全称量词与特称量词
弗雷格的量词—变元理论
弗雷格的量词—变元理论摘要：弗雷格是现代逻辑的创始人，也是语言哲学的创始人，在对逻辑和哲学的诸多影响中，起关键和基础作用的是弗雷格的量词—变元理论。
在弗雷格事业的开端，出于对自然语言表达方式和传统逻辑表达能力的不满，弗雷格将数学中的函数概念引入对句子结构的刻画中，并在此基础上引进量词和约束变元，从而使得包含个体词和多个量词的句子的结构都得到准确的刻画，逻辑表达能力和推导能力因此大为加强，新的逻辑呼之欲出。
也正是量词—变元概念的发现，导致弗雷格改变了他后来对哲学的看法，量词—变元理论是弗雷格逻辑体系和哲学体系的基础和核心理论。
关键词：弗雷格；量词—变元；量化弗雷格（Gottlob Frege，1848—1925）是现代逻辑的创始人，也是公认的分析哲学和语言哲学的创始人，他的思想对20世纪的逻辑、哲学以及与之相关的学科产生了重要的影响。
达米特指出，在哲学史上，有三项殊荣归属于弗雷格：首先，弗雷格发明了一种形式语言，并建立了逻辑史上第一个谓词逻辑系统，从而开创了用形式语言研究逻辑的新时代；其次，弗雷格所开创的逻辑方法被证明是研究哲学的重要方法，他的哲学逻辑的方法促进了其后的哲学重心的转移——从笛卡尔所开创的认识论研究向语言分析的转向；最后，弗雷格用数学的方法研究逻辑，反过来也促进了数学哲学的巨大发展，数学哲学其后的许多成就都受到了弗雷格莫大的启迪。
①而在这三大成就里，起关键和基础作用的就是弗雷格的量词—变元理论。
在弗雷格事业的开端，正是由于量词—变元概念的发现，引领了他对逻辑的看法，量词和量化理论是弗雷格逻辑哲学体系的基础和核心理论，“量词也是弗雷格最重要的发现和贡献”②。
关于弗雷格的量词—变元理论，本文将关注以下几个问题：量词—变元概念提出的理论背景——传统逻辑的特点和局限性；量词—变元理论是如何被弗雷格发现的；量词—变元理论带给了弗雷格怎样的看待逻辑和哲学的视角，以及这些视角所带来的对逻辑和哲学的影响；弗雷格的量词—变元理论所遗留的问题。
全称命题和特称命题的形式及真假判断
深层次的认识.
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探究（一）：全称量词的含义和表示
思考1:下列各组语句是命题吗？两者有 什么关系? （1）x＞3；
对所有的x∈R，x＞3.
（2）2x＋1是整数；
对任意一个x∈Z，2x＋1是整数.
（3）方程x2＋2x＋a＝0有实根； 任给a＜0，方程x2＋2x＋a＝0有实根.
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思考2：短语“所有的”“任意一个” “任给”等，在逻辑中通常叫做全称量
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整除”等，你能列举一个特称命题的实 例吗？
思考4：符号语言“ x0∈M，p(x0)”所
表达的数学意义是什么？
存在M中的元素x0，使p(x0)成立.
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思考5：下列命题是特称命题吗？其真假
如何？
（1）有的平行四边形是菱ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ；
真
（2）有一个实数x0,使 x022x030;假
（3）有一个素数不是奇数；
真
（4）存在两个相交平面垂直于同一条直
线；
假
（5）有些整数只有两个正因数； 真
（6）有些实数的平方小于0.
假
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思考6：如何判定一个特称命题的真假？
x0∈M，p(x0)为真：能在集合M中找
出一个元素x0，使p(x0)成立；
x0∈M，p(x0)为假：在集合M中，使
p(x)成立的元素x不存在.
对x0M,P(x0)都不成立.
（3）|x－1|＜1；
有些x0∈R，使|x0－1|＜1.
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思考2：短语“存在一个”“至少有一 个”“有些”等，在逻辑中通常叫做存
在量词，并用符号“ ”表示，你还能
列举一些常见的存在量词吗？
1.4.2 全称命题与特称命题的否定
温故知新
全称量词: “所有的”, “任意一个”, “一切” ,
“每一个”, “任给”……常用符号“"”表示.
全称命题:含有全称量词的命题叫做全称命题.
全称命题格式为: 对M中任意一个x,有p(x)成立.
符号语言表示为: "x∈M,p(x).
温故知新
存在量词:“存在一个”, “至少有一个”,“有
7．(2010 年高考湖南卷文科 2)下列命题中的假命题 是 ．．． A. $x R, lg x 0 C. B. $x R, tan x 1 D. "x R, 2x > 0
"x R, x3 > 0
一不变：元素的性质不变.
练习: 写出下列命题的否定 . (1) p: $x0∈R, x02 + 2x0 + 2 ≤ 0； (2) p: 有的三角形是等边三角形； (3) p: 有一个素数含三个正因数 . 注意： 特称命题的否定是全称命题.
写出下列命题的否定:
(1) p: ∃x0∈R , x02 + 2x0 + 2 ≤ 0；
p:每一个平行四边形都不是菱形．
( 3)$x0 R, x + 1 < 0 .
2 0
p : "x R , x 2 + 1 0 .
特称命题的否定
特称命题: p: $x0∈M , p(x0) ﹁ p: "x∈M , ﹁ p(x) 特称命题的否定： 注意事项:
三变：更换量词,否定结论,给元素去下标;
∀x∈M，¬ p(x)
课堂小结
1、全称量词、全称命题的定义. 2、全称命题的符号记法. 3、判断全称命题真假性的方法. 4、存在量词、特称命题的定义. 5、特称命题的符号记法. 6、判断特称命题真假性的方法. 7、含有一个量词的否定.
