理想气体的性质
理想气体的性质与过程解析
理想气体的性质与过程解析理想气体是指在一定温度和压力范围内，分子之间的相互作用可以忽略不计的气体。
它是理想化的模型，用来描述真实气体的一些性质和行为。
以下是关于理想气体的性质和过程的解析：性质：1.粒子间无相互作用：在理想气体中，气体分子之间的相互作用力可以忽略不计。
这意味着理想气体的压力、温度和体积只取决于其分子数，与分子之间的相互作用无关。
2.分子间的容积可以忽略不计：理想气体中，分子的体积与整个气体的体积相比可以忽略不计。
这是因为气体分子的体积相对较小，与气体分子数目相比较小时，分子之间的碰撞几乎没有。
3.分子运动速度分布均匀：理想气体中，气体分子的平均动能与温度成正比。
根据麦克斯韦速度分布律，气体分子的速度呈现高斯分布，也就是说在给定温度下，速度越快的分子数量越少。
4.气体的体积与压力成反比：根据波义耳定律，理想气体的体积和压力成反比。
当温度和分子数目保持不变时，压力增大，则气体的体积减小；压力减小，则气体的体积增大。
过程：1.等温过程：在等温过程中，理想气体的温度保持不变。
根据理想气体状态方程PV=nRT（其中P代表压力，V代表体积，n代表物质的摩尔数，R代表气体常数，T代表温度），等温过程中的压强和体积成反比。
即PV=常数。
2.等容过程：在等容过程中，理想气体的体积保持不变。
根据理想气体状态方程PV=nRT，等容过程中的压强和温度成正比。
即P/T=常数。
3.等压过程：在等压过程中，理想气体的压力保持不变。
根据理想气体状态方程PV=nRT，等压过程中的体积和温度成正比。
即V/T=常数。
4.绝热过程：在绝热过程中，理想气体不与外界交换热量。
根据绝热过程的定义，PV^γ=常数（其中γ为比热容比，γ=Cp/Cv，Cp为定压比热容，Cv为定容比热容），即压强和体积的乘积的γ次方等于常数。
总结：理想气体的性质和过程可以通过理想气体状态方程以及各种过程方程来描述。
理想气体的性质包括分子间无相互作用、分子间的容积可以忽略不计、分子速度分布均匀以及气体体积与压力成反比。
理想气体的性质
在恒定体积的情况下，理想气 体的压强与热力学温度成正比。
理想气体温差与压强成正比， 如达到绝热过程。
理想气体的体积与压力关系
1
波义耳-马列定律
在恒定压力的情况下，理想气体的体积与其热力学温度成正比。
2
查理定律
在恒定温度的情况下，理想气体的体积与压强成反比。
3
指数关系
体积变化和绝对温度变化的比值为一定值。
理想气体的性质
理想气体是在正常温度和压力下，体积可压缩到很小而且分子之间没有相互 作用的气体。
理想气体的概念
微观结构
理想气体是由大量质量极小、 体积为零的质点组成。
压力定义
理想气体压强是气体分子撞击 容器壁所产生力的大小，与壁 面单位面积垂直的分量成正比。
温度定义
理想气体温度是介质分子平均 动能的度量标准。
理想气体的摩尔质量与密度关系
摩尔质量
对于同一种气体，其分子 数是一定的，其摩尔质量 与分子量成正比。
体密度
单位体积或者单位质量的 气体分子数ຫໍສະໝຸດ 称为气体的 密度。密度计算
气体密度=M/RT，其中M 是摩尔质量，R是气体常数， T是绝对温度。
理想气体的行为模型及应用
气球充气
理想气体模型可以应用于气球 充气过程，说明气球的承载力 和所需气体量。
气体储存
储氦气，氢气，氮气，氧气等 物质的理想气体模型可以用于 计算气体储存的最大容量。
工业应用
理想气体模型可以用于工业馏 分分配过程，如阀门操作和缓 解熔炉内压强。
容器条件
理想气体必须在充分大的容器 内才可以体现其各项性质。
理想气体的特征
分子间距离大
理想气体分子间距离比其 分子尺寸大得多。
机械热力学第03章 理想气体的性质
注意： 不是标况时，1标准立方米的气体量不变，但体积变化。
三种比热的关系：
C m = Mc = 0.022414C'
比热与过程有关。常用的有：
定压热容（比定压热容）
cp
及
Cmp , c
' p
定容热容（比定容热容）
cV
' CmV , cV
1. c v
c= δq du + δw du pdv = = + dT dT dT dT ( A)
cv =
1 γ R g , cp = Rg γ 1 γ 1
理想气体可逆绝热过程的绝热指数k=γ
二、用比热计算热量
原理:
对c作不同的技术处理可得精度不同的热量计算方法: 1.定值比热容 工程计算，不用气体分子运动理论导出的结果，误差太大。 工程上，建议参照附表3提供的 常用气体在各种温度下的比热容值
u = u (T , v )
u u du = dT + dv T v v T
定容过程 dv=0
u cV = T v
若为理想气体
u = u(T)
du u du = cV = ( du = cVdT) dT T v dT
cV 是温度的函数
2.
