第二十二章 曲面积分

第二十二章 曲面积分§1 第一型曲面积分教学目的 掌握第一型曲面积分的定义和计算公式． 教学内容 第一型曲面积分的定义和计算公式．(1) 基本要求：掌握第一型曲面积分的定义和用显式方程表示的曲面的第一型曲面积分计算公式．(2) 较高要求：掌握用隐式方程或参量表示的曲面的第一型曲面积分计算公式． 教学建议(1) 要求学生必须熟练掌握用显式方程表示的曲面的第一型曲面积分的定义和计算公式． (2) 对较好学生要求他们掌握用隐式方程或参量表示的曲面的第一型曲面积分计算公式． 教学程序背景：求具有某种非均匀密度物质的曲面块的质量时，利用求均匀密度的平面块的质量的方法，通过“分割、近似、求和、取极限”的步骤来得到结果．一类大量的“非均匀”问题都采用类似的方法，从而归结出下面一类积分的定义． 一、第一型曲面积分的概念与性质定义 设S 为空间上可求面积的曲面块，()z y x f ,,为定义在S 上的函数．对曲面S 作分割T ，它把S 分成n 个可求面积的小曲面i S （n i ,,2,1Λ=），i S 的面积记为i S ∆，分割T 的细度为{}的直径i ni S T ≤≤=1max ，在i S 上任取一点()i i i ζηξ,,（n i ,,2,1Λ=）．若有极限()∑=→∆ni iiiiT Sf 1,,limζηξ=J ，且J 的值与分割T 与点()i i i ζηξ,,的取法无关，则称此极限为()z y x f ,,在S 上的第一型曲面积分，记作()dSz y x f S⎰⎰,, . （1）第一型曲面积分的性质(1)线性性:设cfds ⎰⎰,cgds ⎰⎰存在,R ∈βα., 则ds f f c)(⎰⎰+βα存在,且()c ccff ds fds gds αβαβ+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰.(2)可加性:设sfds ⎰⎰存在,,21s s s ⋃=则12,s s fds fds ⎰⎰⎰⎰存在,⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=21s s sfds fds fds ；反之亦然.二、第一型曲面积分的计算定理22.1设有光滑曲面S ：()()D y x y x z z ∈=,,， ()z y x f ,,为定义在S 上的连续函数，则()dSz y x f S⎰⎰,,=()()⎰⎰++Dy x dxdyf f y x z y x f 221,,,.证 略例1 计算⎰⎰Sz dS ，其中S 是球面2222a z y x =++被平面h z =()a h <<0所截的顶部.解 S ：()(){}2222222,,,h a y x y x D y x y x a z -≤+=∈--=，222221y x a az z y x --=++，⎰⎰Sz dS =⎰⎰--D dxdy y x a a222=rdr r a ad h a ⎰⎰--πθ202222=dr r a ra h a ⎰--220222π=()0ln 2222h a ra a ---π=ha a ln 2π.作业 P2821;2;3;4.§2 第二型曲面积分教学目的 掌握第二型曲面积分的定义和计算公式． 教学内容 曲面的侧；第二型曲面积分的定义和计算公式．(1) 基本要求：掌握用显式方程的第二型曲面积分的定义和计算公式．(2) 较高要求：掌握用隐式方程或参量表示的曲面的第二型曲面积分计算公式，掌握两类曲面积分的联系． 教学建议(1) 本节的重点是要求学生必须掌握第二型曲面积分的定义和计算公式，要强调一、二型曲面积分的区别，要讲清确定有向曲面侧的重要性．(2) 本节的难点是用隐式方程或参数方程给出的曲面的第二型曲面积分的计算公式以及两类曲面积分的联系，可对较好学生要求他们掌握． 教学程序曲面的侧 双侧曲面的概念、曲面的侧的概念背景：求非均匀流速的物质流单位时间流过曲面块的流量时，利用均匀流速的物质流单位时间流过平面块的流量的方法，通过“分割、近似、求和、取极限”的步骤，来得到结果．一类大量的“非均匀”问题都采用类似的方法，从而归结出下面一类积分的定义． 一、第二型曲面积分的概念与性质定义 设函数P ，Q ，R 与定义在双侧曲面S 上的函数．在S 所指定的一侧作分割T 它把S分成n 个小曲面n S S S ,,21Λ（n i ,,2,1Λ=），分割T 的细度{}的直径i n i S T ≤≤=1max ，以yz i S ∆，zx i S ∆，xyi S ∆分别为i S 在三个坐标上的投影区域的面积，它们的符号由i S 的方向来确定．如i S 的法线正向与z 轴正向成锐角时，i S 在xy 平面上的投影区域的面积xyi S ∆为正，反之，如i S 的法线正向与z 轴正向成钝角时，i S 在xy 平面上的投影区域的面积xy i S ∆为负（n i ,,2,1Λ=）．