北京二中分班考试数学真题-精选
2023北京二中初三(上)第一学段考数学(航班)(教师版)
2023北京二中初三（上）第一学段考数 学（航班）考试时间120分钟，满分100分．第I 卷（选择题，共30分）一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1. 将抛物线y=6x 2先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到新的抛物线，则新抛物线解析式是（ ）A. y=6（x ﹣2）2+3B. y=6（x+2）2+3C.y=6（x ﹣2）2﹣3D. y=6（x+2）2﹣32. 如图所示，某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆AB ．已知观测点C 到旗杆的距离(CE 的长度)为8m ，测得旗杆的仰角∠ECA 为30°，旗杆底部的俯角∠ECB 为45°，那么，旗杆AB 的高度是( )A. B. (8+ C. D. (8 3. 在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，AE 交BD 于点Q ，若△DQE 的面积为9，则△AQB 的面积为（ ）A. 18B. 27C. 36D. 454. 如图，身高1.6米的小慧同学从一盏路灯下的B 处向前走了8米到达点C 处时，发现自己在地面上的影子CE 的长是2米，则路灯AB 的高为（ ）A.5米B. 6.4米C. 8米D. 10米 5. 已知集合{|},{|12}A x x a B x x =<=≤≤，且A B A ⋃=，则实数a 的取值范围是（ ）A. 2a ≤B. 2a <C. 2a ≥D. 2a > 6. 函数()y f x =的定义域是R ，该函数关于y 轴对称，且在(,0]−∞上是增函数，若()(2)f a f ≤，则实数a 的取值范围是（ ）A. 2a ≤B. 2a ≥−C. 22a −≤≤D. 2a ≤−或2a ≥ 7. 如图，D 、E 、F 分别是等腰三角形ABC 边BC 、CA 、AB 上的点，如果AB ＝AC ，BD ＝2，CD ＝3，CE＝4，AE ＝32，∠FDE ＝∠B ，那么AF 的长为( )A. 5.5B. 4.5C. 4D. 3.58.在平面直角坐标系xOy 中，点123(1)(2)(4)y y y −，，，，，在抛物线22y ax ax c =−+上，当0a >时，下列说法一定正确的是( )A. 若120y y <，则30y >B. 若230y y >，则10y <C. 若130y y <，则20y >D. 若1230y y y =，则20y =9. 将1，2，3，…，9这9个数字填在如图所示的九个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下依次增大．当3，4固定在图中位置时，所填写空格的方法有（ ）A. 4种B. 6种C. 12种D. 18种第Ⅱ部分（非选择题 共70分）二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）10.己知函数1y x =，则此函数的定义域为_______________． 11. 若2536m n =，则m n n−=___________． 12. 已知二次函数221y x x =+−，当21x −<<时，函数值y 的取值范围是___________．13. 如图，在Rt ABC △中，90ACB CD AB ∠=︒⊥，，垂足为点D ，如3,12ADC CDB C AD C==，那么BC 的长是_______．14. 如图是二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的部分图象，其顶点坐标为(1,)n ，且与x 轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间，则下列结论：①0bc ≤；②30a b +=；③0a b c −+>；④c n <；⑤一元二次方程21ax bx c n ++=−有两个不相等的实数根，其中正确结论的序号是___________．15. 如图，已知D 是BC 的中点，M 是AD 的中点．求:AN NC 的值．16. 在“我爱北京”知识竞赛后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高；乙：丙的成绩比我和甲的都高；丙：我的成绩比乙高；成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为___________．17. 已知函数2()2f x x x =−，()2(0)g x ax a =+>，若[]11,2x ∀∈−，2[1,2]x ∃∈−使，得()()12f x g x =，则实数a 的取值范围是___________．三、解答题（第19~20题每小题4分，第21~24题每小题8分，第25题6分，共46分） 18. （1）已知210x x +=，求()()()2213121x x x −−+−−的值．（2）因式分解：222334x xy y x y ++−−−19. 已知关于x 的一元二次方程2(5)260x k x k −+++=．（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若此方程恰有一个根小于1−，求k 的取值范围．20. 已知关于x 的一元二次方程2(5)260x k x k −+++=．（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若此方程恰有一个根小于1−，求k 的取值范围．21. 解一元二次不等式：2(2)20x a x a −−−≤．22. 如图1是某条公路的一个具有两条车道的隧道的横断面．经测量，两侧墙AD 和BC 与路面AB 垂直，隧道内侧宽8AB =米，为了确保隧道的安全通行，工程人员在路面AB 上取点E ，测量点E 到墙面AD 的距离AE ，点E 到隧道顶面的距离EF ．设AE x =米，EF y =米．通过取点、测量，工程人员得到了x与y 的几组值，如下表：（1）根据上述数据，直接写出隧道顶面到路面AB 的最大距离为___________米，并求出满足的函数关系式()()20y a x h k a =−+<；（2）请你帮助工程人员建立平面直角坐标系．描出上表中各对对应值为坐标的点，画出可以表示隧道顶面的函数的图像．（3）若如图2的汽车在隧道内正常通过时，汽车的任何部位需到左侧墙及右侧墙的距离不小于1米且到隧道顶面的距离不小于0.35米．按照这个要求，隧道需标注的限高应为多少米（精确到0.1米）？ 23. 问题背景：（1）如图1，已知△ABC ∽△ADE ，求证：△ABD ∽△ACE ； 尝试应用： （2）如图2，在△ABC 和△ADE 中，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，∠ABC ＝∠ADE ＝30°，AC 与DE 相交于点F ，点D 在BC 边上，BD ＝3，CD ＝5，求DF CF的值； 灵活运用：（3）如图3，点A 是△BCD 内一点，∠ADB ＝∠ABC ＝30°，∠BAC ＝90°，BD ＝3，CD 出AD 的长．24. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，对任意的点(,)P x y ，定义OP x y =+，任取点()11,A x y ，()22,B x y ，记()12,A x y '，()21,B x y '，若此时满足：2222OA OB OA OB ''+≥+成立，则称点A 与点B 相关．（1）分别判断下面各组中两点是否相关，并说明理由：①()2,1A −，()3,2B ；②()4,3C −，()2,4D ．（2）给定*n ∈N ，3n ≥，点集：(){}Ω,,,,n x y n x n n y n x y Z =−≤≤−≤≤∈，求集合n Ω中与点()1,1A 相关的点的个数．参考答案第I 卷（选择题，共30分）一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1. 【答案】B【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，进而得出平移后抛物线的解析式即可．【详解】解：抛物线y=6x 2先向左平移2个单位得到解析式：y=6（x+2）2，再向上平移3个单位得到抛物线的解析式为：y=6（x+2）2+3．故选B ．考点：二次函数图象与几何变换．2. 【答案】D【分析】利用∠ECA 的正切值可求得AE ；利用∠ECB 的正切值可求得BE ，根据AB=AE+BE 进行求解即可.【详解】在△EBC 中，有BE=EC×tan45°=8，在△AEC 中，有AE=EC×tan30°=3， ∴AB=BE+AE=（8+3）（米）， 故选D. 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，借助其关系构造直角三角形并解直角三角形是解题的关键．3. 【答案】C【分析】由平行四边形的性质证明,DQE BQA ∽11,22DE CD AB ==再利用相似三角形的性质可得答案．【详解】解：如图，,ABCD//,,AB CD AB CD ∴= E 为CD 的中点，11,22DE CD AB ∴== //CD,AB,DQE BQA ∴∽2211,24DQE BQA SDE S AB ⎛⎫⎛⎫∴=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 9,DQE S =36,BQA S ∴=故选C ．【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键． 4. 【答案】C【分析】根据CD //AB ，得出△ECD ∽△EBA ，进而得出比例式求出即可．【详解】解：由题意知，CE ＝2米，CD ＝1.6米，BC ＝8米，CD //AB ，则BE ＝BC +CE ＝10米，∵CD //AB ，∴△ECD ∽△EBA ∴CD AB ＝CE BE ，即1.6AB ＝210， 解得AB ＝8（米），即路灯的高AB 为8米．故选C ．ECD ∽△EBA 是解答本题的关键． 5. 【答案】D【分析】利用集合的性质，A B A ⋃=进行求解，从而得出答案．【详解】解：∵A B A ⋃=，∴B A ⊆，表明集合B 的所有元素都是集合A 中的元素，∴2a >，故选：D ．【点睛】本题主要考查的内容是并集的定义和性质的理解，题目比较简单，属于基础题，计算时要仔细，注意不要出错．6. 【答案】D【分析】根据函数的性质确定出函数为偶函数，在(,0]−∞上是增函数，在()0,∞+上是减函数，分别在0a >和a<0两种情况下利用增减性直接求解即可． 【详解】解：函数()y f x =的定义域是R ，该函数关于y 轴对称，∴函数()y f x =为偶函数，函数在(,0]−∞上是增函数，∴在()0,∞+上是减函数，当0a >时，()(2)f a f ≤，2a ∴≥，当a<0时，函数()y f x =在义域R 上为偶函数，在(,0]−∞上是增函数，()()22f f ∴−=，2∴≤−a ，故选：D ．【点睛】本题考查了利用函数的增减性，熟练掌握函数性质，灵活运用函数增减性，奇偶性是解答本题的关键．7. 【答案】C【分析】由AE 和CE 的长可求出AC 的长，因为△ABC 是等腰三角形，所以AB =AC ，若要求AF 的长，可求出BF 的长即可．而通过证明△DBF ∽△ECD 即可求出BF 的长，问题得解．【详解】解：∵AB =AC ，∴∠B =∠C ，∵∠BFD =180°-∠B -∠FDB ，∠EDC =180°-∠FDE -∠FDB ，又∵∠FDE =∠B ，∴∠BFD =∠EDC ，∴△DBF ∽△ECD ，∴BD ：CE =BF ：CD ，∵BD =2，CD =3，CE =4，∴2：4=BF ：3，∴BF =1.5，∵AC =AE +CE =32+4=5.5， ∴AB =5.5，∴AF =AB -BF =5.5 1.5=4，故选C ．8. 【答案】A【分析】根据二次函数解析式可得抛物线对称轴及开口方向，根据各点横坐标可判断312y y y >>，进而求解．【详解】解：∵22y ax ax c =−+中0a >，∴抛物线开口向上，对称轴为直线212a x a−=−=， ∵411(1)21−>−−>−，∴312y y y >>，当120y y <时，12y y ，异号，∴1200y y ><，，∴310y y >>，选项A 正确．当3120y y y >>>时，230y y >，∴选项B 错误，当130y y <时，3100y y ><，，∴210y y <<，选项C 错误． 当1230y y y =时，123y y y ，，中有1个值为0即可，∴选项D 错误．故选：A ．【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象与系数的关系．9. 【答案】B【分析】如图，由题意知，当a b ，确定后，另两个位置上的数字是确定的，且a b ，，所有可能的情况有：①5，6；②5，7；③5，867；⑤6，8；⑥7，8；然后作答即可．【详解】解：如图，由题意知，当a b ，确定后，另两个位置上的数字是确定的，∴a b ，，所有可能的情况有：①5，6；②5，7；③5，8；④6，7；⑤6，8；⑥7，8；故选：B ．【点睛】本题考查了数字的规律探究．解题的关键在于理解题意．第Ⅱ部分（非选择题 共70分）二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）10. 【答案】1x ≥−且0x ≠【分析】由二次根式的被开方数非负且分式的分母不为零，可求出函数的定义域．【详解】解：要使函数1y x=有意义， 则100x x +≥⎧⎨≠⎩， 解得1x ≥−且0x ≠，所以此函数的定义域为1x ≥−且0x ≠．故答案为1x ≥−且0x ≠．【点睛】本题考查了函数的定义域，二次根式的被开方数非负和分式的分母不为零，熟练掌握二次根式的被开方数非负和分式的分母不为零是解题的关键．11. 【答案】14##0.25 【分析】根据已知2536m n =得出54m n =，再代入m n n −中计算求值即可． 【详解】解：2536m n =， 45m n ∴=，即54m n =511444n n n m n n n n −−===， 故答案为：14． 【点睛】本题考查了代数式求值，利用已知得出54m n =是解答本题的关键． 12. 【答案】22y −≤<【分析】根据二次函数的性质可得函数图像开口方向向上，对称轴为=1x −，顶点坐标为()1,2−−，根据x 的值离对称轴越远值越大，在对称轴的位置y 值最小即可得出函数值y 的取值范围．【详解】解：()222112y x x x =+−=+−， ∴可知函数图像开口方向向上，对称轴为=1x −，顶点坐标为()1,2−−，x ∴的值离对称轴越远值越大，在对称轴的位置y 值最小，当1x =时，2y =，∴当21x −<<时，函数值y 的取值范围是22y −≤<，故答案为：22y −≤<．【点睛】本题考查了二次函数图像与不等式的解集，二次函数一般式化成顶点式，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．13.【答案】3【分析】先利用32ADC CDB C C =△△和面积公式求出BD ，AB ，再证明C ABC BD ∽△△得到2BC AB BD =⋅，从而得解．【详解】解：∵CD AB ⊥，32ADC CDB C C =△△， ∴132122ADC CDB AD CD CAD C BD BD CD ⋅===⋅， 又∵1AD =，∴23BD =，53AB AD BD =+=， ∵90ACB CD AB ∠=︒⊥，，∴9090A B BCD B ∠+∠=︒∠+∠=︒，，∴A BCD ∠=∠，∵A BCD ∠=∠，B B ∠=∠，∴C ABC BD ∽△△，∴AB BC CB BD =， ∴2BC AB BD =⋅， 即25210339BC =⨯=，∴3BC =， 故答案为：3． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．14. 【答案】③④⑤【分析】利用抛物线开口方向得到a<0，根据对称轴得到0b >，根据抛物线与y 轴交于正半轴得到0c >，即可对①进行判断；由对称轴得到2b a =−，代入式子可知3a b a +=即可对②进行判断；由的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点在点()1,0−和(2,0)−之间，则当=1x −时，0y >，于是可对③进行判断；抛物线的开口向下，所以函数的顶点坐标处函数值最大，可对④进行判断；由于抛物线与直线y n =有一个公共点，则抛物线与直线1y n =−有2个公共点，于是可对⑤进行判断．【详解】解：由图可知，抛物线的开口向下，<0a ∴， 对称轴为12b x a=−= 20b a ∴=−>抛物线与y 轴交于正半轴，0c ∴>0bc ∴>，故①错误； 对称轴为12b x a=−= 2b a ∴=−3320a b a a a +=−=>，故②错误；抛物线与x 轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间，对称轴为1x =，∴抛物线与x 轴的另一个交点在点()1,0−和(2,0)−之间，∴当=1x −时，0y >，即0a b c −+>，故③正确；抛物线的开口向下，∴函数的顶点坐标处函数值最大，n c ∴>正确，故④正确；抛物线与直线y n =有一个公共点，∴抛物线与直线1y n =−∴一元二次方程21ax bx c n ++=−有两个不相等的实数根，故⑤正确，综上所述正确的有：③④⑤，故答案为：③④⑤．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握：二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小，当0a >时，抛物线向上开口，当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置，当a 与b 同号时，对称轴在y 轴左，当a 与b 异号时，对称轴在y 轴右，常数项c 决定抛物线与y 轴交点，抛物线与y 轴交于()0,c ；抛物线与x 轴交点个数由判别式确定：240b ac ∆=−>时，抛物线与x 轴有2个交点，240b ac ∆=−=时，抛物线与x 轴有1个交点，24<0b ac ∆=−时，抛物线与x 轴没有交点．15. 