剪切和扭转应力1
紧固螺栓等效应力计算公式
紧固螺栓等效应力计算公式在机械设计和工程中，紧固螺栓是一种常用的连接元件，用于连接机械零件和构件。
在实际工程中，螺栓连接的可靠性和安全性是非常重要的，因此需要对螺栓的等效应力进行计算和分析。
本文将介绍紧固螺栓等效应力的计算公式及其应用。
紧固螺栓的等效应力是指在螺栓连接中，由于外载荷和预紧力的作用，螺栓所受到的综合应力状态。
在计算螺栓的等效应力时，需要考虑螺栓的拉伸、剪切和扭转等多种应力形式，因此需要采用适当的计算公式进行综合计算。
首先，我们来看一下螺栓的拉伸应力计算公式。
螺栓在受到外载荷作用时，会产生拉伸应力，其计算公式为：σt = F/A。
其中，σt为螺栓的拉伸应力，F为外载荷，A为螺栓的截面积。
在实际工程中，螺栓的截面积可以通过螺栓的直径和材料的抗拉强度来计算。
接下来，我们来看一下螺栓的剪切应力计算公式。
螺栓在受到外载荷作用时，会产生剪切应力，其计算公式为：τ = F/A。
其中，τ为螺栓的剪切应力，F为外载荷，A为螺栓的截面积。
在实际工程中，螺栓的截面积可以通过螺栓的直径和材料的抗剪强度来计算。
此外，螺栓在受到外载荷作用时，还会产生扭转应力，其计算公式为：τ = T/J。
其中，τ为螺栓的扭转应力，T为扭矩，J为螺栓的极惯性矩。
在实际工程中，螺栓的极惯性矩可以通过螺栓的直径和材料的弹性模量来计算。
综合考虑螺栓的拉伸、剪切和扭转应力，可以得到螺栓的等效应力，其计算公式为：σe = √(σt² + 3τ²)。
其中，σe为螺栓的等效应力，σt为螺栓的拉伸应力，τ为螺栓的剪切应力。
通过这个公式，可以综合考虑螺栓在受到外载荷作用时所受到的综合应力状态，从而评估螺栓的安全性和可靠性。
在实际工程中，螺栓的等效应力计算是非常重要的，可以帮助工程师评估螺栓连接的可靠性和安全性，从而指导工程设计和实际应用。
通过合理计算螺栓的等效应力，可以有效避免螺栓的断裂和松动现象，确保机械设备和构件的安全运行。
材料力学第三章剪切和扭转
T
Ⅰ
T
d1
(a)
l
T (b)
D2
Ⅱ
T
l
36
3.3 等直圆杆扭转时的应力
解：
Wp1
πd13 16
Wp2
πD23 14
16
1,maxW Mpt11
T Wp1
16T πd13
2,ma xW M pt2 2W Tp2πD 2 311T 6 4
D 2 31 4 d 1 3
螺栓连接[图(a）]中，螺栓主要受剪切及挤压（局部压
缩）。
F
3
3.1 剪切
键连接[图(b）]中，键主要受剪切及挤压。
4
3.1 剪切
剪切变形的受力和变形特点： 作用在构件两侧面上的外力的合力大小相等、方向相 反，作用线相隔很近，并使各自推动的部分沿着与合 力作用线平行的受剪面发生错动。
受剪面上的内力称为剪力； 受剪面上的应力称为切应力；
3.3 等直圆杆扭转时的应力
传动轴的外力偶矩：
已知：
T2
T1
从动轮
n 主动轮
T3 从动轮
传动轴的转速 n ；某一轮上 所传递的功率
NK (kW)
作用在该轮上的外力偶矩T 。
一分钟内该轮所传递的功率等于其上外力偶矩所 作的功：
NK60 13 0(J)T2πn(Nm)
33
3.3 等直圆杆扭转时的应力
26
3.3 等直圆杆扭转时的应力
dj M t
d x GI pBiblioteka G djdx
GGMItp
Mt
Ip
等直圆杆扭转时横截面上切应力计算公式
Mt
O
土的剪切和扭矩之间的计算公式
土的剪切和扭矩之间的计算公式在土工工程中，土的剪切和扭矩的计算是十分重要的，因为它能够帮助工程师们了解土体的力学特性，从而更好地设计和施工工程结构。
本文将通过讲解土的剪切和扭矩之间的计算公式来帮助读者更好地了解这个领域。
一、剪切的定义和计算公式剪切是指两个相邻平面之间的相对滑动。
在土的剪切中，较高的应力沿着一个截面的边缘作用于较低的应力，土壤中的颗粒向着相反方向移动，从而产生剪切力。
因此，剪切力是产生剪切的主要力量。
计算土壤的剪切力需要用到剪切力公式：τ = c + σtanφ。
