2020-2021哈尔滨市高一数学下期末一模试题(带答案)
2020-2021哈尔滨市高一数学下期末一模试题(带答案)一、选择题1．如图，在ABC ∆中，已知5AB =，6AC =，12BD DC =u u u v u u u v ，4AD AC ⋅=u u u v u u u v ，则AB BC ⋅=u u u v u u u vA ．-45B ．13C ．-13D ．-372．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -，其中AC BC ⊥，若11AA AB ==，当“阳马”即四棱锥11B A ACC -体积最大时，“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -的表面积为A ．21+B ．31+C ．2232+ D ．33+ 3．设样本数据1210,,,x x x L 的均值和方差分别为1和4，若(i i y x a a =+为非零常数，1,2,,10)i =L ，则1210,,,y y y L 的均值和方差分别为（ ）A ．1,4a +B ．1,4a a ++C ．1,4D ．1,4a +4．若||1OA =u u u v ，||3OB =u u u v ，0OA OB ⋅=u u u v u u u v，点C 在AB 上，且30AOC ︒∠=，设OC mOA nOB u u u v u u u v u u u v =+(,)m n R ∈，则mn的值为（ ）A ．13B ．3C ．3 D ．35．函数223()2xx xf x e +=的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知1sin 34πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．58-B ．58C ．78-D ．787．若函数()sin cos f x x x ωω=-(0)>ω在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值不可能为（ ） A ．14B ．15C ．12D ．348．函数()lg ||f x x x =的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．9．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生10．已知二项式2(*)nx n N x ⎛∈ ⎝的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，则3x 的系数为（ ） A ．14B ．14-C ．240D ．240-11．已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（ ） A ．7B ．6C ．5D ．412．若函数()(1)(0xxf x k a a a -=-->且1a ≠）在R 上既是奇函数,又是减函数,则()log ()a g x x k =+的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知2a b ==r r ，()()22a b a b +⋅-=-r r r r ，则a r 与b r的夹角为 .14．已知数列{}n a 为正项的递增等比数列，1582a a +=，2481a a ⋅=，记数列2n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则使不等式12019113n T ->成立的最大正整数n 的值是_______． 15．等边ABC ∆的边长为2，则AB u u u v 在BC uuuv 方向上的投影为________．16．设向量(12)(23)a b ==r r ，，，，若向量a b λ+r r 与向量(47)c =--r ，共线，则λ= 17．关于函数()sin sin f x x x =+有如下四个结论： ①()f x 是偶函数；②()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；③()f x 最大值为2；④()f x 在[],ππ-上有四个零点，其中正确命题的序号是_______．18．在200m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°,60°，则塔高 为19．如图，棱长均为2的正四棱锥的体积为_______．20．若a 10=12，a m =22，则m =______．三、解答题21．如图，四棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，3AB AD AC ===，4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点． （I ）证明MN ∥平面PAB ； （II ）求四面体N BCM -的体积.22．已知函数()()22f x sin x cos x 23sin x cos x x R =--∈（I ）求2f 3π⎛⎫⎪⎝⎭的值 （II ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间. 23．投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂，经营中，第一年支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元，设表示前n 年的纯利润总和（前年总收入-前年的总支出 -投资额72万元）（Ⅰ）该厂从第几年开始盈利？（Ⅱ）该厂第几年平均纯利润达到最大？并求出年平均纯利润的最大值. 24．已知数列{}n a 满足：()*22,21,n n a S n a n N ==+∈（1）设数列{}n b 满足()11nn b n a =•+，求{}n b 的前n 项和n T ：（2）证明数列{}n a 是等差数列，并求其通项公式；25．我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x （吨）、一位居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[)[)0,0.5,0.5,1,...,[)4,4.5分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.（1）求直方图中a 的值；（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由； （3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x （吨），估计x 的值，并说明理由.26．已知ABC ∆的三个顶点坐标分别为()4,2A --，()4,2B ，()13C ，． （1）求边AB 上的高所在直线的一般式方程； （2）求边AB 上的中线所在直线的一般式方程.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】先用AB u u u v 和AC uuu v表示出2A AB BC AB C AB ⋅=⋅-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，再根据，12BD DC =u u u v u u u v 用用AB u u u v 和AC uuu v 表示出AD u u u v，再根据4AD AC ⋅=u u u v u u u v 求出A AB C ⋅u u u v u u u v 的值，最后将A AB C ⋅u u u v u u u v 的值代入2A AB BC AB C AB ⋅=⋅-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，，从而得出答案． 【详解】()2 A =A AB BC AB C AB AB C AB ⋅=⋅-⋅-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，∵12BD DC =u u u v u u u v ，∴111B C ?C B 222AD A A AD AD A AD A -=-=-+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v（），整理可得：12 AB 33AD AC +u u u v u u u v u u u v＝， 221A A 433AD AC AB C C ∴⋅⋅+=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ＝∴ A =-12AB C ⋅u u u v u u u v ， ∴2 =A =122537AB BC AB C AB ⋅⋅---=-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ．，故选：D ． 【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算，注意运用平面向量的基本定理，以及向量的数量积的性质，考查了运算能力，属于中档题．2．C解析：C 【解析】分析：由四棱锥11B A ACC -的体积是三棱柱体积的23，知只要三棱柱体积最大，则四棱锥体积也最大，求出三棱柱的体积后用基本不等式求得最大值，及取得最大值时的条件，再求表面积．详解：四棱锥11B A ACC -的体积是三棱柱体积的23，11111122ABC A B C V AC BC AA AC BC -=⋅⋅=⋅222111()444AC BC AB ≤+==，当且仅当AC BC ==时，取等号．∴12(1)122222S =⨯⨯+++⨯32+=． 故选C ．点睛：本题考查棱柱与棱锥的体积，考查用基本不等式求最值．解题关键是表示出三棱柱的体积．3．A解析：A 【解析】试题分析：因为样本数据1210,,,x x x L 的平均数是1,所以1210,,...y y y 的平均数是121012101210.........1101010y y y x a x a x a x x x a a ++++++++++++==+=+；根据i i y x a =+（a 为非零常数，1,2,,10i =L ），以及数据1210,,,x x x L 的方差为4可知数据1210,,,y y y L 的方差为2144⨯=，综上故选A. 考点：样本数据的方差和平均数．4．B解析：B 【解析】 【分析】利用向量的数量积运算即可算出． 【详解】解：30AOC ︒∠=Qcos ,OC OA ∴<>=u u u r u u u r2OC OA OC OA⋅∴=u u u r u u u r u u u r u u u r()2mOA nOB OA mOA nOBOA+⋅∴=+u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r=1OA =Q，OB =，0OA OB ⋅=2= 229m n ∴=又C Q 在AB 上0m ∴>，0n > 3m n∴= 故选：B 【点睛】本题主要考查了向量的基本运算的应用，向量的基本定理的应用及向量共线定理等知识的综合应用．5．B解析：B 【解析】由()f x 的解析式知仅有两个零点32x =-与0x =，而A 中有三个零点，所以排除A ，又()2232xx x f x e-++'=，由()0f x '=知函数有两个极值点，排除C ，D ，故选B ． 6．C【解析】 由题意可得：1sin sin cos 32664ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 则217cos 2cos 22cos 121366168πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+-=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 本题选择C 选项.7．D解析：D 【解析】∵()sin cos (0)4f x x x x πωωωω⎛⎫=-=-> ⎪⎝⎭∴令22,242k x k k Z ππππωπ-+≤-≤+∈，即232,44k k x k Z ππππωωωω-+≤≤+∈ ∵()sin cos (0)f x x x ωωω=->在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增 ∴42ππω-≤-且342ππω≥ ∴102ω<≤故选D. 8．D 解析：D 【解析】 【分析】分析函数()y f x =的定义域、奇偶性及其在()0,1上的函数值符号，可得出结论. 【详解】函数()lg f x x x =的定义域为{}0x x ≠，定义域关于原点对称，()()lg lg f x x x x x f x -=--=-=-，函数()y f x =为奇函数，排除A 、C 选项；当01x <<时，lg 0x <，此时()lg 0f x x x =<，排除B 选项. 故选：D. 【点睛】本题考查由函数的解析式选择函数图象，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，考查推理能力，属于中等题.9．C解析：C 【解析】等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案． 【详解】详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{}n a ，公差10d =， 所以610n a n=+()n *∈N ，若8610n =+，则15n =，不合题意；若200610n =+，则19.4n =，不合题意； 若616610n =+，则61n =，符合题意；若815610n =+，则80.9n =，不合题意．故选C ． 【点睛】本题主要考查系统抽样.10．C解析：C 【解析】 【分析】由二项展开式的通项公式为()12rn rrr n T C x -+⎛= ⎝及展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5可得：6n =，令展开式通项中x 的指数为3，即可求得2r =，问题得解． 【详解】二项展开式的第1r +项的通项公式为()12rn rrr n T C x -+⎛= ⎝由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，可得：12:2:5n n C C =. 解得：6n =. 所以()()366216221rr n rr rr r r nT C x C x---+⎛==- ⎝令3632r -=，解得：2r =， 所以3x 的系数为()2262621240C --=故选C 【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式，考查了方程思想及计算能力，还考查了分析能力，属于中档题．11．B【解析】由题意知，点P 在以原点（0，0）为圆心，以m 为半径的圆上，又因为点P 在已知圆上，所以只要两圆有交点即可，所以15m -=，故选B.考点：本小题主要考查两圆的位置关系，考查数形结合思想，考查分析问题与解决问题的能力.12．A解析：A 【解析】 【分析】由题意首先确定函数g (x )的解析式，然后结合函数的解析式即可确定函数的图像. 【详解】∵函数()(1)xxf x k a a -=--(a >0,a ≠1)在R 上是奇函数，∴f (0)=0，∴k =2， 经检验k =2满足题意， 又函数为减函数， 所以01a <<， 所以g (x )=log a (x +2)定义域为x >−2，且单调递减， 故选A . 【点睛】本题主要考查对数函数的图像，指数函数的性质，函数的单调性和奇偶性的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题13．【解析】【分析】【详解】根据已知条件去括号得： 解析：60︒【解析】 【分析】 【详解】根据已知条件(2)()2a b a b +⋅-=-rrrr，去括号得：222422cos 242a a b b θ+⋅-=+⨯⨯-⨯=-rr r r ，1cos ,602θθ︒⇒==14．6【解析】【分析】设等比数列{an}的公比q 由于是正项的递增等比数列可得q ＞1由a1+a5=82a2•a4=81=a1a5∴a1a5是一元二次方程x2﹣82x+81=0的两个实数根解得a1a5利用通解析：6 【解析】【分析】设等比数列{a n }的公比q ，由于是正项的递增等比数列，可得q ＞1．由a 1+a 5=82，a 2•a 4=81=a 1a 5，∴a 1，a 5，是一元二次方程x 2﹣82x+81=0的两个实数根，解得a 1，a 5，利用通项公式可得q ，a n ．利用等比数列的求和公式可得数列{2na }的前n 项和为T n ．代入不等式2019|13T n ﹣1|＞1，化简即可得出． 【详解】数列{}n a 为正项的递增等比数列，1582a a +=，a 2•a 4=81=a 1a 5，即15158281a a a a +=⎧⎨⋅=⎩解得15181a a =⎧⎨=⎩，则公比3q =，∴13n n a -=， 则2122221333n n T -=++++L 11132311313n n -⎛⎫=⨯=- ⎪⎝⎭-， ∴12019113n T ->，即1201913n ⨯>，得32019n <，此时正整数n 的最大值为6. 故答案为6. 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、一元二次方程的解法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．【解析】【分析】建立直角坐标系结合向量的坐标运算求解在方向上的投影即可【详解】建立如图所示的平面直角坐标系由题意可知：则：且据此可知在方向上的投影为【点睛】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算向量投 解析：1-【解析】 【分析】建立直角坐标系，结合向量的坐标运算求解AB u u u r 在BC uuu r方向上的投影即可. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知：()0,0A ，()2,0B，(C ，则：()2,0AB =uu u r，(BC =-u u u v ，2AB BC ⋅=-u u u r u u u r且2AB =u u u r，BC =u u u v据此可知AB u u u r 在BC uuu r 方向上的投影为212AB BC AB⋅-==-u u u v u u u vu u uv .