直线中的对称问题—4类对称题型
直线中的四类典型对称问题
解 ｌ ｉ： 法： ２ 由３
解 ： 点 Ｂ 的坐标 为 （ ｂ ， 设 ｏ， ） 则 段 Ａ 的 中点 为 （ Ｂ ， ） 。 ＝ ， 线
，直 与 的 得 线ｎ ｚ 交
点 Ｅ ３ 一２ ， Ｅ 一３ ２也 在 直 线 ｂ上 ． （ ， ）且 （ ，） 设直线 ｂ的斜率 为 ， 由轴对 称性质 ， 知直线 ｚ 到直线 ａ的角等于直线 ６到直线 ｚ 的角 ， 由到角公 则 式， 得
１（ ６ 即为 已知 直 线 ， 去 ） ｃ 一３ ． 舍 或 ＝ ８ 故 所 求 对称 直 线 方 程 为 ２ ＋ｌ’ ８＝ ． １， 一３ ０ 点 评 ： 法 １ 转 化 为 点 关 于 点 的对 称 问 题 ， 解 是 利 用 中点坐标公式 求 出对 称点 坐标 ， 再利 用两 点式写 出直线方程 ； 而解法 ２是利用 所求 的对 称直线 与 已 知直线平行 ， 由点 （ 称 中心 ） 再 对 到此两 直线距 离相 等求 出 ｃ 使问题解决 ． ， 四、 线关于直线对称 直 直 线 关 于直 线 的 对 称 问 题 ， 两 种 情 形 ： 此 两 有 ① 直 线 平 行 ， 此 两 直 线 相 交 ． 于 平 行 情 形 比较 简 ② 由 单， 下面介绍第二种情形 ， 其解法通常是“ 求交点 ， 用 到 角 ” 或 是 转 化 为点 关 于 直 线 的 对 称 问 题 ． ， 例 ４ 求直线 ａ ２ Ｙ ：ｘ 一４＝ ０关于直线 ｆ３ ：ｘ＋ ４ 一１ ０对 称 的直 线 ｂ的方 程 ． ＝
Ｉ Ｕ
考试指导
直 线 中 的 四 类 典 型 对 称 问 题 ４ ９
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高中数学直线的对称问题终结版知识讲解题型专练总结
直线中的对称问题知识讲解题型一、点关于点成中心对称对称中心是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题． 设),(00y x P ，对称中心为),(b a A ，则P 关于A 的对称点为)2,2('00y b x a P --．题型二、点与点关于直线成轴对称问题对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”利用“垂直”（位置关系）“平分”（数量关系）这两个条件建立方程组，就可求出对顶点的坐标一般情形如下：设点),(00y x P 关于直线b kx y +=的对称点为)','('y x P ，则有0000'1'''22y y k x x y y x x k b -⎧⋅=-⎪-⎪⎨++⎪=⋅+⎪⎩，可求出'x 、'y ． 特殊地，点),(00y x P 关于直线a x =的对称点为),2('00y x a P -；点),(00y x P 关于直线b y =的对称点为)2,(00y b x P -．题型三、曲线关于点、曲线关于直线的中心或轴对称问题一般是转化为点的中心对称或轴对称结论如下：（1）曲线0),(=y x f 关于已知点),(b a A 的对称曲线的方程是0)2,2(=--y b x a f ．（2）曲线0),(=y x f 关于直线b kx y +=的对称曲线的求法：设曲线0),(=y x f 上任意一点为),(00y x P ，P 点关于直线b kx y +=的对称点为),('y x P ，则由（2）知，P与'P 的坐标满足0000'1'''22y y k x x y y x x k b -⎧⋅=-⎪-⎪⎨++⎪=⋅+⎪⎩，从中解出0x 、0y ，代入已知曲线0),(=y x f ，应有0),(=y x f 利用坐标代换法就可求出曲线0),(=y x f 关于直线b kx y +=的对称曲线方程．题型四、两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论：（1）点),(y x 关于x 轴的对称点为),(y x -．（2）点),(y x 关于y 轴的对称点为),(y x -．