【答案】12【分析】解法1：过点D 作AC 的平行线交BN 于点H ，构造“A ”型和“8”型，得出BDH BCN ∽和DHM ANM ∽，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案；解法2：过点C 作AD 的平行线交BN 的延长线于点H ，构造“A ”型和“8”型，得出BDM BCH △∽和AMN CHN △∽△，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案；解法3：过点A 作BC 的平行线交BN 的延长线于点H ，构造“A ”型和“8”型，得出AHM DBM △∽△和AHN CBN △∽△，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案；解法4：过点D 作BN 的平行线交AC 于点H ，根据三角形中位线定理得出AN NH CH ==，即可得出答案；【详解】解法1：如图2，过点D 作AC 的平行线交BN 于点H ．因为//DH AC ．所以BDH BCN ∽， 所以DH BD CN BC=． 因为D 为BC 的中点，所以12DH BD CN BC ==． 因为//DH AN ，所以DHM ANM ∽， 所以DH DM AN AM=． 因为M 为AD 的中点，所以1DH DM AN AM ==． 所以DH AN =， 所以12AN CN =． 解法2：如图3，过点C 作AD 的平行线交BN 的延长线于点H ．因为//DM CH ，所以BDM BCH △∽，所以DM BD CH BC=． 因为D 为BC 的中点，所以12DM BD CH BC ==． 因为M 为AD 的中点，所以AM DM =， 所以12AM CH =． 因为//DM CH ，所以AMN CHN △∽△， 所以12AN AM CN CH ==． 解法3：如图4，过点A 作BC 的平行线交BN 的延长线于点H ．因为//AH BD ，所以AHM DBM △∽△， 所以AH AM BD DM=． 因为M 为AD 的中点，所以AM DM =，所以AH BD =．因为//AH BD ，所以AHN CBN △∽△， 所以AN AH CN BC=． 因为D 为BC 的中点，且AH BD =， 所以12AN BD CN BC ==． 解法4：如图5，过点D 作BN 的平行线交AC 于点H ．在ADH 中，因为M 为AD 的中点，//MN DH ，所以N 为AH 的中点，即AN NH =．在CBN △中，因为D 为BC 的中点，//DH BN ，所以H 为CN 的中点，即CN HN =，所以AN NH CH ==． 所以12AN CN =． 16. 【答案】甲乙丙【分析】分别假设甲、乙、丙预测正确，进行推理论证，即可得到答案．【详解】解：若甲预测正确，则乙和丙的预测都错误，此时甲＞乙，丙＜乙，甲＞丙，三人按照成绩由高到低的次序为甲乙丙；若乙预测正确，则甲和丙预测都错误，此时，甲＜乙，乙＜丙，丙＜乙，矛盾，故乙预测错误；若丙预测正确，则甲和乙预测都错误，此时丙＞乙，甲＜乙，此时乙正确，矛盾，故丙预测错误；故答案为：甲乙丙．【点睛】本题考查了简单的合情推理，正确推理论证是关键．17. 【答案】3a ≥【分析】由[]11,2x ∀∈−，2[1,2]x ∃∈−使，得()()12f x g x = ，可得2()2f x x x =−在[]11,2x ∀∈−的值域为()2g x ax =+在2[1,2]x ∃∈−的值域的子集，构造关于a 的不等式组，可得结论．【详解】解：当[]11,2x ∀∈−时，2()2f x x x =−， ∴函数对称轴为1x =，()11f ∴=−是函数的最小值，()13f −=是函数的最大值，()[]11,3f x ∴=−，若[]11,2x ∀∈−，2[1,2]x ∃∈−使，得()()12f x g x =，∴当2[1,2]x ∃∈−，()[]21,3g x ⊇−，0a >，()2g x ax =+是增函数，21223a a −+≤−⎧∴⎨+≥⎩，解得：3a ≥， 故答案为：3a ≥．【点睛】本题考查的知识点是二次函数在闭区间上的最值，其中根据已知分析出2()2f x x x =−在[]11,2x ∀∈−的值域为()2g x ax =+在2[1,2]x ∃∈−的值域的子集是解答的关键．三、解答题（第19~20题每小题4分，第21~24题每小题8分，第25题6分，共46分）18. 【答案】（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）先算乘法，再合并同类项，最后整体代入求出即可；（2）根据平方和公式和提取公因式法进行因式分解即可．【详解】（1）解：210x x +=， ()()()2213121x x x ∴−−+−−224413621x x x x x =−+−+−+−22x x =++102=+12=；（2）解：222334x xy y x y ++−−−()()234x y x y =+−+− ()()41x y x y ⎡⎤⎡⎤=+−++⎣⎦⎣⎦()()41x y x y =+−++【点睛】本题考查了整式的混合运算和求值的应用，平方和公式和提取公因式法进行因式分解，数量掌握这些知识是解题的关键．19. 【答案】（1）见解析 （2）4k <−【分析】（1）计算根的判别式得到()21k ∆=+，然后根据根的判别式的意义得到结论；（2）用公式法解方程得到12x =，，23x k =+结合此方程恰有一个根小于1−，则31k +<−，然后解不等式即可．【小问1详解】证明：一元二次方程2(5)260x k x k −+++=， 1a =，()5b k =−+，26c k =+，()()()2222454262110b ac k k k k k ∴∆=−=−+−+=++=+≥⎡⎤⎣⎦， ∴此方程总有两个实数根；【小问2详解】一元二次方程2(5)260x k x k −+++=，1a =，()5b k =−+，26c k =+，()2241b ac k ∴∆=−=+，()5122k k b x a +±+−±∴===，12x ∴=，23x k =+，此方程恰有一个根小于1−，31k ∴+<−，4k ∴<−．【点睛】本题考查了根的判别式，公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根与24b ac ∆=−有如下关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根，当Δ0=时，方程有两个相等的实数根，当Δ0<时，方程无实数根，是解答本题的关键．20. 【答案】（1）见解析 （2）4k <−【分析】（1）计算根的判别式得到()21k ∆=+，然后根据根的判别式的意义得到结论；（2）用公式法解方程得到12x =，，23x k =+结合此方程恰有一个根小于1−，则31k +<−，然后解不等式即可．【小问1详解】证明：一元二次方程2(5)260x k x k −+++=， 1a =，()5b k =−+，26c k =+，()()()2222454262110b ac k k k k k ∴∆=−=−+−+=++=+≥⎡⎤⎣⎦， ∴此方程总有两个实数根；【小问2详解】一元二次方程2(5)260x k x k −++=，1a =，()5b k =−+，26c k =+，()2241b ac k ∴∆=−=+，()5122k k b x a +±+−±∴===，12x ∴=，23x k =+，此方程恰有一个根小于1−，31k ∴+<−，4k ∴<−．【点睛】本题考查了根的判别式，公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根与24b ac ∆=−有如下关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根，当Δ0=时，方程有两个相等的实数根，当Δ0<时，方程无实数根，是解答本题的关键．21. 【答案】当2a =−时，2x =−；当2a <−时，2a x ≤<−；当2a >−时，2x a −<≤【分析】将一元二次不等式()2220x a x a −−−≤转化成()()20x a x −+≤，对a 分情况讨论即可得到x的值．【详解】解：由()()()22220x a x a x a x −−−=−+≤，可分情况为： ①当2a =−时，即()20x a −≤，解得：2x =−；②当2a <−时，即()()20x a x −+≤，解得：2a x ≤<−；③当2a >−时，即()()20x a x −+≤，解得：2x a −<≤；综上所述：当2a =−时，2x =−；当2a <−时，2a x ≤<−；当2a >−时，2x a −<≤．【点睛】本题考查的是解一元二次不等式，对参数进行讨论是解题的关键．22. 【答案】（1）6，()21468y x =−−+． （2）见解析 （3）隧道需标注的限高应为4.5米【分析】（1）根据二次函数的对称性可知在4x =时y 取得最大值，然后运用待定系数法求出函数解析式即可；（2）根据题意，以点A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴建立平面直角坐标，画出函数图像即可； （3）令1x =，求得相应的y 值，结合到隧道顶面的距离不小于0.35米,可得汽车最高点距地面的距离即可解答．【小问1详解】解：根据二次函数的对称性可知，当4x =时，y 有最大值6，设()()2460y a x a =−+<∵D 的坐标为()0,4∴()()240460a a =−+<，解得18a =− ∴()21468y x =−−+． 故答案为：6，()21468y x =−−+． 【小问2详解】 解：根据题意，以点A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴建立平面直角坐标,画出图像如图所示：【小问3详解】解：令1x =，可得()21146 4.8758y =−−+= 隧道需标注的限高应为4.8750.35 4.5−=（米）．答：隧道需标注的限高应为4.5米．【点睛】本题主要考查了二次函数在实际问题中的应用、数形结合、待定系数法等知识点，理清题中的数量关系、求得函数解析式是解题的关键．23.【答案】（1）见解析（2（3【分析】（1）由题意得出AB AC AD AE=，∠BAC ＝∠DAE ，则∠BAD ＝∠CAE ，可证得结论； （2）连接EC ，根据题意得出ABCADE △△，由（1）得ABD ACE ∽，在证明ADF ECF ∽△△，然后根据相似三角形性质求DF AD CF EC=的值即可； （3）过D 作DM BD ⊥，过点A 作MA AD ⊥，两线相交与点M ，先证明ABC AMD ∽，在证明ABM ACD △△∽，然后由相似三角形性质、勾股定理以及直角三角形30︒角的性质可得结果．【详解】解：（1）证明：∵△ABC ∽△ADE ， ∴AB AC AD AE=，∠BAC ＝∠DAE ， ∴∠BAD ＝∠CAE ，AB AD AC AE =， ∴△ABD ∽△ACE ；（2）如图2，连接EC ，9030BAC DAE ABC ADE ∠∠︒∠∠︒＝＝，＝＝， ABC ADE ∴△∽△，由（1）知ABD ACE ∽，AD BD AE CE∴=， 在Rt ADE △中，30ADE ∠=︒，AD AE ∴=， 3BD CE CE∴==， 3CE， 在Rt ABC 中，30B ∠=︒，8BC BD CD =+=， 142AC BC ∴==， 作AH BC ⊥于H ， 122CH AC ∴==，AH == 523DH ∴=−=，AD ∴=== 由ABD ACE ∽得ACE B ADE ∠=∠=∠， 又AFD EFC ∠=∠，ADF ECF ∴∽，DF AD CF EC ∴=== （3）如图，过D 作DM BD ⊥，过点A 作MA AD ⊥， 两线相交与点M ，3090BDA BDM ∠=︒∠=︒，，60ADM ∴∠=︒，30AMD ∴∠=︒，30ABC AMD ∴∠=∠=︒，又90BAC MAD ∠=∠=︒，ABC AMD ∴∽，AB AC AM AD∴=， 又BAC CAM MAD CAM ∠+∠=∠+∠，AB AM BAM CAD AC AD∴=∠=∠，， ABM ACD ∴∽， BM AB CD AC∴=， 在Rt ABC 中，30ABC ∠=︒，AB AC ∴=，BM CD ∴==，BM ∴=，在Rt BDM 中，DM ==在Rt ADM △中，30AMD ∠=︒，12AD DM ∴==即AD【点睛】此题是相似形综合题，考查了直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．24. 【答案】（1）①相关；②不相关（2）245n +个【分析】（1）根据所给定义，代入不等式化简变形可得对应坐标满足的关系，即可判断所给两个点的坐标是否符合定义要求；（2）根据所给点集，依次判断在四个象限内满足的点个数，坐标轴上及原点的个数，即可求得集合n Ω中与点()1,1A 相关的点个数．【小问1详解】解：由题可得：若点()11,A x y ，()22,B x y 相关， 则()12,A x y '，()21,B x y '，而OP x y =+， 设：11220,0,0,0x y x y ≥≥≥≥， 则有定义2222OA OB OA OB ''+≥+可知，()()()()222211221221x y x y x y x y +++≥+++，化简变形可得()()12120x x y y −−≥，对于①()2,1A −，()3,2B，对应坐标取绝对值，代入可知()()23120−−=成立，∴点A 与点B 相关．对于②()4,3C −，()2,4D ，对应坐标取绝对值，代入可知()()42340−−<，∴点C 与点D 不相关．【小问2详解】解：在第一象限内，()()110x y −−≥，可知1x n ≤≤且1y n ≤≤，有2n 个点，同理可知，在第二象限，第三象限，第四象限也各有2n 个点；在x 轴正半轴上，点()1,0满足条件，在x 轴负半轴上，点()1,0−满足条件；在y 轴正半轴上，点()0,1满足条件，在y 轴负半轴上，点()0,1−满足条件；原点()0,0满足条件∴集合n Ω中共有245n +个点与点()1,1A 相关．【点睛】本题考查子集合中新定义的应用，对题意的理解与分析能力要求较高，属于难题．。
2022-2023学年北京市高一年级上册学期段考数学试题【含答案】
北京二中2022—2023学年度第二学段高一年级学段考试试卷数学必修I命题人：范方兵 审核人：覃怡 得分：一、选择题（每小题5分，共60分）1. 已知集合，，则（）{}12A x x =-<<{}2,1,0,1,2B =--A B = A.B.C.D.{}1,0-{}0,1{}1,0,1-{}1,0,1,2-【答案】B 【解析】【分析】根据交集的定义即可得出答案.【详解】解：方法一：，，{}12A x x =-<< {}2,1,0,1,2B =--，A B ∴= {}0,1故选：B.方法二：，，{}12A x x =-<< {}2,1,0,1,2B =--，排除ACD ，1A -∉故选：B.2. 命题“，”的否定是（ ）0x ∀>321x x -≤A. ， B. ，0x ∀>321x x -≤0x ∀≤321x x ->C. ， D. ，0x ∃≤321x x -≤0x ∃>321x x ->【答案】D 【解析】【分析】全称量词命题的否定为存在量词命题【详解】命题“，”的否定是：“，” .0x ∀>321x x -≤0x ∃>321x x ->故选：D.3. 函数的零点所在区间是（ ）()42x f x x =-A.B.C.D.()1,0-()0,1()1,2()2,3【答案】C【解析】【分析】根据零点存在定理依次判断各选项中区域端点处的符号即可.【详解】对于A ，当时，，，，在内无零点，0x <40x <20x >()0f x ∴<()f x \()1,0-A 错误；对于B ，当从正方向无限趋近于时，，则；又，x 04x →+∞()f x →+∞()1422f =-=在内无零点，B 错误；()f x \()0,1对于C ，，，且在上连续，在()1422f =-= ()2242f =-=-()f x ()1,2()f x \内有零点，C 正确；()1,2对于D ，，，在内无零点，D 错误.()2242f =-=-()4203833f =-=-()f x \()2,3故选：C.4. 已知函数，则与相等的函数是 ()|1|f x x =-()y f x =()A. B.()1g x x =-1,1()1,1x x h x x x ->⎧=⎨-<⎩C.D.2()s x =()t x =【答案】D 【解析】【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是相等函数．【详解】对于A ，函数，与函数的对应关系不()1()g x x x R =-∈()|1|()f x x x R =-∈同，不是相等函数；对于B ，函数，与函数的定义域1,1()1(1)1,1x x h x x x x x ->⎧==-≠⎨-<⎩()|1|()f x x x R =-∈不同，不是相等函数；对于C ，函数，与函数的定义域不同，对2()1(1)s x x x ==- ()|1|()f x x x R =-∈应关系不同，不是相等函数；对于D ，函数，与函数的定义域相同，()|1|()t x x x R ==-∈()|1|()f x x x R =-∈对应关系也相同，是相等函数．故选：D5. 已知，则下列不等式中恒成立的是（）0a b <<A.C.D.33a b><22a b>11a b >【答案】D 【解析】【分析】对于A ：根据在R 上为增函数即可判断；()3f x x =对于B ：根据上为增函数即可判断；()f x =()0+∞，对于C ：根据在R 上为增函数即可判断；()2x f x =对于D ：根据在上为减函数即可判断..()1f x x =()0-∞，【详解】对于A ：要判断是否成立，根据在R 上为增函数，33a b >()3f x x =∵，所以，即，故A 错误；0ab <<()()f a f b <33a b <对于B 是否成立，根据上为增函数，∵<()f x=()0+∞，，∴，故B 错误；0a b <<a b ->->对于C ：要判断是否成立，根据在R 上为增函数，∵，所以22ab>()2xf x =0a b <<，即，故C 错误；()()f a f b <22a b<对于D ：要判断是否成立，根据在上为减函数，∵，11a b >()1f x x =()0-∞，0a b <<所以，即，故D 正确.()()f a f b >11a b >故选：D【点睛】结构相同的式子比较大小，可以根据式子结构构造函数，利用函数的单调性比较大小.6. 