【点睛】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算，向量投影的定义与计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16．2【解析】【分析】由题意首先求得向量然后结合向量平行的充分必要条件可得的值【详解】=由向量共线的充分必要条件有：故答案为2【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算向量平行的充分必要条件等知识意在考查学解析：2 【解析】 【分析】由题意首先求得向量a b λ+rr，然后结合向量平行的充分必要条件可得λ的值. 【详解】a bλ+r r =(,2(2,3)(2,23λλλλ+=++））， 由向量共线的充分必要条件有：()()(2)7(23)42λλλ+⋅-=+⋅-⇒=. 故答案为2． 【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算，向量平行的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.17．①③【解析】【分析】利用奇偶性的定义判定函数的奇偶性可判断出命题①的正误；在时去绝对值化简函数的解析式可判断函数在区间上的单调性可判断命题②的正误；由以及可判断出命题③的正误；化简函数在区间上的解析解析：①③ 【解析】 【分析】利用奇偶性的定义判定函数()y f x =的奇偶性，可判断出命题①的正误；在,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，去绝对值，化简函数()y f x =的解析式，可判断函数()y f x =在区间,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上的单调性，可判断命题②的正误；由22f π⎛⎫=⎪⎝⎭以及()2f x ≤可判断出命题③的正误；化简函数()y f x =在区间[],ππ-上的解析式，求出该函数的零点，即可判断命题④的正误. 【详解】对于命题①，函数()sin sin f x x x =+的定义域为R ，关于原点对称，且()()()sin sin sin sin sin sin f x x x x x x x f x -=-+-=+-=+=，该函数为偶函数，命题①正确； 对于命题②，当2x ππ<<时，sin 0x >，则()sin sin 2sin f x x x x =+=，则函数()y f x =在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，命题②错误；对于命题③，sin 1x ∴≤，sin 1x ≤，()2f x ∴≤，又22f π⎛⎫=⎪⎝⎭Q ，所以，函数()y f x =的最大值为2，命题③正确；对于命题④，当0πx <<时，sin 0x >，()sin sin 2sin 0f x x x x =+=>， 由于该函数为偶函数，当0x π-<<时，()0f x >， 又()()()00ff f ππ=-==Q ，所以，该函数在区间[],ππ-上有且只有三个零点.因此，正确命题的序号为①③. 故答案为：①③. 【点睛】本题考查与三角函数相关命题真假的判断，涉及三角函数的奇偶性、单调性、最值以及零点的判断，解题的关键就是将三角函数的解析式化简，考查推理能力，属于中等题.18．【解析】【分析】【详解】试题分析：根据题意设塔高为x 则可知a 表示的为塔与山之间的距离可以解得塔高为考点：解三角形的运用点评：主要是考查了解三角形中的余弦定理和正弦定理的运用属于中档题 解析：【解析】 【分析】 【详解】试题分析：根据题意，设塔高为x ，则可知00tan 60=,t 2an 30=00200a ax-，a 表示的为塔与山之间的距离，可以解得塔高为．考点：解三角形的运用点评：主要是考查了解三角形中的余弦定理和正弦定理的运用，属于中档题．19．【解析】在正四棱锥中顶点S 在底面上的投影为中心O 即底面ABCD 在底面正方形ABCD 中边长为2所以OA=在直角三角形SOA 中所以故答案为 解析：42【解析】在正四棱锥中，顶点S 在底面上的投影为中心O ，即SO ⊥底面ABCD ，在底面正方形ABCD 中，边长为2，所以OA=2，在直角三角形SOA 中()2222222SO SA OA =-=-=所以1122233V sh ==⨯⨯⨯=42故答案为42320．5【解析】解析：5 【解析】10521,522a a m ==== 三、解答题21．(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)453. 【解析】试题分析：（Ⅰ）取PB 的中点T ，然后结合条件中的数据证明四边形AMNT 为平行四边形，从而得到MN AT P ，由此结合线面平行的判断定理可证；（Ⅱ）由条件可知四面体N-BCM 的高，即点N 到底面的距离为棱PA 的一半，由此可顺利求得结果． 试题解析：（Ⅰ）由已知得，取的中点T ，连接，由N 为中点知，.又，故平行且等于，四边形AMNT 为平行四边形，于是.因为平面，平面，所以平面.（Ⅱ）因为平面，N 为的中点，所以N 到平面的距离为.取的中点，连结.由得，.由得到的距离为，故145252BCM S =⨯⨯=V . 所以四面体的体积14532N BCM BCM PA V S -=⨯⨯=V . 【考点】直线与平面间的平行与垂直关系、三棱锥的体积【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求三棱锥的体积关键是确定其高，而高的确定关键又找出顶点在底面上的射影位置，当然有时也采取割补法、体积转换法求解．22．（I ）2；（II ）()f x 的最小正周期是π，2+k +k k 63Z ππππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，.【解析】 【分析】（Ⅰ）直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的值．（Ⅱ）直接利用函数的关系式，求出函数的周期和单调区间． 【详解】（Ⅰ）f （x ）＝sin 2x ﹣cos 2x 23-x cos x ， ＝﹣cos2x 3-x ，＝﹣226sin x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 则f （23π）＝﹣2sin （436ππ+）＝2， （Ⅱ）因为()2sin(2)6f x x π=-+． 所以()f x 的最小正周期是π． 由正弦函数的性质得3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈， 解得2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 所以，()f x的单调递增区间是2[,]63k k k ππ+π+π∈Z ，． 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数的性质，是高考中的常考知识点，属于基础题，强调基础的重要性；三角函数解答题中，涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等考点时，都属于考查三角函数的性质，首先应把它化为三角函数的基本形式即，然后利用三角函数的性质求解．23．（I ）从第三年开始盈利；（II ）第6年，投资商年平均纯利润达到最大，年平均纯利润最大值16万元 【解析】 【分析】 【详解】 (Ⅰ)依题意前年总收入- 前年的总支出- 投资额72万元,可得由得,解得由于,所以从第3年开始盈利.(Ⅱ)年平均利润当且仅当,即时等号成立即第6年, 投资商平均年平均纯利润最大,最大值为16万元 24．（1）()1122n n T n +=-⋅+（2）证明见解析,n a n =【解析】 【分析】（1）令n =1，即可求出11a =，计算出2nn b n =•，利用错位相减求出n T 。
2020-2021长春市高三数学下期末一模试卷(附答案)
转化为 xex a 0 在 (1, ) 上有不等于 2 的解，令 g x xex ，利用奥数求得函数的单
调性，得到 a g 1 e 且 a g 2 2e2 ，又由 f (x) 在 (1, 2) 上单调递增，得到
f x 0 在 (1, 2) 上恒成立，进而得到 a xex 在 (1, 2) 上恒成立，借助函数 g x xex 在
25．如图，在四面体 ABCD 中，△ABC 是等边三角形，平面 ABC⊥平面 ABD，点 M 为棱
AB 的中点，AB=2，AD= 2 3 ，∠BAD=90°．
（Ⅰ）求证：AD⊥BC； （Ⅱ）求异面直线 BC 与 MD 所成角的余弦值； （Ⅲ）求直线 CD 与平面 ABD 所成角的正弦值．
26．已知椭圆
式 an ____；
14．若正数 a, b 满足 ab a b 3，则 a b 的取值范围_______________。
15．若三点 A(2,3), B(3, 2),C(1 , m) 共线，则 m的值为
．
2
16．在 ABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ， c 4 ， a 4 2 sin A ，且 C 为锐 角，则 ABC 面积的最大值为________.
即 a xex 在 (1, 2) 上恒成立，
又由函数 g x xex 在 (1, ) 为单调递增函数，所以 a g(2) 2e2 ，
综上所述，可得实数 a 的取值范围是 a 2e2 ，即 a (2e2, ) ，故选 C.
【点睛】 本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计 算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲 线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参 数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合 思想的应用.
2020-2021学年必修二高一数学下学期期末第八章 立体几何初步(章节专练解析版)
第八章 立体几何初步（章节复习专项训练）一、选择题1．如图，在棱长为1正方体ABCD 中，点E ，F 分别为边BC ，AD 的中点，将ABF ∆沿BF 所在的直线进行翻折，将CDE ∆沿DE 所在直线进行翻折，在翻折的过程中，下列说法错误．．的是A ．无论旋转到什么位置，A 、C 两点都不可能重合B ．存在某个位置，使得直线AF 与直线CE 所成的角为60︒C ．存在某个位置，使得直线AF 与直线CE 所成的角为90︒D ．存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 所成的角为90︒【答案】D【详解】解：过A 点作AM⊥BF 于M ，过C 作CN⊥DE 于N 点在翻折过程中，AF 是以F 为顶点，AM 为底面半径的圆锥的母线，同理，AB ，EC ，DC 也可以看成圆锥的母线；在A 中，A 点轨迹为圆周，C 点轨迹为圆周，显然没有公共点，故A 正确；在B 中，能否使得直线AF 与直线CE 所成的角为60°，又AF ，EC 分别可看成是圆锥的母线，只需看以F 为顶点，AM 为底面半径的圆锥的轴截面的顶角是否大于等于60°即可，故B 正确；在C 中，能否使得直线AF 与直线CE 所成的角为90°，只需看以F 为顶点，AM 为底面半径的圆锥的轴截面的顶角是否大于等于90°即可，故C 正确；在D 中，能否使得直线AB 与直线CD 所成的角为90︒，只需看以B 为顶点，AM 为底面半径的圆锥的轴截面的顶角是否大于等于90°即可，故D 不成立；故选D ．2．如图所示，多面体ABCDEF 中，已知平面ABCD 是边长为3的正方形，//EF AB ，32EF =，EF 到平面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积V 为（ ）A ．92B ．5C ．6D ．152【答案】D【详解】解法一：如图，连接EB ，EC ，AC ，则213263E ABCD V -=⨯⨯=.2AB EF =，//EF AB2EAB BEF S S ∆∆∴=.12F EBC C EFB C ABE V V V ---=∴= 11132222E ABC E ABCD V V --==⨯=. E ABCDF EBC V V V --∴=+315622=+=. 解法二：如图，设G ，H 分别为AB ，DC 的中点，连接EG ，EH ，GH ，则//EG FB ，//EH FC ，//GH BC ，得三棱柱EGH FBC -，由题意得123E AGHD AGHD V S -=⨯ 1332332=⨯⨯⨯=， 133933332222GH FBC B EGH E BGH E GBCH E AGHD V V V V V -----===⨯==⨯=⨯， 915322E AGHD EGH FBC V V V --=+=+=∴. 解法三：如图，延长EF 至点M ，使3EM AB ==，连接BM ，CM ，AF ，DF ，则多面体BCM ADE -为斜三棱柱，其直截面面积3S =，则9BCM ADE V S AB -=⋅=.又平面BCM 与平面ADE 平行，F 为EM 的中点，F ADE F BCM V V --∴=，2F BCM F ABCD BCM ADE V V V ---∴+=， 即12933233F BCM V -=-⨯⨯⨯=， 32F BCM V -∴=，152BCM ADE F BCM V V V --=-=∴. 故选：D 3．下列命题中正确的是A ．若a ，b 是两条直线，且a ⊥b ，那么a 平行于经过b 的任何平面B ．若直线a 和平面α满足a ⊥α，那么a 与α内的任何直线平行C ．平行于同一条直线的两个平面平行D ．若直线a ，b 和平面α满足a ⊥b ，a ⊥α，b 不在平面α内，则b ⊥α【答案】D【详解】解：如果a ，b 是两条直线，且//a b ，那么a 平行于经过b 但不经过a 的任何平面，故A 错误； 如果直线a 和平面α满足//a α，那么a 与α内的任何直线平行或异面，故B 错误；如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线可能平行，也可能相交，也可能异面，故C 错误； D 选项：过直线a 作平面β，设⋂=c αβ，又//a α//a c ∴又//a b//b c ∴又b α⊂/且c α⊂//b α∴．因此D 正确．故选：D ．4．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，M 为棱BB 1的中点，则下列结论中错误的是( )A ．D 1O⊥平面A 1BC 1B ．MO⊥平面A 1BC 1C ．二面角M －AC －B 等于90°D ．异面直线BC 1与AC 所成的角等于60°【答案】C【详解】对于A ，连接11B D ，交11AC 于E ，则四边形1DOBE 为平行四边形 故1D O BE1D O ⊄平面11,A BC BE ⊂平面111,A BC DO ∴平面11A BC ，故正确对于B ，连接1B D ，因为O 为底面ABCD 的中心，M 为棱1BB 的中点，1MO B D ∴,易证1B D ⊥平面11A BC ，则MO ⊥平面11A BC ，故正确；对于C ，因为,BO AC MO AC ⊥⊥，则MOB ∠为二面角M AC B --的平面角，显然不等于90︒，故错误对于D ，1111,AC AC AC B ∴∠为异面直线1BC 与AC 所成的角，11AC B ∆为等边三角形，1160AC B ∴∠=︒，故正确故选C5．如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，E 、F 分别是棱1AA 和1BB 的中点，过EF 的平面EFGH 分别交BC 和AD 于点G 、H ，则GH 与AB 的位置关系是A ．平行B ．相交C ．异面D ．平行或异面【答案】A【详解】 在长方体1111ABCD A BC D -中，11//AA BB ，E 、F 分别为1AA 、1BB 的中点，//AE BF ∴，∴四边形ABFE 为平行四边形，//EF AB ∴， EF ⊄平面ABCD ，AB 平面ABCD ，//EF ∴平面ABCD ，EF ⊂平面EFGH ，平面EFGH平面ABCD GH =，//EF GH ∴， 又//EF AB ，//GH AB ∴，故选A.6．如图所示，点S 在平面ABC 外，SB⊥AC ，SB=AC=2，E 、F 分别是SC 和AB 的中点，则EF 的长是A ．1 BC ．2D ．12【答案】B【详解】取BC 的中点D ，连接ED 与FD⊥E 、F 分别是SC 和AB 的中点，点D 为BC 的中点⊥ED⊥SB ，FD⊥AC,而SB⊥AC ，SB=AC=2则三角形EDF 为等腰直角三角形,则ED=FD=1即故选B.7．如图，AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在的平面，C 是圆O 上一点（不同于A ，B 两点），且PA AC =，则二面角P BC A --的大小为A ．60°B ．30°C ．45°D ．15°【答案】C【详解】 解：由条件得,PA BC AC BC ⊥⊥.又PAAC A =，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以BC ⊥平面PAC .又因为PC ⊂平面PAC ， 所以BC PC ⊥.所以PCA ∠为二面角P BC A --的平面角.在Rt PAC ∆中，由PA AC =得45PCA ︒∠=. 故选：C .8．在空间四边形ABCD 中，若AD BC BD AD ⊥⊥，，则有A ．平面ABC ⊥平面ADCB ．平面ABC ⊥平面ADBC ．平面ABC ⊥平面DBCD ．平面ADC ⊥平面DBC【答案】D【详解】 由题意，知AD BC BD AD ⊥⊥，，又由BC BD B =，可得AD ⊥平面DBC ，又由AD ⊂平面ADC ，根据面面垂直的判定定理，可得平面ADC ⊥平面DBC9．直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于 A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】C【详解】本试题主要考查异面直线所成的角问题，考查空间想象与计算能力．延长B 1A 1到E ，使A 1E =A 1B 1，连结AE ，EC 1，则AE ⊥A 1B ，⊥EAC 1或其补角即为所求，由已知条件可得⊥AEC 1为正三角形，⊥⊥EC 1B 为60，故选C ．