全称量词与存在量词(讲义)解析版--2023年初升高暑假衔接之高一数学
1.5全称量词与存在量词1.全称量词与全称量词命题（1）全称量词短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示（2）全称量词命题含有全称量词的命题，叫做全称量词命题（3）全称量词命题的符号及记法记作：M x ∈∀，()x p 读作：对任意x 属于M ，有()x p 成立考点1.判断全称量词命题的真假例1判断下列全称量词命题的真假：（1）每个四边形的内角和都是360°；（2）任何实数都有算术平方根；（3）{|x y y ∀∈是无理数}，3x 是无理数.【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）假命题【分析】对每个全称量词命题进行判断，从而得到答案.【详解】（1）真命题.连接一条对角线，将一个四边形分成两个三角形，而一个三角形的内角和180°，所以四边形的内角和都是360°是真命题；（2）假命题.因为负数没有算术平方根，所以任何实数都有算术平方根是假命题；（3）假命题，因为x =是无理数，3x 2=是有理数，所以{|x y y ∀∈是无理数}，3x 是无理数是假命题.【点睛】本题考查判断全称量词命题的真假，属于简单题.例2将下列命题用量词等符号表示，并判断命题的真假：（1）所有实数的平方都是正数；（2）任何一个实数除以1，仍等于这个实数．【答案】（1）2,0x R x ∀∈>，假命题；（2）,1x x R x ∀∈=，真命题【分析】(1)易得该命题为全称命题,再举出反例判定即可.(2)易得该命题为全称命题,再直接判定即可.【详解】(1)命题为：2,0x R x ∀∈>.易得当0x =时20x =,故原命题为假命题.(2)命题为：,1x x R x ∀∈=,易得为真命题.【点睛】本题主要考查了全称命题的定义与真假的判定.属于基础题.变式2-1判断下列全称量词命题的真假：（1）所有的素数都是奇数；（2）x R ∀∈，11≥+x ；（3）对任意一个无理数x ，2x 也是无理数.【答案】（1）假命题；（2）真命题；（3）假命题【分析】对每个全称量词命题进行判断，从而得到答案.【详解】（1）2是素数，但2不是奇数.所以全称量词命题“所有的素数是奇数”是假命题.（2）x R ∀∈，总有||0x ，因而||11x +.所以全称量词命题“x R ∀∈，||11x +”是真命题.（3是无理数，但22=是有理数.所以，全称量词命题“对每一个无理数x ，2x 也是无理数”是假命题.【点睛】本题考查判断全称量词命题的真假，属于简单题.变式2-2判断下列全称量词命题的真假:(1)每一个末位是0的整数都是5的倍数;(2)线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;(3)对任意负数2,x x 的平方是正数;(4)梯形的对角线相等【答案】(1)真命题;(2)真命题;(3)真命题;(4)假命题.【分析】(1)根据整数的知识判断即可.(2)根据平面几何的知识判断即可.(3)根据平方的性质判断即可.(4)举出反例判断即可.【详解】(1)根据整数的性质,末位是0的整数都是5的倍数成立.故为真命题.(2)根据垂直平分线的性质可得线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.故为真命题.(3)对任意负数0x <,不等式两边同时乘以负数x 有20x >.故为真命题(4)举反例如直角梯形对角线显然不相等.故为假命题.【点睛】本题主要考查了命题真假的判定,属于基础题型.2.存在量词与存在量词命题（1）存在量词短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示（2）存在量词命题含有存在量词的命题，叫做存在量词命题（3）存在量词命题的符号及记法记法：M x ∈∃，()x p 读法：存在M 中的元素x ，使得()x p 成立考点2.判断存在量词命题的真假例3判断下列存在量词命题的真假:(1)有些实数是无限不循环小数;(2)存在一个三角形不是等腰三角形;(3)有些菱形是正方形;(4)至少有一个整数2,1n n +是4的倍数.【答案】(1)真命题;(2)真命题;(3)真命题;(4)假命题.【分析】(1)根据实数的定义分析即可.(2)根据等腰三角形的定义分析即可.(3)根据菱形与正方形的关系分析即可.(4)利用反证法证明是假命题即可.【详解】(1)实数包括有理数与无理数,其中无理数包括无限不循环小数如,e π等.故为真命题.(2)等腰三角形有两条长度相等的边,但并不是每个三角形都有两条长度相等的边,故为真命题.(3)四边长度相等的四边形为菱形,此时若相邻边互相垂直则为正方形,故为真命题.(4)假设有一个整数2,1n n +是4的倍数,则因为21n +能被4整除,故21n +为偶数,故2n 为奇数,故n 为奇数.设21,n k k N =+∈,则221442n k k +=++,故21n +除以4的余数为2与题设矛盾.故不存在整数,n 使得21n +是4的倍数.故为假命题.【点睛】本题主要考查了命题真假的判定,属于基础题型.变式3-1判断下列存在量词命题的真假，并说明理由．（1）存在一个质数是偶数；（2）有一个实数x ，使2230x x ++=．【答案】（1）真命题，详见解析（2）假命题，详见解析【分析】（1）由2既是质数，也是偶数，可判断命题；（2）根据()2223122x x x ++=++≥，可判断命题．【详解】（1）因为2既是质数，也是偶数，所以原命题为真命题．（2）由于()22231220x x x ++=++≥>，所以原命题是假命题．【点睛】本题考查特称命题的判断，属于基础题.例4试判断以下命题的真假：（1）2,20x x ∈+>R ；（2）N x ∈∀，14≥x （3）3,1x x ∃∈<Z ；（4）2,3x x ∃∈=Q ．【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）真命题；（4）假命题【分析】（1）根据不等式的性质判断即可；（2）全称命题判断为假，只需举一个反例即可；（3）特称命题判断为真，只需举一个正例即可；（4）解方程即可判断；【详解】解：（1）由于x ∀∈R ，都有20x ，因而有2220x +≥>，即220x +>．因此命题“2,20x x ∀∈+>R ”是真命题．（2）由于0∈N ，当0x =时，41x 不成立．因此命题“4,1x x ∀∈N ”是假命题．（3）由于1-∈Z ，当1x =-时，能使31x <成立．因此命题“3,1x x ∃∈<Z ”是真命题．