四川省成都七中2020届高三数学上学期入学考试试题理(含解析)
四川省成都七中2020届高三数学上学期入学考试试题理（含解析）一、选择题（本大题共12小题）1.已知集合，，则A. B.C. D.2.已知，i为虚数单位，若为实数，则a的值为A. 1B. 2C. 3D. 43.孙子算经是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子，数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子．”根据上述问题的己知条件，分得橘子最多的人所得的橘子个数为A. 15B. 16C. 18D. 214.函数的大致图象为A. B.C. D.5.的展开式中，的系数是A. 40B. 60C. 80D. 1006.按照如图的程序框图执行，若输出结果为15，则M处条件为A. B. C. D.7.已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则A. 10B. 9C. 8D. 58.曲线与直线围成的平面图形的面积为A. B. C. D.9.已知函数，若直线l过点，且与曲线相切，则直线l的斜率为A. B. 2 C. D. e10.已知将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象若是偶函数，则A. B. C. D. 111.如图为我国数学家赵爽约3世纪初在为周髀算经作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则A，C区域涂色不相同的概率为A. B. C. D.12.如图，将边长为1的正方形ABCD沿x轴正向滚动，先以A为中心顺时针旋转，当B落在x轴时，又以B为中心顺时针旋转，如此下去，设顶点C滚动时的曲线方程为，则下列说法不正确的是A. 恒成立B.C. D.二、填空题（本大题共4小题）13.已知等差数列，且，则数列的前7项和______14.若x，y满足约束条件，则的最小值为______．15.已知向量与的夹角为，且，，若，且，则实数的值为______．216.若过抛物线上一点，作两条直线PA，PB使它们的斜率之积为定值4，则直线AB恒过点______．三、解答题（本大题共6小题）17.已知等差数列的前n项和为，且，又．求数列的通项公式；若数列满足，求证：数列的前n项和．18.如图1，在正方形ABCD中，E是AB的中点，点F在线段BC上，且若将，分别沿ED，FD折起，使A，C两点重合于点M，如图2．求证：平面MED；求直线EM与平面MFD所成角的正弦值．19.2016年某市政府出台了“2020年创建全国文明城市简称创文”的具体规划，今日，作为“创文”项目之一的“市区公交站点的重新布局及建设”基本完成，市有关部门准备对项目进行调查，并根据调查结果决定是否验收，调查人员分别在市区的各公交站点随机抽取若干市民对该项目进行评分，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图，相关规则为：调查对象为本市市民，被调查者各自独立评分；采用百分制评分，内认定为满意，80分及以上认定为非常满意；市民对公交站点布局的满意率不低于即可进行验收；用样本的频率代替概率．求被调查者满意或非常满意该项目的频率；若从该市的全体市民中随机抽取3人，试估计恰有2人非常满意该项目的概率；已知在评分低于60分的被调查者中，老年人占，现从评分低于60分的被调查者中按年龄分层抽取9人以便了解不满意的原因，并从中选取2人担任群众督察员，记为群众督查员中老年人的人数，求随机变量的分布列及其数学期望．20.已知椭圆的焦点坐标分別为，，P为椭圆C上一点，满足且求椭圆C的标准方程：设直线l：与椭圆C交于A，B两点，点，若，求k的取值范围．21.已知函数，．求证：对恒成立；若，若，，求证：22.在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为参数，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．求圆C的极坐标方程；直线l的极坐标方程是，射线与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求的范围．4答案和解析1.【答案】B【解析】解：因为集合，，解得，所以，，，故选：B．由集合，，解得，所以本题考查了集合的包含关系和集合的运算，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：为实数，，即．故选：A．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚部为0求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】C【解析】解：设第一个人分到的橘子个数为，由题意得：，解得．则．得到橘子最多的人所得的橘子个数是18．故选：C．设第一个人分到的橘子个数为，由等差数列前n项和公式能求出得到橘子最少的人所得的橘子个数，再由等差数列的通项公式即可求出答案．本题考查等差数列的应用，考查等差数列前n项和公式、通项公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4.【答案】A【解析】解：，，为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，D，在上增函数，，在是增函数，，所以在是增函数，排除C．或者当时，，故排除C，故选：A．判断函数的奇偶性，利用函数的单调性和函数值的变化趋势判断即可．本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数的单调性的判断与应用，考查计算能力．5.【答案】C【解析】解：二项展开式的通项为．令，得．因此，二项展开式中的系数为．故选：C．先写出二项展开式的通项，然后令x的指数为4，解出相应参数的值，代入通项即可得出答案．本题考查二项式定理求指定项的系数，考查二项式定理的应用，属于中等题．6.【答案】A【解析】【分析】本题考查算法框图，算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：分支的条件循环的条件变量的赋值变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加k值到S并输出S．【解答】解：程序运行过程中，各变量的值如下表示：S k是否继续循环循环前 0 1第一圈 1 2 否第二圈 3 4 否第三圈7 8 否第四圈15 16 是故退出循环的条件应为，故选A．7.【答案】D【解析】解：，即，A为锐角，，又，，根据余弦定理得：，即，解得：或舍去，则．故选：D．利用二倍角的余弦函数公式化简已知的等式，求出cos A的值，再由a与c的值，利用余弦定理即可求出b的值．此题考查了余弦定理，二倍角的余弦函数公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．8.【答案】D【解析】【分析】本题考查了定积分，找到积分区间和被积函数是解决此类问题的关键．本题属于基础题．联立，解得两曲线的交点为，，所以两曲线围成的面积为在上的积分．【解答】解：如图：联立，解得，两曲线的交点坐标为，，所以两曲线围成的图形的面积为．故选：D．9.【答案】B6【解析】解：函数的导数为，设切点为，可得切线的斜率为，则，解得，，故选：B．求得的导数，设出切点，可得切线的斜率，结合两点的斜率公式，解方程可得m，即可得到所求斜率．本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查直线的斜率公式，以及方程思想和运算能力，属于基础题．10.【答案】A【解析】【分析】先由题意写出，根据是偶函数求出，即可得出结果．本题主要考查三角函数的图象变换与三角函数的性质，熟记性质即可，属于常考题型．【解答】解：由题意可得：，因为是偶函数，所以，，即，，又，所以，解得，所以，故；所以．故选：A．11.【答案】D【解析】【分析】本题考查概率的求法，考查分步计数原理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，利用分步计数原理求出不同的涂色方案有420种，其中，A、C区域涂色不相同的情况有240种，由此能求出A、C区域涂色不相同的概率．【解答】解：提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，根据题意，如图，设5个区域依次为A、B、C、D、E，分4步进行分析：，对于区域A，有5种颜色可选；，对于区域B，与A区域相邻，有4种颜色可选；，对于区域E，与A、B区域相邻，有3种颜色可选；，对于区域D、C，若D与B颜色相同，C区域有3种颜色可选，若D与B颜色不相同，D区域有2种颜色可选，C区域有2种颜色可选，则区域D、C有种选择，则不同的涂色方案有种，其中，A、C区域涂色不相同的情况有：若A、C不同色，则ABCE两两不同色，涂色方案有种，涂D时只需要和ACE不同即可，有2种，故有种，、C区域涂色不相同的概率为．故选：D．12.【答案】C【解析】解：正方形的边长为1，正方形的对角线，则由正方形的滚动轨迹得到时，C位于点，即，当时，C位于点，即，当时，C位于点，即，当时，C位于点，即，当时，C位于点，即，则，即具备周期性，周期为4，由右图可得恒成立；；当时，C的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，方程为；，综上可得A，B，D正确；C错误．故选：C．根据正方形的运动关系，分布求出当，1，2，3，4时对应的函数值，得到具备周期性，周期为4，结合图象，当时，C的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，即可判断所求结论．本题主要考查函数值的计算和函数的解析式和性质，结合正方形的运动轨迹，计算出对应函数值，得到周期性是解决本题的关键．13.【答案】56【解析】解：由等差数列的性质可得：．数列的前7项和．故答案为：56．由等差数列的性质可得：利用求和公式即可得出数列的前7项和．本题考查了等差数列的通项公式的性质及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14.【答案】【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：的几何意义是平面区域内的点到原点的距离，由图象得O到直线的距离最小，此时最小值，则的最小值是，故答案为：．作出不等式组对应的平面区域，根据点到直线的距离公式进行求解即可．本题主要考查线性规划的应用，利用点到直线的距离公式结合数形结合是解决本题的关键．15.【答案】【解析】解：向量与的夹角为，且，，，，且，，即，，解得，故答案为：根据向量数量积的公式，结合向量垂直的关系即可得到结论．本题主要考查平面向量的基本运算，利用向量垂直和数量积之间的关系是解决本题的关键．816.【答案】【解析】解：设PA的斜率为k，则PB的斜率为：，所以PA的方程为：联立抛物线方程：，可得：，可得，同理可得，所以AB的方程为：，可得：，所以直线AB恒过点：．故答案为：．设出直线PA的斜率，求出PB的斜率，然后求解A、B坐标．得到AB方程，即可推出结果．本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，直线系方程的应用，考查转化思想以及计算能力．17.【答案】解：设公差为d的等差数列的前n项和为，且，又．所以，解得．故．证明：由于，所以，所以．【解析】直接利用等差数列前n项和公式求出数列的公差，进一步求出数列的通项公式．利用等比数列的求和公式和放缩法的应用求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，等比数列的前n项和的应用，放缩法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．18.【答案】证明：设正方形ABCD的边长为4，由图1知，，，，，，，，，即，由题意知，在图2中，，，平面MEF，平面MEF，且，平面MEF，平面MEF，．又平面MED，平面MED，且，平面MED解：由知平面MED，则建立如图所示空间直角坐标系，过点M作，垂足为N，在中，，，从而0，，，，，，，．设平面MFD的一个法向量为，则，令，则，，．设直线EM与平面MFD所成角为，则，．直线EM与平面MFD所成角的正弦值为．【解析】设正方形ABCD的边长为4，由，可得，结合可得平面MED．建立空间直角坐标系，过点M作，垂足为N．求出平面MFD的一个法向量为，则，即可得直线EM与平面MFD所成角的正弦值．本题考查了空间线面垂直的判定，线面角的求解，属于中档题．19.【答案】本小题满分12分解：根据题意：分或以上被认定为满意或非常满意，在频率分布直方图中，评分在的频率为：；根据频率分布直方图，被调查者非常满意的频率是，用样本的频率代替概率，从该市的全体市民中随机抽取1人，该人非常满意该项目的概率为，现从中抽取3人恰有2人非常满意该项目的概率为：；评分低于分的被调查者中，老年人占，又从被调查者中按年龄分层抽取9人，这9人中，老年人有3人，非老年人6人，随机变量的所有可能取值为0，1，2，，，．的分布列为：【解析】根据频率分布直方图，求解在的频率即可．根据频率分布直方图，被调查者非常满意的频率是，然后求解抽取3人恰有2人非常满意该项目的概率．从被调查者中按年龄分层抽取9人，这9人中，老年人有3人，非老年人6人，随机变量的所有可能取值为0，1，2，求出概率得到分布列，然后求解期望即可．本题考查频率分布列，频率分布直方图，期望的求法，考查分层抽样的应用，是基础题．20.【答案】解：由题意设，则，又，，在中，由余弦定理得，，解得，，，所求椭圆方程为；联立方程，消去y得，则，，且设AB的中心为，则，，，，即，解得10把代入得，整理得，即，解得．【解析】由题意设，，根据余弦定理即可求出a的值，即可求出b的值，可得椭圆方程，根据根与系数的关系和直线的斜率，化简整理即可求出k的范围．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到及根与系数的关系、斜率等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．21.【答案】证明：由题意，可知．令，则，，当时，，在上单调递增．当时，，在上单调递增．当时，．故命题得证．由题意，，．，．令，解得；令，解得；令，解得．在上单调递减，在上单调递增，在处取得极小值．大致图象如下：根据图，可知，．，，根据对数平均不等式，有，．，．故得证．【解析】本题第题先对不等式左边进行化简整理，然后将整理后的表达式设为函数，对函数进行一阶导数和二阶导数的分析，得到在上单调递增，则当时，命题得证．第题先对整理后的进行一阶导数的分析，画出函数大致图象，可知，然后采用先取对数然后作差的方法比较大小，关键是构造对数平均数，利用对数平均不等式即可证明．本题主要考查函数的一阶导数和二阶导数对函数单调性分析的能力，数形结合法的应用，构造函数，构造对数平均数，利用对数平均不等式的技巧，本题属偏难题．22.【答案】解：圆C的参数方程为参数，消去参数，得圆C的普通方程是，又，，圆C的极坐标方程是．设，则有，，则有，，，．故的范围是．【解析】圆C的参数方程消去参数，能求出圆C的普通方程，再由，，能求出圆C的极坐标方程．设，则有，，则，，结合，能求出的范围．本题考查圆的极坐标方程的求法，考查两线段的乘积的取值范围的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．12。
【081115】成都七中20202020学年度高三年级考试doc高中数学
【081115】成都七中20202020学年度高三年级考试doc高中数学理科综合试卷2018.11.15 本试卷分第一卷和第二卷两部分。
第一卷第1至4页，第二卷5至12页。
共300分，考试时刻150分钟。
第一卷(选择题共126分)本卷须知：1．答第一卷前，考生务必将自己的姓名、学号、考试科目涂写在答题卡上。
考试终止，将答题卡交回。
2．每题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上。
可能用到的原子量：H-1，C-12，O-16，Na-23，K-23，S-32，Cu-64一、本大题共13题，每题6分，共78分。
在以下各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
1.以下关于玉米、蓝藻和变形虫细胞结构和生理功能的正确表达是：A. 都能进行细胞分裂，都有细胞周期B. 遗传物质差不多上DNA，细胞内都有转录和翻译过程C. 细胞内都有核糖体，但都不含中心体D. 三者的原生质层都有选择透过性，都能选择性的吸取和排出物质2.将一植物放在密闭的玻璃罩内置于室外进行培养，假定玻璃罩内植物的生理状态与自然环境中相同。
用CO2浓度测定仪测定该玻璃罩内一天中CO2浓度的变化情形，绘制成如右图的曲线。
由图获得的正确信息是：A. d点时CO2浓度最低，讲明现在植物光合作用最强B. a点时叶肉细胞中产生ATP的部位只有线粒体C. 植物进行光合作用开始于b点之前D. c点时植物的光合作用强度等于呼吸作用强度3. 以下图表示人体和人体细胞内某些信息传递机制的模式图，图示中箭头表示信息传递的方向。
以下有关表达中，正确的选项是：A．假如该图表示反射弧，那么其中的信息是以局部电流的形式传导的B．假如该图中的a为下丘脑、b为垂体、c为甲状腺，那么c分泌的甲状腺激素增加到一定程度后，对a分泌d、b分泌e具有抑制作用C．假如该图表示细胞中遗传信息传递过程，那么d过程只发生于细胞核中D．假如该图为细胞免疫过程，a为效应T细胞，b为靶细胞，c代表抗体4.以下关于基因工程的表达中正确的选项是：A.源于原核生物的目的基因不能导入真核细胞B.用质粒做运载体是由于所有生物都有质粒C.DNA连接酶的作用是催化碱基对之间的氢键形成D.只要露出的黏性末端相同，就能够用不同的限制酶分不切取质粒和目的基因5．右图为哺乳动物某组织示意图，其中①是毛细血管壁，②是成熟红细胞，③是血浆，④是细胞内液，⑤是组织液。
四川省成都市第七中学2020届高三数学上学期一诊模拟试题理含解析