（3）点),(y x 关于原点的对称点为),(y x --．（4）点),(y x 关于直线x －y =0的对称点为),(x y ．（5）点),(y x 关于直线x +y =0的对称点为),(x y --．（6）点),(y x 关于直线x －y+c =0的对称点为),(c x c y +-．（7）点),(y x 关于直线x +y+c =0的对称点为),(x c y c ----．例1.求圆22412390x y x y ++-+=关于直线3450x y --=的对称圆方程．例2.求直线042:=-+y x a 关于直线0143:=-+y x l 对称的直线b 的方程．例3.自点)3,3(-A 发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在的直线与圆2244x y x y +-- 70+=相切，求光线l 所在的直线方程．例4.已知点)5,3(M ，在直线022:=+-y x l 和y 轴上各找一点P 和Q ，使MPQ △的周长最小．变式练习1.圆4)1()1(22=-+-y x 关于直线:220l x y --=对称的圆的方程 ．变式练习2.试求直线01:1=-+y x l 关于直线033:2=--y x l 对称的直线l 的方程．课后作业1．已知点)3,1(A 、)2,5(B ，在x 轴上找一点P ，使得PB PA +最小，则最小值为_________，P 点的坐标为_________．2．已知点),(b a M 与N 关于x 轴对称，点P 与点N 关于y 轴对称，点Q 与点P 关于直线0=+y x 对称，则点Q 的坐标为（ ）A ．),(b aB ．),(a bC ．),(b a --D ．),(a b --3．已知直线05:1=++my x l 和直线0:2=++p ny x l ，则1l 、2l 关于y 轴对称的充要条件是（ ）A ．n p m =5B ．5-=pC ．n m -=且5-=pD ．nm 11-=且5-=p 4．点)5,4(A 关于直线l 的对称点为)7,2(-B ，则l 的方程为____________．5．设直线054=-+y x 的倾斜角为θ，则它关于直线03=-y 对称的直线的倾斜角是___________．6．已知圆C 与圆1)1(22=+-y x 关于直线x y -=对称，则圆C 的方程为（ ）A ．1)1(22=++y xB ．122=+y xC ．1)1(22=++y xD ．1)1(22=-+y x 7．与直线012=-+y x 关于点)11(-，对称的直线方程为（ ） A ．052=--y xB ．032=-+y xC ．032=++y xD ．012=--y x 8.一条光线从点（-2，-3）射出，经y 轴反射后与圆（x+3）2+(y-2)2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为_______-9．两直线x y 33=和1=x 关于直线l 对称，直线l 的方程是___________．10．直线042=--y x 上有一点P ，它与两定点)1,4(-A 、)4,3(B 的距离之差最大，则P 点的坐标是________．11．直线x y 2=是△ABC 中C ∠的平分线所在的直线，若A 、B 坐标分别为)2,4(-A 、)1,3(B ，求点C 的坐标，并判断△ABC 的形状．12．已知△ABC 的一个顶点)4,1(--A ，B ∠、C ∠的平分线所在直线的方程分别为01:1=+y l ，01:2=++y x l ，求边BC 所在直线的方程13． 已知两点)3,2(A 、)1,4(B ，直线022:=-+y x l ，在直线l 上求一点P ．（1）使PB PA +最小；（2）使PB PA -最大．。
直线中的对称问题例题
