中考数学复习检测第2部分专题突破专题十解答题突破—代数几何综合题(涉及二次函数)
2023年九年级中考数学专题训练：二次函数综合(含简单答案)
2023年九年级中考数学专题训练：二次函数综合一、单选题1．已知抛物线()2330y x x c x =++-≤≤与直线2y x =-有且只有一个交点，若c 为整数，则c 的值有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．方程231x x +=的根可视为函数3y x的图象与函数1y x=的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程321x x +=-的实数根x 所在的范围是（ ） A ．112x -<<-B ．1123x -<<-C ．1134x -<<-D ．104x -<<3．如图，已知二次函数()()5144y x x =-+-的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，Р为该二次函数在第一象限内的一点，连接AP ，交BC 于点K ，则APPK的最小值为（ ）A ．94B ．2C ．74D ．544．如图．抛物线y ＝ax 2+c 与直线y ＝mx +n 交于A （﹣1，p ），B （3，q ）两点，则不等式ax 2+mx +c ＞n 的解集为（ ）A ．x ＞﹣1B ．x ＜3C ．x ＜﹣3或x ＞1D ．﹣1＜x ＜35．如图，抛物线y ＝12-x 2+7x ﹣452与x 轴交于点A ，B ，把抛物线在x 轴及共上方的部分记作C 1将C 1向左平移得到C 2，C 2与x 轴交于点B ，D ，若直线y ＝12-x +m 与C 1，C 2共3个不同的交点，则m 的取值范是（ ）A ．52928m << B ．12928m << C ．54528m << D ．14528m <<6．在平面直角坐标系中，对图形F 给出如下定义：若图形F 上的所有点都在以原点为顶点的角的内部或边界上，在所有满足条件的角中，其度数的最小值称为图形的坐标角度，例如，如图中的矩形ABCD 的坐标角度是90°．现将二次函数()213y ax a =≤≤的图象在直线1y =下方的部分沿直线1y =向上：翻折，则所得图形的坐标角度α的取值范围是（ ）A ．3060α︒≤≤︒B ．120150α︒≤≤︒C ．90120α︒≤≤︒D ．6090α︒≤≤︒7．二次函数y =2x 2﹣2x +m （0＜m ＜ 12），如果当x =a 时，y ＜0，那么当x =a ﹣1时，函数值y 的取值范围为（ ） A ．y ＜0B ．0＜y ＜mC ．m ＜y ＜m +4D ．y ＞m8．如图，抛物线21322y x x =-++的图象与坐标轴交于点A ，B ，D ，顶点为E ，以AB为直径画半圆交y 负半轴交于点C ，圆心为M ，P 是半圆上的一动点，连接EP ． ①点E 在①M 的内部；①CD 的长为32①若P 与C 重合，则①DPE ＝15°；①在P 的运动过程中，若AP =PE =①N 是PE 的中点，当P 沿半圆从点A 运动至点B 时，点N 运动的路径长是π．则正确的选项为（ ）A ．①①①B ．①①①C ．①①①D ．①①①二、填空题9．如图，已知抛物线24y x x c =-+的顶点为D ，与y 轴交于点C ，过点C 作x 轴的平行线AC 交抛物线于点A ，过点A 作y 轴的平行线AB 交射线OD 于点B ，若OA OB =，则c 的值为_____________．10．已知抛物线()2123y x m x m =-+++以及平面直角坐标系中的点()1,1E --、()3,7F ，若该抛物线与线段EF 只有一个交点，则m 的取值范围是________．11．在平面直角坐标系中，抛物线215y x bx c =-+（0b >，b 、c 为常数）的顶点为A ，与y 轴交于点B ，点B 关于抛物线对称轴的对称点为C ．若ABC 是等腰直角三角形，则BC 的长为________．12．如图，2=23y x x --与x 轴交于A ，B 两点（A 在左边）与y 轴交于C 点，P 是线段AC 上的一点，连结BP 交y 轴于点Q ，连结OP ，当OAP △和PQC △的面积之和与OBQ △的面积相等时，点P 的坐标为______．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线214y x mx =-+与x 轴正半轴交于点A ，点B是y 轴负半轴上一点，点A 关于点B 的对称点C 恰好落在抛物线上，过点C 作//CD x 轴，交抛物线于点D ，连结OC 、AD ．若点C 的横坐标为4-，则四边形OCDA 的面积为___________．14．若243P m m m ++（，）是一个动点（m 为实数），点Q 是直线4y x =-上的另一个动点，则PQ 长度的最小值为_____．15．已知抛物线2=23y x x --与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧）与y 轴交于点C ，点(6,)D y 在抛物线上，E 是该抛物线对称轴上一动点，当BE 十DE 的值最小时，ACE △的面积为是____16．已知：如图，抛物线的顶点为M ，平行于x 轴的直线与该抛物线交于点A ，B （点A 在点B 左侧），我们规定：当AMB 为直角三角形时，就称AMB 为该抛物线的“优美三角形”．若抛物线26y ax bx =++的“优美三角形”的斜边长为4，求a 的值______．三、解答题17．抛物线23y ax bx =++顶点为点(1,4)D ，与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，点P 是抛物线对称轴上的一个动点．(1)求a 和b 的值；(2)是否存在点P ，使得以P 、D 、B 为顶点的三角形中有两个内角的和等于45°？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．18．如图，已知直线443y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线2y ax bx c =++经过A ，C 两点，且与x 轴的另一个交点为B ，对称轴为直线=1x -．(1)求抛物线的表达式；(2)已知点M 是抛物线对称轴上一点，当MB MC +的值最小时，点M 的坐标是___________；(3)若点P 在抛物线对称轴上，是否存在点P ，使以点B ，C ，P 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．19．如图，已知抛物线233384y x x =--与x 轴的交点为点A 、D (点A 在点D 的右侧)，与y 轴的交点为点C ．(1)直接写出A 、D 、C 三点的坐标；(2)在抛物线的对称轴上找一点M ，使得MD MC +的值最小，并求出点M 的坐标； (3)设点C 关于抛物线对称轴的对称点为点B ，在抛物线上是否存在点P ，使得以A 、B 、C 、P 四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．20．如图，已知抛物线223y ax ax =++中，当=1x -时，4y =．(1)求此抛物线的解析式；(2)点E 是抛物线上且位于直线AB 上方的一个动点，不与点A ，B 重合，求ABE 的面积最大时，点E 的坐标．(3)若1t x ≤≤时，y 的取值范围是04y ≤≤，请直接写出t 的取值范围．参考答案：1．D 2．B 3．A 4．C 5．A 6．D 7．C 8．D 9．8310．2m <-或m>2或1m = 11．6 12．2,13⎛⎫-- ⎪⎝⎭13．641415．616．12±17．(1)1a =-，2b = (2)存在，(1,2)或(1,6)-18．(1)248433y x x =--+(2)8(1,)3M -(3)存在，P 点的坐标为(1,0)-或(-或(1,-或13(1,)8-19．(1)()4,0A ，()2,0D -，()0,3C -(2)连接AC 交对称轴于点M ，点M 即为所求，91,4M ⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)()2,0-或()6,6.20．(1)223y x x =--+(2)315()24-，(3)31t -≤≤-。
广东省中考数学疑难问题突破——代数综合题
广东省中考数学疑难问题突破——代数综合题一、题型分析代数综合题是广东中考数学第 23 题的内容，主要考查一次函数、反比例函数、二次函数以及三角函数的相关知识，突出考查待定系数法和方程思想的运用能力，数形结合和分类讨论的数学思想方法。
本题一般有三个小问，第（1）小问不会太难，起点低、入口宽，考生容易上手，在解答时此小问的分数要一定拿到；第（2）小问的难易程度中等，计算时要严谨，答题格式要规范，此小问的分数要力争拿到；第（3）小问偏难，留给学生的思考空间较大，要学会抢得分点，理解多少做多少，最大限度地发挥自己的水平。
这样就大大提高了本题的得分率。
二、学情分析学生在八年级时就学习了一次函数，九年级学习了反比例函数及二次函数，具备了从函数图象中获取信息，并借助这些信息分析问题、解决问题的基础。
但由于初中学生的年龄特点，他们认识事物还不够全面、系统，在应用与理解时并不是很熟练、透彻，还需通过一些具体实例进一步加深巩固，对于规律性的问题，需进一步加强训练。
因此在教学时，教师应结合学生的实际和认知状况，选择典型的例题，启发学生从实例中归纳总结出代数综合题的解题策略，加深理解，轻松应考。
三、教学任务分析本题型以函数为背景，在考查函数基本性质的基础上更加注重考查学生的综合能力，根据学生实际情况的分析，我制定了以下教学目标：1.能通过函数图象获取信息，会用待定系数法求函数解析式；会用方程思想求特殊点的坐标；熟练求面积、求最值的方法。
2.在探究过程中，发展数形结合、分类讨论的思想方法，体会方程与函数的关系，建立各种知识的联系。
教学重点：1.掌握函数的图象与性质，会用待定系数法求解析式；2.掌握函数图象与几何图形的联系，会用方程思想求特殊点的坐标。
教学疑难点：熟练求面积、求最值的方法，会运用数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想的方法解决问题。
四、教法与学法分析教学方法：针对九年级学生的年龄特点和本校的实际情况，遵循学生的认知规律，关注基础知识，关注基本技能，强化数学思想，采用引导发现法、讲练结合法为主的教学方法，让学生充分经历探究代数综合题的解答过程。
人教版初中数学中考重难题型高分突破(七) 二次函数与几何综合题
6.（都匀模拟）如图，直线y＝－x－3交坐标轴于A，C两点，抛物线y＝x2＋bx＋c 过A，C两点.
（1）求抛物线的解析式； （2）若P为第三象限内抛物线上一动点，连接PA，PC，试问△PAC的面积是否 存在最大值？若存在，请求出△APC面积的最大值，以及此时点P的坐标；若不 存在，请说明理由；
对点训练 5.（2017·黔南州）如图，在平面直角坐标系中，A，B，D三点的坐标分别为A
（8，0），B（0，4），D（－1，0），点C与点B关于x轴对称，连接AB，AC.
（1）求过A，B，D三点的抛物线的解析式； （2）有一动点E从原点O出发，以每秒2个单位的速度向右运动，过点E作x轴的 垂线，交抛物线于点P，交线段CA于点M，连接PA，PB.设点E运动的时间为t （0＜t＜4）秒，求四边形PBCA的面积S与t的函数解析式，并求出四边形PBCA 的最大面积； （3）抛物线的对称轴上是否存在一点H，使得△ABH是直角三角形？若存在， 请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由.
点B在y轴上，P是AB下方抛物线上的一动点，横坐标为m，过点P作PC⊥x轴于 点C，交直线AB于点D.