10．已知两个平面相互垂直，下列命题⊥一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线⊥一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线⊥一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面⊥过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面其中正确命题个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】A【详解】由题意，对于⊥，当两个平面垂直时，一个平面内的不垂直于交线的直线不垂直于另一个平面内的任意一条直线，故⊥错误；对于⊥，设平面α∩平面β=m ，n⊥α，l⊥β，⊥平面α⊥平面β， ⊥当l⊥m 时，必有l⊥α，而n⊥α， ⊥l⊥n ，而在平面β内与l 平行的直线有无数条，这些直线均与n 垂直，故一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线，即⊥正确；对于⊥，当两个平面垂直时，一个平面内的任一条直线不不一定垂直于另一个平面，故⊥错误；对于⊥，当两个平面垂直时，过一个平面内任意一点作交线的垂线，若该直线不在第一个平面内，则此直线不一定垂直于另一个平面，故⊥错误；故选A ．11．在空间中，给出下列说法：⊥平行于同一个平面的两条直线是平行直线；⊥垂直于同一条直线的两个平面是平行平面；⊥若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则//αβ；⊥过平面α的一条斜线，有且只有一个平面与平面α垂直.其中正确的是（ ）A ．⊥⊥B ．⊥⊥C ．⊥⊥D ．⊥⊥ 【答案】B【详解】⊥平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，不正确；易知⊥正确；⊥若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α与β可能平行，也可能相交，不正确；易知⊥正确.故选B.12．下列结论正确的选项为( )A ．梯形可以确定一个平面；B ．若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；C ．若l 上有无数个点不在平面α内，则l⊥αD ．如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．【答案】A【详解】因梯形的上下底边平行，根据公理3的推论可知A 正确．两条直线和第三条直线所成的角相等，这两条直线相交、平行或异面，故B 错．当直线和平面相交时，该直线上有无数个点不在平面内，故C 错．如果两个平面有三个公共点且它们共线，这两个平面可以相交，故D 错．综上，选A ．13．已知圆柱的轴截面为正方形，且圆柱的体积为54π，则该圆柱的侧面积为A ．27πB ．36πC ．54πD ．81π 【答案】B【详解】设圆柱的底面半径为r ．因为圆柱的轴截面为正方形，所以该圆柱的高为2r ．因为该圆柱的体积为54π，23π2π54πr h r ==，解得3r =，所以该圆柱的侧面积为2π236r r ⨯=π．14．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为A ．8π3B ．32π3C ．8πD 【答案】C【详解】设球的半径为R ，则截面圆的半径为，⊥截面圆的面积为S ＝π2＝（R 2－1）π＝π，⊥R 2＝2，⊥球的表面积S ＝4πR 2＝8π．故选C. 15．已知圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形，那么这个圆柱的体积是A ．2πB ．1πC ．22πD ．21π【答案】A【详解】由题意可知，圆柱的高为2，底面周长为2，故半径为1π，所以底面积为1π，所以体积为2π，故选A ． 16．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法不正确的是（ ）A ．原来相交的仍相交B ．原来垂直的仍垂直C ．原来平行的仍平行D ．原来共点的仍共点【答案】B【详解】解：根据斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的规则，与x 轴平行的线段长度不变，与y 轴平行的线段长度变为原来的一半，且倾斜45︒，故原来垂直线段不一定垂直了；故选：B ．17．如图所示为一个水平放置的平面图形的直观图，它是底角为45︒，腰和上底长均为1的等腰梯形，则原平面图形为 ( )A ．下底长为1B ．下底长为1+C ．下底长为1D ．下底长为1+【答案】C【详解】45A B C '''∠=，1A B ''= 2cos451B C A B A D ''''''∴=+=∴原平面图形下底长为1由直观图还原平面图形如下图所示：可知原平面图形为下底长为1故选：C18．半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积是（ ）A 3RB 3RC 3RD 3R 【答案】C【详解】设底面半径为r ，则2r R ππ=，所以2R r =.所以圆锥的高2h R ==.所以体积22311332R V r h R ππ⎛⎫=⨯== ⎪⎝⎭.故选：C .19．下列说法中正确的是A ．圆锥的轴截面是等边三角形B ．用一个平面去截棱锥，一定会得到一个棱锥和一个棱台C ．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所围成的几何体是由一个圆台和两个圆锥组合而成D ．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱【答案】D【详解】圆锥的轴截面是两腰等于母线长的等腰三角形，A 错误；只有用一个平行于底面的平面去截棱锥，才能得到一个棱锥和一个棱台，B 错误；等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周的几何体，是由一个圆柱和两个圆锥组合而成，故C 错误；由棱柱的定义得，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱，故D 正确．20．如图，将矩形纸片ABCD 折起一角落()EAF △得到EA F '△，记二面角A EF D '--的大小为π04θθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，直线A E '，A F '与平面BCD 所成角分别为α，β，则（ ）．A ．αβθ+>B ．αβθ+<C ．π2αβ+>D ．2αβθ+> 【答案】A【详解】如图，过A '作A H '⊥平面BCD ，垂足为H ，过A '作A G EF '⊥，垂足为G ，设,,A G d A H h A EG γ'''==∠=，因为A H '⊥平面BCD ，EF ⊂平面BCD ，故A H EF '⊥，而A G A H A '''⋂=，故EF ⊥平面A GH '，而GH ⊂平面A GH '，所以EF GH ⊥，故A GH θ'∠=，又A EH α'∠=，A FH β'∠=.在直角三角形A GE '中，sin d A E γ'=，同理cos d A F γ'=， 故sin sin sin sin sin h h d dαγθγγ===，同理sin sin cos βθγ=， 故222sin sin sin αβθ+=，故2cos 2cos 21sin 22αβθ--=， 整理得到2cos 2cos 2cos 22αβθ+=， 故()()2cos cos cos 22αβαβαβαβθ+--⎡⎤++-⎣⎦+=， 整理得到()()2cos cos cos αβαβθ+-=即()()cos cos cos cos αβθθαβ+=-， 若αβθ+≤，由04πθ<< 可得()cos cos αβθ+≥即()cos 1cos αβθ+≥， 但αβαβθ-<+≤，故cos cos αβθ->，即()cos 1cos θαβ<-，矛盾， 故αβθ+>.故A 正确，B 错误. 由222sin sin sin αβθ+=可得sin sin ,sin sin αθβθ<<，而,,αβθ均为锐角，故,αθβθ<<，22παβθ+<<，故CD 错误.故选：D.二、填空题 21．如图，已知六棱锥P ﹣ABCDEF 的底面是正六边形，P A ⊥平面ABC ，P A ＝AB ，则下列结论正确的是_____．（填序号）⊥PB ⊥AD ；⊥平面P AB ⊥平面PBC ；⊥直线BC ⊥平面P AE ；⊥sin⊥PDA =．【答案】⊥【详解】⊥P A ⊥平面ABC ，如果PB ⊥AD ，可得AD ⊥AB ，但是AD 与AB 成60°，⊥⊥不成立，过A 作AG ⊥PB 于G ，如果平面P AB ⊥平面PBC ，可得AG ⊥BC ，⊥P A ⊥BC ，⊥BC ⊥平面P AB ，⊥BC ⊥AB ，矛盾，所以⊥不正确；BC 与AE 是相交直线，所以BC 一定不与平面P AE 平行，所以⊥不正确；在R t⊥P AD 中，由于AD ＝2AB ＝2P A ，⊥sin⊥PDA =，所以⊥正确；故答案为: ⊥22．如图，已知边长为4的菱形ABCD 中，,60AC BD O ABC ⋂=∠=︒.将菱形ABCD 沿对角线AC 折起得到三棱锥D ABC -，二面角D AC B --的大小为60°，则直线BC 与平面DAB 所成角的正弦值为______.【详解】⊥四边形ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，,,AC OD AC OB OB OD ∴⊥⊥==，DOB ∴∠为二面角D AC B --的平面角，60DOB ∠=︒∴，OBD ∴△是等边三角形.取OB 的中点H ，连接DH ，则,3DH OB DH ⊥=.,,AC OD AC OB OD OB O ⊥⊥⋂=，AC ∴⊥平面,OBD AC DH ∴⊥，又,AC OB O AC ⋂=⊂平面ABC ，OB ⊂平面ABC ，DH ∴⊥平面ABC ，2114333D ABC ABC V S DH -∴=⋅=⨯=△4,AD AB BD OB ====ABD ∴∆的边BD 上的高h =1122ABD S BD h ∴=⋅=⨯=△设点C 到平面ABD 的距离为d ，则13C ABD ABD V S d -=⋅=△.D ABC C ABD V V --=，d ∴=∴=⊥直线BC 与平面DAB 所成角的正弦值为d BC = 23．球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为_______． 【答案】932或332【解析】设圆锥的底面半径为r,高为h,球的半径为R ．由立体几何知识可得，连接圆锥的顶点和底面的圆心，必垂直于底面，且球心在连线所成的直线上．分两种情况分析：（1）球心在连线成构成的线段内因为球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，所以,故圆锥的体积为．该圆锥的体积和此球体积的比值为（2）球心在连线成构成的线段以外因为球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，所以,故圆锥的体积为．该圆锥的体积和此球体积的比值为24．如图，四棱台''''ABCD A B C D -的底面为菱形，P 、Q 分别为''''B C C D ，的中点．若'AA ⊥平面BPQD ，则此棱台上下底面边长的比值为___________．【答案】2 3【详解】连接AC，A′C′，则AC⊥A′C′，即A，C，A′，C′四点共面，设平面ACA′C′与PQ和QB分别均于M，N点，连接MN，如图所示：若AA′⊥平面BPQD，则AA′⊥MN，则AA'NM为平行四边形，即A'M＝AN，即31''42A C=AC，''23A BAB∴=，即棱台上下底面边长的比值为23．故答案为23．三、解答题25．如图，在直四棱柱ABCD–A1B1C1D1中，已知底面ABCD是菱形，点P是侧棱C1C的中点．（1）求证：AC 1⊥平面PBD ；（2）求证：BD ⊥A 1P ．【答案】（1）见解析；（2）见解析【详解】（1）连接AC 交BD 于O 点，连接OP ，因为四边形ABCD 是正方形，对角线AC 交BD 于点O ，所以O 点是AC 的中点，所以AO =OC ．又因为点P 是侧棱C 1C 的中点，所以CP =PC 1，在⊥ACC 1中，11C P AO OC PC==，所以AC 1⊥OP ， 又因为OP ⊥面PBD ，AC 1⊥面PBD ，所以AC 1⊥平面PBD ．（2）连接A 1C 1．因为ABCD –A 1B 1C 1D 1为直四棱柱，所以侧棱C 1C 垂直于底面ABCD ，又BD ⊥平面ABCD ，所以CC 1⊥BD ，因为底面ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ，又AC ∩CC 1=C ，AC ⊥面AC 1，CC 1⊥面AC 1，所以BD ⊥面AC 1，又因为P ⊥CC 1，CC 1⊥面ACC 1A 1，所以P ⊥面ACC 1A 1，因为A 1⊥面ACC 1A 1，所以A 1P ⊥面AC 1，所以BD ⊥A 1P ．26．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1BC BB =，12BAC BCA ABC ∠=∠=∠，点E 是1A B 与1AB 的交点，D 为AC 的中点.（1）求证：1BC 平面1A BD ；（2）求证：1AB ⊥平面1A BC .【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】分析：（1）连结ED ，E 为1A B 与1AB 的交点，E 为1AB 中点，D 为AC 中点，根据三角形中位线定理可得1//ED B C ，由线面平行的判定定理可得结果；（2）由等腰三角形的性质可得AB BC ⊥，由菱形的性质可得11AB A B ⊥，1BB ⊥平面ABC ，可得1BC BB ⊥，可证明1BC AB ⊥，由线面垂直的判定定理可得结果.详解：（1）连结ED ，⊥直棱柱111ABC A B C -中，E 为1A B 与1AB 的交点，⊥E 为1AB 中点，D 为AC 中点，⊥1//ED B C又⊥ED ⊂平面1A BD ，1B C ⊄平面1A BD⊥1//B C 平面1A BD .（2）由12BAC BCA ABC ∠=∠=∠知,AB BC AB BC =⊥ ⊥1BB BC =，⊥四边形11ABB A 是菱形，⊥11AB A B ⊥. ⊥1BB ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC⊥1BC BB ⊥⊥1AB BB B ⋂=,1,AB BB ⊂平面11ABB A ，⊥BC ⊥平面11ABB A⊥1AB ⊂平面11ABB A ，⊥1BC AB ⊥⊥1BC A B B ⋂=，1,BC A B ⊂平面1A BC ，⊥1AB ⊥平面1A BC27．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，平面PBC ⊥平面ABCD ，⊥BCD 4π=，BC ⊥PD ，PE ⊥BC ．（1）求证：PC ＝PD ；（2）若底面ABCD 是边长为2的菱形，四棱锥P ﹣ABCD 的体积为43，求点B 到平面PCD 的距离．【答案】（1）证明见解析 （2）3． 【详解】 （1）证明：由题意，BC ⊥PD ，BC ⊥PE ，⊥BC ⊥平面PDE ，⊥DE ⊥平面PDE ，⊥BC ⊥DE .⊥⊥BCD 4π=，⊥DEC 2π=，⊥ED ＝EC ，⊥Rt⊥PED ⊥Rt⊥PEC ，⊥PC ＝PD .（2）解：由题意，底面ABCD 是边长为2的菱形，则ED ＝EC =⊥平面PBC ⊥平面ABCD ，PE ⊥BC ，平面PBC ∩平面ABCD ＝BC ，⊥PE ⊥平面ABCD ，即PE 是四棱锥P ﹣ABCD 的高.⊥V P ﹣ABCD 13=⨯2PE 43=，解得PE = ⊥PC ＝PD ＝2.设点B 到平面PCD 的距离为h ，⊥V B ﹣PCD ＝V P ﹣BCD 12=V P ﹣ABCD 23=， ⊥1132⨯⨯2×2×sin60°×h 23=，⊥h 3=.⊥点B 到平面PCD 的距离是3. 28．如图，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 为顶点的五面体中，面ABCD 是等腰梯形，//AB CD ，面ABFE 是矩形，平面ABFE ⊥平面ABCD ，BC CD AE a ===，60DAB ∠=.（1）求证：平面⊥BDF 平面ADE ；（2）若三棱锥B DCF -a 的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）1.【详解】（1）因为四边形ABFE 是矩形，故EA AB ⊥，又平面ABFE ⊥平面ABCD ，平面ABFE 平面ABCD AB =，AE ⊂平面ABFE ， 所以AE ⊥平面ABCD ，又BD ⊂面ABCD ，所以AE BD ⊥，在等腰梯形ABCD 中，60DAB ∠=，120ADC BCD ︒∴∠=∠=，因BC CD =，故30BDC ∠=，1203090ADB ∠=-=，即AD BD ⊥， 又AE AD A =，故BD ⊥平面ADE ，BD ⊂平面BDF ，所以平面⊥BDF 平面ADE ；（2）BCD 的面积为2213sin12024BCD S a ==， //AE FB ，AE ⊥平面ABCD ，所以，BF ⊥平面ABCD ，2313D BCF F BCD V V a --∴==⋅==，故1a =.。
2020-2021学年黑龙江省哈尔滨六中高一(下)期末数学试卷(解析版)