cp
定压过程，dp = 0
第三章 理想气体的性质
基本概念和定律 热力学内容 工质热力性质 过程和循环 状态方程 理想气体 实际气体 比热 内能、焓和 内能、 熵的计算
§3-1 理想气体的概念
理想气体： 理想气体：满足 pv=RgT 理想气体是实际气体在低压高温时的抽象。 理想气体是实际气体在低压高温时的抽象。 实际气体可以近似看作理想气体的条件： 实际气体可以近似看作理想气体的条件： 通常压力下， T>(2.5-3)Tcr时 一般可看作理想气体。 通常压力下，当T>(2.5-3)Tcr时，一般可看作理想气体。 微观上讲，理想气体分子间没有力的作用，故U=U(T) 微观上讲，理想气体分子间没有力的作用，
气体状态方程理想气体和混合气体的性质
气体状态方程理想气体和混合气体的性质气体状态方程是研究气体性质的重要概念，其中包括理想气体和混合气体的性质。
本文将就这两个方面进行探讨，分析其性质和应用。
在文章中，我们将首先介绍理想气体的特点和状态方程，然后探究混合气体的特性和相应的状态方程。
Ⅰ. 理想气体的性质及状态方程理想气体是指在特定条件下满足状态方程的气体，其特点如下：1. 完全可压缩性：理想气体分子间间距较大，相互作用较小，因此可被压缩为较小的体积。
2. 简单性：理想气体分子无体积，无相互作用，碰撞为弹性碰撞，不考虑分子间的吸引和斥力。
理想气体遵循理想气体状态方程，也称为理想气体定律。
其数学表达式为：PV = nRT其中，P 表示气体的压强，V 表示气体的体积，n 表示气体的物质量（以摩尔为单位），R 为气体常数，T 为气体的温度。
在实际应用中，理想气体状态方程可以用于气体的压强、体积、温度之间的计算和关联，对于理解气体的性质和行为有着重要的意义。
Ⅱ. 混合气体的性质及状态方程混合气体是由两种或更多种气体按一定比例混合而成的气体体系。
混合气体的特性如下：1. 分子间相互作用：混合气体中不同气体的分子之间会发生相互作用，包括吸引力和斥力。
2. 物理性质的改变：混合气体的物理性质（如压强、体积、温度）可能与组成气体的物理性质不同。
混合气体的状态方程可以通过理想气体状态方程的变形得到，考虑到混合气体的组成和混合比例。
对于混合气体而言，混合前和混合后各组分的气体分子数分别为n₁, n₂, ... , nᵢ和 n'₁, n'₂, ... , n'ᵢ，气体体积分别为 V₁, V₂, ... , Vᵢ和V'₁, V'₂, ... , V'ᵢ。
根据气体分子数守恒和体积守恒的原理，可以得到混合前后气体的状态方程：(P₁V₁ + P₂V₂ + ... + PᵢVᵢ) = (P'₁V'₁ + P'₂V'₂ + ... + P'ᵢV'ᵢ)其中，P₁, P₂, ... , Pᵢ和 P'₁, P'₂, ... , P'ᵢ分别表示混合前和混合后各组分的气体压强。
理想气体的性质与状态
理想气体的性质与状态气体是物质存在的一种形态，它具有独特的性质和状态。
在理论化学和物理学中，我们常常使用理想气体模型来描述气体的性质与状态。
理想气体是一个理想化的概念，用来简化气体的复杂行为，并且可以作为其他气体模型的基础。
在本文中，我们将重点讨论理想气体的性质与状态。
理想气体的性质：1. 分子自由运动：理想气体的分子没有相互作用力，它们以高速碰撞并独自运动。
这意味着理想气体的分子之间没有吸引力或斥力。
这个性质使得理想气体的分子可以自由地扩散和混合。
2. 碰撞无损失：理想气体的分子之间碰撞是完全弹性的，没有能量的损失。
这意味着分子在碰撞后会保持它们的动能和动量，但方向可能会改变。
这种无损失碰撞的性质是理想气体的一个重要特征。
3. 分子间距离较大：理想气体的分子之间的距离较大，相对于分子的尺寸来说，它们之间几乎没有相互作用。
这导致理想气体的密度相对较低，并且具有较低的相互作用能。
4. 分子不占据体积：理想气体的分子体积可以忽略不计，相对于容器的尺寸来说，理想气体的分子体积非常小。
这使得理想气体可以均匀地扩散到整个容器中。