（1）求抛物线的解析式； （2）是否存在点P，使△PAD是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存 在，说明理由. 【思路分析】（1）将x＝0代入y＝x－1求出点B的坐标.将x＝－3代入y＝x－1求 出点A的坐标，由待定系数法就可以求出抛物线的解析式. （2）当∠APD＝90°时，易得点P与点A关于抛物线对称轴对称；当∠PAD＝ 90°时，作AE⊥x轴于点E，设直线AB交x轴于点F，设出点P的坐标，根据勾股 定理，可分别得到EF，CE，AF的长，再根据平行线分线段成比例得到AD的 长，再由△PAD∽△FEA列出比例式求解；∠ADP不能为90°.
[全]中考数学二次函数压轴题之代数几何综合题
![[全]中考数学二次函数压轴题之代数几何综合题](https://img.taocdn.com/s3/m/b81657600029bd64793e2c83.png)
中考数学二次函数压轴题之代数几何综合题如图已知抛物线y＝ax2+bx+2 经过点A（﹣4，0）和B（1，0）两点，与y 轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，将直线AC 沿y 轴向下平移，得直线BD，BD 与抛物线交于另一点D，连接CD，CD 与x 轴交于点E，试判定△ADE 和△ABD 是否相似，并说明理由．（3）如图2，在（2）的条件下，设点M 是△ABD 的外心．点Q 是线段AE 上的动点（不与点A，E 重合）．① 直接写出M 点的坐标：．② 设直线MQ 的函数表达式为y＝kx+b．在射线MQ 绕点M 从MA 旋转到ME 的过程中，是否存在点Q，使得k 为整数．若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x+4），将（0，2）代入解析式解得a＝-1/2，∴抛物线解析式为y＝-1/2 x2 - 3/2 x + 2 ；（2）设直线AC 的解析式为y＝kx + b，将A、C 坐标代入可得k＝1/2，b＝2，∴直线AC 解析式为y = 1/2 x + 2，将直线AC 平移后得到直线BD，∴直线BD 的解析式为y = 1/2 x - 1/2，∴点D 坐标为（﹣5，﹣3），∴直线CD 的解析式为y＝x + 2，∴点E 坐标为（﹣2，0），∴ AE＝2，AD＝√10，BD＝3√5，DE＝3√2，AB＝5，∵ AE/AD = AD/AB , ∠DAE = ∠BAD，∴△ADE∽△ABD ;（3）①点M 是△ABD 的外心，则点M 在AB 的垂直平分线上，设点M（-3/2，a），∴ MD＝MB，∴ MD2＝MB2，∴ a = -5/2 ,∴ M 点坐标为（-3/2,-5/2）;②∵ A（﹣4，0），M（-3/2 , -5/2）, E（-2 ，0），∴可得直线AM 的解析式为y＝﹣x﹣4，直线EM 的解析式为y＝﹣5x﹣10，∴可知当直线MQ 的k 值为整数时，k 值可以为﹣2，﹣3，﹣4，当k＝﹣2 时，直线MQ 为y＝﹣2x﹣11/2，点Q 坐标为（﹣11/4，0）；当k＝﹣3 时，直线MQ 为y＝﹣3x﹣7，点Q 坐标为（-7/3，0）；当k＝﹣4 时，直线MQ 为y＝﹣4x﹣17/2，点Q 坐标为（-17/8，0）；∴ Q 点坐标为（﹣11/4，0）或（-7/3，0）或（-17/8，0）.【分析】（1）观察A、B 两点的纵坐标都是0 及C（0,2），通过设出抛物线的两根式把 a 解出来，从而确定出抛物线的解析式，关键是要熟练掌握二次函数的图像和性质；（2）证明两个三角形相似，本题用的是“两边对应成比例且夹角相等” 这一判定条件。
中考数学核心考点强化突破函数与几何综合运用含解析
中考数学核心考点强化突破：函数与几何综合运用类型1 存在性问题存在性问题一般有以下题型：是否存在垂直、平行——位置关系；等腰、直角三角形、(特殊)平行四边形——形状关系；最大、最小值－－数量关系等．1．如图,已知二次函数y 1＝－x 2＋134x ＋c 的图象与x 轴的一个交点为A(4,0),与y 轴的交点为B,过A 、B 的直线为y 2＝kx ＋b.(1)求二次函数的解析式及点B 的坐标；(2)由图象写出满足y 1＜y 2的自变量x 的取值范围；(3)在两坐标轴上是否存在点P,使得△ABP 是以AB 为底边的等腰三角形？若存在,求出点P 的坐标；若不存在,说明理由．解：(1)将A(4,0)代入y 1＝－x 2＋134x ＋c,得－42＋134×4＋c ＝0,解得c ＝3.∴所求二次函数的解析式为y 1＝－x 2＋134x ＋3.∵当x ＝0时,y 1＝3,∴点B 的坐标为(0,3)． (2)满足y 1＜y 2的自变量x 的取值范围是：x ＜0或x ＞4.(3)存在,理由如下：作线段AB 的中垂线l,垂足为C,交x 轴于点P 1,交y 轴于点P 2.∵A(4,0),B(0,3),∴OA＝4,OB ＝3.∴在Rt △AOB 中,AB＝OA 2＋OB 2＝5.∴AC＝BC ＝52.∵Rt △ACP 1与Rt △AOB 有公共∠OAB ,∴Rt △ACP 1∽Rt △AOB.∴AP 1AB ＝AC OA ,即AP 15＝524,解得AP 1＝258.而OP 1＝OA －AP 1＝4－258＝78,∴点P 1的坐标为(78,0)．又∵Rt △P 2CB 与Rt △AOB 有公共∠OBA ,∴Rt △P 2CB∽Rt △AOB.∴P 2B AB ＝BC BO ,即P 2B 5＝523,解得P 2B ＝256.而OP 2＝P 2B －OB ＝256－3＝76,∴点P 2的坐标为(0,－76)．∴所求点P 的坐标为(78,0)或(0,－76)．2．如图,抛物线y ＝ax 2＋bx －3经过点A(2,－3),与x 轴负半轴交于点B,与y 轴交于点C,且OC ＝3OB.(1)求抛物线的解析式；(2)点D 在y 轴上,且∠BDO＝∠BAC ,求点D 的坐标；(3)点M 在抛物线上,点N 在抛物线的对称轴上,是否存在以点A,B,M,N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在,求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在,请说明理由．解：(1)由y ＝ax 2＋bx －3得C(0.－3),∴OC＝3,∵OC＝3OB,∴OB＝1,∴B(－1,0),把A(2,－3),B(－1,0)代入y ＝ax 2＋bx －3得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b －3＝－3a －b －3＝0,∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－2,∴抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －3； (2)设连接AC,作BF⊥AC 交AC 的延长线于F,∵A(2,－3),C(0,－3),∴AF∥x 轴,∴F(－1,－3),∴BF＝3,AF ＝3,∴∠BAC＝45°,设D(0,m),则OD ＝|m|,∵∠BDO＝∠BAC ,∴∠BDO＝45°,∴OD＝OB ＝1,∴|m|＝1,∴m＝±1,∴D 1(0,1),D 2(0,－1)；(3)设M(a,a 2－2a －3),N(1,n),①以AB 为边,则AB∥MN ,AB ＝MN,如图2,过M 作ME⊥对称轴于E,AF⊥x 轴于F,则△ABF≌△NME ,∴NE＝AF ＝3,ME ＝BF ＝3,∴|a－1|＝3,∴a＝4或a ＝－2,∴M(4,5)或(－2,5)；②以AB 为对角线,BN ＝AM,BN∥AM ,如图3,则N 在x 轴上,M 与C 重合,∴M(0,－3),综上所述,存在以点A,B,M,N 为顶点的四边形是平行四边形,M(4,5)或(－2,5)或(0,－3)．类型2 几何最值、定值问题3．如图,在平面直角坐标系中,平行四边形ABOC 如图放置,将此平行四边形绕点O 顺时针旋转90°得到平行四边形A′B′OC′.抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3经过点A 、C 、A′三点．(1)求A 、A′、C 三点的坐标；(2)求平行四边形ABOC 和平行四边形A′B′OC′重叠部分的面积；(3)点M 是第一象限内抛物线上的一动点,问点M 在何处时,△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并写出此时M 的坐标．解：(1)当y ＝0时,－x 2＋2x ＋3＝0,解得x 1＝3,x 2＝－1,∴C(－1,0),A′(3,0)．当x ＝0时,y ＝3,∴A(0,3)．(2)设A′C′与OB 相交于点D.∵C(－1,0),A(0,3),∴B(1,3)．∴OB＝32＋12＝10.∴S △BOA ＝12×1×3＝32.又∵平行四边形ABOC 旋转90°得到平行四边形A′B′OC′, ∴∠ACO＝∠OC′D.又∵∠ACO＝∠ABO ,∴∠ABO＝∠OC′D.又∵∠C′OD＝∠AOB ,∴△C′OD∽△BOA.∴S △C′OD S △BO A ＝(OC′OB )2＝(110)2.∴S △C′OD ＝320. (3)设M 点的坐标为(m,－m 2＋2m ＋3),连接OM.S △AMA′＝S △MOA′＋S △MOA －S △AOA′＝12×3×(－m 2＋2m ＋3)＋12×3×m－12×3×3＝－32m 2＋92m ＝－32(m －32)2＋278.(0＜m ＜3)当m ＝32时,S △AMA′取到最大值278,∴M(32,154)．4．如图,已知抛物线y ＝ax 2－23ax －9a 与坐标轴交于A,B,C 三点,其中C(0,3),∠BAC 的平分线AE 交y 轴于点D,交BC 于点E,过点D 的直线l 与射线AC,AB 分别交于点M,N.(1)直接写出a 的值、点A 的坐标及抛物线的对称轴；(2)点P 为抛物线的对称轴上一动点,若△PAD 为等腰三角形,求出点P 的坐标；(3)证明：当直线l 绕点D 旋转时,1AM ＋1AN 均为定值,并求出该定值．解：(1)∵C(0,3)．∴－9a ＝3,解得：a ＝－13.