为得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）3log 27xy =3log y x =A. 向下平移3个单位长度 B. 向上平移3个单位长度C. 向左平移3个单位长度 D. 向右平移3个单位长度【答案】A 【解析】【分析】首先对函数化简可得，再根据上加下减即可.33log log 327xy x ==-【详解】由，3333log log log 27log 327xy x x ==-=-将函数的图象向下平移3个单位长度得到的图象.3log y x =3log 27xy =故选：A7. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（ ）(0,)+∞A. B. C.D.3y x=-12y x=||2x y =3log ()y x =-【答案】C 【解析】【分析】对每一个选项中的函数，先求定义域，若定义域关于原点对称，再观察是否满足，再根据初等函数的单调性判断在上是否单调递增，可得出选项.()()=f x f x -(0,)+∞【详解】A 项，对于函数，定义域为，关于原点对称，3y x =-R ，所以函数是奇函数，故A 项错误；()33()()f x x x f x -=--==-3y x =-B 项，对于函数，定义域为，定义域不关于原点对称，所以函数为12y x =(0,)+∞12y x =非奇非偶函数，故B 项错误；C 项，对于函数，定义域为，关于原点对称，，所以||2x y =R 2()()2xxg x g x --===函数为偶函数，当时，，利用指数函数知，函数在区间2xy =0x >22xxy ==2xy =上为增函数，故C 正确；(0,)+∞D 项，对于函数，定义域为，定义域不关于原点对称，所以函数3log ()y x =-(,0)-∞是非奇非偶函数，故D 项错误；3log ()y x =-故选：C.8. 函数的大致图象是（ ）()()1xxa f x a x=>A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】去掉绝对值，根据函数的单调性即可判断．【详解】当时，，因为，所以函数单调递增，0x >()x f x a =1a >()xf x a =当时，，因为，所以函数单调递减．0x <()x f x a =-1a >()xf x a =-故选：C ．9. 已知，，，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）0.32=a 3log 2b =0.3log 2c =A. B. a b c <<c b a <<C. D. a c b <<b<c<a【答案】B 【解析】【分析】根据指数函数、对数函数的单调性即可比较大小.【详解】解：，，，0.30221a =>= 33log 2log 31b =<=0.30.3log 2log 10c =<=，c b a ∴<<故选：B.10. 已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，若x 1，x 2∈R，则“x 1+x 2＝0”是“f （x 1）+f （x 2）＝0”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据函数奇偶性的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断.【详解】函数是奇函数,()f x 若，则，∴120x x +=12x x =-则，()()()122f x f x f x =-=-即成立,即充分性成立，()()120f x f x +=若，满足是奇函数，当时()0f x =()f x 122x x ==满足，此时满足，()()120f x f x ==()()120f x f x +=但，即必要性不成立，1240x x +=≠故“”是“”的充分不必要条件，120x x +=()()120f x f x +=所以A 选项正确.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据函数奇偶性的性质是解决本题的关键.11. 两个工厂生产同一种产品，其产量分别为.为便于调控生产，分别将(),0a b a b <<、、中的值记为并进行分析.则的1x a b x -=-x a a b x x -=-x a ab x b -=-()0x x >,,A G H ,,A G H 大小关系为（ ）A. B. H G A <<G H A <<C. D. A G H <<A H G<<【答案】A 【解析】【分析】解方程可依次求得，结合基本不等式可得大小关系.,,A G H 【详解】由得：，解得：，即；1x a b x -=-x a b x -=-2a b x +=2a bA +=由得：，解得：；x aab x x -=-2x ax ab ax -=-x =G =由得：，解得：，即；x aa b x b -=-bx ab ab ax -=-2ab x a b =+2ab H a b=≤=+又，（当且仅当时取等号），.2a b+≥22ab a b a b +∴≤≤+a b =H G A ∴<<故选：A.12. 著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，1θ℃空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：0θ℃t θ℃．若常数，空气温度为，某物体的温度从下降()010kte θθθθ-=+-0.05k =30℃120C 到，大约需要的时间为（ ）（参考数据：）40℃ln 3 1.1≈A. 分钟 B. 分钟 C. 分钟D. 分钟36394044【答案】D 【解析】【分析】将已知数据代入模型，解之可得答案.【详解】由题知，，，030θ=1120θ=40θ=，，0.054030(12030)te -∴=+-0.0519t e -∴=，，.10.05ln 9t ∴-=0.05ln 92ln 3t ∴==2ln 340ln 3440.05t ∴==⨯≈故选：D.二、填空题（本大题共6小题，共30分）13. 计算________.1229log 8-=【答案】0【解析】【分析】根据指数和对数的运算性质，直接求解即可.【详解】，132229log 83log 2330-=-=-=故答案为：014. 已知函数，则是________函数（填“奇”或“偶”）；在区间()4f x x x =-()f x ()f x 上的最小值是________.[)1,+∞【答案】 ①.奇②. -3【解析】【分析】根据奇函数和偶函数的定义判断即可；再通过判断的单调性即可找出最小()f x 值.【详解】，所以为奇函数；()()4f x x f x x -=-+=-()f x 因为和在都是增函数，所以在是增函数，y x =4y x =-[)1,+∞()4f x x x =-[)1,+∞()()min 13f x f ==-故答案为：奇；3-15. 已知函数.若，则_______.()1lg 1x f x x x -=++()2f a =1f a ⎛⎫=⎪⎝⎭【答案】2-【解析】【分析】找到和的关系，由此得出的值.()f x 1f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭1f a ⎛⎫⎪⎝⎭【详解】，11111lg lg 111x x f x x x x x --⎛⎫=+=-+ ⎪+⎝⎭+，()111lg lg 011x x f x f x x x x x --⎛⎫+=+-+= ⎪++⎝⎭()1102f a f f a a ⎛⎫⎛⎫+=⇒=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：2-16. 已知是定义在上的增函数，且恒成立，则的最大()f x R ()()2760f x f x t ---≤t 值为________.【答案】16-【解析】【分析】根据函数的单调性解不等式之后整理成二次不等式的恒成立问题.【详解】可得，()()2760f x f x t ---≤()()276f x f x t -≤-是定义在上的增函数，()f x R ，276x x t ∴-≤-在上恒成立，2067x x t ∴≤+--R ()26470,t ∴∆=---≤解之：16.t ≤-故答案为：16-17. 函数y = f(x)是定义域为R 的偶函数，当x≥0时，函数f(x)的图象是由一段抛物线和一条射线组成（如图所示）．①当时，y 的取值范围是______；[]1,1x ∈-②如果对任意 (b <0)，都有，那么b 的最大值是______．[],x a b ∈[]2,1y ∈-【答案】 ①.②. []1,22-【解析】【分析】①根据f （x ）是偶函数，图象关于y 轴对称，结合图象可得y 的取值范围．②当x ≥0时，设抛物线的方程为y=ax 2+bx+c ，求解解析式，根据f （x ）是定义域为R 的偶函数，可得x ＜0的解析式，令y=1，可得x 对应的值，结合图象可得b 的最大值．【详解】由图象可知，当时，函数在上的最小值，0x =[]1,1-min 1y = 当时，函数在上的最小值，1x =±[]1,1-max 2y = 所以当，函数的值域为；[]1,1x ∈-()y f x =[]1,2 当时，函数，当时，函数，[]0,3x ∈()()212f x x =--+[)3,x ∈+∞()5f x x =-当时，或，()1f x =2x =7x =又因为函数为偶函数，图象关于轴对称，y 所以对于任意，要使得，则，或，[],(0)x a b b ∈<[]2,1y ∈-a R ∈7b =-2b =-则实数的最大值是．b 2b =-故答案为[]1,22-；【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和函数的图象的应用，意在考查考生对概念的理解能力与应用能力、数形结合能力，求解此类函数图象判断题的关键：一是从已知函数图象过特殊点，列出关于参数的方程，从而求出参数的值；二是利用特殊点法来判断图象．本题还可以利用函数的单调性来判断函数的图象．总之，有关函数的图象判断题，利用“特殊点”与“函数的性质”，即可轻松破解．18. 已知函数给出下列四个结论：222,()2,.x x x a f x x x x a ⎧-≥=⎨--<⎩，①存在实数，使函数为奇函数；a ()f x ②对任意实数，函数既无最大值也无最小值；a ()f x ③对任意实数和，函数总存在零点；a k ()y f x k =+④对于任意给定的正实数，总存在实数，使函数在区间上单调递减.其中m a ()f x (1,)m -所有正确结论的序号是______________.【答案】① ② ③ ④【解析】【分析】分别作出，和的函数的图象，由图象即可判断① ② ③ ④的正确性，0a =0a >a<0()f x 即可得正确答案.【详解】如上图分别为，和时函数的图象，0a =0a >a<0()f x 对于① ：当时，，0a =222,0()2,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩图象如图关于原点对称，所以存在使得函数为奇函数，故①正确；()f x 10a =()f x 对于② ：由三个图知当时，，当时，，所以函数x →-∞y →-∞x →+∞y →+∞既无最大值也无最小值；故② 正确；()f x对于③ ：如图和图中存在实数使得函数图象与没有交点，此时函23k ()y f x =y k =-数没有零点，所以对任意实数和，函数总存在零点不成立；()y f x k =+a k ()y f x k =+故③ 不正确对于④ ：如图，对于任意给定的正实数，取即可使函数在区间2m 1a m =+()f x 上单调递减，故④正确；(1,)m -故答案为：① ② ④【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是分段函数图象，涉及二次函数的图象，要讨论，和即明确分段区间，作出函数图象，数形结合可研究分段函数的性质.0a =0a >a<0三、解答题（本大题共5小题，共60分）19. 已知函数的定义域为A ，的值域为()()lg 1f x x =-+()[]()310,2x g x x =+∈B .（1）求A 和B ；（2）若，求的最大值.[],1a a A B +⊆⋂a 【答案】（1）A 为，B 为(1,4][]0,10（2）3【解析】【分析】（1）根据函数的解析式有意义，得到满足，即可求解函数的定义域1040x x ->⎧⎨-≥⎩A ；根据在定义域内为增函数，即可求出值域B .()[]()310,2x g x x =+∈（2）由（1）可知，根据集合间的包含关系可求出参数a 的范围，则可得出(]1,4A B ⋂=的最大值.a 【小问1详解】解：由题意，函数，满足，()()lg 1f x x =-+1040x x ->⎧⎨-≥⎩解得，所以函数的定义域为，14x <≤()f x (1,4]而函数在R 上是增函数，()[]()310,2x g x x =+∈，，()00312g =+=()223110g =+=所以函数的值域为，()[]()310,2xg x x =+∈[]0,10故定义域A 为，值域B 为.(1,4][]0,10【小问2详解】解：由（1）可知，若，(]1,4A B ⋂=[],1a a A B +⊆⋂则，解得，114a a >⎧⎨+≤⎩13a <£所以的最大值为3，此时满足，a [](]3,41,4⊆故最大值为3.20. 已知函数()()11,2,2ln 1, 2.x f x x x x ⎧+<⎪=-⎨⎪-≥⎩（1）求函数的零点；()f x （2）用定义证明在区间上单调递减.()f x (),2-∞【答案】（1）和； 12（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）令，结合分段函数解析式分别计算可得；()0f x =（2）利用定义法证明，按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可.【小问1详解】解：因为，()()11,22ln 1,2x f x x x x ⎧+<⎪=-⎨⎪-≥⎩令，即或，()0f x =21102x x <⎧⎪⎨+=⎪-⎩()2ln 10x x ≥⎧⎨-=⎩解得或，1x =2x =所以的零点为和.()f x 12【小问2详解】证明：设任意的，，且，1x 2(,2)∈-∞x 12x x <则，21121212121111()()1(1)2222(2)(2)x x f x f x x x x x x x --=+-+=-=------因为，122x x <<所以，，，210x x ->120x -<220x -<所以，12())0(f x f x ->即，12()()f x f x >所以在区间上为减函数．()y f x =(,2)-∞21. 已知函数的定义域为，且为偶函数，当时，()f x (),-∞+∞()f x 0x ≥.()23x f x x =+-（1）求和；()0f ()2f -（2）解不等式；()0f x >（3）设函数，判断的奇偶性和单调性.（只需写出结论）()()()11g x f x f x =+--()g x 【答案】（1），()02f =-()23f -=（2）()(),11,-∞-⋃+∞（3）为奇函数，且在和单调递增.()g x (),1-∞-()1,+∞【解析】【分析】（1）根据已知条件直接计算，由函数为上的偶函数，所以()0f ()f x (),-∞+∞代入计算即可；()()22f f -=（2）由时，单调递增，且解出上的解集，由偶函数0x ≥()f x ()10f =0x ≥()0f x >对称性即可得的解集；()0f x >（3）根据题意写出的解析式，分析即可.()()()11g x f x f x =+--【小问1详解】当时，0x ≥()23x f x x =+-所以()020302f +-=-=又函数为上的偶函数()f x (),-∞+∞所以()()2222233f f -==+-=【小问2详解】当时，为单调递增函数，0x ≥()23x f x x =+-且，()112130f =+-=所以当时，，由偶函数关于轴对称1x >()0f x >y 所以当时，1x <-()0f x >故当时，解集为()0f x >()(),11,-∞-⋃+∞【小问3详解】由题意得为奇函数，且在和单调递增.()g x (),1-∞-()1,+∞22. 设函数.()()12221x x f x -=-（1）判断函数的奇偶性并证明；()f x （2）设，若，求的取值范围.0m >()20m x f x mx f m -⎛⎫-+> ⎪⎝⎭x 【答案】（1）函数是奇函数，证明见解析()f x （2）答案见解析【解析】【分析】（1）利用函数奇偶性的定义即可证明；（2）先求出函数的单调性，利用单调性将不等式，转()f x ()20m x f x mx f m -⎛⎫-+> ⎪⎝⎭化为，再分类讨论m 即可求出的取值范围.()2210mx m x m -++>x 【小问1详解】解：函数是奇函数，证明如下：()f x 函数，，()()()12221222x x x x f x --=-=-x ∈R 因为，，且()()()()222222x x x x f x f x ---=-=--=-()()0002220f =-=所以，函数是奇函数.()f x 【小问2详解】解：，设，()()222x x f x -=- 12x x <则()()1212121212112222221222122x x x x x x x x f x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝-=+⎭⎝⎭⎝⎭，()12121212122212222221222x x x x x x x x x x +⎛⎫-⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，，12x x < 121222220x x x x ∴<⇒-<而，121102x x ++>故，即()()120f x f x -<()()12f x f x <在R 上是增函数，()f x \若，即()20m x f x mx f m -⎛⎫-+> ⎪⎝⎭()211m x f x mx f f x m m -⎛⎫⎛⎫->-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即，211x mx x m ∴->-()2210mx m x m -++>已知，令0m >()()221g x mx m x m =-++=解得或，1x m =21x m =①当时，要使，则，01m <<()0g x >()1,,x m m ⎛⎫∈-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭②当时，此时，1m =()()222110g x x x x =-+=-≥要使，则；()0g x >1x ≠③当时，要使，则，1m >()0g x >()1,,x m m ⎛⎫∈-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭综上，若，当时，的取值范围为()20m x f x mx f m -⎛⎫-+> ⎪⎝⎭01m <<x ；当时，的取值范围为；当时，()1,,m m ⎛⎫-∞⋃+∞⎪⎝⎭1m =x ()(),11,-∞+∞ 1m >的取值范围为.x ()1,,m m ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭23. 