（4）由于使23x =成立的数只有，而它们都不是有理数，因而没有任何一个有理数的平方能等于3．因此命题“2,3x x ∃∈=Q ”是假命题．【点睛】本题考查含有一个量词的命题的真假性判断，属于基础题.变式4-1判断下列命题的真假：（1）2,x x x ∃∈>R ；（2）2,x x x ∀∈>R ；（3）2,80x x ∃∈-=Q ；（4）2,20x x ∀∈+>R ．【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）假命题；（4）真命题【分析】（1）特称命题判断为真，只需举一个正例即可；（2）全称命题判断为假，只需举一个反例即可；（3）通过解方程可判断；（4）根据不等式的性质可证明；【详解】解：（1）因为2x =时，2x x >成立，所以“2,x x x ∃∈>R ”是真命题．（2）因为0x =时，2x x >不成立，所以“2,x x x ∀∈>R ”是假命题．（3）因为使280x -=成立的数只有x =与x =-，但它们都不是有理数，所以“2,80x x ∃∈-=Q ”是假命题．（4）因为对任意实数x ，有20x ≥，则220x +>，即对任意实数，都有220x +>成立，所以“2,20x x ∀∈+>R ”是真命题．【点睛】本题考查命题真假判断，属于基础题.3.全称量词命题和存在量词命题的否定（1）全称量词命题的否定全称量词命题：M x ∈∀，()x p 否定为：M x ∈∃，()x p ⌝（2）存在量词命题的否定存在量词命题：M x ∈∃，()x p 否定为：M x ∈∀，()x p ⌝考点3.全称量词命题和存在量词命题的否定例5命题“1x ∀>>”的否定是（）A ．01x ∃>≤B ．01x ∀>≤C ．01x ∃≤≤D ．01x ∀≤≤【答案】A【分析】根据全称命题的否定为特称命题即可判断；【详解】解：命题1x ∀>>，为全称命题，全称命题的否定为特称命题，故其否定为01x ∃>≤故选：A【点睛】本题考查全称命题的否定，属于基础题.变式5-1命题“(0,1),x ∀∈20x x -<”的否定是（）A ．0(0,1),x ∃∉2000x x -≥B ．0(0,1),x ∃∈2000x x -≥C ．0(0,1),x ∀∉2000x x -<D ．0(0,1),x ∀∈2000x x -≥【答案】B【分析】根据“全称命题”的否定一定是“特称命题”判断.【详解】“全称命题”的否定一定是“特称命题”，∴命题“(0,1),x ∀∈20x x -<”的否定是0(0,1),x ∃∈2000x x -≥，故选：B .【点睛】本题主要考查命题的否定，还考查理解辨析的能力，属于基础题.变式5-2命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是A ．所有不能被2整除的数都是偶数B ．所有能被2整除的数都不是偶数C ．存在一个不能被2整除的数是偶数D ．存在一个能被2整除的数不是偶数【答案】D试题分析：命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是“存在一个能被2整除的数不是偶数”．故选D ．考点：命题的否定．例6命题“0R x ∃∈，20010x x -+<”的否定是（）A ．R x ∃∈，210x x -+>B ．R x ∃∈，210x x -+≥C ．R x ∀∈，210x x -+>D ．R x ∀∈，210x x -+≥【答案】D【分析】特称命题的否定是全称命题【详解】因为特称命题的否定是全称命题所以命题“0R x ∃∈，20010x x -+<”的否定是“R x ∀∈，210x x -+≥”故选：D【点睛】本题考查的是特称命题的否定，较简单.变式6-1已知命题:N,21000n P n ∃∈>，则P ⌝为（）A ．N,2100n n ∀∈B ．N,21000n n ∀∈>C ．N,21000n n ∃∈D ．N,21000n n ∃∈<【答案】A【分析】【详解】写特称命题的否命题，将存在量词改为全称量词，再否定结果所以命题:N,21000n P n ∃∈>的否定P ⌝为N,2100n n ∀∈故选：A点评：掌握命题的改写方法变式6-2若命题[]2000:3,3,210p x x x ∃∈-++≤，则命题p 的否定为（）A ．[]23,3,210x x x ∀∈-++>B ．()()2,33,,210x x x ∀∈-∞-⋃+∞++>C ．()()2,33,,210x x x ∀∈-∞-⋃+∞++≤D ．[]20003,3,210x x x ∀∈-++<【答案】A【分析】利用存在性命题否定的结构形式写出其否定即可.【详解】命题p []23,3,210x x x ∀∈-++>.故选：A.【点睛】全称命题的一般形式是：x M ∀∈，()p x ，其否定为(),x M p x ∃∈⌝.存在性命题的一般形式是x M ∃∈，()p x ，其否定为(),x M p x ∀∈⌝.变式6-3写出下列各题中的p ⌝：（1）:,10p x Z x ∃∈->；（2）:,20p x Q x ∀∈-≥；（3）2:,10p x R x ∀∈+>；（4）2:,10p x R x ∃∈-<.【答案】（1）:,10p x Z x ⌝∀∈-≤；（2）:,20p x Q x ⌝∃∈-<；（3）2:,10p x R x ⌝∃∈+≤；（4）2:,10p x R x ⌝∀∈-≥.【分析】（1）特称量词变为全称量词，大于变小于等于得到命题的否定。
简单的逻辑用语、全称量词和特称量词
简单的逻辑⽤语、全称量词和特称量词⾼⼆年级数学科辅导讲义（第讲）学⽣姓名：授课教师：授课时间： 12.14第⼀部分基础知识梳理1．命题p∧q、p∨q、?p的真假判定2．全称量词和存在量词(1)全称量词有：所有的，任意⼀个，任给，⽤符号“?”表⽰；存在量词有：存在⼀个，⾄少有⼀个，有些，⽤符号“?”表⽰．(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对M中任意⼀个x，有p(x)成⽴”⽤符号简记为：?x∈M，p(x)．(3)含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M中元素x0，使p(x0)成⽴”⽤符号简记为：?x0∈M，p(x0)．3．含有⼀个量词的命题的否定第⼆部分例题解析（⼀）“p∧q”“p∨q”“?p”形式命题的真假判断步骤(1)准确判断简单命题p、q的真假；(2)判断“p∧q”“p∨q”“?p”命题的真假．2．含有逻辑联结词的命题的真假判断规律(1)p∨q：p、q中有⼀个为真，则p∨q为真，即⼀真全真；(2)p∧q：p、q中有⼀个为假，则p∧q为假，即⼀假即假；(3)綈p：与p的真假相反，即⼀真⼀假，真假相反．例1．