高三月考联考模拟试题汇编解三角形

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陕西省五校2025年高三一轮复习：三角函数与解三角形检测试题含答案含解析

陕西省五校2025年高三一轮复习：三角函数与解三角形检测试题含答案注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、单项选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、汽车在平直公路上以108km/h 的速度匀速行驶，司机看到前面有突发情况，紧急利车，从看到突发情况到刹车的反应时间内汽车做匀速运动，刹车后汽车做匀减速直线运动，从看到突发情况到汽车停下，汽车行驶的距离为90m ，所花时间为5.5s ，则汽车匀减速过程中所受阻力约为汽车所受重力的（）A ．0.3倍B ．0.5倍C ．0.6倍D ．0.8倍2、如图，容量足够大的圆筒竖直放置，水面高度为h ，在圆筒侧壁开一个小孔P ，筒内的水从小孔水平射出，设水到达地面时的落点距小孔的水平距离为x ，小孔P 到水面的距离为y 。

短时间内可认为筒内水位不变，重力加速度为g ，不计空气阻力，在这段时间内下列说法正确的是（）A ．水从小孔P 射出的速度大小为gyB ．y 越小，则x 越大C ．x 与小孔的位置无关D ．当y = 2h ，时，x 最大，最大值为h 3、如图所示，轻质弹簧一端固定在竖直墙面上，另一端拴接一质量为m 的小滑块。

刚开始时弹簧处于原长状态，现给小滑块上施加一水平力F ，使之沿光滑水平面做匀加速直线运动，运动过程中弹簧未超出弹性限度。

下列关于水平力F 随位移x 变化的图像正确的是（）A ．B ．C ．D ．4、如图所示，倾角为α的斜面体A 置于粗糙水平面上，物块B 置于斜面上，已知A 、B 的质量分别为M 、m ，它们之间的动摩擦因数为tan μα=。

江苏南京市第九中学2024-2025学年高三上学期第一次月考数学模拟训练(含解析)

江苏南京市第九中学2024-2025学年高三数学上第一次月考模拟训练一．选择题（共10小题）1．已知函数为f（x）＝在R上单调递增，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．[﹣1，0]C．[﹣1，1]D．[0，+∞）2．当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin（3x﹣）的交点个数为（）A．3B．4C．6D．83．设函数f（x）＝（x+a）ln（x+b），若f（x）≥0，则a2+b2的最小值为（）A．B．C．D．14．已知函数（ω＞0）的最小正周期为π．则函数在的最小值是（）A．﹣B．﹣C．0D．5．双曲线的左、右焦点分别为F1、F2．P是双曲线右支上一点，且直线PF2的斜率为2，△PF1F2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．6．设函数f（x）＝sinωx（ω＞0）．已知f（x1）＝﹣1，f（x2）＝1，且|x1﹣x2|的最小值为，则ω＝（）A．1B．2C．3D．47．设椭圆C1：+y2＝1（a＞1），C2：+y2＝1的离心率分别为e1，e2．若e2＝e1，则a＝（）A．B．C．D．8．已知sin（α﹣β）＝，cosαsinβ＝，则cos（2α+2β）＝（）A．B．C．﹣D．﹣9．已知椭圆C：的左焦点和右焦点分别为F1和F2，直线y＝x+m与C交于点A，B两点，若△F1AB面积是△F2AB面积的两倍，则m＝（）A．B．C．D．10．已知α为锐角，cosα＝，则sin＝（）A．B．C．D．二．多选题（共4小题）（多选）11．设函数f（x）＝（x﹣1）2（x﹣4），则（）A．x＝3是f（x）的极小值点B．当0＜x＜1时，f（x）＜f（x2）C．当1＜x＜2时，﹣4＜f（2x﹣1）＜0D．当﹣1＜x＜0时，f（2﹣x）＞f（x）（多选）12．抛物线C：y2＝4x的准线为l，P为C上的动点，过P作⊙A：x2+（y﹣4）2＝1的一条切线，Q为切点，过点P作l的垂线，垂足为B，则（）A．l与⊙A相切B．当P，A，B三点共线时，C．当|PB|＝2时，PA⊥ABD．满足|PA|＝|PB|的点P有且仅有2个（多选）13．已知函数f（x）的定义域为R，f（xy）＝y2f（x）+x2f（y），则（）A．f（0）＝0B．f（1）＝0C．f（x）是偶函数D．x＝0为f（x）的极小值点（多选）14．若函数f（x）＝alnx++（a≠0）既有极大值也有极小值，则（）A．bc＞0B．ab＞0C．b2+8ac＞0D．ac＜0三．填空题（共6小题）15．设双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C 于A，B两点，若|F1A|＝13，|AB|＝10，则C的离心率为．16．若曲线y＝e x+x在点（0，1）处的切线也是曲线y＝ln（x+1）+a的切线，则a＝．17．（x﹣1）2+y2＝25的圆心与抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F重合，两曲线与第一象限交于点P，则原点到直线PF的距离为．18．若直线y＝k（x﹣3）与双曲线只有一个公共点，则k的一个取值为．19．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．点A在C上，点B在y轴上，⊥，＝﹣，则C的离心率为．20．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ），如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f（x）的两个交点，若|AB|＝，则f（π）＝．四．解答题（共1小题）21．已知双曲线C中心为坐标原点，左焦点为（﹣2，0），离心率为．（1）求C的方程；（2）记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点（﹣4，0）的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于P，证明P在定直线上．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．【解答】解：函数为f（x）＝在R上单调递增，可知：，可得a∈[﹣1，0]．故选：B．2．【解答】解：在同一坐标系中，作出函数y＝sin x与y＝2sin（3x﹣）在[0，2π]上的图象如下，由图象可知，当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin（3x﹣）的交点个数为6个．故选：C．3．【解答】解：f（x）的定义域为（﹣b，+∞），令x+a＝0，得x＝﹣a，令ln（x+b）＝0，得x＝1﹣b，因为f（x）≥0，当﹣b＜x＜1﹣b时，ln（x+b）＜0，所以x+a≤0，则1﹣b+a≤0，当x＞1﹣b时，ln（x+b）＞0，所以x+a≥0，则1﹣b+a≥0，故1﹣b+a＝0，即b﹣a＝1，所以，当且仅当，时等号成立．故选：C．4．【解答】解：∵函数＝sin（3ωx+π），（ω＞0）T＝＝π，ω＝，可得f（x）＝sin（2x+π）＝﹣sin2x，x∈，2x∈[﹣，]，所以f（x）在2x∈[﹣，]上单调递减，﹣sin＝﹣，故函数取最小值是﹣．故选：A．5．【解答】解：根据题意，画出图形，如下图：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m﹣n＝2a，因为△PF1F2是面积为8的直角三角形，所以m2+n2＝（2c）2＝4c2，＝8，因为直线PF2的斜率为2，所以tan∠F1F2P＝＝2，所以m＝2n，联立，解得，所以2a＝m﹣n＝2，即a＝，所以4c2＝m2+n2＝40，即c2＝10，所以b2＝c2﹣a2＝10﹣2＝8，所以双曲线的方程为＝1．故选：C．6．【解答】解：因为f（x）＝sinωx，则f（x1）＝﹣1为函数的最小值，f（x2）＝1为函数的最大值，又＝，所以T＝π，ω＝2．故选：B．7．【解答】解：由椭圆C2：+y2＝1可得a2＝2，b2＝1，∴c2＝＝，∴椭圆C2的离心率为e2＝，∵e2＝e1，∴e1＝，∴＝，∴＝4＝4（﹣）＝4（﹣1），即3＝4，解得a1＝（负的舍去），即a＝．故选：A．8．【解答】解：因为sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣sinβcosα＝，cosαsinβ＝，所以sinαcosβ＝，所以sin（α+β）＝sinαcosβ+sinβcosα＝＝，则cos（2α+2β）＝1﹣2sin2（α+β）＝1﹣2×＝．故选：B．9．【解答】解：记直线y＝x+m与x轴交于M（﹣m，0），椭圆C：的左，右焦点分别为F1（﹣，0），F2（，0），由△F1AB面积是△F2AB的2倍，可得|F1M|＝2|F2M|，∴|﹣﹣x M|＝2|﹣x M|，解得x M＝或x M＝3，∴﹣m＝或﹣m＝3，∴m＝﹣或m＝﹣3，联立可得，4x2+6mx+3m2﹣3＝0，∵直线y＝x+m与C相交，所以Δ＞0，解得m2＜4，∴m＝﹣3不符合题意，故m＝．故选：C．10．【解答】解：cosα＝，则cosα＝，故＝1﹣cosα＝，即＝＝，∵α为锐角，∴，∴sin＝．故选：D．二．多选题（共4小题）11．【解答】解：对于A，f′（x）＝2（x﹣1）（x﹣4）+（x﹣1）2＝3（x﹣1）（x﹣3），易知当x∈（1，3）时，f′（x）＜0，则函数f（x）在（1，3）上单调递减，当x∈（﹣∞，1）∪（3，+∞）时，f′（x）＞0，则函数f（x）在（﹣∞，1），（3，+∞）上单调递增，故x＝3是函数f（x）的极小值点，选项A正确；对于B，当0＜x＜1时，0＜x2＜1，且x2＜x，又f（x）在（0，1）上单调递增，则f（x2）＜f（x），选项B错误；对于C，由于1＜x＜2，一方面，f（2x﹣1）＝（2x﹣2）2（2x﹣5）＝4（x﹣1）2（2x﹣5）＜0，另一方面，f（2x﹣1）+4＝4（x﹣1）2（2x﹣5）+4＝4[（x﹣1）2（2x﹣5）+1]＝4（x﹣2）2（2x﹣1）＞0，则﹣4＜f（2x﹣1）＜0，选项C正确；对于D，由于﹣1＜x＜0，则f（2﹣x）﹣f（x）＝（x﹣1）2（﹣2﹣x）﹣（x﹣1）2（x﹣4）＝（x﹣1）2（2﹣2x）＝﹣2（x﹣1）3＞0，即f（2﹣x）＞f（x），选项D正确．故选：ACD．12．【解答】解：对于A，抛物线y2＝4x的准线为x＝﹣1，是x2+（y﹣4）2＝1的一条切线，选项A正确；对于B，⊙A的圆心为A（0，4），当P、A、B三点共线时，P（4，4），所以，选项B正确；对于C，当PB＝2时，P（1，2）或P（1，﹣2），对应的B（﹣1，2）或（﹣1，﹣2），当P（1，2）时，AB＝PA＝，PB＝2，PA与AB不垂直，当P（1，﹣2）时，AB＝PA＝，PB＝2，PA与AB不垂直，选项C错误；对于D，焦点F（1，0），由抛物线的定义知PB＝PF，则PA＝PB等价于P在AF的中垂线上，该直线的方程为，它与抛物线有两交点，选项D正确．故选：ABD．13．【解答】解：由f（xy）＝y2f（x）+x2f（y），取x＝y＝0，可得f（0）＝0，故A正确；取x＝y＝1，可得f（1）＝2f（1），即f（1）＝0，故B正确；取x＝y＝﹣1，得f（1）＝2f（﹣1），即f（﹣1）＝f（1）＝0，取y＝﹣1，得f（﹣x）＝f（x），可得f（x）是偶函数，故C正确；由上可知，f（﹣1）＝f（0）＝f（1）＝0，而函数解析式不确定，不妨取f（x）＝0，满足f（xy）＝y2f（x）+x2f（y），常数函数f（x）＝0无极值，故D错误．故选：ABC．14．【解答】解：函数定义域为（0，+∞），且f′（x）＝﹣﹣＝，由题意，方程f′（x）＝0即ax2﹣bx﹣2c＝0有两个正根，设为x1，x2，则有x1+x2＝＞0，x1x2＝＞0，Δ＝b2+8ac＞0，∴ab＞0，ac＜0，∴ab•ac＝a2bc＜0，即bc＜0．故选：BCD．三．填空题（共6小题）15．【解答】解：由题意知，|F1A|＝13，|F2A|＝|AB|＝5，所以|F1A|﹣|F2A|＝2a＝8，解得a＝4；又x＝c时，y＝，即|F2A|＝＝5，所以b2＝5a＝20，所以c2＝a2+b2＝16+20＝36，所以c＝6，所以双曲线C的离心率为e＝＝．故答案为：．16．【解答】解：曲线y＝e x+x，可得y′＝e x+1，在点（0，1）处切线的斜率为：e0+1＝2，切线方程为：y﹣1＝2x，即y＝2x+1．曲线y＝e x+x在点（0，1）处的切线也是曲线y＝ln（x+1）+a的切线，设y＝ln（x+1）+a的切点的横坐标为x，可得切线的斜率为：＝2，可得x＝，x＝代入y＝2x+1，可得切点坐标为：（﹣，0），切点在曲线y＝ln（x+1）+a上，所以0＝ln（﹣+1）+a，解得a＝ln2．故答案为：ln2．17．【解答】解：∵（x﹣1）2+y2＝25的圆心与抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F重合，∴F（1，0），∴p＝2，∴y2＝4x，联立，得或，∵两曲线与第一象限交于点P，∴P（4，4），∴直线PF的方程为＝＝，即4x﹣3y﹣4＝0，∴原点到直线PF的距离为d＝＝．故答案为：．18．【解答】解：联立，化简可得（1﹣4k2）x2+24k2x﹣36k2﹣4＝0，因为直线y＝k（x﹣3）与双曲线只有一个公共点，故1﹣4k2＝0，或Δ＝（24k2）2+4（1﹣4k2）（36k2+4）＝0，解得k＝或k无解，当k＝时，符合题意．故答案为：（或﹣）．19．【解答】解：（法一）如图，设F1（﹣c，0），F2（c，0），B（0，n），设A（x，y），则，又，则，可得，又⊥，且，则，化简得n2＝4c2．又点A在C上，则，整理可得，代n2＝4c2，可得，即，解得或（舍去），故．（法二）由，得，设，由对称性可得，则，设∠F1AF2＝θ，则，所以，解得t＝a，所以，在△AF1F2中，由余弦定理可得，即5c2＝9a2，则．故答案为：．20．【解答】解：由题意：设A（x1，），B（x1+，），由y＝sin（ωx+φ）的图象可知：f（x1）＝sin（ωx1+φ）＝，故，f（x2）＝sin[+φ]＝，则，两式相减得：，由图可知：T＜，即，解得ω∈（3，6），∵ω＝4+12（k2﹣k1），k2﹣k1∈Z∴ω＝4，∴f（x）＝sin（4x+φ），又f（）＝sin（+φ）＝0，∴+φ＝kπ，k∈Z，即φ＝﹣+kπ，k∈Z，∵f（0）＝sinφ＜0，∴当k＝2时，φ＝﹣满足条件，∴∴f（π）＝sin（4π﹣）＝﹣．故答案为：﹣．四．解答题（共1小题）21．【解答】解：（1）双曲线C中心为原点，左焦点为（﹣2，0），离心率为，则，解得，故双曲线C的方程为；（2）证明：过点（﹣4，0）的直线与C的左支交于M，N两点，则可设直线MN的方程为x＝my﹣4，M（x1，y1），N（x2，y2），记C的左，右顶点分别为A1，A2，则A1（﹣2，0），A2（2，0），联立，化简整理可得，（4m2﹣1）y2﹣32my+48＝0，故Δ＝（﹣32m）2﹣4×48×（4m2﹣1）＝256m2+192＞0且4m2﹣1≠0，，，直线MA1的方程为，直线NA2方程y＝，故＝＝＝＝＝，故，解得x＝﹣1，所以x P＝﹣1，故点P在定直线x＝﹣1上运动．。

