），3m ⇒≤-，综上，m 的取值范围是3m ≤-或3m =．9.已知12)(-=x x f ，21)(x x g -=，规定：当)(|)(|x g x f ≥时, |)(|)(x f x h =；当)(|)(|x g x f <时, )()(x g x h -=，则)(x h （ ）A ． 有最小值1-,最大值1B ． 有最大值1,无最小值C ． 有最小值1-,无最大值D ． 有最大值1-,无最小值【答案】C【解析】由题得,利用平移变化的知识画出函数|()|,()f x g x 的图像如下,而|()|,|()|()()(),|()|()f x f x g x h x g x f x g x ≥⎧=⎨-<⎩,故)(x h 有最小值1,无最大值.考点：函数图像平移变化10. ( 2016年东北三省四市教研联合体高考模拟试卷（一）)已知函数()()()()211221x x x x f x x e e x e e ---=----，则满足()0f x >的实数x 的取值范围为 ． 【答案】⎪⎭⎫⎝⎛1,31。

2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套学案51 椭圆

2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套学案51 椭圆

学案51 椭 圆导学目标： 1.了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义，几何图形、标准方程及其简单几何性质．自主梳理1．椭圆的概念在平面内与两个定点F 1、F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做________．这两定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫________．集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a >0，c >0，且a ，c 为常数： (1)若________，则集合P 为椭圆； (2)若________，则集合P 为线段； (3)若________，则集合P 为空集． 2．椭圆的标准方程和几何性质自我检测1．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )A ．2 3B ．6C ．4 3D ．122．(2011·揭阳调研)“m >n >0”是方程“mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3．已知椭圆x 2sin α－y 2cos α＝1 (0≤α<2π)的焦点在y 轴上，则α的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫3π4，π B.⎝⎛⎭⎫π4，3π4C.⎝⎛⎭⎫π2，πD.⎝⎛⎭⎫π2，3π44．椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的( )A ．7倍B ．5倍C ．4倍D ．3倍 5．(2011·开封模拟)椭圆5x 2＋ky 2＝5的一个焦点是(0,2)，那么k 等于( ) A ．－1 B ．1 C. 5 D ．－ 5探究点一 椭圆的定义及应用例1 (教材改编)一动圆与已知圆O 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，与圆O 2：(x －3)2＋y 2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程．变式迁移1 求过点A (2,0)且与圆x 2＋4x ＋y 2－32＝0内切的圆的圆心的轨迹方程．探究点二 求椭圆的标准方程例2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程： (1)长轴是短轴的3倍且经过点A (3,0)；(2)经过两点A (0,2)和B ⎝⎛⎭⎫12，3.变式迁移2 (1)已知椭圆过(3,0)，离心率e ＝63，求椭圆的标准方程；(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P 1(6，1)、P 2(－3，－2)，求椭圆的标准方程．探究点三 椭圆的几何性质例3 (2011·安阳模拟)已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°. (1)求椭圆离心率的范围；(2)求证：△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关．变式迁移3 已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的长、短轴端点分别为A 、B ，从此椭圆上一点M (在x 轴上方)向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F 1，AB ∥OM .(1)求椭圆的离心率e ；(2)设Q 是椭圆上任意一点，F 1、F 2分别是左、右焦点，求∠F 1QF 2的取值范围．方程思想的应用例 (12分)(2011·北京朝阳区模拟)已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，且经过点M (1，32)，过点P (2,1)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A ，B .(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在直线l ，满足P A →·PB →＝PM →2？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【答题模板】解 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由题意得⎩⎨⎧1a 2＋94b 2＝1，c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2.解得a 2＝4，b 2＝3.故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.[4分](2)若存在直线l 满足条件，由题意可设直线l 的方程为y ＝k (x －2)＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k (x －2)＋1，得(3＋4k 2)x 2－8k (2k －1)x ＋16k 2－16k －8＝0.[6分] 因为直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ， 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 所以Δ＝[－8k (2k －1)]2－4·(3＋4k 2)·(16k 2－16k －8)>0.整理得32(6k ＋3)>0，解得k >－12.[7分]又x 1＋x 2＝8k (2k －1)3＋4k 2，x 1x 2＝16k 2－16k －83＋4k 2，且P A →·PB →＝PM →2，即(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝54，所以(x 1－2)(x 2－2)(1＋k 2)＝54，即[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4](1＋k 2)＝54.[9分]所以[16k 2－16k －83＋4k 2－2×8k (2k －1)3＋4k 2＋4](1＋k 2)＝4＋4k 23＋4k 2＝54，解得k ＝±12.[11分]所以k ＝12.于是存在直线l 满足条件，其方程为y ＝12x .[12分]【突破思维障碍】直线与椭圆的位置关系主要是指公共点问题、相交弦问题及其他综合问题．反映在代数上，就是直线与椭圆方程联立的方程组有无实数解及实数解的个数的问题，它体现了方程思想的应用，当直线与椭圆相交时，要注意判别式大于零这一隐含条件，它可以用来检验所求参数的值是否有意义，也可通过该不等式来求参数的范围．对直线与椭圆的位置关系的考查往往结合平面向量进行求解，与向量相结合的题目，大都与共线、垂直和夹角有关，若能转化为向量的坐标运算往往更容易实现解题功能，所以在复习过程中要格外重视．直线的基础知识、线段的中点、弦长、垂直问题等，分析此类问题时，要充分利用数形结合法、设而不求法、弦长公式及根与系数的关系去解决．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分) 1．(2011·温州模拟)若△ABC 的两个顶点坐标分别为A (－4,0)、B (4,0)，△ABC 的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为( )A.x 225＋y 29＝1 (y ≠0)B.y 225＋x 29＝1 (y ≠0)C.x 216＋y 29＝1 (y ≠0)D.y 216＋x 29＝1 (y ≠0) 2．已知椭圆x 210－m ＋y2m －2＝1，长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．5C ．7D ．83．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是( )A.32B.22C.2－1D. 2 4．(2011·天门期末)已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，N (2,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线5．椭圆x 225＋y29＝1上一点M 到焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |等于( )A ．2B ．4C ．8 D.32二、填空题(每小题4分，共12分)6．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为______________．7．(2011·唐山调研)椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝________；∠F 1PF 2的大小为________．8.如图，已知点P 是以F 1、F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y2b2＝1 (a >b >0)上一点，若PF 1⊥PF 2，tan ∠PF 1F 2＝12，则此椭圆的离心率是______．三、解答题(共38分)9．(12分)已知方向向量为v ＝(1，3)的直线l 过点(0，－23)和椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点，且椭圆的离心率为63.(1)求椭圆C 的方程；(2)若已知点D (3,0)，点M ，N 是椭圆C 上不重合的两点，且DM →＝λDN →，求实数λ的取值范围．10．(12分)(2011·烟台模拟)椭圆ax 2＋by 2＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，C 是AB 的中点，若|AB |＝22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程．11．(14分)(2010·福建)已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点．(1)求椭圆C 的方程．(2)是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．学案51 椭 圆自主梳理1．椭圆 焦点 焦距 (1)a>c (2)a ＝c (3)a<c 自我检测1．C 2.C 3.D 4.A 5.B 课堂活动区例1 解 如图所示，设动圆的圆心为C ，半径为r.则由圆相切的性质知， |CO 1|＝1＋r ，|CO 2|＝9－r ， ∴|CO 1|＋|CO 2|＝10， 而|O 1O 2|＝6，∴点C 的轨迹是以O 1、O 2为焦点的椭圆，其中2a ＝10,2c ＝6，b ＝4. ∴动圆圆心的轨迹方程为 x 225＋y 216＝1. 变式迁移1 解 将圆的方程化为标准形式为： (x ＋2)2＋y 2＝62，圆心B(－2,0)，r ＝6. 设动圆圆心M 的坐标为(x ，y)， 动圆与已知圆的切点为C.则|BC|－|MC|＝|BM|， 而|BC|＝6， ∴|BM|＋|CM|＝6. 又|CM|＝|AM|，∴|BM|＋|AM|＝6>|AB|＝4.∴点M 的轨迹是以点B(－2,0)、A(2,0)为焦点、线段AB 中点(0,0)为中心的椭圆． a ＝3，c ＝2，b ＝ 5.∴所求轨迹方程为x 29＋y 25＝1.例2 解题导引 确定一个椭圆的标准方程，必须要有一个定位条件(即确定焦点的位置)和两个定形条件(即确定a ，b 的大小)．当焦点的位置不确定时，应设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1 (a>b>0)或y 2a 2＋x2b 2＝1 (a>b>0)，或者不必考虑焦点位置，直接设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m>0，n>0，且m ≠n)．解 (1)若椭圆的焦点在x 轴上，设方程为x 2a 2＋y 2b2＝1 (a>b>0)．∵椭圆过点A(3,0)，∴9a2＝1，∴a ＝3，又2a ＝3·2b ，∴b ＝1，∴方程为x 29＋y 2＝1.若椭圆的焦点在y 轴上，设方程为y 2a 2＋x 2b2＝1 (a>b>0)．∵椭圆过点A(3,0)，∴9b2＝1，∴b ＝3，又2a ＝3·2b ，∴a ＝9，∴方程为y 281＋x 29＝1.综上可知椭圆的方程为x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1.(2)设经过两点A(0,2)，B ⎝⎛⎭⎫12，3的椭圆标准方程为mx 2＋ny 2＝1，将A ，B 坐标代入方程得⎩⎪⎨⎪⎧ 4n ＝114m ＋3n ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1n ＝14，∴所求椭圆方程为x 2＋y 24＝1.变式迁移2 解 (1)当椭圆的焦点在x 轴上时，∵a ＝3，c a ＝63，∴c ＝6，从而b 2＝a 2－c 2＝9－6＝3，∴椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1.当椭圆的焦点在y 轴上时，∵b ＝3，c a ＝63，∴a 2－b 2a ＝63，∴a 2＝27. ∴椭圆的标准方程为x 29＋y227＝1.∴所求椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1或x 29＋y 227＝1.(2)设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1 (m>0，n>0且m ≠n)． ∵椭圆经过P 1、P 2点，∴P 1、P 2点坐标适合椭圆方程，则⎩⎪⎨⎪⎧6m ＋n ＝1， ①3m ＋2n ＝1， ②①②两式联立，解得⎩⎨⎧m ＝19，n ＝13.∴所求椭圆方程为x 29＋y 23＝1.例3 解题导引 (1)椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，得到a 、c 的关系．(2)对△F 1PF 2的处理方法⎩⎪⎨⎪⎧定义式的平方余弦定理面积公式⇔⎩⎪⎨⎪⎧(|PF 1|＋|PF 2|)2＝(2a )2，4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos θ，S △＝12|PF 1||PF 2|sin θ.(1)解 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a>b>0)，|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n.在△PF 1F 2中，由余弦定理可知， 4c 2＝m 2＋n 2－2mn cos 60°.∵m ＋n ＝2a ，∴m 2＋n 2＝(m ＋n)2－2mn ＝4a 2－2mn. ∴4c 2＝4a 2－3mn ，即3mn ＝4a 2－4c 2. 又mn ≤⎝⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝a 2(当且仅当m ＝n 时取等号)， ∴4a 2－4c 2≤3a 2.∴c 2a 2≥14，即e ≥12.∴e 的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，1.(2)证明 由(1)知mn ＝43b 2，∴S △PF1F2＝12mn sin 60°＝33b 2，即△PF 1F 2的面积只与短轴长有关．变式迁移3 解 (1)∵F 1(－c,0)，则x M ＝－c ，y M ＝b 2a，∴k OM ＝－b 2ac .∵k AB ＝－ba ，OM ∥AB ，∴－b 2ac ＝－b a ，∴b ＝c ，故e ＝c a ＝22.(2)设|F 1Q|＝r 1，|F 2Q|＝r 2，∠F 1QF 2＝θ， ∴r 1＋r 2＝2a ，|F 1F 2|＝2c ，cos θ＝r 21＋r 22－4c22r 1r 2＝(r 1＋r 2)2－2r 1r 2－4c 22r 1r 2＝a 2r 1r 2－1≥a 2(r 1＋r 22)2－1＝0， 当且仅当r 1＝r 2时，cos θ＝0，∴θ∈[0，π2]．课后练习区1．A 2.D 3.C 4.B 5.B 6.x 236＋y 29＝1 7.2 120° 8.539．解 (1)∵直线l 的方向向量为v ＝(1，3)， ∴直线l 的斜率为k ＝ 3. 又∵直线l 过点(0，－23)， ∴直线l 的方程为y ＋23＝3x .∵a >b ，∴椭圆的焦点为直线l 与x 轴的交点．∴c ＝2.又∵e ＝c a ＝63，∴a ＝ 6.∴b 2＝a 2－c 2＝2.∴椭圆方程为x 26＋y 22＝1.(6分)(2)若直线MN ⊥y 轴，则M 、N 是椭圆的左、右顶点， λ＝3＋63－6或λ＝3－63＋6，即λ＝5＋26或5－2 6. 若MN 与y 轴不垂直，设直线MN 的方程为x ＝my ＋3(m ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 22＝1，x ＝my ＋3得(m 2＋3)y 2＋6my ＋3＝0.设M 、N 坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－6mm 2＋3，①y 1y 2＝3m 2＋3，②Δ＝36m 2－12(m 2＋3)＝24m 2－36>0，∴m 2>32.∵DM →＝(x 1－3，y 1)，DN →＝(x 2－3，y 2)，DM →＝λDN →，显然λ>0，且λ≠1， ∴(x 1－3，y 1)＝λ(x 2－3，y 2)．∴y 1＝λy 2.代入①②，得λ＋1λ＝12m 2m 2＋3－2＝10－36m 2＋3.∵m 2>32，得2<λ＋1λ<10，即⎩⎪⎨⎪⎧λ2－2λ＋1>0，λ2－10λ＋1<0，解得5－26<λ<5＋26且λ≠1.综上所述，λ的取值范围是5－26≤λ≤5＋26， 且λ≠1.(12分)10．解 方法一 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， 代入椭圆方程并作差得a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. 而y 1－y 2x 1－x 2＝－1，y 1＋y 2x 1＋x 2＝k OC ＝22，代入上式可得b ＝2a .(4分)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋by 2＝1x ＋y －1＝0，得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0，∴x 1＋x 2＝2ba ＋b ，x 1x 2＝b －1a ＋b ，再由|AB |＝1＋k 2 |x 2－x 1|＝2|x 2－x 1|＝22，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋b 2－4·b －1a ＋b＝4，(8分) 将b ＝2a 代入得a ＝13，∴b ＝23. ∴所求椭圆的方程是x 23＋2y 23＝1.(12分) 方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋by 2＝1，x ＋y ＝1 得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0.(2分)设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则|AB |＝(k 2＋1)(x 1－x 2)2＝2·4b 2－4(a ＋b )(b －1)(a ＋b )2. ∵|AB |＝22，∴a ＋b －ab a ＋b＝1.①(6分) 设C (x ，y )，则x ＝x 1＋x 22＝b a ＋b ，y ＝1－x ＝a a ＋b， ∵OC 的斜率为22，∴a b ＝22.(9分) 代入①，得a ＝13，b ＝23. ∴椭圆方程为x 23＋2y 23＝1.(12分) 11．解 方法一 (1)依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，且可知其左焦点为F ′(－2,0)．从而有⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2，2a ＝|AF |＋|AF ′|＝3＋5＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2，a ＝4.又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝12， 故椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(5分) (2)假设存在符合题意的直线l ，设其方程为y ＝32x ＋t . 由⎩⎨⎧y ＝32x ＋t ，x 216＋y 212＝1，得3x 2＋3tx ＋t 2－12＝0.(7分) 因为直线l 与椭圆C 有公共点，所以Δ＝(3t )2－4×3×(t 2－12)≥0，解得－43≤t ≤4 3.(9分)另一方面，由直线OA 与l 的距离d ＝4，得|t |94＋1＝4，解得t ＝±213.(12分) 由于±213∉[－43，43]，所以符合题意的直线l 不存在．(14分)方法二 (1)依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)， 且有⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋9b 2＝1，a 2－b 2＝4.解得b 2＝12或b 2＝－3(舍去)．从而a 2＝16.(3分) 所以椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(5分) (2)同方法一．。