理想气体的状态：理想气体的状态可以由一些基本参数来描述，这些参数包括压力、体积、温度和物质的量。
根据理想气体状态方程，也称为理想气体定律，可以得到下面的关系式：PV = nRT其中，P表示气体的压力，V表示气体的体积，n表示气体的摩尔数，R表示理想气体常量，T表示气体的温度。
这个方程可以用来描述气体在不同条件下的行为。
1. 压力：气体的压力是指气体分子对容器壁的碰撞产生的压强。
压力是一个力的量度，可以通过单位面积上分子碰撞的次数来表示。
在理想气体模型中，气体分子的平均碰撞频率与压力成正比。
2. 体积：气体的体积是指气体分子占据的空间。
在理想气体模型中，气体分子被认为是点状的，占据的体积可以忽略不计。
因此，理想气体的体积主要取决于容器的尺寸。
3. 温度：气体的温度是指气体分子的平均动能。
工程热力学理想气体性质
h dh ， T p dT
理想气体的比热容
du cV dT
dh
c
，
p
dT
理想气体的cV 和cp仅仅是温度的函数
定压热容与定容热容的关系
迈耶公式
c p cV Rg
，C p,m CV ,m R
比热容比：比值cp/cV称为比热容比，或质量热 容比，用γ表示
Cm xiCm,i
C iCi
Cm M eqc 0.0224141 C
t2 cdt
t1
t2 t1
q
t2 cdt
00C
t1 00C
cdt
c
t2 00C
t2
c
t1 00C
t1
c
t2 t1
c
t t2
0oC 2
t2
c
t1 0oC
t1
t1
附表5列有几种常用气体的平均比定压热容，平均 比定容热容可由平均比定压热容按迈耶公式确定
平均比热容直线关系式
气体
混合气体的比定压热容和比定容热容之间也满足 迈耶公式
混合气体的折合摩尔质量和折合气体常数
混合气体的成分是指各组成的含量占总量的百分
数，有质量分数、摩尔分数和体积分数三种表示
方法
wi
mi m
，xi
ni n
，i
Vi V
假拟单一气体分子数和总质量恰与混合气体相同，
其摩尔质量和气体常数就是混合气体的折合摩尔
第三章 理想气体的性质
3-1 理想气体的概念
理想气体
理想气体是一种实际上不存在的假想气体，其分子 是弹性的、不具体积的质点，分子间相互没有作用 力
理想气体的性质
理想气体的性质
理想气体是指在一定条件下具有理想行为的气体。
它是理想化的气
体模型，假设气体中分子之间没有相互作用和体积，并且分子之间的
碰撞是弹性碰撞。
以下是理想气体的主要性质：
1. 理想气体的分子是无限小的，没有体积，分子之间没有相互作用力。
这意味着气体的体积可以无限压缩，并且气体分子之间不存在任
何引力或斥力。
2. 理想气体的分子运动是完全混乱的，分子在空间中自由运动，并
且沿各个方向上的速度分布是相等的。
这被称为分子速度均分定理。
3. 理想气体的压强与温度成正比，压力与体积成反比。
这意味着如
果气体的温度升高，压强也会增加，反之亦然；如果气体的体积减小，压力也会增加，反之亦然。
这被称为理想气体状态方程或理想气体定律。
4. 理想气体的温度与体积成正比，温度与压强成正比。
这意味着如
果气体的体积增加，温度也会增加，反之亦然；如果气体的压强减小，温度也会减小，反之亦然。
这被称为理想气体的热力学性质。
需要注意的是，现实气体往往存在分子间相互作用和体积，因此它
们不完全符合理想气体模型。
然而，理想气体模型在许多实际应用中
仍然是一个非常有用的近似模型。
理想气体的性质
理想气体的性质理想气体是物理学中的一个理论模型，用来描述气体在一定条件下的性质和行为。
理想气体具有一些特殊的性质，这些性质在现实气体中可能不完全适用，但在某些条件下可以近似地描述真实气体的行为。
本文将介绍理想气体的性质，包括分子间无相互作用、弹性碰撞、理想气体方程等。
1. 分子间无相互作用理想气体的一个重要特性是分子间无相互作用。
在理想气体模型中，气体分子被假设为点状物体，它们之间除了瞬时的碰撞外，没有其他相互作用力。
这意味着分子间没有引力或斥力，也不会发生化学反应。