设A 是实数集的非空子集，称集合且为集合A 的生成集．{|,B uv u v A=∈}u v ≠（1）当时，写出集合A 的生成集B ；{}2,3,5A =（2）若A 是由5个正实数构成的集合，求其生成集B 中元素个数的最小值；（3）判断是否存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集，并说明{}2,3,5,6,10,16B =理由．【答案】（1）{}6,10,15B =（2）7 （3）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）利用集合的生成集定义直接求解.（2）设，且，利用生成集的定义即可求{}12345,,,,A a a a a a =123450a a a a a <<<<<解；（3）不存在，理由反证法说明.【小问1详解】，{}2,3,5A = {}6,10,15B ∴=【小问2详解】设，不妨设，{}12345,,,,A a a a a a =123450a a a a a <<<<<因为，所以中元素个数大于等于7个，41213141525355a a a a a a a a a a a a a a <<<<<<B 又，，此时中元素个数大于等于7{}254132,2,2,2,2A ={}34689572,2,2,2,2,2,2B =B 个，所以生成集B 中元素个数的最小值为7.【小问3详解】不存在，理由如下：假设存在4个正实数构成的集合，使其生成集，{},,,A a b c d ={}2,3,5,6,10,16B =不妨设，则集合A 的生成集0a b c d <<<<{},,,,,B ab ac ad bc bd cd =则必有，其4个正实数的乘积；2,16ab cd ==32abcd =也有，其4个正实数的乘积，矛盾；3,10ac bd ==30abcd =所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =【点睛】关键点点睛：本题考查集合的新定义，解题的关键是理解集合A 的生成集的定义，考查学生的分析解题能力，属于较难题.。
2023北京二中高一(上)第一次段考数学试卷和答案
2023北京二中高一(上)第一次段考数学一、选择题（每小题5分，共60分）的定义域为，则的图象与直线的交点个数为A ．0 B.1 C.2 D.不确定3．已知集合{|}A x x a =>，{1,0,1}B =-，若{0,1}A B = ，则实数a 的取值范围是A ．{|10}a a -≤<B ．{|10}a a -<≤C ．{|10}a a -<<D ．{|10}a a -≤≤，，若R A ．12m -<<B ．12m -≤≤C ．12m -≤<D ．12m -<≤7．“不等式22530x x --<成立”的一个充分不必要的条件是A ．132x -<<B ．102x -<<C ．16x -<<D ．132x -<<8．已知集合12{N |N}2A a a =∈∈-，{3,4}B =，集合C 满足B C A ⊆⊆，则所有满足条件的集合C 的个数为A.8B.15C.16D.329．若一元二次不等式()20,,R ax bx c a b c ++>∈的解集为{}12x x -<<，则4b c a-+的最大值为A ．-4B ．-2C ．2D ．410．若关于x 的不等式2242ax x ax -<-只有一个整数解，则实数a 的取值范围是A ．112a <≤B ．12a <<C ．12a ≤<D ．11a -<<{22|(3)(2)0}B x ax x x ax =+++=，若*1A B =，设实数a 的所有可能取值构成集合S ．则()Card S =A.3B.4C.5D.6二、填空题（每小题5分，共30分）13．函数1()f x x =的定义域为__________.14．若集合{}|21|3A x x =-<，2103x B x x ⎧+⎫=>⎨⎬-⎩⎭，则A B ⋂=__________.16．不等式(1)(2)04x ≥+的解集为__________.18．定义集合{|}P x a x b = 的“长度”是b a -，其中a ，b ∈R ．已如集合{|}2M x m x m =+ ，3{|}5N x n x n =- ，且M ，N 都是集合{|12}x x 的子集，则集合M N 的“长度”的最小值是；若65m =，集合M N 的“长度”大于35，则n 的取值范围是__________.三、解答题（每小题15分，共60分）19．已知集合{|25}A x x =-≤≤，集合{|121}B x m x m =+≤≤-．（1）若B A ⊆，求实数m 的取值范围；（2）若A B ≠∅ ，求实数m 的取值范围．20．已知关于x 的不等式2320ax x -+>的解集为{1x x <或}(1)x b b >>．（1）求实数,a b 的值；（2）若0x >，0y >，且满足1a b x y+=时，有222x y k k +≥++恒成立，求实数k 的取值范围．21．（1）若命题“x ∃∈R ，2220x ax a +++≤”是真命题，求实数a 的取值范围；（2）求关于x 的不等式2(2)20(R)ax a x a +++≥∈的解集．22．对于正整数集合A ，记{}{|,}A a x x A x a -=∈≠且，记集合A 所有元素之和为()S A ，规定()0S ∅=．若x A ∃∈，存在非空集合1A ，2A ，满足：①12A A =∅ ；②12{}A A A x =- ；③12()()S A S A =，则称A 存在“双拆”．若x A ∀∈，A 均存在“双拆”，则称A 可以“任意双拆”．（1）判断集合{1,2,3,4}和{1,3,5,7,9,11}是否存在“双拆”？如果是，继续判断可否“任意双拆”？（不必写过程）；（2）若12345{,,,,}A a a a a a =，证明：A 不能“任意双拆”；（3）若A 可以“任意双拆”，求A 中元素个数的最小值．参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）【解析】根据题意，由函数的定义知，函数在定义域内具有单值对应，所以当=2时，()f x 有唯一值与之对应．3．【答案】A【解析】因为[1,3]A =-，(1],B m m =+所以{|1R B x x m =>+ð或}x m，若R A B R ⋃=ð，则131m m +⎧⎨-⎩ ，解得1 2.m - 7．【答案】B【解析】解22530x x --<，解得132x -<<．由此可得：选项A ，132x -<<是不等式成立的充要条件；选项B ，102x -<<是不等式成立的一个充分不必要条件；选项C ，16x -<<是不等式成立的一个必要不充分条件；选项D ，132x -<<是不等式成立的一个既不充分也不必要条件．8．【答案】C【解析】 122N a ∈-，a N ∈，则21,2,3,4,6,12a -=±±±±±±，{3,4,5,6,8,14}A ∴=．又{3,4}{3,4,5,6,8,14}C ⊆⊆，{3,4}C ∴=或{3,4,5}，{3,4,6}，{3,4,8}，{3,4,14}，或{3,4,5,6}，{3,4,5,8}，{3,4,5,14}，{3,4,6,8}，{3,4,6,14}，{3,4,8,14}，或{3,4,5,6,8}，{3,4,5,6,14}，{3,4,5,8,14}，{3,4,6,8,14}，或{3,4,5,6,8,14}.故满足条件的集合C 有16个．或25=16.9．【答案】A 【解析】因为一元二次不等式()20,,R ax bx c a b c ++>∈的解集为{}12x x -<<，所以，01212a b a c a ⎧⎪<⎪⎪-+=-⎨⎪⎪-⨯=⎪⎩，则02a b a c a <⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以，()444424b c a a a a a a a a ⎡⎤-+=-++=+=--+≤-=-⎢⎥-⎣⎦，当且仅当()40a a a -=-<时，即当2a =-时，等号成立.因此，4b c a-+的最大值为4-.10．【答案】C 【解析】不等式2242ax x ax -<-化为()22420ax a x -++<，即()()2120x ax --<，当0a =时，不等式化为()()2120x --<，得12x >，有无数个整数解，不符合题意；当0a >时，由关于x 的不等式242ax x ax -<-只有一个整数解，可知122a <，不等式()()2120x ax --<的解为122x a <<，由题意，212a<≤，解得12a ≤<；当0a<时，不等式()()2120x ax --<的解为12x >或2x a <，有无数个整数解，不符合题意．综上，实数a 的取值范围是12a ≤<．11．【答案】D【解析】对于①，因为1∈{1,0,−1},−1∈{1,0,−1}，而−1−1=−2∉{1,0,−1}，所以集合{1,0,−1}不是好集，故①错误；对于②，因为集合为“好集”，所以0∈s 0−=−∈，所以−(−p =+∈，故②正确，综上，①为假命题，②为真命题.12．【答案】C【解析】由于22(3)(2)0ax x x ax +++=，等价于230ax x +=，①或220x ax ++=，②又由{1,1}A =-，且*1A B =，∴集合B 要么是单元素集合，要么是三元素集合.（1）集合B 是单元素集合，则方程①有一个实根，②无实数根，0a ∴=；此时{0}B =，符合条件；（2）集合B 是三元素集合，则方程①有两不相等实根，②有两个相等且异于①的实数根，即2080a a ≠⎧⎨∆=-=⎩，解得a =±，当a =时，32{0,4B =-；当a =-时，{0,4B =；符合条件；（3）集合B 是三元素集合，则方程①有两不相等实根，方程②有一个与①的相同的实根，以及一个异于①的实根，此时0a ≠，则方程①的两个实根为0x =，3x a=-，0x =不可能是方程②的实根，则3x a =-是方程②的实根，将3x a=-代入方程②，可得29320a a a ⎛⎫+⋅-+= ⎪⎝⎭，解得3a =±，当3a =时，{0,1,2}B =--；当3a =-时，{0,1,2}B =；符合条件；综上所述0a =或a =±或3a =±，() 5.Card S ∴=二．填空题（本大题共6小题，共30分）13．【答案】[1,0)(0,2]-⋃【解析】由题意得：2200x x x ⎧-++⎨≠⎩，解得：120x x -⎧⎨≠⎩ ，[1,0)(0,2]x ∴∈-⋃．14.【答案】11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭【解析】根据已知|21|3x -<可得：3213x -<-<解得：{|12}A x x =-<<，210(21)(3)03x x x x +>⇔+->-，解得：{3B x x =>或12x ⎫<-⎬⎭．∴11,2A B ⎛⎫⋂=-- ⎪⎝⎭．或【解析】原不等式等价于(1)(2)(4)0x x x +-+≤，且 4.x ≠-分别令各个因式为0，可得根依次为1-，2， 4.-则不等式的解集为{|4x x <-或12}x -≤≤．【解析】原不等式可化为，设r1−2K2+4，，且，即因为恒成立，所以.18．【答案】10；8179,,25105⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦【解析】集合1{|}2M x m x m =+ ，3{|}5N x n x n =- ，且M ，N 都是集合{|12}x x 的子集，由1122m m ⎧⎪⎨+⎪⎩ ，可得312m ，由3152n n ⎧-⎪⎨⎪⎩ ，可得825n ．要使M N ⋂的“长度”m 取最小值、n 取最大或m 取最大、n 取最小时才成立.当1m =，2n =，7352M N x x ⎧⎫⋂=⎨⎬⎩⎭ ，“长度”为3712510-=，当32m =，85n =，3825M N x x ⎧⎫⋂=⎨⎬⎩⎭ ，“长度”为8315210-=，故集合M N ⋂的“长度”的最小值是110；若65m =，617510M x x ⎧⎫=⎨⎩⎭ ，要使集合M N ⋃的“长度”大于35，故31735105n -<-或63,55n >+即1710n <或9,5n >又825n ，故8179,,25105n ⎡⎫⎛⎤∈⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦.三、解答题（本大题共4小题，共60分）19．【解析】（1）①当=∅时，⊆，此时+1>2−1，解得<2，②当≠∅时，2m ≥，为使⊆，需满足21m -≤+，且215m -≤，解得23m ≤≤．综上所述，实数的取值范围为{|3}m m ≤．（2）先求∩=∅时，实数的取值范围，再求其补集，当=∅时，由（1）知<2，当≠∅时，2m ≥，为使∩=∅，需满足15m +>或212m -<-，解得>4，综上知，当<2或>4时，∩=∅，所以若∩≠∅，则实数的取值范围是{|24}m m ≤≤．20．【解析】（1）因为不等式2320ax x -+>的解集为{1x x <或}(1)x b b>>，所以1和b 是方程2320ax x -+=的两个实数根且0a >，所以31,21b a b a ⎧+=⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩.（2）由（1）知12a b =⎧⎨=⎩，于是有121x y +=，故()12422448y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=+++= ⎪⎝⎭，当且仅当4y x x y =，121x y +=时，即24x y =⎧⎨=⎩时，等号成立.依题意有2min (2)2x y k k +≥++，即282k k ≥++，得260k k +-≤，解得32k -≤≤，所以k 的取值范围为[]3,2-.21．【解析】∵x ∃∈R ，2220x ax a +++≤为真命题，则函数222y x ax a =+++与x 轴有交点，∴()24420a a ∆=-+≥，即220a a --≥，解得1a ≤-或2a ≥．∴实数a 的取值范围是1a ≤-或2a ≥．（2）求关于x 的不等式2(2)20(R)ax a x a +++≥∈的解集．且1+2=3，所以，集合1,2,3,4可双拆，若在集合中去掉元素1，因为2+3≠4，2+4≠3，3+4≠2，故集合1,2,3,4不可“任意分拆”；若集合1,3,5,7,9,11可以“双拆”，则在集合1,3,5,7,9,11去除任意一个元素形成新集合，若存在集合1、2使得1∩2=⌀，1∪2=，1=2，则=1+2= 21，即集合中所有元素之和为偶数，事实上，集合中的元素为5个奇数，这5个奇数的和为奇数，不合乎题意，故集合1,3,5,7,9,11不可“双拆”．（2）证明：不妨设1<2<3<4<5．反证法：如果集合可以“任意双拆”，若去掉的元素为1，将集合2,3,4,5分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有2+5=3+4，①，或5=2+3+4，②，若去掉的元素为2，将集合1,3,4,5分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有1+5=3+4，③，或5=1+3+4，④，由①−③可得1=2，矛盾；由②−③可得1=−2，矛盾；由①−④可得1=−2，矛盾；由②−④可得1=2，矛盾．因此，当=5时，集合一定不能“任意双拆”．(3)解：设集合=1,2,⋯,．由题意可知−=1,2,⋯,均为偶数，因此=1,2,⋯,均为奇数或偶数．如果为奇数，则=1,2,⋯,也均为奇数，由于=1+2+⋯+，则为奇数；如果为偶数，则=1,2,⋯,也均为偶数．此时设=2，则1,2,⋯,也是可“任意分拆”的，重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“任意分拆”集，此时各项之和也为奇数，则集合中元素个数为奇数，综上所述，集合中的元素个数为奇数，当=3时，显然集合=1,2,3不可“任意分拆”；当=5时，由(2)可知，=1,2,3,4,5不可“任意分拆”，故≥7．当=7时，取集合=1,3,5,7,9,11,13，因为3+5+7+9=11+13，1+9+13=5+7+11，1+3+5+11=7+13,1+3+7+11=9+13，1+9+11=3+5+13，3+7+9=1+5+13，1+3+5+9=7+11，则集合可“任意分拆”，所以，集合中元素个数的最小值为7．。
北京第二中学分校数学整式的乘法与因式分解单元培优测试卷
