高一必修4平面向量的概念及线性运算
平面向量的概念及线性运算一、目标认知学习目标：1．了解向量的实际背景.2．理解平面向量和向量相等的含义.3．理解向量的几何表示.4．掌握向量加、减、数乘运算，并理解其几何意义.5．理解两个向量共线的含义.6．了解向量的线性运算性质及其几何意义.重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.二、知识要点梳理知识点一：向量的概念1．向量:既有大小又有方向的量叫做向量.2．向量的表示方法:(1)字母表示法:如等.(2)几何表示法:用一条有向线段表示向量.如等.(3)向量的有关概念向量的模:向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度).零向量:长度为零的向量叫零向量.单位向量:长度等于1个单位的向量.相等向量:长度相等且方向相同的向量.相反向量: 长度相等且方向相反的向量.共线向量:方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定:与任一向量共线.要点诠释：1．数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.2．零向量的方向是任意的，注意0与0的含义与书写区别.3．平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.知识点二：向量的加(减)法运算1．运算法则：三角形法则、平行四边形法则2．运算律：①交换律：；②结合律：要点诠释：1．两个向量的和与差仍是一个向量，可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与终点.2．.探讨该式中等号成立的条件，可以解决许多相关的问题.知识点三：数乘向量1．实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作：(1)；(2)①当时，的方向与的方向相同；②当时.的方向与的方向相反；③当时，. 2．运算律：设为实数结合律：；分配律：，3．共线向量基本定理：非零向量与向量共线的充要条件是当且仅当有唯一一个非零实数，使. 要点诠释：是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化，体现了数形结合的高度统一.三、规律方法指导1.向量的线性运算(1)在正确掌握向量加法减法运算法则的基础上能结合图形进行向量的计算，将数和形有机结合，并能利用向量运算完成简单的几何证明；(2)向量的加法表示两个向量可以合成，利用它可以解决有关平面几何中的问题，减法的三角形法则应记住:连接两端(两向量的终点)，指向被减(箭头指向被减数).记清法则是灵活运用的前提.2.共线向量与三点共线问题向量共线的充要条件实质上是由实数与向量的积得到的.通常用来判断三点在同一条直线上或两直线平行.该定理主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题.经典例题透析类型一：向量的基本概念例1．判断下列各命题是否正确：(1)若，则；(2)若A、B、C、D是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；(3)若，则(4)两向量相等的充要条件是且.思路点拨：相等向量即为长度相等且方向相同的向量.解析：(1)不正确，两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同，因此由推不出.(2)正确，且.又A、B、C、D是不共线的四点，四边形是平行四边形，则且与方向相同.因此.(3)正确，的长度相等且方向相同；又的长度相等且方向相同，的长度相等且方向相同.故.(4)不正确，当但方向相反时，即使，也不能得到，故不是的充要条件.总结升华：我们应该清醒的认识到，两个非零向量相等的充要条件应是长度相等且方向相同，向量相等是可传递的.复习向量时，要注意将向量与实数、向量与线段、向量运算与实数运算区别开来.举一反三：【变式1】下列说法正确的个数是( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个①向量，则直线直线②两个向量当且仅当它们的起点相同，终点也相同时才相等；③向量既是有向线段；④在平行四边形中，一定有.【答案】C类型二：向量的线性运算例2．如图所示，的两条对角线相交于点，且用表示思路点拨：利用三角形法则和数乘运算，用向量法讨论几何问题，关键是选取适当的基向量表示其他向量，本题的基底就是，由它可以“生”成.解析：在中总结升华：用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功，除利用向量加、减法、数乘向量外，还应充分利用平面几何的一些定理，因此在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相连的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解，既充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系，运用加法三角形、平行四边形法则，运用减法三角形法则，充分利用三角形的中位线，相似三角形对应边成比例的平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解.举一反三：【变式1】如图，△中，点是的中点，点在边上，且，与相交于点，求的值.【答案】解：(如图)设，则和分别共线，∴存在使故，而∴由基本定理得，即类型三：共线向量与三点共线问题例3．设两非零向量和不共线，(1)如果求证三点共线.(2)试确定实数，使和共线.思路点拨：要证明三点共线，须证存在使即可.而若和共线，则一定存在，使.解析：(1)证明共线，又有公共点，∴三点共线.(2)解∵和共线，∴存在，使，则由于和不共线，只能有则.总结升华：本题充分地运用了向量共线的充要条件，即共线存在使(正用与逆用)举一反三：【变式1】设和是两个不共线的非零向量，若向量，试证明：A、C、D三点共线.证明：∴又∴∴与共线，∴A、C、D三点共线.类型四：综合应用例4．在中，分别为三边上的动点，且在时，分别从A，B，C出发，各以一定的速度沿各边向B，C，A移动，当t=1时，分别到达B，C，A，求证：在的任何一时刻t，的重心为G.解析：设的重心为G.由已知点D，E，F在边AB，BC，CA上的速度分别是在任意时刻时，有又为一确定向量. 的重心不变.总结升华：熟练地进行向量的线性运算是解决本题的关键，另外中设重心为G，则应该熟练记忆并灵活运用.举一反三：【变式1】如图，已知点分别是三边的中点，求证：.【答案】证明：连结.因为分别是三边的中点，所以四边形为平行四边形.由向量加法的平行四边形法则，得(1)，同理在平行四边形中，(2)，在平行四边形在中，(3)将(1)(2)(3)相加，得.基础达标：1.下面的几个命题：①若；②长度不等且方向相反的两向量不一定是共线向量；③若满足且与同向，则；④由于方向不定，故不能与任何向量平行；⑤对于任意向量必有.其中正确命题的序号是：( )A.①②③ B.⑤ C.③⑤ D.①⑤2.在正六边形ABCDEF中，O为其中心，则 A. B. C. D.3.如图所示，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则=( )A. B. C. D.4.若是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )A. B. C. D.5.如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是DC、BC中点，已知，用表示=___________，___________.6.设是两个不共线向量，则向量与向量共线的充要条件是_______________.7.一条渔船距对岸4km，以2km/h速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际航程为8km，求河水的流速.8.如图，D、E是△ABC中AB、AC的中点，M、N分别是DE、BC的中点，已知，试用分别表示.