直线中的对称问题—4类对称题型

直线中的对称问题—4类对称题型

直线的对称问题是我们学习平面解析几何过程中的不可忽视的问题，我们可以把它主要归纳为，点关于点对称，点关于线对称，线关于点对称，线关于线对称问题，下面我们来一一探讨：

一、点关于点对称问题

解决点点对称问题的关键是利用中点坐标公式，同时也是其它对称问题的基础.

例1.求点（1）关于点的对称点的坐标,

（2），关于点对称，求点坐标.

解：由题意知点是线段的中点,

所以易求（1）

（2）.

因此，平面内点关于对称点坐标为

平面内点，关于点对称

二、点关于线对称问题

求定点关于定直线的对称问题时，根据轴对称定义利用①两直线斜率互为负倒数,②中点坐标公式来求得. 例2．已知点直线：，求点关于直线的对称点的坐标

解:法（一）解：设，则中点坐标为且满足直线的方程

①

又与垂直，且斜率都存在即有②

由①②解得，

法（二）求点点关于线对称问题，其实我们可以转化为求点关于点对称的问题，可先求出的直线方程进而求与的交点坐标，再利用中点坐标公式建立方程求坐标.

三、线关于点对称问题

求直线关于某一点的对称直线的问题，一般转化为直线上的点关于点的对称问题.

例3．求直线：关于点的对称直线的方程.

解:法（一）直线：与两坐标轴交点为，

点关于对称点

点关于对称点

过的直线方程为，故所求直线方程为.

法（二）由两直线关于点对称，易知两直线平行，则对称点到两直线的距离相等，可以建立等式，求出直线方程.

四、线关于线的对称问题

求直线关于直线的对称问题，一般转化为点关于直线对称问题：即在已知直线上任取两不同点，求出这两点关于直线的对称点再求出直线方程.

例4．求已知直线：关于直线对称的直线方程.

解：在：上任取一点

直线的斜率为3

过点且与直线垂直的直线斜率为，方程为

得

所以点为直线与的交点，利用中点坐标公式求出关于的对称点坐标为

又直线与的交点也在所求直线上

由得所以交点坐标为.

过和的直线方程为，故所求直线方程.