下列命题是真命题的是( )①27是3的倍数或27是9的倍数；②27是3的倍数且27是9的倍数；③平⾏四边形的对⾓线互相垂直且平分；④平⾏四边形的对⾓线互相垂直或平分；⑤1是⽅程x－1＝0的根，且是⽅程x2－5x＋4＝0的根．A．①③⑤B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤2．已知命题p：?x0∈R，x20＋1x20≤2；命题q是命题p的否定，则命题p、q、p∧q、p∨q中是真命题的是________．变式练习1．若p是真命题，q是假命题，则( )A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．?p是真命题D．?q是真命题2．如果命题“⾮p或⾮q”是假命题，给出下列四个结论：①命题“p且q”是真命题；②命题“p且q”是假命题；③命题“p或q”是真命题；④命题“p或q”是假命题．其中正确的结论是( ) A．①③B．②④ C．②③ D．①④3．已知命题p：(a－2)2＋|b－3|≥0(a，b∈R)，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧?q”是假命题；③命题“?p∨q”是真命题；④命题“?p∨?q”是假命题．其中正确的是( )A．②③B．①②④C．①③④D．①②③④（⼆）1．全称命题真假的判断⽅法(1)要判断⼀个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每⼀个元素x，证明p(x)成⽴；(2)要判断⼀个全称命题是假命题，只要能举出集合M中的⼀个特殊值x＝x0，使p(x0)不成⽴即可．2．特称命题真假的判断⽅法要判断⼀个特称命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到⼀个x＝x0，使p(x0)成⽴即可，否则这⼀特称命题就是假命题．例3．下列命题中的假命题是( )A．?x0∈R，x0＋1x0＝2 B．?x0∈R，sin x0＝－1 C．?x∈R，x2>0 D．?x∈R,2x>0例4.命题“?x0∈R,2x20－3ax0＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围为________．变式练习1．下列命题中的假命题是( ) A．?x∈R,2x－1>0 B．?x∈N*，(x－1)2>0C．?x0∈R，lg x0<1 D．?x0∈R，tan x0＝22.下列命题中的假命题是( )A．?a，b∈R，a n＝an＋b，有{a n}是等差数列 B．?x0∈(－∞，0)，2x0<3x0 C．?x∈R,3x≠0 D．?x0∈R，lg x0＝03.下列命题中的真命题是( )A．?x0∈R，使得sin x0cos x0＝35B．?x0∈(－∞，0)，2x0>1C．?x∈R，x2≥x－1 D．?x∈(0，π)，sin x>cos x（三）1.对含有⼀个量词的命题进⾏否定的⽅法⼀般地，写含有⼀个量词的命题的否定，⾸先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论.2．常见词语的否定形式例4．命题“?x0∈?R Q，x30∈Q”的否定是( )A．?x0??R Q，x30∈Q B．?x0∈?R Q，x30?QC．?x??R Q，x3∈Q D．?x∈?R Q，x3?Q例5．命题p：有的三⾓形是等边三⾓形．命题?p：__________________.变式练习1．(1)命题p：任意两个等边三⾓形都是相似的，则?p：__________.(2)命题p：?x0∈R，x20＋2x0＋2＝0，则?p：__________.2．命题“所有不能被2整除的整数都是奇数”的否定是( )A．所有能被2整除的整数都是奇数 B．所有不能被2整除的整数都不是奇数C．存在⼀个能被2整除的整数是奇数 D．存在⼀个不能被2整除的整数不是奇数3.若命题改为“存在⼀个能被2整除的整数是奇数”，其否定为________．4．写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)p：?x∈R，x2－x＋14≥0； (2)q：所有的正⽅形都是矩形；(3)r ：?x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0； (4)s ：⾄少有⼀个实数x 0，使x 30＋1＝0.6．命题“能被5整除的数，末位是0”的否定是．第三部分巩固练习1．设p 、q 是两个命题，则“复合命题p 或q 为真，p 且q 为假”的充要条件是( )A ．p 、q 中⾄少有⼀个为真B ．p 、q 中⾄少有⼀个为假C ．p 、q 中有且只有⼀个为真D ．p 为真，q 为假2．下列四个命题中的真命题为( )A ．?x 0∈Z,1<4x 0<3B ．?x 0∈Z,5x 0＋1＝0C ．?x ∈R ，x 2－1＝0D ．?x ∈R ，x 2＋x ＋2>03．已知命题p ：?x 0∈R ，cos x 0＝54；命题q ：?x ∈R ，x 2－x ＋1>0，则下列结论正确的是( )A ．命题p ∧q 是真命题B ．命题p ∧?q 是真命题C ．命题?p ∧q 是真命题D ．命题?p ∨?q 是假命题 4．已知命题p ：?x 0∈?0，π2，sin x 0＝12，则?p 为( ) A ．?x ∈? ????0，π2，sin x ＝12 B ．?x ∈? ????0，π2，sin x ≠12C ．?x 0∈? ????0，π2，sin x 0≠12D ．?x 0∈?0，π2，sin x 0>12 5．已知命题p ：抛物线y ＝2x 2的准线⽅程为y ＝－12；命题q ：若函数f (x ＋1)为偶函数，则f (x )关于x＝1对称．则下列命题是真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∨(?q )C ．(?p )∧(?q )D ．p ∨q6．下列命题正确的是( )A ．已知p ：1x ＋1>0，则?p ：1x ＋1≤0 B ．在△ABC 中，⾓A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，则a >b 是cos A＋x ＋1>0，则?p ：对任意的x ∈R ，x 2＋x ＋1≤0D ．存在实数x ∈R ，使sin x ＋cos x ＝π2成⽴7．命题“对任何x ∈R ，|x －2|＋|x －4|>3”的否定是____________．8．命题p ：若a ，b ∈R ，则ab ＝0是a ＝0的充分条件，命题q ：函数y ＝x －3的定义域是[3，＋∞)，则“p∨q”、“p∧q”、“?p”中是真命题的有________．