棱柱、棱锥、棱台和球的表面积及体积
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棱柱、棱锥、棱台和球的表面积及体积
【课标导示】
知识与技能：1、能应用棱柱、棱锥、棱台和球的表面积和体积公式求出直棱柱、正棱锥和正棱台及球的表面积和体积。
重点：公式
难点：应用公式进行计算
【知识点回顾】
1、 直棱柱的性质：
2、 正棱锥的性质：
3、 正棱台的性质：
【概念探究】
1、 直棱柱的侧面积公式：ch s = 其中c 为底面周长，h 为直棱柱的高
2、 棱柱的体积公式：Sh V = 其中S 为底面的面积，h 为高
3、 正棱锥的侧面积公式：h c h na s '='=2
121 其中n 为底面边数，h '为斜高，c 为底面周长
4、 棱锥的体积公式：V=
3
1Sh 其中S 为底面的面积，h 为高 5、 正棱台的侧面积公式：h c c h a a n s ''+=''+=)(21)(21 其中n 为底面边数，a 为下底面边长，a ′为上底面边长，c 为下底面周长，c ′为上底面周长，h ′为斜高。
6、 棱台的体积公式：V=3
1(S+S S '+S ′)h 其中S 、S ′分别为下底面和上底面的面积，h 为高
7、 球的表面积公式：4=s πR 2 其中R 为半径
8、 球的体积公式： V=3
4πR 3 9、 圆柱的侧面积：s=2πRh 其中R 为底面半径，h 为高
10、圆柱的体积：V=πR 2h 其中R 为底面半径，h 为高
11、圆锥的侧面积：s=πR l 其中l 为母线长 R 为底面半径
12、圆锥的体积：V=
3
1πR 2h 13、圆台的体积：V=31π(2r +r r '+2r ')h 【典例分析】
例题1、已知正四棱锥底面正方形的边长为4cm ，高与斜高的夹角为30°，求正四棱锥的侧面积及全面积。
例题2、
如图所示是一个容器的盖子，它是用一个正四棱台和一个球焊接而成的。
球的半径为R.正四棱台的两底面边长分别为3R 和2.5R,斜高为0.6R.
1）、求这个容器盖子的表面积（用R 表示，焊接处对面积的影响忽略不计）；
2）、若R=2cm ，为盖子涂色时所用的涂料每0.4kg 可以涂1m 2，计算为100个这样的盖子涂色约需涂料多少千克？（精确到0.1kg ）
例题3、已知一个正方体的8个顶点都在同一个球面上，计算球的表面积和这个正方体的全面积的比。
A B D O C E
P
【当堂达标】
1、 如图 正六棱锥被过棱锥高PO 的中点O ′且平行于底的平面所截，得到正六棱台
OO ′，和较小的棱锥PO ′：
1） 求大棱锥、小棱锥和棱台的侧面积之比
2） 若大棱锥PO 的侧棱长为12cm ，小棱锥底面边长为4cm ，求截得的棱台的侧面积和
全面积。
2、 如图 在长方体ABCD-A ′B ′C ′D ′中，用截面截下一个棱锥C-A ′DD ′,求棱锥C-A ′DD ′的体积与剩余部分的体积的比。
3一个正方体和一个圆柱等高，并且侧面积相等，求这个正方体和圆柱的体积之比。
P
O ′
O C C
4已知正四棱锥的次面都是等边三角形，它的斜高为3，求这个正四棱锥的体积。
5有一个正四棱台形状的油槽，最多装油190L ，假如它的两底面边长分别等于60cm 和40cm ，求它的深度
6一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个正三棱柱的表面积。
7已知正三棱锥的侧棱两两互相垂直，且都等于a ，求棱锥的体积。
棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
[方法技巧] 棱柱、棱锥、棱台的表面积的求法技巧
(1)求棱锥、棱台及棱柱的侧面积和表面积的关键是求底面 边长、高、斜高、侧棱．求解时要注意直角三角形和梯形的应 用．
(2)正棱柱、正棱锥、正棱台的所有侧面都全等，因此求侧 面积时，可先求一个侧面的面积，然后乘以侧面的个数．
(3)棱台是由棱锥所截得到的，因此棱台的侧面积也可由大 小棱锥侧面积作差得到．
[对点练清] 现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为 9 和 15， 高是 5，求该直四棱柱的侧面积．
解：如图，设底面对角线 AC＝a，BD＝b，交点为 O，对角线 A1C＝15，B1D＝9，∴a2＋52＝152，b2＋52＝92， ∴a2＝200，b2＝56. ∵该直四棱柱的底面是菱形， ∴AB2＝A2C2＋B2D2＝a2＋4 b2＝200＋ 4 56＝ 64，∴AB＝8. ∴直四棱柱的侧面积 S＝4×8×5＝160.