2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套学案58变量间的相关关系]

2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套学案58变量间的相关关系]

教案 58变量间的有关关系学目： 1.会作两个有关量的数据的散点，会利用散点量的有关关系 .2.认识最小二乘法的思想，能依据出的性回方程系数公式成立性回方程．自主梳理1．两个量的性有关(1)正有关在散点中，点分布在从__________到 ________的地区，于两个量的种有关关系，我将它称正有关．(2)有关在散点中，点分布在从________到 ________的地区，两个量的种有关关系称有关．(3)性有关关系、回直假如散点中点的分布从整体上看大概在一条直邻近，我就称两个量之拥有性有关关系，条直叫做回直．2．回方程(1)最小二乘法求回直使得本数据的点到它的________________________ 的方法叫做最小二乘法．(2)回方程^^^方程 y ＝ b x＋ a 是两个拥有性有关关系的量的一数据(x1，y1 )，(x2，y2)，⋯， (x n，^^y n)的回方程，此中 a ， b 是待定参数．自我1．以下有关性回的法，不正确的选项是()A．有关关系的两个量不必定是因果关系B．散点能直地反应数据的有关程度C．回直最能代表性有关的两个量之的关系D．任一数据都有回直方程2．(2009 海·南，宁夏 )量 x， y 有数据 (x i， y i)(i ＝1,2，⋯， 10)，得散点 (1) ；量 u，v 有数据 (u i，v i)(i ＝ 1,2，⋯， 10)，得散点 (2)．由两个散点能够判断()A．量 x 与 y 正有关， u 与 v 正有关B．量 x 与 y 正有关， u 与 v 有关C．量 x 与 y 有关， u 与 v 正有关D．量 x 与 y 有关， u 与 v 有关3．(2011 ·川模 )下表是某厂1～4 月份用水量 (位：百吨 )的一数据：月份 x1234用水量 y 4.543 2.5^由散点图可知，用水量y 与月份 x 之间有较好的线性有关关系，其回归直线方程是y ＝^^－ 0.7x ＋a ，则 a 等于 ()A． 10.5B． 5.15C． 5.2 D ．5.254．(2010 广·东 )某市居民2005 ～ 2009 年家庭年均匀收入x(单位：万元 )与年均匀支出Y( 单位：万元 ) 的统计资料以下表所示：年份20052006200720082009收入 x11.512.11313.315支出 Y 6.88.89.81012依据统计资料，居民家庭年均匀收入的中位数是_________________________________ ，家庭年均匀收入与年均匀支出有______ 线性有关关系．5．(2011 金·陵中学模拟 )已知三点 (3,10)， (7,20)， (11,24) 的横坐标 x 与纵坐标 y 拥有线性关系，则其回归方程是________________.研究点一利用散点图判断两个变量的有关性例 1 有一位同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，获取一个卖出热饮杯数与当日气温的对照表：温度－ 504712151923273136(℃ )热饮15615013212813011610489937654杯数(1)画出散点图；(2)你能从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律吗？变式迁徙1某班5个学生的数学和物理成绩如表：学生A B C D E学科数学8075706560物理7066686462画出散点图，并判断它们能否有有关关系？研究点二求回归直线方程例 2 假定对于某设施的使用年限x 和所支出的维修花费y(万元 ) 有以下统计资料：使用年限 x23456维修花费 y 2.2 3.8 5.5 6.57.0^^^若由资料知 y 对 x 呈线性有关关系．试求回归方程y ＝ b x＋a .变式迁徙2已知变量x 与变量 y 有以下对应数据：x1234y 1323 22且 y 对 x 呈线性有关关系，求y 对 x 的回归直线方程．研究点三利用回归方程对整体进行预计例 3 下表供给了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨 )与相应的生产能耗 y(吨标准煤 )的几组比较数据．x3456y 2.534 4.5(1)请画出上表数据的散点图；^^^(2)请依据上表供给的数据，用最小二乘法求出y 对于 x 的回归方程 y＝ b x＋a ；(3)已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为90 吨标准煤．试依据(2)求出的回归方程，展望生产100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？(参照数值： 3×2.5＋ 4× 3＋ 5× 4＋6× 4.5＝ 66.5)变式迁徙 3 (2011 ·盐城期末 )某单位为了认识用电量y 度与气温 x℃之间的关系，随机统计了某 4 天的用电量与当日气温，并制作了比较表：气温 (℃)181310－ 1用电量 (度 )24343864^^^^由表中数据得回归方程y ＝ b x＋a 中 b ＝－ 2，展望当气温为－ 4℃时，用电量的度数约为 ________．1．有关关系与函数关系不一样．函数关系中的两个变量间是一种确立性关系．而有关关系是一种非确立性关系，即有关关系是非随机变量与随机变量之间的关系．函数关系是一种因果关系，而有关关系不必定是因果关系，也可能是陪伴关系．2．回归直线方程：设x 与 y 是拥有有关关系的两个变量，且相应于n 个观察值的n 个点大概分布在某一条直线的邻近，就能够以为y 对 x 的回归函数的种类为直线型：^^^y＝ b x＋ a .此中我们称这个方程为y 对 x 的回归直线方程．此中x ＝1ni，y＝1 ni，( x，y )称为∑∑n i ＝1xn i＝ 1y样本点的中心．n n^ 3．求回归直线方程的步骤：(1) 计算出 x 、 y 、∑x i2、∑x i y i的值； (2) 计算回归系数 a 、i ＝1i＝ 1^^^^b； (3) 写出回归直线方程 y ＝ b x＋ a .(满分： 75 分)一、选择题 (每题 5 分，共 25 分 )1．以下命题：①线性回归方法就是由样本点去找寻一条切近这些样本点的直线的数学方法；②利用样本点的散点图能够直观判断两个变量的关系能否能够用线性关系表示；^^^^③经过回归直线y 此中正确的命题是A．①②＝b x＋ a 及回归系数 b ，能够预计和展望变量的取值和变化趋向．()B．①③C．②③D．①②③^2．设有一个回归直线方程为y ＝ 2－ 1.5x，则变量x 增添一个单位时() A． y 均匀增添 1.5 个单位B． y 均匀增添 2 个单位C． y 均匀减少 1.5 个单位D． y 均匀减少 2 个单位3．(2011 ·西 ) (x 1， y1)， (x2， y2)，⋯， (x n， y n) 是量 x 和 y 的 n 个本点，直l 是由些本点通最小二乘法获取的性回直(如 )，以下中正确的选项是 ()A． x 和 y 的有关系数直l 的斜率B． x 和 y 的有关系数在 0 到 1 之C．当 n 偶数，分布在l 两的本点的个数必定同样D．直 l 点 ( x ， y )4．(2011 山· ) 某品的广告用x 与售 y 的数据以下表：广告用 x(万元 )4235售 y(万元 )49263954^^^^依据上表可得性回方程y ＝b x＋ a 中的 b9.4，据此模型广告用 6 万元售 ()A． 63.6 万元B． 65.5 万元C． 67.7 万元D． 72.0 万元5．(2011 青· 模 )了观察两个量x 和 y 之的性有关性，甲、乙两位同学各自独立做了 10 次和 15 次，而且利用性回方法，求得回直分l1、 l2，已知两人所得的数据中，量 x 和 y 的数据的均匀都相等，且分是s、t ，那么以下法中正确的是 ()A．直 l1和 l2必定有公共点 (s， t)B．直 l1和 l2订交，但交点不必定是(s，t)C．必有 l1∥ l 2D． l1与 l 2必然重合二、填空 (每小 4 分，共 12分 )6．以下关系中，是有关关系的________． (填序号 )①学生的学度与学成之的关系；②教的教水平与学生的学成之的关系；③学生的身高与学生的学成之的关系；④家庭的条件与学生的学成之的关系．(12.5,8.25)，回直的回7．已知回直的斜率的估是 0.73，本点的中心方程是______________ ．8．(2011 ·名月考茂 )在研究硝酸的可溶性程度，它在不一样温度的水中的溶解度，得果以下表：温度 (x)010205070溶解度 (y)66.776.085.0112.3128.0由此获取回直的斜率________．三、解答 (共 38 分 )9．(12 分 )(2011 威·海模 )某了定工定，需要确立加工部件所花的，此做了四次，获取的数据以下：部件的个数 x(个 )2345加工的 y(小 ) 2.534 4.5(1)在定的坐系中画出表中数据的散点；^^^(2)求出 y 对于 x 的回归方程 y＝ b x＋a ，并在座标系中画出回归直线；(3)试展望加工10 个部件需要多少时间？