四川省成都市第七中学2020届高三数学上学期一诊模拟试题 理（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.复数(,)z a bi a b R =+∈的虚部记作Im()z b =，则3Im 1i i +⎛⎫= ⎪+⎝⎭（ ） A. -1 B. 0C. 1D. 2【答案】A 【解析】 【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简31ii++，再根据题目中定义的复数的虚部，可得答案． 【详解】解：3(3)(1)4221(1)(1)2i i i ii i i i ++--===-++-， 又复数(,)z a bi a b R =+∈的虚部记作()Im z b =， 3()11iIm i+∴=-+． 故选：A ．【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算、虚部的定义，属于基础题． 2.执行如图所示的程序框图，输出的s 值为( )A.3B. 6-C. 10D. 15-【答案】C 【解析】【分析】程序框图的作用是计算22221234-+-+，故可得正确结果. 【详解】根据程序框图可知2222123410S=-+-+=，故选C. 【点睛】本题考查算法中的选择结构和循环结构，属于容易题. 3.关于函数()tan f x x=的性质，下列叙述不正确的是（）A. ()f x的最小正周期为2πB. ()f x是偶函数C. ()f x的图象关于直线()2k x k Zπ=∈对称D. ()f x在每一个区间(,)()2k k k Zπππ+∈内单调递增【答案】A 【解析】试题分析：因为1()tan()()22tan f x x f x xππ+=+=≠，所以A错；()tan()tan ()f x x x f x -=-==，所以函数()f x 是偶函数，B 正确；由()tan f x x =的图象可知，C 、D 均正确；故选A. 考点：正切函数的图象与性质.4.已知0,0a b >>，则“1a ≤且1b ≤”是“2a b +≤且1ab ≤”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】试题分析：当01a <≤且01b <≤时，由不等式性质可得2a b +≤且1ab ≤；当31,22a b ==，满足2a b +≤且1ab ≤，但不满足1a ≤且1b ≤，所以“1a ≤且1b ≤”是“2a b +≤且1ab ≤”的充分不必要条件，故选A.考点：1.不等式性质；2.充要条件.5.如果21nx ⎫-⎪⎭的展开式中含有常数项，则正整数n 的最小值是（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式中x 的指数为0,得到5n r =,由此可得正整数n 的最小值是5.【详解】因为21nx ⎫⎪⎭的展开式的通项公式为52121()(1)n rrn rr r rr nn T C C x x--+=-=-,(0,1,2,)r n =,令502n r-=,则5n r =,因为*n N ∈,所以1r =时,n 取最小值5. 故选:C【点睛】本题考查了二项展开式的通项公式,利用通项公式是解题关键,属于基础题.6.在约束条件：1210xyx y≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩下，目标函数(0,0)z ax by a b=+>>的最大值为1，则ab的最大值等于（）A. 12B.38C.14D.18【答案】D【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数取得最大值，确定a，b的关系，利用基本不等式求ab的最大值．【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分），由(0,0)z ax by a b=+>>，则a zy xb b=-+，平移直线a zy xb b=-+，由图象可知当直线a zy xb b=-+经过点(1,2)A时直线的截距最大，此时z最大为1．代入目标函数z ax by=+得21a b+=．则1222a b ab=+，则18ab当且仅当122a b==时取等号，ab∴的最大值等于18，故选：D．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合以及基本不等式是解决此类问题的基本方法．7.设{a n }是有正数组成的等比数列，n S 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝（ ） A.152B.314C.334D.172【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列的性质易得a 3＝1，进而由求和公式可得q 12=，再代入求和公式计算可得． 【详解】由题意可得a 2a 4＝a 32＝1，∴a 3＝1， 设{a n }的公比为q ，则q ＞0， ∴S 3211q q =++1＝7，解得q 12=或q 13=-（舍去）， ∴a 121q ==4，∴S 551413121412⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭==-故选B.【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，属基础题．8. 用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有（ ） A. 288个 B. 306个 C. 324个 D. 342个【答案】C 【解析】试题分析：当个位、十位、百位全为偶数时，有3313434390C A C A -=；当个位、十位、百位为两个奇数、一个偶数时，有21312133434333234C C A A C C A -=，所以共有90234324+=种,故选C.考点：1.分类计数原理与分步计数原理；2.排列与组合.【名师点睛】本题主要考查两个基本原理与排列、组合知识的综合应用问题，属难题；计数原理应用的关键问题是合理的分类与分步，分类要按时同一个的标准进行，要做到不重不漏，分类运算中的每一类根据实际情况，要分步进行.9.已知函数()f x 对x R ∀∈都有()(4)f x f x =-，且其导函数()f x '满足当2x ≠时,(2)()0x f x '->，则当24a <<时，有（ ） A. ()()22(2)log af f f a <<B. ()()2log (2)2af a f f <<C. ()()2log 2(2)af a f f <<D. ()()2(2)log 2af f a f <<【答案】D 【解析】 【分析】根据导函数()f x '满足当2x ≠时,(2)()0x f x '->,可得()f x 在(,2)-∞上递减,在(2,)+∞上递增,可得(2)f 为最小值,再根据对称轴和单调性可得2(log )(2)af a f <,从而可知选D【详解】因为函数()f x 对x R ∀∈都有()(4)f x f x =-, 所以()f x 的图象关于2x =对称,又当2x >时,'()0f x >,2x <时,'()0f x <, 所以()f x 在(,2)-∞上递减,在(2,)+∞上递增, 所以2x =时,函数取得最小值,因为24a <<,所以2221log 2log log 42a =<<=,2224a >=, 所以224log 3a <-<, 所以224log 2aa <-<,所以2(4log )(2)af a f -<, 所以2(log )(2)af a f <,所以()()2(2)log 2af f a f <<.故选:D【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调性,考查了利用单调性比较大小,考查了利用对数函数的单调性比较大小,属于中档题.10.对圆22(1)(1)1x y -+-=上任意一点(,)P x y ，|349||34|x y x y a --+-+的取值与x ，y 无关，则实数a 的取值范围是（ ）A. [6,)+∞B. [4,6]-C. (4,6)-D.(,4]-∞-【答案】A 【解析】 【分析】首先将|349||34|x y x y a --+-+的取值与x ，y 无关,转化为圆上的点到直线1;3490l x y --=的距离与到直线2:340l x y a -+=的距离之和与,x y 无关,继续转化为直线2:340l x y a -+=必与圆相离或相切,且圆在1;3490l x y --=与2:340l x y a -+=之间,再根据圆心到直线的距离小于等于半径且(349)(34)0a ---+≤,解不等式组可得答案. 【详解】因为|349||34|x y x y a --+-+的取值与x ，y 无关,所以+的取值与x ，y 无关,取值与x ，y 无关,即圆上的点到直线1;3490l x y --=的距离与到直线2:340l x y a -+=的距离之和与,x y 无关,因为圆心(1,1)到直线1;3490l x y --=21=>,所以直线1;3490l x y --=与圆相离,所以直线2:340l x y a -+=必与圆相离或相切,且圆在1;3490l x y --=与2:340l x y a -+=之间,1≥,且(349)(34)0a ---+≤,所以6a ≥或4a ≤- 且1a ≥, 所以6a ≥. 故选:A【点睛】本题考查了点到直线的距离公式,利用点到直线的距离公式将问题转化为直线2:340l x y a -+=必与圆相离或相切,且圆在1;3490l x y --=与2:340l x y a -+=之间是解题关键,属于中档题.11.若a ，b ，c 满足，||||2||2a b c ===，则()()a b c b -⋅-的最大值为（ ）A. 10B. 12C.D. 【答案】B 【解析】 【分析】设OA a =，OB b =，OC c =，表示出a b -，-c b 利用向量的数量积的定义求出最值. 【详解】解：设OA a =，OB b =，OC c =，则a b BA -=，c b BC -=()()cos a bc b BA BC BA BC ABC ∴--==⋅∠||||2||2a b c ===4BA ∴≤，3BC ≤当且仅当BA ，BC 同向时()()a b c b --取最大值12故()()max12a bc b --=故选：B【点睛】本题考查向量的数量积的定义，属于中档题.12.已知棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -,点E 是棱AB 的中点，12CF FC =，动点P 在正方形11AA DD （包括边界）内运动，且1PB 面DEF ，则PC 的长度范围为（ ）A.B. 5⎡⎢⎣C. 5⎡⎢⎣D.5⎡⎢⎣ 【答案】B 【解析】 分析】如图:先作出过1B P 且与平面DEF 平行的平面,可知点P 的轨迹为QN ,然后根据平面几何知识求出DP 的最小值和最大值,根据勾股定理可求出PC 的取值范围. 【详解】如图所示:在1AA 上取点Q ,使得112AQ QA =,连接1B Q ,因为12CF FC =,所以1//B Q DF ; 取11C D 的中点M ,连接1B M ,因为E 为AB 的中点,所以1//B M DE ; 因此平面1//B QM 平面DEF ,过M 作//MN DF 交1DD 于N ,则四点1,,,B Q N M 共面,且123DN DD =, 因为1//B P 平面DEF ,所以点P 在线段QN 上运动, 连接DP ,根据正方体的性质可知CD DP ⊥, 所以22PC CD DP +,在平面QADN 中,1=AQ ,3AD =,2DQ =,所以23110DN +21310DQ =+=所以点D 到QN 的距离为13231021102⨯⨯=, 所以DP 310,10, 所以PC 22310335()35+=22(10)319+=. 所以PC 的取值范围是33519⎣. 故选:B【点睛】本题考查了作几何体的截面,考查了平面与平面平行的判定,考查了立体几何中的轨迹问题,关键是作出点P 的运动轨迹,属于中档题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡相应位置上） 13.命题“2,1x N x ∀∈>”的否定为__________．” 【答案】2,1x N x ∃∈≤ 【解析】全称命题“,()x M p x ∀∈”的否定是存在性命题“,()x M p x ∃∈⌝”，所以“2,1x N x ∀∈>”的否定是“2,1x N x ∃∈≤”．14.在样本的频率分布直方图中, 共有9个小长方形, 若第一个长方形的面积为0.02, 前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差是互为相反数,若样本容量为1600,则中间一组（即第五组）的频数为 ▲ . 【答案】360 【解析】 【详解】根据题意9个小长方形面积依次为0.02,0.02,0.022,0.023,0.024,0.023,0.022,0.02,0.02d d d d d d d +++++++因为9个小长方形面积和为1，所以0.82160.1811600(0.024)36016d d d +=∴=∴⨯+= 15.设O 、F 分别是抛物线22y x =的顶点和焦点，M 是抛物线上的动点，则MOMF的最大值为__________.【解析】【详解】试题分析：设点M 的坐标为(,)M x y ，由抛物线的定义可知，12MF x =+，则22MOMFx x ==++ 令14t x =-，则14t >-,14x t =+,若t>021123111399333216162MO tMF t t t t =+=+≤+=++++，当且仅当3t 4=时等号成立， 所以MOMF的最大值为233. 考点：1.抛物线的定义及几何性质；2.基本不等式.【名师点睛】本题主要考查抛物线的定义及几何性质、基本不等式，属中档题；求圆锥曲线的最值问题，可利用定义和圆锥曲线的几何性质，利用其几何意义求之，也可根据已知条件把所求的问题用一个或两个未知数表示，即求出其目标函数，利用函数的性质、基本不等式或线性规划知识求之. 16.已知14ab =，,(0,1)a b ∈，则1211a b +--的最小值为 ．【答案】424+ 【解析】试题分析：因为，所以，则（当且仅当，即时，取等号）；故填4243+． 【方法点睛】本题考查利用基本不等式求函数的最值问题，属于难题；解决本题的关键是消元、裂项，难点是合理配凑、恒等变形，目的是出现基本不等式的使用条件（正值、定积），再利用基本不等式进行求解，但要注意验证等号成立的条件. 考点：基本不等式．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.设ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,已知3c =,且1sin cos 64C C π⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭.（1）求角C 的大小;（2）若向量()1,sin m A =与()2,sin n B =共线, 求,a b 的值. 【答案】(1)3π;(2)a b ==． 【解析】试题分析：（1）根据三角恒等变换，sin 216C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，可解得3C π=；（2）由m 与n 共线， 得sin 2sin 0B A -=，再由正弦定理，得2b a =，在根据余弦定理列出方程，即可求解,a b 的值.试题解析：（1）2113sin cos cos ,2cos 2122C C C C C -=-=, 即sin 21,0,2662C C C ππππ⎛⎫-=<<∴-= ⎪⎝⎭,解得3C π=. （2）m 与n 共线,sin 2sin 0B A ∴-=, 由正弦定理sin sin a bA B=,得2b a =,① 3c =,由余弦定理，得2292cos 3a b ab π=+-, ② 联立①②,{a b ==考点：正弦定理；余弦定理.18.学校为了了解高三学生每天自主学习中国古典文学的时间，随机抽取了高三男生和女生各50名进行问卷调查，其中每天自主学习中国古典文学的时间超过3小时的学生称为“古文迷”，否则为“非古文迷”，调查结果如表：（Ⅰ）根据表中数据能否判断有60%的把握认为“古文迷”与性别有关？（Ⅱ）现从调查的女生中按分层抽样的方法抽出5人进行调查，求所抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数；（Ⅲ）现从（Ⅱ）中所抽取的5人中再随机抽取3人进行调查，记这3人中“古文迷”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望．参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：20()P K k ≥0.50 0.40 0.25 0.05 0.025 0.0100k0.455 0.708 1.321 3.841 5.024 6.635【答案】（I ）没有的把握认为“古文迷”与性别有关；（II ）“古文迷”的人数为3，“非古文迷”有2；（III ）分布列见解析，期望为95. 【解析】【详解】（I ）由列联表得所以没有的把握认为“古文迷”与性别有关．（II ）调查的50名女生中“古文迷”有30人，“非古文迷”有20人，按分层抽样的方法抽出5人，则“古文迷”的人数为人，“非古文迷”有人．即抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数分别为3人和2人（III ）因为为所抽取3人中“古文迷”的人数，所以的所有取值为1，2,3．，，．所以随机变量ξ的分布列为123于是．19.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，每个侧面均为正方形，D 为底边AB 的中点，E 为侧棱1CC 的中点.（Ⅰ）求证：CD ∥平面1A EB ； （Ⅱ）求证：1AB ⊥平面1A EB ；（Ⅲ）求直线1B E 与平面11AAC C 所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）直线1B E 与平面11AAC C 所成角的正弦值为155【解析】【详解】证明：（Ⅰ）设11AB A B 和的交点为O ,连接EO ，连接EO .因为O 为1AB 的中点，O 为EO 的中点,所以EO ∥1AB 且112OD BB =.又O 是1AB 中点， 所以AB ∥1AB 且112OD BB =,所以AB ∥EO 且EC OD =.所以，四边形ECOD 为平行四边形.所以EO ∥EC .又CD ⊄平面1A BE ,EO ⊂平面1A BE ,则EC ∥平面1A BE . (Ⅱ)因为三棱柱各侧面都是正方形，所以1BB AB ⊥，1BB AB ⊥. 所以1BB ⊥平面ABC .因为CD ⊂平面ABC ，所以1BB AB ⊥. 由已知得AB BC AC ==，所以CD AB ⊥, 所以ABC 平面11A ABB .