北京第二中学分校数学整式的乘法与因式分解单元培优测试卷一、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题（难）1．若A ＝(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1，则A 的末位数字是( )A ．2B ．4C ．6D ．8 【答案】C【解析】【分析】【详解】试题分析：根据题意可得A=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）+1=（24-1）（24+1）（28+1）+1=（28-1）（28+1）+1=216根据21=2；22=4；23=8；24=16；25=32；···因此可由16÷4=4，所以216的末位为6故选C点睛：此题是应用平方差公式进行计算的规律探索题，解题的关键是通过添加式子，使原式变化为平方差公式的形式；再根据2的n 次幂的计算总结规律，从而可得到结果.2．把多项式2425m -分解因式正确的是（ ）A ．(45)(45)m m +-B ．(25)(25)m m +-C ．(5)(5)m m -+D ．(5)(5)m m m -+【答案】B【解析】利用公式法分解因式的要点，根据平方差公式：()()22a b a b a b -=+-，分解因式为：()()()222425252525m m m m -=-=+-.故选B.3．有5张边长为2的正方形纸片，4张边长分别为2、3的矩形纸片，6张边长为3的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，且每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则拼成正方形的边长最大为 （ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】C【解析】【分析】设2为a ，3为b ，则根据5张边长为2的正方形纸片的面积是5a 2，4张边长分别为2、3的矩形纸片的面积是4ab ，6张边长为3的正方形纸片的面积是6a 2，得出a 2+4ab+4b 2=（a+2b ）2，再根据正方形的面积公式将a 、b 代入，即可得出答案．【详解】解：设2为a ，3为b ，则根据5张边长为2的正方形纸片的面积是5a 2，4张边长分别为2、3的矩形纸片的面积是4ab ，6张边长为3的正方形纸片的面积是6b 2，∵a 2+4ab+4b 2=（a+2b ）2，（b ＞a ）∴拼成的正方形的边长最长可以为a+2b=2+6=8，故选C ．【点睛】此题考查了完全平方公式的几何背景，关键是根据题意得出a 2+4ab+4b 2=（a+2b ）2，用到的知识点是完全平方公式．4．若999999a =，990119b =，则下列结论正确是（ ） A ．a ＜bB ．a b =C ．a ＞bD ．1ab =【答案】B【解析】 ()9999999909990909119991111===99999a b +⨯⨯==⨯， 故选B.【点睛】本题考查了有关幂的运算、幂的大小比较的方法，一般说来，比较几个幂的大小，或者把它们的底数变得相同，或者把它们的指数变得相同，再分别比较它们的指数或底数.5．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，且满足a 2＋2b 2＋c 2－2b(a ＋c)＝0，则此三角形是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形C ．直角三角形D ．不能确定【答案】B【解析】【分析】运用因式分解，首先将所给的代数式恒等变形；借助非负数的性质得到a =b =c ，即可解决问题．【详解】∵a 2+2b 2+c 2﹣2b （a +c ）=0，∴（a ﹣b ）2+（b ﹣c ）2=0；∵（a ﹣b ）2≥0，（b ﹣c ）2≥0，∴a ﹣b =0，b ﹣c =0，∴a =b =c ，∴△ABC 为等边三角形．故选B ．【点睛】本题考查了因式分解及其应用问题．解题的关键是牢固掌握因式分解的方法，灵活运用因式分解来分析、判断、推理活解答．6．规定一种运算：a*b=ab+a+b ，则a*（﹣b ）+a*b 的计算结果为（ ）A ．0B ．2aC ．2bD ．2ab【答案】B【解析】【分析】【详解】解：∵a*b=ab+a+b∴a*（﹣b ）+a*b=a （﹣b ）+a -b+ab+a+b=﹣ab+a -b+ab+a+b=2a故选B ．考点：整式的混合运算．7．通过计算几何图形的面积可表示代数恒等式，图中可表示的代数恒等式是（）A ．22()()a b a b a b +-=-B ．222()2a b a ab b +=++C ．22()22a a b a ab +=+D ．222()2a b a ab b -=-+【答案】A【解析】【分析】根据阴影部分面积的两种表示方法，即可解答．【详解】图1中阴影部分的面积为：22a b -，图2中的面积为：()()a b a b +-，则22()()a b a b a b +-=-故选：A.【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，解决本题的关键是表示阴影部分的面积．8．下列由左到右的变形，属于因式分解的是（ ）A ．2(2)(2)4x x x +-=-B ．242(4)2x x x x +-=+-C ．24(2)(2)x x x -=+-D ．243(2)(2)3x x x x x -+=+-+ 【答案】C【解析】【分析】根据因式分解的意义，可得答案．【详解】A. 是整式的乘法，故A 错误；B. 没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B 错误；C. 把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C 正确；D 没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D 错误.故答案选：C.【点睛】本题考查的知识点是因式分解的意义，解题的关键是熟练的掌握因式分解的意义.9．下列因式分解正确的是（ ）A ．()()2444x x x -=+- B ．()22211x x x +-=- C ．()()22x 22x 1x 1=-+- D ．()22212x x x x -+=-+ 【答案】C【解析】【分析】根据因式分解的定义及方法逐项分析即可.【详解】A. ()()2422x x x -=+-，故不正确； B. 221x x +-在实数范围内不能因式分解，故不正确；C. ()()()222x 2x 2=12x 1x 1--=+-，正确； D. ()22212x x x x -+=-+的右边不是积的形式，故不正确； 故选C.【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解.因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法. 因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止.10．观察下列两个多项式相乘的运算过程：根据你发现的规律，若（x +a ）（x +b ）=x 2-7x +12，则a ，b 的值可能分别是（ ） A ．3-，4-B ．3-，4C ．3，4-D ．3，4 【答案】A【解析】【分析】根据题意可得规律为712a b ab +=-⎧⎨=⎩，再逐一判断即可. 【详解】 根据题意得，a ，b 的值只要满足712a b ab +=-⎧⎨=⎩即可， A.-3+（-4）=-7，-3×（-4）=12，符合题意；B.-3+4=1，-3×4=-12，不符合题意；C.3+（-4）=-1,3×（-4）=-12，不符合题意；D.3+4=7,3×4=12，不符合题意.故答案选A.【点睛】本题考查了多项式乘多项式，解题的关键是根据题意找出规律.二、八年级数学整式的乘法与因式分解填空题压轴题（难）11．设123,,a a a 是一列正整数，其中1a 表示第一个数，2a 表示第二个数，依此类推，n a 表示第n 个数(n 是正整数)，已知11a =，2214(1)(1)nn n a a a ，则2018a =___________.【答案】4035【解析】 【分析】()()22n n 1n 4a a 1a 1+=---整理得()()22n n 1a 1a 1++=-，从而可得a n+1-a n =2或a n =-a n+1，再根据题意进行取舍后即可求得a n 的表达式，继而可得a 2018.【详解】∵()()22n n 1n 4a a 1a 1+=---，∴()()22n n n 14a a 1a 1++-=-，∴()()22n n 1a 1a 1++=-，∴a n +1=a n+1-1或a n +1=-a n+1+1，∴a n+1-a n =2或a n =-a n+1，又∵123a ,a ,a ⋯⋯是一列正整数，∴a n =-a n+1不符合题意，舍去，∴a n+1-a n =2，又∵a 1=1，∴a 2=3，a 3=5，……，a n =2n-1，∴a 2018=2×2018-1=4035，故答案为4035.【点睛】本题考查了完全平方公式的应用、平方根的应用、规律型题，解题的关键是通过已知条件推导得出a n+1-a n =2.12．（a-b ）2（x-y ）-（b-a ）（y-x ）2＝（a-b ）（x-y ）×________.【答案】（a-b+x-y ）【解析】运用公因式的概念，把多项式（a-b ）2（x-y ）-（b-a ）（y-x ）2运用提取公因式法因式分解（a-b ）2（x-y ）-（b-a ）（y-x ）2＝（a-b ）（x-y ）×（a-b+x-y ）. 故答案为：（a-b+x-y ）.点睛：此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是根据找公因式的方法，确定公因式，注意符号的变化.13．计算：=_____． 【答案】1【解析】【分析】根据平方差公式可以使本题解答比较简便.【详解】解：====1.【点睛】本题应根据数字特点，灵活运用运算定律会或运算技巧，灵活简算.14．分解因式212x 123y xy y -+-=___________【答案】()232x 1y --【解析】根据因式分解的方法，先提公因式-3y ，再根据完全平方公式分解因式为：()()22212x 12334x 41321y xy y y x y x -+-=--+=--. 故答案为()232x 1y --.15．设2m ＝5，82n ＝10，则62m n -＝________． 【答案】12【解析】试题分析：将62m n - 变形为228m n ÷ ，然后结合同底数幂的除法的概念和运算法则进行求解即可．本题解析： 6621222285102m n m n m n -=÷=÷=÷= 故答案为： 12. 点睛：本题主要考查了同底数幂的除法法则的逆用,同底数幂的除法法则：同底数幂相乘,底数不变,指数相减.即m n m n a a a +÷= (m,n 是正整数).16．若m+1m =3，则m 2+21m =_____． 【答案】7【解析】分析：把已知等式两边平方，利用完全平方公式化简，即可求出答案．详解：把m+1m =3两边平方得：（m+1m ）2=m 2+21m +2=9， 则m 2+21m=7， 故答案为：7点睛：此题考查了分式的混合运算，以及完全平方公式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．17．因式分解：a 3﹣2a 2b+ab 2=_____．【答案】a （a ﹣b ）2．【解析】【分析】先提公因式a ，然后再利用完全平方公式进行分解即可．【详解】原式=a （a 2﹣2ab+b 2）=a （a ﹣b ）2，故答案为a （a ﹣b ）2．【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．18．分解因式：x 2﹣1=____．【答案】（x+1）（x ﹣1）．【解析】试题解析：x 2﹣1=（x+1）（x ﹣1）．考点：因式分解﹣运用公式法．19．若21x x +=，则433331x x x +++的值为_____．【答案】4【解析】【分析】把所求多项式进行变形，代入已知条件，即可得出答案．【详解】∵21x x +=，∴()43222233313313313()1314x x x xx x x x x x x +++=+++=++=++=+=； 故答案为：4．【点睛】本题考查了因式分解的应用；把所求多项式进行灵活变形是解题的关键．20．因式分解34x x -= ．【答案】()()x x 2x 2-+-【解析】试题分析：要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，先提取公因式x -后继续应用平方差公式分解即可：()()()324x x x x 4x x 2x 2-=--=-+-．。
北京二中分班考试数学真题[优质版]
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二中分校高一分班数学试题一、选择题（每小题3分，共10各小题，共30分）1、如图，线段AB 、CD 相交于E 点，AD//EF//BC ，若AE:EB=1:2，ADE S V =1，则AEF S V 等于（ ）A. 4B.23 C. 2 D. 432、如图所示，AB 为O e 的一条固定直径，它把O e 分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C 做弦CD ⊥AB ，OCD ∠的平分线交O e 于点P ，当点C 在上半圆（不包括A 、B 两点）上移动时，点P （ ）A.位置不变B. 等分»BDC.到CD 的距离保持不变D. 随点C 的移动而移动 3、已知二次函数y=ax 2+bx+c （0a ≠）的图象如图所示，下列结论：①b＜0；②4a+2b+c＜0；③a﹣b+c ＞0；④（a+c ）2＜b 2．其中正确的结论是（ ）A. ①②B. ①③C.①③④D. ①②③④4、已知点P 是O e 内一点，O e 的半径为5,OP=3，在过点P 的所有O e 的弦中，弦长为整数的弦的条数为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 无数条5、如图，已知ABC ∆中，BC=8，BC 边上的高h=4，D 为BC 上一点，做EF//BC ，交AB 于E （点E 不与点A 、B 重合），交AC 于点F 。
设E 到BC 的距离为x ,则DEF ∆的面积y 关于x 的函数的图像大致为（ ）6、一次函数()y ax b a 0=+≠、二次函数2y ax bx =+和反比例函数()ky k 0x=≠在同一直角坐标系中图象如图，A 点的坐标为（－2，0）。
则下列结论中，正确的（ ）A ．a k 0>>B ．a b k =+C ．a b 0>>D ．b 2a k =+7、在矩形ABCD 中，AB=6，BC=4，有一个半径为1的硬币与边AB 、AD 相切，硬币从如图所示的位置开始，在矩形内沿着边AB 、BC 、CD 、DA 滚动到开始的位置为止，硬币自身滚动的圈数大约是（ ）A. 1圈B. 2圈C. 3圈D. 4圈8、如图，在正方形ABCD 中，点P 是AB 上一动点（不与A 、B 重合），对角线AC 、BD 相交于点O ，过点P 分别作AC 、BD 的垂线，分别交AC 、BD 于点E 、F ，交AD 、BC 于点M 、N 。
2019年北京二中新高一分班考试数学试题-真题-含详细解析
2019年北京二中新高一分班考试数学试题-真题一、选择题（本大题共10小题，共30分）1.在某次演讲比赛中，五位评委给选手圆圆打分，得到互不相等的五个分数．若去掉一个最高分，平均分为x；去掉一个最低分，平均分为y；同时去掉一个最高分和一个最低分，平均分为z，则()A. y>z>xB. x>z>yC. y>x>zD. z>y>x2.在平面直角坐标系中，已知函数y1=x2+ax+1，y2=x2+bx+2，y3=x2+cx+4，其中a，b，c是正实数，且满足b2=ac.设函数y1，y2，y3的图象与x轴的交点个数分别为M1，M2，M3，()A. 若M1=2，M2=2，则M3=0B. 若M1=1，M2=0，则M3=0C. 若M1=0，M2=2，则M3=0D. 若M1=0，M2=0，则M3=03.如图，在△ABC中，∠A=90°，D是AB的中点，过点D作BC的平行线交AC于点E，作BC的垂线交BC于点F，若AB=CE，且△DFE的面积为1，则BC的长为()A. 2√5B. 5C. 4√5D. 10第3题图第5题图第6题图4.若关于x的一元一次不等式组{2x−1≤3(x−2),x−a2>1的解集为x≥5，且关于y的分式方程yy−2+a2−y=−1有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为()A. −1B. −2C. −3D. 05.如图，在△ABC中，AC=2√2，∠ABC=45°，∠BAC=15°，将△ACB沿直线AC翻折至△ABC所在的平面内，得△ACD.过点A作AE，使∠DAE=∠DAC，与CD的延长线交于点E，连接BE，则线段BE的长为()A. √6B. 3C. 2√3D. 46.如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F.若DG=GE，AF=3，BF=2，△ADG的面积为2，则点F到BC的距离为()A. √55B. 2√55C. 4√55D. 4√337.如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点E在AC边上，过点E作EF//BC，交AD于点F，过点E作EG//AB，交BC于点G，则下列式子一定正确的是()A. AEEC =EFCDB. EFCD=EGABC. AFFD=BGGCD. CGBC=AFAD第7题图第8题图第9题图8.如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，与BC相交于点D.若⊙P的半径为5，点A的坐标是(0,8).则点D的坐标是()A. (9,2)B. (9,3)C. (10,2)D. (10,3)9.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为(−2,6)和(7,0).将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，点D的坐标为()A. (32,2) B. (2,2) C. (114,2) D. (4,2)10.已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b，c是常数，a≠0，c>1)经过点(2,0)，其对称轴是直线x=12.有下列结论：①abc>0；②关于x的方程ax2+bx+c=a有两个不等的实数根；③a<−12．其中，正确结论的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共10小题，共30分）11.如图是一张矩形纸片，点E在AB边上，把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，连接DF.若点E，F，D在同一条直线上，AE=2，则DF=______，BE=______．12.如图，在△ABC中，∠A=90°，∠B=60°，AB=2，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值为______．第12题图第13题图13.周末，自行车骑行爱好者甲、乙两人相约沿同一路线从A地出发前往B地进行骑行训练，甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，乙比甲早出发5分钟．乙骑行25分钟后，甲以原速的8继续骑行，经过一段时间，甲先到达5B地，乙一直保持原速前往B地．