n^∑ x i y i－ n x y ^^(注： b ＝i＝ 1， a ＝ y － b x )n∑ x i2－ n x 2i ＝110． (12 分 )(2010 许·昌模拟 )某种产品的宣传费支出 x 与销售额 y(单位：万元 ) 之间有以下对应数据：x24568y3040605070(1)画出散点图；(2)求回归直线方程；(3)试展望宣传费支出为10 万元时，销售额多大？11． (14 分) 某公司上半年产品产量与单位成本资料以下：月份产量 (千件 )单位成本(元)127323723471437354696568(1)求出回归方程；(2)指出产量每增添 1 000 件时，单位成本均匀改动多少？(3)假定产量为 6 000 件时，单位成本为多少元？教案 58变量间的有关关系自主梳理1．(1)左下角右上角(2)左上角右下角 2.(1)距离的平方和最小n n∑ x i－ x y i－ y∑ x i y i－ n x yi＝1i＝1(2)n n∑ x i－ x 2∑ x i2－ n x 2i＝ 1i＝ 1^y － b x自我检测1．D 2.C 3.D^7234．13正 5.y ＝4x＋4讲堂活动区例 1 解题导引判断变量间能否线性有关，一种常用的简易可行的方法就是作散点图．散点图是由大批数据点分布组成的，是定义在拥有有关关系的两个变量基础之上的，对于性质不明确的两组数据可先作散点图，直观地剖析它们有没关系及关系的亲密程度．解 (1) 以 x 轴表示温度，以 y 轴表示热饮杯数，可作散点图，以下图．(2)从图中能够看出，各点分布在从左上角到右下角的地区里，所以，气温与热饮销售杯数之间是负有关关系，即气温越高，卖出去的热饮杯数越少．从散点图能够看出，这些点大概分布在一条直线邻近．变式迁徙1解以x轴表示数学成绩，y 轴表示物理成绩，可得相应的散点图以以下图所示：由散点图可见，二者之间拥有有关关系．例 2 解题导引依据题目给出的数据，利用公式求回归系数，而后获取回归方程．解制表以下：i12345共计x i2345620y i 2.2 3.8 5.5 6.57.025x i y i 4.411.422.032.542.0112.3x i 2491625369055x ＝ 4； y ＝5； ∑ x2i ＝ 90；∑ x i y i ＝112.3i ＝1i ＝1^112.3－ 5× 4×5于是有 b＝2＝ 12.3＝ 1.23；^^90－ 5× 410a ＝ y －b x＝5－ 1.23×4＝ 0.08.^∴回归直线方程为 y ＝ 1.23x ＋ 0.08.变式迁徙 2解x ＝ 1＋ 2＋ 3＋4 54＝ 2，1＋3＋2＋ 322＝ 7，y ＝4n4 ∑x i 2＝12＋ 22＋ 32＋ 42＝ 30，i ＝1n3＋3× 2＋ 4× 3＝ 43，∑x i y i ＝1× 1＋ 2×i ＝1 n 22243－ 4×5× 7^∑ x i y i －n x y∴b i ＝1＝ 22 4＝n25 ＝ 0.8，2 230－ 4×∑＝ x i － n x4i 1^^5＝－ 0.25，a ＝ y －b x ＝7－ 0.8×42^∴ y ＝ 0.8x －0.25.例 3 解题导引 利用描点法获取散点图，按求回归方程的步骤和公式，写出回归方程，最后对整体进行预计．利用回归方程能够进行展望，回归方程将部分观察值所反应的规律进行延长，是我们对有线性有关关系的两个变量进行剖析和控制，依照自变量的取值预计和预告因变量值的基础和依照，有宽泛的应用．解 (1) 散点图：(2) x ＝ 3＋4＋ 5＋ 6 ＝4.5， y ＝ 2.5＋ 3＋ 4＋ 4.5＝3.5，4 4 4∑x i y i ＝3× 2.5＋ 4× 3＋ 5× 4＋6× 4.5＝ 66.5.i ＝14 ∑x 2i ＝32＋ 42＋ 52＋ 62＝ 86，i ＝14^∑i ＝1x i y i －4 x y ∴b ＝ 4∑i ＝1x 2i － 4 x 266.5－ 4× 4.5× 3.5＝86－ 4× 4.52＝0.7，^^a ＝ y －b x ＝3.5－ 0.7× 4.5＝ 0.35.^∴所求的回归方程为 y ＝ 0.7x ＋ 0.35. (3)此刻生产 100 吨甲产品用煤^y ＝ 0.7× 100＋ 0.35＝70.35，∴降低 90－ 70.35＝ 19.65(吨标准煤 )． 变式迁徙 3 68 分析x ＝ 10， y ＝ 40，回归方程过点( x ， y )，^^∴40＝－ 2× 10＋ a .∴a ＝ 60. ^∴ y ＝－ 2x ＋ 60.^令 x ＝－ 4，y ＝ (－ 2)× (－ 4)＋ 60＝68. 课后练习区1．D [依据线性回归的含义、方法、作用剖析这三个命题都是正确的． ]2．C[设(x 1， y 1)， (x 2 ，y 2)在直线上，若 x 2＝x 1＋ 1，则 y 2－ y 1＝ (2－ 1.5x 2)－ (2－ 1.5x 1)＝ 1.5(x 1－x 2 )＝－ 1.5， y 均匀减少 1.5个单位． ]3．D [由于有关系数是表示两个变量能否拥有线性有关关系的一个值，它的绝对值越接近 1，两个变量的线性有关程度越强，所以 A 、B 错误． C 中 n 为偶数时，分布在 l 双侧的样本点的个数能够不同样，所以 C 错误．依据线性回归方程必定经过样本中心点可知D 正确．所以选 D .]4＋ 2＋ 3＋5＝ 7， y ＝ 49＋ 26＋ 39＋ 544．B [∵x ＝44 ＝ 42，2^^^7^ ^又y ＝ b x ＋a 必过 ( x， y ) ，∴ 42＝ 2× 9.4＋ a ， ∴a ＝ 9.1.^∴线性回归方程为 y ＝ 9.4x ＋ 9.1.^∴当x ＝ 6 时， y ＝ 9.4×6＋ 9.1＝65.5(万元 )． ]^^^^^5．A[回归直线方程为 y＝ b x ＋a.而 a ＝ y － b x ，^^^^即a ＝ t －b s ， t ＝ b s ＋ a .∴(s ，t) 在回归直线上． ∴直线 l 1 和 l 2 必定有公共点 (s ， t)． ] 6．①② 分析①中学生的学习态度与学习成绩之间不是因果关系，但拥有有关性，是有关关系．②教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系是有关关系．③④都不具备有关关系．^7.y ＝ 0.73x － 0.875^ ^分析 a ＝ y － bx ＝8.25－ 0.73× 12.5＝－ 0.875.8．0.880 9分析x ＝ 30， y ＝ 93.6，5 5∑x i 2＝7 900， ∑x i y i ＝ 17 035，i ＝1i ＝ 1∴回归直线的斜率为5^∑ i i － 5 xy17 035－ 5× 30× 93.6 i ＝1x yb ＝5＝ ≈0.880 9.∑x i 2－ 5 x27 900－ 4 500i ＝ 19．解(1)散点图以下图．(4 分 )4 (2)由表中数据得 ∑x i y i ＝ 52.5，i ＝14x ＝ 3.5， y ＝ 3.5， ∑x 2i ＝54，i ＝1 ^ ^^∴b ＝ 0.7.∴a ＝ y － b x ＝ 1.05.^∴ y ＝ 0.7x ＋1.05.回归直线如图中所示． (10 分 ) (3)将 x ＝ 10 代入回归直线方程， 得 y ＝ 0.7×10＋ 1.05＝8.05( 小时 )，∴展望加工 10 个部件需要 8.05 小时． (12 分 )10． 解 (1)依据表中所列数据可得散点图以下图：(4 分)25250(2)计算得： x ＝ 5＝5， y ＝ 5 ＝ 50，55∑ i2＝145， ∑ i y i ＝1 380.i ＝ 1xi ＝1x5－ 5 xy^∑1 380－ 5×5× 50i ＝ 1x i y i，于是可得 b＝522 ＝ 5×5 2＝6.5－5 x 145－∑ x i^^i ＝1a ＝ y －b x ＝50－ 6.5×5＝ 17.5，^所以，所求回归直线方程是 y ＝ 6.5x ＋ 17.5.(10 分 )^(3)由上边求得的回归直线方程可知，当宣传费支出为10 万元时， y ＝ 6.5× 10＋ 17.5＝82.5(万元 )，即这类产品的销售大概为82.5 万元． (12 分 )6611． 解(1)n ＝ 6， ∑x i ＝ 21， ∑y i ＝ 426， x ＝ 3.5， y ＝ 71，i ＝1i ＝ 166∑x i 2＝79， ∑x i y i ＝ 1 481，i ＝ 16i ＝1^∑ i i － 6 xy1 481－ 6×3.5× 71i ＝1x yb ＝6i 2－ 6 x 2 ＝ 79－ 6× 3.52≈－1.82.∑i ＝ 1x(3 分)2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套学案58变量间的相关关系]^^a＝ y － b x ＝71＋ 1.82× 3.5＝ 77.37.(5 分 )^^^∴回归方程为 y ＝ a ＋bx＝ 77.37－1.82x.(6 分 )^(2)由于单位成本均匀改动 b ＝－ 1.82<0 ，且产量 x 的计量单位是千件，所以依据回归系数b 的意义有：产量每增添一个单位即 1 000 件时，单位成本均匀减少 1.82 元． (10 分)(3)当产量为 6 000 件时，即 x＝ 6，代入回归方程：^y ＝ 77.37－1.82× 6＝66.45(元 )．∴当产量为 6 000 件时，单位成本为66.45 元．(14 分)-11-。