由（Ⅰ）可知EO ∥EC ，所以CD ⊂平面11A ABB . 所以CD ⊂1AB .因为侧面是正方形，所以11AB A B ⊥.又1EO A B O ⋂=，EO ⊥平面1A EB ，1A B ⊂平面1A EB , 所以1A B ⊂平面1A BE .（Ⅲ）解: 取11A C 中点F ，连接1,?B F EF . 在三棱柱111ABC A B C -中，因1BB ⊥平面ABC ，所以侧面11ACC A ⊥底面1AB ⊥.因为底面1AB ⊥是正三角形，且F 是11A C 中点， 所以111B F AC ⊥，所以1BB ⊥侧面11ACC A . 所以EF 是11A C 在平面11ACC A 上的射影. 所以1FEB ∠是11A C 与平面11ACC A 所成角.111sin B F BE F B E ∠==20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点分别为())12,F F ,以椭圆短轴为直径的圆经过点()1,0M . (1)求椭圆C 的方程;(2)过点M 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点,设点()3,2N ,直线,AN BN 的斜率分别为12,k k ,问12k k +是否为定值?并证明你的结论.【答案】(1)2213x y +=；(2)定值为2.【解析】试题分析：（1）由题意得到c =1b OM ==，所以a =（2）联立直线方程与椭圆方程，得到韦达定理2122631k x x k +=+，21223331k x x k -=+，()()()()()21212121212212121212211222462223393621k x x k x x x x y y k k x x x x x x k +⎡⎤-++-++--⎣⎦+=+===---+++. 试题解析： （1）依题意，c =222a b -=.∵点()1,0M 与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直， ∴1b OM ==，∴a =∴椭圆C 的方程为2213x y +=.（2）①当直线l 的斜率不存在时，由22113x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得1x =，3y =±.设A ⎛ ⎝⎭，1,B ⎛ ⎝⎭，则122233222k k ++=+=为定值. ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：()1y k x =-.将()1y k x =-代入2213x y +=整理化简，得()2222316330k x k x k +-+-=.依题意，直线l 与椭圆C 必相交于两点，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2122631k x x k +=+，21223331k x x k -=+. 又()111y k x =-，()221y k x =-， 所以1212122233y y k k x x --+=+-- ()()()()()()122112232333y x y x x x --+--=-- ()()()()()1221121221321393k x x k x x x x x x ⎡⎤⎡⎤---+---⎣⎦⎣⎦=-++ ()()()121212121212224693x x k x x x x x x x x ⎡⎤-++-++⎣⎦=-++()22122222223361222463131633933131k k x x k k k k k k k ⎡⎤--++⨯-⨯+⎢⎥++⎣⎦=--⨯+++ ()()2212212621k k +==+. 综上得12k k +为常数2.点睛：圆锥曲线大题熟悉解题套路，本题先求出椭圆方程，然后与直线方程联立方程组，求得韦达定理，则2122631k x x k +=+，21223331k x x k -=+，()()()()()21212121212212121212211222462223393621k x x k x x x x y y k k x x x x x x k +⎡⎤-++-++--⎣⎦+=+===---+++，为定值．21.已知函数()ln ()f x tx x t =+∈R . （1）当1t =-时，证明：()1f x ≤-；（2）若对于定义域内任意x ，()1xf x x e ≤⋅-恒成立，求t 的范围 【答案】（1）见解析 （2）(,1]-∞ 【解析】 【分析】（1）构造函数()ln 1g x x x =-+利用导数求出函数的单调性，得到函数的最大值，即可得证；（2）参变分离得到ln 1xx t e x +≤-在(0,)+∞恒成立，构造函数ln 1()xx x e xϕ+=-求出函数的最小值，即可得到参数t 的取值范围.【详解】（1）证明：即是证明ln 1x x -≤-，设()ln 1g x x x =-+，1()xg x x-'=当01x <<，()0g x '>，()g x 单调递增；当1x >，()0g x '<，()g x 单调递减；所以()g x 在1x =处取到最大值，即()(1)0g x g ≤=，所以ln 1x x -≤-得证 （2）原式子恒成立即ln 1xx t e x+≤-在(0,)+∞恒成立 设ln 1()xx x e xϕ+=-， 22ln ()x x e x x x ϕ+'=，设2()ln xQ x x e x =+， ()21()20x Q x x x e x '=++>，所以()Q x 单调递增，且102Q ⎛⎫< ⎪⎝⎭，(1)0Q > 所以()Q x 有唯一零点0x ，而且0200ln 0x x ex ⋅+=，所以0200ln x x e x ⋅=-两边同时取对数得()()0000ln ln ln ln x x x x +=-+- 易证明函数ln y x x =+是增函数，所以得00ln x x =-，所以01x e x =所以由()x ϕ在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，所以()0000000ln 111()1xx x x x e x x x ϕϕ+-+≥=-=-= 于是t 的取值范围是(,1]-∞【点睛】本题考查利用导数证明不等式恒成立问题，属于中档题.请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.22.在极坐标系下，已知圆:cos sin O ρθθ=+和直线()2:sin 0,0242l πρθρθπ⎛⎫-=≥≤≤ ⎪⎝⎭（1）求圆O 和直线l 的直角坐标方程；（2）当()0,θπ∈时，求圆O 和直线l 的公共点的极坐标.【答案】（1） 圆O 的直角坐标方程为x 2+y 2-x-y=0,直线l 的直角坐标方程为x-y+1=0 （2）【解析】试题分析：（1）根据222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ===+ 将圆O 和直线l 极坐标方程化为直角坐标方程（2）先联立方程组解出直线l 与圆O 的公共点的直角坐标，再根据222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ===+化为极坐标试题解析：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ， 即ρ2＝ρ cos θ＋ρ sin θ，故圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2－x －y ＝0. 直线l ：ρsin＝，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为x －y ＋1＝0.(2)由(1)知圆O 与直线l 的直角坐标方程，将两方程联立得，，解得即圆O 与直线l 在直角坐标系下的公共点为(0，1)， 将(0，1)转化为极坐标为，即为所求．23.已知函数()2321f x x x =++-． （1）求不等式()5f x <的解集；（2）若关于x 的不等式()1f x m <-的解集非空，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）73|44x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭（2）6m >或2m <- 【解析】 【分析】（1）通过讨论x 的范围，求出不等式的解集即可；（2）求出f （x ）的最小值，得到关于m 的不等式，解出即可． 【详解】（1）原不等式为：23215x x ++-≤，当32x ≤-时，原不等式可转化为425x --≤，即7342x -≤≤-； 当3122x -<<时，原不等式可转化为45≤恒成立，所以3122x -<<；当12x ≥时，原不等式可转化为425x +≤，即1324x ≤≤．所以原不等式的解集为73|44x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭． （2）由已知函数()342,2314,22142,2x x f x x x x ⎧--≤-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪+≥⎪⎩，可得函数()y f x =的最小值为4，所以24m ->，解得6m >或2m <-．【点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。
2020届四川省成都市第七中学高三统一热身考试数学(理)试题(解析版)
2020届四川省成都市第七中学高三统一热身考试数学（理）试题一、单选题1．设集合{}2430A x x x =-+<，{}230B x x =->，则A B =（ ）A ．33,2⎛⎫--⎪⎝⎭B ．33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1,+∞【答案】D【解析】先解不等式，化简集合A 、B ，再求并集，即可得出结果. 【详解】∵{}{}243013A x x x x x =-+<=<<，{}32302B x x x x ⎧⎫=->=>⎨⎬⎩⎭, 所以{}1A B x x ⋃=>. 故选：D. 【点睛】本题主要考查求集合的并集，熟记并集的概念，以及一元二次不等式的解法即可，属于基础题型. 2．已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是 A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】试题分析：要使复数对应的点在第四象限,应满足，解得，故选A.【考点】 复数的几何意义【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）组即可． 复数z ＝a ＋bi复平面内的点Z （a ，b ）（a ，b ∈R ）．复数z ＝a ＋bi （a ，b ∈R ）平面向量.3．某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是 A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】B【解析】试题分析：由题意，这是几何概型问题，班车每30分钟发出一辆，到达发车站的时间总长度为40，等车不超过10分钟的时间长度为20，故所求概率为201402=，选B.【考点】几何概型【名师点睛】这是全国卷首次考查几何概型,求解几何概型问题的关键是确定“测度”,常见的测度有长度、面积、体积等.4．设向量(),1a m =，()1,2b =，且222a b a b +=+，则m =（ ）A ．1B ．2C ．1-D ．2-【答案】D 【解析】先由222a b a b +=+得到0a b ⋅=，再由向量数量积的坐标表示列出方程，即可得出结果. 【详解】 因为222a ba b +=+，所以22222a b a b a b ++⋅=+，因此0a b ⋅=，又向量(),1a m =，()1,2b =， 所以20a b m ⋅=+=，解得2m =-. 故选：D. 【点睛】本题主要考查由向量数量积求参数，熟记向量数量积的坐标表示即可，属于基础题型. 5．若将函数y=2sin2x 的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图像的对称轴为A ．x=26k ππ-（k ∈Z ） B ．x=26k ππ+（k ∈Z ）C ．x=212k ππ-（k ∈Z ）D ．x=212k ππ+（k ∈Z ）【答案】B【解析】【详解】试题分析：由题意得，将函数2sin 2y x =的图象向左平移12π个单位长度，得到2sin(2)6y x π=+，由2,62x k k Z πππ+=+∈，得,26k x k Z ππ=+∈，即平移后的函数的对称轴方程为,26k x k Z ππ=+∈，故选B ． 【考点】三角函数的图象与性质． 【方法点晴】本题主要考查了三角函数()sin()f x A wx ϕ=+的图象与性质，着重考查了三角函数的图象变换及三角函数的对称轴方程的求解，通过将函数2sin 2y x =的图象向左平移12π个单位长度，得到函数的解析式2sin(2)6y x π=+，即可求解三角函数的性质，同时考查了学生分析问题和解答问题的能力以及推理与运算能力．6．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5℃．下面叙述不正确的是 ( )A ．各月的平均最低气温都在0℃以上B ．七月的平均温差比一月的平均温差大C ．三月和十一月的平均最高气温基本相同D ．平均最高气温高于20℃的月份有5个 【答案】D【解析】【详解】试题分析：由图可知各月的平均最低气温都在0℃以上，A 正确；由图可知在七月的平均温差大于7.5C ︒，而一月的平均温差小于7.5C ︒，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B 正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在10C ︒，基本相同，C 正确；由图可知平均最高气温高于20℃的月份有7，8两个月，所以不正确．故选D ． 【考点】 统计图 【易错警示】解答本题时易错可能有两种：（1）对图形中的线条认识不明确，不知所措，只觉得是两把雨伞重叠在一起，找不到解决问题的方法；（2）估计平均温差时易出现错误，错选B ．7．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】C【解析】先还原几何体为一直四棱柱，再根据柱体体积公式求结果. 【详解】根据三视图可得几何体为一个直四棱柱，高为2，底面为直角梯形，上下底分别为1、2，梯形的高为2，因此几何体的体积为()1122262⨯+⨯⨯=，选C. 【点睛】先由几何体的三视图还原几何体的形状，再在具体几何体中求体积或表面积等. 8．已知432a =，254b =，1325c =，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a << D ．c a b <<【答案】A 【解析】【详解】因为4133216a ==，2155416b ==，1325c =，因为幂函数13y x =在R 上单调递增，所以a c <， 因为指数函数16xy =在R 上单调递增，所以b a <， 即b <a <c . 故选：A.9．在ABC △中，4B π=，BC 边上的高等于13BC ,则cos A =（ ） A ．310B ．10 C ．1010-D ．310-【答案】C【解析】试题分析：设22,2,5sin cos ,sin ,cos cos 55AD a AB a CD a AC a A ααββ=⇒===⇒====⇒10cos()10αβ=+=-,故选C.【考点】解三角形.10．已知P (x 0,y 0)是椭圆C :24x +y 2=1上的一点,F 1,F 2分别是椭圆C 的左、右焦点,若12PF PF ⋅<0,则x 0的取值范围是A ．2626⎛ ⎝⎭B ．2323⎛ ⎝⎭C ．33⎛ ⎝⎭D ．66⎛ ⎝⎭【答案】A【解析】将原问题转化为椭圆与圆的交点问题，求得临界值，然后求解x 0的取值范围即可. 【详解】如图，设以O 为原点、半焦距3c =为半径的圆x 2+y 2=3与椭圆交于A ，B 两点.由2222314x y x y ⎧+⎪⎨+⎪⎩＝＝得263x ±=， 要使12PF PF ⋅<0，则点P 在A 、B 之间， ∴x 0的取值范围是2626,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．故选A ．【点睛】本题考查了椭圆的方程、性质，向量的数量积的运算，属于中档题． 11．点P 是棱长为3的正四面体ABCD 的面ABC 内一动点，52DP =，设异面直线DP 与BC 所成的角为α，则sin α的最小值为（ ） A ．265B ．35C 3D ．622【答案】A【解析】作DO ⊥平面BAC 于O ， O 是ABC 的中心，DO OB ⊥，DO OP ⊥，6，12OP =，从而平面ABC 内，P 在以O 为圆心，12为半径的圆上，P 运动时，DP 是圆锥的母线，BC 平移到圆锥底面圆直径位置，利用圆锥的性质，这个角的最小值是圆锥轴截面底角，由此可计算正弦值． 【详解】如图1，作DO ⊥平面BAC 于O ，∵ABCD 是正四面体，∴O 是ABC 的中心，DO OB ⊥，DO OP ⊥，易知22239363DO DB BO⎛⎫=-=-⨯=⎪⎪⎝⎭，∴22251622OP DP DO⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭，所以平面ABC内，P在以O为圆心，12为半径的圆上，P运动时，DP是圆锥的母线，如图2，把圆锥PO平移到四面体外部，不妨设//BCMN，MN是圆锥底面圆的一条直径，母线DP与MN所成角的最小值是圆锥轴截面底角DMO∠，626sin2DODMODM∠===．所以异面直线DP与BC所成的角的正弦的最小值是26．故选：A．图1图2【点睛】本题考查异面直线所成的角，解题关键是找到在平面ABC内P点的轨迹．DP所形成的空间图形，把BC平移到圆直径位置，母线与底面直径所成角的最小值就是轴截面底角，由此可得结论．12．定义在区间[],ππ-的函数()[]2cos2 +2sinf x x x=有（）个零点？（其中[]x 表示不大于实数x的最大整数）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】令2sin x t =，则[][]2,222,t y t t +∈-=-，则问题转化为求[][]22,2,2t t t =-∈-的根的个数.