其中，τ代表土壤的剪切力，c代表土壤的凝聚力，φ代表土壤的内摩擦角，最后一个参数σ代表土壤的正应力。
二、扭矩的定义和计算公式扭矩是指施力于物体的扭转力矩，它是施力于物体以产生扭转的力。
在土工工程中，扭矩的大小决定了工程结构的稳定性，因为如果扭矩不足够强大，那么结构就会变形或崩溃。
计算扭矩需要用到扭矩公式：T = Fd。
其中，T代表扭矩，F代表施力物体的力，d代表力的作用点与物体的旋转中心之间的距离。
三、土的剪切与扭矩的关系土的剪切和扭矩之间存在着密切的关系，因为土壤中的颗粒在受到扭矩作用时，会发生剪切。
在土壤中的剪切力和扭矩之间，存在着以下关系：τ = kT/2πr³.其中，τ代表土壤的剪切力，T代表土的扭矩，r代表力的作用点与物体的旋转中心之间的距离，最后一个参数k是相关系数，它代表土壤的剪切模量和弯曲模量之比。
总结本文讲解了土的剪切和扭矩之间的计算公式，包括剪切公式、扭矩公式以及二者之间的关系公式。
只有深入理解这些公式，工程师才能更好地进行结构设计和相关施工工作，以确保工程质量。
剪切和扭转的强度计算
解： AC段：
A C 1 3kN.m 2 B 2kN.m T2 扭矩图 3kN.m ⊕ 2kN.m
○ -
m 0 m 0
T1 3 0; T1 3kN.m
BC段：
Hale Waihona Puke T1T2 2 0; T2 2kN.m
7
二、圆截面杆扭转时的应力
Mn Ip
实心圆截面的极惯性距： IP
学习情境五 剪切和扭转杆的强度计算
甘肃省有色冶金职业技术 学 院
子情境一 剪切强度计算
一、剪切的概念
2
二、剪切强度的实用计算
剪切面上的内力可用截面法求的。假想将铆钉沿剪切面截开 分为上下两部分，任取其中一部分为研究对象，由平衡条件知， 剪切面上的内力必然与外力方向相反，大小由平衡方程得V=F
这种平行于截面的内力V称为剪力。
5
2、圆截面杆扭转时横截面上的内力—扭矩
一、扭矩
圆杆扭转横截面的内力合成 结果为一合力偶，合力偶的力偶
Ⅰ
矩称为截面的扭矩，用T 表示之。 m
扭矩的正负号按右手螺旋法 则来确定，即右手握住杆的轴线，
Ⅰ
m
卷曲四指表示扭矩的转向，若拇
指沿截面外法线指向，扭矩为正， m 反之为负。
T
x
6
例1 画图示杆的扭矩图 3kN.m 1 5kN.m 2 2kN.m
3
（1）实际： 从有限元计算结果看剪切面上 应力的分布情况十分复杂，工 程中采用近似计算。
（2）假设：
切应力在剪切面上均匀分布；
V ＝ A
式中：A为剪切面的面积
V为剪切面上的剪力
（3）剪切时的强度条件 为保证构件不发生剪切破坏，要求剪切面上的平均剪应力 不超过材料的许用剪应力，即剪切时的强度条件为
材料力学扭转切应力计算公式
材料力学扭转切应力计算公式材料的力学性质是表征其对外力作用的响应能力的重要指标。
扭转切应力是材料在受到扭转力矩作用时所产生的应力。
在许多工程和科学研究中，通过计算和测量扭转切应力可以获得材料的力学性能参数，如剪切模量和剪切强度等。
在材料力学中，扭转切应力计算公式主要有两种形式：切应力公式和剪切应力公式。
1.切应力公式：切应力（Shear Stress）指材料内部产生的由于外力而对于材料内部其中一剖面的剪切应力。
一般情况下，切应力可以采用切应力图形表示。
τ=T/S其中，τ是切应力，T是扭转力矩，S是截面积。
切应力的单位一般是帕斯卡（Pa）或兆帕（MPa）。
在实际应用中，我们常常会遇到不同形状的材料，如圆形、方形、矩形等。
对于这些不同形状的截面，切应力的计算公式也有所不同。
对于圆截面，切应力的计算公式为：τ=T/(π*r^2)对于矩形截面，切应力的计算公式为：τ=T/(b*h)其中，b是矩形截面的宽度，h是矩形截面的高度。
2.剪切应力公式：剪切应力（Shear Strain）是材料在受到剪切力作用时所产生的应变。
在扭转切应力的计算中，剪切应力是切应力的一个重要参数。
剪切应力的计算公式如下：γ=θ*h/l其中，γ是剪切应力，θ是材料的扭转角度，h是扭转试样的高度，l是扭转试样的长度。