2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配

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x－y＝－1，由 得交点 A(－3，－2， x＋y＝－5 则目标函数 z＝x －5y 过 A 点时取得最大值． zmax＝－3－5×(－2＝7，不满足题意，排除 A，C 选项．当 a＝3 时，作出不等式组表示的可行域，如图(2(阴影部分． x－y＝－1，由 得交点 B(1,2， x＋y＝3 则目标函数 z＝x＋3y 过 B 点时取得最小值． zmin＝1＋3×2＝7，满足题意． x－y－1≤0， 13．(2014·山东已知 x，y 满足约束条件 当目标函数 z＝ax＋by(a>0，b>0在 2x－y－3≥0，该约束条件下取到最小值 2 5时，a2＋b2 的最小值为( A．5 B．4 C. 5 答案 B 解析方法一线性约束条件所表示的可行域如图所示． x－y－1＝0， x＝2，由 解得 2x－y－3＝0， y＝1， D．2 所以 z＝ax＋by 在 A(2,1处取得最小值，故 2a＋b＝2 5， a2＋b2＝a2＋(2 5－2a2＝( 5a－42＋4≥4. 方法二画出满足约束条件的可行域知，当目标函数过直线 x－y－1＝0 与 2x－y－3＝0 的交点(2,1时取得最小值，所以有 2a＋b＝2 5. 又因为 a2＋b2 是原点(0,0到点(a，b的距离的平方，故当 a2＋b2为原点到直线 2a＋b－2 5＝0 的距离时最小， - 16 -所以 a2＋b2的最小值是 |－2 5| ＝2， 22＋12 所以 a2＋b2 的最小值是 4.故选 B. x＋2y－3≤0， 14．已知变量 x， y 满足约束条件 x＋3y－3≥0， y－1≤0，处取得最大值，则 a 的取值范围是__________． 1 答案 2，＋∞ 解析画出 x、y 满足约束条件的可行域如图所示，要使目标函数 z ＝ax＋y 仅在点(3,0处取得最大值，则直线 y＝－ax＋z 的斜率应小 1 1 于直线 x＋2y－3＝0 的斜率，即－a<－，∴a> . 2 2 x＋y－3≤0， 15．若函数 y＝log2x 的图象上存在点(x，y，满足约束条件 2x－y＋2≥0， y≥m，值为________．答案 1 解析如图，作出函数的可行域，当函数 y＝log2x 过点(2,1时，实数 m 有最大值 1. 若目标函数z＝ax＋y(其中 a>0仅在点(3,0 则实数 m 的最大 16．一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产 1 车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐 4 吨，硝酸盐 18 吨；生产 1 车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐 1 吨，硝酸盐 15 吨．现库存磷酸盐 10 吨，硝酸盐 66 吨，在此基础上生产这两种混合肥料．如果生产 1 车皮甲种肥料产生的利润为 10 000 元，生产 1 车皮乙种肥料产生的利润为 5 000 元，那么适当安排生产，可产生的最大利润是________元．答案 30 000 解析设生产甲种肥料 x 车皮，生产乙种肥料 y 车皮，则 z＝10 000x＋5 000y， - 17 -4x＋y≤10， 18x＋15y≤66， x≥0， y≥0，画出图形可知，目标函数在 D(2,2处有最大值，且 zmax＝10 000×2＋5 000×2＝30 000(元． - 18 -。