2020-2021学年黑龙江省哈尔滨六中高一（下）期末数学试卷一、单项选择题（共10小题）.1．若复数z满足z（2﹣i）＝5，则z的共轭复数的虚部为（）A．﹣1B．0C．﹣i D．12．已知向量满足：，，，则＝（）A．0B．2C．4D．3．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m∥α，α⊥β，则m⊥β；②若m⊥β，m∥α，则α⊥β；③若α∩β＝m，m∥γ，则α∥γ，β∥γ；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β．则真命题为（）A．②③B．③④C．②D．②④4．哈六中戏剧节比赛，11﹣15班这5个班级安排在周一至周五的中午进行表演，每天中午安排一个班级，且14班要安排在周一中午或周二中午，则不同的安排方案有（）A．24种B．48种C．96种D．120种5．复数（i为虚数单位），若|z0﹣z|＝2，则|z0|的最大值为（）A．4B．2C．D．6．已知正四棱锥S﹣ABCD，侧棱长是底面边长的2倍，E是SB的中点，则AE，SD所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．7．如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M 点的仰角为60°，C点的仰角为45°以及∠MAC＝75°，从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝50m，则山高MN为（）A．75m B．150m C．180m D．200m8．已知哈六中计划开设三个不同授课时间的文科拓展班，现有某班的5名同学报名参加文科拓展班，要求这5名同学每人选择一个班且每个班都有人选，则这5名同学选班的种数为（）A．100B．150C．160D．2409．设A，B，C，D是同一个半径为2的球的球面上四点，△ABC是以为BC底边的等腰三角形，且面积为，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为（）A．B．C．D．10．在△ABC中，D，E分别是AC，BC上的点，AE与BD交于点O，且，，，，设在上的投影向量为，则λ＝（）A．B．C．D．二、多项选择题：共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得5分，有错选得0分，部分选对得3分.11．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中，正确的命题是（）A．若A＝30°，b＝4，a＝3，则△ABC有两解B．若（a2+b2）sin（A﹣B）＝（a2﹣b2）sin（A+B），则△ABC是等腰三角形C．若D在线段AB上，且AD＝5，BD＝3，CB＝2CD，，则△ABC的面积为8D．若，，，动点D在△ABC所在平面内且，则动点D的轨迹的长度为．12．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱AB的中点，N是棱BC上的定点，满足D1M⊥AN，点P为A1C1上的动点，则下列命题正确的是（）A．BD1⊥MNB．三棱锥D1﹣PMN的体积是定值C．存在P点使得DP与面ABCD所成的角为D．过D1、M、N三点的截面将正方体分割成两部分，较小部分与较大部分的体积比为25：47三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置．13．设二项式展开式中x项的系数为．14．哈六中要从4名男生、3名女生中选派4人参加哈工大举办的建造节活动，如果要求至少有2名女生参加，则不同的选派方法有种．15．已知是平面上夹角为的两个单位向量，在该平面上，且，则的最大值为．16．边长为2的正方形ABCD沿对角线BD翻折成三棱锥A'﹣BCD，使A'C＝1，则二面角B ﹣A'C﹣D的平面角的余弦值为；三棱锥A'﹣BCD的外接球的表面积为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c，b sin C+a．（1）求角C的大小；（2）若c＝，a+b＝4，求△ABC的面积．18．如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为棱CC1的中点．（1）证明：A1C∥平面B1ED1；（2）求直线B1D与平面B1ED1所成角的正弦值．19．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，c cos A+a cos C＝4，且AC边上的高为．（1）求边b的大小；（2）求角B的最大值．20．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，平面PAC⊥平面ABCD，且AC⊥PB．（1）证明：△PBD为等腰三角形；（2）若二面角A﹣PC﹣B的余弦值为，求D到平面PBC的距离．21．如图，在多面体ABCDEF中，平面ABEF⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD ∥BC，AB⊥BC，AB＝AD＝BC＝2，AB与EF平行并且相等，AF＝．（1）证明：CD⊥BF；（2）在线段CE上是否存在点M，使得二面角F﹣BD﹣M的平面角余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．22．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，点D在线段AB上．且，△BCD的面积是△ACD的面积的倍．（1）求∠BCD；（2）若，求△BCD的面积．参考答案一、单项选择题（共10小题）.1．若复数z满足z（2﹣i）＝5，则z的共轭复数的虚部为（）A．﹣1B．0C．﹣i D．1解：由z（2﹣i）＝5，得z＝，∴，则z的共轭复数的虚部为﹣1．故选：A．2．已知向量满足：，，，则＝（）A．0B．2C．4D．解：向量满足：，，，所以||＝2，∴＝＝＝2．故选：B．3．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m∥α，α⊥β，则m⊥β；②若m⊥β，m∥α，则α⊥β；③若α∩β＝m，m∥γ，则α∥γ，β∥γ；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β．则真命题为（）A．②③B．③④C．②D．②④解：①若m∥α，α⊥β，则m⊂β或m∥β或m与β相交，相交也不一定垂直，故①错误；②若m∥α，则α存在直线n与m平行，又m⊥β，则n⊥β，可得α⊥β，故②正确；③若α∩β＝m，m∥γ，则α与β中至少有一平面与γ相交，故③错误；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β或α与β相交，故④错误．故选：C．4．哈六中戏剧节比赛，11﹣15班这5个班级安排在周一至周五的中午进行表演，每天中午安排一个班级，且14班要安排在周一中午或周二中午，则不同的安排方案有（）A．24种B．48种C．96种D．120种解：根据题意，分2步进行分析：①14班要安排在周一中午或周二中午，则14班有2种安排方案，②其他4个班级安排剩下的4天，有＝24种安排方案，则有2×24＝48种安排方案，故选：B．5．复数（i为虚数单位），若|z0﹣z|＝2，则|z0|的最大值为（）A．4B．2C．D．解：设z0＝s+ti，＝＝＝1﹣i，则z0﹣z＝s﹣1+（t+1）i，又∵|z0﹣z|＝2，∴（s﹣1）2+（t+1）2＝4，∴（s，t）在以C（1，﹣1）为圆心，以2为半径的圆上．∴|z0|＝，表示圆C上的点到原点的距离，最大值+2＝2+．故选：D．6．已知正四棱锥S﹣ABCD，侧棱长是底面边长的2倍，E是SB的中点，则AE，SD所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．解：建立如图所示坐标系，令正四棱锥的底面边长为2a，则SB＝4a，故有A（a，﹣a，0），B（a，a，0），D（﹣a，﹣a，0），S（0，0，a），E（，a，a），所以＝（﹣，，a），＝（﹣a，﹣a，﹣a）则cos＜，＞＝＝＝﹣，故AE，SD所成的角的余弦值为故选：C．7．如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M 点的仰角为60°，C点的仰角为45°以及∠MAC＝75°，从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝50m，则山高MN为（）A．75m B．150m C．180m D．200m解：由题意可得∠CAB＝45°，所以在Rt△ABC中，AC＝＝＝50，因为∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，所以可得∠AMC＝180°﹣75°﹣60°＝45°，在△MAC中由正弦定理可得：＝，即＝，解得AM＝50，在Rt△ANM中可得：MN＝AC•sin∠MAN，而∠MAN＝60°，所以MN＝50×＝75，故选：A．8．为了适应新教材，哈六中高一学年为计划学文的同学开设文科拓展班．已知哈六中计划开设三个不同授课时间的文科拓展班，现有某班的5名同学报名参加文科拓展班，要求这5名同学每人选择一个班且每个班都有人选，则这5名同学选班的种数为（）A．100B．150C．160D．240解：根据题意，分2步进行分析：①将5名同学分为3组，有+＝25种分组方法，②将三组安排到三个拓展班，有＝6种情况，则有25×6＝150种安排方法，故选：B．9．设A，B，C，D是同一个半径为2的球的球面上四点，△ABC是以为BC底边的等腰三角形，且面积为，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为（）A．B．C．D．解：△ABC为等腰三角形且面积为，∠BAC＝120°，可得•AB2•sin120°＝，解得AB＝，设球心为O，△ABC的外心为O′，显然D在O′O的延长线与球的交点时三棱锥体积最大，如图所示：△ABC外接圆的半径为O′A＝×＝，OO′＝＝＝1，且三棱锥D﹣ABC高的最大值为O′O+OD＝3，所以三棱锥D﹣ABC体积的最大值为：V＝S△ABC•O′D＝××3＝．故选：D．10．在△ABC中，D，E分别是AC，BC上的点，AE与BD交于点O，且，，，，设在上的投影向量为，则λ＝（）A．B．C．D．解：因为，由平行四边形法则可知E是BC的中点，，因为BC⊥AE，所以AB＝AC，同理可得BC＝AB，AC＝BC，所以△ABC是等边三角形，在上的投影向量为，，所以＝，故选：D．二、多项选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得5分，有错选得0分，部分选对得3分.11．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中，正确的命题是（）A．若A＝30°，b＝4，a＝3，则△ABC有两解B．若（a2+b2）sin（A﹣B）＝（a2﹣b2）sin（A+B），则△ABC是等腰三角形C．若D在线段AB上，且AD＝5，BD＝3，CB＝2CD，，则△ABC的面积为8D．若，，，动点D在△ABC所在平面内且，则动点D的轨迹的长度为．解：对于A：作图可得△ABC有两解，故A正确；对于B：因为（a2+b2）sin（A﹣B）＝（a2﹣b2）sin（A+B），所以（a2+b2）（sin A cos B﹣cos A sin B）＝（a2﹣b2）（sin A cos B+cos A sin B），化简整理得a2cos A sin B＝b2sin A cos B，整理得sin2A cos A sin B＝sin2B sin A cos B，即sin A cos A＝sin B cos B，即sin2A＝sin2B，所以A＝B或A+B＝，所以△ABC是直角三角形或等腰三角形，故B错误；对于C：设CD＝x，CB＝2x，在△CBD中由余弦定理可得，﹣＝，整理可得5x2﹣2x﹣15＝0，解得x＝，即CD＝，CB＝2，所以S△ABC＝S△BCD+S△ADC＝×3××+×5××＝8，故B正确；对于D：动点D的轨迹的长度是圆O1上劣弧长度的2倍，所以点D的轨迹长度为2×＝，故D正确．故选：ACD．12．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱AB的中点，N是棱BC上的定点，满足D1M⊥AN，点P为A1C1上的动点，则下列命题正确的是（）A．BD1⊥MNB．三棱锥D1﹣PMN的体积是定值C．存在P点使得DP与面ABCD所成的角为D．过D1、M、N三点的截面将正方体分割成两部分，较小部分与较大部分的体积比为25：47解：对于A：连接DM，因为D1M⊥AN，D1D⊥AN，DD1∩D1M＝D1，所以AN⊥平面DD1M，因为DM⊂平面DD1M，所以AN⊥DM，所以△DAM≌△ABN，所以AM＝BN，所以N为BC的中点，所以AC∥MN，又因为BD1⊥AC，所以BD1⊥MN，故A正确；对于B：因为MN∥AC，A1C1∥AC，所以MN∥A1C1，因为A1C1⊄平面D1MN，MN⊂平面D1MN，所以A1C1∥平面D1MN，因为点P为棱A1C1上的动点，所以P到平面D1MN的距离为定值，而△D1MN的面积为定值，所以三棱锥D1﹣PMN的体积为定值，故B正确；对于C：当P与A1重合时，DP与面ABCD的夹角最小，当P是A1C1中点时，DP与面ABCD所成的角最大，所以DP与面ABCD所成的角最大值为∠PDB，设正方体的棱长为1，则tan∠PDB＝＝＜，所以∠PDB＜，故C错误；对于D：如图作出截面，设正方体的棱长为6，则其体积为216，延长D1E交DA的延长线于K点，连接KM，延长D1F角DC的延长线于点L，连接NL，因为M，N分别为棱的中点，E，F分别为两棱的三等分点，所以AK＝CL＝3，AE＝CF＝2，所以V＝×6××9×9＝81，所以V E﹣AKM＝V F﹣NCL＝×2××3×3＝3，所以正方体被截面分成两部分，其中一部分的体积为81﹣6＝75，则另一部分的体积为216﹣75＝141，所以较小部分与较大部分的体积比为75：141＝25：47，故D正确．故选：ABD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置．13．设二项式展开式中x项的系数为54．解：二项式展开式的通项公式为T r+1＝•34﹣r•，令4﹣＝1，求得r＝2，可得展开式中x项的系数为•32＝54，故答案为：54．14．哈六中要从4名男生、3名女生中选派4人参加哈工大举办的建造节活动，如果要求至少有2名女生参加，则不同的选派方法有22种．解：根据题意，分2种情况讨论：①选出4人中有2名女生，有＝18种选法，②选出4人中有3名女生，有＝4种选法，则有18+4＝22种选法；故答案为：22．15．已知是平面上夹角为的两个单位向量，在该平面上，且，则的最大值为．解：如图建立平面直角坐标系，由题意可得，，设，由，得（1﹣x，﹣y）•（）＝0，即，故的终点落在以（）为圆心，半径r＝的圆上，故的最大值为＝．故答案为：．16．边长为2的正方形ABCD沿对角线BD翻折成三棱锥A'﹣BCD，使A'C＝1，则二面角B ﹣A'C﹣D的平面角的余弦值为；三棱锥A'﹣BCD的外接球的表面积为8π．解：如图，取AC的中点E，连接BE，DE，∵BC＝BA′＝DC＝DA′＝2，∴BE⊥A′C，DE⊥A′C，可得∠BED为二面角B﹣A'C﹣D的平面角，由已知A'C＝1，∴BE＝DE＝，又BD＝，∴cos∠BED＝，即二面角B﹣A'C﹣D的平面角的余弦值为﹣；取BD的中点O，即有OA'＝OB＝OC＝OD，可得O为三棱锥A′﹣BCD的外接球的球心，可得半径为，则外接球的表面积为4π•2＝8π．故答案为：；8π．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c，b sin C+a．（1）求角C的大小；（2）若c＝，a+b＝4，求△ABC的面积．解：（1）∵，∴，∴，∵sin B＞0，∴，∴，∵C∈（0，π），∴；（2）由余弦定理得c2＝a2+b2﹣2ab cos C∴7＝（a+b）2﹣3ab＝16﹣3ab∴ab＝3∴．18．如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为棱CC1的中点．（1）证明：A1C∥平面B1ED1；（2）求直线B1D与平面B1ED1所成角的正弦值．【解答】（1）证明：连接A1C1与B1D1相交于O1，连接EO1，由于E，O1分别是CC1，A1C1的中点，则EO1∥A1C，因为EO1⊂平面B1D1E，A1C⊄平面B1D1E，所以A1C∥平面B1ED1．（2）以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，设AB＝1，AA1＝2，则B1（1，1，2），D（0，0，0），E（0，1，1），D1（0，0，2），∴，，∴，设是面B1ED1的法向量⇒，令x＝1，则y＝﹣1，z＝﹣1，即，设B1D与面B1ED1所成角为θ，∴B1D与面B1ED1所成角的正弦值为．19．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，c cos A+a cos C＝4，且AC边上的高为．（1）求边b的大小；（2）求角B的最大值．解：（1）∵c cos A+a cos C＝4，∴，∴b＝4；（2）∵，∴，由余弦定理b2＝a2+c2﹣2ac cos B，即有16≥2ac﹣2ac cos B，当且仅当a＝c时取等号，∴即，∴，∴，∵0＜B＜π，∴，∴，∴，∴B的最大值为．20．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，平面PAC⊥平面ABCD，且AC⊥PB．（1）证明：△PBD为等腰三角形；（2）若二面角A﹣PC﹣B的余弦值为，求D到平面PBC的距离．解：（1）证明：设AC∩BD＝O，∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC，又∵面PAC⊥面ABCD，面PAC∩面ABCD＝AC，BD⊂面ABCD，∴BD⊥面PAC，∵PO⊂面PAC，∴PO⊥BD，又∵O为BD的中点，∴PB＝PD，∴△PBD是等腰三角形．（2）∵AC⊥PB，AC⊥BD，PB∩BD＝B，∴AC⊥面PBD，∵PO⊂面PBD∴PO⊥AC，又∵PO⊥BD，AC∩BD＝O，∴PO⊥面ABCD，以O为坐标原点，以OA，OB，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设OP＝a，则，∴，设是面PBC的法向量，则，令x＝﹣a，则，∴，∵BD⊥面PAC，∴面PAC的法向量为，∴，∴，∵，∴，面PAC的法向量，即，∴D到平面PBC的距离．21．如图，在多面体ABCDEF中，平面ABEF⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD ∥BC，AB⊥BC，AB＝AD＝BC＝2，AB与EF平行并且相等，AF＝．（1）证明：CD⊥BF；（2）在线段CE上是否存在点M，使得二面角F﹣BD﹣M的平面角余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．解：（1）证明：∵，∴AB2+BF2＝AF2，∴BF⊥AB，又∵平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD＝AB，BF⊂平面ABEF，∴BF⊥平面ABCD，又CD⊂平面ABCD，∴CD⊥BF；（2）由（1）可知，BF⊥平面ABCD，且AB⊥BC，以B为坐标原点，以BA，BC，BF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B（0，0，0），D（2，2，0），F（0，0，2），E（﹣2，0，2），C（0，4，0），∴，，设是平面BDF的法向量，则，令x＝1，则，设，∴M（﹣2λ，4（1﹣λ），2λ）∴，设是平面BDM的法向量，则，令x＝1，则，∴，∵二面角F﹣BD﹣M的平面角余弦值为，∴，∴，∴，故在线段CE上是否存在点M，且．22．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，点D在线段AB上．且，△BCD的面积是△ACD的面积的倍．（1）求∠BCD；（2）若，求△BCD的面积．解：（1）∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，由∠BCD∈（0，π）可得，（3）∵，∴，∵，∴，∴，△ABC中，由余弦定理得AB2＝a2+b2﹣2ab cos∠ACB，即，∴b＝2，△BCD中，由余弦定理得BD2＝CD2+BC2﹣2CD⋅BC⋅cos∠BCD，即，∴，∴，则CD2+BD2＝BC2，∴，∴△BCD的面积为．。