基础达标答案与解析：1.B 【思路分析】向量的概念.2.B 【思路分析】，故选B.3.D 【思路分析】∵，由三角形中位线定理，故选D.4.B 【思路分析】向量的加、减法法则.5.【思路分析】设，M、N为DC、BC中点，，，在△ABN中△ADM中①②解①②：.6.【思路分析】由不共线，必有故7.解：【思路分析】如图，设表示船垂直于对岸的速度，表示水流的速度，则由，就是渔船实际航行的速度，航行的时间为在中，，8.【思路分析】向量的加、减法法则解：由三角形中位线定理知：DE//BC且DE=BC故.能力提升：1.已知向量，且则一定共线的三点是( )A.A、B、DB.A、B、CC.B、C、DD.A、C、D2.已知则是A、B、C三点构成三角形的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D既不充分也不必要条件3.已知向量若与共线，则( )A. B. C. D.或4.若则(用表示)5.已知在△ABC中，D、E、F分别是BC、CA、AB的中点，求证：(1)；(2)； (3).6.已知△OAB中，点C是以A为中心的B的对称点，D是将分成2：1的一个内分点，DC与OA交于E，设.(1)用与表示；(2)若，求实数的值.能力提升答案与解析：1.A 【思路分析】A、B、D三点共线.2.B3.D【思路分析】非零向量与共线的充要条件是当且仅当有唯一一个非零实数，使=；与任一向量共线.4.【思路分析】，整理得.5.(1) (2) 略(3)两式相加得：同理，6.解(1)∵A是BC中点，∴2，而，(2)设∵共线∴存在实数k，使，，.综合探究：1.下列命题中，真命题的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3①方向相同②方向相反③有相等的模④方向相同2.在中，已知是边上一点，，则( )A. B. C. D.3.设是两个不共线的向量，则向量与向量共线的充要条件是( )A.k=0B.k=1C.k=2D.k=4.已知正方形ABCD边长为1，，则的模等于( )A.0B.3C.D.5.两个非零向量相等是两个向量相等的___________条件.6.如图所示，已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的向量为，则=________.7.若非零向量、满足｜-｜=｜｜，则( )A.｜2｜＞｜-2｜B.｜2｜＜｜-2｜C.｜2｜＞｜2-｜D.｜2｜＜｜2-｜综合探究答案与解析：1.C 【思路分析】①②对③④错.2.A 【思路分析】在△ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，，则，∴选A.3.D 【思路分析】共线，设，即∵为不共线向量，∴且4.C 【思路分析】正方形ABCD边长为1 ，∴.5.必要不充分条件【思路分析】∵向量为矢量，向量相等包括大小、方向两方面.6.【思路分析】∵.7.解：若两向量共线，则由于是非零向量，且，则必有；代入可知只有A、C满足；若两向量不共线，注意到向量模的几何意义，故可以构造如图所示的三角形，使其满足OB=AB=BC；令，，则，∴且；又BA+BC>AC ∴，∴，选A.。
高中数学必修4平面向量知识点总结
因此， AB DC ．
③ 正确．∵ a =b ，∴ a ， b 的长度相等且方向相同； 又 b ＝ c ，∴ b ， c 的长度相等且方向相同， ∴ a ， c 的长度相等且方向相同，故 a ＝ c ． ④ 不正确．当 a // b 且方向相反时，即使 | a |=| b | ，也不能得到 a =b ，故 | a |=| b | 且 a // b 不是 a = b 的充要条件，而是必要不充分条件．
4 向量的模与平方的关系： a a a2 | a |2
5 乘法公式成立：
ab
ab
a2 b2
2
2
a b；
2
ab
a 2 2a b b 2
2
2
a 2a b b
6 平面向量数量积的运算律：
①交换律成立： a b b a
②对实数的结合律成立：
ab
ab a b
R
③分配律成立： a b c a c b c c a b
(5) 若 a x1, y1 , b x2 , y2 ，则 a b x1 x2 y1 y2
若 a b ，则 x1 x2 y1 y2 0
3 向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示
和性质
运 几何方法
坐标方法
运算性质
算 类
型
向 1 平行四边形法则 量 2 三角形法则 的 加 法
a 的相反向量
关于相反向量有： （ i） ( a) = a ； (ii) a +( a )=( a )+ a =0 ；
(iii) 若 a 、 b 是互为相反向量，则 a = b , b = a , a + b = 0 ②向量减法： 向量 a 加上 b 的相反向量叫做 a 与 b 的差， 记作： a b a ( b) 求两个向量差的运算，叫做向量的减法
人教版高数必修四第6讲：平面向量的概念及线性运算(学生版)
平面向量的基本概念与线性运算____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1、了解向量、向量的相等、共线向量等概念；2、掌握向量、向量的相等、共线向量等概念．3、熟练掌握向量的线性运算法则：加法法则，减法法则，数乘法则.一、平面向量的概念：1、平面向量：________________________________________________________2、向量的模长：________________________________________________________3、零向量:____________________________________________________________4、单位向量：__________________________________________________________5、平行向量：_________________________________________________________6、相等向量：_________________________________________________________7、相反向量：__________________________________________________________二、平面向量的基本运算：一般地，λa＋μb叫做a,b的一个线性组合（其中λ,μ均为系数）．如果l ＝λa＋μb，则称l 可以用a ，b 线性表示．向量的加法、减法、数乘运算都叫做向量的线性运算．1、三角形法则：位移AC u u u r 叫做位移AB u u u r与位移BC u u u r 的和，记作____________________2、平行四边形法则：如图7－9所示， ABCD 为平行四边形，由于AD u u u r =BC u u ur ，根据三角形法则得AB u u u r ＋AD u u u r=________________________平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法具有以下的性质： （1）a ＋0 = 0＋a = a ； a ＋（−a ）= 0； （2）a ＋b =b ＋a ；（3）（a ＋b ）＋ c = a ＋（b ＋c ）． 3、平面向量减法法则：与数的运算相类似，可以将向量a 与向量b 的负向量的和定义为向量a 与向量b 的差．即a −b = a ＋(−b )．设a =u u u r OA ，b =u u u rOB ，则()= OA OB OA OB OA BO BO OA BA -=+-+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ．即（7．2）观察图7－13可以得到：起点相同的两个向量a 、b ，其差a －b 仍然是一个向量，叫做a 与b 的差向量，其起点是减向量b 的终点，终点是被减向量a 的终点．图7－7ACBaba +bab图7－9A一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的模为||||||aaλ=λ（7．