2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套学案56随机抽样

第十章概率与统计、统计事例教案 56随机抽样导学目标： 1.理解随机抽样的必需性和重要性 .2.会用简单随机抽样方法从整体中抽取样本 .3.认识分层抽样和系统抽样方法．自主梳理1．简单随机抽样(1)定义：设一个整体含有N 个个体，从中 ____________ 抽取 n 个个体作为样本 (n≤ N) ，假如每次抽取时整体内的各个个体被抽到的时机都________，就把这类抽样方法叫做简单随机抽样．(2)最常用的简单随机抽样的方法：__________和 ____________ ．2．系统抽样的步骤假定要冷静量为 N 的整体中抽取容量为 n 的样本．(1)先将整体的 N 个个体进行 ________；N N；(2)确立 ____________，对编号进行 ________．当n (n 是样本容量 )是整数时，取k＝n(3)在第 1 段用 ________________ 确立第一个个体编号l (l ≤k) ；(4)依照必定的规则抽取样本．往常是将l 加上间隔k 获得第 2 个个体编号 ________，再加k 获得第 3 个个体编号 ________，挨次进行下去，直到获得整个样本．3．分层抽样(1)定义：一般地，在抽样时，将整体分红互不交错的层，而后依照必定的比率，从各层独立地抽取必定数目的个体，将各层拿出的个体合在一同作为样本，这类抽样方法是一种分层抽样．(2)分层抽样的应用范围：当整体是由 ________________________________ 构成时，常常采纳分层抽样．自我检测1．为了认识所加工的一批部件的长度，抽取此中200 个部件并丈量其长度，在这个问题中， 200 个部件的长度是()A．整体B．个体C．整体的一个样本 D ．样本容量2．某牛奶生产线上每隔30 分钟抽取一袋进行查验，则该抽样方法为①；从某中学的30名数学喜好者中抽取 3 人认识学习负担状况，则该抽样方法为②.那么 () A．①是系统抽样，②是简单随机抽样B．①是分层抽样，②是简单随机抽样C．①是系统抽样，②是分层抽样D．①是分层抽样，②是系统抽样3．(2010 四·川 )一个单位有员工800 人，此中拥有高级职称的为160 人，拥有中级职称的为 320 人，拥有初级职称的为200 人，其余人员120 人．为认识员工收入状况，决定采纳分层抽样的方法，从中抽取容量为40 的样本．则从上述各层中挨次抽取的人数分别是() A． 12,24,15,9B． 9,12,12,7C． 8,15,12,5 D ．8,16,10,64．(2010 重·庆 )某单位有员工 750 人，此中青年员工350 人，中年员工250 人，老年员工150人，为了认识该单位员工的健康状况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年员工为 7 人，则样本容量为()A．7B．15C．25D．355．(2011 天·津模拟 ) 在 120 个部件中，一级品 24 个，二级品36 个，三级品60 个，用系统抽样方法从中抽取量为20 的样本，则三级品 a 被抽到的可能性为________.研究点一抽方法的取例 1 (2011 · 宁 )要达成以下两：①从某社区125 高收入家庭、 280 中等收入家庭、 95 低收入家庭中出100 社会力的某指；②某中学的15 名特生中出 3 人学担状况．宜采纳的抽方法挨次()A．① 随机抽法，②系抽法B．①分抽法，② 随机抽法C．①系抽法，②分抽法D．①②都用分抽法式迁徙 1 某高中学有学生 270 人，此中一年 108 人，二、三年各 81 人，要抽取 10 人参加某，考用随机抽、分抽和系抽三种方案，使用随机抽和分抽，将学生按一、二、三年挨次一号1,2，⋯， 270；使用系抽，将学生一随机号1,2，⋯， 270，并将整个号挨次分10 段．假如抽得号有以下四种状况：①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250 ；②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265 ；③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254 ；④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270.对于上述本的以下中，正确的选项是()A．②、③都不可以系抽B．②、④都不可以分抽C．①、④都可能系抽D．①、③都可能分抽研究点二系抽例 2 (2010 ·湖北 ) 将参加夏令的600 名学生号：001,002，⋯， 600.采纳系抽方法抽取一个容量50 的本，且随机抽得的号003. 600 名学生疏住在三个区，从001 到 300 在第Ⅰ 区，从301 到 495 在第Ⅱ 区，从496 到 600 在第Ⅲ 区，三个区被抽中的人数挨次()A． 26,16,8B． 25,17,8C． 25,16,9D． 24,17,9式迁徙 2 (2009 ·广 )某位 200 名工的年散布状况如，要从中抽取40 名工作本．用系抽法，将全体工随机按 1～ 200 号，并按号序均匀分 40 (1～ 5 号， 6～10 号，⋯，196～ 200 号 )．若第 5 抽出的号 22，第 8 抽出的号是________．若用分抽方法，40 以下年段抽取______________________ 人．研究点三分抽例 3某位共有老、中、青工430 人，此中有青年工160 人，中年工人数是老年工人数的 2 倍．认识工身体状况，采纳分抽方法行，在抽取的本中有青年工32 人，本中的老年工人数()A．9B．18C．27D．36式迁徙3某企有 3 个分厂生同一种子品，第一、二、三分厂的量之比1∶2∶ 1，用分抽方法(每个分厂的品一)从 3 个分厂生的子品中共抽取100 件作使用寿命的，由所得的果算得从第一、二、三分厂拿出的品的使用寿命的均匀分980 h,1 020 h,1 032 h，抽取的100 件品的使用寿命的均匀________ h.1．随机抽的特色： (1) 本的体个数不多； (2)从体中逐一不放回地抽取，是不放回抽； (3)是一种等时机抽，各个个体被抽取的时机均等，保了抽的公正性．2．系抽的特色： (1)合用于体个数多的状况； (2) 剔除剩余个体并在第一段顶用随机抽确立开端的个体号； (3) 是等可能抽．3．于分抽的理解注意：(1) 分抽合用于由差别明的几部分成的状况；(2)在每一行抽，采纳随机抽或系抽；(3) 分抽充足利用已掌握的信息，使本拥有优秀的代表性；(4) 分抽也是等概率抽，并且在每抽，能够依据详细状况采纳不一样的抽方法，所以用宽泛．(分： 75 分)一、 (每小 5 分，共 25 分 )1．(2011 台·州第一次研)要达成以下 3 抽：①从 10 盒酸奶中抽取 3 盒行食品生；②科技告有32 排，每排有 40 个座位，有一次告会恰巧坐了听众，告会束后，了听取意，需要 32 名听众行座．③方中学共有160 名教工，此中一般教120 名，行政人16 名，后勤人24 名．了认识教工学校在校公然方面的意，抽取一个容量20 的本．合理的抽方法是()A．① 随机抽，②系抽，③分抽B．① 随机抽，②分抽，③系抽C．①系抽，② 随机抽，③分抽D．①分抽，②系抽，③ 随机抽2．某校高三年有男生500 人，女生400 人，认识年学生的健康状况，从男生中随意抽取25 人，从女生中随意抽取20 人行，种抽方法是() A．随机抽法B．抽法C．随机数法 D ．分抽法3．要从已号 (1～ 60)的 60 枚最新研制的某型号中随机抽取 6 枚来行射，用每部分取的号隔一的系抽方法确立所取的 6 枚的号可能是() A． 5,10,15,20,25,30B． 3,13,23,33,43,53C． 1,2,3,4,5,6 D ．2,4,8,16,32,484．某校共有学生 2 000 名，各年男、女生人数以下表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年女生的概率是0.19.用分抽的方法在全校抽取64 名学生，在三年抽取的学生的人数()一年二年三年女生373x y男生377370zA.24B． 18C． 16 D ．125．(2011 ·西大附中模) 某中学开学后从高一年的学生中随机抽取90 名学生专家庭状况，一段后再次从个年随机抽取100 名学生行学情，有20名同学上一次被抽到，估个学校高一年的学生人数()A． 180B． 400C． 450D． 2 000二、填空 (每小 4 分，共 12 分 )6．一个体有100 个个体，随机号0,1,2，⋯， 99，依号序均匀分红10 ，号挨次1,2,3，⋯， 10，用系抽方法抽取一个容量10 的本，定假如在第 1 中随机抽取的号 m ，那么在第 k 中抽取的号 个位数字与 m ＋ k 的个位数字同样， 若 m ＝6， 在第 7 中抽取的号 是 ________．7．(2011 舟·山月考 )某学院的 A ，B ，C 三个 共有1 200 名学生． 了 些学生勤工 学的状况， 采纳分 抽 的方法抽取一个容量120 的 本．已知 学院的 A 有380 名学生， B 有 420 名学生， 在 学院的 C 抽取 ________名学生．8．一个 体分 A ，B 两 ，用分 抽 方法从 体中抽取一个容量 10 的 本．已知 B 中每个个体被抽到的概率都1， 体中的个体数________．三、解答 (共 38 分 )129．(12 分)某校高中三年 的 295 名学生已 号 1,2，⋯， 295， 认识学生的学 情况，要按 1∶ 5 的比率抽取一个 本，用系 抽 的方法 行抽取，并写出 程．10． (12 分 )(2011 潮·州模 )潮州 局就某地居民的月收入 了 10 000 人，并依据所得数据画了 本的 率散布直方 (每个分 包含左端点，不包含右端点，如第一 表示收入在 [1 000,1 500)) ．(1)求居民月收入在 [3 000,3 500) 的 率； (2)依据 率散布直方 算出 本数据的中位数；(3) 了剖析居民的收入与年 、 等方面的关系，必 按月收入再从 10 000 人顶用分 抽 方法抽出 100 人作 一步剖析， 月收入在 [2 500,3 000) 的 段 抽多少人？11． (14 分 )某 台在一次 收看文 目和新 目 众的抽 中，随机抽取了100 名 众，有关的数据如表所示：文 目 新 目20至4040 18 58 大于 4015 27 4255 45 100(1)由表中数据直 剖析，收看新 目的 众能否与年 有关？(2)用分 抽 方法在收看新 目的 众中随机抽取5 名，大于 40 的 众 抽取几 名？(3)在上述抽取的5 名 众中任取 2 名，求恰有1 名 众的年20 至 40 的概率．教案 56随机抽样自主梳理1．(1) 逐一不放回地 相等 (2) 抽 法 随机数法2．(1) 号 (2)分段 隔 k分段 (3) 随机抽(4)(l ＋ k) (l ＋ 2k) 3.(2) 差别明的几个部分自我1．C2．A[ 因 ① 中牛奶生 上生 的牛奶数目很大，每隔30 分 抽取一袋， 切合系抽 ； ② 中 本容量和 体容量都很小，采纳的是 随机抽 ．]3．D[由 意，各样 称的人数比160∶320∶200∶120＝4∶8∶5∶3，所以抽取的拥有高、48 5 3 中、初 称的人数和其余人 的人数分40×20＝ 8,40× 20＝ 16,40× 20＝ 10,40× 20＝6.]4．B [由 意知青年 工人数 ∶ 中年 工人数 ∶ 老年 工人数＝350∶ 250∶ 150＝ 7∶ 5∶3.由 本中青年 工7 人，得 本容量15.]15.620 1分析每一个个体被抽到的概率都是 本容量除以 体，即120＝ 6.堂活 区例 1解 引解决本 的关 在于 各样抽 方法观点的正确理解以及在每一次抽的步 中所采纳的抽 方法．采纳什么 的抽 方法要依照研究的 体中的个体状况来定．B [① 中 体由差别明 的几部分构成，宜采纳分 抽 法，② 中 体中的个体数 少，宜采纳 随机抽 法．]式迁徙 1 D[③ 中每部分 取的号 隔一(都是 27)，可能 系 抽 方法，清除A ； ②可能 分 抽 ，清除B ； ④不是系 抽 ，清除C ，故D .]例 2 解 引系 抽 是一种等 隔抽 ， 隔k ＝ N(此中 n 本容量， Nn体容量 ) ． 先定出 ，一旦第1 段用 随机抽 确立出开端个体的 号，那么 本中的个体 号就确立下来．从小号到大号逐次 增 k ，挨次获得 本所有．所以能够 想等差数列的知 合Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ 区的 号范 来求解．600 ＝ 12，故抽到的个体 号12k ＋3 (此中 k ＝0,1,2,3，⋯，B [由 意，系 抽 隔k ＝ 5049)．令 12k＋ 3≤ 300，解得 k≤24.∴k＝ 0,1,2 ，⋯， 24，共 25 个号．所以从Ⅰ 区抽取 25 人；令 300<12k ＋3≤ 495，解得 25≤ k≤ 41.∴k＝ 25,26,27，⋯， 41，共 17 个号．所以从Ⅱ 区抽取 17 人；所以从第Ⅲ 区抽取 50－25－ 17＝8( 人)． ]式迁徙 2 37 20分析由分可知，抽号的隔5，又因第 5 抽出的号22，所以第 6 抽出的号27，第 7 抽出的号32，第 8 抽出的号 37.4040 以下的年段的工数200 × 0.5 ＝ 100( 人 ) ，抽取的人数200× 100＝20( 人 )．例 3解引分抽中各抽取的个体数依各个体数成比率分派．所以要擅长利用列比率等式来解决．必需引字母来表示一些未知量．B [位老年工有x 人，从中抽取y 人．160＋ 3x ＝430? x＝90，即老年工有90 人，16090＝32y? y＝18.] 式迁徙 3 1 013分析利用分抽可知从 3 个分厂抽出的100 个子品中，每个厂中的品个数比也 1∶2∶1，故分有 25,50,25 个．再由三个厂子算出的均匀可得100 件品的的均匀寿命980× 25＋ 1 020× 50＋1 032× 25100＝ 1 013(h)．后区1．A[ ①体少，宜用随机抽；② 已分段，宜用系抽；③ 各差距大，宜用分抽．]2．D [由分抽的定可知，抽按比率的抽．]60＝ 10.]3．B[系抽是等距抽，隔k＝64．C[∵二年女生有 2 000× 0.19＝ 380(人 )，∴三年共有 2 000－ (373＋ 377)－ (380＋370)＝ 500( 人 )．64∴ 在三年抽取的人数× 500＝ 16(人 )．]5．C [个学校高一年人数x，90x＝10020，∴x＝450.] 6．63分析由意知，第7 中抽取的号的个位数与6＋ 7 的个位数同样，即3；又第 7中号的十位上的数6，所以在第7 中抽取的号是63.7．40分析由知 C 有学生 1 200－ 380－ 420＝ 400(名 )，那么 C 抽取的学生数120× 400＝ 40(名)．1 2008．120分析 分 抽 中，每个个体被抽到的概率都相等，10x ＝ 121? x ＝ 120.9．解依照 1∶5 的比率， 抽取的 本容量 295 ÷5＝59，我 把295 名同学分红 59，每5 人． (4 分)第 1 是 号 1～ 5 的 5 名学生，第 2 是 号6～10 的 5 名学生，挨次下去，第59是 号291～295 的 5 名学生． (8 分 )采纳 随机抽 的方法，从第 15 名学生中抽出一名学生，不如 号l(1≤ l ≤5)，那么抽取的学生 号(l ＋ 5k) (k ＝ 0,1,2， ⋯ ， 58)，获得 59 个个体作 本，如当l ＝3 的本 号3,8,13， ⋯ ， 288,293.(12 分)10． 解(1)月收入在 [3 000,3 500) 的 率0．000 3× (3 500－ 3 000)＝0.15.(2 分 )(2)∵0.000 2× (1 500－1 000)＝ 0.1，0．000 4× (2 000－ 1 500)＝0.2，0．000 5× (2 500－ 2 000)＝0.25，0．1＋ 0.2＋0.25＝ 0.55>0.5.∴ 本数据的中位数2 000＋0.5－ 0.1＋ 0.20.000 5＝ 2 000＋ 400＝ 2 400.(6 分)(3)居民月收入在 [2 500,3 000) 的 率0．000 5× (3 000－ 2 500)＝0.25，所以 10 000 人中月收入在 [2 500,3 000) 的人数 0.25× 10 000＝ 2 500(人 )，再从 10 000 人中分 抽 方法抽出100 人， 月收入在 [2 500 ， 3 000) 的 段 抽取 1002 500× 10 000＝ 25(人 )．(12 分)11．解 (1)因 在 20 至 40 的 58 名 众中有 18 名 众收看新 目，而大于40的42 名 众中有 27 名 众收看新 目，所以， 直 剖析，收看新 目的 众与年 是有关的． (4 分)(2)从 中所 条件能够看出收看新 目的共45 人，随机抽取5 人， 抽 比5145＝ 9，故大于 40 的 众 抽取 27× 1＝3( 人) ． (8 分 )9(3)抽取的 5 名 众中大于 40 的有 3 人，在 20 至 40 的有2 人， 大于 40 的人a 1，a 2，a 3,20 至 40 的人b 1 ，b 2， 从 5 人中抽取 2 人的基本领件有 (a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 2，a 3)，(b 1， b 2)， (a 1， b 1)， (a 1， b 2) ， (a 2， b 1)， (a 2， b 2)， (a 3， b 1)， (a 3， b 2)共 10 个，此中恰有 1人为 20至40岁的有 6个，6 3故所求概率为10＝5.(14 分)。

