高考数学压轴专题专题备战高考《空间向量与立体几何》经典测试题含答案解析
数学《空间向量与立体几何》高考知识点
一、选择题
1．已知平面α∩β=l，m是α内不同于l的直线，那么下列命题中错误的是（ ）
A．若m∥β，则m∥l B．若m∥l，则m∥β
C．若m⊥β，则m⊥l D．若m⊥l，则m⊥β
【答案】D
【解析】
【分析】
A由线面平行的性质定理判断.B根据两个平面相交，一个面中平行于它们交线的直线必平行于另一个平面判断.C根据线面垂直的定义判断.D根据线面垂直的判定定理判断.
【详解】
A选项是正确命题，由线面平行的性质定理知，可以证出线线平行；
B选项是正确命题，因为两个平面相交，一个面中平行于它们交线的直线必平行于另一个平面；
C选项是正确命题，因为一个线垂直于一个面，则必垂直于这个面中的直线；
D选项是错误命题，因为一条直线垂直于一个平面中的一条直线，不能推出它垂直于这个平面；
故选：D.
【点睛】
本题主要考查线线关系和面面关系，还考查了推理论证的能力，属于中档题.
2．如下图，在正方体1111ABCDABCD中，点EF、分别为棱1BB，1CC的中点，点O为上底面的中心，过EFO、、三点的平面把正方体分为两部分，其中含1A的部分为1V，不含1A的部分为2V，连接1A和2V的任一点M，设1AM与平面1111DCBA所成角为，则sin的最大值为（ ）．
A．22 B．255 C．265 D．266
【答案】B
【解析】
【分析】 连接EF，可证平行四边形EFGH为截面，由题意可找到1AM与平面1111DCBA所成的角，进而得到sinα的最大值.
【详解】
连接EF，因为EF//面ABCD,所以过EFO的平面与平面ABCD的交线一定是过点O且与EF平行的直线，过点O作GH//BC交CD于点G,交AB于H点，则GH//EF,连接EH，FG,则平行四边形EFGH为截面，则五棱柱1111ABEHADCFGD为1V，三棱柱EBH-FCG为2V，设M点为2V的任一点，过M点作底面1111DCBA的垂线，垂足为N，连接1AN,则1MAN即为1AM与平面1111DCBA所成的角，所以1MAN=α，因为sinα=1MNAM,要使α的正弦最大，必须MN最大，1AM最小，当点M与点H重合时符合题意，故sinα的最大值为11=MNHNAMAH=255,
故选B
【点睛】
本题考查空间中的平行关系与平面公理的应用，考查线面角的求法，属于中档题.
3．已知,ml是两条不同的直线，,是两个不同的平面，则下列可以推出的是（ ）
A．,,mlml B．,,mllm
C．//,,mlml D．,//,//lmlm
【答案】D
【解析】
【分析】
A，有可能出现，平行这种情况.B，会出现平面，相交但不垂直的情况.C，根据面面平行的性质定理判断.D，根据面面垂直的判定定理判断.
【详解】
对于A，ml，m，若l，则//，故A错误；
对于B，会出现平面，相交但不垂直的情况，故B错误；
对于C，因为//ml，m，则l，又因为l∥，故C错误；
对于D，l，mlm∥，又由m∥，故D正确. 故选：D
【点睛】
本题考查空间中的平行、垂直关系的判定，还考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
4．已知m，l是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列可以推出的是（ ）
A．ml，m，l B．ml，lI，m
C．//ml，m，l D．l，//ml，//m
【答案】D
【解析】
【分析】
A，有可能出现，平行这种情况.B，会出现平面，相交但不垂直的情况.C，根据面面平行的性质定理判断.D，根据面面垂直的判定定理判断.
【详解】
对于A，ml，m，l，则//或，相交，故A错误；
对于B，会出现平面，相交但不垂直的情况，故B错误；
对于C，因为//ml，m，则l，由因为l∥，故C错误；
对于D，l，mlm∥，又由m∥，故D正确.
故选：D
【点睛】
本题考查空间中的平行、垂直关系的判定，还考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
5．已知平面，和直线1l，2l，且2αβlI，则“12llP”是“1l∥且1lβ∥”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
将“12llP”与“1l∥且1lβ∥”相互推导，根据能否推导的情况判断充分、必要条件.
【详解】
当“12llP”时，1l可能在或内，不能推出“1l∥且1lβ∥”.当“1l∥且1lβ∥”时，由于2αβlI，故“12llP”.所以“12llP”是“1l∥且1lβ∥”的必要不充分条件.