剪切应力可以用来计算材料的剪切模量（Shear Modulus），剪切模量可以通过下式计算得到：G=τ/γ其中，G是剪切模量。
综上所述，材料力学扭转切应力计算公式主要有切应力公式和剪切应力公式，通过这些公式可以计算得到材料的扭转切应力、剪切模量等力学性能参数。
这些参数可以用于工程设计和科学研究中，帮助人们了解材料的力学性能和应用范围。
材料力学(第五版)扭转切应力
(
)
d 2 = 0.8D2=43 mm π 2 d1 A1 452 4 = = =1.95 2 2 A2 π D2 1 α2 53.7 1 0.8 2 4
(
)
(
)
空心圆轴能比实心圆轴更充分的使用材料。 空心圆轴能比实心圆轴更充分的使用材料。
理由？ 理由？
空心圆轴能比实心圆轴更充分的使用材料的原因： 空心圆轴能比实心圆轴更充分的使用材料的原因：
(
)
五、圆轴扭转时的强度条件 圆轴扭转时的最大切应力不能超过 材料的许用切应力
τmax
T ax m = ≤ [τ] W p
例题 d2
A
B
C
d1 mA mB mC
已知： 已知：阶梯轴尺寸如图 mA = 22 kN m, mB = 36 kN m, mC =14 kN m
[τ]= 80 MPa
d1 =120 m , d2 =100m m m
对于钢材: 对于钢材:
200 G= = 80GPa 2(1+ 0.25)
§3-4 圆轴扭转时的应力
一、变形几何条件 1、变形观察： 变形观察：
圆周线不变（大小、 圆周线不变（大小、 间距都不变） 间距都不变） 纵向线倾斜， 纵向线倾斜， 倾斜角相同 表面矩形变成 平行四边形
薄壁圆筒由于壁很薄， 薄壁圆筒由于壁很薄，表 面变形即为内部变形。 面变形即为内部变形。
圆轴内部任意一点的切应力 圆轴内部任意一点的切应力 τ ρ 与该点到圆心的距离ρ 与该点到圆心的距离ρ成正比
d τ ρ = Gρ dx
(c)
ρ =0
τρ = 0
ρ=R
τ ρ =τ max
d = GR dx
三、静力关系
剪切和扭转应力
Fbs Abs
F/4 dt
100 103 4 1610
156MPa [ bs ]源自铆钉满足强度条件，安全。×
123
2—2截面
F/4
上板受力图
F/4
F/4
F
F/4
上板轴力图
1
2
3F/4
3
F
F⊕/4 ⊕
⊕
3—3截面
22
FN 2 A2
3P / 4 (b 2d)t
75 103 68 10
110MPa
A
极惯性矩。
T
GI p
×
于是得横截面上任一点的切应力为
T
Ip
式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得；
—求应力那点到圆心的距离；
Ip—截面对圆心的极惯性矩，纯几何量，无物理意 义。
×
⒋ 极惯性矩
d
I p A 2dA
D
2 2 2 d 0
D 4
32
环形截面：
IP
32
②各纵向线长度不变，但均倾斜了同一微小角度 。
③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。
×
剪切虎克定律： 单元体ab 的倾角 称为切应变，
´
a
b
切应变是单元体直角的改变量。实 验表明，在弹性范围内，切应力与 dy 切应变成正比，即
´
c
d
G
t
z
dx
这就是剪切虎克定律，比例常数G 称为剪切弹性模量。
×
t P
d
tP
多铆钉连接件，为计算方便，各铆钉受力可视作相同。
F/4
上板受力图
F/4
F/4
F
F/4
剪切力和扭矩
πd 4 π Ip (50)4 mm 4 61.36 104 mm 4 32 32
500 AD (2 2 106 1106 ) 80 103 61.36 104 0.051 rad
例题7.5
主传动钢轴，传递功率 P 60 kW ，转速
n 250 r min，传动轴的许用切应力 40 MPa
T2 M eB M eA 143.2 N m-318.3 N m -175 N m （图d） T3 M eD 63.7 N m （图e）