直线中的对称问题题组训练一[例1]已知点A(5，8)，B(4，1)，试求A点关于B点的对称点C的坐标．[例2]已知点A的坐标为(一4，4)，直线L的方程为3x+y-2=O．求点A关于直线L的对称点A＇的坐标．[例3]求直线3x-y-4=O关于点P(2，-1)对称的直线L的方程．[例4]求直线2x+y－4=0关于直线l：3x+4y－1=0对称的直线的方程题组训练二[例5] 光线从点A（－3，4）发出，经过x轴反射，再经过y轴反射，光线经过点B（－2，6），求射入y轴后的反射线的方程[例6] 已知两点A （2，3）、B （4，1），直线l ：x +2y －2=0，在直线l 上求一点P .（1）使|PA |+|PB |最小；（2）使|PA |－|PB |最大.[例7] 直线y =2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若A 、B 坐标分别为A （－4，2）、B （3，1），求点C 的坐标。
练习：1、已知点M （a ，b ）与N 关于x 轴对称，点P 与点N 关于y 轴对称，点Q 与点P 关于直线x +y =0对称，则点Q 的坐标为A.（a ，b ）B.（b ，a ）C.（－a ，－b ） D .（－b ，－a ）2、已知直线l 1：x +my +5=0和直线l 2：x +ny +p =0，则l 1、l 2关于y 轴对称的充要条件是 A.m 5=n p B.p =－5 C.m =－n 且p =－5 D .m1=－n 1且p =－5 3、直线y=3x ─4关于点P(2,─1)对称的直线L 的方程是4、点A （4，5）关于直线l 的对称点为B （－2，7），则l 的方程为5、与直线x +2y －1=0关于点（1，－1）对称的直线方程为6、直线2x －y －4=0上有一点P ，它与两定点A （4，－1）、B （3，4）的距离之差最大，则P 点的坐标是7、光线通过A(-2，4)，经直线2x-y-7=O 反射,若反射线通过点B(5，8),求入射线和反射线所在直线的方程．8、已知点M（3，5），在直线l：x－2y+2=0和y轴上各找一点P和Q，使△MPQ的周长最小9、已知△ABC的一条内角平分线CD所在直线方程是2x+y-1=O，两个顶点是A(1，2)，B(-1，-1)，求顶点C的坐标10、（1）已知点A(2，0)，B(-2，-2)在直线L: x+y-3=O上求一点P使得│PA│+│PB│最小，并求出最小值。
直线里的对称问题
1、点关于点对称
例1、已知点A（3，）关于点 2 B（-1，）对称的点 3 C的坐标： 练习：已知平行四边形ABCD， A（- 2，）， 2 B（3，）， 4 C（-4，） 6 则D点坐标为：
直线关于点对称的直线
例1直线x-y-2=0关于点（ 1，-4）对称直线方程： 练习： 已知直线l1关于点（ 1， 1）对称的直线为2x y 2 0, 求直线线 2 x -y+2=0对称的点 B的坐标？ 练习： 1、点（3，）关于直线 9 x+3y-10=0的 对称点的坐标？ 2、已知直线l1 : x 2y 2 0交Y轴与点B ，光线自点A（-1，）射到点 4 B后经直线l1 反射，求入射光线与反射光线所在直线方程。
直线关于直线对称的直线方程
一、关于特殊直线对称 例1 和直线3x -4y+5=0关于x轴对称的直线方程： 关于y轴对称的直线方程为：
二、关于一般直线对称 1、直线关于与其平行直线对称直线方程 例2 求直线2x +y-2=0关于直线4x+2y-1=0 对称 的直线方程。
2、直线关于与其相交直线对称直线方程 例3 求直线2x+y-2=0关于直线2x -y+4=0对 称的直线方程。
总结
• • • • • • • 点关于点对称求法： 线关于点对称求法： 点关于线对称求法： 线关于线对称求法： （1）线关于特殊线对称： （2）线关于平行线对称： （3）线关于相交线对称：
直线的对称问题
=-1
y
··A′ (x，y)
A·
(2，6)
3 -4+x ·2
+
42+y-2=0
解题要点： k • kAA’ = -1
O
x
AA’中点在l 上（l为对称轴）
点关于直线的对称问题
M (a,b)关于直线l : Ax By C 0(B 0)
的对称点N (x0 , y0 )的求法：
A x0 2
B(45， 85)
l2
l1 y
A
o.