2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套学案60 随机事件的概率

学案60随机事件的概率导学目标： 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别.2.了解两个互斥事件的概率加法公式．自主梳理1．事件的分类(1)一般地，我们把在条件S下，____________的事件，叫做相对于条件S的必然事件，简称____________．(2)在条件S下，____________的事件，叫做相对于条件S的不可能事件，简称____________．(3)在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫做________________________________，简称随机事件．事件一般用大写字母A，B，C…表示．2．频率与概率(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称____________________为事件A出现的频数，称事件A出现的比例________________为事件A出现的频率．(2)在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率会在某个________附近摆动，即随机事件A发生的频率具有________，这个常数叫事件A的概率．(1)概率的取值范围：________.(2)必然事件的概率：P(E)＝____.(3)不可能事件的概率：P(F)＝____.(4)概率的加法公式如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝________.(5)对立事件的概率若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件．P(A∪B)＝____，P(A)＝________.自我检测1．(2011·台州月考)下列说法正确的是()A．某事件发生的频率为P(A)＝1.1B．不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1C．小概率事件就是不可能发生的事件，大概率事件就是必然发生的事件D．某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的2．(2011·中山期末)如果把必然事件和不可能事件看做随机事件的极端情形，随机事件A的概率取值范围是()A．P(A)>0 B．P(A)≥0C．0<P(A)<1 D．0≤P(A)≤13．(2011·中山期末)从12个同类产品(其中有10个正品，2个次品)中，任意抽取3个的必然事件是()A．3个都是正品B．至少有1个是次品C．3个都是次品D．至少有1个是正品4．袋中装有白球3个，黑球4个，从中任取3个，①恰有1个白球和全是白球；②至少有1个白球和全是黑球；③至少有1个白球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个黑球．在上述事件中，是对立事件的为()A．①B．②C．③D．④5．(2011·广州调研)关于互斥事件的理解，错误的是()A．若A发生，则B不发生；若B发生，则A不发生B．若A发生，则B不发生，若B发生，则A不发生，二者必具其一C．A发生，B不发生；B发生，A不发生；A、B都不发生D．若A、B又是对立事件，则A、B中有且只有一个发生探究点一随机事件的概念例1一个口袋内装有5个白球和3个黑球，从中任意取出一只球．(1)“取出的球是红球”是什么事件，它的概率是多少？(2)“取出的球是黑球”是什么事件，它的概率是多少？(3)“取出的球是白球或是黑球”是什么事件，它的概率是多少？变式迁移1某城市有甲、乙两种报纸供居民们订阅，记事件A为“只订甲报纸”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报纸”，事件E为“一种报纸也不订”．判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件．(1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；(5)C与E.探究点二随机事件的频率与概率例2某中学部分学生参加全国高中数学竞赛取得了优异成绩，指导老师统计了所有参赛同学的成绩(成绩都为整数，试题满分120分)，并且绘制了“频数分布直方图”如图，请回答：(1)该中学参加本次高中数学竞赛的学生有多少人？(2)如果90分以上(含90分)获奖，那么获奖的概率大约是多少？(结果保留分数)变式迁移(1)(2)这位运动员投篮一次，进球的概率约是多少？探究点三互斥事件与对立事件的概率例3(2011·新乡模拟)一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1球，求：(1)取出1球是红球或黑球的概率；(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．变式迁移3 一个箱子内有9张票，其号数分别为1,2，…，9，从中任取2张，其号数至少有一个为奇数的概率是多少？(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．从一批产品(其中正品、次品都多于2件)中任取2件，观察正品件数和次品件数，下列事件是互斥事件的是( )①恰好有1件次品和恰好有两件次品； ②至少有1件次品和全是次品；③至少有1件正品和至少有1件次品； ④至少1件次品和全是正品． A ．①② B ．①③ C ．③④ D ．①④ 2．(2011·广州模拟)下列说法：①频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小；②做n 次随机试验，事件A 发生m 次，则事件A 发生的频率mn就是事件A 发生的概率；③百分率是频率，但不是概率；④频率是不能脱离n 次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；⑤频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值． 其中正确的是( ) A ．①②③④ B ．①④⑤ C ．①②③④⑤ D ．②③3．甲：A 1、A 2是互斥事件；乙：A 1、A 2是对立事件，那么( ) A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 4．(2011·平顶山月考)某入伍新兵的打靶练习中，连续射击2次，则事件“至少有1次中靶”的互斥事件是( )A ．至多有1次中靶B ．2次都中靶C ．2次都不中靶D ．只有1次中靶 5．(2009·安徽)考察正方体6个面的中心，从中任意选3个点连成三角形，再把剩下的3个点也连成三角形，则所得的两个三角形全等的概率等于( )A ．1B .12C .13D ．0二、填空题(每小题4分，共12分)6．从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为(单位：g )： 492 496 494 495 498 497 501 502 504 496 497 503 506 508 507 492 496 500 501 499根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5 g ～501.5 g 之间的概率约为________．7．(2011·福建)盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率为________．8．(2011·上海)随机抽取的9位同学中，至少有2位同学在同一月份出生的概率为________(默认每个月的天数相同，结果精确到0.001)．三、解答题(共38分)9．(12分)(2011·南京模拟)某学校篮球队、羽毛球队、乒乓球队的某些队员不止参加了一支球队，具体情况如图所示，现从中随机抽取一名队员，求：(1)该队员只属于一支球队的概率； (2)该队员最多属于两支球队的概率．10．(12分)袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是13，得到黑球或黄球的概率是512，得到黄球或绿球的概率也是512，试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？11．(14分)现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A 1、A 2、A 3通晓日语，B 1、B 2、B 3通晓俄语，C 1、C 2通晓韩语，从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．(1)求A 1被选中的概率；(2)求B 1和C 1不全被选中的概率．学案60 随机事件的概率自主梳理1．(1)一定会发生 必然事件 (2)一定不会发生 不可能事件 (3)相对于条件S 的随机事件 2.(1)n 次试验中事件A 出现的次数n A f n (A)＝n An(2)常数 稳定性3．发生 一定发生 B ⊇A A ⊆B A ⊇B A ＝B 当且仅当事件A 发生或事件B 发生 A ∪B A ＋B 当且仅当事件A 发生且事件B 发生 A ∩B AB 不可能 ∅ 不可能 必然 A B 4.(1)0≤P(A)≤1 (2)1 (3)0 (4)P(A)＋P(B) (5)1 1－P(B)自我检测1．B 2.D 3.D 4.B 5.B 课堂活动区例1 解题导引 解决这类问题的方法主要是弄清每次试验的意义及每个基本事件的含义，正确把握各个事件的相互关系，判断一个事件是必然事件、不可能事件、随机事件，主要是依据在一定条件下，所要求的结果是否一定出现、不可能出现(可能出现、可能不出现)，它们的概率(范围)分别为1,0，(0,1)．解 (1)由于口袋内只装有黑、白两种颜色的球，故“取出的球是红球”是不可能事件，其概率是0.(2)由已知，从口袋内取出一个球，可能是白球也可能是黑球，故“取出的球是黑球”是随机事件，它的概率是38.(3)由于口袋内装的是黑、白两种颜色的球，故取出一个球不是黑球，就是白球，因此，“取出的球是白球或是黑球”是必然事件，它的概率是1.变式迁移1 解 (1)由于事件C “至多订一种报纸”中有可能“只订甲报纸”，即事件A 与事件C 有可能同时发生，故A 与C 不是互斥事件．(2)事件B “至少订一种报纸”与事件E “一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故B 与E 是互斥事件．由于事件B 发生可导致事件E 一定不发生，且事件E 发生也会导致事件B 一定不发生，故B 与E 还是对立事件．(3)事件B “至少订一种报纸”中有可能“只订乙报纸”，即有可能“不订甲报纸”，即事件B 发生，事件D 也可能发生，故B 与D 不是互斥事件．(4)事件B “至少订一种报纸”中有这些可能：“只订甲报纸”、“只订乙报纸”、“订甲、乙两种报纸”，事件C “至多订一种报纸”中有这些可能：“一种报纸也不订”、“只订甲报纸”、“只订乙报纸”，由于这两个事件可能同时发生，故B 与C 不是互斥事件．(5)由(4)的分析，事件E “一种报纸也不订”是事件C 的一种可能，故事件C 与事件E 有可能同时发生，故C 与E 不是互斥事件．例2 解题导引 本题利用直方图求出获奖的频率，作为概率的近似值．通过大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率是求一个事件的概率的基本方法．注意频率是随机的、变化的，而概率是一个常数，频率在其附近摆动．解 (1)由频数分布直方图可知，参加本次数学竞赛的学生有4＋6＋8＋7＋5＋2＝32(人)． (2)90分以上的人数为7＋5＋2＝14(人)，∴获奖的频率为1432＝716，即本次竞赛获奖的概率大约是716.变式迁移2 解 (1)频率是在试验中事件发生的次数与试验总次数的比值，由此得，进球频率依次是68，810，1215，1720，2530，3240，3850，即0.75,0.8,0.8,0.85,0.83,0.8,0.76.(2)因为频率是概率的近似值，所以这位运动员投篮一次，进球的概率约是0.8.例3 解题导引 用互斥事件和对立事件的概率公式解题，关键是分清所求事件是由哪些事件组成的，然后结合互斥事件与对立事件的定义分析出是否是互斥事件与对立事件，再决定用哪一个公式．利用互斥事件求概率体现了分类讨论的思想，利用对立事件求概率体现了“正难则反”的策略．解 方法一 (利用互斥事件求概率)记事件A 1＝{任取1球为红球}，A 2＝{任取1球为黑球}，A 3＝{任取1球为白球}，A 4＝{任取1球为绿球}，则P(A 1)＝512，P(A 2)＝412，P(A 3)＝212，P(A 4)＝112，根据题意知，事件A 1、A 2、A 3、A 4彼此互斥，由互斥事件的概率公式，得 (1)取出1球为红球或黑球的概率为 P(A 1∪A 2)＝P(A 1)＋P(A 2) ＝512＋412＝34. (2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为 P(A 1∪A 2∪A 3)＝P(A 1)＋P(A 2)＋P(A 3) ＝512＋412＋212＝1112. 方法二 (利用对立事件求概率)(1)由方法一知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A 1∪A 2的对立事件为A 3∪A 4，所以取出1球为红球或黑球的概率为P(A 1∪A 2)＝1－P(A 3∪A 4)＝1－P(A 3)－P(A 4)＝1－212－112＝34.(2)因为A 1∪A 2∪A 3的对立事件为A 4，所以P(A 1∪A 2∪A 3)＝1－P(A 4)＝1－112＝1112.变式迁移3 解 方法一 从9张任取2张共有36种，记为(1,2)，(1,3)，…，(8,9)，记事件A 为任取2张，号数至少有一个为奇数，则A ＝{(1,2)，…，(1,9)，(2,3)，(2,5)，(2,7)，(2,9)，(3,4)，…，(3,9)，…，(8,9)}．共有8＋4＋6＋3＋4＋2＋2＋1＝30.∴P(A)＝3036＝56.方法二 事件A 的对立事件为任取2张，号数都为偶数， ∴A ＝{(2,4)，(2,6)，(2,8)，(4,6)，(4,8)，(6,8)}共6种．∴P(A)＝1－P(A )＝1－636＝56.课后练习区 1．D2．B [由概率的相关定义知①④⑤正确．]3．B [由互斥事件、对立事件的定义可知互斥不一定对立，对立一定互斥，即甲是乙的必要条件但不是充分条件．]4．C [由互斥事件定义可知，如果两事件互斥，两个事件不能同时发生．“至少有一次中靶”包括“恰有一次中靶”或“两次都中靶”．故A 、B 、D 都能同时发生．]5．A [由正方体的对称性知其六个面的中心构成同底的两个四棱锥，且四棱锥的各个侧面是全等的三角形，底面四个顶点构成一个正方形，从这6个点中任选3个点构成的三角形可分为以下两类：第一类是选中相对面中心两点及被这两个平面所夹的四个面中的任意一个面的中心，构成的是等腰直角三角形，此时剩下的三个点也连成一个与其全等的三角形．第二类是所选三个点均为多面体的侧面三角形的三个点(即所选3个点所在的平面彼此相邻)此时构成的是正三角形，同时剩下的三个点也构成与其全等的三角形，故所求概率为1.]6．0.25 7.35解析 从5个球中任取2个球有C 25＝10(种)取法，2个球颜色不同的取法有C 13C 12＝6(种)，故所求概率为610＝35.8．0.985解析 9位同学出生月份的所有可能种数为129,9人出生月份不同的所有可能种数为A 912，故P ＝1－A 912129≈1－0.015 47≈0.985.9．解 (1)设“该队员只属于一支球队”为事件A ，则事件A 的概率P(A)＝1220＝35.(6分)(2)设“该队员最多属于两支球队”为事件B ，则事件B 的概率为P(B)＝1－220＝910.(12分)10．解 设事件A 、B 、C 、D 分别表示“任取一球，得到红球”，“任取一球，得到黑球”，“任取一球，得到黄球”，“任取一球，得到绿球”，则由已知得P(A)＝13，(3分)P(B ∪C)＝P(B)＋P(C)＝512，P(C ∪D)＝P(C)＋P(D)＝512，P(B ∪C ∪D)＝1－P(A)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝1－13＝23.(10分)解得P(B)＝14，P(C)＝16，P(D)＝14.故得到黑球，得到黄球，得到绿球的概率分别为14，16，14.(12分) 11．解 (1)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间Ω＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 1，B 3，C 1)，(A 1，B 3，C 2)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 2)，(A 2，B 2，C 1)，(A 2，B 2，C 2)，(A 2，B 3，C 1)，(A 2，B 3，C 2)，(A 3，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 2)，(A 3，B 2，C 1)，(A 3，B 2，C 2)，(A 3，B 3，C 1)，(A 3，B 3，C 2)}共18个基本事件组成．(4分)由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的． 用M 表示“A 1恰被选中”这一事件，则M ＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 1，B 3，C 1)，(A 1，B 3，C 2)}，事件M 由6个基本事件组成，因而P(M)＝618＝13.(8分)(2)用N 表示“B 1、C 1不全被选中”这一事件，则其对立事件N 表示“B 1、C 1全被选中”这一事件，由于N ＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 1)}，事件N 由3个基本事件组成，(10分)所以P(N )＝318＝16，由对立事件的概率公式得：P(N)＝1－P(N )＝1－16＝56.(14分)。