9．若命题“?x∈R，ax2－ax－2≤0”是真命题，则实数a的取值范围是________．10．写出下列命题的否定，并判断真假．(1)q：?x∈R，x不是5x－12＝0的根；(2)r：有些素数是奇数；(3)s：?x0∈R，|x0|>0.11．已知命题p：?x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q：?x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0，若“p且q”为真命题，求实数a的取值范围．12．已知命题p：存在实数m，使⽅程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根；命题q：存在实数m，使⽅程4x2＋4(m－2)x＋1＝0⽆实根．若“p∨q”为真，“p∧q”为假，求m的取值范围．第四部分课后作业1．将a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2改写成全称命题是( )A．?a，b∈R，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2 B．?a<0，b>0，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2C．?a>0，b>0，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2 D．?a，b∈R，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)22．已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( ) A．(?p)∨q B．p∧q C．(?p)∧(?q) D．?p)∨(?q)3．下列命题中，真命题是( )A．?m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数B ．?m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R)是奇函数 C ．?m ∈R ，函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R)`都是偶函数 D ．?m ∈R ，函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R)都是奇函数 4．下列命题中，真命题是( )A ．?x 0∈R ，e x 0≤0B ．?x ∈R,2x ＞x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是a b＝－1 D ．a ＞1，b ＞1是ab ＞1的充分条件5．已知命题p 1：?x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0；p 2：?x ∈[1,2]，x 2－1≥0.以下命题为真命题的是( )A ．(?p 1)∧(?p 2)B ．p 1∨(?p 2)C ．(?p 1)∧p 2D ．p 1∧p 26．下列说法中错误的是( )A ．对于命题p ：?x 0∈R ，使得x 0＋1x 0>2，则?p ：?x ∈R ，均有x ＋1x≤2B ．“x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件C ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0” D ．若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题7．已知命题p ：?x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，命题q ：?x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0，若“p 且q ”为真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．a ＝1或a ≤－2B ．a ≤－2或1≤a ≤2C ．a ≥1D ．－2≤a ≤18．命题“存在x 0∈R ，使得x 20＋2x 0＋5＝0”的否定是________．9．已知命题p ：“?x ∈N *，x >1x”，命题p 的否定为命题q ，则q 是“________”；q 的真假为________(填“真”或“假”)．10．若命题“存在实数x 0，使x 20＋ax 0＋1<0”的否定是假命题，则实数a 的取值范围为________．。
《全称量词命题与存在量词命题》示范公开课教案【高中数学苏教版】
第2章常用逻辑用语2.3.1 全称量词命题与存在量词命题第1课时◆教学目标1．通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义．2．掌握全称量词命题和特称量词命题的定义，并能判断它们的真假．3．能把一些简单命题表述成全称量词命题和特称量词命题．◆教学重难点◆教学重点：理解全称量词、存在量词的含义．教学难点：全称量词命题和特称量词命题的定义，并能判断它们的真假．◆课前准备PPT课件．◆教学过程一、新课导入问题1：“哥德巴赫猜想”大致可以分为两个猜想：(1)每个不小于6的偶数都可以表示为两个奇素数之和；(2)每个不小于9的奇数都可以表示为三个奇素数之和．虽然通过大量试验，这两个命题是正确的，但是还需要证明．从1920年布朗证明“9＋9”到1966年陈景润攻下“1＋2”，历经46年．自“陈氏定理”诞生至今的40多年里，人们对哥德巴赫猜想的进一步研究，均劳而无功．引语：要解决这个问题，就需要进一步学习全称量词命题和特称量词命题．（板书：全称量词命题和特称量词命题）【探究新知】问题2：阅读课本P34~35页，回答下列问题思考 1.观察下列命题：(1)所有的质数都是奇数；(2)每一个四边形都有外接圆；(3)任意实数x，x2≥0．以上三个命题有什么共同特征？2.观察下列命题：(1)有些矩形是正方形；(2)存在实数x，使x>5；(3)至少有一个实数x，使x2－2x＋2<0．以上三个命题有什么共同特征？师生活动：学生阅读，给出答案．预设的答案：1.都使用了表示“全部”的量词，如“所有”、“每一个”、“任意”．2.都使用了表示“存在”的量词，如“有些”、“存在”、“至少有一个”．追问：全称量词与存在量词的意义、全称量词命题和特称量词命题的定义是什么？