郑州市2020-2021学年高一下学期期末考试 化学试题(含答案)
郑州市2020-2021学年高一下学期期末考试化学试题相对原子质量：H-1 C-12 N-14 O-16 Na-23 Fe-56第Ⅰ卷(选择题，共48分)选择题(共16小题，每小题3分，共48分。
)1.2021年5月15日，中国首个火星探测器天问一号成功登陆火星。
碳化硅增强铝基复合材料被应用于该探测器。
下列关于该复合材料的说法错误的是（）A.是一种有机高分子材料B.碳化硅是增强体，起到骨架作用C.碳化硅中的化学键类型为共价键D.具有重量轻、强度高、刚性好、宽温度范围下尺寸稳定等特性2.化学与生活密切相关。
根据化学知识判断，下列做法错误的是（）A.用植物油制作肥皂B.用加酶洗衣粉洗涤毛织品C.用柠檬酸作食品添加剂D.用聚乙烯塑料袋盛装食品3.厘清概念是化学学习的基础。
下列说法错误的是（）A.12954Xe与13154Xe互为同位素B.二聚硫()2S与环八硫()8S互为同素异形体C.与互为同分异构体D.与是同种物质4.某同学依据实验现象，分析苹果中的物质成分，下列推测不合理的是（）5.2021年国务院政府工作报告指出，要扎实做好碳中和、碳达峰的各项工作，以减少或消除二氧化碳等温室气体对气候的影响。
下列措施能实现碳中和且可行的是（）①通过植树造林捕捉二氧化碳 ②禁止使用煤和石油等化石能源 ③大力发展风能、太阳能等新型能源 ④工业中用碱石灰吸收2CO⑤绿色出行，减少燃油车的使用 A.①③④⑤B.①②③④C.②③④⑤D.①②④⑤6.某品牌热敷贴的主要成分为铁粉、水、活性炭、吸水性树脂、盐等。
关于该热敷贴的叙述错误的是（ ） A.需放置袋中密封保存 B.可将化学能转化为热能 C.活性炭在反应中做催化剂D.发热与氧化还原反应有关7.用A N 表示阿伏伽德罗常数。
下列说法正确的是（ ） A.28g 聚乙烯中含有的碳原子数为A N B.41molNH +中含有的质子数为A 10N C.218gD O (重水)中含有的电子数为A 10ND.碳原子数都为A N 的乙醇和乙烯完全燃烧，消耗氧气的物质的量相同8.元素周期表中，某些主族元素与其右下方紧邻的主族元素的某些性质是相似的，如铍和铝。
2021-2022年高一数学人教版A版(2019)必修第一册同步练习题4-1 指数与指数函数含答案
2021-2022年高一数学人教版A 版(2019)必修第一册同步练习题4-1 指数与指数函数【含答案】一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2017·内蒙古集宁一中高一期中（文））()()3343112222--⎛⎫⎛⎫--+-+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值（ ） A ．374B ．8C ．24-D ．8-【答案】C【解析】原式111682488⎛⎫=-----=- ⎪⎝⎭.故选：C. 2．232a a⋅的结果为（ ）A ．32aB ．16aC ．56a D ．65a【答案】C【解析】7522226627132362a a aa a aa aa-====⋅⋅，故选：C3．（2020·全国高一专题练习）若103,104x y ==，则3210x y -=( )A ．1-B ．1C ．2716D ．910【答案】C【解析】依题意，()()333322221010327101041610x xx yy y -====.故选：C.4．若a >1，b >0，a b ＋a －b ＝22，则a b －a －b等于( ) A ．4 B ．2或－2 C ．－2 D ．2【答案】D【解析】设a b －a －b＝t .∵a >1，b >0，∴a b >1，a －b <1.∴t ＝a b －a －b>0. 则t 2＝(a b －a －b )2＝(a b ＋a －b )2－4＝(22)2－4＝4.∴t ＝2. 5．设x ，y 是正数，且x y＝y x，y ＝9x ，则x 的值为( ) A.91 B ．43C ．1D ．39【答案】B【解析】∵x y＝y x，y ＝9x ，∴x 9x＝(9x )x ，∴(x 9)x ＝(9x )x ，∴x 9＝9x .∴x 8＝9.∴x ＝4839=.6．已知f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝x ·2x ＋a－1，若f (－1)＝43，则a 等于( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．0【答案】A 【解析】∵f (－1)＝43，∴f (1)＝－f (－1)＝－43，即21＋a－1＝－43，即1＋a ＝－2，得a ＝－3. 7.（多选）（2019·广东禅城佛山一中高一月考）下列运算结果中，一定正确的是（ ） A ．347a a a ⋅= B ．()326a a -=C 88a a =D ()55ππ-=-【答案】AD【解析】34347a a a a +==，故A 正确；当1a =时，显然不成立，故B 不正确；88a a =，故C ()55ππ-=-，D 正确，故选AD.8.(多选下列各式中一定成立的有（ ）A ．7177n n m m ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()431233-=C ()33344x y x y +=+ D 3393=【答案】BD【解析】777n n m m -⎛⎫= ⎪⎝⎭，A 错误；()143312333-=，B 正确；()1333344x y x y+=+，C 11112333329993⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D 正确故选：BD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）9．（2020·上海高一开学考试）当2x <3838(2)(2)x x --=_______________.【答案】22【解析】,nn n na a aa ==，因为2x <，所以原式=2222x x -+故答案为：2210．（2020·全国高一课时练习）设0a >，232a a⋅表示成分数指数幂的形式，其结果是________.【答案】76a【解析】∵0a >117222361231223a aa aa a b--⋅===.故答案为：76a.11．2a a=，则1a a +=______；当0a <3231a a a -=______.【答案】2；a -.【解析】12a a +=222a a ∴= 124a a ∴++=12a a∴+=，32311a a a a a a a--⨯⨯==0a <3231a a a a -∴=-故答案为：2；a -12化简：3216842111111111111222222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++⋅+= ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭________. 【答案】63122-【解析】原式43216821111111111111122222222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++⋅+-⨯ ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭321682421111111111112222222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++⋅-⨯ ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭32164481111111111222222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-⨯ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭3216881111111122222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-⨯ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭3216161111112222⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-⨯ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭32321111222⎛⎫⎛⎫=+-⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭641122⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭63122=-.三、解答题（本大题共4小题，共40分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13.（2020·全国高一课时练习）将下列根式化成分数指数幂的形式.（1）13·a a(a >0)；（2())25230x xx >；（3）23243b--⎝⎭(b >0). 【答案】（1）512a；（2）35x-；（3）19b .【解析】（1）原式＝1132·a a56a 1526a ⎛⎫⎪⎝⎭＝512a. （22325·()x x 435·x x935x＝91531()x ＝351x＝35x -.（3）原式＝[2134()b -]23-＝212()343b -⨯⨯-＝19b .14．（2020·全国高一课时练习）若本例变为：已知a ，b 分别为x 2－12x ＋9＝0的两根，且a ＜b ，求11221122a b a b-+的值.【答案】3【解析】11221122a b a b-+＝1122211112222()()()a b a b a b -+-＝12()2()a b ab a b +--.①∵a ，b 分别为x 2－12x ＋9＝0的两根， ∴a ＋b ＝12，ab ＝9，②∴(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ＝122－4×9＝108. ∵a ＜b ，∴a －b ＝－3③将②③代入①，得11221122a ba b -+12963-＝－33. 15．已知2a ·3b ＝2c·3d＝6，求证：(a －1)(d －1)＝(b －1)(c －1)． 证明：∵2a·3b＝6，∴2a －1·3b －1＝1. ∴(2a －1·3b －1)d －1＝1，即2(a －1)(d －1)·3(b －1)(d －1)＝1.①又∵2c ·3d＝6，∴2c －1·3d －1＝1.∴(2c －1·3d －1)b －1＝1，即2(c －1)(b －1)·3(d －1)(b －1)＝1.②由①②知2(a －1)(d －1)＝2(c －1)(b －1)，∴(a －1)(d －1)＝(b －1)(c －1)．16.（2020·黑龙江萨尔图�大庆实验中学高一期末）已知()442xx f x =+.（1）求()()1f a f a +-（0a >且1a ≠）的值；（2）求12320182019201920192019f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值.【答案】（1）1；（2）1009.【解析】（1）()442xxf x =+，()()()1111444441424242442a a a a aa a a a a f a f a ----⨯∴+-=+=++++⨯+()444442142424424242224a a a a a a a a a =+=+=+=++⨯++++； （2）原式120182201710091010201920192019201920192019f f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦1009=.专题4.1.2 指数函数姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020·全国高一课时练习）若函数()21xy a =-（x 是自变量）是指数函数，则a 的取值范围是（ ） A ．0a >且1a ≠ B ．0a ≥且1a ≠ C ．12a >且1a ≠ D ．12a ≥【答案】C【解析】由于函数()21xy a =-（x 是自变量）是指数函数，则210a ->且211a -≠，解得12a >且1a ≠.故选：C. 2．（2020·全国高一课时练习）已知函数1()4x f x a +=+的图象经过定点P ，则点P 的坐标是（ ） A ．(－1，5) B ．(－1，4)C ．(0，4)D ．(4，0)【答案】A【解析】当10x +=，即1x =-时，011x a a +==，为常数，此时()415f x =+=，即点P 的坐标为(－1，5).故选：A. 3．（2020·全国高一课时练习）函数f (x )＝a x －b的图象如图，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是（ ）A ．a ＞1，b ＜0B ．a ＞1，b ＞0C ．0＜a ＜1，b ＞0D ．0＜a ＜1，b ＜0 【答案】D 【解析】由f (x )＝ax －b的图象可以观察出，函数f (x )＝ax －b在定义域上单调递减，所以0＜a ＜1.函数f (x )＝a x －b的图象是在f (x )＝a x的基础上向左平移得到的，所以b ＜0.故选：D.4．（2020·陆良县联办高级中学高一开学考试）函数112xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭）A ．()0,+∞B ．(),0-∞C ．[)0,+∞D ．(],0-∞【答案】C【解析】要是函数有意义须满足1102x ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，即011122x ⎛⎫⎛⎫≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得0x ≥， 因此，函数112xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭[)0,+∞.故选：C. 5．（2020·内蒙古集宁一中高二月考（文））若a ＝12⎛⎫ ⎪⎝⎭23，b ＝15⎛⎫ ⎪⎝⎭23，c ＝12⎛⎫ ⎪⎝⎭13，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＜b ＜c B ．c ＜a ＜b C ．b ＜c ＜a D ．b ＜a ＜c【答案】D【解析】∵y ＝x 23 (x >0)是增函数，∴a ＝12⎛⎫⎪⎝⎭23>b ＝15⎛⎫ ⎪⎝⎭23. ∵y ＝12⎛⎫⎪⎝⎭x 是减函数，∴a ＝12⎛⎫ ⎪⎝⎭23＜c ＝12⎛⎫ ⎪⎝⎭13，∴b ＜a ＜c .故本题答案为D. 6．（2020·浙江高一单元测试）函数1()31x f x =+的值域是（ ）． A ．(,1)-∞ B ．(0,1)C ．(1,)+∞D ．(,1)(1,)-∞⋃+∞【答案】B【解析】∵30x >∴311x +>，∴10131x<<+，∴函数值域为(0,1)．故选：B 7．（多选）（2020·全国高一课时练习）设函数||()x f x a -=（0a >，且1a ≠），若(2)4f =，则（ ）A ．(2)(1)f f ->-B ．(1)(2)f f ->-C ．()1)(2f f > D.(4)(3)f f ->【答案】AD【解析】由2(2)4f a -==得12a =，即||||1()22x x f x -⎛⎫== ⎪⎝⎭，故(2)(1)f f ->-，(2)(1)f f >，(4)(4)(3)f f f -=>，所以AD 正确.故选：AD8．（多选）（2020·山东临沂�高一期末）如图，某池塘里浮萍的面积y （单位：2m ）与时间t （单位：月）的关系为t y a =．关于下列说法正确的是（ ）A ．浮萍每月的增长率为2B ．浮萍每月增加的面积都相等C ．第4个月时，浮萍面积不超过280mD ．若浮萍蔓延到22m 、24m 、28m 所经过的时间分别是1t 、2t 、3t ，则2132t t t =+ 【答案】AD【解析】将点()1,3的坐标代入函数t y a =的解析式，得13a =，函数的解析式为3t y =.对于A 选项，由13323n nn+-=可得浮萍每月的增长率为2，A 选项正确； 对于B 选项，浮萍第1个月增加的面积为()102332m -=，第2个月增加的面积为()212336m -=，26≠，B 选项错误；对于C 选项，第4个月时，浮萍的面积为438180=>，C 选项错误；对于D 选项，由题意可得132t =，234t =，338t =，2428=⨯，()2122333t t t ∴=⨯，即132233t t t +=，所以，2132t t t =+，D 选项正确. 故选：AD.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）9．（2019·定远县育才学校高一月考）若函数()xf x a =（0a >且1a ≠）在[]1,2上最大值是最小值的2倍，则a =______.