令y ＝0得：ax 2－2x －9a ＝0,∵a≠0,∴x 2－2x －9＝0,解得：x ＝－3或x ＝33.∴点A 的坐标为(－3,0),B(33,0)．∴抛物线的对称轴为x ＝ 3. (2)∵OA＝3,OC ＝3,∴tan∠CAO＝3,∴∠CAO＝60°.∵AE 为∠BAC 的平分线,∴∠DAO＝30°.∴DO ＝33AO ＝1.∴点D 的坐标为(0,1)设点P 的坐标为(3,a)． 依据两点间的距离公式可知：AD 2＝4,AP 2＝12＋a 2,DP 2＝3＋(a －1)2.当AD ＝PA 时,4＝12＋a 2,方程无解．当AD ＝DP 时,4＝3＋(a －1)2,解得a ＝2或a ＝0,当a ＝2时,点A,D,P 三点共线,不能构成三角形,∴a≠2,∴点P 的坐标为(3,0)．当AP ＝DP 时,12＋a 2＝3＋(a －1)2,解得a ＝－4.∴点P 的坐标为(3,－4)．综上所述,点P 的坐标为(3,0)或(3,－4)．(3)设直线AC 的解析式为y ＝mx ＋3,将点A 的坐标代入得：－3m ＋3＝0,解得：m ＝3,∴直线AC 的解析式为y ＝3x ＋3.设直线MN 的解析式为y ＝kx ＋1.把y ＝0代入y ＝kx ＋1得：kx ＋1＝0,解得：x ＝－1k ,∴点N 的坐标为(－1k ,0)．∴AN＝－1k ＋3＝3k －1k.将y ＝3x ＋3与y ＝kx ＋1联立解得：x ＝2k －3.∴点M 的横坐标为2k －3.过点M 作MG⊥x 轴,垂足为G.则AG ＝2k －3＋3.∵∠MAG＝60°,∠AGM＝90°,∴AM＝2AG ＝4k －3＋23＝23k －2k －3.∴1AM ＋1AN ＝k －323k －2＋k 3k －1＝3k －323k －2＝3（3k －1）2（3k －1）＝32类型3 反比例函数与几何问题5．如图,P 1,P 2是反比例函数y ＝k x(k ＞0)在第一象限图象上的两点,点A 1的坐标为(4,0)．若△P 1OA 1与△P 2A 1A 2均为等腰直角三角形,其中点P 1,P 2为直角顶点．①求反比例函数的解析式．②(Ⅰ)求P 2的坐标．(Ⅱ)根据图象直接写出在第一象限内当x 满足什么条件时,经过点P 1,P 2的一次函数的函数值大于反比例函数y ＝k x 的函数值．解：①过点P 1作P 1B⊥x 轴,垂足为B,∵点A 1的坐标为(4,0),△P 1OA 1为等腰直角三角形,∴OB＝2,P 1B ＝12OA 1＝2,∴P 1的坐标为(2,2),将P 1的坐标代入反比例函数y ＝k x (k ＞0),得k ＝2×2＝4,∴反比例函数的解析式为y ＝4x；②(Ⅰ)过点P 2作P 2C⊥x 轴,垂足为C∵△P 2A 1A 2为等腰直角三角形,∴P 2C ＝A 1C,设P 2C ＝A 1C ＝a,则P 2的坐标为(4＋a,a),将P 2的坐标代入反比例函数的解析式y ＝4x 中,得a ＝44＋a,解得a 1＝22－2,a 2＝－22－2(舍去),∴P 2的坐标为(2＋22,22－2)；(Ⅱ)在第一象限内,当2＜x ＜2＋22时,一次函数的函数值大于反比例函数的函数值．6．如图,在平面直角坐标系中,正方形OABC 的顶点O 与坐标原点重合,点C 的坐标为(0,3),点A 在x 轴的负半轴上,点D,M 分别在边AB,OA 上,且AD ＝2DB,AM ＝2MO,一次函数y ＝kx ＋b 的图象过点D 和M,反比例函数y ＝m x的图象经过点D,与BC 的交点为N. (1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)若点P 在直线DM 上,且使△OPM 的面积与四边形OMNC 的面积相等,求点P 的坐标．解：(1)∵正方形OABC 的顶点C(0,3),∴OA＝AB ＝BC ＝OC ＝3,∠OAB＝∠B＝∠BCO＝90°,∵AD＝2DB,∴AD＝23AB ＝2,∴D(－3,2),把D 坐标代入y ＝m x 得：m ＝－6,∴反比例函数解析式为y ＝－6x,∵AM＝2MO,∴MO＝13OA ＝1,即M(－1,0),把M 与D 的坐标代入y ＝kx ＋b 中得：⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝0，－3k ＋b ＝2，解得：k ＝b ＝－1,则直线DM 解析式为y ＝－x －1 (2)把y ＝3代入y ＝－6x得：x ＝－2,∴N(－2,3),即NC ＝2,设P(x,y),∵△OPM 的面积与四边形OMNC 的面积相等,∴12(OM ＋NC)·OC＝12OM|y|,即|y|＝9,解得：y ＝±9,当y ＝9时,x ＝－10,当y ＝－9时,x ＝8,则P 坐标为(－10,9)或(8,－9)．。
中考数学二轮复习专题二解答重难点题型突破题型六二次函数与几何图形综合题试题
题型六二次函数与几何图形综合题种类一二次函数与图形判断1． (2017·陕西 )在同向来角坐标系中，抛物线C1： y＝ ax2－ 2x－ 3 与抛物线 C2： y＝ x2＋mx＋ n 对于 y轴对称， C2与 x 轴交于 A 、B 两点，此中点 A 在点 B 的左边．(1)求抛物线 C1，C2的函数表达式；(2)求 A 、 B 两点的坐标；(3) 在抛物线 C1上能否存在一点P，在抛物线 C2上能否存在一点Q，使得以 AB 为边，且以 A、 B、 P、 Q 四点为极点的四边形是平行四边形？若存在，求出P、 Q 两点的坐标；若不存在，请说明原因 .2．(2017·随州 )在平面直角坐标系中，我们定义直线y＝ax－ a 为抛物线y＝ ax2＋bx＋ c(a、b、c 为常数， a≠ 0) 的“梦想直线”；有一个极点在抛物线上，还有一个极点在 y 轴上的三角形为其“梦想三角形” ．已知抛物线y＝－232433与其“梦想直线”交于 A 、B 两点 (点 A 在点 B 的3x －3x＋ 2左边 )，与 x 轴负半轴交于点 C.(1)填空：该抛物线的“梦想直线”的分析式为 __________ ，点 A 的坐标为 __________ ，点B 的坐标为 __________；(2) 如图，点 M 为线段 CB 上一动点，将△ ACM 以 AM 所在直线为对称轴翻折，点 C 的对称点为N，若△ AMN 为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标；(3) 当点 E 在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，能否存在点F，使得以点 A 、C、 E、 F 为极点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、 F 的坐标；若不存在，请说明原因．( 2017·许昌模拟 )已知：如图，抛物线 y＝ ax2－ 2ax＋c(a ≠0)与 y 轴交于点 C(0 ， 4)，与 x 轴交于点 A 、 B ，点 A 的坐标为 (4， 0)．(1)求该抛物线的分析式；(2)点 Q 是线段 AB 上的动点，过点 Q 作 QE∥AC ，交 BC 于点 E，连结 CQ.当△ CQE 的面积最大时，求点 Q 的坐标；(3)若平行于 x 轴的动直线 l 与该抛物线交于点 P，与直线 AC 交于点 F，点 D 的坐标为(2， 0)．问：能否存在这样的直线l ，使得△ODF 是等腰三角形？若存在，恳求出点P 的坐标；若不存在，请说明原因.44．(2016 ·河南 )如图①，直线 y ＝－ 3x ＋n 交 x 轴于点 A ，交 y 轴于点 C(0， 4)，抛物线 y＝ 2x 2＋ bx ＋ c 经过点 A ，交 y 轴于点 B(0 ，－ 2)．点 P 为抛物线上一个动点，过点 P 作 x 轴3的垂线 PD ，过点 B 作 BD ⊥PD 于点 D ，连结 PB ，设点 P 的横坐标为 m.(1) 求抛物线的分析式；(2) 当 △BDP 为等腰直角三角形时，求线段PD 的长；(3) 如图②，将 △ BDP 绕点 B 逆时针旋转，获得 △ BD ′ P ，′且旋转角∠ PBP ′＝∠ OAC ，当点 P 的对应点 P ′落在座标轴上时，请直接写出点P 的坐标 .种类二二次函数与图形面积11． (2017·盐城 )如图，在平面直角坐标系中，直线y＝ 2x＋2 与x 轴交于点 A ，与y 轴交于点C，抛物线1y＝－ 2x2＋bx＋c经过A、C 两点，与x 轴的另一交点为点 B.(1)求抛物线的函数表达式；(2)点 D 为直线 AC 上方抛物线上一动点；①连结 BC 、CD，设直线 BD 交线段 AC 于点 E，△ CDE 的面积为S1，△ BCE 的面积为S2，求S1的最大值；S2②过点 D 作 DF⊥ AC ，垂足为点 F，连结 CD ，能否存在点 D，使得△CDF 中的某个角恰巧等于∠ BAC 的 2 倍？若存在，求点 D 的横坐标；若不存在，请说明原因．2． (2017·安顺 )如图甲，直线y＝－ x＋ 3 与 x 轴、 y 轴分别交于点2两点的抛物线y＝ x ＋ bx＋c 与 x 轴的另一个交点为 A ，极点为P.B 、点C，经过 B 、 C(1)求该抛物线的分析式；(2)在该抛物线的对称轴上能否存在点M ，使以 C，P，M 为极点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出全部切合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明原因；(3) 当0＜ x＜ 3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值(图乙、丙供绘图探究 ).3． (2017·周口模拟 )如图，抛物线 y＝ ax2＋ bx－ 3 与 x 轴交于点 A(1 ，0)和点 B，与 y 轴交于点 C，且其对称轴 l 为 x＝－ 1，点 P 是抛物线上 B， C 之间的一个动点(点 P 不与点 B，C重合 )．(1)直接写出抛物线的分析式；(2)小唐研究点 P 的地点时发现：当动点 N 在对称轴 l 上时，存在 PB⊥ NB ，且 PB＝NB的关系，恳求出点P 的坐标；(3) 能否存在点P 使得四边形PBAC 的面积最大？