＝
1 2
×VD×BC
＝
1 2
×
13 ×2
3＝
39
，
S
△
ABC
＝
1 2
×(2 3)2× 23＝3 3，
所以，三棱锥 V－ABC 的表面积为 3S△VBC＋S△ABC＝3 39＋3 3 ＝3( 39＋ 3)．
[易错矫正] (1)解答本题易出现的失误是不能根据正三棱 锥的结构特征，并且根据题目条件求出正三棱锥的侧面三角形的 高．
8．3 简单几何体的表面积与体积 8．3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
1.知道棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式． 2.能用公式解决简单的实际问题． 3.通过学习，帮助学生进一步掌握在平面上表示空间图形的
方法与技能，提高学生直观想象、数学运算的核心素养．
《棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积》教学设计、导学案、同步练习
《8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积》教学设计【教材分析】本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第八章《立体几何初步》，本节课主要学习棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的表面积、体积公式及其求法，还有简单组合体的体积的求解。
教材从分析简单几何体的侧面展开图得到了它们的表面积公式，体现了立体问题平面化的解决策略，这是本节课的灵魂，也是立体几何的灵魂，在立体几何中，要注意将立体问题转化为平面几何问题，在教学中应加以重视。
【教学目标与核心素养】课程目标学科素养A..通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的求法．B．会求棱柱、棱锥、棱台有关的组合体的表面积与体积．1.数学抽象：棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的公式；2.逻辑推理：推导棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的公式；3.数学运算：求棱柱、棱锥、棱台及有关组合体的表面积与体积；4.直观想象：棱柱、棱锥、棱台体积之间的关系。
【教学重点】：棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积；【教学难点】：求棱柱、棱锥、棱台有关的组合体的表面积与体积．【教学过程】教学过程教学设计意图一、复习回顾，温故知新1.北京奥运会场馆图通过观看图片及复习初中所学知识，引入本节新课。
建立知识间的联系，提高学生概括、类2. 北京奥运会结束后，国家对体育场馆都进行了改造，从专业比赛场馆逐步成为公众观光、健身的综合性体育场馆，国家游泳中心也完成了上述变身，新增了内部开放面积，并建成了大型的水上乐园．经营方出于多种考虑，近几年内“水立方”外墙暂不承接商业化广告，但出于长远考虑，决定为水立方外墙订制特殊显示屏，届时“水立方”将重新焕发活力，大放异彩．能否计算出“水立方”外墙所用显示屏的面积？3.学生回答下列公式矩形面积、三角形面积、梯形面积、长方体体积、正方体体积4.在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？二、探索新知探究：棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？思考1：棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？侧面展开图是几个矩形，表面积是上下底面面积与侧面展开图的面积的和。
棱柱,棱锥,棱台的表面积和体积教学设计
棱柱,棱锥,棱台的表面积和体积教学设计
摘要：
1.教学目标
2.教学内容
3.教学重点与难点
4.教学方法
5.教学过程
6.教学总结
正文：
一、教学目标
通过本节课的学习，使学生掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算方法，能够熟练运用这些公式解决实际问题，提高学生的数学运算能力和空间想象能力。
二、教学内容
1.棱柱的表面积和体积
2.棱锥的表面积和体积
3.棱台的表面积和体积