因此，在理想气体中，分子之间的距离和分子间的相互作用对气体的性质没有实质性影响。
2. 弹性碰撞另一个理想气体的重要性质是分子间的弹性碰撞。
在理想气体中，气体分子之间的碰撞是完全弹性的，即在碰撞过程中没有能量的损失。
这意味着气体分子在碰撞后会改变运动方向和速度，但总的动能保持不变。
这种弹性碰撞使得理想气体能够满足能量守恒和动量守恒定律。
3. 理想气体方程理想气体方程是描述理想气体性质的一个重要公式。
它以压力、体积和温度为主要变量，表达了气体的状态。
理想气体方程可以写为：PV = nRT其中，P表示气体的压力，V表示气体的体积，n表示气体的物质的量，R为气体常数，T表示气体的温度。
根据理想气体方程，我们可以计算气体的压强、容积和温度等参数之间的关系。
4. 摩尔质量和分子速度理想气体的性质还包括摩尔质量和分子速度的相关性。
摩尔质量是指一个物质的摩尔单位（mol）的质量。
对于理想气体，摩尔质量对应着气体分子的质量。
根据气体分子的质量和理想气体方程，我们可以推导出分子速度与气体温度之间的关系。
5. 理想气体的热容理想气体的热容是指单位物质的理想气体在吸热或放热时的温度变化。
根据理想气体方程和热力学定律，我们可以计算出理想气体的定压热容和定容热容。
其中，定压热容表示在压强恒定的条件下，气体在吸热或放热时的温度变化；定容热容表示在体积恒定的条件下，气体在吸热或放热时的温度变化。
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第三章 理想气体的性质一、目的及要求：了解理解气体的特点及性质，掌握理想气体比热容、热力学能、焓，熵等量的计算方法。
了解混合理想气体的性质及热力学参数的计算。
二、内容：3.1 理想气体的概念及其状态方程式3.2 理想气体的比热、热力学能、焓及熵3.3 理想气体的混合物三、重点及难点：3.1 熟练掌握并正确应用理想气体状态方程式。
正确理解理想气体比热容的概念；熟练掌握和正确应用定值比热容、平均比热容来计算过程热量，以及计算理想气体热力学能、焓和熵的变化。
四、主要外语词汇：ideal gas, real gas,the heat capacity, properties, Dalton’s law of partial pressure , 五、本章节采用多媒体课件六、复习思考题及作业：思考题：1、何谓理想气体和实际气体？火电厂的工质水蒸气可视为理想气体吗？2、气体常数和通用气体常数有何区别和联系？3、气体常数Rg 与气体种类是否有关？与状态呢？4、理想气体的cp －cv ＝，与气体状态关？5、容器内盛有一定状态的理想气体，如将气体放出一部分后重新又达到新的平衡状态，6、放气前后两个平衡状态之间可否表示为下列形式： (a) 112212p v p v T T = (b) 112212p V p V T T = 作业：3－3，3－4，3－6，3－9，3－10，3－14，3－18第三章 理想气体的性质§3－1 理想气体的概念理想气体是一种实际不存在的假象气体，其两点假设为：① 分子是些弹性的、不具体积的质点。
②分子间相互没有作用力。
在这两点假设条件下，气体分子的运动规律极大的简化了，分子两次碰撞之间为直线运动，且弹性碰撞无动能损失。
对此简化了的物理模型，不但可定性地分析气体某些热力现象，而且可定量的导出状态参数间存在的简单函数关系。
那么，由哪些气体可看成是理想气体呢？ 众所周知，高温、低压的气体密度小、比体积大，若大到分子本身体积远小于其活动空间，分子间平均距离远到作用力极其微弱的状态就很接近理想气体。
因此，理想气体是气体压力趋近于零（0→p ）、比体积趋近于无穷大（∞→v ）时的极限状态。
工程中常用的氧气、氮气、氢气、一氧化碳等及其混和空气、燃气、烟气等工质，在通常使用的温度、压力下都可作为理想气体处理，误差一般都在工程计算允许的精度范围之内。
如空气在室温下、压力达10MPa 时，按理想气体状态方程计算的比体积误差在1%左右。