若存在，恳求出四边形PBAC 面积的最大值；若不存在，请说明原因.4． (2017·濮阳模拟 )如图①，已知抛物线 y＝ ax2＋ bx－ 3 的对称轴为 x＝ 1，与 x 轴分别交于 A 、 B 两点，与 y 轴交于点 C，一次函数 y＝x＋ 1 经过 A ，且与 y 轴交于点 D.(1) 求该抛物线的分析式．(2) 如图②，点P 为抛物线B、 C 两点间部分上的随意一点( 不含 B， C 横坐标为t，设四边形DCPB 的面积为S，求出 S 与 t 的函数关系式，并确立取最大值？最大值是多少？两点 )，设点 P 的t 为什么值时， S(3)如图③，将△ ODB 沿直线 y＝ x＋ 1 平移获得△O′ D′，B设′ O′ B与′抛物线交于点 E，连结 ED′，若 ED′恰巧将△ O′D′的B′面积分为 1∶ 2 两部分，请直接写出此时平移的距离．种类三二次函数与线段问题1． (2017·南宁 )如图，已知抛物线y＝ ax2－ 23ax－9a 与坐标轴交于A，B，C 三点，其中 C(0，3)，∠BAC 的均分线 AE 交 y 轴于点 D，交 BC 于点 E，过点 D 的直线 l 与射线 AC ， AB 分别交于点 M ，N.(1)直接写出 a 的值、点 A 的坐标及抛物线的对称轴；(2) 点 P 为抛物线的对称轴上一动点，若△ PAD为等腰三角形，求出点P 的坐标；1 1(3)证明：当直线 l 绕点 D 旋转时，AM＋AN均为定值，并求出该定值．2．(2017·焦作模拟 )如图①，直线 y＝34x＋m 与 x 轴、 y 轴分别交于点 A 和点 B(0 ，－ 1)，抛物线 y＝12x2＋ bx＋ c 经过点 B ，点 C 的横坐标为 4.(1)请直接写出抛物线的分析式；(2)如图②，点 D 在抛物线上， DE∥ y 轴交直线 AB 于点 E，且四边形 DFEG 为矩形，设点 D 的横坐标为x(0＜ x＜ 4)，矩形 DFEG 的周长为l ，求 l 与 x 的函数关系式以及l 的最大值；(3)将△AOB 绕平面内某点 M 旋转 90°或 180 °，获得△A 1O1B1，点 A 、O、B 的对应点分别是点 A 1、O1、B 1.若△ A 1O1B1的两个极点恰巧落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“落点”，请直接写出“落点”的个数和旋转 180°时点 A 1的横坐标 .3． (2017·武汉 )已知点 A( －1， 1)， B(4 ， 6)在抛物线 y＝ ax2＋ bx 上．(1)求抛物线的分析式；(2)如图①，点 F 的坐标为 (0，m)(m ＞ 2)，直线 AF 交抛物线于另一点G，过点 G 作 x 轴的垂线，垂足为H. 设抛物线与x 轴的正半轴交于点E，连结 FH 、 AE ，求证： FH∥ AE ；(3) 如图②，直线AB 分别交 x 轴、 y 轴于 C、 D 两点．点P 从点 C 出发，沿射线CD 方向匀速运动，速度为每秒 2个单位长度；同时点 Q 从原点 O 出发，沿 x 轴正方向匀速运动，速度为每秒 1 个单位长度．点 M 是直线 PQ 与抛物线的一个交点，当运动到 t 秒时， QM ＝2PM ，直接写出t 的值 .种类四二次函数与三角形相像1． (2016·南宁 )如图，已知抛物线经过原点 O，极点为 A(1 ，1)，且与直线 y＝ x－ 2 交于 B ，C 两点．(1)求抛物线的分析式及点 C 的坐标；(2)求证：△ ABC 是直角三角形；(3) 若点 N 为 x 轴上的一个动点，过点N作MN⊥ x轴与抛物线交于点M ，则能否存在以O， M ，N 为极点的三角形与△ ABC相像？若存在，恳求出点N 的坐标；若不存在，请说明原因 .2． (2017·平顶山模拟 )如图，抛物线 y＝ax2＋bx＋ 1 与直线y＝－ ax＋ c 订交于坐标轴上点 A( － 3， 0)， C(0， 1)两点．(1) 直线的表达式为__________；抛物线的表达式为(2)D 为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE 求线段 DF 长度的最大值，并求此时点 D 的坐标；__________ ；垂直 x 轴于点 E，交直线AC于点F，(3)P 为抛物线上一动点，且A 、 N 为极点的三角形与△ ACO P 在第四象限内，过点相像，请直接写出点P作PNP的坐标.垂直x 轴于点N，使得以P、3．如图①，二次函数y＝ ax2＋ bx＋ 33经过 A(3 ， 0)， G(－ 1， 0)两点．(1)求这个二次函数的分析式；(2) 若点 M 是抛物线在第一象限图象上的一点，求△ ABM面积的最大值；23(3)抛物线的对称轴交 x 轴于点 P，过点 E(0 ，3 )作 x 轴的平行线，交 AB 于点 F，能否存在着点Q，使得△ FEQ∽△ BEP？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由 .4． (2017·海南 )抛物线 y＝ ax2＋ bx＋ 3 经过点 A(1 ，0)和点 B(5 ，0)．(1) 求该抛物线所对应的函数分析式；(2) 该抛物线与直线y＝错误 ! x＋ 3 订交于C、 D 两点，点P 是抛物线上的动点且位于轴下方，直线PM ∥ y 轴，分别与x 轴和直线 CD 交于点 M、 N.①连结 PC、PD，如图①，在点 P 运动过程中，△ PCD 的面积能否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明原因；②连结 PB，过点 C 作 CQ⊥ PM ，垂足为点Q，如图②，能否存在点P，使得△ CNQx 与△ PBM相像？若存在，求出知足条件的点P 的坐标；若不存在，说明原因.题型六 第 23 题二次函数与几何图形综合题种类一二次函数与图形判断1．解： (1) ∵ C 1、C 2 对于 y 轴对称，∴ C 1 与 C 2 的交点必定在 y 轴上，且 C 1 与 C 2 的形状、大小均同样，∴a ＝ 1， n ＝－ 3，∴ C 1 的对称轴为 x ＝ 1，∴ C 2 的对称轴为 x ＝－ 1，∴ m ＝ 2，∴ C 1 的函数表示式为 y ＝x 2 －2x － 3，C 2 的函数表达式为 y ＝ x 2＋ 2x －3；(2) 在 C 2 的函数表达式为 y ＝ x 2＋ 2x －3 中，令 y ＝ 0 可得 x 2＋ 2x － 3＝ 0，解得 x ＝－ 3 或x ＝ 1，∴ A( － 3， 0)， B(1， 0)；(3) 存在．设 P(a ， b)，则 Q(a ＋ 4， b)或(a －4， b)， ①当 Q(a ＋4， b)时，得：a 2－ 2a － 3＝ (a ＋ 4)2＋ 2(a ＋ 4)－ 3， 解得 a ＝－ 2，∴ b ＝ a 2－ 2a － 3＝ 4＋ 4－3＝ 5，∴ P 1( －2， 5)， Q 1(2， 5)．②当 Q(a －4， b)时，得：22a － 2a － 3＝ (a － 4) ＋ 2(a － 4)－ 3，∴ b ＝ 4－ 4－ 3＝－ 3，∴ P 2(2，－ 3)， Q 2(－ 2，－ 3)．综上所述，所求点的坐标为P 1(－ 2， 5)， Q 1(2， 5)；P 2(2，－ 3)， Q 2(－ 2，－ 3).2．解： (1) ∵抛物线 y ＝－ 23 24 3 3，3 x － 3 x ＋2∴其梦想直线的分析式为y ＝－ 23 3 x ＋ 2 3 3，2 3 2 3y ＝－ 3 x ＋ 3x ＝－ 2x ＝ 1联立梦想直线与抛物线分析式可得 2 3 2，解得 或 ，y ＝－ － 4 3 y ＝ 2 3 y ＝ 03 x3 x ＋ 2 3∴ A( － 2， 2 3)， B(1 ， 0)；(2) 当点 N 在 y 轴上时，△ AMN 为梦想三角形，如解图①，过 A 作 AD ⊥ y 轴于点 D ，则 AD ＝ 2，在 y ＝－ 2 3 3x 2－ 43 3x ＋ 2 3中，令 y ＝0 可求得 x ＝－ 3 或 x ＝ 1，∴ C( － 3， 0)，且 A( －2， 2 3)，∴AC ＝ （－ 2＋3）2＋（ 2 3）2＝ 13，由翻折的性质可知 AN ＝ AC ＝ 13，在 Rt △ AND 中，由勾股定理可得 DN ＝ AN 2－AD 2＝ 13－ 4＝ 3，∵OD ＝2 3，∴ ON ＝2 3－3 或 ON ＝ 2 3＋3，当 ON ＝ 2 3＋ 3 时，则 MN ＞ OD ＞CM ，与 MN ＝CM 矛盾，不合题意， ∴N 点坐标为 (0， 2 3－3)；当 M 点在 y 轴上时，则 M 与 O 重合，过 N 作 NP ⊥ x 轴于点 P ，如解图②，在 Rt △ AMD中， AD ＝ 2，OD ＝ 2 3，∴ tan ∠DAM＝MD ＝3，∴∠DAM＝ 60°，AD∵ AD ∥ x 轴，∴∠ AMC ＝∠ DAM ＝ 60°，又由折叠可知∠ NMA ＝∠ AMC ＝ 60°，∴∠ NMP ＝ 60°，且 MN ＝CM ＝ 3，∴ MP ＝1MN ＝3， NP ＝ 3MN ＝3 3，22223 3 3∴此时 N 点坐标为 (2， 2 )；N 点坐标为 (0， 2 3－ 3)或 ( 3 3 3 综上可知 2，2 )； (3) ①当 AC 为平行四边形的边时，如解图③，过 F 作对称轴的垂线 FH ，过 A 作 AK ⊥ x轴于点 K ，则有 AC ∥EF 且 AC ＝EF ，∴∠ ACK ＝∠ EFH ，∠ ACK ＝∠ EFH在△ ACK 和△ EFH 中， ∠ AKC ＝∠ EHF ，AC ＝EF∴△ ACK ≌△ EFH( AAS)， ∴FH ＝CK ＝1，HE ＝AK ＝2 3，∵抛物线对称轴为 x ＝－ 1，∴ F 点的横坐标为 0或－2，∵点 F 在直线 AB 上，∴当 F 点横坐标为0 时，则 F(0，233)，此时点 E 在直线 AB 下方，∴ E 到 x 轴的距离为 EH － OF ＝2 3－23＝4 3，即 E 点纵坐标为－43，∴ E(－ 1，－3 33433)；当 F 点的横坐标为－ 2 时，则 F 与 A 重合，不合题意，舍去；②当 AC 为平行四边形的对角线时，∵ C( － 3， 0)，且 A( －2， 2 3)，5∴线段 AC 的中点坐标为(－，3)，设 E(－ 1， t)， F(x， y)，则 x－ 1＝2× (－52)， y＋ t ＝2 3，∴ x＝－ 4，y＝ 2 3－ t，代入直线 AB 分析式可得23－ t＝－233× (－ 4)＋233，解得 t＝－433，∴E(－1，－4 31033 )， F(－ 4，3)；综上可知存在知足条件的点F，此时 E(－ 1，－4323－1，－43 3)、F(0，3)或 E(3)、F(－1034，3).0＝16a－ 8a＋c a＝－12，3．