三、教学重点与难点
1.教学重点：棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式
2.教学难点：公式的推导和运用
四、教学方法
1.启发式教学法：引导学生通过实例发现公式
2.讲练结合法：讲解与练习相结合，帮助学生掌握知识
3.讨论法：分组讨论，激发学生的思维，提高学生的解题能力
五、教学过程
1.引入：通过讲解实际生活中的例子，激发学生的兴趣，引入本节课的主题
2.讲解：分别讲解棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，并结合实例进行推导
3.练习：布置一些习题，让学生运用所学知识进行练习，培养学生的解题能力
4.小组讨论：组织学生进行小组讨论，解决一些具有挑战性的问题，提高学生的思维能力
5.总结：对本节课的内容进行总结，回顾所学知识，布置课后作业
六、教学总结
通过本节课的学习，学生应该能够掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算方法，能够熟练运用这些公式解决实际问题。
同时，本节课的教学过程也培养了学生的数学运算能力和空间想象能力，提高了学生的思维品质。
棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
课堂小结
1、棱柱、棱锥、棱台、球的表面积公式 2、数学思想：空间问题转化为平面问题
作业
28页 练习 A B
例1、已知正四棱锥底面正方形的边长为 4cm,高与斜高的夹角为30。，求正四棱锥 的侧面积及全面积。
P
D
A
O
E
C
侧面展开
正棱台的侧面展开图
h'
h'
S正棱台侧
1 (c c) h 2
c,c’分别为上下底面周长， h’为斜高，即侧面等腰梯 形高。
概念形成
概念1.棱柱、棱锥、棱台的表面积
h'
h'
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的 几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它 们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积 之和．
分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成．
S A B D C
a
应用举例
例2.已知正三棱锥V-ABC，如图，VO为高， AB=6，V0= 6 求表面积。 V
A
C
D
B
O
课堂练习
1.已知正四棱锥底面正方形的边长4cm, 高与斜高的夹角是30°，求正四棱锥的 P 侧面积.
D
答案:32(cm2)
A
C
1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的 表面积
复习引入
前面我们学习了柱、锥、台、球的有关概念和 结构特征，怎样计算一些简单几何体的表面积呢？
在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你知 道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？
提出问题
思考：如何求几何体的表面积？
几何体表面积
展开图
平面图形面积 平面问题
概念形成
棱柱、棱锥、棱台和球的表面积和体积
7、如图所示正四棱锥的侧面都是等边三角形，它的斜高为 ，
则这个正四棱锥的体积是_________________.
8、已知圆锥的母线长为 高为 ，则这个圆锥的体积是
______________________.
7.球的体积公式
三：讨论与交流
1已知正三棱锥的底面周长为9，侧棱长为2，则此棱锥的高是（）
2底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线的长为 ，体对角线长为 ，则这个棱柱的侧面积是（）
3若球的大圆周长为C，则这个球的表面积是（）
4设长方体的长、宽、高分别为 q其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）
5、已知长方体形的铜块长、宽、高分别是2，4，8，将它熔化后铸成一个正方体形的铜块（不计损耗），则铸成的铜块的棱长是__________________;
9、一个球的大圆的面积增加为原来的100倍，则这个球的体积是原
来球体积的_______________倍.