高三模拟文数试题专题集合汇编之解三角形

2017年高三模拟试题专题汇编之解三角形含解析一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.在△ABC中，∠A=60°，b=1，S△ABC=，则的值等于（）A. B. C. D.2.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=2a，b=4，cos B=．则边c的长度为（）A.4B.2C.5D.63.在△ABC中，若b=1，A=60°，△ABC的面积为，则a=（）A.13B.C.2D.4.△ABC中，内角A，B，C所对边长为a，b，c，满足a2+b2=2c2，如果c=2，那么△ABC的面积等于（）A.tan AB.tan BC.tan CD.以上都不对5.在△ABC中，AB=3，AC=2，BC=，则•等于（）A.-B.-C.D.6.已知△ABC中，A：B：C=1：1：4，则a：b：c等于（）A.1：1：B.2：2：C.1：1：2D.1：1：47.已知△ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若cos B=，b=4，sin C=2sin A，则△ABC 的面积为（）A. B. C. D.8.钝角△ABC的三边长为连续自然数，则这三边长为（）A.1，2，3B.2，3，4C.3，4，5D.4，5，69.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，三边a，b，c成等差数列，且，则（cos A-cos C）2的值为（）A. B. C. D.010.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b2+c2-a2=bc，•＞0，a=，则b+c的取值范围是（）A.（1，）B.（，）C.（，）D.（，]11.在△ABC中，若，b=，则∠C=（）A.或πB.C.D.12.如果将直角三角形三边增加相同的长度，则新三角形一定是（）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.根据增加的长度确定三角形的形状二、填空题(本大题共27小题，共135.0分)13.在△ABC中，，AB=3，，则AC的长度为______ ．14.已知a，b，c是△ABC的三边，其面积S=（b2+c2-a2），角A的大小是______ ．15.△ABC中，C=60°，AB=2，则AC+BC的取值范围为______ ．16.如图所示，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东θ+30°角的方向沿直线前往B处营救，则sinθ=______ ．17.在△ABC中，AB=3，AC=2，A=60°，则S△ABC= ______ ．18.在△ABC中，A=，AB=2，且△ABC的面积为，则边AC的长为______ ．19.在△ABC中，∠A=，AB=4，△ABC的面积为，则△ABC的外接圆的半径为______ ．20.已知△ABC，若存在△A1B1C1，满足，则称△A1B1C1是△ABC的一个“友好”三角形．在满足下述条件的三角形中，存在“友好”三角形的是______ ：（请写出符合要求的条件的序号）①A=90°，B=60°，C=30°；②A=75°，B=60°，C=45°；③A=75°，B=75°，C=30°．21.在△ABC中，如果a=2，c=2，∠A=30°，那么△ABC的面积等于______ ．22.△ABC所在平面上一点P满足，若△ABP的面积为6，则△ABC的面积为______ ．23.△ABC中，若4sin A+2cos B=4，，则角C= ______ ．24.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＞b，a＞c．△ABC的外接圆半径为1，，若边BC上一点D满足BD=2DC，且∠BAD=90°，则△ABC的面积为______ ．25.如图所示，在平面四边形ABCD中，AD=1，CD=2，AC=，若，，则BC= ______ ．26.在△ABC中，已知a=7，b=8，c=13，则角C的大小为______ ．27.在△ABC中，D为边BC上一点，且AD⊥BC，若AD=1，BD=2，CD=3，则∠BAC的度数为______ ．28.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知=，b=4a，a+c=5，则△ABC的面积为______ ．29.在三角形ABC中，若sin B=2sin A cos C，那么三角形ABC一定是______ 三角形．30.在△ABC中，三个角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若角A、B、C成等差数列，且边a、b、c成等比数列，则△ABC的形状为______ ．31.已知在△ABC中，a=，b=1，b•cos C=c•cos B，则△ABC的面积为______ ．32.如图所示，已知点P为正方形ABCD内一点，且AP=1，BP=2，CP=3，则该正方形ABCD 的面积为______ ．33.在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则cos A= ______ ．34.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2cos2=sin A，sin（B-C）=4cos B sin C，则= ______ ．35.在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c若a，则A= ______ ．36.在△ABC中，a：b：c=3：5：7，则此三角形中最大角为______ ．37.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a2-b2-c2+bc=0．则角A的大小为______ ．38.在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，已知a=4，b=5，cos（B-A）=，则cos B= ______ ．39.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a=2，c=3，且满足（2a-c）•cos B=b•cos C，则= ______ ．三、解答题(本大题共10小题，共120.0分)40.一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行（2-2）nmile到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东15°的方向航行4nmile到达海岛C．（1）求AC的长；（2）如果下次航行直接从A出发到达C，求∠CAB的大小？41.△ABC中，B=60°，c=3，b=，求S△ABC．42.在锐角△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，（1）求角C（2）若△ABC的面积等于，求a，b；（3）求△ABC的面积最大值．43.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2b，又sin A，sin C，sin B成等差数列．（1）求cos A的值；（2）若，求c的值．44.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2bcos C=acos C+ccos A．（I）求角C的大小；（II）若b=2，c=，求a及△ABC的面积．45.如图，有一直径为8米的半圆形空地，现计划种植果树，但需要有辅助光照．半圆周上的C处恰有一可旋转光源满足果树生长的需要，该光源照射范围是，点E，F在直径AB上，且．（1）若，求AE的长；（2）设∠ACE=α，求该空地种植果树的最大面积．46.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．（1）求角A的大小；（2）若，求△ABC的面积．47.航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的高度为海拔10千米，速度为180千米/小时．飞机先看到山顶的俯角为15°，经过420秒后又看到山顶的俯角为45°，求山顶的海拔高度（取，）．48.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，解三角形．49.在△ABC中，，（1）求B；（2），求S△ABC．【答案】1.A2.A3.B4.C5.A6.A7.B8.B9.A 10.B 11.D 12.A13.14.15.（2，4]16.17.18.119.20.②21.2或22.1223.24.25.326.27.135°28.29.等腰30.等边三角形31.32.5+233.-34.1+35.36.120°37.38.39.-340.解：由题意，在△ABC中，∠ABC=180°-75°+15°=120°，AB=2-2，BC=4，根据余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB×BC×cos∠ABC=（2-2）2+42+（2-2）×4=24，所以AC=2．根据正弦定理得，sin∠BAC==，∴∠CAB=45°．41.（本题满分为10分）解：∵B=60°，c=3，b=，∴由余弦定理b2=a2+c2-2accos B，可得：7=a2+9-3a，整理可得：a2-3a+2=0，∴得：a=1或2，∴S△ABC=acsin B=或．42.（本题满分为12分）解：（1）∵，∴，…2分∵A∈（0，π），∴sin A≠0，∴sin C=，∵△ABC为锐角三角形，∴C=．…（6分）（2）∵C=，c=2，由余弦定理及已知条件，得a2+b2-ab=4，①…（7分）又因为△ABC的面积等于，所以absin C=，得ab=4．②…（8分）联立①②，解得，…（11分）（3）由①可得：4+ab≥2ab，即ab≤4（当且仅当a=b=2时等号成立），∴S △ABC=absin C≤=，即当a=b=2时，△ABC的面积的最大值等于，…（12分）43.解：（Ⅰ）∵sin A，sin C，sin B成等差数列，∴sin A+sin B=2sin C由正弦定理得a+b=2c又a=2b，可得，∴；（2）由（1）可知，得，∴，∵，∴，解得：故得时，c的值为4．44.（本题满分为12分）解：（I）∵2bcos C=acos C+ccos A，∴由正弦定理可得：2sin B cos C=sin A cos C+cos A sin C，可得：2sin B cos C=sin（A+C）=sin B，∵sin B＞0，∴cos C=，∵C∈（0，C），∴C=…6分（II）∵b=2，c=，C=，∴由余弦定理可得：7=a2+4-2×，整理可得：a2-2a-3=0，∴解得：a=3或-1（舍去），∴△ABC的面积S=absin C==…12分45.（本小题满分16分）解：（1）由已知得△ABC为直角三角形，因为AB=8，，所以，AC=4，在△ACE中，由余弦定理：CE2=AC2+AE2-2AC•AE cos A，且，所以13=16+AE2-4AE，解得AE=1或AE=3，…（4分）（2）因为，，所以∠ACE=α，所以，…（6分）在△ACF中由正弦定理得：，所以，…（8分）在△ACE中，由正弦定理得：，所以，…（10分）由于：，…（14分）因为，所以，所以，所以当时，S△ECF取最大值为．…（16分）46.（本题满分为14分）解：（1）∵，由正弦定理得．…（3分）又sin B≠0，从而．…（5分）由于0＜A＜π，所以．…（7分）（2）解法一：由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A，而，…（9分）得7=4+c2-2c=13，即c2-2c-3=0．因为c＞0，所以c=3．…（11分）故△ABC的面积为S=．…（14分）解法二：由正弦定理，得，从而，…（9分）又由a＞b知A＞B，所以．故．…（12分）所以△ABC的面积为．…（14分）47.（本题满分为12分）解：如图∵∠A=15°，∠DBC=45°，∴∠ACB=30°，…（2分）（m），…（4分）∴在△ABC中，，∴，…（8分）∵CD⊥AD．∴CD=BC sin∠CBD=BC×sin45°===7350，…（10分）山顶的海拔高度=10000-7350=2650（米）=2.65千米…（12分）48.解：C=180°-A-B=105°，sin C=sin（A+B）=，由正弦定理得：=，∴b==2，c==+．49.解：（1）由，根据正弦定理，可得：，2cos B sin A+cos B sin C=-sin B cos C，即2cos B sin A=-sin A∵0＜A＜π，sin A≠0．∴cos B=∵0＜B＜π，∴（2），由余弦定理：cos B=，可得：-ac=a2+c2-13，即（a+c）2-ac-13=0得：ac=3那么三角形的面积．【解析】1. 解：∵∠A=60°，b=1，S△ABC==bcsin A=，∴c=4，∴a2=b2+c2-2bccos A=1+14-2×=13，∴a=，∴===．故选：A．先利用面积公式求得c的值，进而利用余弦定理可求a，再利用正弦定理求解比值．本题的考点是正弦定理，主要考查正弦定理的运用，关键是利用面积公式，求出边，再利用正弦定理求解．2. 解：∵c=2a，b=4，cos B=，∴由余弦定理得：b2=a2+c2-2accos B，即16=c2+c2-c2=c2，解得：c=4．故选：A．利用余弦定理列出关系式，把b，cos B，表示出的a代入求出c的值即可．此题考查了余弦定理，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于基础题．3. 解：∵b=1，A=60°，△ABC的面积为=×，∴解得：c=4，∴由余弦定理可得：a===．故选：B．由已知利用三角形面积公式可求c的值，进而利用余弦定理即可解得a的值．本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．4. 解：由余弦定理得：c2=a2+b2-2abcos C，将a2+b2=2c2，c=2代入得：4=8-2abcos C，即ab=，则S△ABC=absin C=••sin C=tan C．故选C由余弦定理列出关系式，将a2+b2=2c2，及c=2代入表示出ab，再利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．5. 解：在△ABC中，由余弦定理得：cos A===，==-=-=．故选：A．根据利用余弦定理求出cos A，通过向量数量积的量，=，求解即可．本题考查余弦定理的应用，向量的数量积，考查转化思想以及计算能力．6. 解：△ABC中，∵A：B：C=1：1：4，故三个内角分别为30°、30°、120°，则a：b：c=sin30°：sin30°：sin120°=1：1：，故选：A．利用三角形内角和公式求得三个内角的值，再利用正弦定理求得a：b：c的值．本题主要考查三角形内角和公式、正弦定理的应用，属于基础题．7. 解：∵sin C=2sin A，∴c=2a，由余弦定理可得：b2=a2+c2-2accos B，∴42=a2+c2-ac，与c=2a联立解得a=2，c=4．∵cos B=，B∈（0，π），∴sin B==．则△ABC的面积S=sin B==．故选：B．sin C=2sin A，利用正弦定理可得：c=2a，由余弦定理可得：b2=a2+c2-2accos B，即42=a2+c2-ac，与c=2a联立解出即可得出．本题考查了正弦定理余弦定理、三角函数求值、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8. 解：不妨设三边满足a＜b＜c，满足a=n-1，b=n，c=n+1（n≥2，n∈N）．∵△ABC是钝角三角形，∴可得∠C为钝角，即cos C＜0，由余弦定理得：（n+1）2=（n-1）2+n2-2n（n-1）•cos C＞（n-1）2+n2，即（n-1）2+n2＜（n+1）2，化简整理得n2-4n＜0，解之得0＜n＜4，∵n≥2，n∈N，∴n=2，n=3，当n=2时，不能构成三角形，舍去，当n=3时，△ABC三边长分别为2，3，4，故选：B不妨设三边满足a＜b＜c，满足a=n-1，b=n，c=n+1（n≥2，n∈N）．根据余弦定理以及角C 为钝角，建立关于n的不等式并解之可得0＜n＜4，再根据n为整数和构成三角形的条件，可得出本题答案．本题属于解三角形的题型，涉及的知识有三角形的边角关系，余弦函数的图象与性质以及余弦定理，属于基础题．灵活运用余弦定理解关于n的不等式，并且寻找整数解，是解本题的关键．9. 解：∵三边a，b，c成等差数列，∴2b=a+c，利用正弦定理可得：2sin B=sin A+sin C，∴sin A+sin C=2sin=1，设cos A-cos C=m，则平方相加可得：2-2cos（A+C）=1+m2，∴m 2=2cos B+1=．故选：A．三边a，b，c成等差数列，可得2b=a+c，利用正弦定理可得：2sin B=sin A+sin C，即sin A+sin C=1，设cos A-cos C=m，平方相加即可得出．本题考查了等差数列的通项公式性质、正弦定理、同角三角函数基本关系式、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10. 解：在△ABC中，∵b2+c2-a2=bc，由余弦定理可得cos A===，∵A是三角形内角，∴A=60°，∵a=，∴=1=，∵•=||•||•cos （π-B）＞0，∴可得：cos B＜0，B为钝角，∴b+c=sin B+sin（120°-B）=sin B+cos B=sin（B+30°），∵B∈（90°，120°），可得：B+30°∈（120°，150°），可得：sin（B+30°）∈（，），∴b+c=sin（B+30°）∈（，）．故选：B．利用已知代入到余弦定理中求得cos A的值，进而求得A，利用平面向量的运算可得B的范围，利用正弦定理，正弦函数的图象和性质即可得解b+c的取值范围．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，平面向量在解三角形中的应用．注意余弦定理的变形式的应用，考查计算能力，属于中档题．11. 解：∵b=a，∴根据正弦定理得sin B=sin A，又sin B=sin=，∴sin A=，又a＜b，得到∠A＜∠B=，∴∠A=，则∠C=π-A-B=．故选：D．利用正弦定理化简已知的等式，把sin B的值代入求出sin A的值，由a小于b，根据大边对大角，得到A小于B，即A为锐角，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，进而利用三角形的内角和定理即可求出C的度数．此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦定理，三角形的边角关系，三角形的内角和定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于中档题．12. 