【答案】2或12【解析】当01a <<时，函数()xf x a =为R 上的减函数，故()()122f f =，即22a a =，解得12a =. 当1a >时，函数()xf x a =为R 上的增函数，故()()221f f =，即22a a =，解得2a =.故a 的值为2或12.故填：2或12. 10．（2020·江苏秦淮�高三期中）不等式21124x x-⎛⎫>⎪⎝⎭的解集为_________.【答案】(1,2)-【解析】22111()242x x-⎛⎫>=⎪⎝⎭，化为220x x --<，解得12x -<<，所以不等式的解集是(1,2)-. 故答案为:(1,2)-.11．（2019·深州长江中学高一期中）函数28212x x y --⎛⎫=⎪⎝⎭的单调递增区间为_________．【答案】[)1,-+∞【解析】函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上递减，函数228y x x =--+的对称轴是1x =-，且在(],1-∞-上递增，在[)1,-+∞上递减.根据复合函数单调性同增异减可知：函数28212x x y --⎛⎫=⎪⎝⎭的单调递增区间为[)1,-+∞.故填：[)1,-+∞.12．（一题两空）（2020·上海高一课时练习）函数2x y =的图象与函数2x y -=的图象关于________对称，它们的交点坐标是_________. 【答案】y 轴 ()0,1【解析】函数2x y =的图象与函数2x y -=的图象如下：由指数函数的性质可知，函数2x y =的图象与函数2x y -=的图象关于y 轴对称，它们的交点坐标是()0,1.故答案为：y 轴；()0,1.三、解答题（本大题共4小题，共40分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13．（2020·浙江高一课时练习）已知函数21,0()21,1x c cx x cf x c x -+<<⎧⎪=⎨⎪+≤<⎩，满足928c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求常数c 的值.（2）解关于x 的不等式2()1f x >+. 【答案】（1）12；（2）2548x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭. 【解析】（1）由928c f ⎛⎫=⎪⎝⎭，得9128c c ⋅+=，解得12c =. （2）由（1）得4111,022()121,12x x x f x x -⎧+<<⎪⎪=⎨⎪+≤<⎪⎩.由2()18f x >+得，当102x <<时，121128x +>+， 212x <<； 当112x ≤<时，42211x -+>+，解得1528x ≤<.综上，不等式2()18f x >+的解集为2548x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭.14．（2019·陕西临渭�高一期末）已知函数()2121x x f x -=+.（1）判断并证明函数()f x 的奇偶性； （2）判断并证明()f x 在其定义域上的单调性. 【答案】（1）详见解答；（2）详见解答. 【解析】（1）()f x 的定义域为实数集R ，2112()()2112x xx x f x f x -----===-++，所以()f x 是奇函数；（2）()21212121x x xf x -==-++，设12x x <， 12121212222(22)()()2121(21)(21)x x x x x x f x f x --=-+=+++⋅+， 12121212,022,220,()()x x x x x x f x f x <<<-<<，所以()f x 在实数集R 上增函数.15．（2019·黑龙江松北�哈九中高一期末）已知函数()1124x xf x a =--． （1）若1a =时，求满足()11f x =-的实数x 的值；（2）若存在[]0,1x ∈，使()0f x >成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）12log 3x =（2）34a >【解析】（1）当1a =时，()1111124x x f x =--=-，令()102x t t =>，则2120t t +-=， 解得3t =或4t =-（舍），由132x=，得12log 3x =， 所以12log 3x =．（2）由已知，存在[]0,1x ∈，使()0f x >成立可转化为存在[]0,1x ∈，使得1124x xa >+， 只需求出函数11()24x xh x =+的最小值即可， 令12x t =，∴1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．则2y t t =+，易知2y t t =+在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以 2min 113()224y =+=，∴min 3()4h x =，∴34a >．16．（2019·安徽合肥�高二开学考试）设函数()(2)x x f x a k a -=-+（0a >且1a ≠）是定义域为R 的奇函数. （1）求实数k 的值； （2）若3(1)2f =，22()2()x xg x a a mf x -=+-，且()g x 在[1,)+∞上的最小值为1，求实数m 的值.【答案】（1）1-；（2）1312. 【解析】（1）因为()f x 是定义域为R 的奇函数，所以(0)0f =，所以1(2)0k -+=，即1k =-，当1k =-时，()))((()x x x x x x f f x a a f x a a a x a ---⇒=---=-=-=-符合条件.（2）因为13(1)2f a a =-=，所以22320a a --=，解得2a =或12a =-（舍）. 故()()()222()22222222222x x x x x xx x g x m m ----=+--=---+，令22x x t -=-，由1x ≥，故113222t -≥-=， 所以2322,2y t mt t =-+≥函数222y t mt =-+图象的对称轴为t m =，①32m ≥时，22min 221y m m =-+=，解得1m =±（舍去）； ②32m <时，min 93214y m =-+=，解得133122m =<. 所以，1312m =.。
2020-2021学年黑龙江省哈尔滨市重点高中高一下学期期末考试英语试题 Word版含答案
哈尔滨市重点高中2020-2021学年高一下学期期末考试英语试题本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分。
共150分。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。
第一卷注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名，准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2. 选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚。
3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第一部分阅读理解（共两节，满分50分）第一节：（共15小题；每小题2.5分，满分37.5 分）AA good book about space can inspire an interest in exploring the universe. If you’re hoping for a holiday gift for your kids, you’re in the right place.Margaret and the MoonAge range:4-8In Margaret and the Moon, Dean Robbins outlines（概述）the pioneering software engineer’s life, from the backyard of her childhood home, where she put forward a million questions about the night sky, to the hallways of NASA, where she led a team from MIT to develop the onboard flight software that would land the first men on the moon.I am Neil ArmstrongAge range：5-9In I am Neil Armstrong, the bestselling author Brad Meltzer shows kids how Neil Armstrong made it all the way to the moon. Meltzer begins the story with young Armstrong determining to climb to the top of a silver maple tree after falling and getting back up. He continued this spirit throughout his career .Look Inside SpaceAge range：3 and upFor parents of young kids, Usbome’s prizewinning Look Inside Space is a must to share the history and wild technology of space exploration with starry-eyed kids. It explores the history of human spaceflight and the basics of stars and planets. It’s enjoyable to all space fans, but is especially good for pre-school and kindergarten-age kids.Max Goes to the Space StationAge range: All agesJeffrey Bennett’s tale about a dog called Max and his adventures to the International Space Station isn’t only an accurate look at what life in space is like. The book was actually sent into space and joined the station's library in 2014 as part of the Story Time from Space project. It enables readers to learn all sorts of fun facts about space.1. What’s the text mainly intended to introduce?A. How to find holiday gifts for your kids.B. Some kids’ space books for the holidays.C. How to inspire kids’ interest in the universe.D. Some books about the theories of the universe.2. Which book can inspire a sense of determination in readers?A. Max Goes to the Space Station.B. Margaret and the Moon.C. I am Neil Armstrong.D. Look Inside Space.3. In which aspect is Max Goes to the Space Station different from the other three books?A. It has experienced moon travel.B. It is suitable for kids of all ages.C. It is a biography of an astronaut.D. It has won a prize as a bestseller.BTake a look inside a high school classroom. You will most likely find a teacher at the front of the class and students sitting at their desks. Yet, look closer, and you might notice a familiar scene: many of these students are not paying attention. Instead, they are dozing off (打盹) or even completely asleep.Today, the majority of high school students are not getting enough sleep. This lack of sleep is a serious problem, especially as students are doing more than ever with their time. They come to school early, spend hours listening to teachers and taking tests, then run off to practices and meetings, and come home to face even more work. And the homework load these days is not light; teachers give hours worth of homework each night.Most kids need at least nine hours of sleep per night in order to function properly. Yet the period of this nine hours shifts as a child gets older. After puberty (青春期), the body’s internal clock changes so that it is difficult for teens to fall asleep before 11 p.m. So even if a student falls asleep at eleven, they would need to sleep until at least 8 a.m. to get a full night’s sleep. Considering the time at which most high schools in this country begin, those nine hours are clearly being shortened. Few high schools start after 8 a.m.However, there are schools that have paid attention to this research and pushed backward the start of their school day. In schools where the start time is after 8:30 in the morning, the teachers believe that there has been a real change in their students. They note that the students miss class less, pay more attention in class, perform better in class, and report lower levels of depression (沮丧). The researchers of these studies say that the results are quite important and that more schools should consider pushing backward their start time of their school day.4. Which of the following would the author agree with?A. High school students must go to bed before 10 p.m.B. High schools should begin their school day at a later time.C. Most schools should push forward the start of their school day.D. Kids should shorten their sleep time gradually as they grow older.5. The second paragraph mainly discusses ______.A. why high school students should get more sleepB. what’s life like for high school students at presentC. why high school students feel sleepy in the classroomD. how to lighten high school students’ homework load6. The underlined word “shifts” probably means “_______”.A. arrivesB. reducesC. increasesD. changes7. How do the teachers feel about the results from pushing backward their school