2019年上海南模中学高三三模(2019.05)

（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）过椭圆 C1
:
x2 a2
y2 b2
5
1 上异于其顶点的任意一点 Q
作圆 O :
x2
y2
4 3
的两条切
3
线，切点分别为 M 、 N （ M 、 N 不在坐标轴上），若直线 MN 在 x 轴、 y 轴上的截距分
别为 m 、 n
，证明：
1 3m2
1 n2
为定值；
（3）若 P1 、 P2 是椭圆 C2
南模中学高三三模数学试卷
2019.05
一. 填空题
1. 若集合 A {x | 3x 1 0} ， B {x || x 1| 2} ，则 A B
2. 若复数 z 满足 1 i i ，其中 i 为虚数单位，则 z z
3. 若函数 f (x) 1 1 （ x 0 ）的反函数为 f 1(x) ，则不等式 f 1(x) 2 的解集为 x
D. 既不充分也不必要
1
14. 若 a 、 b 表示两条直线， 表示平面，下列命题中的真命题为（ ）
A. 若 a ， a b ，则 b ∥
Байду номын сангаас
B. 若 a ∥ ， a b ，则 b
C. 若 a ， b ，则 a b
D. 若 a ∥ ， b ∥ ，则 a ∥ b
15. 抛物线 y2 4x 的焦点为 F ，点 P(x, y) 为抛物线上的动点，又点 A(1,0) ，则 | PF | 的 | PA |
9. 从集合 A {1, 2,3, 4,5,6,7,8,9,10} 中任取两个数，欲使取到的一个数大 k 于，另一个数小
于 k （ k A ）的概率为 2 ，则 k 5
10. 已知数列{an} 的通项公式为 an (1)n n 2n （ n N* ），则这个数列的前 n 项和为
Sn
11.
最小值是（ ）
A. 1 2
B. 2 2
C. 3 2
D. 2 3 3
16. 已知 x1 、 x2 是关于 x 的方程 x2 mx m2 m 0 的两个不相等的实数根，则经过两点
A(x1, x12 ) 、 B(x2 , x22 ) 的直线与圆 (x 1)2 ( y 1)2 1 的位置关系是（ ）
:
x2 a2
3y2 b2
1 上不同的两点， P1P2
x 轴，圆 E
过 P1 、 P2 ，且椭
圆 C2 上任意一点都不在圆 E 内，则称圆 E 为该椭圆的一个内圆，试问：椭圆 C2 是否存在
过左焦点 F1 的内切圆？若存在，求出圆心 E 的坐标，若不存在，请说明理由.
3
21.
若
{cn }
是递增数列，数列
已知函数
f (x)
x
1 x
，数列{an} 是公比大于 0 的等比数列，且 a6
1，
f (a1) f (a2 ) f (a3 ) f (a9 ) f (a10 ) a1 ，则 a1
12.
定义在 R
上的奇函数
f
(
x)
，当
x
0
时，
f
(
x)
log
1 2
(
x
1)
x [0,1) ，则关于 x 的
4. 试写出 (x 1)7 展开式中系数最大的项 x
5. 若函数 y 4
x
2
2x
3
的最小值为
a
，最大值为
b
，则 lim n
an 2bn 3an 4bn
6. 已知平面上三点 A 、 B 、 C 满足 | AB | 3 ， | BC | 5 ，| CA | 2 2 ，则
AB BC BC CA CA AB 的值等于
2
19. 某景区欲建两条圆形观景步道 M1 、M 2（宽度忽略不计），如图所示，已知 AB AC ，
AB AC AD 60 （单位：米），要求圆 M1 与 AB 、 AD 分别相切于点 B 、 D ，圆 M 2
与 AC 、 AD 分别相切于点 C 、 D .
（1）若
BAD
3
，求圆
M1
、
M2
A. 相离
B. 相切
C. 相交
D. 随 m 的变化而变化
三. 解答题 17. 如图，长方体 ABCD A1B1C1D1 中， AB BC 2 ， AA1 3 . （1）求四棱锥 A1 ABCD 的体积； （2）求异面直线 A1C 与 DD1 所成角的大小.
18. 已知函数 f (x) | 2x a | a . （1）若不等式 f (x) 6 的解集为 (1,3) ，求 a 的值； （2）在（1）的条件下，若存在 x0 R ，使 f (x0 ) t f (x0 ) ，求 t 的取值范围.
的半径（结果精确到
0.1
米）；
（2）若观景步道 M1 、M 2 的造价分别为每米 0.8 千元与每米 0.9 千米，则当 BAD 多大时，
总造价最低？最低总造价是多少？（结果分别精确到 0.1°和 0.1 千元）
20.
已知椭圆
C
:
x2 a2
y2 b2
1 （ a b 0 ）的右焦点为 F (1,0) ，且点 P(1, 3) 在椭圆 C 上. 2
7.
设
P
是曲线
x
2 2
sec
（
为参数）上的一动点，O
为坐标原点， M
为线段
OP
的中
y tan
点，则点 M 的轨迹的普通方程为
8. 在等差数列{an} 中，首项 a1 3 ，公差 d 2 ，若某学生对其中连续 10 项进行求和，在
遗漏掉一项的情况下，求得余下 9 项的和为 185，则此连续 10 项的和为
分隔数列，并说明理由；
（3）设 cn aqn1 ，Tn 是{cn} 的前 n 项和，若数列{Tn} 是{cn} 的分隔数列，求实数 a 、q 的
取值范围.
4
参考答案
一. 填空题
1. ( 1 ,3) 3
6. 8
1 | x 3 | x [1, )
函数 F (x) f (x) a （ 0 a 1 ）的所有零点之和为
（结果用 a 表示）
二. 选择题
13. 已知非零向量 a 、 b ，“函数 f (x) (ax b)2 为偶函数”是“ a b ”的（
）条件
A. 充分非必要
B. 必要非充分
C. 充要
{an}
满足：对任意
n
N*
，存在
m
N*
，使得
am cn am cn1
0，
则称{an} 是{cn} 的“分隔数列”.
（1）设 cn 2n ， an n 1，证明：数列{an} 是{cn} 的分隔数列；
（2）设 cn n 4 ， Sn 是{cn} 的前 n 项和， dn c3n2 ，判断数列{Sn} 是否是数列{dn} 的