预设的答案：1.全称量词与全称量词命题2设计意图：阅读教材，梳理概念．【巩固练习】例1．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题？(1)指数函数都是单调函数；(2)至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除；(3)负数的平方是正数；(4)有的实数是无限不循环小数；(5)有些三角形不是等腰三角形；(6)每个二次函数的图象都与x轴相交．师生活动：判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，关键是两点：一是是否具有两类命题所要求的量词；二是根据命题的含义判断指的是全体，还是全体中的个别元素．对于没有量词的命题需要补全量词在进行判别．预设的答案：(1)中含有全称量词“都”，所以是全称量词命题．(2)中含有存在量词“至少有一个”，所以是存在量词命题．(3)中省略了全称量词“都”，所以是全称量词命题．(4)中含有存在量词“有的”，所以是存在量词命题．(5)中含有存在量词“有些”，所以是存在量词命题．(6)中含有全称量词“每个”，所以是全称量词命题．反思与感悟：判定命题是全称量词命题还是存在量词命题，主要方法是看命题中含有全称量词还是存在量词．要注意的是有些全称量词命题并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断．设计意图：加深对全称量词命题和存在量词命题概念的理解，并能正确运用．例2．判断下列命题的真假．(1)任意两个面积相等的三角形一定相似；(2)∃x，y为正实数，使x2＋y2＝0；(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；(4)∀x∈N，x2>0．师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：(1)因为面积相等的三角形不一定相似．故它是假命题．(2)因为当x2＋y2＝0时，x＝y＝0，所以不存在x，y为正实数，使x2＋y2＝0，故它是假命题．(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题．(4)因为0∈N,02＝0，所以命题“∀x∈N，x2>0”是假命题．反思与感悟：要判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)都成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么这个全称量词命题就是假命题．要判定存在量词命题“∃x0∈M，p(x0)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个存在量词命题就是假命题．设计意图：掌握全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法．例3．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠∅，若命题p：“∀x ∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围．师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：由于命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，所以B⊆A，B≠∅，所以121,12,215,m mmm+-⎧⎪+-⎨⎪-⎩≤≥≤解得2≤m≤3．设计意图：掌握与运用含量词命题的真假求参数的取值范围．反思与感悟：已知含量词命题的真假求参数的取值范围，实质上是对命题意义的考查．解决此类问题，一定要辨清参数，恰当选取主元，合理确定解题思路．【课堂小结】1．板书设计：2.3.1 全称量词命题与存在量词命题1．全称量词命题与存在量词命题的判断例12．全称量词命题与存在量词命题的真假的判断例23．由全称量词命题与存在量词命题的真假求参数的范围例32．总结概括：问题：（1）如何判断一个语句是全称量词命题或存在量词命题？（2）如何判断全称量词命题或存在量词命题的真假？师生活动：学生尝试总结，老师适当补充．预设的答案：（1）（2）要判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)都成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么这个全称量词命题就是假命题．要判定存在量词命题“∃x0∈M，p(x0)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个存在量词命题就是假命题．设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确全称量词命题、存在量词命题的概念，并能判断其真假．布置作业：【目标检测】1．以下量词“所有”“任何”“一切”“有的”“有些”“有一个”“至少”中是存在量词的有()A．2个B．3个C．4个D．5个设计意图：巩固全称量词还是存在量词概念．2．下列命题：①至少有一个x使x2＋2x＋1＝0成立；②对任意的x都有x2＋2x＋1＝0成立；③对任意的x都有x2＋2x＋1＝0不成立；④存在x使得x2＋2x＋1＝0成立．其中是全称量词命题的有()A．1个B．2个C．3个D．0个设计意图：巩固全称量词命题还是存在量词命题概念．3．四个命题：①∀x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②∃x∈Q，x2＝2；③∃x∈R，x2＋1＝0；④∃x∈R，4x2>2x－1＋3x2．其中真命题的个数为_____．设计意图：全称量词命题、存在量词命题的真假判断．4．用符号“∀”与“∃”表示下列含有量词的命题，并判断真假：（1）实数都能写成小数形式．（2）有的有理数没有倒数．（3）不论m取什么实数，方程x2+x-m=0必有实根．（4）存在一个实数x，使x2+x+4≤0．设计意图：全称量词命题、存在量词命题的真假判断．5．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠∅，若命题p：“∃x∈A，x∈B”，求m的取值范围．设计意图：握与运用含量词命题的真假求参数的取值范围．参考答案：1．“有的”“有些”“有一个”“至少”都是存在量词．故选C．2．②③含有全称量词，所以是全称量词命题．故选B．3．x2－3x＋2>0，Δ＝(－3)2－4×2>0，∴当x>2或x<1时，x2－3x＋2>0才成立，∴①为假命题．当且仅当x＝时，x2＝2，∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②为假命题，对∀x∈R，x2＋1≠0，∴③为假命题，4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，∴④为假命题．∴①②③④均为假命题．4．（1）∀a∈R，a都能写成小数形式，此命题是真命题．（2）∃x∈Q，x没有倒数，有理数0没有倒数，故此命题是真命题．（3）∀m∈R，方程x2+x－m=0必有实根．当m=－1时，方程无实根，是假命题．（4）∃x∈R，使x2+x+4≤0．x2+x+4=212x⎛⎫+⎪⎝⎭+154>0恒成立，所以为假命题．5．p为真，则A∩B≠∅，因为B≠∅，所以m≥2．所以15,212,2,mmm+⎧⎪--⎨⎪⎩≤≥≥解得2≤m≤4．。