解：(1)由题意，得，解得4＝c c＝4∴所求抛物线的分析式为y＝－1x2＋ x＋4；2(2)设点 Q 的坐标为 (m， 0)，如解图①，过点 E 作 EG⊥ x 轴于点 G.12＝－ 2， x2＝ 4，由－ x ＋ x＋4＝ 0，得 x12∴点 B 的坐标为 (－ 2， 0)，∴ AB ＝6， BQ＝ m＋ 2，∵QE∥ AC ，∴△ BQE ∽△ BAC ，∴EG＝BQ，即EG＝m＋2，∴ EG＝2m＋4，COBA463∴ S△CQE＝ S△CBQ－ S△EBQ＝111(m＋ 2)(4 －2m＋ 4)＝－12＋28＝BQ·CO－2BQ·EG＝33m3m＋223－1(m－ 1)2＋ 3，3又∵－ 2≤ m≤ 4，∴当 m＝ 1 时， S△CQE有最大值3，此时 Q(1 ，0)；图①图②(3)存在．在△ ODF 中．(ⅰ)若 DO＝DF，∵A(4 ， 0)，D(2 ， 0)，∴ AD ＝ OD＝DF ＝ 2，又∵在 Rt △AOC 中， OA ＝ OC ＝4，∴∠ OAC ＝ 45°， ∴∠ DFA ＝∠ OAC ＝ 45°，∴∠ ADF ＝ 90°，此时，点 F 的坐标为 (2， 2)，12由－ x ＋ x ＋4＝ 2，2得 x 1＝ 1＋ 5， x 2＝ 1－ 5，此时，点 P 的坐标为 P(1＋5，2)或 P(1－5， 2)；( ⅱ)若 FO ＝ FD ，如解图②，过点 F 作 FM ⊥ x 轴于点 M ， 由等腰三角形的性质得： OM ＝ MD ＝ 1，∴ AM ＝ 3， ∴在等腰直角△ AMF 中， MF ＝ AM ＝ 3，∴ F(1， 3)，12由－ x ＋ x ＋4＝ 3，得 x 1 ＝1＋ 3， x 2＝ 1－ 3，2此时，点 P 的坐标为： P(1＋3， 3)或 P(1－ 3， 3)；( ⅲ)若 OD ＝ OF ，∵ OA ＝ OC ＝4，且∠ AOC ＝ 90°， ∴ AC ＝ 4 2，∴点 O 到 AC 的距离为 2 2，而 OF ＝ OD ＝ 2＜ 2 2，与 OF ≥ 2 2矛盾，∴ AC 上不存在点使得 OF ＝ OD ＝ 2，此时，不存在这样的直线 l ，使得△ ODF 是等腰三角形．综上所述，存在这样的直线 l ，使得△ ODF 是等腰三角形． 所求点 P 的坐标为 (1＋5， 2)或 (1－ 5， 2)或 (1＋ 3， 3)或 (1－ 3， 3).44．解： (1) ∵点 C(0， 4)在直线 y ＝－ 3x ＋ n 上，4∴ n ＝ 4，∴ y ＝－ 3x ＋ 4，令 y ＝ 0，解得 x ＝ 3，∴ A(3 ， 0)，2 2∵抛物线 y ＝ 3x ＋bx ＋ c 经过点 A ，交 y 轴于点 B(0，－ 2)，∴ c ＝－ 2， 6＋3b － 2＝ 0，解得 b ＝－43，2 24∴抛物线的分析式为y ＝ 3x － 3x －2；(2) ∵点 P 的横坐标为 m ，且点 P 在抛物线上，2 2 4∴P(m ， 3m －3m － 2)，∵ PD ⊥ x 轴， BD ⊥ PD ，∴点 D 坐标为 (m ，－ 2)， ∴ |BD|＝ |m|， |PD|＝ |2m 2－ 4m － 2＋ 2|，33当△ BDP 为等腰直角三角形时，PD ＝ BD ，224 22 4∴ |m|＝ |m －m － 2＋ 2|＝ | m － m|.3333∴ m 2＝(2m 2－ 4m)2，解得： m 1＝ 0(舍去 )， m 2＝ 7， m 3＝ 1，3322∴当△ BDP 为等腰直角三角形时，线段PD 的长为7或1；2 2(3) ∵∠ PBP ′＝∠ OAC ，OA ＝ 3，OC ＝ 4，∴ AC ＝ 5，∴ sin ∠PBP ′＝ 45， cos ∠PBP ′＝ 35，①当点 P ′落在 x 轴上时，如解图①，过点D ′作 D ′N⊥ x 轴，垂足为 N ，交 BD 于点 M ，∠ DBD ′＝∠ ND ′P ′＝∠ PBP ′，由旋转知， P ′ D ′＝ PD ＝ 2m 2－ 4m ，33在 Rt △ P ′D ′ N 中， cos ∠ ND ′ P ′＝ ND ′3＝ cos ∠PBP ′＝，P ′ D ′5∴ ND ′＝ 3(2m 2－ 4m)，5 33在 Rt △ BD ′ M 中， BD ′＝－ m ， sin ∠ DBD ′＝D ′M 4＝ sin ∠ PBP ′＝ ，BD ′5∴D ′M ＝－4m ，∴ ND ′－ MD ′＝ 2，5∴ 3(2m 2－4m)－ (－ 4m)＝ 2， 5 3 3 5解得 m ＝ 5(舍去 )或 m ＝－5，如解图②，同①的方法得， ND ′＝ 3(2m 2－4m)，MD ′＝ 4m ，5 3 35 ND ′＋ MD ′＝ 2， ∴ 3(2m 2－4m)＋ 4m ＝ 2， 5 3 3 5∴ m ＝ 5或 m ＝－ 5(舍去 )，∴P(－ 5，4－4 5＋45＋ 4)或 P( 5， 3)，3②当点 P ′落在 y 轴上时，如解图③，过点 D ′作 D ′M⊥ x 轴，交 BD 于 M ，过点 P ′作 P ′N⊥ y 轴，交 MD ′的延伸线于点 N ，∴∠ DBD ′＝∠ ND ′P ′＝∠ PBP ′，同①的方法得： P ′N＝ 4(2m 2－4 m)，BM ＝ 3m ，5 3 3 5∵ P ′N ＝BM ，4224 3∴ 5(3m －3m)＝ 5m ，25解得 m ＝或 m ＝ 0( 舍去 )，25 11 ∴ P( 8 ， 32)，∴ P(－ 5， 4 5＋4－4 5＋425 113 )或 P( 5， 3)或 P(8 ， 32).种类二 二次函数与图形面积1．解： (1)依据题意得 A( － 4， 0)， C(0， 2)， ∵抛物线 y ＝－ 1x 2＋ bx ＋ c 经过 A 、 C 两点，2 0＝－ 1× 16－ 4b ＋c b ＝－ 3∴ 2， 解得 2， 2＝ c c ＝ 21 2 3x ＋ 2；∴ y ＝－ x－22(2) ①令 y ＝ 0，∴－12x2－32x ＋ 2＝ 0，解得 x 1＝－ 4， x 2＝ 1，∴ B(1 ， 0)，如解图①，过 D 作 DM ∥ y 轴交 AC 于 M ，过 B 作 BN ⊥ x 轴交 AC 于 N ，∴ DM ∥BN ，∴△ DME ∽△ BNE ，∴S 1＝ DE＝DM，S 2 BEBN1 2 31设 D(a ，－ a －a ＋ 2)，∴ M(a ， a ＋ 2)，2221－ 125 DM 2a － 2aS＝ ＝＝∵ B(1 ， 0)，∴ N(1， ) ，∴S 2 BN522－ 1(a ＋ 2)2＋ 4；55∴当 a ＝－ 2 时，S 1有最大值，最大值是 4；S 25 ②∵ A( － 4， 0)， B(1 ，0)， C(0， 2)，∴AC ＝2 5，BC ＝ 5， AB ＝5，∵ AC 2＋ BC 2＝ AB 2，3∴△ ABC 是以∠ ACB 为直角的直角三角形，取AB 的中点 P ，∴ P(－ 2， 0)，∴ PA ＝ PC ＝ PB ＝ 5，∴∠ CPO ＝2∠ BAC ，2∴ tan ∠ CPO ＝ tan(2∠ BAC) ＝ 4 3，如解图②，过D 作 x 轴的平行线交 y 轴于 R ，交 AC 的延伸线于 G ，状况一：∠ DCF ＝ 2∠ BAC ＝∠ DGC ＋∠ CDG ，∴∠ CDG ＝∠ BAC ，∴ tan ∠ CDG ＝ tan ∠ BAC ＝12，即RCDR ＝12，令 D(a ，－ 1a 2－ 3a ＋ 2)，∴ DR ＝－ a ， RC ＝－ 1a 2－ 3a ，2222123a－ a －22 1∴ － a ＝2，解得 a 1＝ 0(舍去 )， a 2＝－ 2，∴ x D ＝－ 2，状况二：∠ FDC ＝ 2∠BAC ，∴ tan ∠ FDC ＝ 4，3设 FC ＝ 4k ，∴ DF ＝3k ， DC ＝ 5k ， ∵tan ∠ DGC ＝ FG3k＝12，∴ FG ＝6k ，∴ CG ＝ 2k ，DG ＝ 3 5k ，∴ RC ＝25 4 55 k ， RG ＝ 5 k ，4 5 11 5DR ＝ 3 5k － 5 k ＝ 5k ，11 5∴DR＝5 k ＝ － a ，解得 a ＝ 0(舍去 )， a ＝－ 29，RC2 5 1 23 1 211a5 k － a －2 2∴点 D 的横坐标为－ 2 或－ 2911.2．解： (1) ∵直线 y ＝－ x ＋3 与 x 轴、 y 轴分别交于点 B 、点 C ，∴ B(3 ， 0)，C(0， 3)，把 B 、C 坐标代入抛物线分析式可得9＋3b ＋ c ＝ 0，c ＝ 3b ＝－ 4解得 ，c ＝3∴抛物线的分析式为y ＝ x 2－ 4x ＋3；(2) ∵ y ＝ x 2－ 4x ＋ 3＝(x － 2)2－ 1， ∴抛物线对称轴为 x ＝ 2， P(2，－ 1)，设 M(2 ， t) ，且 C(0 ， 3)，∴MC ＝ 22＋（ t－ 3）2＝ t2－6t＋ 13， MP ＝ |t＋ 1|，PC＝ 22＋（－ 1－3）2＝ 2 5，∵△ CPM 为等腰三角形，∴有 MC ＝MP 、 MC＝ PC 和 MP＝PC 三种状况，①当 MC ＝MP 时，则有233t － 6t＋ 13＝|t＋1|，解得 t＝，此时 M(2 ， )；22②当 MC ＝PC 时，则有t2－6t＋ 13＝ 25，解得 t＝－ 1(与 P 点重合，舍去 )或 t＝ 7，此时 M(2 ， 7)；③当 MP ＝PC 时，则有 |t＋ 1|＝ 25，解得 t＝－ 1＋25或 t＝－ 1－ 25，此时 M(2 ，－ 1＋ 25)或 (2，－ 1－ 2 5)；3综上可知存在知足条件的点M ，其坐标为 (2，2)或 (2，7)或(2，－ 1＋ 2 5)或 (2，－ 1－ 2 5)；(3) 如解图，在0＜x＜ 3 对应的抛物线上任取一点E，过 E 作 EF⊥ x 轴，交 BC 于点 F，交 x 轴于点 D，设 E(x， x2－ 4x＋ 3)，则 F(x，－ x＋ 3)，∵0＜ x＜ 3，∴EF＝－ x＋ 3－ (x 2－ 4x＋ 3)＝－ x2＋ 3x，11EF·BD ＝1EF·OB＝12＋ 3x)＝－3 3 2＋∴ S△CBE＝ S△EFC＋ S△EFB＝EF·OD＋22× 3(－ x(x－2)222 27，8∴当 x＝3时，△ CBE 的面积最大，此时 E 点坐标为 (3，－3)，224即当 E 点坐标为33( ，－)时，△ CBE 的面积最大 . 