10、正六棱柱的底面边长为10cm,高为15cm，则这个正六棱柱的体积是____________
11、正三棱台的上下底面边长分别为2、4，斜高为 ，则这个正三棱台的体积是_______
12、正方体的内切球与外接球的体积比是___________
名称
侧面积（Sห้องสมุดไป่ตู้）
表面积（S表）
圆柱
圆锥
球
3，体积公式：
1.柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它的底面积S和高h的积.即
2.底面半径是r，高是h的圆柱体的体积的计算公式是
3.如果一个椎体（棱锥、圆锥）的底面积是S，高是h，那么它的体积是
(完整版)棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
c’=c
上底扩大
c’=0
上底缩小
S柱侧 ch '
S台侧
1 2
c
'
c
h
'
S锥侧
1 2
ch '
把圆柱的侧面沿着一条母线展开，得到什么图 形?展开的图形与原图有什么关系？
r
h
矩形
宽＝h
长 ＝2r
S圆柱侧 S矩形＝2rh
把圆锥的侧面沿着一条母线展开，得到什么图 形?展开的图形与原图有什么关系？
扇形
l
h'
A
C
B
OD
OD
B
A 斜高：侧面等腰三角形底边上的高.
注:只有正棱锥和正棱台才有斜高.
把正三棱锥侧面沿一条侧棱展开，得到什么图 形？侧面积怎么求？
h' h'
S
正
棱
锥
侧＝
1 2
ch'
把正三棱台侧面沿一条侧棱展开，得到什么图 形？侧1（c 2
c'
)h'
h'
h'
思考:
正棱柱、正棱锥和正棱台的侧面积的关系：
B
把直(正)三棱柱侧面沿一条侧棱展开，得到 什么图形？侧面积怎么求？
h
cb
a
h
h
a
bc
S直棱柱侧＝（a b c) h ch
棱锥、棱台
正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射
影是底面中心的棱锥.
正棱台：正棱锥被平行于底面的平面所截，截
P 面和底面之间的部分叫正棱台.
A1
C1
D1
B1 h' C
D
因为OE=2， ∠OPE=30°， A
棱柱棱锥棱台和球的表面积和体积精选ppt
注意:表面积=全面积= 侧面积+底面积.
O
.
圆锥的表面积
圆锥的侧面展开图是扇形
2r
l rO
S圆锥侧rl
S 圆锥 表 r2 面 . r 积 lr(r l)
例5：
已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为3cm。
它的侧面展开图的形状为__扇__形____。该图形
的弧长为_4_π___cm，半径为___3___cm，所以圆 锥的侧面积为_6_π__cm2。表面积为_1_0_π__cm2，
S2r(rl)
S侧
1 2
2r
l
rl
Sr(rl)
S侧
1 2
(2
r
'
2
r)
l
S(r'2r2r'lr)l
(r ' r) l
.
三者之间关系
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关 系？
rO
r 'O’
r′＝r
l 上底扩大
O
rO
l r′＝0
上底缩小
l rO
S柱2r(rl) S 台 (r2r2rlr)lS锥r(rl)
(5)扇形面积公式：___S___12_rl__。
(6)梯形面积公式: __S__12_(_a__b)_h。
.
把长方体展成平 面图形，利用平 面图形求面积的 方法，求长方体
的表面积
正方体、长方体的表面积.就是各个面的面积之和。
二、棱柱、棱台、棱锥的表面积
用空间几何体的展开图来求它的表面积
几何体的侧面展开图
D A
D A11
C B
O C1
B1
D A
D A11
球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
4．(2019·山东淄博月考)一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为( B )
A．136π
3 3
AB＝2
3 .设球的半径为R，球心到等边△ABC的外接圆
圆心的距离为d，则d＝ R2－r2 ＝ 16－12 ＝2.所以三棱锥D-ABC高的最大值为2＋4
＝6，所以三棱锥D-ABC体积的最大值为13×9 3×6＝18 3.
核心素养系列 (三十六)数学建模——实际问题中的核心素养 以学习过的几何体的体积为基础，通过对实际问题的抽象，转化为数学问 题，体现了数学建模的核心思想.
圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图
侧面积公式
S圆柱侧＝_2_π_r_l___
S圆锥侧＝_π_r_l___
S圆台侧＝π_(_r_1＋__r_2_)l___
3．柱、锥、台和球的表面积和体积
几何体
名称
表面积
柱体 (棱柱和圆柱)
S表面积＝S侧＋2S底
锥体 (棱锥和圆锥)
S表面积＝S侧＋S底
台体(棱台和圆台)
S表面积＝S侧＋S上＋S下
考点三 与球有关的切、接问题
师生 共研
(2016·全国卷Ⅲ)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的
球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是( B )
A．4π
B．92π
C．6π
D．323π
解析 由题意得要使球的体积最大，则球与直三棱柱的若干面相切．设球的半
47.高一数学导学案棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积(解析版)
8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积导学案【学习目标】1.会求棱柱、棱锥、棱台的表面积2.会求棱柱、棱锥、棱台的体积【自主学习】知识点1 棱柱、棱锥、棱台的表面积 1．棱柱的表面积棱柱的表面积：S 表＝S 侧＋2S 底．①其中底面周长为C ，高为h 的直棱柱的侧面积：S 侧＝Ch ；①长、宽、高分别为a ，b ，c 的长方体的表面积：S 表＝2(ab ＋ac ＋bc)； ①棱长为a 的正方体的表面积：S 表＝6a 2. 2．棱锥的表面积棱锥的表面积：S 表＝S 侧＋S 底；底面周长为C ，斜高(侧面三角形底边上的高)为h ′的正棱锥的侧面积：S 侧＝12Ch ′.3．棱台的表面积棱台的表面积：S 表＝S 侧＋S 上底＋S 下底．多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积之和． 知识点2 棱柱、棱锥、棱台的体积 1．棱柱的体积(1)棱柱的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这个点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离．(2)棱柱的底面积S ，高为h ，其体积V ＝Sh .2．棱锥的体积(1)棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离． (2)棱锥的底面积为S ，高为h ，其体积V ＝13Sh .3．棱台的体积(1)棱台的高是指两个底面之间的距离．(2)棱台的上、下底面面积分别是S ′、S ，高为h ，其体积V 3【合作探究】探究一多面体的表面积【例1】已知正三棱台(上、下底是正三角形，上底面的中心在下底面的投影是下底面的中心)的上、下底面边长分别为2 cm和4 cm，侧棱长是 6 cm，则该三棱台的表面积为________．【答案】(53＋95) cm2[分析]利用侧面是等腰梯形求出棱台的侧面积，再求出其表面积．[解析]正三棱台的表面积即上下两个正三角形的面积与三个侧面的面积和，其中三个侧面均为等腰梯形，易求出斜高为 5 cm，故三棱台的表面积为3×12×(2＋4)×5＋12×2＋3＋12×4×23＝53＋9 5.归纳总结：在掌握直棱柱、正棱锥、正棱台侧面积公式的基础上，对于一些较简单的组合体，能够将其分解成柱、锥、台体，再进一步分解为平面图形正多边形、三角形、梯形等，以求得其表面积，要注意对各几何体相重叠部分的面积的处理【练习1】如图所示，有一滚筒是正六棱柱形(底面是正六边形，每个侧面都是矩形)，两端是封闭的，筒高1.6 m，底面外接圆的半径是0.46 m，问：制造这个滚筒需要5.6 m2铁板(精确到0.1 m2)．解析：因为此正六棱柱底面外接圆的半径为0.46 m，所以底面正六边形的边长是0.46 m.所以S侧＝Ch＝6×0.46×1.6＝4.416(m2)．所以S 表＝S 侧＋2S 底＝4.416＋2×34×0.462×6≈5.6(m 2)． 