B
.E
x
故直线l2的方程为：y2((285) )
x3
3
4 5
即 2x 11y 16 0 .
求L1关于 L2的对称直线L的方程的方法
解题要点：(先判断两直线位置关系)
（1）若两直线相交，先求交点P, 再在 L1上取一点Q求其对称点得另一点Q’ 两点式求L方程
P
垂直
l
中点 O
Q
说明两点P和Q关于直线l对称的几何特征
直线l是线段PQ的垂直平分线，即 1.线段PQ的中点在直线l上， 2.线段PQ和直线l垂直
y
P
Q
O
x
例题.已知点A的坐标为(-4,4)，直线l 的方程为3x+y2=0,求点A关于直线l 的对称点A’的坐标。
解：设 A（′ x,y)
-3·
y-4 x-(-4)
5.直线关于直线y= -x的对称直线的 方程为 A( y) B(x) C 0
练习：求直线3x-2y+6=0关于直线x-2y+1=0的对
称的直线方程。
分析：在直线3x-2y+6=0上取一点 A（0,3），求它关于直线x2y+1=0的对称点为B（2，-1）。
直线中对称问题的解法
＿ ￡例 ｌ 求 点 Ａ（ 一 ３ 关 于 点 Ｂ（ ４， ） ＿ ２， ） 一 ５ 的对 称
点 的 坐 标
直 线 与 二 次 曲线 围 成 的 区 域 面 积 等 问 题 的 考 查 ， 其 尤
是 一 些 看 似 与 规 划 问 题 无 关 的 隐 蔽 性 问 题 。 值 得 我 更 ｆ 门关 注 ．
磊 ２ 求 点 Ａ（ ， ） 于直 线 ｚ３ ｝例 ４５关 ：ｚ—ｙ ３ ０ ＋ —
的对 称点 Ｂ 的坐标 ．
解 法 １ 设 Ｂ （ ， ）， 过 Ａ 、 ６ 则 Ｂ ２点 的 直 线 斜 率
为一 ． 专
所 以过 Ａ、 Ｂ ２点 的 直 线 方 程 为
一
５ ＝～ ÷ （ ４ 即 ３＋ ３ 一 １ ＝ ０ ＝ ＝ ｚ一 ）， ２ ｙ ９ ＝ ． ＝
” ” … ” … “ … ’ … ”… ”” ” “’ ” ”““。 “ “” “。 “ “” … ‘ “ Ｉ ” ” ”
解 设 Ａ （ 一 ３ 关 于 Ｂ （ ４， ） 对 称 点 的 坐 ２， ） 一 ５ 的 标 为 Ｃ （ ｙ） ｚ， ，由 中 点 坐 标 公 式 一 ４一
故 点 Ａ（ ５ 关 于 直 线 ｚ３ ４， ） ： ｚ一 十 ３ ０ 的 对 称 点 — 舞 善 解 点 关 于 直 线 的 对 称 问 题 时 ， 利 用 以 下 常
｛・ ｝鲁 １ （Ｏ，解 ． 二￣… 《 尝 一－ 三 一 。 ＿ｙ ３ｏ 。 。＿ 二 ） 一 一 ４
—
， ５一
链 接 练 习
得 ｚ一 一 １ 一 １ ０，
所 以 ， Ａ 关 于 点 Ｂ 的 对 称 点 的 坐 标 为 （ １ ，３ ． 点 ～ ０ １）
舞 占
直线中的对称问题方法总结及典型例题
直线中的对称问题—4类对称题型直线的对称问题是我们学习平面解析几何过程中的不可忽视的问题，我们可以把它主要归纳为，点关于点对称，点关于线对称，线关于点对称，线关于线对称问题，下面我们来一一探讨：一、点关于点对称问题解决点点对称问题的关键是利用中点坐标公式，同时也是其它对称问题的基础.例1.求点（1）()3,1A 关于点()2,3P 的对称点'A 的坐标,（2）()2,4A ，()'0,2A 关于点P 对称，求点P 坐标.解：由题意知点P 是线段'AA 的中点,所以易求（1）()'1,5A（2）()1,3P .因此，平面内点关于对称点坐标为平面内点，关于点对称二、点关于线对称问题 求定点关于定直线的对称问题时，根据轴对称定义利用①两直线斜率互为负倒数,②中点坐标公式来求得.例2．已知点直线：，求点关于直线的对称点的坐标 解:法（一）解：设，则中点坐标为且满足直线的方程 ①又与垂直，且斜率都存在即有 ②由①②解得 ，法（二）求点点关于线对称问题，其实我们可以转化为求点关于点对称的问题，可先求出的直线方程进而求与的交点坐标，再利用中点坐标公式建立方程求坐标.三、线关于点对称问题求直线关于某一点的对称直线的问题，一般转化为直线上的点关于点的对称问题.