故选：B.
【点睛】
本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查空间直线、平面的位置关系，属于基础题.
6．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A．643 B．83163 C．28 D．82163
【答案】B
【解析】
【分析】
结合三视图，还原直观图，得到一个圆锥和一个圆柱，计算体积，即可．
【详解】
结合三视图，还原直观图，得到
故体积222211832422316333Vrhrl，故选B．
【点睛】
本道题考查了三视图还原直观图，考查了组合体体积计算方法，难度中等．
7．如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有（ ）
A．2对 B．3对
C．4对 D．5对
【答案】C
【解析】
【分析】
画出该几何体的直观图PABCD，易证平面PAD平面ABCD，平面PCD平面PAD，平面PAB平面PAD，平面PAB平面PCD，从而可选出答案．
【详解】
该几何体是一个四棱锥，直观图如下图所示，易知平面PAD平面ABCD，
作PO⊥AD于O，则有PO⊥平面ABCD，PO⊥CD，
又AD⊥CD，所以，CD⊥平面PAD，
所以平面PCD平面PAD，
同理可证：平面PAB平面PAD，
由三视图可知：PO＝AO＝OD，所以，AP⊥PD，又AP⊥CD，
所以，AP⊥平面PCD，所以，平面PAB平面PCD，
所以该多面体各表面所在平面互相垂直的有4对．
【点睛】
本题考查了空间几何体的三视图，考查了四棱锥的结构特征，考查了面面垂直的证明，属于中档题．
8．如图，在底面边长为4，侧棱长为6的正四棱锥PABCD中，E为侧棱PD的中点，则异面直线PB与CE所成角的余弦值是（ ）
A．3417
B．23417 C．51717 D．31717
【答案】D
【解析】
【分析】
首先通过作平行的辅助线确定异面直线PB与CE所成角的平面角，在PCD中利用余弦定理求出cosDPC进而求出CE，再在GFH中利用余弦定理即可得解.
【详解】
如图，取PA的中点F，AB的中点G，BC的中点H，连接FG，FH，GH，EF，
则//EFCH，EFCH，从而四边形EFHC是平行四边形，则//ECFH，
且ECFH.
因为F是PA的中点，G是AB的中点，
所以FG为ABP的中位线，所以//FGPB，则GFH是异面直线PB与CE所成的角.由题意可得3FG，1222HGAC.
在PCD中，由余弦定理可得2223636167cos22669PDPCCDDPCPDPC，
则2222cos17CEPCPEPCPEDPC，即17CE.
在GFH中，由余弦定理可得222cos2FGFHGHGFHFGFH9178317172317.
故选：D
【点睛】
本题考查异面直线所成的角，余弦定理解三角形，属于中档题.
9．已知正方体1111ABCDABCD的棱长为2，M为1CC的中点.若AM平面，且B平面，则平面截正方体所得截面的周长为（ ）
A．3225 B．442 C．2225 D．62
【答案】A
【解析】
【分析】
根据线面垂直确定平面，再根据截面形状求周长.
【详解】
显然在正方体中BD平面11ACCA,所以BD AM,
取AC中点E, 取AE中点O,则11tantanAOAACMAOAM,
取A1C1中点E1, 取A1E1中点O1,过O1作PQ//B1D1,分别交A1B1,A1D1于P,Q
从而AM平面BDQP,四边形BDQP为等腰梯形，
周长为22222123225，选A.
【点睛】
本题考查线面垂直判断以及截面性质，考查综合分析与求解能力，属难题.
10．在以下命题中：
①三个非零向量ar，br，cr不能构成空间的一个基底，则ar，br，cr共面；
②若两个非零向量ar，br与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则ar，br共线；
③对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若222OPOAOBOCuuuruuuruuuuruuuur，则P，A，B，C四点共面
④若ar，br是两个不共线的向量，且(,,,0)cabRrrr，则{},,abcrrr构成空间的一个基底
⑤若,,abcrrr为空间的一个基底，则,,abbccarrrrrr构成空间的另一个基底；
其中真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】
【分析】
根据空间向量的运算法则，逐一判断即可得到结论.