分别作出[]y t =和22y t =-的图象，有3个交点，即可求出x 有5个值，即得答案. 【详解】令2sin x t =，则2cos 212sin x x =-，[][]2,22,2t t y t ∈+-∴=-，则问题转化为求[][]22,2,2t t t =-∈-的根的个数.分别作出[]y t =和22y t =-的图象，如图所示：则有1t =-或[]221,1,2t t -=∈或2t =，即1t =-或3t =或2t =.2sin 1x ∴=-或2sin 3x =2sin 2x =，1sin 2x ∴=-或3sin 2x =或sin 1x =.[],,6x x πππ∈-∴=-或65x π=-或3x π=或23x π=或2x π=.∴函数()[]2cos2+2sin f x x x =有5个零点. 故选：D. 【点睛】本题考查函数的零点与方程的根，考查数形结合，属于较难的题目.二、填空题13．5(2)x x +的展开式中，x 3的系数是_________.（用数字填写答案） 【答案】10【解析】试题分析：5(2x x 的展开式的通项为555255(2)2r rrr rr C x x C x---=(0r =，1，2，…，5)，令532r -=得4r =，所以3x 的系数是452C 10=. 考点:二项式定理【名师点睛】确定二项展开式指定项的系数通常是先写出通项1r T +,再确定r 的值,从而确定指定项系数.14．若,x y 满足约束条件10{20220x y x y x y -+≥-≤+-≤，则z x y =+的最大值为_____________．【答案】32【解析】试题分析：由下图可得在1(1,)2A 处取得最大值，即max 13122z =+=.【考点】线性规划.【方法点晴】本题考查线性规划问题，灵活性较强，属于较难题型.考生应注总结解决线性规划问题的一般步骤（1）在直角坐标系中画出对应的平面区域，即可行域；（2）将目标函数变形为a zy x b b=-+；（3）作平行线：将直线0ax by +=平移，使直线与可行域有交点，且观察在可行域中使zb最大（或最小）时所经过的点，求出该点的坐标；（4）求出最优解：将（3）中求出的坐标代入目标函数，从而求出z 的最大（小）值.15．在ABC 中，60A ∠=︒，23BC =D 为BC 中点，则AD 最长为_________. 【答案】3【解析】在ABD ∆和ADC ∆中，分别利用余弦定理，求得22262b c x +=+，再在ABC ∆中，利用余弦定理和基本不等式，即可求解.【详解】如图所示，设AD x =，ADB θ∠=，则ADC πθ∠=-，在ABD ∆中，由余弦定理，可得2222cos AB BD AD BD AD θ=+-⋅， 即22323cos c x x θ=+-，①在ADC ∆中，由余弦定理，可得2222cos()AC CD AD CD AD πθ=+-⋅-， 即22323cos b x x θ=++，② 由①+②，可得22262b c x +=+，在ABC ∆中，由余弦定理，可得2222cos60BC AB AC AB AC =+-⋅，即22222222221(23)()322b c c b bc c b b c x +=+-≥+-=+=+，解得29x ≤，所以3x ≤，即AC 的最大值为3. 故答案为：3.【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用，以及利用基本不等式求解最值问题，其中解答中熟练应用余弦定理得到22262b c x +=+，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.16．抛物线()220y px p =>上点A 与焦点F 距离为2，以AF 为直径的圆与y 轴交于点()0,1H ，则p =_________. 【答案】2【解析】法一：首先根据抛物线方程和焦半径公式表示点A 的坐标，再根据0HF HA ⋅=求解点A 的坐标和p 值；法二：利用以AF 为直径的圆与y 轴相切，利用切点为()0,1H ,求得点A 的坐标和p 值.【详解】法一：根据,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据点A 与焦点F 距离为2， 所以A 点横坐标为22p -，所以A 点纵坐标222242p y p p p ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭①；即,12p HF ⎛⎫=-⎪⎝⎭，2,12p HA y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭根据0HF HA ⋅=，得到24104p p y --+=从而根据①解得2y =，从而带入①解得2p =.法二：设()00,A x y ，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，由焦半径公式可知022p x +=则线段AF 的中点到y 轴的距离022122px d +===， 所以以AF 为直径的圆与y 轴相切，由题意可知切点为()0,1H ， 则点A 的纵坐标为2，横坐标22p -， 则2242p p ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得：2p =. 故答案为：2 【点睛】本题考查抛物线方程，几何性质，意在考查转化与化归的思想，计算能力，属于中档题型，本题的关键利用焦半径公式表示点A 的横坐标，以及点A 在抛物线上，建立方程求解.三、解答题17．已知等差数列{}n a 满足：12a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得60800n S n >+ ？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由.【答案】(1) 通项公式为2n a = 或42n a n =-;(2) 当2n a = 时，不存在满足题意的正整数n ；当42n a n =- 时，存在满足题意的正整数n ，其最小值为41.【解析】【详解】（1）依题意，2,2,24d d ++成等比数列， 故有()()22224d d +=+， ∴240d d -=，解得4d =或0d =. ∴()21442n a n n =+-⋅=-或2n a =.（2）当2n a = 时，不存在满足题意的正整数n ； 当42n a n =-，∴()224222n n n S n ⎡⎤+-⎣⎦==.令2260800n n >+，即2304000n n -->， 解得40n >或10n <-（舍去）， ∴最小正整数41n =. 18．为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求 ①顾客所获的奖励额为60元的概率 ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由. 【答案】(1)12,参考解析;(2)参考解析 【解析】试题分析：(1)由袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元,又规定每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额..由获得60元的事件数1113C C 除以总的事件数24C 即可. 顾客获得奖励有两种情况20元,60元.分别计算出他们的概率,再利用数学期望的公式即可得结论. (2) 根据商场的预算，每个顾客的平均奖励为60元.根据题意有两种获奖励的情况,确定符合题意的方案,分别仅有一种.再分别计算出两种方案相应的概率以及求出数学期望和方差.即可得到结论.试题解析：(1)设顾客所获的奖励为X. ①依题意,得1113241(60)2C C P X C ===.即顾客所获得的奖励额为60元的概率为12. ②依题意,得X 的所有可能取值为20,60.232411(60),(20)22C P X P X C =====.即X 的分布列为所以顾客所获得的奖励额的期望为()200.5600.540E X =⨯+⨯=（元）.(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励为60元.所以先寻找期望为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案,因为60元是面值之和的最大值,所以期望不可能为60元;如果选择(50,50,50,10)的方案,因为60元是面值之和的最小值,所以数学期望也不可能为60元,因此可能的方案是(10,10,50,50),记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),记为方案2.以下是对两个方案的分析:对于方案1,即方案(10,10,50,50),设顾客所获的奖励为1X ,则1X 的分布列为1X 的期望为1121()206010060636E X =⨯+⨯+⨯=,1X 的方差为22211211600()(2060)(6060)(10060)6363D X =-⨯+-⨯+-⨯=. 对于方案2,即方案(20,20,40,40),设顾客所获的奖励为2X ,则2X 的分布列为2X406080P1623162X 的期望为2121()40608060636E X =⨯+⨯+⨯=,2X 的方差为2222121400()(4060)(6060)(8060)6363D X =-⨯+-⨯+-⨯=.由于两种方案的奖励额都符合要求,但方案2奖励的方差比方案1的小,所以应该选择方案2. 【考点】1.概率.2.统计.3.数学期望,方差.19．如图，ABCD 是块矩形硬纸板，其中222AB AD ==，E 为DC 中点，将它沿AE 折成直二面角D AE B --.（1）求证：AD ⊥平面BDE ；（2）如果()0AH HB λλ=>，求二面角H AD E --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）33. 【解析】（1）利用题设条件和线面垂直的性质，分别证得AD DE ⊥和BE AD ⊥，再结合线面垂直的判定定理，即可证得AD ⊥平面BDE ；（2）取AB 中点F ，连结OF ，得到OF ⊥平面ADE ，以O 为原点，OA ，OF ，OD 为x ，y ，z 轴建立直角坐标系分别求得平面ABD 和平面ADE 的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）由题设可知AD DE ⊥，取AE 中点O ，连结OD 、BE ，∵2AD DE ==，∴OD AE ⊥，又∵二面角D AE B --为直二面角，∴OD ⊥平面ABCE ， ∴OD BE ⊥，2AE BE ==，22AB =， ∴222AB AE BE =+，AE BE ⊥，OD AE O =，∴BE ⊥平面ADE ，又∵AD ⊂平面ADE ∴BE AD ⊥， 又∵BE DE E ⋂=，∴AD ⊥平面BDE.（2）二面角H AD E --的平面角即二面角B AD E --的平面角. 取AB 中点F ，连结OF ，则//OF EB ，∴OF ⊥平面ADE ，以O 为原点，OA ，OF ，OD 为x ，y ，z 轴建立直角坐标系（如图所示），则()1,0,0A ，()0,0,1D ，()120B -,,，可得()1,0,1AD =-，()1,21BD =-,， 设(),,m x y z =是平面ABD 的一个法向量，则0m BD ⋅=，0m AD ⋅=，∴200x y z x z -+=⎧⎨-+=⎩，取1x =，1y =，1z =，则()1,1,1m =，又由平面ADE 的法向量()0,1,0OF =，所以13cos 313m OF m OFθ⋅===⋅， 即二面角H AD E --的余弦值为3.【点睛】本题考查了线面平行的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.20．已知椭圆22221x y a b+=，O 为坐标原点，长轴长为4，离心率12e =.（1）求椭圆方程；（2）若点A ，B ，C 都在椭圆上，D 为AB 中点，且 2CO OD =，求ABC 的面积？【答案】（1）22143x y +=；（2）92. 【解析】（1）直接根据离心率和长轴长定义得到答案.（2）考虑斜率存在和不存在两种情况，联立方程根据韦达定理得到根与系数关系，根据向量运算和中点坐标公式得到CD 坐标，计算弦长和点到直线距离，代入面积公式得到答案. 【详解】（1）根据题意知：24a =，2a =，12c e a ==，故1c =，b =22143x y +=. （2）①若直线AB 垂直于x 轴，则AB 中点在x 轴上，不妨取点()2,0C ，根据2CO OD =得()1,0D -，故31,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故3AB =，11933222ABCSAB CD =⋅=⨯⨯=． ②若直线斜率存在，设直线:AB y kx m =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立椭圆得22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得到()()222438430k x kmx m +++-=，判别式()2204834k m ∆+->=，即22340k m +->，()12221228434343km x x k m x x k ⎧+=-⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩， AB 中点2243,4343km m D k k -⎛⎫⎪++⎝⎭，根据2CO OD =得到点2286,4343km m C k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭， 因为点C 在椭圆上，代入椭圆2222864343143km m k k -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=，整理得22344k m +=.验证满足>0∆，则12x AB =-=3m==，又原点O 到直线AB 的距离d =所以1322ABO S d AB ==△，所以932ABC ABO S S ==△△． 综上所述：ABC 的面积为92. 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，椭圆内的面积问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21．已知()()1xf x e ax a =--∈R .（1）若()0f x ≥对x ∈R 恒成立，求实数a 范围；（2）求证：对*n ∀∈Ne <. 【答案】（1）{}1a a =；（2）证明见解析.【解析】（1）先对函数求导，得到()xf x e a '=-，分别讨论0a ≤，0a >两种情况，用导数的方法判断单调性，求出最值，即可得出结果；（2）先由（1）得到，1a =时，()10xx e f x =--≥，所以1x x e +≤，推出0x >时，()ln 1x x +<，令1xk ，则11ln 1k k⎛⎫ ⎪⎝<⎭+，从而()ln 1ln 1k k k k +-<，用累加法进行处理，即可得出结论成立. 【详解】解：（1）因为()1xf x e ax =--，所以()xf x e a '=-，当0a ≤时，()0f x >对x ∈R 恒成立， 则()f x 在R 上单调递增， 又()1110f a e-=+-<，与题设矛盾； 当0a >时，由0fx，得ln x a <，由0fx，得ln x a >，∴()f x 在(,ln )a -∞单调递减，在(ln ,)a +∞单调递增，∴()()ln min ln ln 1ln 1af x f a ea a a a a ==--=--，令()()ln 10g a a a a a =-->， ∴()()()1ln 1ln 0g a a a a '=-+=->.由()0g a '>，得01a <<；由()0g a '<，得1a >. ∴()g a 在0,1单调递增，在(1,)+∞单调递减， ∴()()max 10g a g ==，∴只有1a =满足()0f x ≥对x ∈R 恒成立. 综上，a 的取值范围是{}1a a =.（2）由（1）可知，1a =时，()10xx e f x =--≥，则1x x e +≤，∴当0x >时，()ln 1x x +<， 令1xk ，则11ln 1k k⎛⎫ ⎪⎝<⎭+，从而()ln 1ln 1k k k k +-<，∴()()()11ln 1ln 1ln k k k k k ++-<++，1,2,,k n =.∴()()()11ln 1ln 1ln n n n n n ++-<++，4ln 43ln31ln 4-<+ 3ln32ln 21ln3-<+2ln21ln11ln2-<+以上各式相加，得()()()1ln 1ln 2ln3ln 4ln ln 1n n n n n ++<+++++++，∴()ln 1ln !n n n n +<+，∴()1ln 11ln !n n n+<+∴ln1<，e <. 【点睛】本题主要考查由函数的最值求参数，以及导数的方法证明不等式，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数单调性、最值等，属于常考题型.22．在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦.（1）求C 的参数方程；（2）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.【答案】（1）[]1,0,.x cos y sin ααπα=+⎧∈⎨=⎩为参数；（2）3(2【解析】（1）先求出半圆C 的直角坐标方程，由此能求出半圆C 的参数方程； （2）设点D 对应的参数为α，则点D 的坐标为()1+cos ,sin αα，且[]0,απ∈ ，半圆C 的圆心是()1,0C 因半圆C 在D 处的切线与直线l 垂直，故直线DC 的斜率与直线l 的斜率相等，由此能求出点D 的坐标.【详解】（1）由ρ2cos θ=，得[]2220,01x y x y +-=∈， ，所以C 的参数方程为[]1,0,.x cos y sin ααπα=+⎧∈⎨=⎩为参数（2）[]sin 0πtan 0,,1+cos 1233D αααπαα⎛-=⇒=∈∴= -⎝⎭【点睛】本题主要考查参数方程与极坐标方程，熟记直角坐标方程与参数方程的互化以及普通方程与参数方程的互化即可，属于常考题型.23．若0,0a b >>,且11a b+= （1）求33+a b 的最小值；（2）是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由.【答案】（1）（2）不存在.【解析】（1）由已知11a b+=，利用基本不等式的和积转化可求2ab ≥，利用基本不等式可将33+a b 转化为ab ，由不等式的传递性，可求33+a b 的最小值；（2）由基本不等式可求23a b +的最小值为6>，故不存在． 【详解】（111a b =+≥，得2ab ≥，且当a b ==故33+a b ≥≥a b ==所以33+a b 的最小值为；（2）由（1）知，23a b +≥≥由于6>，从而不存在,a b ，使得236a b +=成立． 【考点定位】 基本不等式．。