243．解：(1)∵A(1，0)，对称轴l为x＝－1，∴B(－3，0)，a＋ b－3＝ 0a＝ 1∴，解得，9a－ 3b－3＝ 0b＝ 2∴抛物线的分析式为 y＝ x2＋ 2x－3；(2) 如解图①，过点P 作 PM ⊥ x 轴于点 M ，设抛物线对称轴 l 交 x 轴于点 Q.∵ PB ⊥NB ，∴∠ PBN ＝ 90°，∴∠ PBM ＋∠ NBQ ＝ 90°.∵∠ PMB ＝ 90°，∴∠ PBM ＋∠ BPM ＝ 90°， ∴∠ BPM ＝∠ NBQ.又∵∠ BMP ＝∠ BQN ＝ 90°，PB ＝NB ，∴△ BPM ≌△ NBQ ，∴ PM ＝ BQ. ∵抛物线 y ＝ x 2＋ 2x －3 与 x 轴交于点 A(1 ， 0)和点 B ，且对称轴为 x ＝－ 1，∴点 B 的坐标为 (－ 3， 0)，点 Q 的坐标为 (－ 1， 0)，∴ BQ ＝ 2，∴ PM ＝ BQ ＝2.2∵点 P 是抛物线 y ＝ x ＋ 2x － 3 上 B 、 C 之间的一个动点，22将 y ＝－ 2 代入 y ＝x ＋2x － 3，得－ 2＝ x ＋ 2x － 3， 解得 x 1＝－ 1－ 2， x 2＝－ 1＋ 2(舍去 )，(3) 存在．如解图②，连结 AC ，PC.可设点 P 的坐标为 (x ，y)( －3＜ x ＜ 0)，则 y ＝ x 2＋ 2x － 3，∵点 A(1 ， 0)，∴ OA ＝1.∵点 C 是抛物线与 y 轴的交点，∴令 x ＝ 0，得 y ＝－ 3，即点 C(0，－ 3)，∴ OC ＝ 3.由 (2) 可知 S 四边形 PBAC ＝ S △BPM ＋ S 四边形 PMOC ＋ S △AOC ＝1 1 12 BM ·PM ＋ (PM ＋ OC)·OM ＋ OA ·OC22＝ 1(x ＋ 3)(－ y)＋ 1(－ y ＋ 3)( － x)＋ 1× 1×3＝－ 3y － 3x ＋ 3，2222 2223 23 3 3 3275将 y ＝ x ＋ 2x － 3代入可得 S 四边形 PBAC ＝－ (x＋ 2x － 3)－ x ＋ ＝－2(x ＋ ) ＋8.22 2 23∵－ ＜ 0，－ 3＜ x ＜0，∴当 x ＝－ 3时， S 四边形PBAC有最大值75，此时， y ＝ x 2＋ 2x －3＝－15.2843 1575∴当点 P 的坐标为 (－ 2，－ 4 )时，四边形 PBAC 的面积最大，最大值为 8 .4．解： (1) 把 y ＝0 代入直线的分析式得 x ＋ 1＝ 0，解得 x ＝－ 1，∴ A( － 1，0)． ∵抛物线的对称轴为 x ＝ 1，∴ B 的坐标为 (3， 0)． 将 x ＝ 0 代入抛物线的分析式得 y ＝－ 3，∴ C(0，－ 3)．设抛物线的分析式为y ＝ a(x ＋ 1)(x － 3)，将 C(0 ，－ 3)代入得－ 3a ＝－ 3，解得 a ＝ 1，∴抛物线的分析式为 y ＝ (x ＋ 1)(x － 3)＝ x 2－ 2x － 3； (2) 如解图①，连结 OP.将 x＝ 0 代入直线AD 的分析式得y＝1，∴ OD＝ 1.2∵S 四边形DCPB＝ S△ODB＋ S△OBP＋ S△OCP，1×12＋2t1× 3× t，整理得S＝－329∴ S＝3× 1＋×3× (－ t＋ 3)＋2t＋ t＋ 6，2222配方得：S＝－332＋75，(t－)8 22∴当 t＝3时， S 获得最大值，最大值为75；28(3)如解图②，设点 D′的坐标为 (a， a＋ 1)，O′ (a， a)．当△ D′O′E的面积∶△ D′EB′面积＝的 1∶ 2 时，则 O′E∶ EB ′＝ 1∶ 2.∵O′B ′＝ OB ＝ 3，∴ O′ E＝ 1，∴ E(a＋ 1， a)．将点 E 的坐标代入抛物线的分析式得 (a＋1)2－2(a＋1)－ 3＝ a，整理得： a2－ a－ 4＝ 0，解得a＝1＋ 17或a＝1－ 17，22∴ O′的坐标为 (1＋ 171＋ 171－ 17，1－ 17，2)或 (22) ，2∴OO′＝2＋34或 OO′＝34－ 2，22∴△ DOB 平移的距离为2＋34或34－ 2，22当△ D′O′E的面积∶△ D′ EB ′的面积＝ 2∶ 1 时，则 O′E∶ EB′＝ 2∶ 1.∵O′B ′＝ OB ＝ 3，∴ O′ E＝ 2，∴ E(a＋ 2， a)．将点 E 的坐标代入抛物线的分析式得：(a＋ 2)2－ 2(a＋ 2)－ 3＝ a，整理得： a2＋a－ 3＝ 0，解得 a＝－1＋ 13－1－ 13或 a＝2.2－1＋ 13－1＋ 13－ 1－ 13 －1－ 13)．∴ O′的坐标为 (，2)或 (2，22∴ OO′＝－2＋26或 OO′＝2＋ 26.22－2＋262＋ 26.∴△ DOB 平移的距离为2或2综上所述，当△ D′O′沿B′DA 方向平移2＋34或2＋26单位长度，或沿AD 方向平22移 34－－2＋261∶2 两部分 . 2或个单位长度时， ED′恰巧将△ O′D′的B′面积分为22种类三二次函数与线段问题1 1．(1)解：∵C(0，3)，∴－9a＝3，解得a＝－3.令 y＝ 0，得 ax2－ 2 3ax－ 9a＝0，∵a≠ 0，∴ x2－2 3x － 9＝ 0，解得 x＝－ 3或 x＝ 3 3.∴点 A 的坐标为 (－3，0)，点 B 的坐标为 (33， 0)，∴抛物线的对称轴为x＝3；(2)解：∵ OA ＝ 3， OC＝3，∴tan∠ CAO ＝ 3，∴∠ CAO ＝ 60°.∵ AE 为∠ BAC 的均分线，∴∠DAO ＝30°，3∴ DO ＝3 AO ＝ 1，∴点 D 的坐标为 (0， 1)，设点 P 的坐标为 (3， a)．∴AD 2＝ 4， AP 2＝ 12＋a2，DP2＝3＋ (a－ 1)2.当 AD ＝ PA 时， 4＝ 12＋ a2，方程无解．当 AD ＝ DP 时， 4＝ 3＋ (a－ 1)2，解得 a＝ 0 或 a＝2，∴点 P 的坐标为 ( 3， 0)或 (3， 2)．当 AP＝ DP 时， 12＋a2＝ 3＋ (a－ 1)2，解得 a＝－ 4.∴点 P 的坐标为 ( 3，－ 4)．综上所述，点P 的坐标为 ( 3， 0)或 ( 3，－ 4)或 (3， 2);(3) 证明：设直线AC 的分析式为y＝ mx＋ 3，将点 A 的坐标代入得－3m＋ 3＝ 0，解得m＝3，∴直线 AC 的分析式为y＝3x ＋ 3.设直线 MN 的分析式为y＝ kx ＋ 1.把 y＝ 0 代入 y＝ kx＋ 1，得 kx＋ 1＝ 0，解得： x＝－1，k∴点 N 的坐标为 (－1， 0)，∴ AN ＝－1＋3＝ 3k－1. k k k将 y＝3x＋ 3 与 y＝ kx ＋1 联立，解得 x＝2，k－ 3∴点 M 的横坐标为2.k－3如解图，过点M 作 MG ⊥ x 轴，垂足为 G.则 AG ＝2＋ 3.k－ 3∵∠ MAG ＝60°，∠ AGM ＝ 90°，∴ AM ＝2AG ＝4＋223k－ 2 k－ 33＝.k－ 3∴ 1 ＋ 1 ＝ k－ 3 ＋k＝ k－ 3 ＋2k＝ 3k－ 3 ＝ 3（ 3k－ 1）＝AM AN 2 3k－23k－1 2 3k－ 2 2 3k －2 2 3k－ 22（ 3k－ 1）32.32．解：(1)∵直线l：y＝4x＋m经过点B(0，－1)，∴m＝－1，∴直线 l 的分析式为y＝34x－ 1，3∵直线 l ： y ＝ 4x － 1 经过点 C ，且点 C 的横坐标为 4，∴ y ＝ 3× 4－1＝ 2，4∵抛物线 y ＝ 1x 2＋ bx ＋c 经过点 C(4， 2)和点 B(0 ，－ 1)，21× 42＋ 4b ＋ c ＝ 25∴2，解得 b ＝－ 4，c ＝－ 1c ＝－ 1∴抛物线的分析式为1 2 5 x －1；y ＝ x －2434(2) 令 y ＝ 0，则 x － 1＝ 0，解得 x ＝ ，43∴点 A 的坐标为 (4， 0)，∴ OA ＝4，33在 Rt △ OAB 中， OB ＝1，∴ AB ＝OA 2＋ OB 2＝ （4） 2＋ 12＝ 5，3 3 ∵ DE ∥ y 轴，∴∠ ABO ＝∠ DEF ，OB 3在矩形 DFEG 中， EF ＝ DE ·cos ∠DEF ＝ DE ·＝ DE ，AB5OA 4DE ，DF ＝ DE ·sin ∠ DEF ＝ DE · ＝AB 5∴ l ＝2(DF ＋ EF) ＝ 2×( 4＋3)DE ＝ 14DE ，5 55∵点 D 的横坐标为t(0＜ t ＜ 4)，1 253t － 1)， ∴ D(t ，t － t －1) ，E(t ， 24 4∴ DE ＝ (34t － 1)－ (12t 2－ 54t － 1)＝－ 12t 2＋ 2t ，∴ l ＝1412＝－7 228 5 × (－ t ＋ 2t)t ＋5t ，25∵ l ＝－ 7(t －2) 2＋28，且－ 7＜0，555∴当 t ＝ 2 时， l 有最大值 285；(3) “落点”的个数有 4 个，如解图①，解图②，解图③，解图④所示．如解图③，设A 1 的横坐标为 m ，则 O 1 的横坐标为 m ＋ 4，3 1 25 1 4 2 5 4∴m －m － 1＝ (m ＋ )－ (m ＋ )－ 1，242 3 4 3解得 m ＝ 127，如解图④，设 A 1 的横坐标为 m ，则 B 1 的横坐标为 m ＋ 4，B 1 的纵坐标比 A 1 的纵坐标大3 1，1 25 1 4 2 5 4 4，∴m －m － 1＋ 1＝ (m ＋ ) － (m ＋)－ 1，解得 m ＝ 2423433∴旋转 180°时点 A 1 的横坐标为7 或 4 .12 33．