全称命题和存在命题
1.4 全称量词与存在量词教材内容：1.全称命题及其真假判断；2.特称命题及其真假判断；教材分析：全称量词和特称量词是数学选修1—1第一章常用逻辑用语里面最后一节内容。
在我们日常交往、学习和工作中，逻辑用语是必不可少的工具。
学习一些常用逻辑用语，可以使我们真确理解数学概念、合理论证数学结论、准确表达数学内容。
新课标要求：新课程理念告诉我们，教师已不再象以前是知识的权威，也不都是将事先组织的知识体系传递给学生。
而是学生们的合作伙伴，帮助学生掌握和提高解决问题的方法以及把握好行动的方向，在学生研究问题的关键时候“扶一把”，与学生共同探究知识。
学情分析：高二（8）是由68人组成的普通文科班，学生数学基础薄弱，但很刻苦。
在数学方面绝大多数学生是学困生，所以在教学中要设计新颖别致的问题，使学生学习有趣味感、新鲜感，从而诱发学生的内驱力。
教学目标：知识与技能：1.全称量词、存在量词的含义和表示；2.正确区分全称命题和特称命题；3.准确判断全称命题和特称命题的真假；过程与方法：1.通过探究式学习全称命题的含义、表示以及判断全称命题真假的方法；2.用类比法归纳特称命题的含义、表示以及判断特称命题真假的方法；情感、态度、价值观:培养逻辑思维，提高解决问题的能力；重点目标：能区分全称命题和特称命题，能判断它们真假；教学难点：准确判断全称命题和特称命题的真假教学关键：1.正确区分全称命题和特称命题；2.准确判断全称命题和特称命题的真假；教学方法或模式：自主探究法讨论法类比法教学活动设计思路：创设情景，引入课题→探究全称命题的含义和表示→引导学生总结判断全称命题真假的方法→探究特称命题的含义和表示→引导学生总结判断特称命题真假的方法→课堂练习、小结与课后作业；教学用具：多媒体教学过程：一、复习命题和简单的逻辑联结词二、创设情境引入课题1.所有中国公民的合法权利都受到中华人民共和国宪法的保护.2.凡是中国人，都是黄种人.3.全体同学到多媒体教室上数学课.4.每一个例题都必须认真听懂.5.有一位同学没来上课.6.对任意实数x，它的平方大于等于0.7.存在两个相交平面垂直于同一条直线.通过生活和数学中的实例，引出课题——全称量词和存在量词。
全称量词和特称量词
常用逻辑用语全称量词与存在量词3. 1 全称量词与全称命题3. 2存在量词与特称命题I明目标、知重点：1•通过具体实例理解全称量词和存在量词的含义.2.会判断全称命题和特称命题的真假.填要点1 .全称量词与全称命题在命题的条件中，“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词.含有全称量词的命题，叫作全称命题.2. 存在量词与特称命题在命题中，“有些” “至少有一个”“有一个” “存在”都有表示个别或一部分的含义，这样的词叫作存在量词.含有存在量词的命题，叫作特称命题.探要点：究所然探究点一全称量词与全称命题思考1下列语句是命题吗？(1)与(3), (2)与(4)之间有什么关系？(1) x>3 ；(2) 2x+ 1是整数；(3) 对所有的x€ R, x>3;(4) 对任意一个x€ Z,2x+ 1是整数.答语句(1)(2)含有变量x,由于不知道变量x代表什么数，无法判断它们的真假，因而不是命题.语句(3)在(1)的基础上，用短语“对所有的”对变量x进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用短语“对任意一个”对变量x进行限定，从而使(3)(4)成为可以判断真假的语句，因此语句⑶(4)是命题.小结短语“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“ 一切”都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词.像这样含有全称量词的命题，叫作全称命题.思考2如何判定一个全称命题的真假？答要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x o,使得p(x o)不成立即可(即举反例). 例1判断下列全称命题的真假：(1) 所有的素数是奇数；(2) 任意x€ R , x2+ 1> 1；(3) 对每一个无理数x, x2也是无理数.解(1)2是素数，但2不是奇数.所以，全称命题“所有的素数是奇数”是假命题.⑵任意x€ R，总有x2> 0,因而x2+ 1> 1.所以，全称命题“任意x€ R, x2+ 1> 1”是真命题.(3) .2是无理数，但(，2)2= 2是有理数.所以，全称命题“对每一个无理数x, x2也是无理数”是假命题.反思与感悟判断全称命题的真假，要看命题是否对给定集合中的所有元素成立.跟踪训练1试判断下列全称命题的真假：(1) 任意x€ R , x2+ 2>o ; (2)任意x€ N , x4> 1.⑶对任意角a都有sin2a+ COS2a= 1.解⑴由于任意x€ R，都有x2> 0,因而有x2+ 2> 2>0，即x2+ 2>0,所以命题“任意x€ R ,x2+ 2>0”是真命题.⑵由于0€ N，当x = 0时，x4> 1不成立，所以命题“任意x€ N, x4》1”是假命题.⑶由于任意a€ R , sin2a+ COS2a= 1成立.所以命题“对任意角a,都有Sin2a+ COS2a= 1 ”是真命题.探究点二存在量词与特称命题思考1下列语句是命题吗？(1)与(3), (2)与(4)之间有什么关系？(1) 2x+ 1= 3;(2) x能被2和3整除；(3) 存在一个x o€ R,使2x0 + 1 = 3;⑷至少有一个x o€ Z,使x o能被2和3整除.答(1)(2)不是命题，⑶(4)是命题.