在此过程中，甲、乙两人相距的路程y(单位：米)与乙骑行的时间x(单位：分钟)之间的关系如图所示，则乙比甲晚______分钟到达B地．14.为刺激顾客到实体店消费，某商场决定在星期六开展促销活动．活动方案如下：在商场收银台旁放置一个不透明的箱子，箱子里有红、黄、绿三种颜色的球各一个(除颜色外大小、形状、质地等完全相同)，顾客购买的商品达到一定金额可获得一次摸球机会，摸中红、黄、绿三种颜色的球可分别返还现金50元、30元、10元．商场分三个时段统计摸球次数和返现金额，汇总统计结果为：第二时段摸到红球次数为第一时段的3倍，摸到黄球次数为第一时段的2倍，摸到绿球次数为第一时段的4倍；第三时段摸到红球次数与第一时段相同，摸到黄球次数为第一时段的4倍，摸到绿球次数为第一时段的2倍，三个时段返现总金额为2510元，第三时段返现金额比第一时段多420元，则第二时段返现金额为______元．15.《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB=1.6米，BD=1米，BE=0.2米，那么井深AC为______米．第15题图第16题图16.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在线段BO上，连接AE，若CD=2BE，∠DAE=∠DEA，EO=1，则线段AE的长为______．17.如图，在边长为2cm的正六边形ABCDEF中，点P在BC上，则△PEF的面积为______cm2．第17题图第18题图18.下列关于二次函数y=−(x−m)2+m2+1(m为常数)的结论：①该函数的图象与函数y=−x2的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点(0,1)；③当x>0时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数y=x2+1的图象上．其中所有正确结论的序号是______．19.如图，在扇形BOC中，∠BOC=60°，OD平分∠BOC交BC⏜于点D，点E为半径OB上一动点．若OB=2，则阴影部分周长的最小值为______．20.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，C均落在格点上，点B在网格线上，且AB=5．3(Ⅰ)线段AC的长等于______．(Ⅱ)以BC为直径的半圆与边AC相交于点D，若P，Q分别为边AC，BC上的动点，当BP+PQ取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，Q，并简要说明点P，Q的位置是如何找到的(不要求证明)______．三、解答题（本大题共9小题，共40分）21.在平面直角坐标系中，设二次函数y1=x2+bx+a，y2=ax2+bx+1(a,b是实数，a≠0)．(1)若函数y1的对称轴为直线x=3，且函数y1的图象经过点(a,b)，求函数y1的表达式．(2)若函数y1的图象经过点(r,0)，其中r≠0，求证：函数y2的图象经过点(1r,0)．(3)设函数y1和函数y2的最小值分别为m和n，若m+n=0，求m，n的值．22.探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请画出函数y=−12x2+2的图象并探究该函数的性质．x…−4−3−2−101234…y…−23a−2−4b−4−2−1211−23…(1)列表，写出表中a，b的值：a=______，b=______；描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象．(2)观察函数图象，判断下列关于函数性质的结论是否正确(在答题卡相应位置正确的用“√”作答，错误的用“×”作答)：①函数y=−12x2+2的图象关于y轴对称；②当x=0时，函数y=−12x2+2有最小值，最小值为−6；③在自变量的取值范围内函数y的值随自变量x的增大而减小．(3)已知函数y=−23x−103的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式−12x2+2<−23x−103的解集．23.如图，△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长交边AC于点D．(1)求证：∠BAC=2∠ABD；(2)当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；(3)当AD=2，CD=3时，求边BC的长．24.在整数的除法运算中，只有能整除与不能整除两种情况，当不能整除时，就会产生余数，现在我们利用整数的除法运算来研究一种数--“差一数”．定义：对于一个自然数，如果这个数除以5余数为4，且除以3余数为2，则称这个数为“差一数”．例如：14÷5=2…4，14÷3=4…2，所以14是“差一数”；19÷5=3…4，但19÷3=6…1，所以19不是“差一数”．(1)判断49和74是否为“差一数”？请说明理由；(2)求大于300且小于400的所有“差一数”．25.如图，在△ABC和△A′B′C′中，D、D′分别是AB、A′B′上一点，ADAB =A′D′A′B′．(1)当CDC′D′=ACA′C′=ABA′B′时，求证△ABC∽△A′B′C．证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．(2)当CDC′D′=ACA′C′=BCB′C′时，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由．26.如图①，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A、B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．(1)如图②，作出点A关于l的对称点A′，线段A′B与直线l的交点C的位置即为所求，即在点C处建燃气站，所得路线ACB是最短的．为了证明点C的位置即为所求，不妨在直线1上另外任取一点C′，连接AC′、BC′，证明AC+CB<AC′+C′B.请完成这个证明．(2)如果在A、B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域．请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案(不需说明理由)．①生态保护区是正方形区域，位置如图③所示；②生态保护区是圆形区域，位置如图④所示．27.问题提出(1)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC>BC，∠ACB的平分线交AB于点D.过点D分别作DE⊥AC，DF⊥BC.垂足分别为E，F，则图1中与线段CE相等的线段是______．问题探究(2)如图2，AB是半圆O的直径，AB=8.P是AB⏜上一点，且PB⏜=2PA⏜，连接AP，BP.∠APB的平分线交AB于点C，过点C分别作CE⊥AP，CF⊥BP，垂足分别为E，F，求线段CF的长．问题解决(3)如图3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图．已知⊙O的直径AB=70m，点C在⊙O上，且CA=CB.P为AB上一点，连接CP并延长，交⊙O于点D.连接AD，BD.过点P分别作PE⊥AD，PF⊥BD，重足分别为E，F.按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区．设AP的长为x(m)，阴影部分的面积为y(m2).①求y与x之间的函数关系式；②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当AP的长度为30m时，整体布局比较合理．试求当AP=30m时．室内活动区(四边形PEDF)的面积．28.如图，菱形ABCD的边长为1，∠ABC=60°，点E是边AB上任意一点(端点除外)，线段CE的垂直平分线交BD，CE分别于点F，G，AE，EF的中点分别为M，N．(1)求证：AF=EF；(2)求MN+NG的最小值；(3)当点E在AB上运动时，∠CEF的大小是否变化？为什么？答案和解析1.【答案】A【解析】解：由题意可得，y>z>x，故选：A．根据题意，可以判断x、y、z的大小关系，从而可以解答本题．本题考查算术平均数，解答本题的关键是明确算术平均数的含义．2.【答案】B【解析】解：选项B正确．理由：∵M1=1，M2=0，∴a2−4=0，b2−8<0，∵a，b，c是正实数，∴a=2，∵b2=ac，∴c=12b2，对于y3=x2+cx+4，则有△=c2−16=14b2−16=14(b2−64)<0，∴M3=0，∴选项B正确，故选：B．选项B正确，利用判别式的性质证明即可．本题考查抛物线与x轴的交点，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．3.【答案】A【解析】解：过A作AH⊥BC于H，∵D是AB的中点，∴AD=BD，∵DE//BC，∴AE=CE，∴DE =12BC ，∵DF ⊥BC ，∴DF//AH ，DF ⊥DE ，∴BF =HF ，∴DF =12AH ，∵△DFE 的面积为1，∴12DE ⋅DF =1，∴DE ⋅DF =2，∴BC ⋅AH =2DE ⋅2DF =4×2=8，∴AB ⋅AC =8，∵AB =CE ，∴AB =AE =CE =12AC ，∴AB ⋅2AB =8，∴AB =2(负值舍去)，∴AC =4，∴BC =√AB 2+AC 2=2√5．故选：A ．过A 作AH ⊥BC 于H ，根据已知条件得到AE =CE ，求得DE =12BC ，求得DF =12AH ，根据三角形的面积公式得到DE ⋅DF =2，得到AB ⋅AC =8，求得AB =2(负值舍去)，根据勾股定理即可得到结论．本题考查了三角形中位线定理，三角形的面积的计算，勾股定理，平行线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 4.【答案】D【解析】解：不等式组整理得：{x ≥5x >2+a， 由解集为x ≥5，得到2+a ≤5，即a ≤3，分式方程去分母得：y −a =−y +2，即2y −2=a ，解得：y =a 2+1，由y 为非负整数，得到a =2，0，−2，之和为0，故选：D ．不等式组整理后，根据已知解集确定出a 的范围，分式方程去分母转化为正整数方程，由分式方程有非负整数解，确定出a的值，求出之和即可．此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5.【答案】C【解析】解：如图，延长BC交AE于H，∵∠ABC=45°，∠BAC=15°，∴∠ACB=120°，∵将△ACB沿直线AC翻折，∴∠DAC=∠BAC=15°，∠ADC=∠ABC=45°，∠ACB=∠ACD=120°，∵∠DAE=∠DAC，∴∠DAE=∠DAC=15°，∴∠CAE=30°，∵∠ADC=∠DAE+∠AED，∴∠AED=45°−15°=30°，∴∠AED=∠EAC，∴AC=EC，又∵∠BCE=360°−∠ACB−∠ACE=120°=∠ACB，BC=BC，∴△ABC≌△EBC(SAS)，∴AB=BE，∠ABC=∠EBC=45°，∴∠ABE=90°，∵AB=BE，∠ABC=∠EBC，∴AH=EH，BH⊥AE，∵∠CAE=30°，AC=√2，AH=√3CH=√6，∴CH=12∴AE=2√6，∵AB=BE，∠ABE=90°，∴BE=AE=2√3，√2故选：C．延长BC交AE于H，由折叠的性质∠DAC=∠BAC=15°，∠ADC=∠ABC=45°，∠ACB=∠ACD=120°，由外角的性质可求∠AED=∠EAC，可得AC=EC，由“SAS”可证△ABC≌△EBC，可得AB=BE，∠ABC=∠EBC= 45°，利用等腰直角三角形的性质和直角三角形的性质可求解．本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．6.【答案】B【解析】解：∵DG=GE，∴S△ADG=S△AEG=2，∴S△ADE=4，由翻折可知，△ADB≌△ADE，BE⊥AD，∴S△ABD=S△ADE=4，∠BFD=90°，∴12⋅(AF+DF)⋅BF=4，∴12⋅(3+DF)⋅2=4，∴DF=1，∴DB=√BF2+DF2=√12+22=√5，设点F到BD的距离为h，则有12⋅BD⋅ℎ=12⋅BF⋅DF，∴ℎ=2√55，故选：B．首先求出△ABD的面积．根据三角形的面积公式求出DF，设点F到BD的距离为h，根据12⋅BD⋅ℎ=12⋅BF⋅DF，求出BD即可解决问题．本题考查翻折变换，三角形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．7.【答案】C【解析】解：∵EF//BC，∴AFFD =AEEC，∵EG//AB，∴AEEC =BGGC，∴AFFD =BGGC，故选：C．根据平行线分线段成比例性质进行解答便可．本题主要考查了平行线分线段成比例性质，关键是熟记定理，找准对应线段．8.【答案】A【解析】解：设⊙O与x、y轴相切的切点分别是F、E点，连接PE、PF、PD，延长EP与CD交于点G，则PE⊥y轴，PF⊥x轴，∵∠EOF=90°，∴四边形PEOF是矩形，∵PE=PF，PE//OF，∴四边形PEOF为正方形，∴OE=OF=PE=OF=5，∵A(0,8)，∴OA=8，∴AE=8−5=3，∵四边形OACB为矩形，∴BC=OA=8，BC//OA，AC//OB，∴EG//AC，∴四边形AEGC为平行四边形，四边形OEGB为平行四边形，∴CG=AE=3，EG=OB，∵PE⊥AO，AO//CB，∴PG⊥CD，∴CD=2CG=6，∴DB=BC−CD=8−6=2，∵PD=5，DG=CG=3，∴PG=4，∴OB=EG=5+4=9，∴D(9,2)．故选：A．设⊙O与x、y轴相切的切点分别是F、E点，连接PE、PF、PD，延长EP与CD交于点G，证明四边形PEOF为正方形，求得CG，再根据垂径定理求得CD，进而得PG、DB，便可得D点坐标．本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，圆的切线的性质，垂径定理，勾股定理，关键是求出CG的长度．9.【答案】B【解析】解：如图，设正方形D′C′O′E′是正方形OCDE沿x轴向右平移后的正方形，∵顶点A，B的坐标分别为(−2,6)和(7,0)，∴AC=6，OC=2，OB=7，∴BC=9，∵四边形OCDE是正方形，∴DE=OC=OE=2，∴O′E′=O′C′=2，∵E′O′⊥BC，∴∠BO′E′=∠BCA=90°，∴E′O′//AC，∴△BO′E′∽△BCA，∴E′O′AC =BO′BC，∴26=BO′9，∴BO′=3，∴OC′=7−2−3=2，∴当点E落在AB边上时，点D的坐标为(2,2)，故选：B．根据已知条件得到AC=6，OC=2，OB=7，求得BC=9，根据正方形的性质得到DE=OC=OE=2，求得O′E′=O′C′=2，根据相似三角形的性质得到BO′=3，于是得到结论．本题考查了正方形的性质，坐标与图形性质，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．10.【答案】C【解析】解：∵抛物线的对称轴为直线x=12，而点(2,0)关于直线x=12的对称点的坐标为(−1,0)，∵c>1，∵抛物线开口向下，∴a<0，∵抛物线对称轴为直线x=12，∴−b2a =12，∴b=−a>0，∴abc<0，故①错误；∵抛物线开口向下，与x轴有两个交点，∴顶点在x轴的上方，∵a<0，∴抛物线与直线y=a有两个交点，∴关于x的方程ax2+bx+c=a有两个不等的实数根；故②正确；∵抛物线y=ax2+bx+c经过点(2,0)，∴4a+2b+c=0，∵b=−a，∴4a−2a+c=0，即2a+c=0，∴−2a=c，∵c>1，∴−2a>1，∴a<−12，故③正确，故选：C．由题意得到抛物线的开口向下，对称轴−b2a =12，b=−a，判断a，b与0的关系，得到abc<0，即可判断①；根据题意得到抛物线开口向下，顶点在x轴上方，即可判断②；根据抛物线y=ax2+bx+c经过点(2,0)以及b=−a，得到4a−2a+c=0，即可判断③．本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于(0,c)；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2−4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2−4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2−4ac<0时，抛物线与x 轴没有交点．11.【答案】2 √5−1【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，∠ADC=∠B=∠DAE=90°，∵把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，∴CF=BC，∠CFE=∠B=90°，EF=BE，∴CF=AD，∠CFD=90°，∴∠ADE+∠CDF=∠CDF+∠DCF=90°，∴∠ADF=∠DCF，∴△ADE≌△FCD(ASA)，∴DF=AE=2；∵∠AFE=∠CFD=90°，∴∠AFE=∠DAE=90°，∵∠AEF=∠DEA，∴△AEF∽△DEA，∴AEEF =DEAE，∴2EF =2+EF2，∴EF=√5−1(负值舍去)，∴BE=EF=√5−1，故答案为：2，√5−1．根据矩形的性质得到AD=BC，∠ADC=∠B=∠DAE=90°，根据折叠的性质得到CF=BC，∠CFE=∠B=90°，EF=BE，根据全等三角形的性质得到DF=AE=2；根据相似三角形的性质即可得到结论．本题考查了翻折变换(折叠问题)，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，正确的识别图形是解题的关键．12.【答案】6【解析】解：如图所示，作点A关于BC的对称点A′，连接AA′，A′D，过D作DE⊥AC于E，∵△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，AB=2，∴BH=1，AH=√3，AA′=2√3，∠C=30°，CD，即2DE=CD，∴Rt△CDE中，DE=12∵A与A′关于BC对称，∴AD=A′D，∴AD+DE=A′D+DE，∴当A′，D，E在同一直线上时，AD+DE的最小值等于A′E的长，×2√3=3，此时，Rt△AA′E中，A′E=sin60°×AA′=√32∴AD+DE的最小值为3，即2AD+CD的最小值为6，故答案为：6．