T2 ，T3 为负值说明实际方向与假设的相 175N m
7.3 等直圆轴扭转时横截面上的切应力
d 76 mm
对于精密机器的轴
0.15 ( )
m ~ 0.30 ( ) m
例题7.4
图示轴的直径 d 50 mm ，切变模量
G 80 GPa 试计算该轴两端面之间的扭转角。
解：两端面之间扭转为角：
AD
TABl TBC l TCDl l (2TAB TBC ) GI p GI p GI p GI p
n------轴的转速，单位为r/min。
7.2
圆轴扭转时横截面上的内力及扭矩图
7.2.1 扭矩 平衡条件
M x 0
T Me
内力偶矩T称为扭矩
扭矩的单位：
N m 或 kN m
扭矩的正负号规定为：自截面的外法线向截面看， 逆时针转向为正，顺时针转向为负
扭矩图
常用与轴线平行的x坐标表示横截面的位置，以与 之垂直的坐标表示相应横截面的扭矩，把计算结果 按比例绘在图上，正值扭矩画在x轴上方， 负值扭矩画在x轴下方。这种图形称为扭矩图。 例题7.1 图示传动轴，转速 n 300 r min ，A轮为 主动轮，输入功率 N A 10 kW，B、C、D为从动 轮，输出功率分别为
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F/4 F/4
Fs F / 4 100103 124MPa [ ] As d 2 / 4 162
铆钉挤压应力
bs
Fbs Abs
F/4 dt
100 103 4 1610
156MPa [ bs ]
铆钉满足强度条件，安全。
×
123
2—2截面
F/4
上板受力图
F/4
F/4
F
F/4
上板轴力图
×
五、扭转时的变形
d T
dx GI p
l
T
dx
0 GI p
当T 、GIP 为常量时，长为l 一段杆两端面相对扭转角为
Tl
GI P
其中GIP 表示杆件抵抗扭转变形的能力，称为抗扭刚度。
×
d D
例6 已知空心圆截面的扭矩T =1kN.m，D =40mm， d=20mm，求最大、最小切应力。
§8–6 圆轴扭转时强度和刚度条件
一.强度条件：
max
T Wt
[ ]
其中容许切应力[]是由扭转时材料的极限切应力除以安全系
数得到。
×
二、刚度条件
d
dx
T GIp
max
T GIp
(rad/m) (rad/m)
[ ]称为许用单位扭转角。若许用单位扭转角给的是 / m，
则上式改写为
max
T GI p
同一截面，扭矩T ，极惯性矩IP 为常量，因此各点切应
力 的大小与该点到圆心的距离 成正比，方向垂直于圆的
半径，且与扭矩的转向一致。
⒌ 最大切应力
max
T IP
max
令：Wt
IP ,
max
Wt 称为抗扭截面模量，单位：m3
max
T Wt
Wt
16
D3
16
D3 (1
d4 D4
)
实心圆截面
空心圆截面
180
(/m)
×
例8 图示圆轴，已知mA =1kN.m， mB =3kN.m， mC
=2kN.m；l1 =0.7m，l2 =0.3m；[]=60MPa，[ ]=0.3°/m，
G=80GPa；试选择该轴的直径。
1
2
3F/4
3
F
F⊕/4 ⊕
⊕
3—3截面
22
FN 2 A2
3P / 4 (b 2d)t
75 103 68 10
110MPa
t
33
FN 3 A3
P (b d)t
100103 84 10
119MPa
max 33
板也满足拉压强度条件，铆接件安全。
×
[例2]已知图示圆梯形杆D=32mm，d=20mm，h=12mm，材 料的[]=100MPa，[bs]=200MPa。受拉力F =50kN 作用，试 校核此杆的强度 。
t P
d
tP
P
P
铆钉（或螺栓）连接件要安全工作，铆钉即要满足剪切 强度条件，又要满足挤压强度条件，同时板还要满足拉压强 度条件。
×
t P
d
tP
多铆钉连接件，为计算方便，各铆钉受力可视作相同。
F/4
上板受力图
F/4
F/4
F
F/4