不符合上述两点假设的气态物质称为实际气体。
蒸汽动力装置中采用的工质水蒸气，制冷装置的工质氟里昂蒸汽、氨蒸汽等，这类物质的临界温度较高，蒸汽在通常的工作温度和压力下离液态不远，不能看作理想气体。
通常，蒸汽的比体积较气体小得多，分子本身体积不容忽略，分子间的内聚力随距离减小急剧增大。
因而，实际气体运动规律极其复杂，宏观上反映为状态参数的函数关系式复杂，热工计算种需要借助于计算机或利用为各种蒸汽专门编制的图或表。
实际气体的性质将在第六章中讨论。
而对于大气中含有的少量水蒸气，燃气和烟气中含有的水蒸气和二氧化碳等，因分子浓度低，分压力甚小，在这些混合物的温度不太低时仍可视作为理想气体。
＊＊注：当工质温度超过临界温度后，即使压力再高，工质也不存在液相。
对于理想气体而言，其热力学能u 和焓h 只是温度的函数，原因如下：由于理想气体分子间不具作用力，因此不存在内位能，只存在取决于温度的内动能，因而与体积v 无关，u 只是温度T 的单值函数，即：u = u ( T )。
又因为h = u + pv ，对于理想气体而言，pv = RgT ，所以有h = u + pv = u + RgT = h ( T )，因此焓也是温度的单值函数。
§3－2 理想气体状态方程式1、理想气体的状态方程根据分子运动论，对理想气体分子运动物理模型，用统计方法得出的气体的压力为： 2'322c m N p = （3-1）式中：N 为1m 3体积内的分子数；m ’ 为每个分子的质量；c 为分子热运动均方根速度。
因此，2'21c m N ⨯则是1m 3中全部分子的移动动能，大小完全由温度确定。
式（3-1）两侧各乘以比体积v ，将式（1-1）代入，得：NvkT c m Nv pv ==2'322即pv = （3-2） 式中：Nvk Rg =。
k 式玻尔兹曼常数；Nv 时1Kg 质量的气体所具有的分子数，每一种气体都有确定的值。
Rg 称为气体常数，它是一个只与气体种类有关，而与气体所处状态无关的物理量。
上述表示理想气体在任一平衡状态时p 、v 、T 之间关系的方程式叫做理想气体状态方程式，或称克拉贝龙（Clapeyron ）方程。
它与波义尔、马略特等人测定低压气体得出的实验结果常数===T pv T v p T v p 222111是一致的。
使用时应注意各量的单位。
按国家法定计量单位：p 的单位为Pa ；T 的单位为K ；v 的单位为m 3/kg ；与此相应的Rg 的单位为J/(kg .K)。
2、摩尔质量和摩尔体积摩尔（mol ）是国际单位之中用来表示物质的量的基本单位。
热力学中基本单位是分子，因而1mol 任何物质的分子数为6.0225×1023个。
1mol 物质的质量称为摩尔质量，用符号M 表示，单位是kg/mol 。
1kmol 物质的质量，数值上等于物质的相对分子质量Mr （过去称分子量）。
若物质的质量m 以kg 为单位，物质的量n 以mol 为单位，则： Mm n =（3-3）1mol 气体的体积以V m 表示，显然 Mv V m = （3-4）阿伏加德罗定律指出：同温、同压下，各种气体的摩尔体积相同。
实验得出，在标准状态（K T Pa p o o 15.273,1001325.15=⨯=）下，1mol 任意气体的体积同为300000019.002241410.0m ±，即 m o l m Mv V o mo /022414.0)(3==这里，各参数的下角标“O ”是指标准状态。
热工计算重，除了用kg 和mol 外，有时采用标准立方米作为计量单位。
1mol 气体的质量为{M}kg/mol kg ，在标准状态下的体积为0.022414m 3。
3、摩尔气体常数1kg 理想气体的状态方程的两侧同乘以摩尔质量M ，即为1mol 气体的状态方程MRgT pV m =。
若以1和2分别代表两种气体不同种类的气体，根据阿伏加德罗定律，当2121,T T p p ==时，则21m m V V =比较1、2两种气体的状态方程，可见两种气体的M 与Rg 的乘积相同，而气体的种类又是任选的，因而MRg MRg MRg === 21)()(。