【详解】
①由空间基底的定义知，三个非零向量ar，br，cr不能构成空间的一个基底，则ar，br，cr共面，故①正确；
②由空间基底的定义知，若两个非零向量ar，br与任何一个向量都不能构成空间的一个基
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《空间向量与立体几何》知识点总复习附答案解析
新数学复习题《空间向量与立体几何》专题解析
一、选择题
1．如图，在正方体1111ABCDABCD中，M， N分别为棱111,CDCC的中点，以下四个结论：①直线DM与1CC是相交直线；②直线AM与NB是平行直线；③直线BN与1MB是异面直线；④直线AM与1DD是异面直线．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据正方体的几何特征，可通过判断每个选项中的两条直线字母表示的点是否共面；如果共面，则可能是相交或者平行；若不共面，则是异面.
【详解】
①：1CC与DM是共面的，且不平行，所以必定相交，故正确；
②：若AMBN、平行，又ADBC、平行且,AMADABNBCB，所以平面BNCP平面ADM，明显不正确，故错误；
③：1BNMB、不共面，所以是异面直线，故正确；
④：1AMDD、不共面，所以是异面直线，故正确；
故选C.
【点睛】
异面直线的判断方法：一条直线上两点与另外一条直线上两点不共面，那么两条直线异面；反之则为共面直线，可能是平行也可能是相交.
2．在三棱锥PABC中，PA平面ABC，且ABC为等边三角形，2APAB，则三棱锥PABC的外接球的表面积为（ ）
A．272 B．283 C．263 D．252
【答案】B
【解析】
【分析】 计算出ABC的外接圆半径r，利用公式222PARr可得出外接球的半径，进而可得出三棱锥PABC的外接球的表面积.
【详解】
ABC的外接圆半径为2332sin3ABr，
PAQ底面ABC，所以，三棱锥PABC的外接球半径为222223211233PARr，
因此，三棱锥PABC的外接球的表面积为2221284433R.
故选：B.
【点睛】
本题考查三棱锥外接球表面积的计算，解题时要分析几何体的结构，选择合适的公式计算外接球的半径，考查计算能力，属于中等题.
高考数学压轴专题新备战高考《空间向量与立体几何》难题汇编附答案解析
【最新】数学《空间向量与立体几何》高考知识点
一、选择题
1．在ABC中，设BAC，CA与CB所成的角是，绕直线AC将AB旋转至AB，则在所有旋转过程中，关于AB与BC所成的角的说法正确的是( )
A．当4时，, B．当4时，,
C．当4时，, D．当4时，,
【答案】D
【解析】
【分析】
首先理解异面直线所成的角的范围是0,2，排除选项A,B,C,对于D可根据
AB绕AC旋转，形成以AC为轴的圆锥，AB是母线，再将异面直线所成的角，转化为相交直线所成的角，判断最大值和最小值.
【详解】
因为是异面直线所成的角，所以0,2
A.当4时，的范围有可能超过2，比如，3,46，所以不正确；
B.当4时，当3,46，此时,，也不正确；
C.当4，当3,46，此时,，故也不正确；
D. 4时，AB绕AC旋转，形成以AC为轴的圆锥，AB是母线，如图，
过点A作BC的平行线AD，且CAD，'AB与BC所成的角转化为AB与AD所成的角，由图象可知，当AB是AB时，角最大，为，当AB在平面ABC内时，不与AB重合时，角最小，此时为
故选：D
【点睛】
本题考查异面直线所成的角，重点考查轨迹，数形结合分析问题的能力，属于中档题型，本题的关键是判断，并画出AB绕AC旋转，形成以AC为轴的圆锥.
2．如图所示是一个组合几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A．163 B．643 C．16643 D．1664
【答案】C
【解析】由三视图可知，该几何体是有一个四棱锥与一个圆锥的四分之一组成，其中四棱锥的底面是边长为4 的正方形，高为4 ，圆锥的底面半径为4 ，高为4，该几何体的体积为， 221116644444333V， 故选C.