3）若||λ≠a0，则当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同，当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反．由上面定义可以得到，对于非零向量a、b，当0λ≠时，有λ⇔=a b a b∥（7．4）一般地，有0a= 0, λ0 = 0 ．数与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算，容易验证，对于任意向量a, b及任意实数λμ、，向量数乘运算满足如下的法则：()()111=-=-a a a a ， ；()()()()2a a aλμλμμλ== ；()()3a a aλμλμ+=+ ；()()a b a bλλλ+=+４ ．题型1平面向量的基本概念例1给出下列六个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若AB→＝DC→，则A、B、C、D四点构成平行四边形；④在ABCD中，一定有AB→＝DC→；⑤若m＝n，n＝p，则m＝p；aAa-bBbO图7－13⑥ 若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .其中错误的命题有________．(填序号)例2 在平行四边形ABCD 中（图7－5），O 为对角线交点． （1）找出与向量DA u u u r相等的向量； （2）找出向量DC u u u r的负向量；（3）找出与向量AB u u u r平行的向量．练习：1． 如图，∆ABC 中，D 、E 、F 分别是三边的中点，试写出 （1）与EF u u u r 相等的向量；（2）与AD u u u r共线的向量．2．如图，O 点是正六边形ABCDEF 的中心，试写出 （1）与OC u u u r 相等的向量； （2）OC u u u r 的负向量； （3）与OC u u u r题型2 向量的线性表示例3 一艘船以12 km/h 的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流速度为5 km/h ，求该船的实际航行速度．*例4 用两条同样的绳子挂一个物体（图7－11）．设物体的重力为k ，两条绳子与垂线的夹角为θ，求物体受到沿两条绳子的方向的拉力1F 与2F 的大小．练习：1． 如图，已知a ，b ，求a ＋b ．2．填空（向量如图F AD BE C（练习题第1题图EFAB C DO （图1－8）第2题图 ADCB图7－5Obbaa（1）（2）第1题图所示）：（1）a ＋b =_____________ , （2）b ＋c =_____________ , （3）a ＋b ＋c =_____________ ． 3．计算：（1）AB u u u r＋BC u u u r ＋CD u u u r ； （2）OB u u u r ＋BC u u u r ＋CA u u u r ．例5 已知如图7－14（1）所示向量a 、b ，请画出向量a －b ．练习：1．填空：（1）AB u u u r AD -u u u r=_______________，（2）BC u u u r BA -u u u r=______________， （3）OD u u u r OA -u u u r=______________．2．如图，在平行四边形ABCD 中，设AB u u u r = a ,AD u u u r= b ，试用a , b 表示向量AC u u u r 、BD u u u r 、DB u u u r．例6 在平行四边形ABCD 中，O 为两对角线交点如图7－16，AB u u u r ＝a ，AD u u u r＝b ，试用a , b 表示向量AO u u u r 、OD u u u r．练习：1． 计算：（1）3（a −2 b ）－2（2 a ＋b ）；（2）3 a −2（3 a −4 b ）＋3（a −b ）．BbOaAba（1）（2）图7－142．设a , b 不共线，求作有向线段OA u u u r ，使OA u u u r ＝12（a ＋b ）．例7 平行四边形OADB 的对角线交点为C ，BM →＝13BC →，CN →＝13CD →，OA →＝a ，OB →＝b ，用a 、b 表示OM →、ON →、MN →.练习：练习：在△ABC 中，E 、F 分别为AC 、AB 的中点，BE 与CF 相交于G 点，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AG →.题型3 共线向量例8 设两个非零向量a 与b 不共线．(1) 若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )．求证：A 、B 、D 三点共线； (2) 试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线． 题型4 向量共线的应用例4 如图所示，设O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →，则△AOB 与△AOC 的面积之比为________．练习：如图，△ABC 中，在AC 上取一点N ，使AN ＝13AC ；在AB 上取一点M ，使得AM ＝13AB ；在BN 的延长线上取点P ，使得NP ＝12BN ；在CM 的延长线上取点Q ，使得MQ →＝λCM →时，AP →＝QA →，试确定λ的值．一、选择题1．在下列判断中，正确的是( ) ①长度为0的向量都是零向量； ②零向量的方向都是相同的； ③单位向量的长度都相等； ④单位向量都是同方向； ⑤任意向量与零向量都共线． A ．①②③ B ．②③④ C ．①②⑤D ．①③⑤2．向量(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →等于( ) A ．BC → B ．AB → C ．AC →D ．AM →3．若a 、b 为非零向量，则下列说法中不正确的是( )A ．若向量a 与b 方向相反，且|a |>|b |，则向量a ＋b 与a 的方向相同B ．若向量a 与b 方向相反，且|a |<|b |，则向量a ＋b 与a 的方向相同C ．若向量a 与b 方向相同，则向量a ＋b 与a 的方向相同D ．若向量a 与b 方向相同，则向量a ＋b 与b 的方向相同4．已知下列各式：①AM →＋MB →＋BA →；②AB →＋CA →＋BD →＋DC →；③OA →＋OC →＋BO →＋CO →.其中结果为零向量的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题5．等腰梯形ABCD 两腰上的向量AB →与DC →的关系是________． 6．如图所示，已知梯形ABCD ，AD ∥BC ，则OA →＋AB →＋BC →＝________.三、解答题7．如图所示，O 为正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形．在图中所示的向量中：(1)分别写出AO →，BO →相等的向量； (2)写出与AO →共线的向量； (3)写出与AO →的模相等的向量； (4)向量AO →与CO →是否相等？8.梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB =2CD ，M 、N 分别是CD 和AB 的中点，若AB =a ，AD =b ，试用a 、b 表示BC 和MN ，则BC =________，MN =______._________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固一、选择题1．把平面上一切单位向量平移到共同始点，那么这些向量的终点构成的图形是( ) A ．一条线段 B ．一段圆弧 C ．两个孤立的点D ．一个圆2．把所有相等的向量平移到同一起点后，这些向量的终点将落在( ) A ．同一个圆上 B ．同一个点上 C ．同一条直线上 D ．以上都有可能4．有下列说法：①时间、摩擦力、重力都是向量； ②向量的模是一个正实数； ③相等向量一定是平行向量； ④共线向量一定在同一直线上． 