例3．求直线：关于点的对称直线的方程.解:法（一）直线：与两坐标轴交点为，点关于对称点点关于对称点过的直线方程为故所求直线方程为.法（二）由两直线关于点对称，易知两直线平行，则对称点到两直线的距离相等，可以建立等式，求出直线方程.四、线关于线的对称问题求直线关于直线的对称问题，一般转化为点关于直线对称问题：即在已知直线上任取两不同点，求出这两点关于直线的对称点再求出直线方程.例4．求已知直线：关于直线对称的直线方程.解：在：上任取一点直线的斜率为3过点且与直线垂直的直线斜率为，方程为得所以点为直线与的交点，利用中点坐标公式求出关于的对称点坐标为又直线与的交点也在所求直线上由得所以交点坐标为.过和的直线方程为，故所求直线方程.。
直线中的四类对称问题及讲解
直线中的几类对称问题对称问题，是解析几何中比较典型，高考中常考的热点问题. 对于直线中的对称问题，我们可以分为：点关于点的对称；点关于直线的对称；直线关于点的对称，直线关于直线的对称.一、点关于点的对称问题点关于点的对称问题，是对称问题中最基础最重要的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解. 熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是处理这类问题的关键.例1 求点A （2，4）关于点B （3，5）对称的点C 的坐标.分析 易知B 是线段AC 的中点，由此我们可以由中点坐标公式，构造方程求解.解 由题意知，B 是线段AC 的中点，设点C （x ，y ），由中点坐标公式有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=245223x x ，解得⎩⎨⎧==64y x ，故C （4，6）. 点评 解决点关于点的对称问题，我们借助中点坐标公式进行求解. 另外此题可以利用中点的性质AB=BC ，以及A ，B ，C 三点共线的性质去列方程来求解.二、点关于直线的对称问题点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上.例2 求点A （1，3）关于直线l ：x+2y-3=0的对称点A ′的坐标.分析 因为A ，A ′关于直线对称，所以直线l 是线段AA ′的垂直平分线. 这就找到了解题的突破口.解 据分析，直线l 与直线AA ′垂直，并且平分线段AA ′，设A ′的坐标为（x ，y ），则AA ′的中点B 的坐标为.13,23,21•x y •k •y ••x A A --=⎪⎭⎫ ⎝⎛++' 由题意可知，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∙--=-+⨯++121130323221x y y x ， 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=5153y x . 故所求点A ′的坐标为.51,53•••⎪⎭⎫ ⎝⎛--三、直线关于某点对称的问题直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的. 我们往往利用平行直线系去求解.例3 求直线2x+11y+16=0关于点P （0，1）对称的直线方程.分析 本题可以利用两直线平行，以及点P 到两直线的距离相等求解，也可以先在已知直线上取一点，再求该点关于点P 的对称点，代入对称直线方程待定相关常数.解法一 由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为2x+11y+c=0. 由点到直线距离公式，得2222112|11|112|1611|++=++c ，即|11+c|=27，得c=16（即为已知直线，舍去）或c= -38. 故所求对称直线方程为2x+11y-38=0.