故制造这个滚筒约需要5.6 m 2铁板．探究二 多面体的体积【例2】如图所示，在多面体ABCDE F 中，已知底面ABCD 是边长为3的正方形，E F①AB ，E F ＝32，E F 与面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积为( )A.92B ．5C ．6D.152【答案】 D[解析] 如图，连接EB ，EC ，AC ，则V E ABCD ＝13×32×2＝6.①AB ＝2E F ，E F①AB ，①S①EAB＝2S①BE F.①V FEBC＝V CE F B＝12V CABE＝12V EABC＝12×12V EABCD＝32.①V＝V EABCD＋V FEBC＝6＋32＝152.归纳总结：求几何体体积的常用方法1公式法：直接代入公式求解.2等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可.3补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等.4分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积.【练习2】三棱台ABCA1B1C1中，AB：A1B1＝1：2，则三棱锥A1ABC，BA1B1C，CA1B1C1的体积之比为()A．111B．112C．124D．144【答案】C解析：如图，设棱台的高为h ， S ①ABC ＝S ，则S ①A 1B 1C 1＝4S . ①VA 1ABC ＝13S ①ABC ·h ＝13Sh ，VC A 1B 1C 1＝13S ①A 1B 1C 1·h ＝43Sh .又V 三棱台ABC A 1B 1C 1＝13h (S ＋4S ＋2S )＝73Sh ，①VB A 1B 1C ＝V 三棱台ABC A 1B 1C 1－VA 1ABC －VC A 1B 1C 1 ＝73Sh －Sh 3－4Sh 3＝23Sh . ①体积比为124， ①应选C.课后作业A 组 基础题一、选择题1．如图，ABC A ′B ′C ′是体积为1的棱柱，则四棱锥C AA ′B ′B 的体积是( )A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】C [①V C A ′B ′C ′＝13V ABC A ′B ′C ′＝13，①V C AA ′B ′B ＝1－13＝23.]2．正方体的表面积为96，则正方体的体积为( )A ．486B ．64C ．16D ．96【答案】B3．棱锥的一个平行于底面的截面把棱锥的高分成1∶2(从顶点到截面与从截面到底面)两部分，那么这个截面把棱锥的侧面分成两部分的面积之比等于( )A ．1∶9B ．1∶8C ．1∶4D ．1∶3【答案】B [两个锥体的侧面积之比为1①9，小锥体与台体的侧面积之比为1①8，故选B ．]4．若正方体八个顶点中有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比是( )A ． 3B ． 2C ．23D ．32【答案】A [如图所示，正方体的A ′、C ′、D 、B 的四个顶点可构成一个正四面体，设正方体边长为a ，则正四面体边长为2a . ①正方体表面积S 1＝6a 2， 正四面体表面积为S 2＝4×34×(2a )2＝23a 2， ①S 1S 2＝6a 223a 2＝ 3.] 5．四棱台的两底面分别是边长为x 和y 的正方形，各侧棱长都相等，高为z ，且侧面积等于两底面积之和，则下列关系式中正确的是( )A ．1x ＝1y ＋1zB ．1y ＝1x ＋1zC ．1z ＝1x ＋1yD ．1z ＝1x ＋y【答案】C [由条件知，各侧面是全等的等腰梯形，设其高为h ′，则根据条件得，⎩⎪⎨⎪⎧4·x ＋y 2·h ′＝x 2＋y 2，z 2＋⎝⎛⎭⎫y －x 22＝h ′2，消去h ′得，4z 2(x ＋y )2＋(y －x )2(y ＋x )2＝(x 2＋y 2)2. ①4z 2(x ＋y )2＝4x 2y 2， ①z (x ＋y )＝xy ， ①1z ＝1x ＋1y.] 二、填空题6．已知一个长方体的三个面的面积分别是2，3，6，则这个长方体的体积为________．