解：设原来直角三角形的三边长是a，b，c且a2=b2+c2在原来的三角形三条边长的基础上都加上相同的量，原来的斜边仍然是最长的边，只要验证这个边对应的角的情况就可以，cos A==＞0∴这个三角形中最大的角是一个锐角，故选A．设出三角形的边长，在原来的三角形三条边长的基础上都加上相同的量，原来的斜边仍然是最长的边，只要验证这个边对应的角的情况就可以，利用余弦定理验证．本题考查判断三角形的形状，考查余弦定理的应用，在解题时注意分析三条边长变化以后，最大的边长在变化以后仍然是最大的边长，只要观察这条边对应的角即可．13. 解：∵，B∈（0，π），∴B=，又∵AB=3，=AB•BC•sin B=，∴BC=2，∴AC===．故答案为：．由已知可求B，利用三角形面积公式可求BC的值，进而利用余弦定理可求AC的值．本题主要考查了特殊角的三角函数值，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．14. 解：∵S=（b2+c2-a2），即bcsin A=（b2+c2-a2）=×2bccos A，∴tan A==，由A为三角形的内角，∴A=，故答案为：．由S=（b2+c2-a2），得bcsin A=（b2+c2-a2），利用余弦定理及同角三角函数的关系可求得tan A=1，由A的范围可求A．该题考查三角形的面积公式、余弦定理，属基础题，准确记忆公式并灵活运用是解题关键．15. 解：在△ABC中，设A、B、C的对边分别为a，b，c，由题意可得：c=2，由余弦定理可得：c2=a2+b2-2abcos C，即：4=a2+b2-ab=（a+b）2-3ab≥（a+b）2，解得：a+b≤4，又由三角形的性质可得：a+b＞2，综上，可得：2＜a+b≤4．所以AC+BC的取值范围为：（2，4]．故答案为：（2，4]．由已知利用余弦定理，基本不等式可得4=a2+b2-ab=（a+b）2-3ab≥（a+b）2，解得a+b≤4，又利用两边之和大于第三边可得a+b＞2，从而可求AC+BC的取值范围．本题主要考查余弦定理，基本不等式在解三角形中的应用，考查了转化思想，解决这类问题的关键在于对公式的熟练掌握以及灵活运用，属于中档题．16. 解：连接BC，在△ABC中，AC=10海里，AB=20海里，∠CAB=120°根据余弦定理得：BC2=AC2+AB2-2AC•AB•cos∠CAB=100+400+200=700，∴BC=10海里，根据正弦定理得，即，∴sin∠ACB=，∴sinθ=；故答案为：．连接BC，在三角形ABC中，利用余弦定理求出BC的长，再利用正弦定理求出sin∠ACB的值，即可求出sinθ的值本题考查了解三角形问题的实际应用，通常要利用正弦定理、余弦定理，同时往往与三角函数知识相联系．17. 解：∵AB=3，AC=2，A=60°，∴S △ABC=AB•AC•sin A==．故答案为：．由已知利用三角形面积公式即可计算得解．本题主要考查了三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力，属于基础题．18. 解：∵A=，AB=2，且△ABC的面积为，∴由三角形面积公式可得：S=×AB×AC×sin A可得：=×2×AC×sin，∴解得：AC=1．故答案为：1．利用三角形面积公式即可得解．本题主要考查了三角形面积公式的应用，属于基础题．19. 解：由已知可得：=2，解得b=2．∴a2=22+42-2×2×4×=28．∴a=2．设△ABC的外接圆的半径为R，则2R===，解得R=．故答案为：．由已知可得：=2，解得b．再利用余弦定理可得a，再利用正弦定理即可得出．本题考查了三角形面积计算公式、正弦定理、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20. 解：满足，则有A1=±A，B1=±B，C1=±C．对于①，cos A=cos90°=0，显然不成立．对于②，可取满足题意．对于③，经验证不满足．故答案为：②．满足，则有A1=±A，B1=±B，C1=±C逐一验证选项即可．本题考查了推理的能力，根据条件逐一验证，是一种很好的做客观题的方法，属于中档题21. 解：∵a=2，c=2，A=30°，∴由正弦定理，得：sin C==，∴C=60°或120°，∴B=90°或30°，则S△ABC=acsin B=2或．故答案为：2或．由A的度数求值sin A的值，再由a、c的值，利用正弦定理求出sin C的值，再利用特殊角的三角函数值求出C的度数，进而求出B的度数，确定出sin B的值，由a，c及sin B的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．此题考查了正弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．22. 解：取AC的中点O，则∵，∴=2，∴C到直线AB的距离等于P到直线AB的距离的2倍故S△ABC=2S△ABP=12故答案为：12由已知中P是△ABC所在平面内一点，且满足，我们根据向量加法的三角形法则可得=2，C到直线AB的距离等于P到直线AB的距离的2倍，故S△ABC=2S△ABP，结合已知中△ABP的面积为6，即可得到答案．本题考查的知识点是向量的加减法及其几何意义，其中根据=2，得到S△ABC=2S△ABP，是解答本题的关键．23. 解：∵4sin A+2cos B=4，，∴2sin A+cos B=2，sin B+2cos A=，∴两边同时平方，然后两式相加，化简得5+4（sin A cos B+sin B cos A）=7，∴sin（A+B）=，∴sin（180°-C）=sin C=，∴得出∠C=或．∵若∠C=，可得：A+B=，cos B＜1，2sin A＜1，2sin A+cos B=2，不成立，∴∠C=．故答案为：．先对条件中两个式子平方后相加得到关于A+B的正弦值，再由诱导公式得到角C的正弦值，最后得到答案．本题主要考查同角三角函数的基本关系和两角和与差的正弦公式的应用．属基础题．24. 解：∵△ABC的外接圆半径R为1，，∴由正弦定理，可得：sin A=，∵边BC上一点D满足BD=2DC，且∠BAD=90°，∴A=120°，∠CAD=30°，BD=a=，CD=a=，∴如图，由正弦定理可得：，可得：b=sin∠2=sin∠1==c，∴△BAC是等腰三角形，底角是30°，∴sin B=，可得：c=1，∴S△ABC==．故答案为：．由已知及正弦定理可求sin A=，进而可求A，∠CAD，BD，CD，由正弦定理可得b=sin∠2=sin∠1==c，可求sin B=，c=1，即可利用三角形面积公式计算得解．本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了数形结合思想，属于中档题．25.解：由题意在△ADC中，AD=1，CD=2，AC=，∴由余弦定理可得cos∠CAD==，∴sin∠CAD=，同理由cos∠BAD=-，可得sin∠BAD=，∴sin∠CAB=sin（∠BAD-∠CAD）=sin∠BAD cos∠CAD-cos∠BAD sin∠CAD=在△ABC中由正弦定理可得BC==3故答案为：3．由题意在△ADC中应用余弦定理易得cos∠CAD，进而由同角三角函数基本关系可得sin∠CAD和sin∠BAD，再由和差角公式可得sin∠CAB，在△ABC中由正弦定理可得BC．本题考查三角形中的几何运算，涉及正余弦定理的综合应用，属中档题．26. 解：∵在△ABC中a=7，b=8，c=13，∴由余弦定理可得cos C===-，∵C∈（0，π），∴C=故答案为：由题意和余弦定理可得coc C，由三角形内角的范围可得．本题考查余弦定理，涉及三角函数值和角的对应关系，属基础题．27. 解：由题意，AB=，AC=，BC=5，由余弦定理可得cos∠BAC==-，∵0°＜∠BAC＜180°∴∠BAC=135°，故答案为135°．由题意，AB=，AC=，BC=5，由余弦定理可得∠BAC的度数．本题考查余弦定理、勾股定理的运用，考查学生的计算能力，比较基础．28. 解：由正弦定理及=，得=，又b=4a，∴sin C=，∵△ABC为锐角三角形，∴cos C=，∴cos C===，解得a=1，b=4，c=4，∴S△ABC=absin C==．故答案为：．由已知及正弦定理可求=，又b=4a，可求sin C，利用同角三角函数基本关系式可求cos C，利用余弦定理解得a，b，c的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．29. 解：∵sin B=sin（A+C）=2sin A cos C，∴sin（A-C）=0，A，C∈（0，π），∴A=C，因此三角形ABC一定是等腰三角形．故答案为：等腰．sin B=sin（A+C）=2sin A cos C，展开化简即可得出．本题考查了和差公式、诱导公式、三角形内角和定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．30. 解：∵在△ABC中角A、B、C成等差数列，∴2B=A+C，由三角形内角和可得B=，又∵边a、b、c成等比数列，∴b2=ac由余弦定理可得b2=a2+c2-2accos B，∴ac=a2+c2-ac，即a2+c2-2ac=0，故（a-c）2=0，可得a=c，故三角形为：等边三角形，故答案为：等边三角形．由等差数列和三角形内角和可得B=，再由等比数列和余弦定理可得a=c，可得等边三角形．本题考查三角形形状的判定，涉及等差和等比数列及余弦定理，属基础题．31. 解：∵b•cos C=c•cos B，∴由正弦定理得sin B•cos C=sin C•cos B，即sin B•cos C-sin C•cos B=sin（B-C）=0，即B=C，则三角形为等腰三角形，则c=b=1，则三角形BC的高h=，则三角形的面积S==，故答案为：由b•cos C=c•cos B，结合正弦定理和两角和差的正弦公式得到B=C，求出三角形的高，即可得到结论．本题主要考查三角形的面积的计算，根据正弦定理和两角和差的正弦公式得到三角形为等腰三角形是解决本题的关键．32. 解：作BE垂直BP，使BE=BP（点E和P在BC两侧），连接PE，CE．则：∠BPE=∠BEP=45°；PE2=BE2+BP2=4+4=8；∵∠EBP=∠CBA=90°．∴∠EBC=∠PBA；又BE=BP，BC=BA．∴△EBC≌△PBA（SAS），CE=AP=1．∵PE2+CE2=8+1=9；PC2=32=9．∴PE2+CE2=PC2，则∠PEC=90°，∠BEC=∠BEP+∠PEC=135°；作CH垂直BE的延长线于H，则∠CEH=180°-∠BEC=45°．∴CH=EH=，BH=BE+EH=2+．故S正方形ABCD=BC2=BH2+CH2=（2+）2+（）2=5+2，故答案为5+2．由题意作BE垂直BP，使BE=BP（点E和P在BC两侧），连接PE，CE，作CH垂直BE的延长线于H，则∠CEH=180°-∠BEC=45°．进一步由勾股定理求得答案即可．此题考查正方形的性质，勾股定理的运用，属于中档题．33. 解：设△ABC中角A、B、C、对应的边分别为a、b、c，AD⊥BC于D，令∠DAC=θ，∵在△ABC中，B=，BC边上的高AD=h=BC=a，∴BD=AD=a，CD=a，在R t△ADC中，cosθ===，故sinθ=，∴cos A=cos（+θ）=cos cosθ-sin sinθ=-=-．故答案为：-．作出图形，令∠DAC=θ，依题意，可求得cosθ═==，sinθ=，利用两角和的余弦即可求得答案．本题考查解三角形中，作出图形，令∠DAC=θ，利用两角和的余弦求cos A是关键，也是亮点，属于中档题．34. 解：在△ABC中，∵2cos2=sin A，∴1+cos A=sin A，∴1+2cos A+cos2A=sin2A=cos2A．∴cos2A+cos A+=0，解得cos A=-或cos A=-1（舍）．∴=-，∴a2=b2+c2+bc．∵sin（B-C）=4cos B sin C，∴sin B cos C=5cos B sin C．即bcos C=5ccos B．∴b×=5c×，即2a2+3c2-3b2=0．把a2=b2+c2+bc代入上式得2（b2+c2+bc）+3c2-3b2=0，即5c2-b2+2bc=0．∴-（）2+2+5=0，解得=1+或=1-（舍）．故答案为：1+．利用二倍角公式化简求出cos A=-，由余弦定理得a2=b2+c2+bc，将sin（B-C）=4cos B sin C展开得sin B cos C=5cos B sin C，利用正余弦定理将角化边，即可得出关于的一元二次方程，解出即可．本题考查余弦定理、正弦定理的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．35. 解：∵a，∴，∴由余弦定理可得：cos A===-．∵A∈（0，π），∴解得：A=．故答案为：．由已知整理可得，由余弦定理可得cos A==-，结合范围A∈（0，π），即可解得A的值．本题主要考查了余弦定理的应用，属于基础题．36. 解：在△ABC中，∵a：b：c=3：5：7，即a=3k，b=5k，c=7k，∴由余弦定理得：cos C===-，又C为三角形的内角，则此三角形中最大角C的度数是120°．故答案为：120°．由a：b：c的比值，设一份为k，表示出a，b及c，利用余弦定理表示出cos C，将表示出的a，b及c代入求出cos C的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C 的度数，即为此三角形中最大角的度数．此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于基础题．37. 解：∵a2-b2-c2+bc=0，可得：b2+c2-a2=bc，∴cos A===，∵A∈（0，π），∴A=．故答案为：．由已知可得：b2+c2-a2=bc，利用余弦定理可求cos A=，结合范围A∈（0，π），即可得解A的值．本题主要考查了余弦定理，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，属于基础题．38. 解：由得，B＞A，sin（B-A）＞0，所以，由正弦定理得，则，即sin A=sin B，因为sin A=sin[B-（B-A）]=sin B cos（B-A）-cos B sin（B-A），所以，化简得，由，sin B＞0知，cos B＞0，由得，，所以，故答案为：．由题意和边角关系可得B＞A，由条件和平方关系求出sin（B-A），由正弦定理化简得sin A与sin B关系，由sin A=sin[B-（B-A）]、两角差的正弦公式化简后，结合条件和平方关系求出cos B的值．本题考查正弦定理，边角关系，两角差的正弦公式以及平方关系的应用，考查化简、变形能力．39. 解：∵（2a-c）cos B=bcos C根据正弦定理得：（2sin A-sin C）cos B=sin B cos C2sin A cos B=sin B cos C+sin C cos B2sin A cos B=sin（B+C）2sin A cos B=sin A∴cos B=∴B=60°∴=-cos B=-（2×3×）=-3故答案为：-3通过正弦定理把a，c，b换成sin A，sin B，sin C代入（2a-c）•cos B=b•cos C，求得B，再根据向量积性质，求得结果．本题主要考查了正弦定理和向量积的问题．再使用向量积时，要留意向量的方向．40.由题意，结合图形知，在△ABC中，∠ABC=120°，AB=2-2，BC=4，故可由余弦定理求出边AC的长度，由于此时在△ABC中，∠ABC=120°，三边长度已知，故可由正弦定理建立方程，求出∠CAB的正弦值，即可得出结论．本题是解三角形在实际问题中的应用，考查了正弦定理、余弦定理，方位角等知识，解题的关键是将实际问题中的距离、角等条件转化到一个三角形中，正弦定理与余弦定理求角与边，解三角形在实际测量问题-遥测中有着较为广泛的应用，此类问题求解的重点是将已知的条件转化到一个三角形中方便利用解三角形的相关公式与定理，本题考查了转化的思想，方程的思想．41.由已知利用余弦定理可解得a的值，利用三角形面积公式即可计算得解．本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，属于基础题．42.（1）由已知及正弦定理可得，结合sin A≠0，可得sin C=，由于△ABC 为锐角三角形，可求C=．（2）由余弦定理及已知条件，得a2+b2-ab=4，又absin C=，得ab=4．联立即可解得a，b的值．（3）由①可得：4+ab≥2ab，即ab≤4（当且仅当a=b=2时等号成立），利用三角形面积公式即可计算得解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．43.（1）sin A，sin C，sin B成等差数列．由正弦定理得a+b=2c，a=2b，利用余弦定理可得cos A 的值；（2）由cos A的值，求解sin A的值，根据S=bcsin A，即可求解c的值．本题考查了等差数列的性质以及正余弦定理的运用，属于基础题．44.（I）由正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理化简已知等式可得2sin B cos C=sin B，结合sin B＞0，可得cos C=，由于C∈（0，C），可求C的值．（II）由已知利用余弦定理可得：a2-2a-3=0，解得a的值，进而利用三角形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．45.（1）由已知利用余弦定理，即可求AE的长；（2）设∠ACE=α，求出CF，CE，利用三角形面积公式可求S△CEF，求出最大值，即可求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．本题主要考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的运用，考查三角形面积的计算，考查了正弦函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．46.（1）由弦定理化简已知可得，结合sin B≠0，可求，结合范围0＜A＜π，可求A的值．（2）解法一：由余弦定理整理可得：c2-2c-3=0．即可解得c的值，利用三角形面积公式即可计算得解．解法二：由正弦定理可求sin B的值，利用大边对大角可求B为锐角，利用同角三角函数基本关系式可求cos B，利用两角和的正弦函数公式可求sin C，进而利用三角形面积公式即可计算得解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，大边对大角，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．47.先求AB的长，在△ABC中，可求BC的长，进而由于CD⊥AD，可求CD=BC sin∠CBD，即可求得山顶的海拔高度．本题以实际问题为载体，考查正弦定理的运用，关键是理解俯角的概念，属于基础题．48.根据内角和定理计算C，利用正弦定理求出b，c．本题考查了利用正弦定理解三角形，属于基础题．49.（1）利用正弦定理化简后，根据和与差的公式可得B的大小．（2）根据余弦定理建立关系，求出ac的值，即可得S△ABC的值．本题考查三角形的正余弦定理和和与差公式的运用，考查运算能力，属于基础题．。