(1) 解：将点 A( － 1， 1)， B(4 ， 6)代入 y ＝ ax 2＋ bx 中，1 a － b ＝1a ＝ 2得，解得， 16a ＋ 4b ＝ 61b ＝－ 2 ∴抛物线的分析式为y ＝12x2－12x ；(2) 证明：设直线 AF 的分析式为 y ＝ kx ＋ m ， 将点 A( －1， 1)代入 y ＝ kx ＋ m 中，即－ k ＋ m ＝ 1， ∴ k ＝ m － 1， ∴直线 AF 的分析式为y ＝ (m － 1)x ＋ m.联立直线 AF 和抛物线分析式成方程组，y ＝（ m － 1） x ＋ mx 1＝－ 1 x 2＝ 2m1 2 1，解得 ， 2，y ＝ x － xy 1＝ 1 y 2＝ 2m－ m 2 2∴点 G 的坐标为 (2m ， 2m 2－ m)．∵ GH ⊥ x 轴，∴点 H 的坐标为 (2m ， 0)．1 2 11∵抛物线的分析式为 y ＝ 2x － 2x ＝2x(x － 1)， ∴点 E 的坐标为 (1， 0) ．设直线 AE 的分析式为 y ＝ k 1x ＋ b 1，－ k 1＋ b 1＝ 1k 1＝－ 1将 A( － 1， 1)， E(1 ， 0)代入 y ＝ k 1x ＋b 1 中，得2，解得1，k 1＋ b 1＝ 0 b 1＝2∴直线 AE 的分析式为y ＝－1 1 .x ＋22设直线 FH 的分析式为 y ＝ k 2x ＋ b 2，b 2＝ mk 2＝－ 1将 F(0， m)、 H(2m ， 0)代入 y ＝ k 2x ＋b 2 中，得，解得：2，2mk 2＋ b 2＝ 0b 2＝ m∴直线 FH 的分析式为y ＝－ 1x ＋ m.∴FH ∥ AE ；2(3) 解：设直线 AB 的分析式为 y ＝ k 0x ＋b 0，将 A( －1， 1)， B(4， 6)代入 y ＝k 0x ＋ b 0 中，－ k 0＋ b 0＝ 1 k 0 ＝1，解得 ，4k 0＋ b 0＝ 6 b 0 ＝2∴直线 AB 的分析式为 y ＝ x ＋ 2.当运动时间为 t 秒时，点 P 的坐标为 (t －2， t) ，点 Q 的坐标为 (t ， 0)．当点 M 在线段 PQ 上时，过点 P 作 PP ′⊥x 轴于点 P ′，过点 M 作 MM ′ ⊥ x 轴于点 M ′，则 △ PQP ′∽△ MQM ′ ，如解图所示．∵ QM ＝2PM ， ∴ QM ′＝ MM ′＝ 2，QP ′ PP ′ 342∴QM ′＝ ，MM ′＝t ，334 2∴点 M 的坐标为 (t －3， 3t)，又∵点 M 在抛物线1 21 y ＝ x － x 上，222 1 4 21 4∴t ＝(t － ) －(t － )，32323解得 t ＝ 15± 113，6当点 M 在线段 QP 的延伸线上时，同理可得出点 M 的坐标为 (t － 4， 2t)，∵点 M 在抛物线1 2 1x 上， y ＝ x －2 2 1 × (t － 4) 2 1 ∴ 2t ＝－ (t － 4)，22解得 t ＝ 13± 89.2综上所述：当运动时间为15－ 113秒、 15＋ 113秒、13－ 89秒或 13＋ 89秒时， QM＝6 6 2 22PM.种类四二次函数与三角形相像1．(1) 解：∵极点坐标为 (1， 1)，2又∵抛物线过原点，∴ 0＝ a(0－ 1)2＋ 1，解得 a ＝－ 1，∴抛物线的分析式为 y ＝－ (x － 1)2＋ 1，即 y ＝－ x 2＋ 2x ，y ＝－ x 2＋ 2x联立抛物线和直线分析式可得，y ＝ x － 2解得 x ＝2 x ＝－ 1或 ，y ＝ 0 y ＝－ 3∴ B(2 ， 0)，C( － 1，－ 3)；(2) 证明：如解图，分别过 A 、C 两点作 x 轴的垂线，交 x 轴于 D 、 E 两点，则 AD ＝ OD ＝ BD ＝ 1， BE ＝ OB ＋ OE ＝ 2＋ 1＝ 3， EC ＝3， ∴∠ ABO ＝∠ CBO ＝ 45°，即∠ ABC ＝90°， ∴△ ABC 是直角三角形；(3) 解：假定存在知足条件的点N ，设 N(x ， 0)，则 M(x ，－ x 2＋ 2x)，∴ ON ＝ |x|，MN ＝ |－ x 2＋ 2x|，由 (2) 在 Rt △ ABD 和 Rt △ CEB 中，可分别求得 AB ＝ 2， BC ＝ 3 2， ∵ MN ⊥x 轴于点 N∴∠ MNO ＝∠ ABC ＝90°，∴当△ MNO 和△ ABC 相像时有MN ＝ON或MN＝ON，AB BC BC AB①当MN＝ ON 时，则有|－x 2＋2x|＝|x|，即 |x|× |－ x ＋2|＝ 1 |x|，AB BC 2 3 23∵当 x ＝ 0 时 M 、 O 、 N 不可以组成三角形，∴ x ≠ 0，1 1 5 7 ， ∴ |－ x ＋ 2|＝ ，即－ x ＋2＝ ± ，解得 x ＝ 或 x ＝3333此时 N 点坐标为 (5， 0)或 (7， 0)，33②当MN＝ ON 时，则有 |－ x 2＋ 2x| ＝ |x| ，即 |x|× |－ x ＋2|＝ 3|x|，BC AB 3 2 2∴ |－ x ＋ 2|＝3，即－ x ＋2＝ ±3，解得 x ＝5 或 x ＝－ 1，此时 N 点坐标为 (－1， 0)或 (5， 0)，综上可知存在知足条件的N 点，其坐标为 (5，0)或(7， 0)或 (－ 1， 0)或 (5， 0).3 33a ＋ c ＝ 0 a ＝－ 132．解： (1) 把 A 、 C 两点坐标代入直线 y ＝－ ax ＋c 可得，解得 ，c ＝1c ＝ 1∴直线的表达式为1y ＝ x ＋ 1，3把 A 点坐标和 a ＝－1代入抛物线分析式可得 9× (－1)－ 3b ＋ 1＝ 0，解得 b ＝－ 2，333 ∴抛物线的表达式为y ＝－12 2x ＋ 1；x －3 3(2) ∵点 D 为抛物线在第二象限部分上的一点，1 2 2 1t ＋ 1)，∴可设 D(t ，－ t － t ＋ 1)，则 F(t ，3 33∴DF ＝－1 22 1 1 2 13 2 3 .3t － t ＋ 1－ ( t ＋ 1)＝－ 3 t － t ＝－3(t ＋ ) ＋3324∵－ 1＜ 0，∴当 t ＝－ 3时， DF 有最大值，最大值为3，此时 D 点坐标为 (－3， 5)；3242 422(3) 设 P(m ，－ 3m － 3m ＋ 1) ，如解图，1∵ P 在第四象限，∴ m ＞ 0，－122m ＋ 1＜0， m －3 3122∴ AN ＝ m ＋ 3，PN ＝ m＋ m － 1，3 3∵∠ AOC ＝∠ ANP ＝ 90°，∴当以 P 、A 、N 为极点的三角形与△ ACO 相像时有△ AOC ∽△ PNA 和△ AOC ∽△ ANP ，①当△ AOC ∽△ PNA 时，则有OC ＝AO，即1 ＝3， NA PNm ＋ 3 1 2 2m － 13m ＋3解得 m ＝－ 3 或 m ＝ 10，经查验当 m ＝－ 3 时， m ＋ 3＝ 0(舍去 )， ∴ m ＝ 10，此时 P 点坐标为 (10，－ 39)；②当△ AOC ∽△ ANP 时，则有 OC ＝ AO ，即1＝ 3 ，NP AN 1 2 2 m － 1 m ＋ 3 3m ＋3解得 m ＝ 2 或 m ＝－ 3，经查验当 m ＝－ 3 时， m ＋ 3＝0( 舍去 )，5∴ m ＝ 2，此时 P 点坐标为 (2，－ 3)；综上可知 P 点坐标为 (10，－ 39)或 (2，－5).39a＋ 3b＋ 3 3＝0，a＝－ 3 3．解：(1)将A、G点坐标代入函数分析式，得，解得，a－ b＋3 3＝ 0b＝ 2 3∴抛物线的分析式为y＝－3x2＋ 2 3x＋ 3 3；(2)如解图①，作 ME ∥ y 轴交 AB 于 E 点，当 x＝ 0 时， y＝ 3 3，即 B 点坐标为 (0， 3 3)，直线 AB 的分析式为 y＝－ 3x ＋ 3 3，设 M(n ，－3n2＋ 2 3n＋ 3 3)， E(n，－3n＋ 33)，ME ＝－3n2＋ 2 3n＋ 33－(－3n＋33)＝－3n2＋33n，1123n)× 3＝－3332273，S△ABM＝ME·AO ＝ ( －3n ＋ 32(n－ ) ＋82223273当 n＝2时，△ ABM 面积的最大值是8；(3)存在；原因以下： OE＝23，AP＝2，OP＝1，BE＝ 3 3－2 3＝7 3，333当 y＝233时，－ 3x＋ 3 3＝233，解得 x＝73，即 EF＝73，将△ BEP 绕点 E 顺时针方向旋转 90°，获得△ B′EC(如解图② )，∵ OB ⊥ EF，∴点 B′在直线 EF 上，∵ C 点横坐标绝对值等于EO 长度， C 点纵坐标绝对值等于EO－PO 长度，∴C 点坐标为 (－2 3，2 3－ 1)，33如解图，过 F 作 FQ∥B′C，交 EC 于点 Q，则△ FEQ∽△ B′EC，由BE＝B′E3，＝CE＝EF EF EQ2 3可得 Q 的坐标为 (－3，－3 )；依据对称性可得，Q 对于直线 EF 的对称点 Q′(－2，5333 )也切合条件 .4．解：(1)∵抛物线y＝ ax2＋ bx＋ 3 经过点 A(1 ，0) 和点 B(5 ， 0)，3∴a＋ b＋3＝ 0a＝5，解得，25a＋ 5b＋ 3＝ 018b＝－5∴该抛物线对应的函数分析式为y ＝3 x 2－18 x ＋ 3；5 5 (2) ①∵点 P 是抛物线上的动点且位于 x 轴下方，3 2 18 t ＋ 3)(1＜ t ＜ 5)， ∴可设 P(t ， t － 5 5 ∵直线 PM ∥ y 轴，分别与 x 轴和直线 CD 交于点 M 、 N ，3∴ M(t ， 0)，N(t ，5t ＋ 3)，33 2 18 3 7 2 147 ， ∴ PN ＝ t ＋ 3－ ( t － 5 t ＋ 3)＝－ (t － ) ＋ 20 55 5 2 3联立直线 CD 与抛物线分析式可得y ＝ 5x ＋ 3 ，y ＝ 3 x 2 － 185 5 x ＋ 3x ＝0x ＝ 7 36， 解得或 y ＝ 3y ＝ 5 ∴ C(0， 3)，D(7 ， 365)，分别过 C 、 D 作直线 PN 的垂线，垂足分别为 E 、 F ，如解图①，则 CE ＝ t ，DF ＝ 7－ t ，∴ S △ PCD ＝ S △ PCN ＋ S △ PDN ＝ 12PN ·CE ＋ 12PN ·DF ＝ 72PN ＝ 72[ － 35(t － 72)2＋ 14720] ＝－ 2110(t － 72)2＋102940，∴当 t ＝ 7时，△ PCD 的面积最大，最大值为 1029 ； 2 40②存在．∵∠ CQN ＝∠ PMB ＝ 90°，∴当△ CNQ 与△ PBM 相像时，有NQ ＝ PM 或 NQ ＝ BM 两种状况，CQ BM CQ PM ∵ CQ ⊥ PN ，垂足为 Q ，3 ∴ Q(t ， 3)，且 C(0， 3)， N(t ， t ＋ 3)，5 ∴ CQ ＝ t ， NQ ＝3t ＋ 3－ 3＝ 3 t ，∴ NQ ＝ 3，5 5 CQ 5∵ P(t ，3t 2－18t ＋ 3)， M(t ， 0)， B(5 ， 0)，553 2 － 18 3 2 18 t － 3， ∴ BM ＝ 5－ t ， PM ＝ 0－ ( t5 t ＋ 3)＝－ t ＋ 55 5当NQ ＝ PM 时，则 PM ＝ 3BM ，即－ 3t 2＋18t － 3＝ 3(5－ t) ，解得 t ＝ 2 或 t ＝ 5(舍去 )，此 CQBM5555 时 P(2，－ 9)；5当 NQ ＝ BM 3 3 3 2 18 t － 3)，解得 t ＝ 34 CQ PM时，则 BM ＝ PM ，即 5－ t ＝ (－ t ＋ 5或 t ＝5(舍去 )，此 5 5 5 9 34 55时 P( 9 ，－ 27)；综上可知存在知足条件的点 P ，其坐标为 (2，－ 95)或 (349，－ 5527).。