【答案】6 [设长方体从一点出发的三条棱长分别为a ，b ，c ，则⎩⎨⎧ab ＝2，ac ＝3，bc ＝6，三式相乘得(abc )2＝6，故长方体的体积V ＝abc ＝ 6.]7．已知棱长为1，各面均为等边三角形的四面体，则它的表面积是________，体积是________．【答案】3212 [S 表＝4×34×12＝3， V 体＝13×34×12×12－⎝⎛⎭⎫33 2＝212.]8.如图，在棱长为a 的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，则点A 到平面A 1BD 的距离d ＝________.【答案】33a [在三棱锥A 1ABD 中，AA 1是三棱锥A 1ABD 的高，AB ＝AD ＝AA 1＝a ，A 1B ＝BD ＝A 1D ＝2a ，①V 三棱锥A 1ABD ＝V 三棱锥A A 1BD ， ①13×12a 2×a ＝13×12×2a ×32×2a ×d ， ①d ＝33a . ①点A 到平面A 1BD 的距离为33a .]三、解答题9．已知四面体ABCD 中，AB ＝CD ＝13，BC ＝AD ＝25，BD ＝AC ＝5，求四面体ABCD 的体积．[解] 以四面体的各棱为对角线还原为长方体，如图． 设长方体的长、宽、高分别为x ，y ，z ，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝13，y 2＋z 2＝20，x 2＋z 2＝25，①⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，z ＝4.①V D ABE ＝13DE ·S ①ABE ＝16V 长方体，同理，V C ABF ＝V D ACG ＝V D BCH ＝16V 长方体，①V 四面体ABCD ＝V 长方体－4×16V 长方体＝13V 长方体．而V 长方体＝2×3×4＝24，①V 四面体ABCD ＝8.10．如图，已知正三棱锥S ABC 的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO ＝3，求此正三棱锥的表面积．[解] 如图，设正三棱锥的底面边长为a ，斜高为h ′，过点O 作OE ①AB ，与AB 交于点E ，连接SE ，则SE ①AB ，SE ＝h ′.①S 侧＝2S 底， ①12·3a ·h ′＝34a 2×2. ①a ＝3h ′.①SO ①OE ，①SO 2＋OE 2＝SE 2.①32＋⎝⎛⎭⎫36×3h ′2＝h ′2. ①h ′＝23，①a ＝3h ′＝6.①S 底＝34a 2＝34×62＝93，S 侧＝2S 底＝18 3. ①S 表＝S 侧＋S 底＝183＋93＝27 3.11．建造一个容积为16 m 3，深为2 m ，宽为2 m 的长方体无盖水池，如果池底的造价为120元/m 2，池壁的造价为80元/m 2，求水池的总造价．解：设长方体的长、宽、高分别为a m ，b m ，h m ，水池的总造价为y 元．①V ＝ab h ＝16，h ＝2，b ＝2，①a ＝4.则有S 底＝4×2＝8 (m 2)，S 壁＝2×(2＋4)×2＝24 (m 2)，y ＝S 底×120＋S 壁×80＝120×8＋80×24＝2 880(元)．B 组 能力提升一、选择题1．正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为( )A ．3πB ．43C ．32πD ．1 【答案】B [如图所示，由图可知，该几何体由两个四棱锥构成，并且这两个四棱锥体积相等．四棱锥的底面为正方形，且边长为2，故底面积为(2)2＝2；四棱锥的高为1，故四棱锥的体积为13×2×1＝23.则几何体的体积为2×23＝43.] 2．正三棱锥的底面周长为6，侧面都是直角三角形，则此棱锥的体积为( )A ．423B ． 2C ．223D ．23【答案】D [由题意，正三棱锥的底面周长为6，所以正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，可知侧棱长均为2，三条侧棱两两垂直，所以此三棱锥的体积为13×12×2×2×2＝23.] 二、填空题3．