江西省多校联考2024-2025学年高三上学期10月月考试题数学含答案

江西省10月份高三联考数学（答案在最后）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：高考全部内容．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{1,2,3}A =，{},B x y x A y A =+∈∈，则A B = （）A ．{2}B ．{3}C ．{2,3}D ．{1,2,3}2．在复数范围内，方程49x =的解的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．43．已知双曲线22:1y C x m-=的离心率大于实轴长，则m 的取值范围是（）A ．(3,)+∞B ．)+∞C ．(0,3)D ．4．若220m n -≠，cos()2m αβ-=，cos()2n αβ+=，则tan tan αβ=（）A ．m n m n-+B ．m n m n+-C ．2m n m n -+D ．2m n m n+-5．函数2()(31)e xf x x =-的最小值为（）A ．433e--B ．133e 2--C ．0D ．24e--6．已知向量,,a b c ，满足1a = ，2b = ，3c = ，π,,3a b a b c 〈〉=〈+〉=，则a b + 在c 方向上的投影向量为（）A ．3cB ．143c C ．6c D ．76c 7．现有6个人计划在暑期前往江西省的南昌、九江、赣州、萍乡四个城市旅游，每人都要从这四个城市中选择一个城市，且每个城市都有人选择，则至少有2人选择南昌的选法种数为（）A ．420B ．660C ．720D ．12008．已知函数()f x 满足()()()22x yf x y f x f y +=+++，且(1)1f =，则(1000)f =（）A ．99922995+B ．99922996+C ．100022995+D ．100022996+二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数()sin 2f x x =，2()cos 2g x x =，则（）A ．()f x 与()g x 的值域相同B ．()f x 与()g x 的最小正周期相同C ．曲线()y f x =与()y g x =有相同的对称轴D ．曲线()y f x =与()y g x =有相同的对称中心10．如图，现有一个底面直径为10cm ，高为25cm 的圆锥形容器，已知此刻容器内液体的高度为15cm ，忽略容器的厚度，则（）A ．此刻容器内液体的体积与容器的容积的比值为35B ．容器内液体倒去一半后，容器内液体的高度为cm2C ．当容器内液体的高度增加5cm 时，需要增加的液体的体积为3185πcm 3D ．当容器内沉入一个棱长为11．已知抛物线2:4E y x =的焦点为F ，过点F 且斜率为的直线与E 交于A ，B 两点，其中点A 在第一象限．若动点P 在E 的准线上，则（）A ．AP BP ⋅的最小值为0B ．当PAB △为等腰三角形时，点PC ．当PAB △的重心在x 轴上时，PAB △的面积为924D ．当PAB △为钝角三角形时，点P 的纵坐标的取值范围为,,84⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．若()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2f x x x =-+，则(2)f -=______．13．已知A ，B ，C ，D 四点都在球O 的球面上，且A ，B ，C 三点所在平面经过球心，AB =π3ACB ∠=，则点D 到平面ABC 的距离的最大值为______，球O 的表面积为______．14．若x ，y ，z 均为正数，且2(2)1x x y z +=，则83x yz 的最大值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数321()43f x x ax x =+-．（1）当1a =-时，求曲线()y f x =在点(3,(3))f 处的切线方程．（2）试问是否存在实数a ，使得()f x 在[]1,a 上单调递增？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由．16．（15分）贵妃杏是河南省灵宝市黄河沿岸地区的一种水果，其果实个大似鹅蛋，外表呈橙黄色，阳面有晕．贵妃杏口感甜美，肉质实心鲜嫩多汁，营养丰富，是河南省的知名特产之一．已知该地区某种植园成熟的贵妃杏（按个计算）的质量M （单位：克）服从正态分布()2,N μσ，且(96106)0.7P M ≤≤=，(9496)0.1P M ≤≤=．从该种植园成熟的贵妃杏中选取了10个，它们的质量（单位：克）为101，102，100，103，99，98，100，99，97，101，这10个贵妃杏的平均质量（单位：克）恰等于μ克．（1）求μ．（2）求(100104)P M <≤．（3）甲和乙都从该种植园成熟的贵妃杏中随机选取1个，若选取的贵妃杏的质量大于100克且不大于104克，则赠送1个贵妃杏；若选取的贵妃杏的质量大于104克，则赠送2个贵妃杏．记甲和乙获赠贵妃杏的总个数为X ，求X 的分布列与数学期望．17．（15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面,ABCD BC ∥平面,PAD BC AB ⊥．（1）证明：平面PAD ⊥平面PAB ．（2）若AD AB =，PA BC =，且异面直线PD 与BC 所成角的正切值为32，求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的正弦值．18．（17分）已知点()11,0F -，2(1,0)F ，动点M 满足12123MF MF F F +=，动点M 的轨迹为记为E ．（1）判断E 与圆22:8O x y +=的位置关系并说明理由．（2）若P 为E 上一点，且点P 到x 轴的距离(0,1)d ∈，求12PF F △内切圆的半径的取值范围．（3）若直线:(1)l y k x =-与E 交于C ，D 两点，1A ，2A 分别为E 的左、右顶点，设直线1AC 的斜率为()110k k ≠，直线2A D 的斜率为()220k k ≠，试问122212k k k k +是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．19．（17分）在n 个数码1，2，…，(,2)n n n ∈≥N 构成的一个排列12n j j j 中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序，这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为()12n j j j τ ，例如，(12)0τ=，(4132)4τ=．（1）比较()613245τ与(15432)τ的大小；（2）设数列{}n a 满足()211(22)(15432)2n n n na n a n n τ++-+=+，12a =，求{}n a 的通项公式；（3）设排列122(,5)n j j j n n ∈≥N 满足()211,2,,10,29,28,,2n n n n i j i i =+-=-- ，()11,12,,210n i j i i ==- ，()122n n b j j j τ= ，21020n n b c +=，证明：56n c c c +++≥ 3840(4)[(214)ln 2124]2402nn n --++-．江西省10月份高三联考数学参考答案1．C 依题意可得{2,3,4,5,6}B =，则{2,3}A B = ．2．D由49x =，得()()22330x x+-=，得x =或x =3．A由题意得2m >>，解得3m >．4．A 因为cos()cos cos sin sin 2m αβαβαβ-=+=，cos()cos cos sin sin 2n αβαβαβ+=-=，所以cos cos m n αβ=+，sin sin m n αβ=-，所以sin sin tan tan cos cos m nm nαβαβαβ-==+．5．B2()(61)e x f x x '=+，令()0f x '<，得16x <-，令()0f x '>，得16x >-，所以2()(31)e xf x x =-的最小值为11331131e e 622f --⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．6．C 因为1a = ，2b = ，3c = ，π,3a b 〈〉=，所以a b +=== a b + 在c 方向上的投影向量为()||||a b c c c c +⋅⋅=2π||||cos 3||926a b c c c c c +==⨯ ．7．B将6人分成4组，分配方案有两种：1，1，2，2和1，1，1，3．那么至少有2人选择南昌的选法种数为22133364263322C C C C A 110A 660A ⎛⎫+== ⎪⎝⎭．8．D令1y =，得(1)()(1)22()23x x f x f x f f x +=+++=++，则(1)()23xf x f x +-=+，则2999(2)(1)23,(3)(2)23,,(1000)(999)23f f f f f f -=+-=+-=+ ，将以上各式相加得()9992999212(1000)(1)22239993(10001)12f f --=++++⨯=+⨯-- 100022995=+，所以10001000(1000)22995(1)22996f f =++=+．9．ABC()sin 2[0,1]f x x =∈，1cos 4()[0,1]2xg x +=∈，则()f x 与()g x 的值域相同，A 正确．()f x与()g x 的最小正周期均为2ππ42=，B 正确．曲线()y f x =与()y g x =的对称轴方程均为π()4k x k =∈Z ，C 正确．曲线()y f x =没有对称中心，曲线()y g x =有对称中心，D错误．10．BCD 此刻容器内液体的体积与容器的容积的比值为3152725125⎛⎫= ⎪⎝⎭，A 错误．设容器内液体倒去一半后液体的高度为cm h ，则31152h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得2h =，B 正确．因为15103252⨯=，155104252+⨯=，所以当容器内液体的高度增加5cm 时，需要增加的液体的体积为π53⨯⨯()223185π3344cm 3+⨯+=，C 正的正方体铁块时，设容器内液体的高度为cm H，体积233π31546πcm 3V =⨯⨯+=，则346π45π15H ⎛⎫= ⎪⎝⎭，15H ===，D 正确．11．AC依题意可得(1,0)F ，直线AB的方程为1)y x =-，代入24y x =，消去y 得22520x x -+=，解得12x =，212x =，因为点A在第一象限，所以(2,A，1,2B ⎛ ⎝．E 的准线方程为1x =-，设(1,)P m -，则(3,AP m =--，3,2BP m ⎛=-+ ⎝，所以2294022AP BP m m ⎛⎫⋅=+--=-≥ ⎪ ⎪⎝⎭ ，A 正确．当PAB △为等腰三角形时，要使得点P 的纵坐标最大，则AB AP =，即1222++=，且m >，解得2m +=，B 错误．PAB △的重心坐标为1212,33m ⎛⎫+- ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭，即1,23m ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，当PAB △的重心在x 轴上时，203m+=，得m PAB =△的面积为111224⎛⎫⨯+⨯=⎪⎝⎭，C 正确．当A ，B ，P三点共线时，m =-由0AP BP ⋅≥ ，得APB ∠为锐角或直角，当ABP ∠为直角或BAP ∠为直角时，0AB BP ⋅= 或0AB AP ⋅= ，得8m =-或4m =，当PAB △为钝角三角形时，点P 的纵坐标的取值范围为(,8⎛⎫-∞--- ⎪ ⎪⎝⎭,4⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，D 错误．12．－2因为(2)02022f =+=+=，所以(2)(2)2f f -=-=-．13．4；64π设球O 的半径为R ，由正弦定理得28sin ABR ACB==∠，则4R =，则点D 到平面ABC 的距离的最大值为4，球O 的表面积为24π64πR =．14．127（方法一）由2(2)1x x y z +=，得3221x z x yz +=，不妨令32a x z =，2b x yz =，0a >，0b >，则2834a b x yz =，且1a b +=，所以283(1)4a a x yz -=．令2(1)()(01)4a a f a a -=<<，则(23)()4a a f a -'=，令()0f a '>，得20,3a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，令()0f a '<，得2,13a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以max 21()327f a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，即83x yz 的最大值为127．（方法二）由2(2)1x x y z +=，得3321x z x z x yz ++=．由,,0)3a b c a b c ++≥>，得1≥则83127x yz ≤，当且仅当32x z x yz =，即x y =时，等号成立，故83x yz 的最大值为127．15．解：（1）当1a =-时，321()43f x x x x =--，则2()24f x x x '=--，所以(3)1f '=-，因为(3)12f =-，所以曲线()y f x =在点(3,(3))f 处的切线方程为12(3)y x +=--，即9y x =--（或90x y ++=）．（2）假设存在实数a ，使得()f x 在[]1,a 上单调递增，则2()240f x x ax '=+-≥对[1,]x a ∈恒成立，即22xa x ≥-对[1,]x a ∈恒成立．当[1,]x a ∈时，22x y x =-为增函数，则max 22132122x x ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，所以32a ≥，又1a >，所以a 的取值范围为3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．16．解：（1）1011021001039998100999710110010μ+++++++++==．（2）因为100μ=，所以(104106)(9496)0.1P M P M ≤≤=≤≤=，所以0.70.1(100104)0.32P M -<≤==．（3）设1人获赠贵妃杏的个数为Y ，则(0)0.5P Y ==，(1)0.3P Y ==，(2)0.2P Y ==．依题意可得X 的可能取值为0，1，2，3，4，(0)0.50.50.25P X ==⨯=，(1)0.50.320.3P X ==⨯⨯=2(2)0.30.50.220.29P X ==+⨯⨯=，(3)0.30.220.12,(4)0.20.20.04P X P X ==⨯⨯===⨯=则X 的分布列为X 01234P0.250.30.290.120.04所以()10.320.2930.1240.04 1.4E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．17．（1）证明：PA ⊥ 底面ABCD ，PA BC ∴⊥．BC AB ⊥ ，PA AB A = ，BC ∴⊥平面PAB .BC ∥ 平面PAD ，平面PAD 平面ABCD AD =，BC AD ∴∥，AD ∴⊥平面PAB ．又AD ⊂平面,PAD ∴平面PAD ⊥平面PAB .（2）解：BC AD ∥ ，∴直线PD 与直线BC 所成的角为PDA ∠．PA ⊥ 底面ABCD ，3,tan 2PA PA AD PDA AD ∴⊥∴∠==，即PA =32AD ．设AD 为2个单位长度，以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0),(0,2,0)A D ，(2,3,0)C ，(0,0,3)P ，(2,1,0)CD ∴=-- ，(0,2,3)DP =-设平面PCD 的法向量为(,,)n x y z = ，则20,230,n CD x y n DP y z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩取3x =-，则6,4y z ==，得(3,6,4)n =-．易知平面PAB 的一个法向量为(0,2,0)AD =，则cos ,AD 〈 66161||||261AD n n AD n ⋅〉===⨯．故平面PAB 与平面PCD 所成二面角的正弦值为56161．18．解：（1）因为12121236MF MF F F F F +==>，所以E 是以1F ，2F 为焦点，且长轴长为6的椭圆．设E 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，则26a =，可得3a =，又1c =，所以2228b a c =-=，联立22198x y +=与228x y +=，得0x =，2y =±，所以E 与圆22:8O x y +=相切．（2）12PF F △的周长1212628l PF PF F F =++=+=，12PF F △的面积121(0,1)2S F F d d =⋅=∈，所以12PF F △内切圆的半径2110,44S r d l ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭，故12PF F △内切圆的半径的取值范围为10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭．（3）联立221, 98(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得()()22228918980k x k x k +-+-=，易知0∆>，且21221889k x x k +=+，()21229889k x x k -=+．设()()1122,,C x y D x y ，则121212,33y yk k x x ==+-，所以()()()()()()1212112122212112123133331333y x k x x k x x x x k y x k x x x x x x -----+===+-+-+-．（方法一）由21221889k x x k +=+，()21229889k x x k-=+，得()121259x x x x =+-，所以()()1212112212121259332461593348122x x x x k x x k x x x x x x +---++-===+--+-+-．（方法二）因为()()12122121212232343x x x x x k k x x x x x -+++=-++-，所以()()()()()()22222222221222222222229898543895423289898998981838918434898989k k k k k x x k k k k k k k k k k x xk kk ---++-++++++==----+-+-++++2222221848218936962489k x k k x k--++==--++．所以1222121221125k k k k k k k k ==++，故122212k k k k +为定值，且定值为25．19．（1）解：在排列613245中，与6构成逆序的有5个，与3构成逆序的有1个，与1，2，4，5构成逆序的均有0个，所以(613245)516τ=+=；在排列15432中，与5构成逆序的有3个，与4构成逆序的有2个，与3构成逆序的有1个，与1，2构成逆序的均有0个，所以(15432)3216τ=++=．故(613245)(15432)ττ=．（2）解：由（1）知()211(22)62n n n na n a n n ++-+=+，所以()()12121(22)622n nn n na n a nn nn ++++-=++，即116(1)22n n n n a a n n ++-=+⋅．因为12a =，所以数列2n n a n ⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭是首项为1，公差为6的等差数列，所以16(1)652n n a n n n =+-=-⋅，则()2652n n a n n =-⋅．（3）证明：因为()211,2,,10,29,28,,2n n n n i j i i =+-=-- ，所以在排列122n j j j 中，排在前面的10个数依次为2n ，21n -，22n -，…，29n -，排在后面的10个数依次为10，9，8，…，1，所以()()1222122210(9810)n n n nj j j τ=-+-++-++++++ (220)10101010n -+++ 个所以()()2122210(9810)10220202210n n n n n n b =-+-++-++++++-=⨯- ，则210220n n n b c +==．设函数3840()4ln (32)f x x x x x =+-≥，则22223840443840(60)(64)()1x x x x f x x x x x --+-'=--==，当3264x ≤<时，()0f x '<，当64x >时，()0f x '>，所以min 3840()(64)644ln 6412424ln 264f x f ==+-=-，所以38404ln 12424ln 2x x x +-≥-，当且仅当64x =时，等号成立．取2(5)n x n =≥，则384024ln 212424ln 22n n n +-≥-，即384024ln 212424ln 2(5)2m n n n ≥-+-≥所以56561114ln 2(56)3840(12424ln 2)(4)222n n c c c n n ⎛⎫+++≥⨯+++-++++--⎪⎝⎭，即515611222(5)(4)ln 23840(12424ln 2)(4)112n n c c c n n n +-+++≥+--⨯+--- 3840(4)[(214)ln 2124]2402n n n =--++-．。