M 、Rg 各自都与气体的状态无关，可以断定：MRg 是既与状态无关，也与气体性质无关的普适恒量，称为摩尔气体常数，以R 表示。
R 的数值可取任意气体在任意状态下的参数确定，如用标准状态的参数，可得p 、V m 、T 的单位选择不同，R 的数值和单位也不相同。
各种气体的气体常数可由下式确定： MK m o l J M R Rg )/(3145.8⋅== 例如空气的摩尔质量是mol kg /1097.283-⨯，故气体常数为)/(0.287K kg J ⋅。
附表2列有一些气体的相对分子质量M r 和临界参数T cr 、p cr 。
不同物理量时理想气体状态方程可归纳如下：§3－3 理想气体的比热容1、比热容的定义。
（1）定义：单位质量的物体温度升高1K （或1o C ）所需的热量，称为质量热容，简称比热容，即： dT qc δ=J/（kg .K ）比热的概念最初在量热学中提出来，是表征工质热物性的一个量热系数，可用它来计算热量。
根据所采用的物质的量的单位不同，又有摩尔热容Cm （1mol 物质的热容称摩尔热容，单位J/（mol .K ））；容积（体积）热容c ’，单位J/（m 3.K ）（以标准状态下1m 3作为物质量的单位）。
在大多数热力设备中，工质往往是在接近压力不变或体积不变的条件下吸热或放热的，因此定压过程和定容过程的比热容最常用，它们分别称为比定压热容（也称质量定压热容）和比定容热容（也称质量定容热容），用c p 和c v 表示。
引用热力学第一定律解析式，对于可逆过程有：pdv du q +=δ ， vdp dh q -=δ定容过程（dv =0）： v v v v Tu dT pdv du dT qc )()()(∂∂=+==δ 定压过程（dp =0）： p p p p T h dT vdp dh dT qc )()()(∂∂=-==δ 因：c p 、c v 直接由定义导出，故适用一切工质，不限于理想气体。
对于理想气体：)(,)(T f h T f u h u ==，因而dT du T u v =∂∂)( ， dTdh T h p =∂∂)( ∴理想气体的比热容：2、定压热容和定容热容的关系：理想气体的焓值 R g T u h +=对T 求导： Rg dTdu dT dh +=即： （3-5）又因为：Rg 是常数，Rg >0 ，∴v p c c >同理，对于摩尔热容有：将上式两边乘以摩尔质量得（3-6）（3-5）及（3-6）式称为迈耶公式。
比值v p c c 称为比热容比，或质量热容比，以γ表示，m v m p v p C C c c ,,==γ∴1-γγ （3-7） 3、利用比热容计算热量比定压热容和比定容热容是状态参数，与过程无关。
对于简单可压缩系，它们应是温度、压力的函数，但对理想气体，它们仅是温度的单值函数，即c=f （t ），利用比热容计算热量、热力学能、焓和熵时，对比热容的处理有如下几种方法：（1）真实比热容将实验测得的不同气体的比热容随温度的变化关系表达位多项式形式，称之为真实比热容，即：++++=332210T a T a T a a c 或 ++++=332210t b t b t b b c附表4（P396）列出了一些气体的无量纲真实摩尔定压热容R C m p ,与温度的四次方经验关系式：代入迈耶公式： 432,)1(T T T T R C mv εδγβα++++-= 1mol 气体由T 1升高T 2经历定压或定容过程，吸热量可按积分得到)](5)(4)(3)(2))(1[(515241423132212212,,21T T T T T T T T T T R dT C Q T T m p m v -+-+-+-+--=⋅=⎰εδγβα（2）平均比热容平均比热容表示t 1到t 2间隔内比热容的积分平均值，如图中的21tt c 所示，即：起点相同20t c 和10tc 可从本书附表5（P397）。