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数学《空间向量与立体几何》复习知识要点
一、选择题
1．如图，在正方体1111ABCDABCD，点P在线段1BC上运动，则下列判断正确的是（ ）
①平面1PBD平面1ACD
②1//AP平面1ACD
③异面直线1AP与1AD所成角的取值范围是0,3π
④三棱锥1DAPC的体积不变
A．①② B．①②④ C．③④ D．①④
【答案】B
【解析】
【分析】
由面面垂直的判定定理判断①，由面面平行的性质定理判断②，求出P在特殊位置处时异面直线所成的角，判断③，由换底求体积法判断④．
【详解】
正方体中易证直线AC平面11BDDB，从而有1ACBD，同理有11BDAD^，证得1BD平面1ACD，由面面垂直判定定理得平面1PBD平面1ACD，①正确；
正方体中11//ABCD，11//BCAD，从而可得线面平行，然后可得面面平行，即平面11ABC//平面1ACD，而1AP平面11ABC，从而得1//AP平面1ACD，②正确；
当P是1BC中点时，1AP在平面11ABCD内，正方体中仿照上面可证1AD平面11ABCD，从而11ADAP，1AP与1AD所成角为90．③错； ∵11DAPCPADCVV，由1//BC平面1ACD，知P在线段1BC上移动时，P到平面1ACD距离相等，因此1PADCV不变，④正确．
故选：B．
【点睛】
本题考查面面垂直的判定定理、面面平行的性质定理、异面直线所成的角、棱锥的体积等知识，考查学生的空间想象能力，属于中档题．
2．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图中的四边形是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为( )
A．132 B．7 C．152 D．8
【答案】B
【解析】
【分析】
画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解表面积即可．
【详解】
由题意可知：几何体是一个圆柱与一个14的球的组合体，球的半径为：1，圆柱的高为2，
高考数学压轴专题新备战高考《空间向量与立体几何》技巧及练习题附答案解析
【高中数学】高考数学《空间向量与立体几何》练习题
一、选择题
1．如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有（ ）
A．2对 B．3对
C．4对 D．5对
【答案】C
【解析】
【分析】
画出该几何体的直观图PABCD，易证平面PAD平面ABCD，平面PCD平面PAD，平面PAB平面PAD，平面PAB平面PCD，从而可选出答案．
【详解】
该几何体是一个四棱锥，直观图如下图所示，易知平面PAD平面ABCD，
作PO⊥AD于O，则有PO⊥平面ABCD，PO⊥CD，
又AD⊥CD，所以，CD⊥平面PAD，
所以平面PCD平面PAD，
同理可证：平面PAB平面PAD，
由三视图可知：PO＝AO＝OD，所以，AP⊥PD，又AP⊥CD，
所以，AP⊥平面PCD，所以，平面PAB平面PCD，
所以该多面体各表面所在平面互相垂直的有4对．
【点睛】
本题考查了空间几何体的三视图，考查了四棱锥的结构特征，考查了面面垂直的证明，属于中档题．
2．如图，在长方体1111ABCDABCD中，13,1ABADAA,而对角线1AB上存在一点P，使得1APDP取得最小值，则此最小值为（ ）
A．7 B．3 C．1+3 D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
把面1AAB绕1AB旋转至面1BAM使其与对角面11ABCD在同一平面上，连接1MD并求出，就
是最小值．
【详解】
把面1AAB绕1AB旋转至面1BAM使其与对角面11ABCD在同一平面上，连接1MD．1MD就是1||||APDP的最小值，
Q||||3ABAD，1||1AA，0113tan3,601AABAAB．
所以11=90+60=150MADooo
2211111111132cos13223()72MDADAMADAMMAD
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【高中数学】《空间向量与立体几何》知识点
一、选择题
1．如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有（ ）
A．2对 B．3对
C．4对 D．5对
【答案】C
【解析】
【分析】
画出该几何体的直观图PABCD，易证平面PAD平面ABCD，平面PCD平面PAD，平面PAB平面PAD，平面PAB平面PCD，从而可选出答案．
【详解】
该几何体是一个四棱锥，直观图如下图所示，易知平面PAD平面ABCD，
作PO⊥AD于O，则有PO⊥平面ABCD，PO⊥CD，
又AD⊥CD，所以，CD⊥平面PAD，
所以平面PCD平面PAD，
同理可证：平面PAB平面PAD，
由三视图可知：PO＝AO＝OD，所以，AP⊥PD，又AP⊥CD，
所以，AP⊥平面PCD，所以，平面PAB平面PCD，
所以该多面体各表面所在平面互相垂直的有4对．
【点睛】
本题考查了空间几何体的三视图，考查了四棱锥的结构特征，考查了面面垂直的证明，属于中档题．
2．若四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和为（ ）
A．2 B．25 C．425
D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据四面体的三视图可知：一侧面垂直于底面，且底面是以该侧面与底面的交线为直角边的直角三角形，然后根据面面垂直的性质定理，得到与底面的另一直角边为交线的侧面为直角三角形求解.
【详解】
由四面体的三视图可知：平面PAB平面ABC，BCAB，
所以BC⊥平面PAB，所以BCPB，
所以,ABCPBCVV是直角三角形，
如图所示：
所以直角三角形的面积和为:11112252252222ABCPBCSSABBCPBBCVV.