其中，正确说法的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．35．下列说法错误的是( )A ．作用力与反作用力是一对大小相等、方向相反的向量B ．向量可以用有向线段表示，但有向线段并不是向量C ．只有零向量的模等于0D ．零向量没有方向6．如图所示，圆O 上有三点A 、B 、C ，则向量BO →、OC →、OA →是( ) A ．有相同起点的相等向量 B ．单位向量 C ．模相等的向量 D ．相等的向量9．a 、b 、a ＋b 为非零向量，且a ＋b 平分a 与b 的夹角，则( ) A ．a ＝b B ．a ⊥b C ．|a |＝|b |D ．以上都不对 10．△ABC 中，D 、E 、F 分别是边AB 、BC 、AC 的中点，则下面结论正确的是( )A ．AE →＝AD →＋F A →B ．DE →＋AF →＝0C ．AB →＋BC →＋CA →≠0D ．AB →＋BC →＋AC →≠012．在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，则四边形ABCD 一定是( ) A ．矩形 B ．菱形 C ．正方形 D ．平行四边形二、填空题12．若D 、E 、F 分别是△ABC 的三边AB 、BC 、AC 的中点，则与向量EF →相等的向量为________． 16．根据右图填空： b ＋c ＝________； a ＋d ＝________； b ＋c ＋d ＝________； f ＋e ＝________； e ＋g ＝________.三、解答题17．某人从A 点出发，向东走到B 点，然后，再向正北方向走了60m 到达C 点．已知|AC →|＝120m ，求AC →的方向和A 、B 的距离．18．两个力F 1和F 2同时作用在一个物体上，其中F 1＝40N ，方向向东，F 2＝403N ，方向向北，求它们的合力．能力提升一、选择题1．若a 为任一非零向量，b 为其单位向量，下列各式：①|a |>|b |；②a ∥b ；③|a |>0；④|b |＝±1；⑤a |a |＝b . 其中正确的是( )A ．①④⑤B ．③C ．①②③⑤D ．②③⑤2．如图四边形ABCD 、CEFG 、CGHD 都是全等的菱形，则下列关系不一定成立的是( )A ．|AB →|＝|EF →| B ．AB →与FH →共线C ．BD →＝EH → D ．DC →与EC →共线3．如图所示，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°，则下列说法中错误的是()A ．图中所标出的向量中与AB →相等的向量只有1个(不含AB →本身)B ．图中所标出的向量中与AB →的模相等的向量有4个(不含AB →本身)C ．BD →的长度恰为DA →长度的3倍D ．CB →与DA →不共线4．四边形ABCD 中，若AB →与CD →是共线向量，则四边形ABCD 是( )A ．平行四边形B ．梯形C ．平行四边形或梯形D ．不是平行四边形也不是梯形1．已知向量a 表示“向东航行1km ”向量b 表示“向南航行1km ”则a ＋b 表示( )A ．向东南航行2kmB ．向东南航行2kmC ．向东北航行2kmD ．向东北航行2km2．在平行四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，AC →＝c ，BD →＝d ，则下列各式中不成立的是( )A ．a ＋b ＝cB ．a ＋d ＝bC ．b ＋d ＝aD ．|a ＋b |＝|c |3．已知正方形ABCD 的边长为1，AB →＝a 、BC →＝b 、AC →＝c ，则|a ＋b ＋c |等于( )A ．0B ．3C ． 2D ．2 2 4．下列命题中正确的个数为( )①如果非零向量a 与b 的方向相同或相反，那么a ＋b 的方向必与a 、b 之一的方向相同；②在△ABC 中，必有AB →＋BC →＋CA →＝0；③若AB →＋BC →＋CA →＝0，则A ，B ，C 为一个三角形的三个顶点；④若a 、b 均为非零向量，则|a ＋b |与|a |＋|b |一定相等．A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题5．若|AB →|＝|AD →|，且BA →＝CD →，则四边形ABCD 的形状为________．6．已知A 、B 、C 是不共线的三点，向量m 与向量AB →是平行向量，与BC →是共线向量，则m ＝________.已知|OA →|＝|a |＝3，|OB →|＝|b |＝3，∠AOB ＝90°，则|a ＋b |＝________.6．已知在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，若|AB →|＝2，则|BC →＋DC →|＝________.三、解答题8．一位模型赛车手摇控一辆赛车，沿直线向正东方向前行1m ，逆时针方向旋转α度，继续沿直线向前行进1m ，再逆时针旋转α度，按此方法继续操作下去．(1)按1100的比例作图说明当α＝60°时，操作几次赛车的位移为零．(2)按此法操作使赛车能回到出发点，α应满足什么条件？请写出其中两个．9．如图所示，在△ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 边上的点，已知AD →＝DB →，DF →＝BE →，试推断向量DE →与AF →是否为相等向量，说明你的理由．7．如图所示，在△ABC 中，P 、Q 、R 分别为BC 、CA 、AB 边的中点，求证AP →＋BQ →＋CR →＝0.8．轮船从A 港沿东偏北30°方向行驶了40n mile(海里)到达B 处，再由B 处沿正北方向行驶40n mile 到达C 处．求此时轮船关于A 港的相对位置．9．已知下图中电线AO 与天花板的夹角为60°，电线AO 所受拉力F 1＝24N ；绳BO 与墙壁垂直，所受拉力F 2＝12N.求F 1和F 2的合力．。
高中数学新课标人教A版必修4：平面向量的概念及线性运算 课件
.
解析：(1)原式＝―A→B ＋―B→O ＋―OM→＋―M→B ＝―A→B .
(2)原式＝―N→P ＋―PN→＝0.
答案：(1)―A→B (2)0
重点三 向量共线定理 向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且只有一个实数 λ，
使得 b＝λa . [提醒] 只有 a≠0 才保证实数 λ 的存在性和唯一性．
[逐点清]
5．(必修 4 第 77 页习题 A 组 3 题改编)如图，D，E，F 分别是△
ABC 各边的中点，则下列结论错误的是
()
A． ―E→F ＝―C→D
B．―A→B 与―D→E 共线
C．―B→D 与―C→D 是相反向量
D．―A→E ＝12|―A→C |
解析：选项 D 中，―A→E ＝12―A→C ，所以 D 错误．
答案：A
()
2．已知 A，B，C 是直线 l 上不同的三个点，点 O 不在直线 l
重点二 向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量 和的运算
交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：(a ＋b )＋c＝ a ＋(b ＋c)
求 a 与 b 的相 减法 反向量－b
的和的运算
a －b ＝a ＋(－b )
向量运算 定义
法则(或几何意义)
运算律
数乘
|λa|＝|λ||a|，当 λ>0 时，λa
D．平行向量一定是共线向量 解析：对于 A，根据零向量的性质，可知 A 是正确的；
对于 B，由零向量的模是 0，单位向量的模是 1，所以 B 是正确的；
对于 C，平行向量的方向相同或相反，所以 C 是不正确的；
对于 D，由平行向量的性质可知，平行向量就是共线向量，所以 D
高中数学_《平面向量的概念及其线性运算》教学设计学情分析教材分析课后反思
《平面向量的概念及其线性运算》教学设计一、教材分析：本节课对平面向量的概念及其线性运算的复习，是对学生所学知识的融通和运用，也是学生对学习平面向量的总结和探索。
正确理解和熟练掌握平面向量的概念及其线性运算是之后学好空间向量的关键。
二、学情分析：本节课是在学习平面向量的概念及其线性运算，继续深入学习，是一节复习课。