2024-2025学年贵州省金太阳联考高三上学期10月考数学试题及答案

高三联考数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}045,ln A xx B x y x =-==∣∣……，则A B ⋂=（）A.[]0,4B.(]0,1C.(]0,4D.[]0,12.某同学记录了当地2月最后8天每天的最低气温（单位：C ），分别为6,8,6,10,6,5,9,11，则该组数据的第60百分位数为（）A.6B.7C.8D.93.已知焦点在y 轴上的椭圆()222:104x y C m m+=>的焦距为2，则其离心率为（）D.4.已知()3sin2,0,π4αα=-∈，则sin cos αα-=（）A.12B.12- D.5.已知圆台甲､乙的上底面半径均为r ，下底面半径均为3r ，圆台甲､乙的母线长分别为3,4r r ，则圆台甲与乙的体积之比为（）6.已知平面向量,a b 均为非零向量，则“a ∥b ”是“a b b a ++= ”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.已知0a >且1a ≠，若函数()1,0,log 1,a x a f x x x x a⎧<⎪=⎨⎪+>⎩…的值域为R ，则a 的取值范围是（）A.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ B.1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C.(]1,2 D.[)2,∞+8.已知函数()sin2cos2f x x a x =+的图象关于直线π12x =对称，则当[]0,2πx ∈时，曲线()y f x =与cos y x =的交点个数为（）A.3B.4C.5D.6二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数z 满足13i 3i z =+-，则（）A.10z =B.86iz =-C.z 的虚部为8D.z 在复平面内对应的点位于第一象限10.已知F 是抛物线2:4C y x =的焦点，l 是C 的准线，点N 是C 上一点且位于第一象限，直线FN 与圆22:670A x y x +-+=相切于点E ，点E 在线段FN 上，过点N 作l 的垂线，垂足为P ，则（）A.EF =B.直线FN 的方程为10x y --=C.4NF =+D.PFN的面积为6+11.已知奇函数()f x 的定义域为R ，其导函数为()f x '，若()()222f x f x x =-+-，且()32f =，则（）A.()56f -=-B.()()4f x f x +=C.()101101f =' D.1001()5050i f i ==∑三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知等比数列{}n a 的公比不为1，且324,,a a a 成等差数列，则数列{}n a 的公比为__________.13.有红色､黄色2套卡片，每套3张，分别标有字母A ，B ，C ，若从这6张卡片中随机抽取4张，这4张卡片的字母恰有两个是相同的，则不同的取法种数为__________.14.若直线2y kx =-与曲线()2e xy x =-有3个交点，则k 的取值范围为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos cos cos 0c C a B b A ++=.（1）求C ；（2）若2a c b +=，求cos A .16.（15分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC 的等边三角形，111π2,4AA B BC B BA ∠∠===.（1）证明：1AC BB ⊥.（2）求平面ABC 与平面1ACC 夹角的余弦值.17.（15分）已知甲､乙两人参加某档知识竞赛节目，规则如下：甲､乙两人以抢答的方式答题，抢到并回答正确得1分，答错则对方得1分，甲､乙两人初始分均为0分，答题过程中当一人比另一人的得分多2分时，答题结束，且分高者获胜，若甲､乙两人总共答完5题时仍未分出胜负，则答题直接结束，且分高者获胜.已知甲､乙两人每次抢到题的概率都为12，甲､乙两人答对每道题的概率分别为35,412，每道题两人答对与否相互独立，且每题都有人抢答.（1）求第一题结束时甲获得1分的概率；（2）记X 表示知识竞赛结束时，甲､乙两人总共答题的数量，求X 的分布列与期望.18.（17分）已知y =是双曲线()2222:10x y C a b a b-=>>的一条渐近线，点()2,2在C 上.（1）求C 的方程.（2）已知直线l 的斜率存在且不经过原点，l 与C 交于,A B 两点，AB 的中点在直线2y x =上.（i ）证明：l 的斜率为定值.（ii ）若()1,1,M MAB ，求l 的方程.19.（17分）定义：对于函数()(),f x g x ，若()()()(),,0,,a b c f a f b g c ∞∀∈++>，则称“()()f x g x -”为三角形函数.（1）已知函数()ln f x x x =-，若()g x 为二次函数，且()()2g x g x -=，写出一个()g x ，使得“()()f x g x -”为三角形函数；（2）已知函数()()2,0,22x x t f x x ∞+=∈++，若“()()f x f x -”为三角形函数，求实数t 的取值范围；（3）若函数()()()ln ,ln 1ln f x x x g x x x x x =-=+-+，证明：“()()f x g x -”为三角形函数.（参考数据：3ln 0.4052≈）高三联考数学参考答案1.C {}[]{}()0451,4,ln 0,A xx B x y x ∞=-=-===+∣∣……，则(]0,4A B ⋂=.2.C 将这8个数据从小到大排列为5,6,6,6,8,9,10,11，因为60%8 4.8⨯=，所以该组数据的第60百分位数为8.3.B 因为椭圆C 的焦点在y 轴上，所以22415m =+=，故椭圆C的离心率e ==.4.C 因为()0,πα∈，且3sin22sin cos 04ααα==-<，所以π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin cos αα->0.因为27(sin cos )12sin cos 4αααα-=-=，所以sin cos αα-=.5.A圆台甲的高为==，所以V h V h ====甲甲乙乙.6.B 由a b b a ++= 可得a b a b +=- ，平方可得22222||2||||||a a b b a a b b +⋅+=-+ ，解得a b a b ⋅=- ，所以,a b 反向.故“a ∥b ”是“a b b a ++= ”的必要不充分条件.7.B ()f x 在(]0,a 上的值域为1,a ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.因为函数()f x 的值域为R ，所以()log 1a f x x =+在(),a ∞+上的值域包含1,a ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭，则01a <<，且1log 1a a a +…，解得112a <…，所以a 的取值范围是1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭.8.B 由题可知()π06f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则2a a =+，解得a =()πsin22sin 23f x x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭.在坐标系中结合五点法画出()y f x =与cos y x =的图象，如图所示.由图可知，共有4个交点.9.ACD 由题可知()()213i 3i 38i 3i 68i z =+-=+-=+，则10,68i z z ===-，z 的虚部为8,z 在复平面内对应的点为()6,8，位于第一象限.故选ACD.10.BC 22670x y x +-+=可化为22(3)2x y -+=，所以圆心()3,0A.由题知焦点()1,0F，准线为直线1,x EF =-==A 错误.易知直线FN 的斜率存在，设直线FN 的方程为()1y k x =-，=，解得1k =±.因为切点E 在线段FN 上，所以1k =，故直线FN 的方程为10x y --=，B 正确.联立24,10,y x x y ⎧=⎨--=⎩可得2610x x -+=，所以3N x =+或3-（舍去），2134N y NF NP =+==++=+，C 正确.((1142822PFN N S NP y =⋅⋅=⨯+⨯+=+ ，D 错误.11.AD 因为()()222f x f x x =-+-，所以()()()22f x x f x x -=---.令()()g x f x x =-，则()()2g x g x =-，所以()g x 的图象关于直线1x =对称.因为()f x 与y x =都为奇函数，所以()g x 也是奇函数，则()g x 是以4为周期的周期函数，所以()()4g x g x +=.由()32f =，可得()()3331g f =-=-，所以()()531g g -==-，则()551f -+=-，解得()56f -=-，A 正确.()()()()44444f x g x x g x x f x +=+++=++=+，B 错误.由()()222f x f x x =-+-，求导可得()()22f x f x '=--+'，所以()()112f f '=-+'，即()11f '=.由()()44f x f x +=+，求导可得()()4f x f x ='+'，所以()()10111f f ='='，C 错误.100100100111()[()]5050i i i f i g i i i ===∑=∑+=∑=D 正确.12.2- 设等比数列{}n a 的公比为q ，由324,,a a a 成等差数列，得3422a a a +=，整理得220q q +-=，则2q =-.13.12 从这6张卡片中随机抽取4张，这4张卡片的字母恰有两个相同的情况共有1232C C =3种，字母不相同的2张卡片均有2种选择，所以不同的取法种数为23212⨯=.14.()1,0- 由()2e x y x =-，可得()1e x y x '=-，则()2e x y x =-在(),1∞-上单调递减，在()1,∞+上单调递增，且当2x <时，()0f x <.直线2y kx =-恒过点()0,2-，当直线2y kx =-与曲线()2e xy x =-相切于点()00,x y 时，()()000002e 2,1e ,x x x kx x k ⎧-=-⎪⎨-=⎪⎩即()020022e 2x x x -+=.令()()222e x f x x x =-+，则()2e 0x f x x ='…，所以()f x 在R 上单调递增.因为()02f =，所以00,1x k ==-，结合图象（图略）可知，若直线2y kx =-与曲线(2)e x y x =-有3个交点，则k 的取值范围为()1,0-.15.解：（1）由正弦定理可得2sin cos sin cos sin cos 0C C A B B A ++=，所以()2sin cos sin 0,2sin cos sin 0C C A B C C C ++=+=，得1cos 2C =-.因为()0,πC ∈，所以2π3C =.（2）由余弦定理可得222222cos c a b ab C a b ab =+-=++，因为2a c b +=，所以222(2)b a a b ab -=++，化简可得53b a =，则723c b a a =-=，所以222222571333cos 57214233a a abc a A bc a a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭===⨯⨯.16.（1）证明：过A 作1BB 的垂线，垂足为O ，连接OC .因为ABC 为等边三角形，所以AB BC =.因为11π,4BO BO B BC B BA ∠∠===，所以BOA BOC ≌，则1,AO CO BO CO ==⊥.又CO AO O ⋂=，所以1BB ⊥平面AOC ，因为AC ⊂平面AOC ，所以1AC BB ⊥.（2）解：由（1）可知1AO OC ==，所以222AO CO AC +=，故AO CO ⊥，所以,,OB OA OC 两两垂直，则以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.()()()()10,0,1,1,0,0,0,1,0,2,1,0A B C C -，则1CC =(2,0,0),(0,1,1),(1,1,0),(1,0,1)CA BC AB -=-=-=- .设平面ABC 的法向量为(),,m x y z =，则0,0,m AB m BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即0,0,x z x y -=⎧⎨-+=⎩令1x =，得()1,1,1m = .设平面1ACC 的法向量为(),,n a b c = ，则10,0,n CA n CC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即0,20,b c a -+=⎧⎨-=⎩令1b =，得()0,1,1n =.cos ,m n m n m n ⋅<>== ，所以平面ABC 与平面1ACC.17.解：（1）第一题结束时甲获得1分的概率为131521242123⎛⎫⨯+⨯-= ⎪⎝⎭.（2）由（1）知，在每道题的抢答中，甲､乙得1分的概率分别为21,33，X 的可能取值为2,4,5.()22115233339P X ==⨯+⨯=，()12212211204C 33333381P X ⎛⎫==⨯⨯⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭，()()()16512481P X P X P X ==-=-==，()520162502459818181E X =⨯+⨯+⨯=.18.（1）解：因为y =是双曲线2222:1x y C a b-=的一条渐近线，所以b a =，因为点()2,2在C 上，所以22441a b-=，解得222,4a b ==，即C 的方程为22124x y -=.（2）（i ）证明：设():0l y kx t t =+≠，由22,1,24y kx t x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得()2222240k x ktx t ----=，由题意得()22220,Δ8240k t k -≠=-+>.设()()1122,,,,A x y B x y AB 中点的坐标为()00,x y ，则12221222,24,2kt x x k t x x k ⎧+=⎪⎪-⎨+⎪=-⎪-⎩所以12000222,222x x kt t x y kx t k k +===+=--.因为AB 的中点在直线2y x =上，所以002y x =，即222222t kt k k =--，因为0t ≠，所以1k =.（ii ）解：2AB x =-==点M 到l 的距离d所以12MAB S AB d =⋅== ，解得1t =±，所以l 的方程为10x y -±=.19.（1）解：由()ln f x x x =-，可得()11f x x'=-，令()0f x '>，解得1x >，令()0f x '<，解得01x <<，可知()f x 在()0,1上单调递减，在()1,∞+上单调递增，所以()f x 的最小值为()11f =.因为“()()f x g x -”为三角形函数，所以()()0,,2c g c ∞∀∈+<.因为()()2g x g x -=，所以()g x 的图象关于直线1x =对称，又()g x 为二次函数，所以()22g x x x =-+.（答案不唯一，只需满足()22g x ax ax c =-+，且2,0c a a -<<即可）（2）解：()222221222222x x x x x t t t f x +++--===++++.当20t -=，即2t =时，()1f x =，此时()()()1f a f b f c ===，满足()()()f a f b f c +>，符合题意；当20t ->，即2t >时，()f x 是()0,∞+上的减函数，所以()f x 的值域为11,3t +⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为()()()(),,0,,a b c f a f b f c ∞∀∈++>，所以1113t ++…，得25t <…；当20t -<，即2t <时，()f x 是()0,∞+上的增函数，所以()f x 的值域为1,13t +⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为()()()(),,0,,a b c f a f b f c ∞∀∈++>，所以11133t t +++…，得1 2.2t <…综上，实数t 的取值范围是1,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（3）证明：由题可知()1ln 1g x x x =-+'.设()()1ln 1h x g x x x ==-+'，则()2110(1)h x x x =--<+'在()0,∞+上恒成立，所以()g x '在()0,∞+上单调递减.又()132310,ln 0.40.40502252g g ⎛⎫=>='-≈-⎪⎝⎭'< ，所以存在031,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '=，即001ln 1x x =+①当()00,x x ∈时，()0g x '>，则()g x 在()00,x 上单调递增；当()0,x x ∞∈+时，()0g x '<，则()g x 在()0,x ∞+上单调递减.故当0x x =时，()g x 取得唯一极大值，也是最大值，令()g x 的最大值为M ，则()()00000ln 1ln M g x x x x x ==+-+.将①式代入上式，可得()()()200000000ln 1ln 111x x M g x x x x x x ==+-+=++++.令()()23ln 1,1,12x u x x x x ⎛⎫=++∈ ⎪+⎝⎭，则由()221201(1)x x u x x x +=+>++'，可知()u x 在31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()()()()20009355994ln 1ln ln 12,25122210102x M x u g c f a f b x ⎛⎫=++<=+=+<+<<+ ⎪+⎝⎭…成立.故“()()f x g x -”为三角形函数.。

2021年山东各地高中模试题汇编——三角函数与解三角形(含答案解析)

一、单项选择1.（济南一模1）已知α∈(0,π),若 cos α= 三角函数与解三角形-21，则tan α的值为 A.3 B. -32.（2021•淄博一模4）已知f （x ）＝cos x （cos x +√3sin x ）在区间[﹣π3，m ]上的最大值是32，则实数m 的最小值是（） A ．π12B ．π3C ．−π12D ．π63.（日照一模4）明朝早期，郑和七下西洋过程中，将中国古代天体测量方面所取得的成就创造性地应用于航海，形成了一套先进的航海技术——“过洋牵星术”，简单地说，就是通过观测不同季节、时辰的日月星辰在天空运行的位置和测量星辰在海面以上的高度来判断水位.其采用的主要工具是牵星板，其由12块正方形模板组成，最小的一块边长约2厘米（称一指），木板的长度从小到大依次成等差数列，最大的边长约24厘米（称十二指）.观测时，将木板立起，一手拿着木板，手臂伸直，眼睛到木板的距离大约为72厘米，使牵星板与海平面垂直，让板的下缘与海平面重合，上边缘对着所观测的星辰依高低不同替换、调整木板，当被测星辰落在木板上边缘时所用的是几指板，观测的星辰离海平面的高度就是几指，然后就可以推算出船在海中的地理纬度。

如图所示，若在一次观测中，所用的牵星板为六指板，则sin2α约为A. 1235B. 1237C. 16D. 134.（德州一模5）已知sin α＝sin （α+）+，则cos （α+）的值为（）A ．B ．C ．D ．5.（青岛一模6）已知角θ终边上有一点P （−ππtan43,2sin(176)），则cos θ的值为（） A.12 B.−12 C.−32 D.326.日照一模7）将函数y=sinx 的图象向左平移π2个单位，得到函数y=f(x)的图象，则下列说法正确的是 A. y=f(x)是奇函数B. y=f(x)的周期为πC. y=f(x)的图象关于点(−π2,0)对称D. y=f(x)的图象关于直线x=π2对称7.（滨州一模8）将函数f （x ）＝sin2x +2cos 2x ﹣1的图象向右平移个单位长度后得到函数g （x ）的图像，对于满足|f （x 1）﹣g （x 2）|＝4的x 1，x 2，当|x 1﹣x 2|最小值为时，φ＝（）A ．B ．C ．D ．二、多项选择8.（青岛一模10）已知向量a →=(2sin 4x 2,cos 4x2−f(x))，b →=−(1,12)，若与a b →→共线，则下列说法正确的是（）A.将f x ()的图像向左平移π3个单位得到函数y x π=++14cos(23)34的图像 B.函数f x ()的最小正周期为π C.直线x =π32是f x ()图像的一条对称轴 D.函数f x ()在ππ-2-4（，）上单调递减 9.（济宁一模10）将函数f (x )=sin(2x −2π3)的图象向左平移π6个单位长度后得到函数g(x)的图象,则下列说法正确的是 A.g (π4)=√32B.(π6,0)是函数g(x)图象的一个对称中心 C.函数g(x)在[0,π4]上单调递增D.函数g(x)在[−π6,π3]上的值域是[−√32,√32] 10.（聊城一模11）若函数，在⎝⎭⎪=−+>⎛⎫ωωππf x x 32sin 100][)()(上恰有三个零点，则 A ．ω的取值范围为，⎣⎭⎢⎪⎡⎫62137 B ．，在πf x 0][)(上恰有两个极大值点C ．，在⎝⎭ ⎪⎛⎫πf x 20)(上无极小值点 D ．，在⎣⎦⎢⎥⎡⎤πf x 40)(上单调递增11.（德州一模10）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，将函数f （x ）的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数g （x ）的图象，则下列关于函数g （x ）的说法正确的是（）A ．g （x ）的最小正周期为B ．g （x ）在区间[，]上单调递增C ．g （x ）的图象关于直线x ＝对称D ．g （x ）的图象关于点（，0）成中心对称12．（2021•临沂一模11）函数f （x ）＝2√3sin x cos x ﹣2sin 2x +1，下列结论正确的是（） A ．f （x ）在区间[−π3，π6]上单调递增B ．f （x ）的图象关于点（π6，0）成中心对称C ．将f （x ）的图象向左平移5π12个单位后与y ＝﹣2sin2x 的图象重合D ．若x 1﹣x 2＝π，则f （x 1）＝f （x 2）13.（烟台一模11）已知函数f(x)=2|sinx|+|cosx|-1，则 A.f(x)在[0,π2]上单调递增B.直线x =π2是f(x)图象的一条对称轴 C.方程f(x)=1在[0,π]上有三个实根D.f(x)的最小值为-114.（菏泽一模11）已知函数为函数的一条对称轴，且．若f （x ）在上单调，则ω的取值可以是（）A ．B ．C ．D ．15.（泰安一模12）已知函数y ＝sin （ωx +φ）与y ＝cos （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜）在x ∈[0，]的图象恰有三个不同的交点P ，M ，N ．若△PMN 为直角三角形，则（） A ．ω＝πB ．△PMN 的面积S ＝πC ．φ∈[﹣，]D ．两函数图象必在x ＝处有交点三、填空16.（济宁一模13）已知sin (α−π6)=√23，则cos(2α−π3)= .17.（泰安一模13）已知tan α＝﹣，则1﹣sin2α＝．18.（烟台一模13）已知α∈(0,π2)，若sin (π2+2α)=13，则tan α的值为 . 19.（聊城一模13）已知⎝⎭ ⎪−=−⎛⎫πx 105cos 4，则⎝⎭⎪+=⎛⎫πx 10sin 23_________． 20．（2021•临沂一模14）曲线y ＝lnx −2x 在x ＝1处的切线的倾斜角为α，则sin （α+π2）＝．21.（潍坊一模16）某市为表彰在脱贫攻坚工作中做出突出贡献的先进单位，制作了一批奖杯，奖杯的剖面图形如图所示，其中扇形OAB 的半径为10，∠PBA ＝∠QAB ＝60°，AQ ＝QP ＝PB ，若按此方案设计，工艺制造厂发现，当OP 最长时，该奖杯比较美观，此时∠AOB ＝．四、解答22.（济宁一模17）已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且b cos C +c cos B ＝2a cos A ．（1）求角A ；（2）若a ＝2，△ABC 的面积为2，求b +c 的值．23.（济南一模17）在ΔABC 中，已知角A,B,C 所对的边分别是.（1)求角A 的值；（2)求ΔABC 的面积．24.（日照一模17）在△ABC 中a ,b ,c 分别为内角A,B,C 所对的边，若2a sin A =(2sin B +sin C)b +(2sin C +sin B)c(1)求A 的大小(2)求sinB+sinC 的最大值.25.（聊城一模17）在①=a 4，②∆ABC 的周长为9，③∆ABC 的外接圆直径为15，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并做出解答．已知a b c ,,分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，且==−C A B sin 34,cos sin 21，________，求△ABC 的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．26.（菏泽一模17）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＝1，面积．再从以下两个条件中选择其中一个作为已知，求三角形的周长．（1）；（2）B ＝C ．27.（滨州一模18）在平面四边形ABCD中，AB＝4，AD＝，对角线AC与BD交于点E，E是BD的中点，且＝2．（1）若∠ABD＝，求BC的长；（2）若AC＝3，求cos∠BAD．28.（烟台一模18）将函数f(x)=sin x+√3cos x图像上所有点向右平移π6个单位长度，然后横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），得到函数g(x)的图象.（1）求函数g(x)的解析式及单调递增区间；（2）在ΔABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若sin(π3−B)cos(π6+B)=14，c=g(π6),b=2√3，求ΔABC的面积.29.（泰安一模18）已知函数f（x）＝sin x cos（x+）+cos2x．（1）求f（x）在[0，]上的最值；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f（）＝1，a＝2，△ABC的面积为，求sin B+sin C的值．30.（德州一模17）在①a sin C＝c sin（A+），②b＝a cos C+c sin A，③a cos B+b cos A＝2c cos A．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．问题：在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 外接圆面积为π，sin B ＝2sin C ，且_____，求△ABC 的面积．31.（2021•淄博一模17）在①a C c A πsin cos 6=−⎛⎝⎫⎭⎪②+=3sin 2sin B CA ③A A +=cos23cos 1这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形ABC 存在，求出其面积;若不存在，说明理由; 问题:是否存在三角形ABC,它的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且a=23，b+c=43， ? 注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.32.（潍坊一模18）在①函数=y f x ()的图象关于直线=πx 3对称，②函数=y f x ()的图象关于点P(π6，0)对称，③函数=y f x ()的图象经过点Q(π32，﹣1)这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答．问题：已知函数=+ωϕωϕf x x x ()sin cos cos sin (ω＞0，ϕ＜π2)最小正周期为π，且，判断函数f x ()在(π6，π2)上是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时的x 值；若不存在，说明理由．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．33.（2021•临沂一模17）在圆内接四边形ABCD 中，BC=4,∠B=2∠D,∠ACB=π12，求△ACD 面积的最大值。