四川省成都市第七中学2020届高三数学上学期入学考试试题理含解析
四川省成都市第七中学2020届高三数学上学期入学考试试题 理（含解析）一、选择题（本大题共12小题）1.已知集合{}1M x x =<，{}20N x x x =-<，则（ ） A. {}1MN x x =<B. {}0MN x x =>C. M N ⊆D. N M ⊆【答案】D 【解析】 【分析】求解不等式20x x -<可得{}|01N x x =<<，据此结合交集、并集、子集的定义考查所给的选项是否正确即可.【详解】求解不等式20x x -<可得{}|01N x x =<<， 则：{}|01MN x x =<<，选项A 错误；{}|1M N x x ⋃=<，选项B 错误； N M ⊆，选项C 错误，选项D 正确；故选D .【点睛】本题主要考查集合的表示方法，交集、并集、子集的定义及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 2.已知a R ∈，i 为虚数单位，若ai i+为实数，则a 值为 （） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】A 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚部为0求解可得答案. 【详解】解：()21a aii i a i i i+=+=-为实数， 10a ∴-=，即1a =．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题:“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗.问: 五人各得几何?”其意思为: 有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少个橘子.这个问题中，得到橘子最多的人所得的橘子个数是（ ） A. 15 B. 16C. 18D. 21【答案】C 【解析】分析：首先根据题意，先确定其为一个等差数列的问题，已知公差、项数与和，求某项的问题，在求解的过程中，经分析，先确定首项，之后根据其和建立等量关系式，最后再利用通项公式求得第五项，从而求得结果. 详解：设第一个人分到的橘子个数为1a ， 由题意得515453602S a ⨯=+⨯=，解得16a =， 则51(51)361218a a =+-⨯=+=，故选C.点睛：该题所考查的是有关等差数列的有关问题，在求解的过程中，注意分析题的条件，已知的量为公差、项数与和、而对于等差数列中，1,,,,n n a d n a S 这五个量是知三求二的，所以应用相应的公式求得对应的量即可. 4.函数()()2xx f x xee -=-的大致图象为( )A. B.C. D.【答案】A 【解析】利用函数的奇偶性排除,B D ，利用函数的单调性排除C ，从而可得结果． 【详解】()()2x x f x x e e -=-，()()()()22()x x x x f x x e e x e e f x --∴-=--=--=-，()f x ∴为奇函数，其图象关于原点对称，故排除,B D ，2y x =在()0,+∞上是增函数且0y >， x x y e e -=-在()0,+∞上是增函数且0y >，所以()()2xx f x xee -=-在()0,+∞是增函数，排除C ，故选A ．【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.5.5(2x +的展开式中，4x 的系数是( )A. 40B. 60C. 80D. 100【答案】C 【解析】 【分析】先写出二项展开式的通项，然后令x 的指数为4，解出相应参数的值，代入通项即可得出结果．【详解】5(2x +二项展开式的通项为5552155(2)2k k kkk kk T C x C x---+=⋅⋅=⋅⋅．令542k-=，得2k =． 因此，二项展开式中4x 的系数为235280C ⋅=，故选C ．【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C r n r rr n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.6.按照如图的程序框图执行，若输出结果为15，则M 处条件为A. 16k ≥B. 8k <C. 16k <D. 8k ≥【答案】A 【解析】【详解】运行程序： S=0,k=1; S=1,k=2; S=3,k=4; S=7,k=8;S=15,k=16,此时退出循环，所以16k ≥，故选A.点睛：该题考查的是有关程序框图的问题，该题属于补充条件的问题，在求解的过程中，注意数列的项的大小，以及项之间的关系，从而求得正确结果.7.已知锐角△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,23cos 2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b 等于( ) A. 10 B. 9C. 8D. 5【答案】D 【解析】【详解】由题意知,23cos 2A+2cos 2A-1=0, 即cos 2A=125, 又因△ABC 为锐角三角形,所以cosA=15. △ABC 中由余弦定理知72=b 2+62-2b×6×15, 即b 2-125b-13=0, 即b=5或b=-135(舍去),故选D.8.曲线4y x=与直线5y x =-围成的平面图形的面积为（ ） A.152B.154C.154ln 24- D.158ln 22- 【答案】D 【解析】 【分析】先作出直线与曲线围成的平面图形的简图，联立直线与曲线方程，求出交点横坐标，根据定积分即可求出结果. 【详解】作出曲线4y x=与直线5y x =-围成的平面图形如下：由45y x y x⎧=⎪⎨⎪=-⎩解得：1x =或4x =， 所以曲线4y x=与直线5y x =-围成的平面图形的面积为 ()421441115S 5542084458ln21222x dx x x lnx ln x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--=----=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰故选D【点睛】本题主要考查定积分的应用，求围成图形的面积只需转化为对应的定积分问题求解即可，属于常考题型.9.已知函数()ln f x x x =，若直线l 过点()0,e -，且与曲线()y f x =相切，则直线l 的斜率为( ) A. 2- B. 2C. e -D. e【答案】B 【解析】 【分析】求得()f x 的导数，设出切点(),m n ，可得切线的斜率，结合两点的斜率公式，解方程可得m ，从而可得结果．【详解】函数()ln f x x x =的导数为()'ln 1f x x =+， 设切点为(),m n ，则n mlnm =， 可得切线的斜率为1ln k m =+， 所以ln 1ln n e m m em m m+++==， 解得m e =，1ln 2k e =+=，故选B ．【点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率，属于中档题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点()()00,A x f x 求斜率k ,即求该点处的导数()0k f x '=；(2) 己知斜率k 求切点()()11,,A x f x 即解方程()1f x k '=；(3) 巳知切线过某点()()11,M x f x (不是切点) 求切点, 设出切点()()00,,A x f x 利用()()()10010f x f x k f x x x -'==-求解.10.巳知将函数()sin(2)02f x x πϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的图象向左平移ϕ个単位长度后.得到函数()g x 的图象.若()g x 是偶函数.则3f π⎛⎫⎪⎝⎭=( ) A .12B.2C.2D. 1【答案】A 【解析】 【分析】先由题意写出()()sin 23g x x ϕ=+，根据()g x 是偶函数求出ϕ，即可得出结果. 【详解】由题意可得：()()sin 23g x x ϕ=+， 因为()g x 是偶函数，所以()32k k Z πϕπ=+∈，即()63k k Z ππϕ=+∈， 又02πϕ<<，所以0632k πππ<+<，解得112k -<<，所以0k =，故6πϕ=； 所以1sin 23362f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选A【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换与三角函数的性质，熟记性质即可，属于常考题型.11.如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则,A C 区域涂色不相同的概率为( )A.17B.27C.37D.47【答案】D 【解析】 【分析】利用分步计数原理求出不同涂色方案有420种，其中，,A C 区域涂色不相同的情况有120种，由此根据古典概型概率公式能求出,A C 区域涂色不相同的概率．【详解】提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，根据题意，如图，设5个区域依次为,,,,A B C D E,分4步进行分析：①，对于区域A，有5种颜色可选；②，对于区域B与A区域相邻，有4种颜色可选；③，对于区域E，与,A B区域相邻，有3种颜色可选；④，对于区域,D C，若D与B颜色相同，C区域有3种颜色可选，若D与B颜色不相同，D区域有2种颜色可选，C区域有2种颜色可选，则区域,D C有3227+⨯=种选择，则不同的涂色方案有5437420⨯⨯⨯=种，其中，,A C区域涂色不相同的情况有：①，对于区域A，有5种颜色可选；②，对于区域B与A区域相邻，有4种颜色可选；③，对于区域E与,,A B C区域相邻，有2种颜色可选；④，对于区域,D C，若D与B颜色相同，C区域有2种颜色可选，若D与B颜色不相同，D区域有2种颜色可选，C区域有1种颜色可选，则区域,D C有2214+⨯=种选择，不同的涂色方案有5434240⨯⨯⨯=种，,A C∴区域涂色不相同的概率为24044207p== ,故选D．【点睛】本题考查古典概型概率公式的应用，考查分步计数原理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．在求解有关古典概型概率的问题时，首先求出样本空间中基本事件的总数n，其次求出概率事件中含有多少个基本事件m，然后根据公式mPn=求得概率.12.如图，将边长为1的正方形ABCD 沿x 轴正向滚动，先以A 为中心顺时针旋转，当B 落在x 轴时，又以B 为中心顺时针旋转，如此下去，设顶点C 滚动时的曲线方程为()y f x =，则下列说法不正确的是 （）A. ()0f x ≥恒成立B. ()()8f x f x =+C. ()243(23)f x x x x =-+-<≤D. ()20190f =【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的运动关系，分别求出当0x =，1，2，3，4时对应的函数值()f x ，得到()f x 具备周期性，周期为4，结合图象，当23x <≤时，C 的轨迹为以()2,0为圆心，1为半径的14圆，即可判断所求结论． 【详解】解：正方形的边长为1，∴正方形的对角线2AC =，则由正方形的滚动轨迹得到0x =时，C 位于()0,1点，即()01f =， 当1x =时，C 位于(2点，即()12f =当2x =时，C 位于()2,1点，即()21f =， 当3x =时，C 位于()3,0点，即()30f =， 当4x =时，C 位于()4,1点，即()41f =，则()()4f x f x +=，即()f x 具备周期性，周期为4，由图可得()0f x ≥恒成立；()()8f x f x +=； 当23x <≤时，C 的轨迹为以()2,0为圆心，1为半径的14圆，方程为22(2)1(23,0)x y x y -+=<≤≥；()()()20195044330f f f =⨯+==，综上可得A ，B ，D 正确；C 错误． 故选:C ．【点睛】本题主要考查函数值的计算和函数的解析式和性质，结合正方形的运动轨迹，计算出对应函数值，得到周期性是解决本题的关键． 二、填空题（本大题共4小题）13.已知等差数列{}n a ，且48a =，则数列{}n a 的前7项和7S =______ 【答案】56 【解析】 【分析】由等差数列的性质可得：1742.a a a +=利用求和公式即可得出数列{}n a 的前7项和7S ． 【详解】解：由等差数列的性质可得：174216a a a +==．∴数列{}n a 的前7项和()177778562a a S +==⨯=．故答案为:56．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式的性质及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14.若x ，y 满足约束条件202020x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩______．【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据点到直线的距离公式进行求解即可．【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：22x y +的几何意义是平面区域内的点到原点的距离，由图象得O 到直线20x y ++=的距离最小， 此时最小值22d ==， 则22x y +的最小值是2，故答案为：2．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用点到直线的距离公式结合数形结合是解决本题的关键．15.已知向量AB 与AC 的夹角为120︒，且32AB AC ==，，若AP AB AC λ=+，且AP BC ⊥则实数λ的值为__________．【答案】712【解析】 ∵⊥，∴·＝(λ＋)·(－)＝－λ2＋2＋(λ－1)·＝0，即－λ×9＋4＋(λ－1)×3×2×＝0，解得λ＝.点睛：平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a ·b ＝|a ||b |cos θ；二是坐标公式a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.16.若过抛物线24y x =上一点()4,4P ，作两条直线PA ，PB 分别与抛物线交于1122(,),(,)A x y B x y 两点,若它们的斜率之和为0，则直线AB 斜率为______．【答案】12- 【解析】 【分析】根据斜率公式可得121244044y y x x --+=--,利用221212,44y y x x ==化简可得128y y +=-,再根据斜率公式可得12AB k =-. 【详解】解：依题意有121244044y y x x --+=--, 又221212,44y y x x ==, 所以1222124404444y y y y --+=--, 所以1211044y y +=++, 所以128y y +=-, 所以12122212121241244AB y y y y k y y x x y y --====--+-, 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，斜率公式的应用，考查了计算能力．属于基础题.三、解答题（本大题共6小题）17.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且39S =，又12a =．()1求数列{}n a 的通项公式；()2若数列{}n b 满足n b 2na-=，求证：数列{}n b 的前n 项和12n T <． 【答案】（1）1n a n =+（2）证明见解析 【解析】 【分析】()1直接利用等差数列前n 项和公式求出数列的公差，进一步求出数列的通项公式．()2利用等比数列的求和公式和放缩法的应用求出数列的和．【详解】解：()1设{}n a 的公差为d ,因为39S =，又12a =． 所以3132392S a d ⨯=+=，解得1d =． 故()211n a n n =+-=+．()2证明：由于1n a n =+，所以11()2n n b +=，所以22111111111424()()()112222122n n n T +⎛⎫-⎪⎝⎭=++⋯+=<=-．【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，等比数列的前n 项和的应用，放缩法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 18.如图1,在正方形ABCD 中，E 是AB 的中点，点F 在线段BC 上,且14BF BC =.若将,AED CFD ∆∆ 分别沿,ED FD 折起，使,A C 两点重合于点M ,如图2.图1 图2(1)求证:EF ⊥平面MED ；(2)求直线EM 与平面MFD 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)5. 【解析】 【分析】（1）设正方形ABCD 的边长为4，由222DE EF DF +=，可得EF ED ⊥，结合MD EF ⊥，利用线面垂直的判定定理，即可得到EF ⊥平面MED .（2）建立空间直角坐标系，过点M 作MN ED ⊥，垂足为N ，求出向量EM 和平面MFD 的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）证明：设正方形的边长为4，由图1知,,,,,,即 由题意知，在图2中，,,平面,平面,且,平面,平面,. 