故选：B
【点睛】
本题主要考查三视图的应用以及线面垂直，面面垂直的关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
高考数学压轴专题最新备战高考《空间向量与立体几何》全集汇编及答案
数学《空间向量与立体几何》试卷含答案
一、选择题
1．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）
A．32 B． C．3 D．12
【答案】C
【解析】
【分析】
该几何体是一个三棱锥，且同一个顶点处的三条棱两两垂直并且相等，把这个三棱锥放到正方体中，即可求出其外接球的表面积.
【详解】
由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，且同一个顶点处的三条棱两两垂直并且相等，如图所示
该几何体是棱长为1的正方体中的三棱锥1ABCDABBCBD，.
所以该三棱锥的外接球即为此正方体的外接球，球的直径2r为正方体体对角线的长.
即22221113r.
所以外接球的表面积为243r.
故选：C.
【点睛】
本题考查几何体的三视图，考查学生的空间想象能力，属于基础题.
2．如图所示是一个组合几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A．163 B．643 C．16643 D．1664
【答案】C
【解析】由三视图可知，该几何体是有一个四棱锥与一个圆锥的四分之一组成，其中四棱锥的底面是边长为4 的正方形，高为4 ，圆锥的底面半径为4 ，高为4，该几何体的体积为， 221116644444333V， 故选C.
3．如图，在底面边长为4，侧棱长为6的正四棱锥PABCD中，E为侧棱PD的中点，则异面直线PB与CE所成角的余弦值是（ ）
A．3417 B．23417 C．51717 D．31717
【答案】D
【解析】
【分析】
首先通过作平行的辅助线确定异面直线PB与CE所成角的平面角，在PCD中利用余弦定理求出cosDPC进而求出CE，再在GFH中利用余弦定理即可得解.
【详解】
如图，取PA的中点F，AB的中点G，BC的中点H，连接FG，FH，GH，EF，
则//EFCH，EFCH，从而四边形EFHC是平行四边形，则//ECFH，
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【高中数学】高考数学《空间向量与立体几何》练习题
一、选择题
1．如图，正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）111ABCABC的底面边长为a，侧棱长为2a，则1AC与侧面11ABBA所成的角是( )
A．30° B．45 C．60 D．90
【答案】A
【解析】
【分析】
以C为原点，在平面ABC中，过点C作BC的垂线为x轴，CB为y轴，1CC为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出1AC与侧面11ABBA所成的角．
【详解】
解：以C为原点，在平面ABC中，过点C作BC的垂线为x轴，CB为y轴，1CC为z轴，建立空间直角坐标系，
则3(2aA，2a，0)，1(0C，0，2)a，13(2aA，2a，2)a，(0B，a，0)，
13(2aACuuuur，2a，2)a，3(2aABuuur，2a，0)，1(0AAuuur，0，2)a，
设平面11ABBA的法向量(nxr，y，)z，
则13·022·20aanABxynAAazuuuvvuuuvv，取1x，得(1nr，3，0)，
设1AC与侧面11ABBA所成的角为，
则111||31sin|cos,|2||||23nACanACnACaruuuurruuuurgruuuurg，
30，
1AC与侧面11ABBA所成的角为30°．
故选：A．
【点睛】
本题考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
2．四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，ABBCD平面，BCDV是边长为3的等边三角形，若2AB，则球O的表面积为( )
A．16 B．323 C．12 D．32
【答案】A
【解析】
【分析】
先求底面外接圆直径,再求球的直径,再利用表面积2SD求解即可.
【详解】
BCDV外接圆直径323sin32CDdCBD ,
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新数学高考《空间向量与立体几何》复习资料
一、选择题
1．已知m，l是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列可以推出的是（ ）
A．ml，m，l B．ml，lI，m
C．//ml，m，l D．l，//ml，//m
【答案】D
【解析】
【分析】
A，有可能出现，平行这种情况.B，会出现平面，相交但不垂直的情况.C，根据面面平行的性质定理判断.D，根据面面垂直的判定定理判断.
【详解】
对于A，ml，m，l，则//或，相交，故A错误；
对于B，会出现平面，相交但不垂直的情况，故B错误；
对于C，因为//ml，m，则l，由因为l∥，故C错误；
对于D，l，mlm∥，又由m∥，故D正确.