在每个小曲面i S 任取一点()i i i ζηξ,,，若极限()∑=→∆ni i iiiT yzSP 1,,limζηξ+()∑=→∆ni i iiiT zxSQ 1,,limζηξ+()∑=→∆ni i iiiT xySR 1,,limζηξ存在且与分割T 与点()i i i ζηξ,,的取法无关，则称此极限为函数P ，Q ，R d 曲面S 所指定的一侧的第二型曲面积分，记为()()()⎰⎰++Sdxdyz y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ,,,,,,， (1)上述积分(1)也可写作()⎰⎰Sdydz z y x P ,,+()⎰⎰Sdzdx z y x Q ,,+()⎰⎰Sdxdyz y x R ,,.第二型曲面积分的性质(1)若⎰⎰++SiiidxdyR dzdx Q dydz P （n i ,,2,1Λ=）都存在，i c （n i ,,2,1Λ=），为常数，则有dxdy R c dzdz Q c dydz P c n i i i n i i i S n i i i ⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑⎰⎰∑===111=∑⎰⎰=++ni SiiiidxdyR dzdx Q dydz p c 1.（2）若曲面S 由两两无公共内点的曲面块21,S S …n S 所组成，⎰⎰++iS RdxdyQdzdx Pdydz （n i ,,2,1Λ=）都存在，则()()()⎰⎰++Sdxdyz y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ,,,,,,也存在，且()()()⎰⎰++Sdxdyz y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ,,,,,,=∑⎰⎰=++ni S iRdxdyQdzdx Pdydz 1.二 、第二型曲面积分的计算定理22.2设R 为定义在光滑曲面S ：()()xy D y x y x z z ∈=,,，上的连续函数，以S 的上侧为正侧（这时S 的法线正向与z 轴正向成锐角 ），则有()⎰⎰Sdxdy z y x R ,,=()()⎰⎰xy D dxdyy x z y x R ,,, . （2）证明 由第二型曲面积分的定义()⎰⎰Sdxdyz y x R ,,=()∑=→∆ni i iiiT xySR 1,,limζηξ=()()∑=→∆ni i i i i i d xyS R 1,,,lim ηξζηξ，这里()xyi S d ∆=max ，因{}的直径i ni S T≤≤=1max 0→，立刻可推得()xy i S d ∆=max 0→，由相关函数的连续性及二重积分的定义有()()⎰⎰xy D dxdy y x z y x R ,,,=()()∑=→∆ni i i i i i d xyS R 10,,,lim ηξζηξ，所以()⎰⎰Sdxdy z y x R ,,=()()⎰⎰xy D dxdyy x z y x R ,,, .类似地, P 为定义在光滑曲面S ：()()yz D z y z y x x ∈=,,上的连续函数时，而S 的法线方向与x 轴的正向成锐角的那一侧为正侧，则有()⎰⎰Sdydz z y x P ,,=()()⎰⎰xy D dydzz y z y x P ,,, .Q 为定义在光滑曲面S ：()()zx D x z x z y y ∈=,,上的连续函数时，而S 的法线方向与y 轴的正向成锐角的那一侧为正侧，则有()⎰⎰Sdzdx z y x Q ,,=()()⎰⎰ZX D dzdxy x z y x Q ,,, .注：按第二型曲面积分的定义可以知道，如果S 的法线方向与相应坐标轴的正向成钝角的那一侧为正侧，则相应的公式右端要加“-”号例1 计算⎰⎰Sxyzdxdy，其中S是球面1222=++zyx在0,0≥≥yx部分并取球面外侧．解曲面在第一，五卦限间分的方程分别为1S：2211yxz--=，()(){0,0,1,,22≥≥≤+=∈yxyxyxDyxxy，2S：2221yxz---=，()(){0,0,1,,22≥≥≤+=∈yxyxyxDyxxy，⎰⎰Sxyzdxdy=⎰⎰1Sxyzdxdy+⎰⎰2Sxyzdxdy=⎰⎰--xyDdxdyyxxy221⎰⎰----xyDdxdyyxxy221=⎰⎰--xyDdxdyyxxy2212=⎰⎰=-21231521sincos2πϑθθdrrrd．例2计算积分⎰⎰∑++-++dxdyxzdzdxzydydzyx)3()()(，∑为球面2222Rzyx=++取外侧.解对积分⎰⎰∑+dydzyx)(, 分别用前∑和后∑记前半球面和后半球面的外侧, 则有前∑ : ,222zyRx--=222:RzyDyz≤+;后∑: ,222zyRx---=222:RzyDyz≤+.