又平面,平面,且,平面（2）由（1）知平面，则建立如图所示空间直角坐标系，过点作，垂足为，在中，,,从而,,,,,.设平面的一个法向量为，则，令，则，，.设直线与平面所成角为,则,.直线与平面所成角的正弦值为..【点睛】该题考查的是有关立体几何的有关问题，一是线面垂直的判定，一定要把握好线面垂直的判定定理的条件，注意勾股定理也是证明线线垂直的好方法，二是求线面角，利用空间向量来求解，即直线的方向向量和平面的法向量所成角的余弦值的绝对值等于线面角的正弦值，求得结果.19.2016年某市政府出台了“2020年创建全国文明城市(简称创文)”的具体规划，今日，作为“创文”项目之一的“市区公交站点的重新布局及建设”基本完成，市有关部门准备对项目进行调查，并根据调查结果决定是否验收，调查人员分别在市区的各公交站点随机抽取若干市民对该项目进行评分，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图，相关规则为：①调60,80内认定为满意，查对象为本市市民，被调查者各自独立评分；②采用百分制评分，[)80分及以上认定为非常满意；③市民对公交站点布局的满意率不低于60%即可进行验收；④用样本的频率代替概率．()1求被调查者满意或非常满意该项目的频率；()2若从该市的全体市民中随机抽取3人，试估计恰有2人非常满意该项目的概率；()3已知在评分低于60分的被调查者中，老年人占1，现从评分低于60分的被调查者中按年3龄分层抽取9人以便了解不满意的原因，并从中选取2人担任群众督察员，记ξ为群众督查员中老年人的人数，求随机变量ξ的分布列及其数学期望E ξ． 【答案】（1）0.78；（2）12125；（3）23. 【解析】试题分析：（1）根据直方图的意义，求出后四个小矩形的面积和即可求得被调查者满意或非常满意该项目的频率；（2）根据频率分布直方图，被调查者非常满意的频率是()10.0160.004100.25+⨯==，根据独立重复试验n 次发生k 次的概率公式可得结果；（3）随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，利用组合知识根据古典概型概率公式分别求出各随机变量的概率，即可得分布列，根据期望公式可得结果.试题解析：（1）根据题意：60分或以上被认定为满意或非常满意，在频率分布直方图中， 评分在[]60,100的频率为：()0.0280.030.0160.004100.78+++⨯=；（2）根据频率分布直方图，被调查者非常满意的频率是()10.0160.004100.25+⨯==， 用样本的频率代替概率，从该市的全体市民中随机抽取1人， 该人非常满意该项目的概率为15， 现从中抽取3人恰有2人非常满意该项目的概率为：223141255125P C ⎛⎫=⋅⋅=⎪⎝⎭；（3）∵评分低于60分的被调查者中，老年人占13， 又从被调查者中按年龄分层抽取9人， ∴这9人中，老年人有3人，非老年人6人， 随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，()02362915036C C P C ξ⋅===()1136291811362C C P C ξ⋅====()2036293123612C C P C ξ⋅====ξ的分布列为：ξ的数学期望E ξ 15112012362123=⨯+⨯+⨯=. 20.已知椭圆2222:x y C a b+= ()10a b >>的焦点坐标分別为()11,0F -,()21,0F ,P 为椭圆C 上一点，满足1235PF PF =且123cos 5F PF ∠= (1) 求椭圆C 的标准方程:(2) 设直线:l y kx m =+与椭圆C 交于,A B 两点，点1,04Q ⎛⎫⎪⎝⎭，若AQ BQ =，求k 的取值范围.【答案】（1）22143x y +=；（2）11,,22k ⎛⎫⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】分析：第一问首先根据题中条件将涉及到的量设出来，之后结合椭圆的定义以及对应的线段的倍数关系，求得对应的边长，利用余弦定理借用余弦值建立边之间的等量关系式，从而求得,a c 的值，借用椭圆中,,a b c 的关系，求得b 的值，从而求得椭圆的方程，第二问将直线的方程与椭圆的方程联立，求得两根和与两根积，从而求得线段的中点，利用条件可得垂直关系，建立等量关系式，借用判别式大于零找到其所满足的不等关系，求得k 的取值范围.详解：（1）由题意设11PF r =，22PF r =则1235r r =，又122r r a +=，154r a ∴=，234r a = 在 12PF F ∆中，由余弦定理得，12cos F PF ∠=2221212122r r F F r r +- = 2225324453244a a a a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⨯⨯35=， 解得2a =，1c =，2223b a c ∴=-=，∴所求椭圆方程为22143x y +=（2）联立方程22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得()2234k x ++ 284120kmx m +-=， 则12x x += 2834km k -+，212241234m x x k-=+，且()2248340k m ∆=+->…① 设AB 的中心为()00,M x y ，则1202x x x +== 2434km k -+，002334my kx m k =+=+， AQ BQ =,AB QM ∴⊥,即，QM k k ⋅= 22334141344mk k km k +⋅=---+，解得2344k m k +=-…②把②代入①得22234344k k k ⎛⎫++>- ⎪⎝⎭，整理得4216830k k +->，即()()2241430k k -+>解得11,,22k ⎛⎫⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭点睛：该题考查的是有关直线与椭圆的综合题，涉及的知识点有椭圆的定义、余弦定理、椭圆的标准方程，以及直线与椭圆相交的有关问题，要会将题中条件加以转化，再者要会找对应的不等关系.21.已知函数()xf x xe =，()232g x x x =+-． ()1求证：()()215022f xg x x x-+->对()0,x ∞∈+恒成立；()2若()()()(0)32f x F x xg x x =>-+，若120x x <<，122x x +≤，求证：()()12.F x F x >【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先对不等式左边进行化简整理，然后将整理后的表达式设为函数()h x ，对函数()h x 进行一阶导数和二阶导数的分析，得到()h x 在()0,∞+上单调递增，则当0x >时，()()0010.h x h e >=-=命题得证．（2）先对整理后的()F x 进行一阶导数的分析，画出函数()F x 大致图象，可知()10F x >，()20.F x >然后采用先取对数然后作差的方法比较大小，关键是构造对数平均数，利用对数平均不等式即可证明．【详解】证明：()1由题意，可知()()22221531511222222x x f x g x x e x x x e x x x-+-=--++-=---． 令()2112xh x e x x =---，0.x >则 ()'1x h x e x =--，()0.1x x h x e >"=-，当0x >时，()10xh x e "=->，()'h x ∴在()0,∞+上单调递增．∴当0x >时，()()''00h x h >=，()h x ∴在()0,∞+上单调递增．∴当0x >时，()()0010h x h e >=-=．故命题得证．()2由题意，()xe F x x =，0x >．()()21'x x e F x x-=，0x >．①令()'0F x =，解得1x =；②令()'0F x <，解得01x <<； ③令()'0F x >，解得1x >．()F x ∴在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，在1x =处取得极小值()1F e =．()F x 大致图象如下：根据图，可知()10F x >，()20F x >．()()()()12121122121212.x x e e lnF x lnF x ln ln x lnx x lnx x x lnx lnx x x ∴-=-=---=---120x x <<，122x x +≤， ∴根据对数平均不等式，有12121212x x x xlnx lnx -+<≤-，()()121212121110lnF x lnF x lnx lnx x x x x --∴=-<-=--．120x x -<，()()120lnF x lnF x ∴->． ()()12.F x F x ∴>故得证．【点睛】本题主要考查函数的一阶导数和二阶导数对函数单调性分析的能力，数形结合法的应用，构造函数，构造对数平均数，利用对数平均不等式的技巧，本题属偏难题．22.在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩(ϕ参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()sin 3cos 33ρθθ=- 21 - （1）求C 的极坐标方程；（2）若射线11π:02OM θθθ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭与圆C 的交点为,O P ，与直线l 的交点为Q ，求OP OQ ⋅的取值范围.【答案】（1）2cos ρθ=；（2）06OP OQ <<.【解析】试题分析：（1）圆C 的参数方程消去参数φ，能求出圆C 的普通方程，再由x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出圆C 的极坐标方程．（2）设P （ρ1，θ1），则有ρ1=cosθ1，Q （ρ2，θ1），则2ρ=，OP OQ =ρ1ρ2，结合tanθ1＞0，能求出OP OQ 的范围．试题解析：（1）圆C 的普通方程是()2211x y -+=，又cos ,sin x y ρθρθ==，所以圆C 的极坐标方程是2cos ρθ=.（2）设()11,P ρθ，则有 11cos ρθ=，设()21,Q ρθ，且直线l的方程是()sin ρθθ=2ρ=所以12102OP OQ πρρθ⎫=⋅==<<⎪⎭ 因为1tan 0θ>，所以06OP OQ <<.。
四川省成都市第七中学2020届高三上学期期中考试 数学(理)
成都七中19-20学年度上期高2017级期中考试数学试题(理)考试时间：120分钟 满分150分一.选择题(共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案集中填写在答题卷上.)1.设集合(){}2log 10M x x =-<，集合{}2N x x =≥-，则=N M Y （ ） A.{}22x x -≤<B.{}2x x ≥-C.{}2x x <D.{}12x x ≤<2. 0225sin 的值为（ ） A.2-B.2 C.3-D.3 3.已知i 是虚数单位，则复数37iz i+=的实部和虚部分别是（ ） A.7-,3B.7,3i -C.7,3-D.7-,3i4.设R x ∈，向量(,1)a x =r ，(1,2)b =-r ，且b a ρρ⊥，则a b +=r r （ ）A.10B.11C.23D.135.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不一定．．．正确的是（ ） (注：90后指1990年及以后出生，80后指19801989-年之间出生，80前指1979年及以前出生．)A.互联网行业从业人员中90后占一半以上B.互联网行业中从事技术岗位人数超过总人数的20%C.互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D.互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多6.已知函数2log ,0()3,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1(())8f f =（ ）A.27-B.27C.127-D.1277.已知()13ln2a =,()13ln3b=,2log 0.7c =,则c b a ,,的大小关系是（ ）A.a b c <<B.c a b <<C.b a c <<D.c b a << 8.函数()sin(),(,0,π)f x A x A ωφωϕ=+><的部分图象如右图， 则()f x =（ ）A.π()2sin(4)3f x x =+B.π()2sin(4)3f x x =-C.48π()2sin()39f x x =-D.48π()2sin()39f x x =+ 9.大衍数列,来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于 解释中国传统文化中的太极衍生原理数列中的每一项，都代表太极衍生过 程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史 上第一道数列题. 其规律是:偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方 减1再除以2，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…， 如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的，那么在两个 判断框中，可以先后填入( )A.n 是偶数?，100n ≥?B.n 是奇数?，100n ≥?C.n 是偶数?， 100n >?D.n 是奇数?，100n >? 10.在ABC △中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,其中1b =,sin sin sin sin a b c Cb A B C-+=+-,若2A B =,则ABC △的周长为（ ）A.3B.4C.23+D.33+11.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ,过1F 作圆222x y a +=的切线,交双曲线右支于点M ,若1245F MF ∠=︒,则双曲线的离心率为（ ） 3 B.22512.已知偶函数()f x 满足(4)(4)f x f x +=-,且当(0,4]x ∈时,ln(2)()x f x x=,关于x 的不等式2()()0f x af x +>在区间[200200]，-上有且只有300个整数解,则实数a 的取值范围是（ ） A.13ln 2(ln 6)34--，B.]42ln 3,6ln 31(-- C.1(ln 2ln 6)3--，D.1(ln 2ln 6]3--，二.填空题(共4小题，每小题5分，满分20分.请把答案填写在答题卷上.)13.设函数()()321f x x a x ax =+-+,若()f x 为奇函数,则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程 为 ▲ ．14.已知实数x ，y 满足不等式组20,250,20,x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩且2z x y=-的最大值为a ，则=⎰dx xae1▲ ． 15.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的半径为 ▲ ． 16.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知112a =，112n n n n n a a ++=+， 则=n a ▲ ， 100S = ▲ .三.解答题(共6题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.请将解答过程写在答题卷相应题号的下面.)17.(本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和144()33n n S n +=-∈*N ． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)若2log n n n b a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18.(本小题满分12分)自由购是通过自助结算方式购物的一种形式．某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取了100人，统计结果整理如下：20以下 [)20,30 [)30,40 [)40,50 [)50,60 []60,7070以上 使用人数 3 12 17 6 4 2 0 未使用人数314363(1)现随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在[)30,50且未使用自由购的概率；(2)从被抽取的年龄在[]50,70使用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步了解情况，用X 错误!未找到引用源。
四川省成都市第七中学2020年普通高等学校招生统一热身考试理科数学试题含答案