作点A关于BC的对称点A′，连接AA′，A′D，过D作DE⊥AC于E，依据A与A′关于BC对称，可得AD=A′D，进而得出AD+DE=A′D+DE，当A′，D，E在同一直线上时，AD+DE的最小值等于A′E的长，依据AD+DE的最小值为3，即可得到2AD+CD的最小值为6．本题主要考查了最短距离问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．13.【答案】12【解析】解：由题意乙的速度为1500÷5=300(米/分)，设甲的速度为x米/分．则有：7500−20x=2500，解得x=250，=400(米/分)．25分钟后甲的速度为250×85由题意总里程=250×20+61×400=29400(米)，86分钟乙的路程为86×300=25800(米)，=12(分钟)．∴29400−25800300故答案为12．首先确定甲乙两人的速度，求出总里程，再求出甲到达B地时，乙离B地的距离即可解决问题．本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．14.【答案】1230【解析】解：设第一时段摸到红球x次，摸到黄球y次，摸到绿球z次，(x,y，z均为非负整数)，则第一时段返现金额为(50x+30y+10z)，第二时段摸到红球3x次，摸到黄球2y次，摸到绿球4z次，则第二时段返现金额为(50×3x+30×2y+10×4z)，第三时段摸到红球x次，摸到黄球4y次，摸到绿球2z次，则第三时段返现金额为(50x+30×4y+10×2z)，∵第三时段返现金额比第一时段多420元，∴(50x+30×4y+10×2z)−(50x+30y+10z)=420，∴z=42−9y①，∵z为非负整数，∴42−9y≥0，∴y≤429，∵三个时段返现总金额为2510元，∴(50x+30y+10z)+(50x+30×4y+10×2z)+(50x+30×4y+10×2z)=2510，∴25x+21y+7z=251②，将①代入②中，化简整理得，25x=42y−43，∴x=42y−4325④，∵x为非负整数，∴42y−4325≥0，∴y≥4342，∴4342≤y≤429，∵y为非负整数，∴y=2，34，当y=2时，x=4125，不符合题意，当y=3时，x=8325，不符合题意，当y=4时，x=5，则z=6，∴第二时段返现金额为50×3x+30×2y+10×4z=10(15×5+6×4+4×6)=1230(元)，故答案为：1230．设第一时段摸到红球x次，摸到黄球y次，摸到绿球z次，(x,y，z均为非负整数)，则第一时段返现(50x+30y+10z)，根据“第三时段返现金额比第一时段多420元”，得出z=42−9y，进而确定出y≤429，再根据“三个时段返现总金额为2510元”，得出25x=42y−43，进而得出4342≤y≤429，再将满足题意的y的知代入④，计算x，进而得出x，z，即可得出结论．此题主要考查了三元一次不定方程，审清题意，找出相等关系，确定出y的范围是解本题的关键．15.【答案】7【解析】解：∵BD⊥AB，AC⊥AB，∴BD//AC，∴△ACE∽△DBE，∴ACBD =AEBE，∴AC1=1.40.2，∴AC=7(米)，答：井深AC为7米．根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．本题考查了相似三角形的应用，正确的识别图形是解题的关键．16.【答案】2√2【解析】解：设BE=x，则CD=2x，∵四边形ABCD为菱形，∴AB=AD=CD=2x，OB=OD，AC⊥BD，∵∠DAE=∠DEA，∴DE=DA=2x，∴BD=3x，∴OB=OD=32x，∵OE+BE=BO，∴1+x=32x，解得x=2，即AB=4，OB=3，在Rt△AOB中，OA=√42−32=√7，在Rt△AOE中，AE=√12+(√7)2=2√2．故答案为2√2．设BE=x，则CD=2x，根据菱形的性质得AB=AD=CD=2x，OB=OD，AC⊥BD，再证明DE=DA=2x，所以1+x=32x，解得x=2，然后利用勾股定理计算OA，再计算AE的长．本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．17.【答案】2√3【解析】解：连接BF，BE，过点A作AT⊥BF于T∵ABCDEF是正六边形，∴CB//EF，AB=AF，∠BAF=120°，∴S△PEF=S△BEF，∵AT⊥BE，AB=AF，∴BT=FT，∠BAT=∠FAT=60°，∴BT=FT=AB⋅sin60°=√3，∴BF=2BT=2√3，∵∠AFE=120°，∠AFB=∠ABF=30°，∴∠BFE=90°，∴S△PEF=S△BEF=12⋅EF⋅BF=12×2×2√3=2√3，故答案为2√3．连接BF，BE，过点A作AT⊥BF于T，证明S△PEF=S△BEF，求出△BEF的面积即可．本题考查正多边形与圆，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．18.【答案】①②④【解析】解：①∵二次函数y=−(x−m)2+m+1(m为常数)与函数y=−x2的二次项系数相同，∴该函数的图象与函数y=−x2的图象形状相同，故结论①正确；②∵在函数y=−(x−m)2+m2+1中，令x=0，则y=−m2+m2+1=1，∴该函数的图象一定经过点(0,1)，故结论②正确；③∵y=−(x−m)2+m2+1，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=m，当x>m时，y随x的增大而减小，故结论③错误；④∵抛物线开口向下，当x=m时，函数y有最大值m2+1，∴该函数的图象的顶点在函数y=x2+1的图象上．故结论④正确，故答案为①②④．利用二次函数的性质一一判断即可．本题考查二次函数的性质，一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．19.【答案】6√2+π3【解析】解：如图，作点D关于OB的对称点D′，连接D′C交OB于点E′，连接E′D、OD′，此时E′C+E′C最小，即：E′C+E′C=CD′，由题意得，∠COD=∠DOB=∠BOD′=30°，∴∠COD′=90°，∴CD′=√OC2+OD′2=√22+22=2√2，CD⏜的长l=30π×2180=π3，∴阴影部分周长的最小值为2√2+π3=6√2+π3．故答案为：6√2+π3．利用轴对称的性质，得出当点E移动到点E′时，阴影部分的周长最小，此时的最小值为弧CD的长与CD′的长度和，分别进行计算即可．本题考查与圆有关的计算，掌握轴对称的性质，弧长的计算方法是正确计算的前提，理解轴对称解决路程最短问题是关键．20.【答案】√13取格点M，N，连接MN，连接BD并延长，与MN相交于点B′，连接B′C，与半圆相交于点E，连接BE，与AC相交于点P，连接B′P并延长，与BC相交于点Q，则点P，Q即为所求【解析】解：(Ⅰ)线段AC的长等于√32+22=√13；(Ⅱ)如图，取格点M ，N ，连接MN ，连接BD 并延长，与MN 相交于点B′，连接B′C ，与半圆相交于点E ，连接BE ，与AC 相交于点P ，连接B′P 并延长，与BC 相交于点Q ，则点P ，Q 即为所求．(Ⅰ)利用网格根据勾股定理即可求出线段AC 的长；(Ⅱ)取格点M ，N ，连接MN ，连接BD 并延长，与MN 相交于点B′，连接B′C ，与半圆相交于点E ，连接BE ，与AC 相交于点P ，连接B′P 并延长，与BC 相交于点Q ，即可得点P ，Q ．本题考查了作图−复杂作图、勾股定理、圆周角定理、轴对称−最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称性质．21.【答案】解：(1)由题意，得到−b 2=3，解得b =−6，∵函数y 1的图象经过(a,−6)，∴a 2−6a +a =−6，解得a =2或3，∴函数y 1=x 2−6x +2或y 1=x 2−6x +3．(2)∵函数y 1的图象经过点(r,0)，其中r ≠0，∴r 2+br +a =0，∴1+b r +a r 2=0，即a(1r )2+b ⋅1r +1=0，∴1r是方程ax 2+bx +1的根， 即函数y 2的图象经过点(1r ,0)．(3)由题意a >0，∴m =4a−b 24，n =4a−b 24a ， ∵m +n =0，∴4a−b 24+4a−b 24a =0，∴(4a −b 2)(a +1)=0，∵a +1>0，∴4a −b 2=0，∴m =n =0．【解析】(1)利用待定系数法解决问题即可．(2)函数y 1的图象经过点(r,0)，其中r ≠0，可得r 2+br +a =0，推出1+b r +a r 2=0，即a(1r )2+b ⋅1r +1=0，推出1r 是方程ax 2+bx +1的根，可得结论．(3)由题意a >0，∴m =4a−b 24，n =4a−b 24a ，根据m +n =0，构建方程可得结论．本题考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．22.【答案】−1211 −6【解析】解：(1)x =−3、0分别代入y =−12x 2+2，得a =−129+2=−1211，b =−120+2=−6，故答案为−1211，−6；画出函数的图象如图： ，故答案为−1211，−6；(2)根据函数图象：①函数y =−12x 2+2的图象关于y 轴对称，说法正确；②当x =0时，函数y =−12x 2+2有最小值，最小值为−6，说法正确；③在自变量的取值范围内函数y 的值随自变量x 的增大而减小，说法错误．(3)由图象可知：不等式−12x 2+2<−23x −103的解集为x <−4或−2<1．(1)将x =−3，0分别代入解析式即可得y 的值，再画出函数的图象；(2)结合图象可从函数的增减性及对称性进行判断；(3)根据图象求得即可．本题主要考查一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次不等式，会用描点法画出函数图象，利用数形结合的思想得到函数的性质是解题的关键．23.【答案】(1)证明：连接OA．∵AB=AC，∴AB⏜=AC⏜，∴OA⊥BC，∴∠BAO=∠CAO，∵OA=OB，∴∠ABD=∠BAO，∴∠BAC=2∠BAD．(2)解：如图2中，延长AO交BC于H．①若BD=CB，则∠C=∠BDC=∠ABD+∠BAC=3∠ABD，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∴∠DBC=2∠ABD，∵∠DBC+∠C+∠BDC=180°，∴8∠ABD=180°，∴∠C=3∠ABD=67.5°．②若CD=CB，则∠CBD=∠CDB=3∠ABD，∴∠C=4∠ABD，∵∠DBC+∠C+∠CDB=180°，∴10∠ABD=180°，∴∠BCD=4∠ABD=72°．③若DB=DC，则D与A重合，这种情形不存在．综上所述，∠C的值为67.5°或72°．(3)如图3中，作AE//BC交BD的延长线于E．则AEBC =ADDC=23，∴AOOH =AEBH=43，设OB=OA=4a，OH=3a，∵BH2=AB2−AH2=OB2−OH2，∴25−49a2=16a2−9a2，∴a2=2556，∴BH=5√24，∴BC=2BH=5√22．【解析】(1)连接OA.利用垂径定理以及等腰三角形的性质解决问题即可．(2)分三种情形：①若BD=CB，则∠C=∠BDC=∠ABD+∠BAC=3∠ABD.②若CD=CB，则∠CBD=∠CDB= 3∠ABD.③若DB=DC，则D与A重合，这种情形不存在．分别利用三角形内角和定理构建方程求解即可．(3)如图3中，作AE//BC交BD的延长线于E.则AEBC =ADDC=23，推出AOOH=AEBH=43，设OB=OA=4a，OH=3a，根据BH2=AB2−AH2=OB2−OH2，构建方程求出a即可解决问题．本题属于圆综合题，考查了垂径定理，等腰三角形的性质，解直角三角形，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．24.【答案】解：(1)49÷5=9…4，但49÷3=16…1，所以49不是“差一数”；74÷5=14…4，74÷3=24…2，所以74是“差一数”．(2)大于300且小于400的数除以5余数为4的有304，309，314，319，324，329，334，339，344，349，354，359，364，369，374，379，384，389，394，399，其中除以3余数为2的有314，327，344，359，374，389．故大于300且小于400的所有“差一数”有314，327，344，359，374，389．【解析】(1)根据“差一数”的定义即可求解；(2)根据“差一数”的定义即可求解．考查了因式分解的应用，本题是一个新定义题，关键是根据新定义的特征和仿照样例进行解答，主要考查学生的自学能力．25.【答案】(1)证明：∵ADAB =A′D′A′B′，∴ADA′D′=ABA′B′，∵CDC′D′=ACA′C′=ABA′B′，∴CDC′D′=ACA′C′=ADA′D′，∴△ADC∽△A′D′C，∴∠A=∠A′，∵ACA′C′=ABA′B′，∴△ABC∽△A′B′C′．故答案为：CDC′D′=ACA′C′=ADA′D′，∠A=∠A′．(2)如图，过点D，D′分别作DE//BC，D′E′//B′C′，DE交AC于E，D′E′交A′C′于E′．∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，∴ADAB =DEBC=AEAC，同理，A′D′A′B′=D′E′B′C′=A′E′A′C′，∵ADAB =A′D′A′B′，∴DEBC =D′E′B′C′，∴DED′E′=BCB′C′，同理，AEAC =A′E′A′C′，∴AC−AEAC =A′C′−A′E′A′C′，即ECAC=E′C′A′C′，∴ECE′C′=ACA′C′，∵CDC′D′=ACA′C′=BCB′C′，∴CDC′D′=DED′E′=ECE′C′，∴△DCE∽△D′C′E′，∴∠CED=∠C′E′D′，∵DE//BC，∴∠CED+∠ACB=90°，同理，∠C′E′D′+∠A′C′B′=180°，∴∠ACB=∠A′B′C′，∵ACA′C′=CBC′B′，∴△ABC∽△A′B′C′．【解析】(1)根据两边成比例夹角相等两三角形相似证明即可．(2)过点D，D′分别作DE//BC，D′E′//B′C′，DE交AC于E，D′E′交A′C′于E′.首先证明△CED∽△C′E′D′，推出∠CED=∠C′E′D′，再证明∠ACB=∠A′C′B′即可解决问题．本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．26.【答案】证明：(1)如图②，连接A′C′，∵点A，点A′关于l对称，点C在l上，∴CA=CA′，∴AC+BC=A′C+BC=A′B，同理可得AC′+C′B=A′C′+BC′，∵A′B<A′C′+C′B，∴AC+BC<AC′+C′B；(2)如图③，在点C出建燃气站，铺设管道的最短路线是ACDB，(其中点D是正方形的顶点)；如图④，在点C出建燃气站，铺设管道的最短路线是ACD+DE⏜+EB，(其中CD，BE都与圆相切)【解析】(1)由轴对称的性质可得CA=CA′，可得AC+BC=A′C+BC=A′B，AC′+C′B=A′C′+BC′，由三角形的三边关系可得A′B<A′C′+C′B，可得结论；(2)①由(1)的结论可求；②由(1)的结论可求解．本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，圆的有关知识，轴对称的性质，三角形的三边关系，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．27.【答案】CF、DE、DF【解析】解：(1)∵∠ACB=90°，DE⊥AC，DF⊥BC，∴四边形CEDF是矩形，∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，∴DE=DF，∴四边形CEDF是正方形，∴CE=CF=DE=DF，故答案为：CF、DE、DF；(2)连接OP，如图2所示：∵AB是半圆O的直径，PB⏜=2PA⏜，×180°=60°，∴∠APB=90°，∠AOP=13∴∠ABP=30°，。
北京第二中学分校新初一分班数学试卷含答案
北京第二中学分校新初一分班数学试卷含答案一、选择题1．在一个比例尺是200∶1的图纸上，量得一个零件的长是2厘米，这个零件实际长（）。
A．4米B．1米C．0.1毫米D．0.4毫米2．下图是用小方块拼搭而成的几何模型，如果把这个模型的表面全部涂上红色（包括底面），则四个面涂上红色的有（）块。
A．2 B．3 C．4 D．53．光明村今年每百户拥有电脑96台，比去年增加了32台，今年比去年增加了百分之多少？正确的算式是（）．A．32÷96×100%B．32÷（96-32）×100%C．96÷32×100%4．用一根小棒粘住长方形一条边，旋转一周，这个长方形转动后产生的图形是（）。
A．三角形B．圆形C．圆柱5．根据题意，所列方程正确的是（）冬至到了，奶奶和小丽一起包饺子．奶奶包了106个饺子，如果奶奶再包2个，就是小丽包的饺子数的3倍了．小丽包了多少个饺子？A．106+2＝3x B．3x+2＝106 C．106﹣3x＝2 D．106﹣2x＝36．莉莉用同样大的正方体摆成了一个长方体。
下图分别是她从正面和上面看到的图形。
从右面看到的是下面（）图形。
A．B．C．7．六（1）班男生与女生人数的比是3∶4，下列说法错误的是（）。
A．女生人数是男生的43B．女生是全班的47C．男生比女生少14 D．女生比男生多148．如图所示，以点A为圆心的圆内，三角形ABC为等腰三角形．三角形为等腰三角形的证据，是运用了圆的什么特征？A．同一个圆的半径相等B．圆的周长为直径的3.14倍C．同一个圆的直径为半径的2倍D．直径的长度是圆周上的任意两点连成的线段中最长的9．一批练习本分发给数学兴趣组的学生，平均每人分到36本，如果只发给女生，平均每人可分到60本，如果这批练习本不超过200本，若只发给男生，那么平均每人可分到（）本。
A．36 B．40 C．48 D．9010．一张圆形纸片被连续对折三次，对折后的图形如图所示，量得圆弧长1.57cm，则原圆形纸片的直径是（）。
北京第二中学分校数学代数式单元培优测试卷