2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套学案50 直线、圆的位置关系]

学案50 直线、圆的位置关系导学目标： 1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.3.在学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想．自主梳理1．直线与圆的位置关系位置关系有三种：________、________、________. 判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法： (1)代数法：利用判别式Δ，即直线方程与圆的方程联立方程组消去x 或y 整理成一元二次方程后，计算判别式Δ(2)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系： d <r ⇔________，d ＝r ⇔________，d >r ⇔________. 2．圆的切线方程若圆的方程为x 2＋y 2＝r 2，点P (x 0，y 0)在圆上，则过P 点且与圆x 2＋y 2＝r 2相切的切线方程为____________________________．注：点P 必须在圆x 2＋y 2＝r 2上．经过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上点P (x 0，y 0)的切线方程为________________________． 3．计算直线被圆截得的弦长的常用方法 (1)几何方法运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算． (2)代数方法运用韦达定理及弦长公式 |AB |＝1＋k 2|x A －x B |＝(1＋k 2)[(x A ＋x B )2－4x A x B ].说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法． 4．圆与圆的位置关系(1)圆与圆的位置关系可分为五种：________、________、________、________、________. 判断圆与圆的位置关系常用方法： (几何法)设两圆圆心分别为O 1、O 2，半径为r 1、r 2 (r 1≠r 2)，则|O 1O 2|>r 1＋r 2________；|O1O 2|＝r 1＋r 2______；|r 1－r 2|<|O 1O 2|<r 1＋r 2________；|O 1O 2|＝|r 1－r 2|________；0≤|O 1O 2|<|r 1－r 2|________．(2)已知两圆x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0和x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0相交，则与两圆共交点的圆系方程为________________________________________________________________，其中λ为λ≠－1的任意常数，因此圆系不包括第二个圆．当λ＝－1时，为两圆公共弦所在的直线，方程为(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋(F 1－F 2)＝0. 自我检测 1．(2010·江西)直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2＋(y －2)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－34，0 B.⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪[)0，＋∞ C.⎣⎡⎦⎤－33，33D.⎣⎡⎦⎤－23，0 2．圆x 2＋y 2－4x ＝0在点P (1，3)处的切线方程为( ) A ．x ＋3y －2＝0 B ．x ＋3y －4＝0 C ．x －3y ＋4＝0 D ．x －3y ＋2＝0 3．(2011·宁夏调研)圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0与圆C 2：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的公切线有且仅有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条4．过点(0,1)的直线与x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，则|AB |的最小值为( ) A ．2 B ．2 3 C ．3 D ．2 5 5．(2011·聊城月考)直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＝1的位置关系是( ) A ．相切 B ．相交但直线不过圆心 C ．直线过圆心 D ．相离探究点一 直线与圆的位置关系例1 已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.(1)若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距相等，求此切线的方程； (2)从圆C 外一点P (x 1，y 1)向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，求使得|PM |取得最小值时点P 的坐标．变式迁移1 从圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1外一点P (2,3)向该圆引切线，求切线的方程及过两切点的直线方程．探究点二 圆的弦长、中点弦问题 例2 (2011·汉沽模拟)已知点P (0,5)及圆C ：x 2＋y 2＋4x －12y ＋24＝0. (1)若直线l 过点P 且被圆C 截得的线段长为43，求l 的方程； (2)求过P 点的圆C 的弦的中点的轨迹方程．变式迁移2已知圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0和直线kx－y－4k＋3＝0.(1)证明：不论k取何值，直线和圆总有两个不同交点；(2)求当k取什么值时，直线被圆截得的弦最短，并求这条最短弦的长．探究点三圆与圆的位置关系例3已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，m 为何值时，(1)圆C1与圆C2相外切；(2)圆C1与圆C2内含．变式迁移3已知⊙A：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，⊙B：x2＋y2－2ax－2by＋a2－1＝0.当a，b变化时，若⊙B始终平分⊙A的周长，求：(1)⊙B的圆心B的轨迹方程；(2)⊙B的半径最小时圆的方程．探究点四综合应用例4已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0.问在圆C上是否存在两点A、B关于直线y＝kx－1对称，且以AB 为直径的圆经过原点？若存在，写出直线AB 的方程；若不存在，说明理由．变式迁移4 已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1相交于M 、N 两点．(1)求实数k 的取值范围；(2)若O 为坐标原点，且OM →·ON →＝12，求k 的值．1．求切线方程时，若知道切点，可直接利用公式；若过圆外一点求切线，一般运用圆心到直线的距离等于半径来求，但注意有两条．2．解决与弦长有关的问题时，注意运用由半径、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形，也可以运用弦长公式．这就是通常所说的“几何法”和“代数法”． 3．判断两圆的位置关系，从圆心距和两圆半径的关系入手．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．直线l ：y －1＝k (x －1)和圆x 2＋y 2－2y ＝0的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切或相交 C ．相交 D ．相切 2．(2011·珠海模拟)直线3x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －2＝0相切，则实数m 等于( ) A.3或－ 3 B ．－3或3 3C ．－33或 3D ．－33或3 3 3．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x 2＋y 2－4y ＝0所截得的弦长为( ) A. 3 B ．2 C. 6 D ．2 34．若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且仅有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离为1，则半径r 的取值范围是( )A ．(4,6)B ．[4,6)C ．(4,6]D ．[4,6] 5．(2010·全国Ⅰ)已知圆O 的半径为1，P A 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么P A →·PB →的最小值为( )A ．－4＋ 2B ．－3＋ 2C ．－4＋2 2D ．－3＋2 2二、填空题(每小题4分，共12分)6．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a >0)的公共弦的长为23，则a ＝________. 7．(2011·三明模拟)已知点A 是圆C ：x 2＋y 2＋ax ＋4y －5＝0上任意一点，A 点关于直线x ＋2y －1＝0的对称点也在圆C 上，则实数a ＝________.8．(2011·杭州高三调研)设直线3x ＋4y －5＝0与圆C 1：x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，若圆C 2的圆心在线段AB 上，且圆C 2与圆C 1相切，切点在圆C 1的劣弧AB 上，则圆C 2的半径的最大值是________．三、解答题(共38分)9．(12分)圆x 2＋y 2＝8内一点P (－1,2)，过点P 的直线l 的倾斜角为α，直线l 交圆于A 、B 两点．(1)当α＝3π4时，求AB 的长；(2)当弦AB 被点P 平分时，求直线l 的方程．10．(12分)(2011·湛江模拟)自点A (－3,3)发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0相切，求光线l 所在直线的方程．11．(14分)已知两圆x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0.求： (1)m 取何值时两圆外切？ (2)m 取何值时两圆内切？(3)m ＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．学案50直线、圆的位置关系自主梳理1．相切相交相离(1)相交相切相离(2)相交相切相离 2.x0x＋y0y＝r2 (x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2 4.(1)相离外切相交内切内含相离外切相交内切内含(2)(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1)＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0自我检测1．A 2.D 3.B 4.B 5.B课堂活动区例1解题导引(1)过点P作圆的切线有三种类型：当P在圆外时，有2条切线；当P在圆上时，有1条切线；当P在圆内时，不存在．(2)利用待定系数法设圆的切线方程时，一定要注意直线方程的存在性，有时要进行恰当分类．(3)切线长的求法：过圆C外一点P作圆C的切线，切点为M，半径为R，则|PM|＝|PC|2－R2.解(1)将圆C配方得(x＋1)2＋(y－2)2＝2.①当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y＝kx，由|k＋2|1＋k2＝2，解得k＝2±6，得y＝(2±6)x.②当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为x＋y－a＝0，由|－1＋2－a|2＝2，得|a－1|＝2，即a＝－1，或a＝3.∴直线方程为x＋y＋1＝0，或x＋y－3＝0.综上，圆的切线方程为y＝(2＋6)x，或y＝(2－6)x，或x＋y＋1＝0，或x＋y－3＝0.(2)由|PO|＝|PM|，得x21＋y21＝(x1＋1)2＋(y1－2)2－2，整理得2x1－4y1＋3＝0.即点P在直线l：2x－4y＋3＝0上．当|PM|取最小值时，即OP取得最小值，直线OP⊥l，∴直线OP的方程为2x＋y＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，2x －4y ＋3＝0，得点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－310，35. 变式迁移1 解 设圆切线方程为y －3＝k(x －2)， 即kx －y ＋3－2k ＝0，∴1＝|k ＋2－2k|k 2＋1，∴k ＝34，另一条斜率不存在，方程为x ＝2.∴切线方程为x ＝2和3x －4y ＋6＝0.圆心C 为(1,1)，∴k PC ＝3－12－1＝2，∴过两切点的直线斜率为－12，又x ＝2与圆交于(2,1)，∴过切点的直线为x ＋2y －4＝0.例2 解题导引 (1)有关圆的弦长的求法：已知直线的斜率为k ，直线与圆C 相交于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)两点，点C 到l 的距离为d ，圆的半径为r.方法一 代数法：弦长|AB|＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2；方法二 几何法：弦长|AB|＝2r 2－d 2.(2)有关弦的中点问题：圆心与弦的中点连线和已知直线垂直，利用这条性质可确定某些等量关系． 解 (1)方法一如图所示，|AB|＝43，取AB 的中点D ，连接CD ，则CD ⊥AB ，连接AC 、BC ， 则|AD|＝23，|AC|＝4， 在Rt △ACD 中，可得|CD|＝2.当直线l 的斜率存在时，设所求直线的斜率为k ，则直线的方程为y －5＝kx ，即kx －y ＋5＝0.由点C 到直线AB 的距离公式，得|－2k －6＋5|k 2＋(－1)2＝2，解得k ＝34.当k ＝34时，直线l 的方程为3x －4y ＋20＝0.又直线l 的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x ＝0. ∴所求直线的方程为3x －4y ＋20＝0或x ＝0.方法二 当直线l 的斜率存在时， 设所求直线的斜率为k ，则直线的方程为y －5＝kx ，即y ＝kx ＋5.联立直线与圆的方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋5，x 2＋y 2＋4x －12y ＋24＝0，消去y ，得(1＋k 2)x 2＋(4－2k)x －11＝0.① 设方程①的两根为x 1，x 2，由根与系数的关系，得⎩⎨⎧x 1＋x 2＝2k －41＋k 2，x 1x 2＝－111＋k 2.②由弦长公式，得1＋k 2|x 1－x 2|＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝4 3.将②式代入，解得k ＝34，此时直线方程为3x －4y ＋20＝0.又k 不存在时也满足题意，此时直线方程为x ＝0. ∴所求直线的方程为x ＝0或3x －4y ＋20＝0. (2)设过P 点的圆C 的弦的中点为D(x ，y)，则CD ⊥PD ，即CD →·PD →＝0， (x ＋2，y －6)·(x ，y －5)＝0，化简得所求轨迹方程为x 2＋y 2＋2x －11y ＋30＝0. 变式迁移2 (1)证明 由kx －y －4k ＋3＝0， 得(x －4)k －y ＋3＝0.∴直线kx －y －4k ＋3＝0过定点P(4,3)． 由x 2＋y 2－6x －8y ＋21＝0， 即(x －3)2＋(y －4)2＝4， 又(4－3)2＋(3－4)2＝2<4. ∴直线和圆总有两个不同的交点． (2)解 k PC ＝3－44－3＝－1.可以证明与PC 垂直的直线被圆所截得的弦AB 最短，因此过P 点斜率为1的直线即为所求，其方程为y －3＝x －4，即x －y －1＝0.|PC|＝|3－4－1|2＝2，∴|AB|＝2|AC|2－|PC|2＝2 2.例3 解题导引 圆和圆的位置关系，从交点个数也就是方程组解的个数来判断，有时得不到确切的结论，通常还是从圆心距d 与两圆半径和、差的关系入手．解 对于圆C 1与圆C 2的方程，经配方后 C 1：(x －m)2＋(y ＋2)2＝9； C 2：(x ＋1)2＋(y －m)2＝4. (1)如果C 1与C 2外切， 则有(m ＋1)2＋(－2－m )2＝3＋2.(m ＋1)2＋(m ＋2)2＝25.m 2＋3m －10＝0，解得m ＝－5或m ＝2. (2)如果C 1与C 2内含， 则有(m ＋1)2＋(m ＋2)2<3－2.(m ＋1)2＋(m ＋2)2<1，m 2＋3m ＋2<0， 得－2<m<－1，∴当m ＝－5或m ＝2时，圆C 1与圆C 2外切； 当－2<m<－1时，圆C 1与圆C 2内含． 变式迁移3 解 (1)两圆方程相减得公共弦方程 2(a ＋1)x ＋2(b ＋1)y －a 2－1＝0.① 依题意，公共弦应为⊙A 的直径，将(－1，－1)代入①得a 2＋2a ＋2b ＋5＝0.②设圆B 的圆心为(x ，y)，∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ay ＝b，∴其轨迹方程为x 2＋2x ＋2y ＋5＝0. (2)⊙B 方程可化为(x －a)2＋(y －b)2＝1＋b 2.由②得b ＝－12[(a ＋1)2＋4]≤－2，∴b 2≥4，b 2＋1≥5.当a ＝－1，b ＝－2时，⊙B 半径最小， ∴⊙B 方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝5.例4 解题导引 这是一道探索存在性问题，应先假设存在圆上两点关于直线对称，由垂径定理可知圆心应在直线上，以AB 为直径的圆经过原点O ，应联想直径所对的圆周角为直角利用斜率或向量来解决．因此能否将问题合理地转换是解题的关键．解 圆C 的方程可化为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9， 圆心为C(1，－2)．假设在圆C 上存在两点A 、B ，则圆心C(1，－2)在直线y ＝kx －1上，即k ＝－1. 于是可知，k AB ＝1.设l AB ：y ＝x ＋b ，代入圆C 的方程， 整理得2x 2＋2(b ＋1)x ＋b 2＋4b －4＝0，Δ＝4(b ＋1)2－8(b 2＋4b －4)>0，b 2＋6b －9<0， 解得－3－32<b<－3＋3 2. 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－b －1，x 1x 2＝12b 2＋2b －2.由OA ⊥OB ，知x 1x 2＋y 1y 2＝0， 也就是x 1x 2＋(x 1＋b)(x 2＋b)＝0， ∴2x 1x 2＋b(x 1＋x 2)＋b 2＝0，∴b 2＋4b －4－b 2－b ＋b 2＝0，化简得b 2＋3b －4＝0， 解得b ＝－4或b ＝1，均满足Δ>0.即直线AB 的方程为x －y －4＝0，或x －y ＋1＝0.变式迁移4 解 (1)方法一 ∵直线l 过点A(0,1)且斜率为k ， ∴直线l 的方程为y ＝kx ＋1.将其代入圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1， 得(1＋k 2)x 2－4(1＋k)x ＋7＝0.①由题意：Δ＝[－4(1＋k)]2－4×(1＋k 2)×7>0， 得4－73<k<4＋73. 方法二 同方法一得直线方程为y ＝kx ＋1， 即kx －y ＋1＝0.又圆心到直线距离d ＝|2k －3＋1|k 2＋1＝|2k －2|k 2＋1，∴d ＝|2k －2|k 2＋1<1，解得4－73<k<4＋73.(2)设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则由①得⎩⎨⎧x 1＋x 2＝4＋4k1＋k 2x 1x 2＝71＋k2，∴OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k(x 1＋x 2)＋1 ＝4k (1＋k )1＋k 2＋8＝12⇒k ＝1(经检验符合题意)，∴k ＝1.课后练习区1．C 2.C 3.D 4.A 5.D 6．1 7.－10 8.19．解 (1)当α＝3π4时，k AB ＝－1， 直线AB 的方程为y －2＝－(x ＋1)，即x ＋y －1＝0.(3分)故圆心(0,0)到AB 的距离d ＝|0＋0－1|2＝22， 从而弦长|AB|＝2 8－12＝30.(6分) (2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2，y 1＋y 2＝4.由⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋y 21＝8，x 22＋y 22＝8， 两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，即－2(x 1－x 2)＋4(y 1－y 2)＝0，∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝12.(10分) ∴直线l 的方程为y －2＝12(x ＋1)， 即x －2y ＋5＝0.(12分)10.解 已知圆C ：x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0关于x 轴对称的圆为C 1：(x －2)2＋(y ＋2)2＝1，其圆心C 1的坐标为(2，－2)，半径为1，由光的反射定律知，入射光线所在直线方程与圆C 1相切．(4分)设l 的方程为y －3＝k(x ＋3)，则 |5k ＋2＋3|12＋k2＝1，(8分) 即12k 2＋25k ＋12＝0.∴k 1＝－43，k 2＝－34. 则l 的方程为4x ＋3y ＋3＝0或3x ＋4y －3＝0.(12分)11．解 两圆的标准方程分别为(x －1)2＋(y －3)2＝11，(x －5)2＋(y －6)2＝61－m ，圆心分别为M(1,3)，N(5,6)， 半径分别为11和61－m. (1)当两圆外切时，(5－1)2＋(6－3)2＝11＋61－m.解得m ＝25＋1011.(4分)(2)当两圆内切时，因定圆的半径11小于两圆圆心间距离，故只有61－m －11＝5.解得m ＝25－1011.(8分)(3)两圆的公共弦所在直线的方程为(x 2＋y 2－2x －6y －1)－(x 2＋y 2－10x －12y ＋45)＝0， 即4x ＋3y －23＝0.(12分)由圆的半径、弦长、弦心距间的关系，不难求得公共弦的长为2× ?r(11?2－⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤|4＋3×3－23|42＋322)＝27.(14分)。