day?A. Disappointed.B. Satisfied.C. Puzzled.D. Surprised.CPeople with an impulsive(冲动的) personality refer to those who tend to do things without considering the possible dangers or problems first. According to a new study by researchers at the University of Georgia, such people may be more likely to have food addiction. The study found that people exhibiting impulsive behavior weren’t necessarily overweight, but impulsiveness was related t o a direct relationship with food, and therefore, less healthy weight.Food addiction has been compared to addictive drug use. Studies have linked the dopamine (多巴胺) release that occurs after tasting delicious food to the dopamine release that happens when people consume other addictive substances（物质）.Impulsive behavior involves several personality traits (特点). Two of these traits, known as negative urgency and lack of perseverance, were particularly associated with food addiction and high BMI (身体质量指数) during the study.Negative urgency is characterized by the tendency to behave impulsively when experiencing negative emotions. Some people might drink alcohol or take drugs. For others, it could mean eating to feel better. Lack of perseverance is when a person has a hard time finishing hard or boring tasks. People with a lack of perseverance might have difficulty attempting to change addictive eating behavior, which could also cause obesity（肥胖）.“Impulsiveness might be one reason why some people eat in an addi ctive way despite motivation to lose weight,” said Dr. Ashley Gearhardt, a clinical psychologist. He was involved in developing the Yale Food Addiction Scale in aid of those people. “We are theorizing that if food addiction is really a thing, then our meas ure, the Yale Food Addiction Scale, should be related to helping control impulsive action,” said Gearhardt.Clinical psychologist Dr. James MacKillop, whose lab was conducting the study, believes that therapies（治疗，疗法）used to treat addictive drug behavior could help people who suffer from addictive eating habits.“Most of the programs for weight loss at this point focus on the most obvious things, which are clearly diet and exercise,” MacKillop said. “It seems that managing strong desires to eat would natur ally fit in with the skills a person would need to eat healthily.”8. According to Paragraph 1, the result of food addiction is ________.A. taking alcohol or drugsB. motivation to lose weightC. negative emotionsD. less healthy weight9. How does the author introduce the two personality traits in Paragraph 4?A. By making comparisons and conclusions.B. By explaining causes and effects.C. By giving definitions and examples.D. By presenting questions and answers.10. What can be inferred about the Yale Food Addiction Scale from the text?A. It has been successfully carried out among overweight people.B. It might help some impulsive people with food addiction to lose weight.C. It will prove whether food addiction is a problem to impulsive people.D. It is theoretically a proper treatment for addictive food and drug behavior.11. What does the passage mainly talk about?A. Impulsive personality linked to food additionB. Food addiction compared to drug useC. Dopamine release caused by food addictionD. Food addiction contributing to obesityDWhile flatmates can bring about stress and difficulty, they can also be great company and develop into wonderful, lifelong friends. Before making the decision to live with a flatmate or to live alone, consider carefully all the accompanying advantages and disadvantages.Most people join forces with a flatmate primarily due to financial problem. A shared living space also means you 're responsible for only half of the rent or shared bills. Additionally, when you're splitting costs, you can afford a better apartment than you could alone. However, money can become a point of argument for flatmates as well. If your flatmate gets laid off or quits his job, you may have to pick up his bill until he's back on his feet. Your flatmate may also insist he owe less because he doesn't use the shower too often.In addition to bills and the rent, flatmates also typically share responsibility for unpleasant tasks, such as cleaning or doing the dishes. Without a flatmate, cleaning and tidying responsibilities are yours alone. However, flatmates also frequently end up sharing plenty of other things many people would rather not: use of the TV, the bathroom, food and even clothing, for example. You may have to wake up earlier than you'd like to get a hot shower before work or give up watching your favorite show because your flatmate beat you to it.When you live alone, you get to determine the terms of your social life, and you go home to an empty house or apartment at the end of the day. That can be preferable if you 're a serious student or professional, someone who needs to work and rest in the quiet of an apartment. With a flatmate, there are unexpected guests and your social options can expand sharply. Keep in mind, however, that having a flatmate means that he may feel social when you do not, and you may have to deal with wanted house guests.12. What's the main reason for most people to share a flat?A. Ensuring safety.B. Saving money.C. Sharing housework.D. Reducing loneliness.13. What does the author say about a serious flatmate?A. He likes a peaceful life.B. He has excellent social manners.C. He keeps everything in the room tidy.D. He often turns away unexpected guests.14.How does the author express his opinions?A. By describing the process.B. By stating an argument.C. By making comparisons.D. By analyzing the outcome.15. Which of the following can be the best title for the text?A. Buying a Flat or Sharing One?B. The Reasons for Sharing a FlatC. How to Share a Flat with a Flatmate?D. The Advantages and Disadvantages of Flatsharing第二节 (共5小题；每小题2.5分，满分12.5分)根据短文内容，从短文后的选项中选出能填入空白处的最佳选项。
2020-2021学年___高一(下)期末数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年___高一(下)期末数学试卷(附答案详解)1.已知集合A={A∈A|−2≤A<2}，A={0,1}，则下列判断正确的是()A。
A∈AB。
A∩A=⌀C。
A⊆AD。
A⊆A2.已知A>0，则对于2−3A−A^2，说法正确的是()A。
有最小值2+4√3B。
有最小值2−4√3C。
有最大值2+4√3D。
有最大值2−4√33.已知AA=(1,A)，AA//AA，则|AA+AA|=()A。
√10B。
√5C。
2√5D。
104.已知A=log0.3 3，A=log0.3 4，A=30.3，则()A。
A<A<AB。
A<A<AC。
A<A<AD。
A<A<A5.为了得到函数A=cos5A，A∈A的图象，只需把余弦函数的图象A=AAAA，A∈A上所有的点的()A。
横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变B。
横坐标缩短到原来的5倍，纵坐标不变C。
纵坐标伸长到原来的5倍，横坐标不变D。
纵坐标缩短到原来的5倍，横坐标不变6.随着互联网和物流行业的快速发展，快递业务已经成为人们日常生活当中不可或缺的重要组成部分。
如图是2012～2020年我国快递业务量变化情况统计图，则关于这9年的统计信息，下列说法正确的是()A。
这9年我国快递业务量有增有减B。
这9年我国快递业务量同比增速的中位数为51.4%C。
这9年我国快递业务量同比增速的极差未超过36%D。
这9年我国快递业务量的平均数超过210亿件7.在空间四边形ABCD中，若AA⊥AA，AA⊥AA，则对角线AC与BD的位置关系为()A。
相交但不垂直B。
垂直但不相交C。
不相交也不垂直D。
无法判断8.若直线l经过A(2,1)，A(1,−A/2)(A∈A)两点，则直线l 的倾斜角A的取值范围是()A。
≤A≤π/4B。
π/4<A<π/2C。
π/4≤A<π/2D。
π/2<A≤3π/49.三条直线A+A=4，A−A=1，A+AA=3构成三角形，则a 的取值可以是()A。
2020-2021学年高一下学期数学期末复习卷(一)统计与概率(word版,含答案)
2020-2021学年度高一数学期末复习卷（一）——统计与概率一、单选题1．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是( ) A ．中位数 B ．平均数 C ．方差 D ．极差【答案】A 【分析】可不用动笔，直接得到答案，亦可采用特殊数据，特值法筛选答案． 【详解】设9位评委评分按从小到大排列为123489x x x x x x ≤≤≤≤≤．则①原始中位数为5x ，去掉最低分1x ，最高分9x ，后剩余2348x x x x ≤≤≤，中位数仍为5x ，∴A 正确． ①原始平均数1234891()9x x x x x x x =+++++，后来平均数234817x x x x x '=+++（）平均数受极端值影响较大，∴x 与x '不一定相同，B 不正确 ①()()()222219119S x x x x x x ⎡⎤=-+-++-⎣⎦ ()()()222223817s x x x x x x ⎡⎤'=-'+-'++-'⎢⎥⎣⎦由①易知，C 不正确．①原极差91=x -x ，后来极差82=x -x 可能相等可能变小，D 不正确． 【点睛】本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解.2．某单位青年、中年、老年职员的人数之比为10①8①7，从中随机抽取200名职员作为样本，若每人被抽取的概率是0.2，则该单位青年职员的人数为( ) A ．280 B ．320C ．400D ．1000【答案】C 【分析】由题意知这是一个分层抽样问题，根据青年、中年、老年职员的人数之比为1087∶∶，从中抽取200名职员作为样本，得到要从该单位青年职员中抽取的人数，根据每人被抽取的概率为0.2，得到要求的结果 【详解】由题意知这是一个分层抽样问题，青年、中年、老年职员的人数之比为1087∶∶，从中抽取200名职员作为样本， ∴要从该单位青年职员中抽取的人数为：10200801087⨯=++每人被抽取的概率为0.2，∴该单位青年职员共有804000.2= 故选C 【点睛】本题主要考查了分层抽样问题，运用计算方法求出结果即可，较为简单，属于基础题． 3．有一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是（ ） A ．至多有1次中靶 B ．2次都中靶 C ．2次都不中靶D ．只有1次中靶【答案】C 【分析】根据对立事件的定义可得事件“至少有1次中靶”的对立事件． 【详解】由于两个事件互为对立事件时，这两件事不能同时发生，且这两件事的和事件是一个必然事件.再由于一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的反面为“2次都不中靶”.故事件“至少有1次中靶”的对立事件是“2次都不中靶”， 故选：C .4．掷一枚骰子一次，设事件A ：“出现偶数点”，事件B ：“出现3点或6点”，则事件A ，B 的关系是A ．互斥但不相互独立B ．相互独立但不互斥C ．互斥且相互独立D ．既不相互独立也不互斥【答案】B 【详解】事件{2,4,6}A =，事件{3,6}B =，事件{6}AB =，基本事件空间{1,2,3,4,5,6}Ω=，所以()3162P A ==，()2163P B ==，()111623P AB ==⨯，即()()()P AB P A P B =，因此，事件A 与B 相互独立．当“出现6点”时，事件A ，B 同时发生，所以A ，B 不是互斥事件．故选B ．5．齐王有上等、中等、下等马各一匹，田忌也有上等、中等、下等马各一匹．田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．现在从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，若有优势的马一定获胜，则齐王的马获胜得概率为 A ．49B ．59C ．23D ．79【答案】C 【分析】现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛 ,列出样本空间，有9个样本点，“齐王的马获胜”包含的样本点有6个，利用古典概型概率公式可求出齐王的马获胜的概率. 【详解】设齐王上等、中等、下等马分別为,,A B C ，田忌上等、中等、下等马分别为,,a b c ， 现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛,Ω={()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,A a A b A c B a B b B c C a C b C c }，9)(=Ωn ，因为每个样本点等可能，所以这是一个古典概型。