已知某几何体是由两个全等的长方体和一个三棱柱组合而成，如图所示，其中长方体的长、宽、高分别为4,3,3，三棱柱底面是直角边分别为4,3的直角三角形，侧棱长为3，则此几何体的体积是________，表面积是________．【答案】90 138 [该几何体的体积V ＝4×6×3＋12×4×3×3＝90，表面积S ＝2(4×6＋4×3＋6×3)－3×3＋12×4×3×2＋32＋42×3＋3×4＝138.] 三、解答题4．如图，在多面体ABCDEF 中，已知平面ABCD 是边长为4的正方形，EF ∥AB ，EF ＝2，EF 上任意一点到平面ABCD 的距离均为3，求该多面体的体积．[解] 如图，连接EB ，EC ．四棱锥E ABCD 的体积V 四棱锥E ABCD ＝13×42×3＝16. ①AB ＝2EF ，EF ①AB ，①S ①EAB ＝2S ①BEF .①V 三棱锥F EBC ＝V 三棱锥C EFB ＝12V 三棱锥C ABE ＝12V 三棱锥E ABC ＝12×12V 四棱锥E ABCD ＝4. ①多面体的体积V ＝V 四棱锥E ABCD ＋V 三棱锥F EBC ＝16＋4＝20.5．一个正三棱锥P ABC 的底面边长为a ，高为h .一个正三棱柱A 1B 1C 1A 0B 0C 0的顶点A 1，B 1，C 1分别在三条棱上，A 0，B 0，C 0分别在底面△ABC 上，何时此三棱柱的侧面积取到最大值？[解] 设三棱锥的底面中心为O ，连接PO (图略)，则PO 为三棱锥的高，设A 1，B 1，C 1所在的底面与PO 交于O 1点，则A 1B 1AB ＝PO 1PO ，令A 1B 1＝x ，而PO ＝h ，则PO 1＝h ax ， 于是OO 1＝h －PO 1＝h －h ax ＝h ⎝⎛⎭⎫1－x a . 所以所求三棱柱的侧面积为S ＝3x ·h ⎝⎛⎭⎫1－x a ＝3h a (a －x )x ＝3h a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 24－⎝⎛⎭⎫x －a 22.当x ＝a 2时，S 有最大值为34ah ，此时O 1为PO 的中点．。
棱柱棱锥棱台的表面积和体积教案
教案：棱柱、棱锥和棱台的表面积和体积一、教学目标1.理解棱柱、棱锥和棱台的概念；2.掌握计算棱柱、棱锥和棱台的表面积和体积的方法；3.能够应用所学知识解决实际问题。
二、教学内容1.棱柱的定义及性质；2.棱锥的定义及性质；3.棱台的定义及性质；4.计算棱柱、棱锥和棱台的表面积公式；5.计算棱柱、棱锥和棱台的体积公式；6.实际问题应用。
三、教学方法1.演示法：通过示意图、实物模型等形式展示各种几何体，帮助学生理解概念。
2.讲解法：结合示例，详细讲解计算表面积和体积的公式及步骤。
3.练习法：设计一系列练习题，让学生巩固所学知识。
4.讨论法：引导学生思考并讨论如何应用所学知识解决实际问题。
四、教学过程第一步：引入1.利用图片或实物模型展示棱柱、棱锥和棱台，引导学生观察并描述它们的特点。
2.引导学生思考如何计算这些几何体的表面积和体积。
第二步：讲解概念和性质1.讲解棱柱的定义：底面为多边形，侧面是连接底面相对顶点的线段。
2.讲解棱锥的定义：底面为多边形，侧面是连接底面顶点与一个点（称为顶点）的线段。
3.讲解棱台的定义：底面为多边形，顶面为平行于底面的同样形状的多边形，侧面是连接底面边与顶面相对顶点的线段。
4.通过示意图或实物模型展示各种几何体，并帮助学生理解其性质。
第三步：计算表面积公式1.计算棱柱表面积：底面积加上所有侧面积之和。
公式为S=2B+Pℎ，其中B为底面积，P为底边周长，ℎ为高度。
2.计算棱锥表面积：底面积加上侧面积。
公式为S=B+L，其中B为底面积，L为侧面积。
3.计算棱台表面积：底面积加上顶面积加上所有侧面积之和。
公式为S=B1+B2+L，其中B1和B2分别为底面和顶面的面积，L为侧面积。
第四步：计算体积公式1.计算棱柱体积：底面积乘以高度。
公式为V=Bℎ，其中B为底面积，ℎ为高度。
2.计算棱锥体积：底面积乘以高度再除以3。
公式为V=1Bℎ，其中B为底3面积，ℎ为高度。
3.计算棱台体积：（上底面积加下底面积加平行截面的乘积）乘以高度再除以(B1+B2+√B1⋅B2)ℎ，其中B1和B2分别为上下底的3。