高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第三章

§3.1 导数的概念及运算1．函数y ＝f (x )从x 0到x 1的平均变化率Δy Δx ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . 2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数(1)定义当x 1趋于x 0，即Δx 趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y ＝f (x )在x 0点的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y ＝f (x )在x 0点的导数，通常用符号f ′(x 0)表示，记作f ′(x 0)＝lim x 1→x 0f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0).(2)几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 3．函数f (x )的导函数如果一个函数f (x )在区间(a ，b )上的每一点x 处都有导数，导数值记为f ′(x )：f ′(x )＝lim Δx →f (x ＋Δx )－f (x )Δx ，则f ′(x )是关于x 的函数，称f ′(x )为f (x )的导函数，通常也简称为导数．4．基本初等函数的导数公式5． (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f ′(x 0)与(f (x 0))′表示的意义相同．( × ) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)再求f ′(x 0)．( × ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( √ ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( × ) (5)若f (x )＝a 3＋2ax －x 2，则f ′(x )＝3a 2＋2x .( × ) (6)函数f (x )＝x 2ln x 的导函数为f ′(x )＝2x ·1x＝2.( × )2．(2013·江西)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________.答案 2解析 设e x ＝t ，则x ＝ln t (t >0)，∴f (t )＝ln t ＋t ∴f ′(t )＝1t＋1，∴f ′(1)＝2.3．已知曲线y ＝x 3在点(a ，b )处的切线与直线x ＋3y ＋1＝0垂直，则a 的值是( )A ．－1B ．±1C ．1D ．±3 答案 B解析 由y ＝x 3知y ′＝3x 2，∴切线斜率k ＝y ′|x ＝a ＝3a 2. 又切线与直线x ＋3y ＋1＝0垂直， ∴3a 2·(－13)＝－1，∴即a 2＝1，a ＝±1，故选B.4．如图所示为函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图像，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图像可能是( )答案 D解析 由y ＝f ′(x )的图像知y ＝f ′(x )在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y ＝f (x )的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A ，C. 又由图像知y ＝f ′(x )与y ＝g ′(x )的图像在x ＝x 0处相交，说明y ＝f (x )与y ＝g (x )的图像在x ＝x 0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D. 5．已知点P 在曲线y ＝4e x＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是________． 答案 [34π，π)解析 ∵y ＝4e x ＋1，∴y ′＝－4e x(e x ＋1)2＝－4e xe 2x ＋2e x ＋1＝－4e x ＋1e x ＋2. ∵e x >0，∴e x ＋1ex ≥2，∴y ′∈[－1,0)，∴tan α∈[－1,0)． 又α∈[0，π)，∴α∈[3π4，π)．题型一 利用定义求函数的导数例1 利用导数的定义求函数f (x )＝x 3在x ＝x 0处的导数，并求曲线f (x )＝x 3在x ＝x 0处的切线与曲线f (x )＝x 3的交点．思维启迪 掌握导数的定义，理解导数的几何意义是解决本题的关键． 解 f ′(x 0)＝lim x →x 0f (x )－f (x 0)x －x 0＝lim x →x 0x 3－x 30x －x 0＝lim x →x 0(x 2＋xx 0＋x 20)＝3x 20. 曲线f (x )＝x 3在x ＝x 0处的切线方程为y －x 30＝3x 20·(x －x 0)， 即y ＝3x 20x －2x 30，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 3，y ＝3x 20x －2x 30，得(x －x 0)2(x ＋2x 0)＝0，解得x ＝x 0，x ＝－2x 0.若x 0≠0，则交点坐标为(x 0，x 30)，(－2x 0，－8x 30)；若x 0＝0，则交点坐标为(0,0)．思维升华 求函数f (x )的导数步骤： (1)求函数值的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)； (2)计算平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1；(3)计算导数f ′(x )＝lim Δx→0ΔyΔx. (1)函数y ＝x ＋1x 在[x ，x ＋Δx ]上的平均变化率ΔyΔx＝________；该函数在x ＝1处的导数是________．(2)若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内可导，且x 0∈(a ，b )，则lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0－h )h 的值为( )A ．f ′(x 0)B ．2f ′(x 0)C ．－2f ′(x 0)D ．0答案 (1)1－1x (x ＋Δx )0 (2)B解析 (1)∵Δy ＝(x ＋Δx )＋1x ＋Δx －x －1x＝Δx ＋1x ＋Δx －1x＝Δx ＋－Δxx (x ＋Δx ).∴Δy Δx ＝1－1x (x ＋Δx ).y ′|x ＝1＝lim Δx →0Δy Δx ＝0. (2)lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0－h )h ＝2×lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0－h )2h＝2f ′(x 0)． 题型二 导数的运算 例2 求下列函数的导数：(1)y ＝e x ·ln x ； (2)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3； 思维启迪 求函数的导数，首先要搞清函数的结构；若式子能化简，可先化简再求导． 解 (1)y ′＝(e x ·ln x )′＝e x ln x ＋e x ·1x＝e x (ln x ＋1x)．(2)∵y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x3.思维升华 (1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量；求下列函数的导数．(1)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)； (2)y ＝sin x 2(1－2cos 2x4)；解 (1)方法一 ∵y ＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3) ＝x 3＋6x 2＋11x ＋6，∴y ′＝3x 2＋12x ＋11.方法二 y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)]′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)′ ＝[(x ＋1)′(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋2)′](x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝(x ＋2＋x ＋1)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝(2x ＋3)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝3x 2＋12x ＋11.(2)∵y ＝sin x 2(－cos x 2)＝－12sin x ，∴y ′＝(－12sin x )′＝－12(sin x )′＝－12cos x .题型三 导数的几何意义例3已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4.(1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程．思维启迪 由导数的几何意义先求斜率，再求方程，注意点是否在曲线上，是否为切点． 解 (1)∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，∴f ′(2)＝1， 又f (2)＝－2，∴曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －(－2)＝x －2，即x －y －4＝0.(2)设切点坐标为(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)，又切线过点(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)， ∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)，整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或x 0＝1，∴经过A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0，或y ＋2＝0. 思维升华 导数几何意义的应用，需注意以下两点：(1)当曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线垂直于x 轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x ＝x 0；(2)注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线．曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程是y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解．(1)曲线y ＝x ＋sin x 在点(0,0)处的切线方程是________．答案 2x －y ＝0解析∵y ＝x ＋sin x ，∴y ′＝1＋cos x ，当x ＝0时，y ′＝1＋cos 0＝2，故曲线y ＝x ＋sin x 在点(0,0)处的切线方程是y －0＝2(x －0)，2x －y ＝0.(2)已知函数f (x )＝x 3－3x ，若过点A (0,16)且与曲线y ＝f (x )相切的切线方程为y ＝ax ＋16，则实数a 的值是( ) A ．－3 B ．3 C ．6 D ．9 答案 D解析 先设切点为M (x 0，y 0)，则切点在曲线上，即y 0＝x 30－3x 0，①求导数得到切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝3x 20－3，又切线l 过A 、M 两点，所以k ＝y 0－16x 0，则3x 20－3＝y 0－16x 0，②联立①、②可解得x 0＝－2，y 0＝－2， 从而实数a 的值为a ＝k ＝－2－16－2＝9.一审条件挖隐含典例：(12分)设函数y ＝x 2－2x ＋2的图像为C 1，函数y ＝－x 2＋ax ＋b 的图像为C 2，已知过C 1与C 2的一个交点的两切线互相垂直． (1)求a ，b 之间的关系； (2)求ab 的最大值．C 1与C 2有交点↓(可设C 1与C 2的交点为(x 0，y 0))过交点的两切线互相垂直 ↓(切线垂直隐含着斜率间的关系) 两切线的斜率互为负倒数 ↓(导数的几何意义) 利用导数求两切线的斜率： k 1＝2x 0－2，k 2＝－2x 0＋a ↓(等价转换)(2x 0－2)(－2x 0＋a )＝－1① ↓(交点(x 0，y 0)适合解析式)⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 20－2x 0＋2y 0＝－x 20＋ax 0＋b，即2x 20－(a ＋2)x 0＋2－b ＝0 ② ↓(注意隐含条件方程①②同解) a ＋b ＝52↓(消元)ab ＝a ⎝⎛⎭⎫52－a ＝－⎝⎛⎭⎫a －542＋2516 当a ＝54时，ab 最大且最大值为2516.规范解答解 (1)对于C 1：y ＝x 2－2x ＋2，有y ′＝2x －2，[1分] 对于C 2：y ＝－x 2＋ax ＋b ，有y ′＝－2x ＋a ，[2分] 设C 1与C 2的一个交点为(x 0，y 0)，由题意知过交点(x 0，y 0)的两切线互相垂直． ∴(2x 0－2)(－2x 0＋a )＝－1， 即4x 20－2(a ＋2)x 0＋2a －1＝0① 又点(x 0，y 0)在C 1与C 2上，故有⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 20－2x 0＋2y 0＝－x 20＋ax 0＋b⇒2x 20－(a ＋2)x 0＋2－b ＝0② 由①②消去x 0，可得a ＋b ＝52.[6分](2)由(1)知：b ＝52－a ，∴ab ＝a ⎝⎛⎭⎫52－a ＝－⎝⎛⎭⎫a －542＋2516.[9分] ∴当a ＝54时，(ab )最大值＝2516.[12分]温馨提醒 审题包括两方面内容：题目信息的挖掘、整合以及解题方法的选择；本题切入点是两条曲线有交点P (x 0，y 0)，交点处的切线互相垂直，通过审题路线可以清晰看到审题的思维过程.方法与技巧1．f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，而函数值f (x 0)是一个常量，其导数一定为0，即(f (x 0))′＝0.2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误． 失误与防范1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．2．求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．3．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)一、选择题1．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0的值为( )A ．e 2B ．e C.ln 22D ．ln 2答案 B解析 由f (x )＝x ln x 得f ′(x )＝ln x ＋1.根据题意知ln x 0＋1＝2，所以ln x 0＝1，因此x 0＝e.2．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( )A ．－1B ．－2C ．2D ．0 答案 B解析 f ′(x )＝4ax 3＋2bx ， ∵f ′(x )为奇函数且f ′(1)＝2， ∴f ′(－1)＝－2.3．已知函数f (x )＝12x 2＋4ln x ，若存在满足1≤x 0≤3的实数x 0，使得曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线与直线x ＋my －10＝0垂直，则实数m 的取值范围是( ) A ．[5，＋∞) B ．[4,5] C ．[4，133] D ．(－∞，4)答案 B解析f ′(x )＝x ＋4x ，当1≤x 0≤3时，f ′(x 0)∈[4,5]，又k ＝f ′(x 0)＝m ，所以m ∈[4,5]．4．曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线与x 轴及直线x ＝1所围成的三角形的面积为( )A.112B.16C.13D.12 答案 B解析 求导得y ′＝3x 2，所以y ′＝3x 2|x ＝1＝3， 所以曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线方程为 y －1＝3(x －1)，结合图像易知所围成的三角形是直角三角形， 三个交点的坐标分别是(23，0)，(1,0)，(1,1)，于是三角形的面积为12×(1－23)×1＝16，故选B.5．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ＋，则f 2 015(x )等于( ) A ．－sin x －cos x B ．sin x －cos xC ．－sin x ＋cos xD ．sin x ＋cos x答案 A解析 ∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ，∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，∴f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ，∴f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ，∴f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ，∴f n (x )是以4为周期的函数，∴f 2 015(x )＝f 3(x )＝－sin x －cos x ，故选A.二、填空题6．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝3x 2＋2x ·f ′(2)，则f ′(5)＝________.答案 6解析 对f (x )＝3x 2＋2xf ′(2)求导，得f ′(x )＝6x ＋2f ′(2)．令x ＝2，得f ′(2)＝－12.再令x ＝5，得f ′(5)＝6×5＋2f ′(2)＝6.7．已知函数y ＝f (x )及其导函数y ＝f ′(x )的图像如图所示，则曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程是__________________．答案 x －y －2＝0解析 根据导数的几何意义及图像可知，曲线y ＝f (x )在点P 处的切线的斜率k ＝f ′(2)＝1，又过点P (2,0)，所以切线方程为x －y －2＝0.8．若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________． 答案 [2，＋∞)解析 ∵f (x )＝12x 2－ax ＋ln x ，∴f ′(x )＝x －a ＋1x. ∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )存在零点，x ＋1x －a ＝0，∴a ＝x ＋1x≥2.三、解答题9．求下列函数的导数．(1)y ＝x n lg x ；(2)y ＝1x ＋2x 2＋1x 3； (3)y ＝sin x x n ； 解 (1)y ′＝nx n －1lg x ＋x n ·1x ln 10＝x n －1(n lg x ＋1ln 10)． (2)y ′＝(1x )′＋(2x 2)′＋(1x 3)′ ＝(x －1)′＋(2x －2)′＋(x －3)′＝－x －2－4x －3－3x －4＝－1x 2－4x 3－3x 4. (3)y ′＝(sin x x n )′＝x n (sin x )′－(x n )′sin x x 2n＝x n cos x －nx n －1sin x x 2n＝x cos x －n sin x x n ＋1. 10．已知曲线y ＝13x 3＋43. (1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P (2,4)的切线方程．解 (1)∵P (2,4)在曲线y ＝13x 3＋43上，且y ′＝x 2， ∴在点P (2,4)处的切线的斜率为y ′|x ＝2＝4.∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43， 则切线的斜率为y ′|x ＝x 0＝x 20.∴切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20·x －23x 30＋43. ∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43， 即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0.B 组 专项能力提升(时间：30分钟)1．在函数y ＝x 3－9x 的图像上，满足在该点处的切线的倾斜角小于π4，且横、纵坐标都为整数的点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 A解析 依题意得，y ′＝3x 2－9，令0≤y ′<1得3≤x 2<103， 显然满足该不等式的整数x 不存在，因此在函数y ＝x 3－9x 的图像上，满足在该点处的切线的倾斜角小于π4，且横、纵坐标都为整数的点的个数是0，选A. 2．若函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图像的顶点在第四象限，则函数f ′(x )的大致图像是( )答案 A解析 ∵f (x )＝x 2＋bx ＋c ＝⎝⎛⎭⎫x ＋b 22－b 24＋c ， 由f (x )的图像的顶点在第四象限得－b 2>0，∴b <0. 又f ′(x )＝2x ＋b ，斜率为正，纵截距为负，故选A.3．(2013·广州调研)已知曲线C ：f (x )＝x 3－ax ＋a ，若过曲线C 外一点A (1,0)引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则a 的值为________．答案 278解析 设切点坐标为(t ，t 3－at ＋a )．由题意知，f ′(x )＝3x 2－a ，切线的斜率为k ＝y ′|x ＝t ＝3t 2－a ，①所以切线方程为y －(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(x －t )．②将点(1,0)代入②式得，－(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(1－t )，解之得，t ＝0或t ＝32. 分别将t ＝0和t ＝32代入①式，得k ＝－a 和k ＝274－a ， 由题意得它们互为相反数得a ＝278. 4．设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)曲线f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解 (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋b x 2， 于是⎩⎨⎧ 2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x . (2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)， 即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)． 令x ＝0，得y ＝－6x 0， 从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0. 令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.5．设有抛物线C ：y ＝－x 2＋92x －4，过原点O 作C 的切线y ＝kx ，使切点P 在第一象限． (1)求k 的值；(2)过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标．解 (1)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，则y 1＝kx 1，①y 1＝－x 21＋92x 1－4，② ①代入②得x 21＋(k －92)x 1＋4＝0. ∵P 为切点，∴Δ＝(k －92)2－16＝0得k ＝172或k ＝12. 当k ＝172时，x 1＝－2，y 1＝－17. 当k ＝12时，x 1＝2，y 1＝1. ∵P 在第一象限，∴所求的斜率k ＝12. (2)过P 点作切线的垂线，其方程为y ＝－2x ＋5.③将③代入抛物线方程得x 2－132x ＋9＝0. 设Q 点的坐标为(x 2，y 2)，即2x 2＝9，∴x 2＝92，y 2＝－4.∴Q 点的坐标为(92，－4)．。

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