因此, ⎰⎰∑+dydzyx)(=⎰⎰∑前+ ⎰⎰∑后()⎰⎰-+--=yzDdydzyzyR222()222yzDR y z y dydz---⎰⎰222cos , sin 2028y r z r y z R d rdr πθθθ==+≤============⎰⎰⎰⎰()3023223432214R r R R r r ππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅--===. 对积分dx dz z y ⎰⎰∑-)(, 分别用右∑和左∑记右半球面和左半球面的外侧, 则有右∑: ,222x z R y --= 222 :R z x D zx ≤+; 左∑: ,222x z R y ---= 222 :R z x D zx ≤+. 因此, =-⎰⎰∑dydz z y )(⎰⎰∑右+⎰⎰∑左()()⎰⎰⎰⎰--------=zxzxD D dzdx z x z R dzdx z x z R 222222⎰⎰≤+=--=2223222342R z x R dzdx x z R π.对积分dxdy x z ⎰⎰∑+)3(, 分别用上∑和下∑记上半球面和下半球面的外侧, 则有上∑: ,222y x R z --= 222 :R y x D xy ≤+; 下∑: ,222y x R x ---= 222 :R y x D xy ≤+. 因此, dxdy x z ⎰⎰∑+)3(=⎰⎰∑上+ ⎰⎰∑下)()33xyxyD D x dxdy x dxdy =-⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+=--=2223222342R y x R dxdy y x R π.综上, ⎰⎰∑++-++dxdy x z dzdx z y dydz y x )3()()(=334343R R ππ=⨯.作业 P289:1;2.§3 高斯公式与斯托克斯公式教学目的 学会用高斯公式计算第二型曲面积分，用斯托克斯公式计算第二型曲线积分． 教学内容 高斯公式；斯托克斯公式；沿空间曲线的第二型积分与路径无关的条件．(1) 基本要求：学会用高斯公式计算第二型曲面积分，用斯托克斯公式计算第二型曲线积分． 懂得高斯公式与斯托克斯公式证明的思路，掌握沿空间曲线的第二型积分与路径无关的条件．(2) 较高要求：应用高斯公式与斯托克斯公式的某些特殊技巧．教学建议 本节的重点是要求学生学会用高斯公式计算第二型曲面积分，用斯托克斯公式计算第二型曲线积分．要讲清应用两公式的条件并强调曲面与曲面的边界定向的关系． 教学程序 一、 高斯公式定理22．3 设有空间区域V 由分片光滑的双侧闭曲面S 围成．若函数R Q P ,,在V 上连续，且具有一阶连续偏导数，则dxdydz z R y Q x P V ⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=()()()ydxd z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P S ⎰⎰++,,,,,,，其中S 取外侧．称为高斯公式.证 只证dxdydz z RV⎰⎰⎰∂∂=()ydxd z y x R S⎰⎰,,.类似可证dxdydz x PV⎰⎰⎰∂∂=()⎰⎰Sdydzz y x P ,,和dxdydz y QV⎰⎰⎰∂∂=()⎰⎰Sdzdxz y x Q ,,. 这些结果相加便得到了高斯公式．先V 设是一个xy 型区域，即其边界曲面S 由曲面2S ：()()xy D y x y x z z ∈=,,,2，1S ：()()xy D y x y x z z ∈=,,,1， 及垂直于xyD 的边界的柱面3S 组成其中()()y x z y x z ,,21≤．于是按三重积分的计算方法有dxdydz z RV⎰⎰⎰∂∂=()()⎰⎰⎰∂∂xyD y x z y x z dz z Rdxdy,,21=()()()()()⎰⎰-xyD dxdyy x z y x R y x z y x R ,,,,,,12=()()⎰⎰xy D dxdy y x z y x R ,,,2()()⎰⎰-xyD dxdyy x z y x R ,,,1=()⎰⎰2,,S dxdy z y x R ()⎰⎰-1,,S dxdyz y x R=()⎰⎰2,,S dxdy z y x R ()⎰⎰-+1,,S dxdyz y x R其中21,S S 都取上侧．又由于3S 在xy 平面上投影区域的面积为零，所以()0,,3=⎰⎰S dxdy z y x R ，因此dxdydz z RV⎰⎰⎰∂∂=()⎰⎰2,,S dxdy z y x R ()⎰⎰-+1,,S dxdy z y x R +()⎰⎰3,,S dxdyz y x R=()ydxd z y x R S⎰⎰,,对于不是xy 型区域的情形，则用有限个光滑曲面将它分割成若干个xy 型区域来讨论．详细的推导与格林相似． 空间区域V 的体积公式：()dxdydz V⎰⎰⎰++111=yzdxd ydzdx xdydz S⎰⎰++．