学生已经掌握了平面向量的概念及其线性运算的基础知识，，这为本节课的学习提供了一定的知识保障，在此基础上，本节课将继续加深学生对基础知识的理解，加强平面向量的线性运算，这也是为后面学习空间向量内容做好知识储备的课．为了让学生能更加直观、形象地理解平面向量的概念及其线性运算，将采用多媒体课件进行演示，以提高学生的学习兴趣，使之能达到良好的教学效果。
三、教学目标：1、了解向量的实际背景；2、理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；3、理解向量的几何表示；4、掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5、掌握向量数乘的运算及其儿几何意义,理解两个向量共线的含义；6、了解向量线性运算的性质及其几何意义；四、教学重点和教学难点：（一）教学重点：1、理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；2、理解向量的几何表示；3、掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；4、掌握向量数乘的运算及其儿几何意义,理解两个向量共线的含义；5、了解向量线性运算的性质及其几何意义；（二）教学难点：平面向量的线性运算以及共线定理的应用五、教学工具：多媒体、粉笔等。
六、教学过程：向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：abba+=+；(2)结合律：cbacba++=++)()(减法求a与b的相反向量－b的和的运算)(baba-+=-相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度且方向的向量的相反向量为0教师展示表格，布置任务学生加深学生对新知识的理解共线．其中错误说法的序号是________． 考点二 平面向量的线性运算(基础之翼练牢固)[题组练通]1．在△ABC 中，D 为AB 的中点，点E 满足EC EB 4=，则ED ＝ ( ) A. AD AB 3465- B. AD AB 6534- C. AD AB 3465+ D. AD AB 6534+2．在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝3DC ，E 为BC 的中点，则AE 等于 （ ）A.AD AB 2132+ B.AD AB 3221+ C.AD AB 3165+ D.AD AB 6531+ 3．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若BC AB AO μλ+=，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ等于 ( )教师板书讲题过程教师提出问题学生自主完成，并回答问题培养学生语音表达能力，激发学生七、板书设计：平面向量的概念及其线性运算一、知识梳理二、典例分析1、向量的有关概念考点一：2、向量的线性运算考点二：3、共线向量定理考点三：八、教学反思：总体情况良好，基本满意，大多数学生可以换换掌握！九、作业反馈：分析作业中存在的问题，查找原因，并进行总结和反馈。
最新人教版高中数学必修4第二章《平面向量的线性运算》知识导航
2.1 向量的线性运算知识梳理1.向量的概念与表示(1)向量：具有大小和方向的量称为向量.看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向这两个要素.(2)向量的模：向量的长度叫做向量的模，向量a的模记作｜a｜.(3)特殊的向量零向量：模是零的向量叫做零向量，记作0，其方向不确定，它可以朝向任意方向.单位向量：给定一个非零向量a，则与a同方向且长度为1的向量，叫做向量a的单位向量.(4)向量的表示方法几何表示：用有向线段来表示.此时有向线段的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的模.字母表示：用单个斜黑体的小写英文字母表示，通常印刷体如a、b、c、…，而手写体用带箭头的小写字母表示如a、b、c、…，此时应特别注意；字母上必须加箭头；还可用两个大写英文字母表示，先写始点，后写终点，字母上面要带箭头.例如：始点为A，终点为B的向量表示为.2.向量间关系(1)相等向量：同向且等长的有向线段表示同一向量，即相等的向量.(2)相反向量：与向量a方向相反且等长的向量叫做a的相反向量，记作-a .(3)共线(平行)向量：通过有向线段的直线，叫做向量的基线.如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行.3.向量的加法(1)向量加法法则①三角形法则：根据加法的定义求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则.其具体做法是将向量b平移，使其起点与另一向量a的终点重合，则以a的起点为起点，b的终点为终点的向量就是向量a与b的和向量.②平行四边形法则：已知两个不共线向量a、b(如图2-1-1)，作=a，=b，则A、B、D三点不共线，以、为邻边作平行四边形ABCD，则对角线上的向量=a+b，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则.图2-1-1③多边形法则：已知ｎ个向量，依次把这ｎ个向量首尾相接，以第一个向量的起点为起点，第ｎ个向量的终点为终点的向量叫做这ｎ个向量的和向量.这个法则叫做向量求和的多边形法则.多边形法则实质就是三角形法则的连续应用.(2)向量加法的几何意义向量加法遵循三角形法则和平行四边形法则，因此，向量加法的三角形法则和平行四边形法则就是向量加法的几何意义.(3)向量加法的运算律①交换律：a+b=b+a；②结合律：(a+b)+c=a+(b+c).4.向量的减法(1)向量的减法是向量加法的逆运算，求两个向量的差要把两个向量的起点放在一起，它们的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量.(2)利用相反向量的定义：一个向量减去另一个向量等于加上另一个向量的相反向量.(3)向量减法的作图法：一是利用向量减法的定义直接作图,二是利用相反向量作图.5.向量的数乘(1)实数λ与向量a的乘积是一个向量，记作λa，规定：λa的长度｜λa｜=｜λ｜·｜a｜.若a≠0，当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反.当λ=0或a=0时，λa=0.(2)向量数乘的几何意义：把向量a沿着a的方向或a的反方向扩大或缩小.(3)向量数乘的运算律设λ、μ为实数，则①(λ+μ)a=λa+μa；②λ(μa)=(λμ)a；③λ(a+b)=λa+λb.6.向量的线性运算(1)向量的加法、减法和向量数乘的综合运算，叫做向量的线性运算.若一个向量c是由另一些向量的线性运算得到的，我们就说这个向量c可以用另一些向量线性表示.(2)向量的线性运算也叫向量的初等运算.它们的运算法则在形式上很像实数加法、减法、乘法满足的运算法则，但它们在具体含义上是不同的.不过由于它们在形式上相类似，因此，实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形方法在向量的线性运算中都可以使用.7.平行向量基本定理定理：如果a=λb，则a∥b；反之，如果a∥b(b≠0)，则一定存在一个实数λ，使得a=λb.8.轴上向量的坐标及坐标运算(1)规定了方向和长度单位的直线叫做轴.轴没有规定原点，与我们以前学过的数轴不同.在轴上选一定点O作为原点，轴就成了数轴.取单位向量e，使e的方向与轴l的方向相同，对轴上的任意向量a，一定存在唯一实数x，使a=x e；反之，任意给定一个实数x，总能在轴l 上作一个向量a=x e，x叫做a在轴l上的坐标(或数量)，向量e叫做轴l的基向量.(2)x的绝对值等于a的长；当a与e同向时，x是正数；当a与e反向时，x是负数.实数与轴上的向量建立了一一对应关系.(3)向量相等：设a=x1e，b=x2e，当x1=x2时，a=b.即轴上两个向量相等的条件是它们的坐标相等.(4)两个向量的和：设a=x1e，b=x2e，则a+b=(x1+x2)e.