2024届广东省各市高三一模好题汇编：解三角形(解析版)

解三角形题型01 正、余弦定理题型02 三角形面积公式题型03 解三角形实例应用题型04 解三角形在几何中的应用题型05 解三角形有关最值问题题型01 正、余弦定理1(2024下·广东大湾区·校联考模拟预测)已知在△ABC中，AB=2,AC=1,cos A=56，则BC=()A.1B.52C.53D.153【答案】D 【解析】【详解】由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC cos A=22+12-2×2×1×56=53，所以BC=15 3．故选：D．2(2024下·广东·大联考)已知在△ABC中，AB=2,AC=1,cos A=56，则BC=()A.1B.52C.53D.153【答案】D 【解析】【详解】由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC cos A=22+12-2×2×1×56=53，所以BC=15 3．故选：D．3(2024下·广东·江门一模)在△ABC中，B=30°,b=2，c=22，则角A的大小为() A.45° B.135°或45° C.15° D.105°或15°【答案】D【解析】【详解】由题意知△ABC 中，B =30°,b =2，c =22，故b sin B =c sin C，即sin C =c sin B b =22×sin30°2=22，由于c >b ，故C >B =30°，则C =45°或135°，故A 的大小为180°-30°-45°=105°或180°-30°-135°=15°，故选：D4(2024下·广东·梅州市一模)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A =60°，b =10，则结合a 的值，下列解三角形有两解的为()A.a =8B.a =9C.a =10D.a =11【答案】B 【解析】【详解】由正弦定理可得，a sin A =b sin B ，所以sin B =b sin A a =10×32a =53a ，因为三角形有两解，所以sin B <1，且b >a ，因此由选项知，只有a =9符合.故选：B5(2024下·广东·广州市二中模拟)(多选)已知角A ，B ，C 是三角形ABC 的三个内角，下列结论一定成立的有()A.sin A +B =sin CB.A +B cos =C cosC.若sin A >sin B ，则A >BD.若A >B ，则sin A >sin B【答案】ACD【详解】A 选项，sin A +B =sin π-C =sin C ，选项A 正确；B 选项，A +B cos =π-C cos =C cos ，选项B 错误；在△ABC 中，由正弦定理得sin A >sin B a >b A >B ，故C 和D 正确.故选：ACD题型02 三角形面积公式6(2024下·广东东莞·六校联考)在△ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，且b sin A +B -c sinA +C2=0.(1)求B ；(2)若b =5,a +c =8，求△ABC 的面积.【答案】(1)B =π3(2)1334【详解】(1)因为b sin A +B -c sinA +C 2=0，所以sinB sinC -sin C cos B2=0.因为sin C ≠0，所以sin B =cos B2.因为0<B 2<π2，所以cos B 2≠0，所以由sin B =2sin B 2cos B 2，得sin B 2=12.因为0<B <π，所以B =π3.故答案为：B =π3.(2)由余弦定理知b 2=a 2+c 2-2ac cos B =(a +c )2-2ac -2ac cos B .因为b =5,a +c =8,B =π3，所以52=82-3ac ，所以ac =13，故△ABC 的面积S △ABC =12ac sin B =1334.故答案为：1334.7(2024下·广东深圳·模拟)已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,sin A -sin B +56π=233，且C =π6.(1)求sin B 的值；(2)若b =4，且B >π2，求△ABC 的面积.【答案】(1)sin B =23(2)23-5【详解】(1)∵A +B +C =π，∴由题意得sin B +π6-sin B +56π =233，∴32sin B +12cos B--32sin B +12cos B =233，解得sin B =23.(2)方法一：∵B >π2，由(1)可知cos B =-1-sin 2B =-53，在△ABC 中，由正弦定理，得c =b sin Csin B=3，∵sin A =sin B +C =sin B cos C +cos B sin C ，∴sin A =23-56，∴△ABC 的面积S =12bc sin A =23- 5.方法二：∵B >π2，由(1)可知cos B =-1-sin 2B =-53，在△ABC 中，由正弦定理，得c =b sin Csin B=3，在△ABC 中，由余弦定理，得cos C =a 2+b 2-c 22ab ，∴12=a 2+16-98a ，解得a =23±5，∵B >π2，∴b >a ，∴a =23-5，∴△ABC 的面积S =12bc sin A =23- 5.8(2024下·广东中山·一模)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2cos B +ab cos A =2c ．(1)求a ；(2)若A =2π3，且△ABC 的周长为2+5，求△ABC 的面积．【答案】(1)a =2；(2)34.【详解】(1)由题设a (a cos B +b cos A )=2c ，由正弦定理有a (sin A cos B +sin B cos A )=2sin C ，所以a sin (A +B )=2sin C ，而A +B =π-C ，故a sin C =2sin C ，又sin C >0，所以a =2.(2)由(1)及已知，有cos A =b 2+c 2-a 22bc =b 2+c 2-42bc =-12，可得b 2+c 2+bc =4，又a +b +c =2+5，即b +c =5，所以(b +c )2-bc =5-bc =4⇒bc =1，故S △ABC =12bc sin A =34.9(2024下·广东惠州·一模)在△ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ，且a sin A cos B +b sin A cos A =3a cos C ．(1)求角C 的大小；(2)若a =3，且AB ⋅AC=1，求△ABC 的面积．【答案】(1)C =π3(2)332【详解】(1)因为a sin A cos B +b sin A cos A =3a cos C ，所以根据正弦定理得sin A sin A cos B +sin A sin B cos A =3sin A cos C ，因为sin A ≠0，所以sin A cos B +sin B cos A =3cos C ，即sin A +B =3cos C ，即sin C =3cos C ．因为cos C ≠0，所以tan C =3．因为0<C <π，所以C =π3．(2)AB ⋅AC=bc cos A =1．因为a 2=b 2+c 2-2bc cos A ，所以b 2+c 2=9+2bc cos A =11①．因为c 2=a 2+b 2-2ab cos C ，所以b 2-c 2=2ab cos C -a 2=2×3×b ×cosπ3-32=3b -9②．联立①②可得2b 2-3b -2=0，解得b =2(负根舍去)，故△ABC 的面积为12ab sin C =12×3×2×32=332．题型03 解三角形实例应用10(2024下·广东清远·一模)小明在春节期间，预约了正月初五上午去美术馆欣赏油画，其中有一幅画吸引了众多游客驻足观赏，为保证观赏时可以有最大视角，警卫处的同志需要将警戒线控制在距墙多远处最合适呢？(单位：米，精确到小数点后两位)已知该画挂在墙上，其上沿在观赏者眼睛平视的上方3米处，其下沿在观赏者眼睛平视的上方1米处.()A.1.73B.1.41C.2.24D.2.45【答案】A【详解】如图，设观赏者的眼睛在点D 处，油画的上沿在点A 处，下沿在点B 处，点C 在线段AB 延长线上，且保持与点D 在同一水平线上，则∠ADB =θ即观赏时的视角.依题意AB =2,BC =1,AC ⊥DC ，不妨设DC =x ，则BD =x 2+1,AD =x 2+9，在△ABD 中，由余弦定理，cos θ=2x 2+62x 2+1⋅x 2+9=x 4+6x 2+9x 4+10x 2+9=1-4x 2x 4+10x 2+9=1-4x 2+9x2+10，因x >0，则x 2+9x2≥29=6，当且仅当x 4=9时，即x =3时等号成立，由x2+9x2≥6可得x2+9x2+10≥16，则0<4x2+9x2+10≤14，则cosθ=1-4x2+9x2+10≥32，因函数y=cos x在0,π2上单调递减，故得0≤θ≤π6，即最大视角为π6，此时观赏者距离油画的直线距离为3≈1.73.故选：A.11(2024下·广东肇庆·模拟)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86 (单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A ,B ,C 满足∠A C B =45°，∠A B C =60°．由C点测得B点的仰角为15°，BB 与CC 的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A B C 的高度差AA -CC 约为( )(3≈1.732).A.346B.373C.446D.473【答案】B【详解】过C作CH⊥BB ，过B作BD⊥AA ，故AA -CC =AA -BB -BH=AA -BB +100=AD+100，由于B点测得A点的仰角为45°，知△ADB为等腰直角三角形，所以AD=DB，所以AA -CC =DB+100=A B +100，因为∠BCH=15°，所以CH=C B =100 tan15°，在△A B C 中，∠C A B =180°-60°-45°=75°，由正弦定理得：A B sin45°=C B sin75°=100tan15°cos15°=100sin15°，而sin15°=sin 45°°-30° =sin45°cos30°-cos45°sin30°=6-24，所以A B =100×4×226-2=1003+1 ≈273，所以AA -CC =A B +100≈373，故选：B ．12(2024下·广东深圳·模拟预测)为了测量西藏被誉称为“阿里之巅”冈仁波齐山峰的高度，通常采用人工攀登的方式进行，测量人员从山脚开始，直到到达山顶分段测量过程中，已知竖立在B 点处的测量觇标高20米，攀登者们在A 处测得，到觇标底点B 和顶点C 的仰角分别为45°,75°，则A ,B 的高度差约为()A.7.32米B.7.07米C.27.32米D.30米【答案】A【详解】模型可简化为如上图，在Rt △ADC 中，∠BAD =45°,∠CAD =75°，所以BD tan45°×tan75°-BD =20，而tan75°=tan 45°+30° =tan45°+tan30°1-tan45°×tan30°=1+331-33=3+33-3，代入上式并化简可得BD =7.32米，故选：A .13(2024下·广东广州·模拟预测)湖南省衡阳市的来雁塔，始建于明万历十九年(1591年)，因鸿雁南北迁徙时常在境内停留而得名.1983年被湖南省人民政府公布为重点文物保护单位.为测量来雁塔的高度，因地理条件的限制，分别选择C点和一建筑物DE的楼顶E为测量观测点，已知点A为塔底，A,C,D在水平地面上，来雁塔AB和建筑物DE均垂直于地面(如图所示).测得CD=18m,AD=15m，在C点处测得E 点的仰角为30°，在E点处测得B点的仰角为60°，则来雁塔AB的高度约为( )(3≈1.732，精确到0.1m)A.35.0mB.36.4mC.38.4mD.39.6m【答案】B【详解】过点E作EF⊥AB，交AB于点F，在直角三角形△ECD中，因为∠ECD=30°，所以DE=CD⋅tan∠DCE=18×tan30°=63，在直角三角形△BEF中，因为∠BEF=60°，所以BF=EF⋅tan∠FEB=15×tan60°=153，则AB=BF+AF=BF+ED=153+63=213≈36.4m.故选：B.题型04解三角形在几何中的应用14(2024下·广东·百校联考)在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，且a sin C=c sin A+π3．(1)求角A的大小；(2)若b=2，c=3，D是边BC的中点，求AD的长．【答案】(1)π3；(2)192【解析】【小问1详解】在△ABC 中，由正弦定理及a sin C =c sin A +π3 ，得sin A sin C =sin C sin A +π3，而sin C >0，则sin A =sin A +π3 ，由0<A <π，知0<A <A +π3<4π3，因此A +π3=π-A ，解得A =π3，所以角A 的大小为π3.【小问2详解】由(1)知A =π3，由D 是边BC 的中点，得AD =12(AB +AC )，所以|AD |=12(AB +AC )2=12b 2+c 2+2bc cos A =1222+32+2×2×3×12=192.15(2024下·广东珠海·高三联考)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，点D 在边AC 上，且满足3sin A =tan ∠ABC cos C +sin C ，c sin C =3BD sin ∠BDC ．(1)求ba的值；(2)若AD =3DC ，求sin ∠ABD ．【解析】(1)方法1：如图，在△BCD 中，由正弦定理知BD sin C =BCsin ∠BDC，所以BD sin ∠BDC =a sin C ，所以c sin C =3a sin C ，因为C ∈0,π ，所以sin C ≠0，则c =3a ①，由3sin A =tan ∠ABC cos C +sin C ，则3sin A cos ∠ABC =sin ∠ABC cos C +sin C cos ∠ABC =sin A ，因为A ∈0,π ，所以sin A ≠0，则cos ∠ABC =13，在△ABC 中，由余弦定理知cos ∠ABC =a 2+c 2-b 22ac ，则a 2+c 2-b 2-23ac =0②，由①②ba=22．万法2：在△ABD 中，由正弦定理知BD sin A =ABsin ∠BDA，所以BD sin ∠BDA =c sin A ，又因为sin ∠BDA =sin ∠BDC ，所以sin C =3sin A ，由3sin A =tan ∠ABC cos C +sin C ，则tan ∠ABC cos C =0，因为tan ∠ABC ≠0，所以cos C =0，因为C ∈0,π ，所以C =π2由3sin A =tan ∠ABC cos C +sin C ，则3sin A cos ∠ABC =sin ∠ABC cos C +sin C cos ∠ABC =sin A ，因为A ∈0,π ，所以sin A ≠0，则cos ∠ABC =13，由正弦定理知b a =sin ∠ABC sin A =sin ∠ABC sin ∠ABC +C=tan ∠ABC ，因为cos ∠ABC =13，所以sin ∠ABC =223，则ba=22．(或：在6分点后，因为sin C =3sin A ，由正弦定理知c =3a ，所以ba =c 2-a 2a 2=22．)(2)方法1：因为AD =3DC ，所以AD =34b ，DC =14b ，在△BCD 中，由余弦定理知cos ∠BDC =BD 2+DC 2-BC22BD ⋅DC=BD 2+b4 2-a22BD ⋅b 4同理在△BAD 中，cos ∠BDA =BD 2+AD 2-AB22BD ⋅AD=BD 2+3b42-c 22BD ⋅3b 4，因为∠BDC +∠BDA =π，所以cos ∠BDC +cos ∠BDA =0，则4BD 2+3b 24-3a 2-c 2=0，由(1)知c =3a ，ba =22，所以BD =6a2，(注：若学生得到C =π2，则cos ∠BDC =CD BD，BD =BC 2+CD 2=6a2也能得分)在△BAD 中，由余弦定理知cos ∠ABD =BD 2+AB 2-AD22BD ⋅AB=6a 22+c 2-3b 4 226a 2 ⋅c=63，所以sin ∠ABD =33．方法2：因为AD =3DC ，所以AD =34b ，DC =14b ，所以S △ABD S △CBD =12AB ⋅BD sin ∠ABD 12BD ⋅AB sin ∠CBD =3sin ∠ABD sin ∠CBD ，又因为S △ABD S △CBD =AD CD=3，所以sin ∠ABD =sin ∠CBD ，因为∠ABD ，∠CBD 均为锐角，所以∠ABD =∠CBD ，则cos ∠ABC =cos 2∠ABD =1-2sin 2∠ABD ，所以sin ∠ABD =33．方法3：因为AD =3DC ，所以AD =34b ，DC =14b ，所以BD =34BC +14BA．所以BD =34BC 2+14BA2+2⋅34BC 14BA cos ∠ABC ，由(1)知c =3a ，b a =22，BD =62a ．在△BAD 中，由余弦定理知cos ∠ABD =BD 2+AB 2-AD 22BD ⋅AB =6a 2 2+c 2-3b 4 226a 2c =63，所以sin ∠ABD =33．题型05 解三角形有关最值问题16(2024下·广东·梅州市一模)已知△ABC 是锐角三角形，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，S 为△ABC 的面积，2S =b 2+c 2-a 2，则c b 的取值范围为()A.55,5 B.255,5 C.255,2 D.55,2【答案】A【解析】【详解】依题意，2S =bc sin A =b 2+c 2-a 2，sin A =2b 2+c 2-a 22bc=2cos A ,tan A =2，由sin A =2cos A sin 2A +cos 2A =10<A <π2解得sin A =255,cos A =55.c b=sin C sin B =sin A +B sin B =sin A cos B +cos A sin B sin B =2551tan B +55，由于三角形ABC 是锐角三角形，所以0<B <π2A +B >π2 ，所以0<π2-A <B <π2，所以tan B >tan π2-A ，所以0<1tan B <1tan π2-A =cos π2-A sin π2-A=sin A cos A =tan A =2，所以0<2551tan B <455,55<2551tan B +55< 5.故选：A17(2024下·广东江门·高三联考)已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a cos B -C +a cos A -23c sin B cos A =0．(1)求A ；(2)若△ABC 外接圆的直径为23，求2c -b 的取值范围．【答案】(1)A =π3(2)-3,6【解析】【小问1详解】由A +B +C =π可得：A =π-B +C ，所以cos A =-cos B +C ，所以a cos B -C -a cos B +C =23c sin B cos A ，a cos B cos C +a sin B sin C -a cos B cos C +a sin B sin C =23c sin B cos A ，a sin B sin C =3c sin B cos A ，由正弦定理可得sin A sin B sin C =3sin C sin B cos A ，因为sin C >0,sin B >0，所以sin A =3cos A ，所以tan A =3，因为A ∈0,π ，所以A =π3.【小问2详解】由正弦定理可得a sin A =b sin B =c sin C =2R =23，所以b =23sin B ,c =23sin C ，故2c -b =43sin C -23sin B =232sin C -sin B ，又A +B +C =π，所以B =2π3-C ,C ∈0,2π3，所以2c -b =232sin C -sin 2π3-C =2332sin C -32cos C =6sin C -π6 ，又C ∈0,2π3 ，所以C -π6∈-π6,π2，所以2c -b =6sin C -π6 ∈-3,6 ，所以2c -b 的取值范围为-3,6 .18(2024下·广东·茂名市一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a cos B -b cos A -a +c =0.(1)求B 的值；(2)若M 为AC 的中点，且a +c =4，求BM 的最小值.【答案】(1)π3(2)3【解析】【小问1详解】由正弦定理及a cos B -b cos A -a +c =0，得sin A cos B -sin B cos A -sin A +sin C =0，又sin C =sin A +B =sin A cos B +cos A sin B ，所以2sin A cos B -sin A =0，又A ∈0,π ，∴sin A ≠0，∴2cos B -1=0，即cos B =12，又B ∈0,π ，∴B =π3.小问2详解】由M 为AC 的中点，得BM =12BA +12BC ，而a +c =4，所以BM 2=12BA +12BC 2=14BA 2+14BC 2+12BA ⋅BC =14c 2+14a 2+12ac cos B =14a +c 2-ac ≥14a +c 2-a +c 2 2 =316a +c 2=3，当且仅当a =c a +c =4 ，即a =c =2时等号成立，所以BM最小值为 3.19(2024下·广东·广州市一模)记△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,△ABC 的面积为S .已知S =-34a 2+c 2-b 2 .(1)求B ；(2)若点D 在边AC 上，且∠ABD =π2,AD =2DC =2，求△ABC 的周长.【解析】(1)12ac sin B =-34⋅2ac cos B ,tan B =-3,B =2π3.(2)BD =13BA +23BC ，∵AB ⊥BD ,∴BA ⋅BD =BA ⋅13BA +23BC =0，∴13c 2+23c ⋅a ⋅-12 =0⇒a =c ，而a 2+c 2-2ac ⋅-12 =9，∴a =c =3,∴△ABC 的周长为3+23 .。