V ∆=y zdxd ydzdx xdydz S ⎰⎰++31.例1 计算()()⎰⎰+++-Sdxdy xz y dzdy x dydz z x y 22,其中S 是边长为a 的正立方体表面并取外侧．解 应用高斯公式，所求曲面积分等于()()()()⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∂∂+∂∂+-∂∂V dxdydz xz y z x y z x y x 22=()⎰⎰⎰+Vdxdydz x y =()⎰⎰⎰+aa a dxx y dy dz 000=40221a dy a ay a a=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰.二、斯托克斯公式双侧曲面S 的侧与其边界曲线L 的方向的规定：右手法则．定理22.4 设光滑曲面S 的边界L 是按块光滑的连续曲线．若函数R Q P ,,在S （连同L ）上连续，且有一阶连续偏导数，则dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R S ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂⎰⎰=⎰++L Rdz Qdy Pdx （2）其中S 的侧与L 的方向按右手法则确定．证明 先证dxdy y P dzdx z P S∂∂-∂∂⎰⎰=⎰LPdx， （3）其中曲面S 由方程()y x z z ,=确定，它的正侧法线方向数为()1,,---y x z z ，方向余弦为()γβαcos ,cos ,cos ，所以γαcos cos -=∂∂x z ，γβcos cos -=∂∂y z ，若S 在平面上投影区域为xyD ，L 在平面上的投影曲线为Γ．现由第二型曲线积分的定义及格林公式有()⎰L dx z y x P ,,=()()⎰Γdx y x z y x P ,,,=()()⎰⎰∂∂-xy D dxdy y x z y x P y,,,.因为()()y x z y x P y ,,,∂∂=y z z P y P ∂∂∂∂+∂∂，所以()()⎰⎰∂∂-xy D dxdy y x z y x P y ,,,=dxdy y z z P y P S ⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂-.由于γβcos cos -=∂∂yz ，从而 dxdy y z z P y P S ⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂-=dxdy z P y P S ⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂-γβcos cos=γβγcos cos cos dxdy z Py P S ⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂- =dS z Py P S ⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-βγcos cos =dxdy y Pdzdx z P S∂∂-∂∂⎰⎰.综合上述结果，便得所要证明的（3）式．同样对于曲面S 表示为()z y x x ,=和()x z y y ,=时，可证得dydz z Qdxdy x Q S∂∂-∂∂⎰⎰=⎰LQdy， （4）dzdx x R dydz y R S∂∂-∂∂⎰⎰=⎰LRdz. （5）将（3），（4），（5）三式相加即得（2）式．如果曲面S 不能以()y x z z ,=的形式给出，则可用一些光滑曲线把S 分割为若于小块，使每一小块能用这种形式来表示．因而这时（2）式也能成立． 公式(2)称为斯托克斯公式，也可写成如下形式：⎰⎰∂∂∂∂∂∂SR Q P z y x dxdydzdx dydz =⎰++L Rdz Qdy Pdx .例2 计算()()()⎰-+-++Ldzx y dy z x dx z y 2，其中L 为平面1=++z y x 与各坐标面的交线，取逆时针方向为正向．解 应用斯托克斯公式()()()⎰-+-++Ldzx y dy z x dx z y 2=()()()dxdydzdx dydz S211111-++++⎰⎰=dxdydzdx dydz S122-+⎰⎰=232111=-+．单连通区域：如果区域V 内任一封闭曲线皆可以不经过V 以外的点收缩于属于V 的一点，则称V 为单连通区域．非单连通区域称为复连通区域．定理 22.5 设Ω⊂3R 为空间单连通区域．若函数在上连续，且有一阶连续偏导数，则以下四个条件是等价的：（ⅰ）对于Ω内任一按段光滑的封闭曲线L ，有⎰++LRdzQdy Pdx =0．（ⅱ）对于Ω内任一按段光滑的曲线L ，曲线积分⎰++LRdzQdy Pdx 与路线无关．只与L 的起点及终点有关。