即轴上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和.注意：①给定轴上向量的坐标，求两向量的和变成了实数的运算；②向量的坐标常用AB来表示，即=AB e.表示向量，而AB表示数量，且有AB+BA=0.(5)轴上向量的坐标：在数轴x上，已知点A的坐标为x1，点B的坐标为x2，则AB=x2-x1，即轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标,在运用此公式时要注意坐标顺序. (6)数轴上两点间的距离公式：在数轴x上，点A的坐标为x1，点B的坐标为x2，则｜AB｜=｜x2-x1｜.知识导学学好本节一定要弄清概念，注意类比、比较地去学习概念；时刻注意向量与数量的区别；一个向量用其他向量的线性运算来表示是解决一类问题的关键；注意转化与化归的思想应用.疑难突破1.向量和有向线段有何区别与联系？剖析:疑点是向量和有向线段还有区别吗？其突破的方法是对概念的比较，通常是从概念的内涵和外延上来讨论.向量是规定了大小和方向的量，有向线段是规定了起点和终点的线段.它们的联系是：向量可以用有向线段来表示，这条有向线段的长度就是向量的长度，有向线段的方向就是向量的方向.它们的区别是：向量是可以自由移动的，故当用有向线段来表示向量时，有向线段的起点是任意的.而有向线段是不能自由移动的，有向线段平移后就不是原来的有向线段了.有向线段仅仅是向量的直观体现，是向量的一种表现形式，不能等同于向量；有向线段有平行和共线之分，而向量的平行和共线是相同的，是同一个概念.2.平行向量基本定理有何应用？剖析:难点是学习了平行向量基本定理后，对定理的应用陷入茫然.难以突破是因为对平行向量基本定理的理解不够彻底.下面分四方面来讨论.(1)证明两向量共线：证明a ∥b 转化为证明a =λb (λ为实数). 例如：设=a ，=b ，=21(a +b )， 求证：AB ∥BC .证明：由题意，得=a -b ， -==21(a +b )-b =21(a -b )， ∴=21.∴∥. (2)证明三点共线：证明点A 、B 、C 共线，转化为证明AB ∥BC 或AB ∥AC 或AC ∥BC . 例如：AB =2a +10b ，BC =-2a +8b ，CD =3a -3b ，求证：A 、B 、D 三点共线.证明：∵+=， ∴=-2a +8b +3a -3b =a +5b . ∴=2.∴∥.∴A 、B 、D 三点共线.(3)证明两直线平行：证明两直线平行转化为证明它们的方向向量共线.例如：如图2-1-2，已知△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，并且AD=xAB,AE=xAC,0＜x ＜1.图2-1-2求证：DE ∥BC.证明：∵AD=xAB,AE=xAC,∴AD =x AB ,AE =x AC . ∴-==x(-)=x . ∴∥.∴DE ∥BC.(4)证明两平行(或共线)线段间的长度关系:证明两平行(或共线)线段AB= λCD 转化为证明=λ.例如：如图2-1-3，平行四边形OACB 中，BD=31BC ，OD 与BA 相交于E.图2-1-3求证：BE=41BA. 证明：设 E′是线段BA 上的一点，且BE′=41BA.设=a ，=b ，则=31a ，=b +31a .∵'BE ='-b ，A E '=a -'，3'BE =A E ', ∴3(-b )=a -. ∴=41(a +3b )=43(b +31a ). ∴=43. ∴O 、E′、D 三点共线,即E 、 E′重合，∴BE=41BA.。
高一数学平面向量知识点
高一数学平面向量知识点数学是一门学科，它是理性思维与逻辑推理的产物。
高中数学的学习内容繁多，其中平面向量是其中一项重要的知识点。
本文将围绕高一数学平面向量知识点展开探讨，从基本定义、向量运算、向量的线性运算等多个方面进行阐述。
一、平面向量的基本定义平面向量是高中数学中的重要概念，它是用有向线段表示的。
在平面直角坐标系中，平面向量通常用坐标表示。
一个平面向量就是有大小和方向的箭头，它由起点和终点确定。
二、向量的运算1. 向量的相加向量的相加是指将一个向量的终点连接到另一个向量的起点，形成一个新的向量。
向量相加满足两个重要的运算规律：交换律和结合律。
具体计算时，可以将向量表示为坐标形式，按照坐标对应相加即可。
2. 向量的数乘向量的数乘即将向量的长度进行伸缩，同时也会改变向量的方向。
具体而言，数乘一个正数会使向量变长，并保持方向不变；数乘一个负数会使向量反向，并保持向量的长度不变。
3. 向量的减法向量的减法是指将减数的终点连接到被减数的起点，形成一个新的向量。
具体计算时，可以将向量表示为坐标形式，按照坐标对应相减即可。
4. 向量的模向量的模表示向量的长度或大小，通常用两个竖线表示。
计算向量的模可以使用勾股定理，即将向量的坐标平方求和后再开方。
三、向量的线性运算向量的线性运算是指向量相加、数乘的运算法则，也称为向量的代数运算。
具体而言，线性运算包括向量的加法、数乘，以及与实数之间的运算。
对于向量的线性组合问题，可以通过线性运算来求解。
四、重要的向量关系1. 零向量零向量是指模为0的向量，它的所有分量均为0。
零向量在向量的加法和数乘运算中起着重要的作用。
2. 平行向量两个向量如果有相同的方向或相反的方向，则称这两个向量为平行向量。
平行向量的长度可以不同，但它们的方向相同或相反。
3. 共线向量三个或更多个向量如果在同一条直线上，则称这些向量为共线向量。
共线向量的方向可以不同，但它们在同一直线上。
4. 垂直向量两个向量如果它们的夹角为90度，则称这两个向量为垂直向量。
高一数学必修四第二章 平面向量章末总结
高一数学必修四第二章平面向量章末总结平面向量是高中数学必修四中的一章内容，主要介绍了平面向量的定义、平面向量的加法、减法、数乘、数量积、向量积等基本运算，以及平面向量的共线、垂直、平行、四边形法则、平面向量的投影等相关概念和定理。
在学习这一章节的过程中，我深刻体会到平面向量的重要性和应用，对于解决实际问题有着很大的帮助。
下面我将对这一章内容进行总结。
第一节平面向量的定义平面向量是一个有大小和方向的量。
平面向量的表示可以用有向线段表示，其中线段代表向量的大小，箭头代表了向量的方向。
平面向量的起点和终点分别叫做向量的始点和终点。
平面向量常用大写字母表示，例如：AB、AC。
平面向量也可以用坐标表示，例如：向量AB的坐标为(3,4)，表示向量的起点在原点，终点在坐标点(3,4)处。
平面向量的大小叫做向量的模，用|AB|表示。
第二节平面向量的加法平面向量的加法满足三个定律：1. 交换律：AB + BC = BC + AB.2. 结合律：(AB + BC) + CD = AB + (BC + CD).3. 加法逆元：对于任意的向量AB, 存在向量BA, 使得AB +BA = 0, BA + AB = 0.第三节平面向量的数乘平面向量的数乘即将向量与一个实数进行乘法运算。
加法和数乘的运算统称为线性运算。
数乘满足两个定律：1. 结合律：a(bAB) = (ab)AB.2. 分配律：(a+b)AB = aAB + bAB.第四节平面向量的减法平面向量的减法可以转化为加法和数乘的运算：AB - AC = AB + (-1)AC第五节平面向量的数量积数量积又称为点积，记为AB·CD, 定义为AB·CD = |AB| |CD| cosθ, 其中θ为两个向量的夹角。
第六节平面向量的向量积向量积的结果是一个向量，记为AB×CD，用它来表示与它们夹角θ所在平面的法向量，其大小等于两个向量的模的乘积与夹角θ的正弦值，方向遵循右手螺旋法则。
高中必修4平面向量——平面向量的基本概念及线性运算(教案)