三角函数及解三角形高考模拟考试题精选含详细答案

三角函数与解三角形高考试题精选一．解答题〔共31小题〕1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2〔tanA+tanB〕=+．〔Ⅰ〕证明：a+b=2c；〔Ⅱ〕求cosC的最小值．2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．asinA=4bsinB，ac=〔a2﹣b2﹣c2〕．〔Ⅰ〕求cosA的值；〔Ⅱ〕求sin〔2B﹣A〕的值．3．△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，2cosC〔acosB+bcosA〕=c．〔Ⅰ〕求C；〔Ⅱ〕假设c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．cosA=，sinB=C．〔1〕求tanC的值；〔2〕假设a=，求△ABC的面积．5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．〔Ⅰ〕证明：sinAsinB=sinC；〔Ⅱ〕假设b2+c2﹣a2=bc，求tanB．6．在△ABC中，AB=2，AC=3，A=60°．〔1〕求BC的长；〔2〕求sin2C的值．7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣．〔Ⅰ〕求a和sinC的值；〔Ⅱ〕求cos〔2A+〕的值．8．△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=〔a，b〕与=〔cosA，sinB〕平行．〔Ⅰ〕求A；〔Ⅱ〕假设a=，b=2，求△ABC的面积．9．设△ABC的角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且b=3，c=1，△ABC 的面积为，求cosA与a的值．10．如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=，EA=2，∠ADC=，∠BEC=．〔Ⅰ〕求sin∠CED的值；〔Ⅱ〕求BE的长．11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b+c=2acosB．〔Ⅰ〕证明：A=2B；〔Ⅱ〕假设△ABC的面积S=，求角A的大小．12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=，b2﹣a2=c2．〔1〕求tanC的值；〔2〕假设△ABC的面积为3，求b的值．13．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8．〔Ⅰ〕假设a=2，b=，求cosC的值；〔Ⅱ〕假设sinAcos2+sinBcos2=2sinC，且△ABC的面积S=sinC，求a和b 的值．14．△ABC的角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．〔Ⅰ〕假设a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin〔A+C〕；〔Ⅱ〕假设a，b，c成等比数列，求cosB的最小值．15．△ABC的角A、B、C所对的边分别为a，b，c．〔Ⅰ〕假设a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin〔A+C〕；〔Ⅱ〕假设a，b，c成等比数列，且c=2a，求cosB的值．16．四边形ABCD的角A与C互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2．〔1〕求C和BD；〔2〕求四边形ABCD的面积．17．△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin〔A+C〕=8sin2．〔1〕求cosB；〔2〕假设a+c=6，△ABC的面积为2，求b．18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b+c=2acosB．〔1〕证明：A=2B；〔2〕假设cosB=，求cosC的值．19．设△ABC的角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．〔Ⅰ〕证明：B﹣A=；〔Ⅱ〕求sinA+sinC的取值围．20．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cosB=，sin〔A+B〕=，ac=2，求sinA和c的值．21．设△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA．〔Ⅰ〕证明：sinB=cosA；〔Ⅱ〕假设sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C．22．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．〔1〕求；〔2〕假设AD=1，DC=，求BD和AC的长．23．a，b，c分别是△ABC角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．〔Ⅰ〕假设a=b，求cosB；〔Ⅱ〕设B=90°，且a=，求△ABC的面积．24．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC〔Ⅰ〕求．〔Ⅱ〕假设∠BAC=60°，求∠B．25．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a﹣c=b，sinB=sinC，〔Ⅰ〕求cosA的值；〔Ⅱ〕求cos〔2A﹣〕的值．26．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．a=3，cosA=，B=A+．〔Ⅰ〕求b的值；〔Ⅱ〕求△ABC的面积．27．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．〔1〕假设sin〔A+〕=2cosA，求A的值．〔2〕假设cosA=，b=3c，求sinC的值．28．在△ABC中，角A，B，C的对边是a，b，c，3acosA=ccosB+bcosC〔1〕求cosA的值〔2〕假设a=1，cosB+cosC=，求边c的值．29．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=a•cosB．〔1〕求角B的大小；〔2〕假设b=3，sinC=2sinA，分别求a和c的值．30．在△ABC中，a=3，b=2，∠B=2∠A．〔Ⅰ〕求cosA的值；〔Ⅱ〕求c的值．三角函数与解三角形高考试题精选参考答案与试题解析一．解答题〔共31小题〕1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2〔tanA+tanB〕=+．〔Ⅰ〕证明：a+b=2c；〔Ⅱ〕求cosC的最小值．【解答】解：〔Ⅰ〕证明：由得：；∴两边同乘以cosAcosB得，2〔sinAcosB+cosAsinB〕=sinA+sinB；∴2sin〔A+B〕=sinA+sinB；即sinA+sinB=2sinC〔1〕；根据正弦定理，；∴，带入〔1〕得：；∴a+b=2c；〔Ⅱ〕a+b=2c；∴〔a+b〕2=a2+b2+2ab=4c2；∴a2+b2=4c2﹣2ab，且4c2≥4ab，当且仅当a=b时取等号；又a，b＞0；∴；∴由余弦定理，=；∴cosC的最小值为．2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．asinA=4bsinB，ac=〔a2﹣b2﹣c2〕．〔Ⅰ〕求cosA的值；〔Ⅱ〕求sin〔2B﹣A〕的值．【解答】〔Ⅰ〕解：由，得asinB=bsinA，又asinA=4bsinB，得4bsinB=asinA，两式作比得：，∴a=2b．由，得，由余弦定理，得；〔Ⅱ〕解：由〔Ⅰ〕，可得，代入asinA=4bsinB，得．由〔Ⅰ〕知，A为钝角，那么B为锐角，∴．于是，，故．3．△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，2cosC〔acosB+bcosA〕=c．〔Ⅰ〕求C；〔Ⅱ〕假设c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【解答】解：〔Ⅰ〕∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sinC≠0等式利用正弦定理化简得：2cosC〔sinAcosB+sinBcosA〕=sinC，整理得：2cosCsin〔A+B〕=sinC，即2cosCsin〔π﹣〔A+B〕〕=sinC2cosCsinC=sinC∴cosC=，∴C=；〔Ⅱ〕由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab•，∴〔a+b〕2﹣3ab=7，∵S=absinC=ab=，∴ab=6，∴〔a+b〕2﹣18=7，∴a+b=5，∴△ABC的周长为5+．4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．cosA=，sinB=C．〔1〕求tanC的值；〔2〕假设a=，求△ABC的面积．【解答】解：〔1〕∵A为三角形的角，cosA=，∴sinA==，又cosC=sinB=sin〔A+C〕=sinAcosC+cosAsinC=cosC+sinC，整理得：cosC=sinC，那么tanC=；〔2〕由tanC=得：cosC====，∴sinC==，∴sinB=cosC=，∵a=，∴由正弦定理=得：c===，那么S△ABC=acsinB=×××=．5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．〔Ⅰ〕证明：sinAsinB=sinC；〔Ⅱ〕假设b2+c2﹣a2=bc，求tanB．【解答】〔Ⅰ〕证明：在△ABC中，∵+=，∴由正弦定理得：，∴=，∵sin〔A+B〕=sinC．∴整理可得：sinAsinB=sinC，〔Ⅱ〕解：b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理可得cosA=．sinA=，=+==1，=，tanB=4．6．在△ABC中，AB=2，AC=3，A=60°．〔1〕求BC的长；〔2〕求sin2C的值．【解答】解：〔1〕由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=4+9﹣2×2×3×=7，所以BC=．〔2〕由正弦定理可得：，那么sinC===，∵AB＜BC，BC=，AB=2，角A=60°，在三角形ABC中，大角对大边，大边对大角，＞2，∴角C＜角A，角C为锐角．sinC＞0，cosC＞0那么cosC===．因此sin2C=2sinCcosC=2×=．7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣．〔Ⅰ〕求a和sinC的值；〔Ⅱ〕求cos〔2A+〕的值．【解答】解：〔Ⅰ〕在三角形ABC中，由cosA=﹣，可得sinA=，△ABC 的面积为3，可得：，可得bc=24，又b﹣c=2，解得b=6，c=4，由a2=b2+c2﹣2bccosA，可得a=8，，解得sinC=；〔Ⅱ〕cos〔2A+〕=cos2Acos﹣sin2Asin==．8．△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=〔a，b〕与=〔cosA，sinB〕平行．〔Ⅰ〕求A；〔Ⅱ〕假设a=，b=2，求△ABC的面积．【解答】解：〔Ⅰ〕因为向量=〔a，b〕与=〔cosA，sinB〕平行，所以asinB﹣=0，由正弦定理可知：sinAsinB﹣sinBcosA=0，因为sinB ≠0，所以tanA=，可得A=；〔Ⅱ〕a=，b=2，由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，可得7=4+c2﹣2c，解得c=3，△ABC的面积为：=．9．设△ABC的角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且b=3，c=1，△ABC 的面积为，求cosA与a的值．【解答】解：∵b=3，c=1，△ABC的面积为，∴=，∴sinA=，又∵sin2A+cos2A=1∴cosA=±，由余弦定理可得a==2或2．10．如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=，EA=2，∠ADC=，∠BEC=．〔Ⅰ〕求sin∠CED的值；〔Ⅱ〕求BE的长．【解答】解：〔Ⅰ〕设α=∠CED，在△CDE中，由余弦定理得EC2=CD2+ED2﹣2CD•DEcos∠CDE，即7=CD2+1+CD，那么CD2+CD﹣6=0，解得CD=2或CD=﹣3，〔舍去〕，在△CDE中，由正弦定理得，那么sinα=，即sin∠CED=．〔Ⅱ〕由题设知0＜α＜，由〔Ⅰ〕知cosα=，而∠AEB=，∴cos∠AEB=cos〔〕=cos cosα+sin sinα=，在Rt△EAB中，cos∠AEB=，故BE=．11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b+c=2acosB．〔Ⅰ〕证明：A=2B；〔Ⅱ〕假设△ABC的面积S=，求角A的大小．【解答】〔Ⅰ〕证明：∵b+c=2acosB，∴sinB+sinC=2sinAcosB，∴sinB+sin〔A+B〕=2sinAcosB∴sinB+sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin〔A﹣B〕∵A，B是三角形中的角，∴B=A﹣B，∴A=2B；〔Ⅱ〕解：∵△ABC的面积S=，∴bcsinA=，∴2bcsinA=a2，∴2sinBsinC=sinA=sin2B，∴sinC=cosB，∴B+C=90°，或C=B+90°，∴A=90°或A=45°．12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=，b2﹣a2=c2．〔1〕求tanC的值；〔2〕假设△ABC的面积为3，求b的值．【解答】解：〔1〕∵A=，∴由余弦定理可得：，∴b2﹣a2=bc﹣c2，又b2﹣a2=c2．∴bc﹣c2=c2．∴b=c．可得，∴a2=b2﹣=，即a=．∴cosC===．∵C∈〔0，π〕，∴sinC==．∴tanC==2．或由A=，b2﹣a2=c2．可得：sin2B﹣sin2A=sin2C，∴sin2B﹣=sin2C，∴﹣cos2B=sin2C，∴﹣sin=sin2C，∴﹣sin=sin2C，∴sin2C=sin2C，∴tanC=2．〔2〕∵=×=3，解得c=2．∴=3．13．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8．〔Ⅰ〕假设a=2，b=，求cosC的值；〔Ⅱ〕假设sinAcos2+sinBcos2=2sinC，且△ABC的面积S=sinC，求a和b 的值．【解答】解：〔Ⅰ〕∵a=2，b=，且a+b+c=8，∴c=8﹣〔a+b〕=，∴由余弦定理得：cosC===﹣；〔Ⅱ〕由sinAcos2+sinBcos2=2sinC可得：sinA•+sinB•=2sinC，整理得：sinA+sinAcosB+sinB+sinBcosA=4sinC，∵sinAcosB+cosAsinB=sin〔A+B〕=sinC，∴sinA+sinB=3sinC，利用正弦定理化简得：a+b=3c，∵a+b+c=8，∴a+b=6①，∵S=absinC=sinC，∴ab=9②，联立①②解得：a=b=3．14．△ABC的角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．〔Ⅰ〕假设a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin〔A+C〕；〔Ⅱ〕假设a，b，c成等比数列，求cosB的最小值．【解答】解：〔Ⅰ〕∵a，b，c成等差数列，∴2b=a+c，利用正弦定理化简得：2sinB=sinA+sinC，∵sinB=sin[π﹣〔A+C〕]=sin〔A+C〕，∴sinA+sinC=2sinB=2sin〔A+C〕；〔Ⅱ〕∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，∴cosB==≥=，当且仅当a=c时等号成立，∴cosB的最小值为．15．△ABC的角A、B、C所对的边分别为a，b，c．〔Ⅰ〕假设a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin〔A+C〕；〔Ⅱ〕假设a，b，c成等比数列，且c=2a，求cosB的值．【解答】解：〔Ⅰ〕∵a，b，c成等差数列，∴a+c=2b，由正弦定理得：sinA+sinC=2sinB，∵sinB=sin[π﹣〔A+C〕]=sin〔A+C〕，那么sinA+sinC=2sin〔A+C〕；〔Ⅱ〕∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，将c=2a代入得：b2=2a2，即b=a，∴由余弦定理得：cosB===．16．四边形ABCD的角A与C互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2．〔1〕求C和BD；〔2〕求四边形ABCD的面积．【解答】解：〔1〕在△BCD中，BC=3，CD=2，由余弦定理得：BD2=BC2+CD2﹣2BC•CDcosC=13﹣12cosC①，在△ABD中，AB=1，DA=2，A+C=π，由余弦定理得：BD2=AB2+AD2﹣2AB•ADcosA=5﹣4cosA=5+4cosC②，由①②得：cosC=，那么C=60°，BD=；〔2〕∵cosC=，cosA=﹣，∴sinC=sinA=，那么S=AB•DAsinA+BC•CDsinC=×1×2×+×3×2×=2．17．△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin〔A+C〕=8sin2．〔1〕求cosB；〔2〕假设a+c=6，△ABC的面积为2，求b．【解答】解：〔1〕sin〔A+C〕=8sin2，∴sinB=4〔1﹣cosB〕，∵sin2B+cos2B=1，∴16〔1﹣cosB〕2+cos2B=1，∴16〔1﹣cosB〕2+cos2B﹣1=0，∴16〔cosB﹣1〕2+〔cosB﹣1〕〔cosB+1〕=0，∴〔17cosB﹣15〕〔cosB﹣1〕=0，∴cosB=；〔2〕由〔1〕可知sinB=，∵S△ABC=ac•sinB=2，∴ac=，∴b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣2××=a2+c2﹣15=〔a+c〕2﹣2ac﹣15=36﹣17﹣15=4，∴b=2．18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b+c=2acosB．〔1〕证明：A=2B；〔2〕假设cosB=，求cosC的值．【解答】〔1〕证明：∵b+c=2acosB，∴sinB+sinC=2sinAcosB，∵sinC=sin〔A+B〕=sinAcosB+cosAsinB，∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin〔A﹣B〕，由A，B∈〔0，π〕，∴0＜A﹣B＜π，∴B=A﹣B，或B=π﹣〔A﹣B〕，化为A=2B，或A=π〔舍去〕．∴A=2B．〔II〕解：cosB=，∴sinB==．cosA=cos2B=2cos2B﹣1=，sinA==．∴cosC=﹣cos〔A+B〕=﹣cosAcosB+sinAsinB=+×=．19．设△ABC的角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．〔Ⅰ〕证明：B﹣A=；〔Ⅱ〕求sinA+sinC的取值围．【解答】解：〔Ⅰ〕由a=btanA和正弦定理可得==，∴sinB=cosA，即sinB=sin〔+A〕又B为钝角，∴+A∈〔，π〕，∴B=+A，∴B﹣A=；〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知C=π﹣〔A+B〕=π﹣〔A++A〕=﹣2A＞0，∴A∈〔0，〕，∴sinA+sinC=sinA+sin〔﹣2A〕=sinA+cos2A=sinA+1﹣2sin2A=﹣2〔sinA﹣〕2+，∵A∈〔0，〕，∴0＜sinA＜，∴由二次函数可知＜﹣2〔sinA﹣〕2+≤∴sinA+sinC的取值围为〔，]20．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cosB=，sin〔A+B〕=，ac=2，求sinA和c的值．【解答】解：①因为△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，ccosB=，sin〔A+B〕=，ac=2，所以sinB=，sinAcosB+cosAsinB=，所以sinA+cosA=①，结合平方关系sin2A+cos2A=1②，由①②解得27sin2A﹣6sinA﹣16=0，解得sinA=或者sinA=﹣〔舍去〕；②由正弦定理，由①可知sin〔A+B〕=sinC=，sinA=，所以a=2c，又ac=2，所以c=1．21．设△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA．〔Ⅰ〕证明：sinB=cosA；〔Ⅱ〕假设sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C．【解答】解：〔Ⅰ〕证明：∵a=btanA．∴=tanA，∵由正弦定理：，又tanA=，∴=，∵sinA≠0，∴sinB=cosA．得证．〔Ⅱ〕∵sinC=sin[π﹣〔A+B〕]=sin〔A+B〕=sinAcosB+cosAsinB，∴sinC﹣sinAcosB=cosAsinB=，由〔1〕sinB=cosA，∴sin2B=，∵0＜B＜π，∴sinB=，∵B为钝角，∴B=，又∵cosA=sinB=，∴A=，∴C=π﹣A﹣B=，综上，A=C=，B=．22．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．〔1〕求；〔2〕假设AD=1，DC=，求BD和AC的长．【解答】解：〔1〕如图，过A作AE⊥BC于E，∵==2∴BD=2DC，∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠DAC在△ABD中，=，∴sin∠B=在△ADC中，=，∴sin∠C=；∴==．…6分〔2〕由〔1〕知，BD=2DC=2×=．过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，∵AD平分∠BAC，∴DM=DN，∴==2，∴AB=2AC，令AC=x，那么AB=2x，∵∠BAD=∠DAC，∴cos∠BAD=cos∠DAC，∴由余弦定理可得：=，∴x=1，∴AC=1，∴BD的长为，AC的长为1．23．a，b，c分别是△ABC角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．〔Ⅰ〕假设a=b，求cosB；〔Ⅱ〕设B=90°，且a=，求△ABC的面积．【解答】解：〔I〕∵sin2B=2sinAsinC，由正弦定理可得：＞0，代入可得〔bk〕2=2ak•ck，∴b2=2ac，∵a=b，∴a=2c，由余弦定理可得：cosB===．〔II〕由〔I〕可得：b2=2ac，∵B=90°，且a=，∴a2+c2=b2=2ac，解得a=c=．∴S△ABC==1．24．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC 〔Ⅰ〕求．〔Ⅱ〕假设∠BAC=60°，求∠B．【解答】解：〔Ⅰ〕如图，由正弦定理得：，∵AD平分∠BAC，BD=2DC，∴；〔Ⅱ〕∵∠C=180°﹣〔∠BAC+∠B〕，∠B AC=60°，∴，由〔Ⅰ〕知2sin∠B=sin∠C，∴tan∠B=，即∠B=30°．25．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a﹣c=b，sinB=sinC，〔Ⅰ〕求cosA的值；〔Ⅱ〕求cos〔2A﹣〕的值．【解答】解：〔Ⅰ〕将sinB=sinC，利用正弦定理化简得：b=c，代入a﹣c=b，得：a﹣c=c，即a=2c，∴cosA===；〔Ⅱ〕∵cosA=，A为三角形角，∴sinA==，∴cos2A=2cos2A﹣1=﹣，sin2A=2sinAcosA=，那么cos〔2A﹣〕=cos2Acos+sin2Asin=﹣×+×=．26．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．a=3，cosA=，B=A+．〔Ⅰ〕求b的值；〔Ⅱ〕求△ABC的面积．【解答】解：〔Ⅰ〕∵cosA=，∴sinA==，∵B=A+．∴sinB=sin〔A+〕=cosA=，由正弦定理知=，∴b=•sinB=×=3．〔Ⅱ〕∵sinB=，B=A+＞∴cosB=﹣=﹣，sinC=sin〔π﹣A﹣B〕=sin〔A+B〕=sinAcosB+cosAsinB=×〔﹣〕+×=，∴S=a•b•sinC=×3×3×=．27．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．〔1〕假设sin〔A+〕=2cosA，求A的值．〔2〕假设cosA=，b=3c，求sinC的值．【解答】解：〔1〕因为，所以sinA=，所以tanA=，所以A=60°〔2〕由及a2=b2+c2﹣2bccosA得a2=b2﹣c2故△ABC是直角三角形且B=所以sinC=cosA=28．在△ABC中，角A，B，C的对边是a，b，c，3acosA=ccosB+bcosC〔1〕求cosA的值〔2〕假设a=1，cosB+cosC=，求边c的值．【解答】解：〔1〕由余弦定理可知2accosB=a2+c2﹣b2；2abcosc=a2+b2﹣c2；代入3acosA=ccosB+bcosC；得cosA=；〔2〕∵cosA=∴sinA=cosB=﹣cos〔A+C〕=﹣cosAcosC+sinAsinC=﹣cosC+sinC ③又cosB+cosC=代入③cosC+sinC=，与cos2C+sin2C=1联立解得sinC=a=1正弦定理：c===29．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=a•cosB．〔1〕求角B的大小；〔2〕假设b=3，sinC=2sinA，分别求a和c的值．【解答】解：〔1〕∵bsinA=a•cosB，由正弦定理可得：sinBsinA=sinAcosB，∵sinA≠0，∴sinB=cosB，B∈〔0，π〕，可知：cosB≠0，否那么矛盾．∴tanB=，∴B=．〔2〕∵sinC=2sinA，∴c=2a，由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB，∴9=a2+c2﹣ac，把c=2a代入上式化为：a2=3，解得a=，∴．30．在△ABC中，a=3，b=2，∠B=2∠A．〔Ⅰ〕求cosA的值；〔Ⅱ〕求c的值．【解答】解：〔Ⅰ〕由条件在△ABC中，a=3，，∠B=2∠A，利用正弦定理可得，即=．解得cosA=．〔Ⅱ〕由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即9=+c2﹣2×2×c×，即c2﹣8c+15=0．解方程求得c=5，或c=3．当c=3时，此时a=c=3，根据∠B=2∠A，可得B=90°，A=C=45°，△ABC是等腰直角三角形，但此时不满足a2+c2=b2，故舍去．当c=5时，求得cosB==，cosA==，∴cos2A=2cos2A﹣1==cosB，∴B=2A，满足条件．综上，c=5．。