哈尔滨市第六中学2020_2021学年高一化学下学期线下开学考试试题 (1)
黑龙江省哈尔滨市第六中学2020-2021学年高一化学下学期线下开学考试试题可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 Na 23 Mg 24 Al 27S 32 Cl 35.5 Fe 56 Cu 64 Ba 137本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟。
第Ⅰ卷（选择题50分）单项选择题(本题包括25小题，共计50分。
每小题只有1个选项是正确的。
)1．《梦溪笔谈》中记载：“解州盐泽.....卤色正赤,在版泉之下,俚俗谓之“蚩尤血’。
.。
..唯巫咸水入,则盐不复结，故人谓之‘无咸河.。
.。
原其理,盖巫咸乃浊水，入卤中，则淤淀卤脉,盐遂不成,非有他异也”。
下列有关说法正确的是A．“卤色正赤"的原因为水中含有Fe2+B．“巫咸水乃浊水”指巫咸水是悬浊液C．“巫咸水入卤中”发生了胶体的聚沉D．解州盐泽带负电荷,巫咸水带正电荷2．下列物质中，不属于．．．合金的是A．硬铝B．黄铜C．钢铁D．金3．下列关于胶体和溶液的叙述正确的是A．溶液呈电中性，部分胶体带电荷，部分胶体不带电荷B ．胶体与其他分散系的本质区别是能否产生丁达尔效应C ．氢氧化铁胶体是一种红褐色的液体D ．胶体是具有一定稳定性的分散剂4．用光洁的铂丝蘸取无色溶液在无色灯焰上灼烧时观察到黄色火焰,下列叙述正确的是A ．只含有Na +B ．一定含Na +，也可含K +C ．既含Na +又含有K +D ．可能含Na +或K +中一种5．只用一种试剂可鉴别24K SO 、2MgCl 、2FeCl 、()442NH SO 四种溶液，这种试剂是A ．()2Ba OHB ．24H SOC ．NaOHD ．3AgNO 6．铁屑溶于过量稀硫酸，过滤后向滤液中加入过量氨水，有白色沉淀生成,过滤，在空气中加热沉淀至质量不再发生变化为止，得到红棕色残渣,上述沉淀和残渣分别是A ．2323Fe(OH)Fe(OH)Fe O B ．2334Fe(OH)Fe(OH)Fe O C ．233Fe(OH)Fe(OH)Fe(OH) D ．32Fe(OH)Fe(OH)FeO 7．为了除去硫酸铜溶液中的硫酸亚铁杂质，通常先加入合适的氧化剂使2Fe +转化为3Fe +下列物质中合适的是 A ．4KMnO 溶液 B ．22H O 溶液 C ．氯水 D ．3HNO 溶液8．已知反应8NH 3+3Cl 2=N 2+6NH 4Cl.下列化学用语表述错误的是 A ．Cl -的结构示意图：B ．N 2的结构式：N≡NC．NH+4的电子式：D．氧化性：Cl2＞N29．等体积、等物质的量浓度的硫酸、氢氧化钠溶液分别放在甲、乙两烧杯中，各加等质量的铝，生成氢气的体积比为5:6，则甲、乙两烧杯中的反应情况可能分别是A．甲、乙中都是铝过量B．甲中铝过量，乙中碱过量C．甲中酸过量，乙中铝过量D．甲中酸过量，乙中碱过量10．下列关于元素周期律叙述正确的是A．随着元素原子序数的递增,原子最外层电子数总是从1到8地重复出现B．元素的性质随着原子序数的递增而呈周期性的变化C．随着元素的原子序数的递增，元素的最高正价从+1到+7，负价从－7到－1地重复出现D．元素性质的周期性变化的本质是原子序数的递增11.在实验室中，通常将金属钠保存在A．水中B．四氯化碳中C．煤油中D．汽油中12．下列离子方程式正确的是A．Al(OH)3溶于足量的NaOH溶液：Al(OH）3＋OH－＝AlO2－＋2H2OB．Na2O2与H2O反应:Na2O2＋H2O＝2Na＋＋2OH－＋O2↑C．氯气与水的反应:Cl2＋H2O＝2H＋＋Cl－＋ClO－D．盐酸中滴加氨水：H＋＋OH－＝H2O13．下列说法正确的是①2Na O、23NO都能和碱SiO、2Fe O、23Al O属于碱性氧化物，2CO、2溶液发生反应属于酸性氧化物②碳酸钠、氢氧化钡、氯化铵、过氧化钠都属于离子化合物③混合物：漂白粉、水玻璃、3Fe(OH)胶体、冰水混合物④醋酸、烧碱、纯碱和生石灰分别属于酸、碱、盐和氧化物⑤硅导电,铝在浓硫酸中钝化均属于物理变化⑥盐酸属于混合物，而液氯、冰醋酸均属于纯净物A．①③⑤B．④⑤⑥ C．②④⑥D．②③④14．下列实验操作中正确的是A．配制一定物质的量浓度的24H SO溶液时，用量筒量取一定体积的浓硫酸倒入烧杯后,再用蒸馏水洗涤量筒2~3次，并将洗涤液一并倒入烧杯中稀释B．24100gH SO溶液的物质的量浓度为118.4mol L-⋅，用水稀释到物质的量浓度为1⋅,需要水100g9.2mol L-C．配制一定物质的量浓度的氯化钾溶液：准确称取一定质量的氯化钾固体，放入1000mL的容量瓶中，加入1000mL溶解，振荡摇匀D．将4CuSO溶10gCuSO溶解在90g水中，配制溶质质量分数为10%的4液15．X、Y、Z、Q、R均为短周期元素，且Y、Z、Q、R在周期表中的位置关系如下图所示.已知X与Y同主族,X与Q能形成最简单的有机物。
2020-2021学年黑龙江省哈尔滨市第三中学高一下学期期末考试数学试题
2020-2021学年黑龙江省哈尔滨市第三中学高一下学期期末考试数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，在本试卷上作答无效。
2.请将选择题答案填涂在机读卡上，非选择题答案填写在第II 卷答题纸上。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4.本试题卷共23题, 全卷满分150分。
考试用时120分钟。
第I 卷（选择题，共70分）一、选择题：本题共14小题，每小题5分，共70分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数z 满足2025(1)1z i i +⋅=-，则z 的虚部为（ ） A.iB.1-C.i -D.12.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物有所增加，为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，计划从这些地块中抽取20个作为样区，根据现有的统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为了让样本具有代表性，以获得该地区这种野生动物数量准确的估计，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ） A.系统抽样 B.分层抽样 C.简单随机抽样 D.非以上三种抽样方法3.平面向量()2,1a =，2b =，4a b ⋅=，则向量a 、b 夹角的余弦值为（ ） A.255B.45 C. 55 D. 154.如图是一个由正四棱锥P ﹣A 1B 1C 1D 1和正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1构成的组合体，正四棱锥的侧棱长为6，BB 1为正四棱锥高的4倍.当该组合体的体积最大时，点P 到正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1外接球表面的最小距离是（ ） A. 6243- B. 6(32)- C. 6(21)-D. 6(31)-5.已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()2b a ac =+，则sin cos cos a Ab A a B-的取值范围是（ ）A.20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B.30,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ C.12,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D.13,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ 6.已知平面α、平面γ、平面β、直线a 以及直线b ，则下列命题说法错误的是（ ） A. 若αα⊥b a ,//，则b a ⊥ B. 若b a =⋂=⋂γβγαβα,,//，则b a //C. 若αβα⊥a ,//，则β⊥aD. 若γβγα⊥⊥,，则βα⊥a ,// 7.平行四边形ABCD 中，4AB =，3AD =，060=∠BAD ，Q 为CD 中点，点Р在对角线BD1上，且BD BP λ=，若BQ AP ⊥，则=λ（ ） A.14B.12C.23D.348.已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，60ABC =∠︒，12AA AB ==，1BC =，则异面直线A 1B 与B 1C 所成角的余弦值为（ ）A.1010B.31020C.31010 D. 10209.某地一重点高中为让学生提高遵守交通的意识，每天都派出多名学生参加与交通相关的各类活动.1现有包括甲、乙两人在内的6名中学生，自愿参加交通志愿者的服务工作这6名中学生中2人被1分配到学校附近路口执勤，2人被分配到医院附近路口执勤，2人被分配到中心市场附近路口执1勤，如果分配去向是随机的，则甲、乙两人被分配到同一路口的概率是（ ） A.15B.25C.35 D. 4510.如图是古希腊著名的天才几何学家希波克拉底（公元前470年~公1元前410年）用于求月牙形图形面积所构造的几何图形，先以AB为直径构造半圆O ，C 为弧AB 的中点，D 为线段AC 的中点， 再以AC 为直径构造半圆D ，则由曲线AEC 和曲线AFC 所围成 的图形为月牙形，在图形ABCE 内任取一点，则该点在月牙形内的概率为（ ）A.112+πB.3+π C. 2+πD. 11+π11.已知平面α与β所成锐二面角的平面角为80︒，P 为α，β外一定点，过点P 的一条直线与α和β所1成的角都是30，则这样的直线有且仅有（ ）A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条12.在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，ABC ∆的面积为S ，若222sin()SA C b c +=-，11则1tan 2tan()C B C +-的最小值为（ ）B. 2C. 1D. 13.6(1)(1)ax x -+的展开式中，3x 项的系数为-10，则实数a 的值为（ ） A.23B. 2C. －2D. 23-14.已知在R 上的函数()f x 满足如下条件：①函数()f x 的图象关于y 轴对称；②对于任意R x ∈，()()220f x f x +--=；③当[]0,2x ∈时，()f x x =；④函数()()()12n n f x f x -=⋅，*n N ∈，若过点(－1,0)的直线l 与函数()()4f x 的图象在[]0,2x ∈上恰有8个交点，在直线l 斜率k 的取值范围是（ ）A. 80,11⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 110,8⎛⎫⎪⎝⎭C. 80,19⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 190,8⎛⎫ ⎪⎝⎭第II 卷（非选择题，共80分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.15.若向量2a =，2b =，()a b a -⊥，则向量a 与b 的夹角等于_________.16.6(12)(2x -的展开式中2x 的系数为________.（用数字作答）17.在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖儒.如图，在鳖臑ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，其三视图是三个全等的等腰直角三角形，则异面直线AC 与BD 所成的角的余弦值为______.18.已知函数()||||1x x f x e =+，()()2,02,0f x xg x x x a x ⎧≤=⎨-+>⎩，且()10g =，则关于x 的方程()()10g g x t --=实根个数的判断正确的是_________.①当2t <-时，方程()()10g g x t --=没有相异实根②当110t e-+<<或2t =-时，方程()()10g g x t --=有1个相异实根 ③当111t e <<+时，方程()()10g g x t --=有2个相异实根④当111t e -<<-+或01t ≤＜或11t e=+时，方程()()10g g x t --=有4个相异实根三、解答题：共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19.（本题满分12分）在①cos 13sin b B a A+=，②2sin tan b A a B =，③()()sin sin sin a c A c A B b B -++=这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若______. （1）求角B ；（2）若4a c +=，求△ABC 周长的最小值，并求出此时△ABC 的面积. 20.（本题满分12分）在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业 加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障 抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管 理，不定时抽查口罩质量，该厂质检人员从某日所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：[)100,110，[)110,120，[)120130,， [)130140,，[]140,150，得到如下频率分布直方图. （1）规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口1罩，质量指标值不低于130的为一级口罩.现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个1口罩，再从中抽取3个，求恰好取到一级口罩个数为2的概率；（2）在2020年“五一”劳动节前，甲、乙两人计划同时在该型号口罩的某网络购物平台上分别参加1A 、B 两店各一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单由n ()*2,n n N ≥∈个该型号口罩构成.假1定甲、乙两人在A 、B 两店订单“秒杀”成功的概率分别为2nπ，2cosn nπ，记甲、乙两人抢购1成功的订单总数量、口罩总数量分别为X ，Y .①求X 的分布列及数学期望()E X ；②求当Y 的数学期望()E Y 取最大值时正整数n 的值.21.（本题满分12分）如图，三棱锥A BCD -中，侧面ABD △是边长为2的正三角 形，22AC CD ==，平面ABD ⊥平面BCD ，把平面ACD 沿CD 旋转至平面PCD 的位置，记点A 旋转后对应的点为P （不在平面BCD 内），M 、N 分别是BD 、CD 的中点. （1）求证：CD MN ⊥；（2）求三棱锥C APD -的体积的最大值. 22.（本题满分12分）（1）已知()2112n x +-的展开式中第二项与第三项的二项式系数之比为1:4，求n 的值.（2）记()212210122112n n n x a a x a x a x +++-=+++⋅⋅⋅+，*n N ∈，①求0121n a a a +++⋅⋅⋅+；②设()2kk k a b =-，求和：()()01221123122k n b b b k b n b +⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅++⋅+⋅⋅⋅++⋅.23.（本题满分12分）设,a b ∈R ，b 为常数，*,2n N n ∈≥，函数(),n f x x ax b x R =-+∈， （1）设3n =，①已知2,1a b ==，求函数f (x )的所有极值的和；②已知0a >，02b <<，函数f (x )在区间[0,1]上恒为非负数，求实数a 的最大值；并判断a 取最大值时函数()f x 在R 上的零点的个数；（2）求证：无论,a n 如何变化，只要函数()f x 同时存在极大值和极小值，那么所有这些极值的和1就是与,a n无关的常数.绝密★启用前 试卷类型A哈尔滨市第三中学2020—2021学年度第二学期期末考试 高一数学试卷参考答案及评分标准评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。