一、初一数学代数式解答题压轴题精选（难）1．（1）一个两位正整数，a表示十位上的数字，b表示个位上的数字（a≠b，ab≠0），则这个两位数用多项式表示为（含a、b的式子）；若把十位、个位上的数字互换位置得到一个新两位数，则这两个两位数的和一定能被整除，这两个两位数的差一定能被整除.（2）一个三位正整数F，各个数位上的数字互不相同且都不为0.若从它的百位、十位、个位上的数字中任意选择两个数字组成6个不同的两位数.若这6个两位数的和等于这个三位数本身，则称这样的三位数F为“友好数”，例如：132是“友好数”.一个三位正整数P，各个数位上的数字互不相同且都不为0，若它的十位数字等于百位数字与个位数字的和，则称这样的三位数P为“和平数”；①直接判断123是不是“友好数”？②直接写出共有个“和平数”；③通过列方程的方法求出既是“和平数”又是“友好数”的数.【答案】（1）解：这个两位数用多项式表示为10a+b，（10a+b）+（10b+a）＝10a+b+10b+a＝11a+11b＝11（a+b），∵11（a+b）÷11＝a+b（整数），∴这个两位数的和一定能被数11整除；（10a+b）﹣（10b+a）＝10a+b﹣10b﹣a＝9a﹣9b＝9（a﹣b），∵9（a﹣b）÷9＝a﹣b（整数），∴这两个两位数的差一定能被数9整除，故答案为：11，9（2）解：①123不是“友好数”.理由如下：∵12+21+13+31+23+32＝132≠123，∴123不是“友好数”；②十位数字是9的“和平数”有198，297，396，495，594，693，792，891，一个8个；十位数字是8的“和平数”有187，286，385，584，682，781，一个6个；十位数字是7的“和平数”有176，275，374，473，572，671，一个6个；十位数字是6的“和平数”有165，264，462，561，一个4个；十位数字是5的“和平数”有154，253，352，451，一个4个；十位数字是4的“和平数”有143，341，一个2个；十位数字是3的“和平数”有132，231，一个2个；所以，“和平数”一共有8+（6+4+2）×2＝32个.故答案为32；③设三位数既是“和平数”又是“友好数”，∵三位数是“和平数”，∴y＝x+z.∵是“友好数”，∴10x+y+10y+x+10x+z+10z+x+10y+z+10z+y＝100x+10y+z，∴22x+22y+22z＝100x+10y+z，∴12y＝78x﹣21z.把y＝x+z代入，得12x+12z＝78x﹣21z，∴33z＝66x，∴z＝2x，由②可知，既是“和平数”又是“友好数”的数是396，264，132.【解析】【分析】（1）分别求出两数的和与两数的差即可求解；（2）①根据“友好数”的定义即可判断求解；②根据“和平数”的定义列举出所有的“和平数”即可求解；③设三位数既是“和平数”又是“友好数”，根据“和平数”的定义，得出y＝x＋z．再由“友好数”的定义，得出10x＋y＋10y＋x＋10x＋z＋10z＋x＋10y＋z＋10z＋y＝100x＋10y＋z，化简即为12y＝78x−21z．把y＝x＋z代入，整理得出z＝2x，然后从②的数字中挑选出符合要求的数即可．2．如图，老王开车从A到D，全程共72千米．其中AB段为平地，车速是30千米/小时，BC段为上山路，车速是22.5千米/小时，CD段为下山路，车速是36千米/小时，已知下山路是上山路的2倍．（1）若AB=6千米，老王开车从A到D共需多少时间？（2）当BC的长度在一定范围内变化时，老王开车从A到D所需时间是否会改变？为什么？（给出计算过程）【答案】（1）解：若AB=6千米，则BC=22千米，CD=44千米，从A到D所需时间为：=2.4（小时）（2）解：从A到D所需时间不变，（答案正确不回答不扣分）设BC=d千米，则CD=2d千米，AB=（72﹣3d）千米，t===2.4（小时）【解析】【分析】（1）根据题意可以求出AB,BC,CD的长，然后根据路程除以速度等于时间，即可分别算出老王开车行三段的时间，再求出其和即可；（2）从A到D所需时间不变，设BC=d千米，则CD=2d千米，AB=（72﹣3d）千米，,然后根据路程除以速度等于时间，即可分别表示出老王开车行三段的时间，再根据异分母分式加法法则求出其和，再整体代入即可得出结论；3．电话费与通话时间的关系如下表：通话时间a(分)电话费b(元)10.2＋0.820.4＋0.830.6＋0.840.8＋0.8……；（2）计算当a＝100时，b的值．【答案】（1）解：依题可得：通话1分钟电话费为：0.2×1+0.8，通话2分钟电话费为：0.2×2+0.8，通话3分钟电话费为：0.2×3+0.8，通话4分钟电话费为：0.2×4+0.8，……∴通话a分钟电话费为：0.2×a+0.8，即b＝0.8＋0.2a.（2）解：∵a＝100，∴b＝0.8＋0.2×100＝20.8.【解析】【分析】（1）观察表格可知通话a分钟电话费为：0.2×a+0.8，即b＝0.8＋0.2a.（2）将a＝100代入（1）中代数式，计算即可得出答案.4．如图，在数轴上有两点A、B，点A表示的数是8，点B在点A的左侧，且AB=14，动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．（1）写出数轴上点B表示的数：________ ；点P表示的数用含t的代数式表示为________ ．（2）动点Q从点B出发沿数轴向左匀速运动，速度是点P速度的一半，动点P、Q同时出发，问点P运动多少秒后与点Q的距离为2个单位？（3）若点M为线段AP的中点，点N为线段BP的中点，在点P的运动过程中，线段MN的长度是否会发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出线段MN的长．【答案】（1）解：8-14=-6；因此B点为-6；故答案为:-6；解：因为时间为t，则点P所移动距离为4t，因此点P为8－4t ;故答案为：8-4t（2）解：由题意得，Q 的速度为4÷2=2（秒）则点Q为-6-2t，又点P为8-4t；所以①P在Q的右侧时8-4t-（-2t-6）=2解得x=6②P在Q左侧时-2t-6-（8-4t）=2解得x=8答：动点P、Q同时出发，问点P运动6或8秒后与点Q的距离为2个单位.故答案为：6或8秒（3）解：①当P在A,B之间时，线段AP=8-（8-4t）=4t；线段BP=8-4t-（-6）=14-4t因点M为线段AP的中点，点N为线段BP的中点所以MP=AP=2t；NP=BP=7-2tMN=MP+NP=2t+7-2t=7②当P在P的左边时线段AP=8-（8-4t）=4t；线段BP=（-6）-（8-4t）=4t-14因点M为线段AP的中点，点N为线段BP的中点所以MP=AP=2t；NP=BP=2t-7MN=MP-NP=2t-(2t-7)=7因此在点P的运动过程中，线段MN的长度不变， MN=7【解析】【分析】（1）①由数轴上两点之间距离的规律易得B的值为8-14=16；②因为时间为t，则点P所移动距离为4t，因此易得P为8-4t（2）由题易得：Q 的速度为4÷2=2（秒）则点Q为-6-2t，又点P为8-4t；分别讨论P在Q 左侧或右侧的情况，由此列方程，易得结果为6或8秒；（3）结合（1）（2）易得当P在AB间以及P在B左边时的两种情况；当P在A,B之间时，线段AP=8-（8-4t）=4t；线段BP=8-4t-（-6）=14-4t；当P在P的左边时线段AP=8-（8-4t）=4t；线段BP=（-6）-（8-4t）=4t-14；利用中点性质，易得结果不变，为7.5．已知：a、b、c满足a=-b,|a+1|+（c-4）2=0，请回答问题:（1）请求出a、b、c的值；（2）a、b、c所对应的点分别为A、B、C，P为数轴上一动点，其对应的数为x，若点P 在线段BC上时，请化简式子：|x+1|-|1-x|+2|x-4|（请写出化简过程）；（3）若点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，试探究当点P运动多少秒时，PC=3PB?【答案】（1）解：因为，所以a+1=0，c-4=0，即a=-1，c=4. 因为a=-b，a=-1，所以b=-a=-(-1)=1. 综上所述，a=-1，b=1，c=4（2）解：因为点P在线段BC上，b=1，c=4，所以 . 因为，所以x+1>0，， . 0时，；当时，；当时， . 因此，当点P在线段BC上(即 )时，== = .（3）解：设点P的运动时间为t秒. 因为点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，所以AP=2t. 因为点A对应的数为-1，点C对应的数为4，所以AC=4-(-1)=5. PB. 故点P不可能在点C的右侧. 因此，PC=AC-AP. 因为AP=2t，AC=5，所以PC=AC-AP=5-2t. 分析本小题的题意，点P与点B的位置关系没有明确的限制，故本小题应该对以下两种情况分别进行求解. ①点P在点B的左侧，如下图. 因为点A对应的数为-1，点B对应的数为1，所以AB=1-(-1)=2. 因为AP=2t，AB=2，所以PB=AB-AP=2-2t. 因为PC=3PB，PC=5-2t，PB=2-2t，所以5-2t=3(2-2t). 解这个关于t的一元一次方程，得. ②点P在点B的右侧，如下图.因为AP=2t，AB=2，所以PB=AP-AB=2t-2. 因为PC=3PB，PC=5-2t，PB=2t-2，所以5-2t=3(2t-2). 解这个关于t的一元一次方程，得 .综上所述，当点P运动或秒时，PC=3PB.【解析】【分析】（1）因|a+1|0;(c-4)20,所以由题意得a+1=0,c-4=0,即a=-1，c=4，所以b=1.（2）结合（1），由题意得，所以原式去绝对值化简得原式=x+1-(x-1)+2(4-x)=-2x+10.（3）结合（1），由题意得AP=2t，PC=5-2t；然后分情况讨论P在B点左右两侧两种情况。
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二中分校高一分班数学试题
一、选择题（每小题3分，共10各小题，共30分）
1、如图，线段AB 、CD 相交于E 点，AD//EF//BC ，若AE:EB=1:2，ADE S V =1，则AEF S V 等于（ ）
A. 4
B.
23 C. 2 D. 43
2、如图所示，AB 为O e 的一条固定直径，它把O e 分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C 做弦CD ⊥AB ，OCD ∠的平分线交O e 于点P ，当点C 在上半圆（不包括A 、B 两点）上移动时，点P （ ）
A.位置不变
B. 等分»BD
C.到CD 的距离保持不变
D. 随点C 的移动而移动 3、已知二次函数y=ax 2
+bx+c （0a ≠）的图象如图所示，下列结论：①b＜0；②4a+2b+c＜
0；③a﹣b+c ＞0；
④（a+c ）2
＜b 2
．其中正确的结论是（ ）
A. ①②
B. ①③
C.①③④
D. ①②③④
4、已知点P 是O e 内一点，O e 的半径为5,OP=3，在过点P 的所有O e 的弦中，弦长为整数的弦的条数为（ ）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 无数条
5、如图，已知ABC ∆中，BC=8，BC 边上的高h=4，D 为BC 上一点，做EF//BC ，交AB 于E （点E 不与点A 、B 重合），交AC 于点F 。
设E 到BC 的距离为x ,则DEF ∆的面积y 关于x 的函数的图像大致为（ ）
6、一次函数()y ax b a 0=+≠、二次函数2y ax bx =+和反比例函数()k
y k 0x
=
≠在同一直角坐标系中图象如图，A 点的坐标为（－2，0）。
则下列结论中，正确的（ ）
A ．a k 0>>
B ．a b k =+
C ．a b 0>>
D ．b 2a k =+
7、在矩形ABCD 中，AB=6，BC=4，有一个半径为1的硬币与边AB 、AD 相切，硬币从如图所示的位置开始，在矩形内沿着边AB 、BC 、CD 、DA 滚动到开始的位置为止，硬币自身滚动的圈数大约是（ ）
A. 1圈
B. 2圈
C. 3圈
D. 4圈
8、如图，在正方形ABCD 中，点P 是AB 上一动点（不与A 、B 重合），对角线AC 、BD 相交于点O ，过点P 分别作AC 、BD 的垂线，分别交AC 、BD 于点E 、F ，交AD 、BC 于点M 、N 。
下列
结论：①∆APE ≌∆AME ；②PM ＋PN=AC ； ③222
PE PF PO +=；④∆POF ∽∆BNF ；⑤当∆PMN ∽∆AMP 时，点P 是 AB 的中点。
其中正确的结论有（ ）
A. 2个
B.3个
C.4个
D.5个
9、如图，下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成：第1个图案需7根火柴，第2个图案需13根火柴，…，依此规律，第11个图案需（ ）根火柴．
A ． 156
B ． 157
C ． 158
D ． 159
10、如图，⊙A 与⊙B 外切于点D ，PC ，PD ，PE 分别是圆的切线，C ，D ，E 是切点，若CED x ∠=︒，
ECD y ∠=︒，⊙B 的半径为R ，则»DE
的长度是（ ）
A ．(90)90
x R
π- B ．
(180)180
x R
π- C ．
(180)180
y R
π- D ．
(90)90
y R
π-
二、填空题（每小题4分，共10个小题，共40分） 11、已知下列命题： ①若a ＞b ，则c ﹣a ＜c ﹣b ；
P
第10题图
②若a ＞0
a =；
③对角线互相平分且相等的四边形是菱形； ④如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等．
其中原命题与逆命题均为真命题的是 （填序号即可） 12、若
a b c k b c a c a b
===+++，则k = 。
13、一条弦的长度等于它所在圆的半径，那么这条弦所对的圆周角的度数为 。
14、在等边ABC V 中，P 为BC 上一点，D 为AC 上一点，且60APD ∠=︒,BP=1，CD=2
3
,则ABC ∆的边长为 。
15、如图，在矩形纸片ABCD 中，AB 的长度为a ，BC 的长度为b
，其中
2
3
b a b <<.将此矩形纸片按下列顺序折叠，则C D ''的长度为 （用含a 、b 的代数式表示）
.
16、如图，E ，
F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE ＝DF ．连接CF 交BD 于
G ，连接BE 交AG 于点
H ．若正方形的边长为2，则线段DH
长度的最小值是
．
第16题图
H
G
F E D
C
B
A
A B
A A D
B B
17、如图，反比例函数y=（x ＞0）的图象与矩形OABC 的边AB 、BC 分别交于点E 、F ，且AE=BE ，则△OEF 的面积的值为 ．
18、在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （2，3），在坐标轴上找一点P ，使得AOP ∆是等腰三角形，则这样的点P 共有 个。
19、如图，△ABC 中，AD 是中线，AE 是角平分线，CF⊥AE 于F ，AB=5，AC=2，则DF 的长为 ．
20、如图，点E 是正方形ABCD 内的一点，连接AE 、BE 、CE ，将△ABE 绕点B 顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则BE C '∠= 度．
三、解答题（要求有必要的解答过程，共50分）
21（12分）、某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎，每年可在国内、国外市场上全部售完，该公司的年产量为6千件，若在国内市场销售，平均每件产品的利润1y （元）
与国内销售数量x （千件）的关系为：11590(02)
5130(26)x x y x x +<≤⎧=⎨-+≤<⎩。
若在国外销售，平均每
件产品的利润2y （元）与国外的销售数量t （千件）的关系为：2100(02)
5110(26)
t y t t <≤⎧=⎨
-+≤<⎩
（1）用x 的代数式表示t 为：t= ；当0＜x ≤4时，2y 与x 的函数关系式为：
2y = ；
当 ≤x ＜ 时，2y =100；
（2）求每年该公司销售这种健身产品的总利润w （千元）与国内的销售数量x （千件）的函数关系式，并指出x 的取值范围；
（3）该公司每年国内、国外的销量各为多少时，可使公司每年的总利润最大？最大值为多少？
22（12分）如图①，在平面直角坐标系中，点P （0，2
m ）（m ＞0）在y 轴正半轴上，过点P 作平行于轴的直线，分别交抛物线1C :2
14
y
x =
于点A 、B ，交抛物线2C :21
9
y x =于点C 、D 。
原点O 关于直线AB 的对称点为点Q ，分别连接OA ，OB ，QC 和QD.
猜想与证明 填表：
x
由上表猜想：对任意m （m ＞0）均有
AB
CD
= 。
.请证明你的猜想。
探究与应用 （1）利用上面的结论，可得∆AOB 与∆CQD 面积比为 ； （2）当∆AOB 和∆CQD 中有一个是等腰直角三角形时，求∆CQD 与∆AOB 面积之差。
联想与拓展 如图②过点A 作y 轴的平行线交抛物线2C 于点E ，过点D 作y 轴的平行线交抛物线1C 于点F 。
在y 轴上任取一点M ，连接MA 、ME 、MD 和MF ，则∆MAE 与∆MDF 面积的比值为 。
23（13分）如图，⊙O 的半径25r =，四边形ABCD 内接圆⊙O ， AC BD ⊥于点H ，
P 为CA 延长线上的一点，且PDA ABD ∠=∠.
（1）试判断PD 与⊙O 的位置关系，并说明理由; （2）若3tan 4
ADB ∠=
，PA AH =
，求BD 的长； （3）在（2）的条件下，求四边形ABCD 的面积.
24（13分）已知，如图，ABCD Y 中，AD=3cm ，CD=1cm ，∠B=45°，点P 从点A 出发，沿AD 方向匀速运动，速度为3cm/s ；点Q 从点C 出发，沿CD 方向匀速运动，速度为1cm/s ，连接并延长QP 交BA 的延长线于点M ，过M 作MN ⊥BC ，垂足是N ，设运动时间为t （s ）（0＜t ＜1），解答下列问题：
（1）当t 为何值时，四边形AQDM 是平行四边形？
（2）设四边形ANPM 的面积为y （cm ²），求y 与t 之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t ，使四边形ANPM 的面积是ABCD Y 面积的一半？若存在，求出相应的t 值；若不存在，说明理由
（4）连接AC ，是否存在某一时刻t ，使NP 与AC 的交点把线段AC 的两部分？若存在，求出相应的t 值；若不存在，说明理由。
O
P
B A D
M
N
Q。