数值分析实验三

贵州师范大学数学与计算机科学学院学生实验报告

课程名称： 数值分析 班级： 12级信本 实验日期： 2014年 11月5日 学 号： 120703010031 姓名： 李盼 指导教师： 实验成绩：

一、实验名称

实验三:数值积分

二、实验目的及要求

1. 让学生掌握复化梯形法, 复化Simpson 法和Romberg 公式以及变步长梯形法,变步长Simpson 法

2. 让学生能够用这些方法解决一些具体问题

三、实验环境

每人一台计算机，要求安装Windows XP 操作系统，Microsoft office2003、MATLAB6.5(或7.0).

四、实验内容

1

.

要求:分别用复合梯形法,复合Simpson 法和 Romberg 公式计算.

2．给定积分dx x ⎰3

11, 分别用下列方法计算积分值要求准确到510-, 并比较分析计算时间. 1) 变步长梯形法;

2) 变步长 Simpson 法.

五、算法描述及实验步骤

1复合梯形法

输入：被积函数数据点t,a ；

输出：积分值n T 。

复合Simpson

输入：被积函数)(x f ，积分区间[a,b]和n,

输出：复合Simpson 积分值n S 。

步1 :b a h n

-⇐; (a)(b)n S f f ⇐-;x a ⇐. 步2：对k=1,2,…,n 执行

;4();;2().22

n n n n h h x x S S f x x x S S f x ⇐+⇐-⇐+⇐-

步3：*6

n n h S S ⇐。 步4：输出n S 。

Romberg 公式

根据已知数据对其进行多项式拟合得出p(x);()()f x p x ⇐。

输入 ：被积函数)(x f ，积分区间端点a,b,允许误差ε，

输出：Romberg 积分值2n R 。

步1：a b h -⇐;));()((2

1b f a f h T +⇐.0;0;0;0111⇐===k R C S 步2：反复执行步3-步9

步3：.2

;0h a x S +⇐⇐ 步4：反复执行步5-步6

步5：.);(h x x x f S S +⇐+⇐

步6：若b x ≥,则退出本层循环。

步7：执行 ;3134;2212212T T S S h T T -⇐+⇐.63

16364;1511516122122C C R S S C -⇐-⇐ 步8：执行

.1;

;;

;;2|;|2121212112+⇐⇐⇐⇐⇐⇐

-⇐k k R R C C S S T T h h R R e

步9：若ε≤e 且5≥k ，则退出循环。

步10：.22R R n ⇐

2：变步长梯形法

功能 求积分dx x ⎰3

1

1，允许误差为ε。 输入 被积函数)(x f ，a,b,ε.

步1：a b h -⇐。

步2：)).()((2

1b f a f h T +⇐ 步3：反复执行步4--步10.

步4：.2;0h a x S +=⇐

步5：反复执行步6--步7

步6：.);(h x x x f S S +⇐+⇐

步7：若b x ≥，则退出本层循环。

步8：.2

212S h T T ⨯+⇐ 步9：.;2

|;|2121T T h h T T e ⇐⇐-⇐ 步10：若ε≤e ，则退出循环。

步11：22T T n =.

步12：输出n T 2。

变步长 Simpson 法.

输入：被积函数)(x f ，积分区间[a,b]和n,

输出：复合Simpson 积分值n S 。

步1 :b a h n

-⇐; (a)(b)n S f f ⇐-;x a ⇐. 步2：对k=1,2,…,n 执行 ;4();;2().22

n n n n h h x x S S f x x x S S f x ⇐+⇐-⇐+⇐- 步3：*6

n n h S S ⇐。 步4：输出n S 。

六、调试过程及实验结果

复合梯形法：

>> a=[30.00 31.63 33.44 35.47 37.75 40.33 42.39 46.69 50.67]; >> h=10;

>> v0=0;

>> v50=v0+(h/2)*(a(1)+2*(a(2)+a(3)+a(4)+a(5))+a(6))

v50 =

1.7345e+003

>> v80=v0+(h/2)*(a(1)+2*(a(2)+a(3)+a(4)+a(5)+a(6)+a(7)+a(8))+a(9))

v80 =

3.0803e+003

复合Simpson 法：

>> a=[30.00 31.63 33.44 35.47 37.75 40.33 42.39 46.69 50.67];

>> h=20;

>> v0=0;

>> v80=v0+(h/6)*(a(1)+4*(a(2)+a(4)+a(6)+a(8))+2*(a(3)+a(5)+a(7))+a(9))

v80 =

3.0810e+003

>> x=[0 10 20 30 40 50];

>> y=[30.00 31.63 33.44 35.47 37.75 40.33];

>> p=polyfit(x,y,2);

>> poly2sym(p);

>> x=[5 15 25 35 45];

>> q=polyval(p,x);

>> a=[30.00 q(1) 31.63 q(2) 33.44 q(3) 35.47 q(4) 37.75 q(5) 40.33]; >> h=10;

>>

v50=v0+(h/6)*(a(1)+4*(a(2)+a(4)+a(6)+a(8)+a(10))+2*(a(3)+a(5)+a(7)+a(9 ))+a(11))

v50 =

1.7336e+003

Romberg公式

function R2n=Romberg(f,a,b,tol)

h=b-a;

T1=(h/2)*(feval(f,a)+feval(f,b));

S1=0;

C1=0;

R1=0;