中考数学提高复习-第二部分-中考专题突破-含答案
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图 Z4-7
图 Z4-8
2. (2018 年四川达州 )如图 Z4-8 ，△ ABC 的周长为 19，点 D， E 在边 BC 上，∠ ABC 的 平分线垂直于 AE，垂足为 N，∠ ACB 的平分线垂直于 AD，垂足为 M ，若 BC＝ 7，则 MN 的长度为 ( )
专题三 突破解答题之 2—— 函数与图象
⊙热点 1：函数图象与性质
m－ 7 1．已知反比例函数 y＝ x 的图象的一支位于第一象限．
(1)判断该函数图象的另一支所在的象限，并求
m 的取值范围；
(2)如图 Z3-8，O 为坐标原点，点 A 在该反比例函数位于第一象限的图象上，点 A 关于 x 轴对称，若△ OAB 的面积为 6，求 m 的值．
图 Z1-6
A ． 26 cm B． 24 cm C． 20 cm D． 18 cm ⊙热点 2：代入法
3．方程 3x＋ 2(1－ x)＝ 4 的解是 ( )
A
．
x＝
2 5
B．
x＝
6 5
C．x＝2
D． (2018 年江苏无锡 )方程组
的解是 ________．
x＋ 2y＝ 5
—— 南亚博览
会”的竖直标语牌 CD.她在 A 点测得标语牌顶端 D 处的仰角为 42°，测得隧道底端 B 处的 俯角为 30°B（，C， D 在同一条直线上 )，AB ＝10 m，隧道高 6.5 m( 即 BC＝ 6.5 m) ，求标语 牌 CD 的长 (结果保留小数点后一位 )．(参考数据： sin42 °≈ 0.67，cos42°≈ 0.74，tan42 °≈ 0.90，
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中考数学专项复习题型突破二 分类讨论之几何多解题(必考)
是平行四边形,
∴ // , = = ,
第1题解图
∴ ∠ = ∠ , ∴ ∠ = ∠ , ∴ = = ,同理可知
= = ,分两种情况：①如解图①, ∵ = ,
∴ = + + = + + = ;②如解图②, ∵ = ,
∴ ∘ + ∠ = ∘ , ∴ ∠ = . ∘ .综上, ∠ 的大小为
. ∘ 或 . ∘ .
9.[2023开封模拟]如图, Rt △ 中, ∠ = 90∘ ,
= 3 , = 4 , 为边 上的中点, 为边 上一
∵ ∠ =
第2题解图
= ,即 = = ;②当 在 上时,如解图②,
∘
, ∴ ∠ =
∘
− ∘
=
∘
, ∴ =
= ,在
△ 中,由勾股定理得 = − = .综上,线段
的长为3或 .
类型3 与折叠有关 , − .
8.如图,在 Rt △ 中, = , 是线段 上一个动
点,把 △ 沿直线 折叠,点 落在同一平面内的 ′
处,当 ′ 与 △ 的一边平行（不含重合）时, ∠
∘
∘
.
的中位线, ∴ // , ∴ ∠ = ∠ =
∠ , ∴ // , ∴ 四边形 为平行
第9题解图
四边形,又∵ = ,∴四边形 为菱形,∵ = , = ,
∴ = ,∴ = =
=
,∴
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2019-2020年中考数学复习检测第2部分专题突破专题十解答题突破—代数几何综合题(涉及二次函数)
类型一以几何图形为背景的综合题
【例1】(xx·苏州一模)如图1①，四边形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，AD ＝6 cm，DC＝8 cm，BC＝12 cm.动点M在CB上运动，从C点出发到B点，速度每秒2 cm；动点N在BA上运动，从B点出发到A点，速度每秒1 cm.两个动点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t(秒)．
(1)求线段AB的长．
(2)当t为何值时，MN∥CD?
(3)设三角形DMN的面积为S，求S与t之间的函数关系式．
(4)如图1②，连接BD，是否存在某一时刻t，使MN与BD互相垂直？若存在，求出这时的t值；若不存在，请说明理由．
图1
【例2】(xx·吉林)如图2，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AC＝8 2 cm，AD⊥BC于点D，点P从点A出发，沿A→C方向以 2 cm/s的速度运动到点C停止，在运动过程中，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，以线段PQ为边作等腰直角三角形PQM，且∠PQM＝90°(点M，C位于PQ异侧)．设点P的运动时间为x(s)，△PQM与△ADC重叠部分的面积为y(cm2)
图2 备用图
(1)当点M落在AB上时，x＝____________；
(2)当点M落在AD上时，x＝____________；
(3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
1．(xx·宁夏)如图3，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，动点Q从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿AB向点B移动；同时点P从点B出发，仍以每秒1个单位的速度，沿BC 向点C移动，连接QP，QD，PD.若两个点同时运动的时间为x秒 (0＜x≤3)，解答下列问题：
(1)设△QPD的面积为S，用含x的函数关系式表示S；当x为何值时，S有最大值？并求出最小值；
图3
(2)是否存在x的值，使得QP⊥DP？试说明理由．
2．(xx·梅州)如图4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5 cm，∠BAC＝60°，动点M 从点B出发，在BA边上以每秒2 cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒 3 cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒(0≤t≤5)，连接MN.
图4
(1)若BM＝BN，求t的值；
(2)若△MBN与△ABC相似，求t的值；
(3)当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值．
3.如图5，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P以每秒1个单位的速度从A向C运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从A→B→C方向运动，它们到C点后都停止运动，设点P，Q运动的时间为t秒．
(1)在运动过程中，求P，Q两点间距离的最大值；
(2)经过t秒的运动，求△ABC被直线PQ扫过的面积S与时间t的函数关系式；
(3)P，Q两点在运动过程中，是否存在时间t，使得△PQC为等腰三角形？若存在，求出此时的t值；若不存在，请说明理由．(5≈2.24，结果保留一位小数)
图5
类型二以二次函数与几何图形为背景的综合题
【例】(xx·枣庄)如图6，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，且抛物线经过A(1,0)，C(0,3)两点，与x轴交于点B.
(1)若直线y＝mx＋n经过B，C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴x＝－1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；
(3)设点P为抛物线的对称轴x＝－1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．
图6
(xx·德州)已知，m，n是一元二次方程x2＋4x＋3＝0的两个实数根，且|m|＜|n|，抛物线y＝x2＋bx＋c的图象经过点A(m,0)，B(0，n)，如图7所示．
(1)求这个抛物线的解析式；
(2)设(1)中的抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C，D的坐标，并判断△BCD的形状；
(3)点P是直线BC上的一个动点(点P不与点B和点C重合)，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，点Q在直线BC上，距离点P为2个单位长度，设点P的横坐标为t，△PMQ 的面积为S，求出S与t之间的函数关系式．
图7 备用图35936 8C60 豠+28961 7121 無32811 802B 耫625305 62D9 拙=r32364 7E6C 繬\25389 632D 挭36914 9032 進\29408 72E0 狠c。