2020年普通高等学校招生成都七中统一热身考试理科数学本试题卷共4页，24题（含选考题）.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.5.本次考试结束后，不用将本试题卷和答题卡一并上交.第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}2430A x x x =-+<，{}230B x x =->，则AB =（ ） A. 33,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ B. 33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ C. 31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D. ()1,+∞ 2.已知(3)(1)z m m i =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是A. (31)-，B. (13)-，C. (1,)+∞D. (3)-∞-，3. 某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是 A. 13 B. 12C. 23D. 34 4.设向量(),1a m =，()1,2b =，且222a ba b +=+，则m =（ ） A. 1B. 2C. 1-D. 2- 5.若将函数y=2sin2x 图像向左平移12π个单位长度，则平移后图像的对称轴为A. x=26k ππ-（k ∈Z ） B. x=26k ππ+（k ∈Z ） C. x=212k ππ-（k ∈Z ） D. x=212k ππ+（k ∈Z ） 6.某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5℃．下面叙述不正确的是( )A. 各月的平均最低气温都在0℃以上B. 七月的平均温差比一月的平均温差大C. 三月和十一月的平均最高气温基本相同D. 平均最高气温高于20℃的月份有5个7.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）A. 2B. 4C. 6D. 8 8.已知432a =，254b =，1325c =，则A. b a c <<B. a b c <<C. b c a <<D. c a b << 9.在ABC 中，4B π=，BC 边上的高等于13BC ,则cos A =（ ）A.B. 10C. 10-D. 10- 10.已知P (x 0,y 0)是椭圆C :24x +y 2=1上的一点,F 1,F 2分别是椭圆C 的左、右焦点,若12PF PF ⋅<0,则x 0的取值范围是A. ⎛ ⎝⎭B. ⎛ ⎝⎭C. ⎛⎝⎭D. ,33⎛- ⎝⎭11.点P 是棱长为3的正四面体ABCD 的面ABC 内一动点，52DP =，设异面直线DP 与BC 所成的角为α，则sin α的最小值为（ ）A. 5B.C.D. 12.定义在区间[],ππ-的函数()[]2cos2 +2sin f x x x =有（ ）个零点？（其中[]x 表示不大于实数x 的最大整数）A. 2B. 3C. 4D. 5 第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13.5(2x +展开式中，x 3的系数是_________.（用数字填写答案）14.若,x y 满足约束条件10{20220x y x y x y -+≥-≤+-≤，则z x y =+的最大值为_____________．15.在ABC 中，60A ∠=︒，BC =D 为BC 中点，则AD 最长为_________.16.抛物线()220y px p =>上点A 与焦点F 距离为2，以AF 为直径的圆与y 轴交于点()0,1H ，则p =_________.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知等差数列{}n a 满足：12a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得60800n S n >+ ？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由.18.为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求①顾客所获奖励额为60元的概率②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.19.如图，ABCD 是块矩形硬纸板，其中2AB AD ==E 为DC 中点，将它沿AE 折成直二面角D AE B --.（1）求证：AD ⊥平面BDE ；（2）如果()0AH HB λλ=>，求二面角H AD E --的余弦值.20.已知椭圆22221x y a b +=，O 为坐标原点，长轴长为4，离心率12e =. 的（1）求椭圆方程；（2）若点A ，B ，C 都在椭圆上，D 为AB 中点，且 2CO OD =，求ABC面积？21.已知()()1x f x e ax a =--∈R . （1）若()0f x ≥对x ∈R 恒成立，求实数a 范围；（2）求证：对*n ∀∈Ne <. 请考生在22、23题中任选一题作答.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑.如果多做，则按所做的第一题计分.（二）选考题：共10分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦. （1）求C 的参数方程； （2）设点D 在C 上，C 在D处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.选修4-5：不等式选讲23.若0,0a b >>,且11a b+= （1）求33+a b 的最小值；（2）否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由.的。
成都七中高2020届高三上期入学考试试题数学(理科)答案
成都七中高 2020 届高三上期入学考试题数学（理科）参考答案一.选择题1-5：BACAC 6-10:ADDBA 11-12:DC二．填空题13. 56 14. 0 15. 三．解答题12716. (3,4)17.解：1 Q S 9，，又a2 33 a 1 2，公差d 1 a n 1n（2）Q 数列b 满足b 2ann n1bn n 121 1(1)1 1 1 4 2n T b b L b Ln n 11 2 2 3 1n2 2 2 12 1 1 1(1)2 2n 218.解：（1）证明：设正方形ABCD 边长为 4，由图 1 知, AE BE 2 , BF 1,CF 32 5 , EF BE 2 BF 2 5 , DF CF 2 CD 2 5DE AD AE2 2,DEF 90,即EF ED .DE EF DF2 2 2由题意知，在图 2 中，MD ME , MD MF , ME 平面MEF , MF 平面MEF ,且ME MF M 平面MEF ,Q EF 平面MEF ,MD EF .MD又ED 平面MED , MD 平面MED ,且ED MDD EF 平面MED（2）解：由（1）知EF 平面MED ，则建立如图所示空间直角坐标系，过点M作M N ED，垂足为 N ，在Rt DME 中，MNME MD 4 5, EN EM 2MN2ED 52 5,从而E0, 0,5M 2 5 4 5, F 5, 0, 0, D0,25,0 ,0, ,5 5u u u u v2 5 4 5EM 0, ,5 5 ,u u u u v2 5 4 5 FM5, ,,5 55,25,0FD.1cos F PF1 2 r r F F2 221 2 1 22r r1 22 25 3a a 224 45 32a a4 43，5解得a 2，Q c 1，b 2 a 2 c 2 3，所求椭圆方程为x y2 214 32 2x y1，消去y 得3 4k2 x 2 8kmx 4m 2 12 0，（2）联立方程4 3y kx m则x 1 x 2 8km3 4k2 ，4m122x x1 2 23 4k，且48 3 4k m0 …①2 2x x设AB 的中点为M x y ，则x 1 20 ,00 24km3 4k2，3my kx m0 0 23 4k，Q AQ BQ ,AB QM ,即k kQM k3m3 4k124km 13 4k 42解得m 3 4k2…②4k222 3 4k把②代入①得3 4k4k ，整理得16k 4 8k 2 3 04k 1 4k 3 0,解得： 2 11 1即2 2k ，则k 的取值范围是：, ,22 2 21.解：（1）证明：由f(x) 1 5 e 1 x x( ) 0得：x 2g x x 1 02x 2 2 2令u(x ) e 1 x 2 x 1x2 ，则u'(x ) e x x 1令m(x ) 1e x ,m'(x ) e x 1 0 ，x (0,) ，xm(x) 在(0,) 上单调递增，m(x ) m (0) 0 ，x (0,) ，则u(x) 在(0,) 上单调递增，u(x ) u (0) 0 ，x (0,) ，f (x) 1 5对任意x (0,) 恒成立g(x) x 02x 2 23e e x e e (x 1)x x x x（2）由F(x ) (x 0) ，得F/ (x ) (x 0) ，x x x2 2易知x (0,1) 时，F(x) 单调递减，x (1,) 时，F(x) 单调递增，（i）若0 x 1 x 2 1时，可知F(x) 在(0,1) 上单调递减，∴F(x )F(x )1 20 x1，（ii）若1 x2 1时，设函数(m ) F(m ) F (2 m) ，e (m 1) e (2 m 1)m m2则(m) F (m) [ F (2 m )]/ /m (2 m)2 2m2m ee(m 1)( )，m (2 m)2 2现设exp(x ) (x 0) ，则p/(x)x2 e (x 2) x，x3易知x(0, 2) 时，p(x)单调递减；x (2,) 时，p(x) 单调递增，当m(0,1) 时，有2 m(1, 2) ，且满足2m m，p (2 m ) p(m), 故p(m ) p (2 m ) 0 ，即m 2me e2 2 0，，m (2m)∴m(0,1)时,(m)在(0,1) 上单调递减，有(m ) (1) 0 ，即当m(0,1) 时，F(m ) F (2 m) （*），又0 x 1，1 x且2 1xx ，1 2 2x (0,1) 时，F(x) 单调递减，F(x ) F (2 x ) ，由（*）式令m 2 x ，则1 2 2 F (2x )F(x )2 2F(x1) F(x2 )22.解：（1）圆 C 的普通方程是(x 1）+y 1，又x cos, y sin,2 2所以圆 C 的极坐标方程是=2 cos.（2）设(P （，），Q，）则有1 12 1，1=2 cos 1=23 3sin 3cos1 16 3 cos 6 3所以OP OQ == 1 =（0 ）,1 2 1sin 3 cos 3+ tan21 1 10,0 OP OQ 6.4。
[071103]成都七中20202020学年度高三年级考试理科综合试卷doc高中数学
[071103]成都七中20202020学年度高三年级考试理科综合试卷doc 高中数学2007.11.3理科综合试卷本试卷分第一卷和第二卷两部分。
第一卷第1至5页，第二卷6至13页。
共300分，考试时刻150分钟。
本卷须知：1．答第一卷前，考生务必将自己的姓名、学号、考试科目涂写在答题卡上。
考试终止，将答题卡交回。
2．每题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上。
第一卷本卷共21小题，每题6分，共126分可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 Fe 56 Cu 64 一、选择题〔此题包括13小题。
每题只有一个选项符合题意〕1.以下图是用集合的方法，表示各种概念之间的关系，其中与图示相符的是2．一个DNA 分子通过诱变，某位点上的一个正常碱基〔设为Q 〕变成了尿嘧啶，该DNA 连续复制两次，得到的4个子代DNA 分子相应位点上的碱基对分不为U-A 、A-T 、G-C 、C-G ，估量〝Q 〞可能是选项 1 2 3 4 A 细胞免疫 T 细胞 抗体 特异性免疫 B染色体DNA 基因 脱氧核苷酸 C 无性生殖 营养生殖 嫁接 组织培养 D氮循环共生固氮菌生物固氮A．胸腺嘧啶或尿嘧啶B．腺嘌呤或胞嘧啶C．胸腺嘧啶或腺嘌呤D．胞嘧啶或鸟嘌呤3．下面两图表示植物叶片横切的结构。
请据图分析判定，以下讲法中正确的选项是A．A、B两图中属于C4植物的为AB．二氧化碳被固定形成C4的过程在B图中②C．在较低CO2浓度条件下，具有相对较强光合作用的为A植物D．A图中3与B图中②在结构上的不同点是3中无叶绿体，而②中含无基粒的叶绿体4．处于正常细胞分裂后期的某个细胞内含有10个DNA分子。
以下不可能显现的情形是A．该细胞可能处于有丝分裂后期B．该细胞可能处于减数第一次分裂后期C．该细胞可能处于减数第二次分裂后期D．产生该细胞的生物体细胞中的染色体数目可能是5条或10条5．某学习小组发觉一种遗传病在一个家族中发病率专门高，通过对该家族中一对夫妇及其子女的调查，画出了遗传图谱〔见右图〕。
四川省2020年上学期成都七中高三数学文入学考试试题答案
四川省2020年上学期成都七中高三数学文入学考试试题答案1-5：CBCBD 6-10：BBABA 11-12：AB 1314．1- 15．1或3 1617．【答案】（Ⅰ）1321n n n a b n -==- （Ⅱ）1133n n n T -+=-【解析】（1）由121n n a S +=+可得()1212n n a S n -=+≥，两式相减得()112,32n n n n n a a a a a n ++-==≥． 又21213a S =+=，所以213a a =．故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列．所以13n n a -=．由点()1,n n P b b +在直线20x y -+=上，所以12n n b b +-=．则数列{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列．则()11221n b n n =+-⋅=-． （Ⅱ）因为1213n n n n b n c a --==，所以0121135213333n n n T --=++++． 则12311352133333n nn T -=++++， 两式相减得：21222221133333n n n n T --=++++-11113321121313n n n -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭-⎢⎥⎣⎦=+⨯--1121233n n n --⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∴21112113323233n n n n n n T----+=--=-⋅⋅18．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）h =． 【解析】（Ⅰ）由余弦定理得BD == ∴222BD AB AD +=，∴90ABD ∠=︒，BD AB ⊥，∵AB DC ，∴BD DC ⊥．又平面PDC ⊥底面ABCD ，平面PDC底面ABCD DC =，BD ⊂底面ABCD ，∴BD ⊥平面PDC ，又PC ⊂平面PDC ，∴BD PC ⊥． （Ⅱ）设A 到平面PBD 的距离为h ．取DC 中点Q ，连结PQ ，∵PDC △是等边三角形，∴PQ DC ⊥． 又平面PDC ⊥底面ABCD ，平面PDC 底面ABCD DC =，PQ ⊂平面PDC ，∴PQ ⊥底面ABCD ，且PQ =由（Ⅰ）知BD ⊥平面PDC ，又PD ⊂平面PDC ，∴BD PD ⊥．∴A PBD P ABD V V --=，即1111213232h ⨯⨯=⨯⨯．解得h =19．【答案】（1）15；（2）0.5y ex =． 【解析】由已知，优等品的质量与尺寸的比()0.302,0.388yx∈ 则随机抽取的6件合格产品中，有3件为优等品，记为a ，b ，c ， 有3件为非优等品，记为d ，e ，f ，现从抽取的6件合格产品中再任选2件，基本事件为：(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),a f ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),b f ，(),c d ，(),c e ，(),c f ，(),d e ，(),d f ，(),e f ，选中的两件均为优等品的事件为(),a b ，(),a c ，(),b c ， 所求概率为31155=．（Ⅱ）对by c x =⋅两边取自然对数得ln ln ln y c b x =+ 令ln i i v x =，ln i i u y =，则u b v a =⋅+，且ln a c = 由所给统计量及最小二乘估计公式有：11222175.324.618.360.271101.424.660.542ni i ni i v u nuvb v nv==--⨯÷====-÷-∑∑ 118.324.6216a u bv ⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭=-==，由ln a c =得c e =，所以y 关于x 的回归方程为0.5y ex =．20．【答案】（1）a 的值为1；（2）a 的取值范围是1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭． 【解析】（1）因为()()24143x f x ax a x a e ⎡⎤=-+++⎣⎦，所以()()()()22414143x xf x ax a e ax a x a e x '⎡⎤=-++-+++∈⎡⎤⎣⎦⎣⎦R ()2212xax a x e ⎡⎤=-++⎣⎦．()()11f a e '=-．由题设知()10f '=，即()10a e -=，解得1a =．此时()130f e =≠． 所以a 的值为1．注：没验证()130f e =≠要酌情扣分（2）由（1）得()()()()221212x xf x ax a x e ax x e '⎡⎤=-++=--⎣⎦． 若12a >，则当1,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<；当()2,x ∈+∞时，()0f x '>． 所以()0f x <在2x =处取得极小值．若12a ≤，则当()0,2x ∈时，20x -<，11102ax x -≤-<，所以()0f x '>． 所以2不是()f x 的极小值点． 综上可知，a 的取值范围是1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭． 21．【答案】（1）2212x y +=；（2）存在满足条件的圆，其方程为2253239x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭． 【解析】（1）设()1,0F c -，()2,0F c ，其中222c a b =-，由121F F DF =得12DF ==从而12211212DF F S DF F F =⋅==△，故1c =．