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解三角形题组一一、选择题1．（浙江省温州市啸秋中学2010学年第一学期高三会考模拟试卷）在△ABC 中，B=135︒，C=15︒，a =5，则此三角形的最大边长为A ． 35B ．34C ．D ．24答案 C. 答案 D.4.（湖北省补习学校2011届高三联合体大联考试题理）在ABC ∆中,有命题:①AB AC BC -= ②0AB BC CA ++=③若()()0AB AC AB AC +⋅-=,则ABC ∆为等腰三角形④若0AC AB ⋅>,则ABC ∆为锐角三角形.上述命题正确的是( ) A.①② B.①④ C.②③ D.②③④ 答案 C.5．（湖北省八校2011届高三第一次联考理）在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边长分别为a b c 、、，若0120,C c ==，则（）.A 045B > .B 045A > .C b a > .D b a < 答案 C.7. （广东六校2011届高三12月联考文）在ABC ∆中，a=15,b=10,A=60°，则B sin =A.33 B. 33± C. 3 D. 36± 8．（福建省安溪梧桐中学2011届高三第三次阶段考试理）在ABC ∆中，若CcB b A a cos cos cos ==，则ABC ∆是（ B ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形答案 B.9. （山东省日照市2011届高三第一次调研考试文）在△ABC 中，若1a b ==，3c =，则C ∠= .答案9、23π； 10．（山东省莱阳市2011届高三上学期期末数学模拟6理）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c 若222b c a bc +=+且4AC AB ⋅=，则ABC ∆的面积等于答案23.11．（湖南省嘉禾一中2011届高三上学期1月高考押题卷）在△ABC 中，D 为边BC 上一点，1,120,2,2BD DC ADB AD =∠==若△ADC 的面积为33-，则BAC ∠=_______ 答案3π12．（河南省鹿邑县五校2011届高三12月联考理）如图所示，如果∠ACB=090,在平面α内，PC 与CA ，CB 所成的角∠PCA=∠PCB=060,那么PC 与平面α所成的角为（第12题）答案45013．（广东省肇庆市2011届高三上学期期末考试理）在∆ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，已知6,3,3π=∠==C b a ，则角A 等于__▲__.14．（北京四中2011届高三上学期开学测试理科试题）在△ABC 中，D 为边BC 上一点，BD=DC ，ADB=120°，AD=2，若△ADC 的面积为，则BAC=___________。

答案15．（陕西省宝鸡市2011年高三教学质量检测一）选做题（请在下列 3道题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分） A ．不等式|1||2|4x x ++-≤的解集为。

B ．直线21,()1x t t y t =+⎧⎨=-⎩为参数过圆22252104x y ax ay a +-++-=的圆心，则圆心坐标为。

C ．已知PA 是⊙O 的切线，切点为A ，PA=2cm ，AC 是⊙O 的直径，PC 交⊙O 于点B ，AB=3cm ，则△ABC 的面积为 cm 2。

答案16．（宁夏银川一中2011届高三第五次月考试题全解全析理）（本小题满分12分）△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，向量m =（2sinB ，2-cos2B ），)1),24(sin 2(2-+=Bn π,m ⊥n ．（1）求角B 的大小；（2）若3a =，b=1，求c 的值．【分析】根据向量关系式得到角B 的三角函数的方程，解这个方程即可求出角B ，根据余弦定理列出关于c 的方程，解这个方程即可。

【解析】（1）022cos )24(sin sin 4,02=-++⋅∴=⋅∴⊥B BB n m n m π……2分分或分7.656,05,21sin ,02sin 21sin 2sin 2,022cos )]2cos(1[sin 222 ππππ=∴<<=∴=--++∴=-++-∴B B B B B B B B B （2）6,3π=∴>=B b a 此时， ………………8分.1,,6632,32;2,2,6,39,323,0,23sin ,sin 3211,sin sin :12.12,023,cos 2::2222=∴=∴=--===∴====∴<<=∴=∴===∴=+-∴-+=c b c C A c C B A A A A A AaB b c c c c B ac c a b 边则角若边所以角因为若分或由正弦定理得方法二分或由余弦定理得方法一πππππππππππ 综上c=2或c=1． ……………………12分【考点】简单的三角恒等变换、解三角形。

【点评】本题第一问主要考查三角恒等变换、第二问考查解三角形。

在以三角形为背景的三角类解答题中，方程思想的应用是非常广泛的，实际上正弦定理和余弦定理本身就是一个方程，根据已知和求解目标之间，把问题归结到解方程或者方程组的方法是解决这类试题的一个基本思想方法。

17．(浙江省诸暨中学2011届高三12月月考试题理) 设函数2()cos(2)2sin 3f x x x π=--（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）△ABC ，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c，且1().1,2f B b c ===求a 的值．答案（1）,,1)32sin(3)(ππ=∴-+=T x x f - ----------------------4分单调增区间为)(12,125Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ------------------------------------7分（2）6,3232,21)(),,0(ππππ=∴=+∴=∈B B B f B -------------------------11分由正弦定理得1,2323或，或==a C ππ---------------------------------------------14分 18．（浙江省金丽衢十二校2011届高三第一次联考文）（本题满分14分）在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，已知72c =，ABC ∆的面积为2，又tan tan tan 1)A B A B +=-．（I ）求角C 的大小；（II ）求a b +的值．答案19．（山东省聊城市2011届高三年级12月月考理）（本小题满分12分）在△ABC中，288 2,cos,.39 B C C AB CA==⋅=-（1）求cos A；（2）求边BC的长。

答案20．（吉林省东北师大附中2011届高三上学期第三次模底考试理）（本题满分12分）ABC∆的三个内角A B C ，，依次成等差数列．（Ⅰ）若C A B sin sin sin 2=，试判断ABC ∆的形状；（Ⅱ）若ABC ∆为钝角三角形，且c a >，试求代数式2132222C A A sincos -的取值范围．答案解：（Ⅰ）∵C A B sin sin sin 2=，∴ ac b =2.∵C B A ,,依次成等差数列，∴B C A B -=+=π2,3π=B .由余弦定理B ac c a b cos 2222-+=，ac ac c a =-+22，∴c a =.∴ABC ∆为正三角形. （Ⅱ）212cos 2sin 32sin2-+A A C=21sin 232cos 1-+-A C =312223sin A cosA π⎛⎫-- ⎪⎝⎭=A A A sin 43cos 41sin 23-+ =A A cos 41sin 43+ =)6sin(21π+A ∵223A ππ<<,∴25366A πππ<+<， ∴13262sin A π⎛⎫<+<⎪⎝⎭，1134264sin A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭. ∴代数式232cos 2sin 32sin 2++A A C 的取值范围是134⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，. 21．（湖北省涟源一中、双峰一中2011届高三第五次月考理）设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，且1cos 2a C c b +=（1）求角A 的大小；（2）若a=1，求周长p 的取值范围．答案22．（湖北省部分重点中学2011届高三第二次联考试卷）（本小题满分12分）已知ABC ∆的三内角A ，B ，C 所对三边分别为a ，b ，c ，且2sin().4104A A ππ+=<<（I ）求tan A 的值。

（II ）若ABC ∆的面积24,8,s b ==求a 的值。

答案解：（Ⅰ）∵40π<<A ∴244πππ<+<A 由1027)4sin(=+A π得102)4cos(=+A π…2分 ∴)44sin(sin ππ-+=A A =4cos)4sin(ππA +-4sin)4cos(ππA +=53……4分 ∴54cos =A ……5分 ∴43tan =A ……6分（Ⅱ）24sin 21=A bc 得10=c ……8分 ∴36cos 2222=-+=A bc c b a ∴6=a ……12分23. （湖北省八校2011届高三第一次联考理）（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，向量12(1sin ,), (cos 2, 2sin )7p A q A A =-=，且//p q . （Ⅰ）求sin A 的值；（Ⅱ）若2,b =ABC ∆的面积为3，求a ．答案（Ⅰ）//p q 12cos 2(1sin )2sin 7A A A ∴=-⋅， 26(12sin )7sin (1sin )A A A ∴-=-，25sin 7sin 60A A +-=， 3sin . (sin 2)5A A ∴==-舍 6分（Ⅱ）由1sin 3,22ABC S bc A b ∆===，得5c =，又4cos 5A ==±，2222cos 425225cos 2920cos a b c bc A A A ∴=+-=+-⨯⨯=-，当4cos 5A =时，213, a a ==； 10分当4cos 5A =-时，245, a a ==. 12分24. （黑龙江省佳木斯大学附属中学2011届高三上学期期末考试理）（本题满分12分）如图，在△ABC 中，已知3=AB ，6=AC ，7BC =，AD 是BAC ∠平分线. （1）求证：2DC BD =；（2）求AB DC ⋅的值.BACD （第24题图）答案（1）在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin AB BDADB BAD =∠∠①，在ACD ∆中，由正弦定理得sin sin AC DCADC CAD =∠∠②， ………………………2分又AD 平分BAC ∠，所以BAD CAD ∠=∠，sin sin BAD CAD ∠=∠， sin sin()sin ADB ADC ADC π∠=-∠=∠，由①②得36BD AB DC AC ==，所以2DC BD =.………………………………………………6分（2）因为2DC BD =，所以32=.在△ABC 中，因为22222237611cos 223721AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯， …………10分所以22()||||cos()33AB DC AB BC AB BC B π⋅=⋅=⋅-2112237()3213=⨯⨯⨯-=-.………………………………………………………12分25．（黑龙江省哈九中2011届高三期末考试试题理）（10分）在ABC ∆中，已知内角32,3==BC A π，设内角x B =，周长为y ．（1）求函数)(x f y =的解析式和定义域；（2）求y 的最大值答案（1）由正弦定理知x AC x AC sin 4,60sin 32sin =∴=)32sin(4,60sin 32)32sin(x AB x AB -=∴=-ππ32)6sin(3432)32sin(4sin 4++=+-+=∴ππx x x y ，)320(π<<x（2）26,6566πππππ=+∴<+<x x即3π=x 时，36m ax =y26．（河南省鹿邑县五校2011届高三12月联考理）（12分）在ABC ∆中,A 、B 、C 的对边分别为a ．b ．c ，且满足sin :sin :sin 2:5:6A B C =。