平面向量的基本概念及线性运算一、知识点梳理1．向量的有关概念(1)向量的定义：既有______又有______的量叫做向量．(2)表示方法：用 来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向，用字母a ，b ，…或用AB →，BC →，…表示．(3)模：向量的______叫向量的模，记作________或_______．(4)零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向是________．(5)单位向量：长度为____单位长度的向量叫做单位向量．与a 平行的单位向量e ＝____________. (6)平行向量：方向______或______的______向量；平行向量又叫____________，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：0与任一向量______． (7)相等向量：长度______且方向______的向量．2．向量的加法运算及其几何意义(1)已知非零向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB →=a ，BC →=b ，则向量AC →叫做a 与b 的 ，记作 ，即 =AB → BC →= ，这种求向量和的方法叫做向量加法的 .(2)以同一点O 为起点的两个已知向量a ，b 为邻边作OACB ，则以O 为起点的对角线OA →就是a 与b 的和，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的 . (3)加法运算律a ＋b ＝________ (交换律)； (a ＋b )＋c ＝____________(结合律)．3．向量的减法及其几何意义(1)相反向量与a ____________、____________的向量，叫做a 的相反向量，记作______． (2)向量的减法①定义a －b ＝a ＋________，即减去一个向量相当于加上这个向量的____________．②如图，AB →＝a ，AD →＝b ，则AC →＝ ，DB →＝____________.4．向量数乘运算及其几何意义(1)定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作______，它的长度与方向规定如下： ①|λa |＝______；②当λ>0时，λa 与a 的方向______；当λ<0时，λa 与a 的方向______；当λ＝0时，λa ＝______. (2)运算律设λ，μ是两个实数，则 ①λ(μa )＝________.(结合律) ②(λ＋μ)a ＝________.(第一分配律) ③λ(a ＋b )＝__________.(第二分配律)(3)两个向量共线定理：向量b 与a (a ≠0)共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使b ＝λa .5．重要结论PG →＝13(P A →＋PB →＋PC →)⇔G 为△ABC 的________；P A →＋PB →＋PC →＝0⇔P 为△ABC 的________．【答案】1.（1）大小、方向；（2）有向线段；（3）长度、|a |、AB；(4)任意的；(5)1个、±a|a|；(6)相同、相反、非零、共线向量、平行；(7)相等、相同；2.(1)和、a ＋b 、a ＋b 、AC →、三角形法则；(2)平行四边形法则；(3)b ＋a 、a ＋(b ＋c )； 3.(1)长度相等、方向相反、－a ；(2)①(－b )、相反向量、②a ＋b 、a －b ； 4.(1)λa 、①|λ||a |；②相同、相反、0；(2)①(λμ)a 、②λa ＋μa 、③λa ＋λb ； 5.(1)重心、(2)重心；二、知识讲解考点1向量的有关概念1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)．2．零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．3．单位向量：长度等于1个单位的向量．4．平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行．5．相等向量：长度相等且方向相同的向量．6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．三角形法则平行四边形法则三角形法则[拓展延伸] 向量加减法运算的两个关键点：加法的三角形法则关键是“首尾相接，指向终点”，并可推广为多个向量相加的“多边形法则”；减法的三角形法则关键是“起点重合，指向被减向量”．考点3平面向量共线定理向量b 与a (a ≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa . [方法技巧] 巧用系数判共线OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ∈R)，若A ，B ，C 三点共线，则λ＋μ＝1；反之，也成立．三、例题精析考点1平面向量的有关概念【例题1】给出下列四个命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；②若AB →＝DC →，则四边形ABCD 为平行四边形； ③若a 与b 同向，且|a |＞|b |，则a ＞b ； ④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中假命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【思路点拨】以概念为判断依据，或通过举反例来说明其不正确． 【答案】D【解析】①不正确．|a |＝|b |但a 、b 的方向不确定，故a ，b 不一定相等；②不正确．因为AB →＝DC →，A 、B 、C 、D 可能在同一直线上，所以ABCD 不一定是四边形． ③不正确．两向量不能比较大小．④不正确．当λ＝μ＝0时，a 与b 可以为任意向量，满足λa ＝μb ，但a 与b 不一定共线．【规律方法】1.(1)易忽视零向量这一特殊向量，误认为④是正确的；(2)充分利用反例进行否定是对向量的有关概念题进行判定的行之有效的方法.2.准确理解向量的基本概念是解决这类题目的关键.(1)相等向量具有传递性，非零向量平行也具有传递性.(2)共线向量(平行向量)和相等向量均与向量的起点无关.3.“向量”和“有向线段”是两个不同的概念，向量只有两个要素：大小、方向；而有向线段有三个要素：起点、方向、长度.考点2平面向量的线性运算【例题2】(1)在△ABC 中，若D 是AB 边上一点，且AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝( ) A.23 B.13 C ．－13 D ．－23(2)若O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么( ) A.AO →＝OD → B.AO →＝2OD → C.AO →＝3OD → D ．2AO →＝OD → 【思想点拨】(1)D 是AB 边上的三等分点，把CD →用CA →、CB →表示； (2)由D 为BC 边中点可得OB →＋OC →＝2OD →，代入已知条件即可求解．【解析】(1)CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →，所以λ＝23，故选A.(2)因为D 为BC 边中点，∴OB →＋OC →＝2OD →，又2OA →＋OB →＋OC →＝0，∴2OA →＋2OD →＝0，即AO →＝OD →，故选A. 【规律方法】1.解答本例1的关键是利用向量的加法与减法把CD → 用CA → 、CB → 表示出来.解答本例2的关键是OB → ＋OC →＝2OD → .2.进行向量的线性运算时，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相连的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来解. 【答案】(1)A(2)A【例题3】如图所示，若四边形ABCD 是一个等腰梯形，AB ∥DC ，M 、N 分别是DC 、AB 的中点，已知AB →＝a ，AD →＝b ，DC →＝c ，试用a 、b 、c 表示BC →，MN →，DN →＋CN →.【解析】BC →＝BA →＋AD →＋DC →考点3共线向量定理的应用【例题4】设两个非零向量e 1和e 2不共线．(1)如果AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →＝－8e 1－2e 2，求证：A 、C 、D 三点共线． (2)如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1－3e 2，AF →＝3e 1－ke 2，且A 、C 、F 三点共线，求k 的值．