从而12DF =，由112DF F F ⊥得222211292DF DF F F =+=，因此22DF =．所以122a DF DF =+=a =2221b a c =-=因此，所求椭圆的标准方程为：2212x y +=（2）如图，设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆2212x y +=相交，()111,P x y ，()222,P x y 是两个交点，10y >，20y >，11F P ，22F P 是圆C 的切线，且1122F P F P ⊥由圆和椭圆的对称性，易知21x x =-，12y y =1212PP x =．由（1）知()11,0F -，()21,0F ，所以()11111,F P x y =+，()22111,F P x y =--，再由1122F P F P ⊥ 得()221110x y -++=，由椭圆方程得()2211112x x -=+，即211340x x +=， 解得143x =-或10x = 当10x =时，1P ，2P 重合，此时题设要求的圆不存在． 当143x =-时，过1P ，2P 分别与11F P ，22F P 垂直的直线的交点即为圆心C ，设()00,C y 由111CP F P ⊥，得1011111y y y x x -⋅=-+，而11113y x =+=，故053y = 圆C的半径13CP == 综上，存在满足条件的圆，其方程为：2253239x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭．22．【答案】（1）26y x =-（2x ≤-或2x ≥）；（2． 【解析】（1）曲线C 的参数方程为221,14, x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩①②（t 为参数），将①式两边平方，得22212x t t=++③， ③②，得26x y -=，即26y x =-，因为112x t t t t =+=+≥=，当且仅当1t t =，即1t =±时取“=”，所以2x ≥，即2x ≤-或2x ≥，所以曲线C 的普通方程为26y x =-（2x ≤-或2x ≥）．（2）因为曲线C 的直角坐标系方程为26y x =-（2x ≤-或2x ≥），所以把cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入得：22sin cos 6ρθρθ=-，()cos 2ρθ≥，则曲线C 的极坐标方程为22sin cos 6ρθρθ=-，()cos 2ρθ≥设A ，B 的极坐标分别为1,6A πρ⎛⎫⎪⎝⎭，2,6B πρ⎛⎫⎪⎝⎭，由226sin cos 6πθρθρθ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ 得22sincos 666ππρρ=-，即232240ρρ--=，且ρ≥因为44324473∆=+⨯⨯=⨯，∴ρ=ρ=，满足ρ≥，不妨设1ρ=2ρ=所以12AB ρρ=-=注：没考虑ρ≥要酌情扣分 23．【解析】（1）()12,,411111,,4424412,4x x f x x x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=-++=-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩所以不等式的解集为[]1,1M =-．（2）要证a b ≥-，只需证a b ≥-，即证()241ab a b -≥-，只需证22442ab a ab b -≥-+，即2242a ab b ≥++，即证()24a b ≥+，只需证2a b ≥+ 因为a ，b M ∈，所以2a b +≤， 所以所证不等式成立．。
2020届四川省成都市第七中学高三上学期一诊模拟数学(理)试题(解析版)
2020届四川省成都市第七中学高三上学期一诊模拟数学（理）试题一、单选题1．复数(,)z a bi a b R =+∈的虚部记作Im()z b =，则3Im 1i i +⎛⎫= ⎪+⎝⎭（ ） A ．-1 B ．0C ．1D ．2【答案】A【解析】直接由复数代数形式的乘除运算化简31ii++，再根据题目中定义的复数的虚部，可得答案． 【详解】 解：Q3(3)(1)4221(1)(1)2i i i ii i i i ++--===-++-， 又复数(,)z a bi a b R =+∈的虚部记作()Im z b =， 3()11iIm i+∴=-+． 故选：A ． 【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算、虚部的定义，属于基础题． 2．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为( )A ．3B ．6-C ．10D ．15-【答案】C【解析】程序框图的作用是计算22221234-+-+，故可得正确结果.【详解】根据程序框图可知2222123410S =-+-+=，故选C. 【点睛】本题考查算法中的选择结构和循环结构，属于容易题.3．关于函数()tan f x x =的性质，下列叙述不正确的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为2π B ．()f x 是偶函数C ．()f x 的图象关于直线()2k x k Z π=∈对称 D ．()f x 在每一个区间(,)()2k k k Z πππ+∈内单调递增【答案】A【解析】试题分析：因为1()tan()()22tan f x x f x xππ+=+=≠，所以A 错；()tan()tan ()f x x x f x -=-==，所以函数()f x 是偶函数，B 正确；由()tan f x x =的图象可知，C 、D 均正确；故选A. 【考点】正切函数的图象与性质.4．已知0,0a b >>，则“1a ≤且1b ≤”是“2a b +≤且1ab ≤”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】试题分析：当01a <≤且01b <≤时，由不等式性质可得2a b +≤且1ab ≤；当31,22a b ==，满足2a b +≤且1ab ≤，但不满足1a ≤且1b ≤，所以“1a ≤且1b ≤”是“2a b +≤且1ab ≤”的充分不必要条件，故选A.【考点】1.不等式性质；2.充要条件.5．如果21nx x ⎫⎪⎭的展开式中含有常数项，则正整数n 的最小值是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】C【解析】利用二项展开式的通项公式中x 的指数为0,得到5n r =,由此可得正整数n 的最小值是5. 【详解】因为21nx x ⎫⎪⎭的展开式的通项公式为52121()()(1)n rr n r r r rr n n T C x C x x --+=-=-,(0,1,2,)r n =K ,令52n r-=,则5n r=,因为*n N∈,所以1r=时,n取最小值5.故选:C【点睛】本题考查了二项展开式的通项公式,利用通项公式是解题关键,属于基础题.6．在约束条件：1210xyx y≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩下，目标函数(0,0)z ax by a b=+>>的最大值为1，则ab的最大值等于（）A．12B．38C．14D．18【答案】D【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数取得最大值，确定a，b的关系，利用基本不等式求ab的最大值．【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分），由(0,0)z ax by a b=+>>，则a zy xb b=-+，平移直线a zy xb b=-+，由图象可知当直线a zy xb b=-+经过点(1,2)A时直线的截距最大，此时z最大为1．代入目标函数z ax by=+得21a b+=．则1222a b ab=+…，则18ab…当且仅当122a b==时取等号，ab∴的最大值等于18，故选：D．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合以及基本不等式是解决此类问题的基本方法．7．设{a n }是有正数组成的等比数列，n S 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝（ ） A ．152B ．314C ．334D ．172【答案】B【解析】由等比数列的性质易得a 3＝1，进而由求和公式可得q 12=，再代入求和公式计算可得． 【详解】由题意可得a 2a 4＝a 32＝1，∴a 3＝1， 设{a n }的公比为q ，则q ＞0， ∴S 3211q q =++1＝7，解得q 12=或q 13=-（舍去）， ∴a 121q ==4，∴S 551413121412⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭==-故选B. 【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，属基础题．8．用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有（ ）A ．288个B ．306个C ．324个D ．342个 【答案】C【解析】试题分析：当个位、十位、百位全为偶数时，有3313434390C A C A -=；当个位、十位、百位为两个奇数、一个偶数时，有21312133434333234C C A A C C A -=，所以共有90234324+=种,故选C.【考点】1.分类计数原理与分步计数原理；2.排列与组合.【名师点睛】本题主要考查两个基本原理与排列、组合知识的综合应用问题，属难题；计数原理应用的关键问题是合理的分类与分步，分类要按时同一个的标准进行，要做到不重不漏，分类运算中的每一类根据实际情况，要分步进行.9．已知函数()f x 对x R ∀∈都有()(4)f x f x =-，且其导函数()f x '满足当2x ≠时,(2)()0x f x '->，则当24a <<时，有（ ）A ．()()22(2)log af f f a <<B ．()()2log (2)2af a f f <<C ．()()2log 2(2)af a f f <<D ．()()2(2)log 2af f a f <<【解析】根据导函数()f x '满足当2x ≠时,(2)()0x f x '->,可得()f x 在(,2)-∞上递减,在(2,)+∞上递增,可得(2)f 为最小值,再根据对称轴和单调性可得2(log )(2)a f a f <,从而可知选D【详解】因为函数()f x 对x R ∀∈都有()(4)f x f x =-, 所以()f x 的图象关于2x =对称,又当2x >时,'()0f x >,2x <时,'()0f x <, 所以()f x 在(,2)-∞上递减,在(2,)+∞上递增, 所以2x =时,函数取得最小值,因为24a <<,所以2221log 2log log 42a =<<=,2224a >=, 所以224log 3a <-<, 所以224log 2aa <-<,所以2(4log )(2)af a f -<,所以2(log )(2)af a f <,所以()()2(2)log 2af f a f <<.故选:D 【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调性,考查了利用单调性比较大小,考查了利用对数函数的单调性比较大小,属于中档题.10．对圆22(1)(1)1x y -+-=上任意一点(,)P x y ，|349||34|x y x y a --+-+的取值与x ，y 无关，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[6,)+∞ B ．[4,6]-C ．(4,6)-D ．(,4]-∞-【答案】A【解析】首先将|349||34|x y x y a --+-+的取值与x ，y 无关,转化为圆上的点到直线1;3490l x y --=的距离与到直线2:340l x y a -+=的距离之和与,x y 无关,继续转化为直线2:340l x y a -+=必与圆相离或相切,且圆在1;3490l x y --=与2:340l x y a -+=之间,再根据圆心到直线的距离小于等于半径且(349)(34)0a ---+≤,解不等式组可得答案.因为|349||34|x y x y a --+-+的取值与x ，y 无关, 所以24223434++的取值与x ，y 无关,24223434++的取值与x ，y 无关, 即圆上的点到直线1;3490l x y --=的距离与到直线2:340l x y a -+=的距离之和与,x y 无关, 因为圆心(1,1)到直线1;3490l x y --=222134=>+,所以直线1;3490l x y --=与圆相离,所以直线2:340l x y a -+=必与圆相离或相切,且圆在1;3490l x y --=与2:340l x y a -+=之间, 22134≥+,且(349)(34)0a ---+≤,所以6a ≥或4a ≤- 且1a ≥, 所以6a ≥. 故选:A 【点睛】本题考查了点到直线的距离公式,利用点到直线的距离公式将问题转化为直线2:340l x y a -+=必与圆相离或相切,且圆在1;3490l x y --=与2:340l x y a -+=之间是解题关键,属于中档题. 11．若a r，b r，c r满足，||||2||2a b c ===rrr ，则()()a b c b -⋅-rrrr的最大值为（ ） A ．10 B ．12C ．3D ．62【答案】B【解析】设OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，OC c =u u u r r ，表示出a b -r r，-r r c b 利用向量的数量积的定义求出最值.【详解】解：设OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，OC c =u u u r r ，则a b BA -=r r uu r ，c b BC -=r r u u u r()()cos a b c b BA BC BA BC ABC ∴--==⋅∠r r r r u u u r u u u r u u u r u u u rg g||||2||2a b c ===r r rQ4BA ∴≤u u u r ，3BC ≤u u u r当且仅当BA u u u r ，BC u u ur 同向时()()a b c b --r r r r g 取最大值12故()()max12a b c b--=r r r rg 故选：B 【点睛】本题考查向量的数量积的定义，属于中档题.12．已知棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -,点E 是棱AB 的中点，12CF FC =u u u r u u u u r，动点P 在正方形11AA DD （包括边界）内运动，且1PB P 面DEF ，则PC 的长度范围为（ ） A ．[13,19] B ．335,19⎡⎤⎢⎥⎣ C ．335,13⎡⎤⎢⎥⎣ D ．339,19⎡⎤⎢⎥⎣ 【答案】B【解析】如图:先作出过1B P 且与平面DEF 平行的平面,可知点P 的轨迹为QN ,然后根据平面几何知识求出DP 的最小值和最大值,根据勾股定理可求出PC 的取值范围. 【详解】 如图所示:在1AA 上取点Q ,使得112AQ QA =,连接1B Q ,因为12CF FC =u u u r u u u u r ,所以1//B Q DF ;取11C D 的中点M ,连接1B M ,因为E 为AB 的中点,所以1//B M DE ; 因此平面1//B QM 平面DEF ,过M 作//MN DF 交1DD 于N ,则四点1,,,B Q N M 共面,且123DN DD =, 因为1//B P 平面DEF ,所以点P 在线段QN 上运动, 连接DP ,根据正方体的性质可知CD DP ⊥, 所以22PC CD DP +,在平面QADN 中,1=AQ ,3AD =,2DQ =,所以23110DN =+=,21310DQ =+=,所以点D 到QN 的距离为132310215102⨯⨯=⨯, 所以DP 的最小值为310,最大值为10, 所以PC 的最小值为22310335()355+=,最大值为22(10)319+=. 所以PC 的取值范围是335,195⎡⎤⎢⎥⎣.故选:B 【点睛】本题考查了作几何体的截面,考查了平面与平面平行的判定,考查了立体几何中的轨迹问题,关键是作出点P 的运动轨迹,属于中档题.二、填空题13．命题“2,1x N x ∀∈>”的否定为__________．” 【答案】2,1x N x ∃∈≤【解析】全称命题“,()x M p x ∀∈”的否定是存在性命题“,()x M p x ∃∈⌝”，所以“2,1x N x ∀∈>”的否定是“2,1x N x ∃∈≤”． 14．在样本的频率分布直方图中, 共有9个小长方形, 若第一个长方形的面积为0.02, 前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差是互为相反数,若样本容量为1600, 则中间一组（即第五组）的频数为 ▲ . 【答案】360 【解析】略15．设、分别是抛物线的顶点和焦点，是抛物线上的动点，则的最大值为__________.【答案】【解析】试题分析：设点的坐标为，由抛物线的定义可知，，则，令，则,,所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值为.【考点】1.抛物线的定义及几何性质；2.基本不等式.【名师点睛】本题主要考查抛物线的定义及几何性质、基本不等式，属中档题；求圆锥曲线的最值问题，可利用定义和圆锥曲线的几何性质，利用其几何意义求之，也可根据已知条件把所求的问题用一个或两个未知数表示，即求出其目标函数，利用函数的性质、基本不等式或线性规划知识求之.16．已知，，则的最小值为．【答案】【解析】试题分析：因为，所以，则（当且仅当，即时，取等号）；故填．【方法点睛】本题考查利用基本不等式求函数的最值问题，属于难题；解决本题的关键是消元、裂项，难点是合理配凑、恒等变形，目的是出现基本不等式的使用条件（正值、定积），再利用基本不等式进行求解，但要注意验证等号成立的条件.【考点】基本不等式．三、解答题17．设的内角、、所对的边分别为、、,已知,且.（1）求角的大小;（2）若向量与共线, 求的值.【答案】(1);(2)。