第2章点线面综合作图题投影变换法图学应用教程共35页文档

22
例题4 已知点E在平面ABC上，距离A、B为15，求E点的投影。
15 b2
a2 e2
b
e1
d2
c2
e d
a c
V
X
H
b
ed
a
23
c
两点的相对位置
Z
a
Z
a
b
X
A
a
b
O
X
O
B
b
b
b
a
Y
两点中X 值大的点：在左
a YH
两点中Y 值大的点：在前
两点中Z 值大的点：在上
a b
YW
24
例题2 已知A点在B点之前5毫米，之上9毫米，之右8 毫米，求A点的投影。
a2b2
c1
21 d1
b1
a1
11
16
将一般位置平面变为投影面垂直面
一般位置直线变为投影面垂直线，需更换两次投
影。把投影面平行线变为投影面垂直线只需更换一次 投影面。因此，任取一条投影面平行线(正平线)为辅助
线，取与它垂直的H1面为新投影面，三角形也就和新 b
投影面垂直。
V
a
X
b d B
c
A b
b1
8
将一般位置直线变为投影面平行线：正平线
b1
a1
A a
V
b
B
a
b1
b H
X a1
b a
X
V H
b
a
新投影轴X1必须平行于ab,但和ab间距的距离可以任意选取。 9
将一般位置直线变为投影面平行线：水平线
a
b
XV H
a
b
a1
b1
10
将投影面平行线变为投影面垂直线
V
a1
b
a
b
a
X A
B
a1
b1
XV
a
C 13
坐标值大的点投影可
2
见，反之不可见，不
4 D 可见点的投影加括号
X A
O表示。
c
3
b
a
4
1(2)
d
29
例题6 判断两直线的相对位置。
c
b
1
a
d
X a
d
1
cb
1d 1c 30
例题7 判断两直线重影点的可见性。
c
B
C
O
直线上的点具有两个特性：
A cb c
a
1. 从属性：若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面 投影上。利用这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否在 直线上。
2. 定比性：从属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。
即：A C: C B = a c : c b= ac : cb = ac : c b。利用这一特性，
• 新投影面对空间几何元素应处于有利于解题的位置。 4
点的投影变换：一次换变
a
V
a
a1
V1
A
a1
X
V H
a
X
X1
a H
• 点的新投影和不变投影的连线，必垂直于新投影轴；
• 点的新投影到新投影轴的距离等于被变换旧投影到旧投
影轴的距离。
5
点在V/H1体系中的投影
a1 V
a
X A a
a
a1 XV H
H
H
a
b
H
a
b
11
将一般位置直线变为投影面垂直线
b a
a2 b2 B
A
b1
V1
a1
b
X1 a
H
12
将一般位置直线变为投影面垂直线
b
一般位置直线变为投影面垂直
a
线，需更换两次投影。第一次把一
般位置直线变为投影面V1的平行线；
X
V H
第二次再把投影面平行线变为投影 面H2的垂直线。
b
a
a2 b2
b1 a1
13
思考题1 如何求点C到直线AB的距离？
b
b
a
提示
a
c
XV
H
X
b
b
a
c
a2 b2
a
b1
a1
14
思考题2 如何求两直线AB与CD间的距离？
b
b
a
提示
a
d
c
XV H
XV
d
b
a b
c
a2 b2
a
b1 a1
15
例题1 求两直线AB与CD的公垂线。
1
b d
a
2
c
V X
H
b
1
d
ac 2
H2
c2
22
12Leabharlann d2基本要求• 掌握换面法的基本原理和投影变换规律； • 掌握用换面法求线段实长、平面图形实形以
及它们对投影面的倾角的作图方法； • 掌握用换面法解决一般空间几何元素间的定
位和度量问题。
1
当直线或平面相对于投影面处于一般位置时，它们的投影不反映真实形状，也不具有
积聚性，但当它们相对于投影面处于特殊位置（平行或垂直）时，则其投影或反映真
在不作侧面投影的情况下，可以在侧平线上找点或判断已知点是 否在侧平线上。
27
例题3 已知点C的水平投影且其在线段AB上，求 点C的正面投影。
V
b
b
c
B
c
a
C
X a
X
A
O
a
ac cb
a
c b
H
c
b
28
四、交叉两直线上重影点的可见性
c 1 (3)4
2
d
b
判断重影点的可见性
时，需要看重影点在 B 另一投影面上的投影，
实形状（平行时）或具有积聚性（垂直时）。
a
b
c
c
b
a
a
d
b a
c d
b
a
a a
c a
d
b
ba
d
b
a
b
c
c
c
c c
b
a
d
b
b a
a
d
b
b
a
c
dc
b
a
b
a
d
b
c
线段实长
平面实形
两平面夹角 直线与平面的交点
启示：当图解一般位置的直线、平面及其相互间的定位和度量问题时，若能将它们变 成特殊位置直线、平面，就有可能较容易地解决问题。换面法便源于此。
D C
a
V
d1
X H
a1 H1
c1 a
c
b d c
d
a
c
H
17
例题2 求点S到平面ABC的距离。
b
k1
d
a
c
s1
s'
b
s
d a
c
18
例题3 已知点E到平面ABC的距离为n，求点E的正面投影e及其在
平面ABC上的垂足。
b
k
d
a
e
c
b
a
k
d
c
n
n
19
将投影面垂直面变为投影面平行面
V
c
c1
V1
C a
a1 b1
A
b
X B
X1 H
20
c1 b1
a1
c
a b
X bc
a
V
c
a b
X
bc
a
H
21
将一般位置平面变为投影面平行面
若取新投影面平行
于一般平面，可以反映 实形，但是新投影面也 为一般平面。
a2 b2
d2
c2
b
d
a
V X
H a
c
b d c
第一次把一般平面变为投影面 垂直面。第二次再把投影面垂直面 变为投影平行面。
a
6
点的投影变换：二次换变
• 必须注意投影面要交替进行更换
a
V1
a2
a
X
V H
a1
a
A
a2
X1 a
a1
7
投影变换的六个基本问题
• 将一般位置直线变为投影面平行线 • 将投影面平行线变为投影面垂直线 • 将一般位置直线变为投影面垂直线 • 将一般位置平面变为投影面垂直面 • 将投影面垂直面变为投影面平行面 • 将一般位置平面变为投影面平行面
Z
a
a
9
b
X
O
8
b
5
a YH
b
YW
25
2、求线段的实长及对正立投影面的倾角
b
B
AB
b
a
X
|YA-YB| A a
AB
ab
O C b
|YA-YB|
a
X
ab
b
AB
a
|YA-YB|
用哪个投影面的投影作为一直角边，另
|YA-YB| 一直角边为线段两端点离该投影面的距离差。
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直线上的点的投影特性
X a
b
2
换面法的基本概念
V
c1
c
V1
C
a
a1
b1
b
X
B
A
b
c
X1
aH
保持空间几何元素的位置不动，建立新的直角投影体 系，使几何元素在新投影面体系中处于有利解题的位 置，然后用正投影法获得几何元素的新投影。