上板轴力图
3F/4
F
F⊕/4 ⊕
⊕
铆钉受力图
F/4 F/4
×
铆钉剪应力
剪切弹性模量G 、与弹性模量E 和泊松比 一样，都是 表征材料力学性质的材料常数。对于各向同性材料，这三 个材料常数并不是独立的，它们存在如下关系。
G E
2(1 )
×
四、等直圆杆扭转横截面上的切应力
o1
o2
o1 o2
AB
D C B’
C’
dx
a b
A dB
bc’ d c’
B’
DC
dx C’
⒈ 变形的几何条件
解： max
T Wt
16
T D3 (1
d4 D4
)
max
min
161000
43[1
(
1 2
)4
]
T
84.9MPa
min
max
d D
84.9
1 2
42.45MPa
×
例7 图示圆杆BC 段为空心，已知 D =50mm，d=25mm； a =250mm，b =150mm；G=80GPa；试求该杆的最大切应力 和自由端的扭转角。
§8–1 剪切概念与实例
工程上的剪切件
1）受力特点 杆件两侧作用大小相等，方向相反，作用线相距很近的外力。 2）变形特点 两外力作用线间截面发生错动，由矩形变为平行四边形。 构件在这两个平行面间的任一横截面只有剪力作用，产生剪切 变形。
F
F
×
§8–2 连接接头的强度计算
1、 剪切实用计算
铆接件
F
F
D
d
F
圆轴扭转时应力与变形
×
一、实验： 1.实验前：①绘纵向线，圆周线； ②两端施加一对外力偶 m。
2.实验后：
①圆周线不变； ②纵向线变成螺旋线。 3.结果：
①圆筒表面各圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕 轴线作了相对转动。圆周线实际代表一个横截面，此结果表明 横截面仍保持平面，且大小、形状不变，满足平面假设。
F
F
n
n
F
F
×
剪切面
F n
FS
n
n
n F
F
Fx称为剪力。
×
FS F
F
设剪切面的剪力沿截面是均匀分布的，则有
Fs
As
为剪切面的剪应力，As为剪切面的面积。剪切强度条件为
Fs
As
[]为容许切应力，由材料破坏时的极限剪应力除以安全系数。
×
于是得横截面上任一点的切应力为
T
Ip
式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得；
—求应力那点到圆心的距离；
Ip—截面对圆心的极惯性矩，纯几何量，无物理意 义。
×
I p A 2dA
D
2 2 2 d 0
D 4
32
环形截面：
IP
32
(D4
d
4)
d D
极惯性矩的单位：m4
×
2、 挤压实用计算
挤压应力
bs
Fbs Abs
计算挤压面
Fbs为挤压力，Abs为计算挤压 面的面积。
实际挤压面 F
挤压强度条件
bs
Fbs Abs
bs
[bs]为容许挤压应力，由 极限挤压应力除以安全系数。
×
3、 连接板强度计算
拉压应力
FN
Aj
F
FN为轴力，Aj为截面面积。
×
例1 图示铆接件，P=100kN，铆钉的直径d=16mm，容许剪 应力[]=140MPa，容许挤压应力[bs]=200MPa；板的厚度 t=10mm ，b=100mm，容许正应力[]=170MPa，试校核铆 接件的强度。
横截面上b 点的切应变： bb' d
dx dx 其中 d 为单位长度杆两端面相对扭转角，称单位扭转角
dx
×
⒉ 物理条件
横截面上b 点的切应力： G G
⒊ 静力条件
T A dA A G 2 dA G A 2dA G IP
dA b dA
O2
IP
2dA
A
T
GI p
②各纵向线长度不变，但均倾斜了同一微小角度 。
③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。
×
剪切虎克定律： 单元体ab 的倾角 称为切应变，
´
a
b
切应变是单元体直角的改变量。实 验表明，在弹性范围内，切应力与 dy 切应变成正比，即
´
c
d
G
t
z
dx
这就是剪切虎克定律，比例常数G 称为剪切弹性模量。