解法二 在直线2x+11y+16=0上取两点A （-8，0），则点A （-8，0）关于P （0，1）的对称点的B （8，2）. 由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为2x+11y+c=0.将B （8，2）代入，解得c=-38.故所求对称直线方程为2x+11y-38=0.点评 解法一利用所求的对称直线与已知直线平行，再由点（对称中心）到此两直线距离相等，而求出c ，使问题解决；解法二是转化为点关于点对称问题，利用中点坐标公式，求出对称点坐标，再利用直线系方程，写出直线方程.四、直线关于直线的对称问题直线关于直线对称问题，包含有两种情形：①两直线平行，②两直线相交. 对于①，我们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于②，其一般解法为先求交点，再用“到角”，或是转化为点关于直线对称问题.例4 求直线l 1：x-y-1=0关于直线l 2：x-y+1=0对称的直线l 的方程.分析 转化为点关于直线的对称问题，再利用平行直线系去求解，或者利用距离相等寻求解答.解 设直线l 的方程为x-y+c=0，在直线l 1：x-y-1=0上取点M （1，0），则易求得M 关于直线l 2：x-y+1=0的对称点N （-1，2），将N 的坐标代入方程x-y+c=0，解得c=3，故所求直线l 的方程为x-y+3=0.点评 此题也可以先利用平行直线系方程写出直线l 的形式，然后再在直线l 2上任取一点，在根据该点到互相对称的两直线的距离相等去待定相关常数.例5 试求直线l 1：x-y-2=0关于直线l 2：3x-y+3=0对称的直线l 的方程.直线l 的方程为7x+y+22=0.方法提示：本题可以先求l 1，l 2的交点A ，再在直线l 1上取异于点A 的任意点B ，再求点B 关于点A 的对称点B ′，最后由A ，B ′两点写出直线l 的方程.。
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直线中的对称问题—4类对称题型
直线的对称问题是我们学习平面解析几何过程中的不可忽视的问题，我们可以把它主要归纳为，点关于点对称，点关于线对称，线关于点对称，线关于线对称问题，下面我们来一一探讨：
一、点关于点对称问题
解决点点对称问题的关键是利用中点坐标公式，同时也是其它对称问题的基础.
例1.求点（1）关于点的对称点的坐标,
（2），关于点对称，求点坐标.
解：由题意知点是线段的中点,
所以易求（1）
（2）.
因此，平面内点关于对称点坐标为
平面内点，关于点对称
二、点关于线对称问题
求定点关于定直线的对称问题时，根据轴对称定义利用①两直线斜率互为负倒数,②中点坐标公式来求得. 例2．已知点直线：，求点关于直线的对称点的坐标
解:法（一）解：设，则中点坐标为且满足直线的方程
①
又与垂直，且斜率都存在即有②
由①②解得，
法（二）求点点关于线对称问题，其实我们可以转化为求点关于点对称的问题，可先求出的直线方程进而求与的交点坐标，再利用中点坐标公式建立方程求坐标.
三、线关于点对称问题
求直线关于某一点的对称直线的问题，一般转化为直线上的点关于点的对称问题.
例3．求直线：关于点的对称直线的方程.
解:法（一）直线：与两坐标轴交点为，
点关于对称点
点关于对称点
过的直线方程为，故所求直线方程为.
法（二）由两直线关于点对称，易知两直线平行，则对称点到两直线的距离相等，可以建立等式，求出直线方程.
四、线关于线的对称问题
求直线关于直线的对称问题，一般转化为点关于直线对称问题：即在已知直线上任取两不同点，求出这两点关于直线的对称点再求出直线方程.
例4．求已知直线：关于直线对称的直线方程.
解：在：上任取一点
直线的斜率为3
过点且与直线垂直的直线斜率为，方程为
得
所以点为直线与的交点，利用中点坐标公式求出关于的对称点坐标为
又直线与的交点也在所求直线上
由得所以交点坐标为.
过和的直线方程为，故所求直线方程.。