故选：D
【点睛】
本题考查空间中的平行、垂直关系的判定，还考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
2．设α、β是两个不同的平面，m、n是两条不同的直线，下列说法正确的是（ ）
A．若α⊥β，α∩β＝m，m⊥n，则n⊥β
B．若α⊥β，n∥α，则n⊥β
C．若m∥α，m∥β，则α∥β
D．若m⊥α，m⊥β，n⊥α，则n⊥β
【答案】D
【解析】
【分析】
根据直线、平面平行垂直的关系进行判断．
【详解】
由α、β是两个不同的平面，m、n是两条不同的直线，知：
在A中，若α⊥β，α∩β＝m，m⊥n，则n与β相交、平行或n⊂β，故A错误；
在B中，若α⊥β，n∥α，则n与β相交、平行或n⊂β，故B错误；
在C中，若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故C错误；
在D中，若m⊥α，m⊥β，则α∥β，
∴若n⊥α，则n⊥β，故D正确. 故选：D.
【点睛】
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的益关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.
3．已知ABCV的三个顶点在以O为球心的球面上，且22cos3A，1BC，3AC，三棱锥OABC的体积为146，则球O的表面积为( )
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《空间向量与立体几何》技巧及练习题附答案解析
【最新】高考数学《空间向量与立体几何》练习题
一、选择题
1．若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( )．
A．130 B．140 C．150 D．160
【答案】D
【解析】
设直四棱柱1111ABCDABCD中，对角线119,15ACBD，
因为1AA平面,ABCDACÌ,平面ABCD，所以1AAAC，
在1RtAAC中，15AA，可得221156ACACAA,
同理可得2211200102BDDBDD，
因为四边形ABCD为菱形，可得,ACBD互相垂直平分，
所以2211()()1450822ABACBD，即菱形ABCD的边长为8，
因此，这个棱柱的侧面积为1()485160SABBCCDDAAA，
故选D.
点睛：本题考查了四棱锥的侧面积的计算问题，解答中通过给出的直四棱柱满足的条件，求得底面菱形的边长，进而得出底面菱形的底面周长，即可代入侧面积公式求得侧面积，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及空间想象能力，其中正确认识空间几何体的结构特征和线面位置关系是解答的关键.
2．已知圆锥SC的高是底面半径的3倍，且圆锥SC的底面直径、体积分别与圆柱OM的底面半径、体积相等，则圆锥SC与圆柱OM的侧面积之比为（ ）.
A．10:1 B．3:1 C．2:1 D．10:2
【答案】A
【解析】
【分析】
设圆锥SC的底面半径为r，可求得圆锥的母线长，根据圆锥侧面积公式求得侧面积；由圆锥体积与圆柱体积相等可构造方程求得圆柱的高，进而根据圆柱侧面积公式求得圆柱侧面积，从而求得比值.
【详解】
设圆锥SC的底面半径为r，则高为3r，圆锥SC的母线长22910lrrr，
圆锥SC的侧面积为210rlr；
圆柱OM的底面半径为2r，高为h，
高考数学压轴专题新备战高考《空间向量与立体几何》技巧及练习题附答案解析 2
高考数学《空间向量与立体几何》课后练习
一、选择题
1．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF=12．则下列结论中正确的个数为
①AC⊥BE；
②EF∥平面ABCD；
③三棱锥A﹣BEF的体积为定值；
④AEF的面积与BEF的面积相等，
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解析】
试题分析：①中AC⊥BE，由题意及图形知，AC⊥面DD1B1B，故可得出AC⊥BE，此命题正确；②EF∥平面ABCD，由正方体ABCD-A1B1C1D1的两个底面平行，EF在其一面上，故EF与平面ABCD无公共点，故有EF∥平面ABCD，此命题正确；③三棱锥A-BEF的体积为定值，由几何体的性质及图形知，三角形BEF的面积是定值，A点到面DD1B1B距离是定值，故可得三棱锥A-BEF的体积为定值，此命题正确；④由图形可以看出，B到线段EF的距离与A到EF的距离不相等，故△AEF的面积与△BEF的面积相等不正确
考点：1．正方体的结构特点；2．空间线面垂直平行的判定与性质
2．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A．273 B．276 C．274 D．272
【答案】D
【解析】 【分析】
先还原几何体，再根据锥体体积公式求结果.
【详解】
几何体为一个三棱锥，高为33，底为一个直角三角形，直角边分别为333，，所以体积为1127=33333=322V，选D.
【点睛】
(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析．
3．如图，在底面边长为4，侧棱长为6的正四棱锥PABCD中，E为侧棱PD的中点，则异面直线PB与CE所成角的余弦值是（ ）