【思想点拨】(1)A 、C 、D 三点共线⇔存在实数λ使AC →＝λCD →. (2)A 、C 、F 三点共线⇔存在实数λ，使AC →＝λAF →.【解析】(1)AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，∴AC →＝AB →＋BC →＝4e 1＋e 2， 又CD →＝－8e 1－2e 2，所以CD →＝－2AC →，∴AC →与CD →共线， 又∵AC →与CD →有公共点C ，∴A 、C 、D 三点共线．(2)∵AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1－3e 2，∴AC →＝AB →＋BC →＝3e 1－2e 2. ∵A 、C 、F 三点共线，∴AC →∥AF →，从而存在实数λ，使得AC →＝λAF →. ∴3e 1－2e 2＝3λe 1－λk e 2，又e 1，e 2是不共线的非零向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧3＝3λ，－2＝－λk ，因此k ＝2. 所以实数k 的值为2.【规律方法】1.向量b 与非零向量a 共线的充要条件是存在唯一实数λ，使b ＝λa .要注意通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用.2.证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.四、思想与方法渗透易错易误之1忽视零向量的特殊性致误【例题1】下列命题正确的是( )A ．向量a 、b 共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使b ＝λaB ．在△ABC 中，AB →＋BC →＋CA →＝0C ．不等式||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |中两个等号不可能同时成立D ．向量a 、b 不共线，则向量a ＋b 与向量a －b 必不共线 【答案】D【解析】A 不正确，当a ＝b ＝0时，有无数个实数λ满足b ＝λa . 此处在求解时，常因忽视“共线向量定理中的条件a ≠0”而致误． B 不正确，在△ABC 中，AB →＋BC →＋CA →＝0.此处在求解时，常因混淆向量与数量的关系致误，0是向量，其模为0，而0是数量，没有方向． C 不正确，当b ＝0时，不等式|a |≤|a |≤|a |显然成立．此处在求解时，常受代数不等式||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |的影响，而忽略了向量中0的作用导致错误．D 正确．∵向量a 与b 不共线，∴a ，b ，a ＋b 与a －b 均不为零向量． 若a ＋b 与a －b 平行，则存在实数λ，使a ＋b ＝λ(a －b )， 即(λ－1)a ＝(1＋λ)b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－1＝0，1＋λ＝0，λ无解，故假设不成立，即a ＋b 与a －b 不平行，故选D. [防范措施](1)共线向量定理中，b ＝λa 要求a ≠0，否则λ值可能不存在．(2)向量的加减及数乘运算的结果，仍然是一个向量，而不是一个数． (3)应熟练掌握向量不等式||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |等号成立的条件．五、课程小结1.若点P 为线段AB 的中点，O 为平面内的任意一点，则OP →＝12(OA →＋OB →)．如图所示．2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．3．三点共线的性质定理：（1）若平面上三点A 、B 、C 共线，则AB →＝λBC →.（2）若平面上三点A 、B 、C 共线，O 为不同于A 、B 、C 的任意一点，则OC →＝λOA →＋μOB →，且λ＋μ＝1.。
高中数学必修4平面向量知识点
高中数学必修4平面向量知识点平面向量是在二维平面内既有方向又有大小的量，是同学们学习数学的一个重点，下面是店铺给大家带来的高中数学必修4平面向量知识点，希望对你有帮助。
1.平面向量基本概念有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段记作或AB;向量的模：有向线段AB的长度叫做向量的模，记作|AB|;零向量：长度等于0的向量叫做零向量，记作或0。
(注意粗体格式，实数“0”和向量“0”是有区别的，书写时要在实数“0”上加箭头，以免混淆);相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量;平行向量(共线向量)：两个方向相同或相反的非零向量叫做平行向量或共线向量，零向量与任意向量平行，即0//a;单位向量：模等于1个单位长度的向量叫做单位向量，通常用e 表示，平行于坐标轴的单位向量习惯上分别用i、j表示。
相反向量：与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，-(-a)=a，零向量的相反向量仍然是零向量。
2.平面向量运算加法与减法的代数运算：(1)若a=(x1,y1 ),b=(x2,y2 )则a b=(x1+x2,y1+y2 ).向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则。
向量加法有如下规律： + = + (交换律); +( +c)=( + )+c (结合律);实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量。
(1)| |=| |·| |;(2) 当 a>0时，与a的方向相同;当a<0时，与a的方向相反;当a=0时，a=0.两个向量共线的充要条件：(1) 向量b与非零向量共线的充要条件是有且仅有一个实数，使得b= .(2) 若 =( ),b=( )则‖b .3.平面向量基本定理若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使得 = e1+ e2.4.平面向量有关推论三角形ABC内一点O，OA·OB=OB·OC=OC·OA，则点O是三角形的垂心。
高中数学人教版必修四第二章平面向量的线性运算
A、AD 1 AB 4 AC 33
C、AD 4 AB 1 AC 33
B、AD
1 3
AB
Байду номын сангаас
4 3
AC
D、AD 4 AB 1 AC 33
M A
B
C
D
N
AD AM AN 1 AB 4 AC 33
变式1：设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点， O 为平行四边形 ABCD所在平面内任意一点， 则 OA OB OC OD 等于（ ）
自我检测：
4、在平行四边形 ABCD中，AB AD AB AD ， 则必有（ C ）
A. AD 0 B. 四边形 ABCD是菱形 C. 四边形 ABCD是矩形 D. 四边形 ABCD是正方形
1、平面向量的线性运算及基本定理的应用
例1 （2015全国）设 D 为 ABC 所在平面内一点，
BC 3CD，则（ ）
BM _____53____ AB
MB 3
自我检测：
3、设 e1、e2 是两个不共线的向量，则下列各组
向量中，不能作为该平面内所有向量的一组基 底的是___(_2_)__(4_)____.
(1)3e1,2e2
(2)0,e1 e2
(3)e1 e2 ,e1 e2 (4)e1 2e2,2e1 4e2
问题1：我们已经学习过向量的哪些运算？ 它们的运算结果是什么？
加法、减法、数乘三种运算 线性运算的结果都是向量. 共线向量定理：
向量a(a 0) 与 b 共线，当且仅当存在唯
一实数 ，使__b_____a__.
平面向量基本定理：
设 e1, e2是同一平面内的两个不共线向量，
那么对于该平面内的任意向量 a ，有且只有