语句⑶在⑴的基础上，用短语“存在一个”对变量x 的取值进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用“至少有一个”对变量x的取值进行限定，从而使⑶(4)变成了可以判断真假的语句，因此语句⑶(4)是命题.小结“有些” “至少有一个”“有一个” “存在”都有表示个别或一部分的含义，这样的词叫作存在量词•像这样含有存在量词的命题，叫作特称命题.思考2怎样判断一个特称命题的真假？答要判断一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x= x o,使p(x o)成立即可，否则，这一特称命题是假命题.例2判断下列特称命题的真假：(1) 有一个实数x o,使x2+ 2x o+ 3= 0;(2) 存在两个相交平面垂直于同一条直线；(3) 有些整数只有两个正因数.解⑴由于任意x€ R ,x2+ 2x+ 3 = (x + 1)2+ 2>2，因此使x2+ 2x+ 3= 0的实数x不存在.所以，特称命题“有一个实数x o,使x0+ 2x o+ 3 = 0”是假命题.(2) 由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的，因此不存在两个相交的平面垂直于同一条直线.所以，特称命题“存在两个相交平面垂直于同一条直线”是假命题.(3) 由于存在整数3只有两个正因数1和3，所以特称命题“有些整数只有两个正因数”是真命题. 反思与感悟特称命题是含有存在量词的命题，判断一个特称命题为真，只需在指定集合中找到一个元素满足命题结论即可.跟踪训练2判断下列命题的真假：(1) 存在x o€ Z , x3<1 ;(2) 存在一个四边形不是平行四边形；(3) 有一个实数a, tan a无意义；(4) 存在x o € R , cos x o=才.解(1) T — 1 € Z,且(-1)3=- 1<1,“存在x o€ Z , x3<1 ”是真命题.⑵真命题，如梯形.n(3)真命题，当a= 2时，tan a无意义.⑷•/ 当x€ R 时，cos x€ [- 1,1],n而2>1 ,二不存在x o€ R,使cos x o= 2，•••原命题是假命题.探究点三全称命题、特称命题的应用思考不等式有解和不等式恒成立有何区别？答不等式有解是存在一个元素，使不等式成立，相当于一个特称命题；不等式恒成立则是给定集合中的所有元素都能使不等式成立，相当于一个全称命题.例3 (1)已知关于x的不等式x2+ (2a + 1)x+ a2+ 2< 0的解集非空，求实数a的取值范围；⑵令p(x)：ax2+ 2x+ 1>0,若对任意x€ R , p(x)是真命题，求实数a的取值范围.解⑴关于x 的不等式x2+ (2a + 1)x+ a2+ 2< 0 的解集非空，(2a + 1)2—4(a2+ 2)> 0,即4a—7>0,解得a>4，•实数a的取值范围为7, + m.⑵•••对任意x€ R, p(x)是真命题.•对任意x€ R , ax2+ 2x+ 1>0恒成立，当a= 0时，不等式为2x+ 1>0不恒成立，a>0,当0时，若不等式恒成立，则△= 4 —4a<0,• a>1.反思与感悟有解和恒成立问题是特称命题和全称命题的应用，注意二者的区别.跟踪训练3 (1)对于任意实数x,不等式sin x + cos x>m恒成立，求实数m的取值范围；(2)存在实数x,不等式sin x+ cos x>m有解，求实数m的取值范围.解(1)令y= sin x+ cos x, x€ R,■/y= sin x+ cos x= .2sin x + ^ > —. 2,又T任意x€ R , sin x+ cos x>m恒成立,•••只要m<—2即可.•••所求m的取值范围是（—0,— '2）. （2）令y= sin x+ cosx, x€ R,n■/ y= sin x+ cos x= '2sin x+ 4 € [ —'2, '2].又•••存在x € R , sin x+ cos x>m 有解，•只要m<」2即可，•所求m的取值范围是（一0, .2）.当1 .下列命题中特称命题的个数是（）①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除;总有|sin x|w 1.A. 0B. 1C. 2D. 3答案B解析命题①含有存在量词；命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形命题③可以叙述为“一切能被6整除的数都能被3整除”，是全称命题;题.故有一个特称命题.2. 下列命题中，不是全称命题的是（）A .任何一个实数乘以0都等于0B .自然数都是正整数C.每一个向量都有大小D .一定存在没有最大值的二次函数答案D解析对于A，当x= 1时，9 x= 0,正确；对于B，当x=訓，tan x=④对于任意x€ R ,"，故为全称命题；而命题④是全称命解析D选项是特称命题.3. 下列命题中的假命题是（A .存在x€ R, lg x= 0C.任意x€ R, x3>0 答案C )B .存在x € R , tan x=1D.任意x€ R,2x>01，正确；对于C,当x v 0时，x3V 0,错误；对于D，任意x€ R,2x> 0,正确.4 •用量词符号“任意”“存在”表述下列命题：⑴凸n边形的外角和等于2 n.(2)有一个有理数x o满足x0= 3.⑶对任意角a,都有Sin1 2a+ COS2a= 1.解⑴任意x€ {x|x是凸n边形} , x的外角和是2 n.(2)存在x o€ Q , % = 3.⑶任意a€ R , sin2a+ COS2a= 1.［呈重点、现规律］1. 判断命题是全称命题还是特称命题，主要是看命题中是否含有全称量词和存在量词，有些全称命题虽然不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断.2•要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称命题是假命题.3•要确定一个特称命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该特称命题是假命题.1下列命题：①中国公民都有受教育的权利；②每一个中学生都要接受爱国主义教育；③有人既能写小说，也能搞发明创造；④任何一个数除0,都等于0.其中全称命题的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 4答案C解析命题①②④ 都是全称命题.2下列特称命题是假命题的是()A .存在x€ Q,使2x—x3= 0B .存在x€ R，使x2+ x+ 1= 0C. 有的素数是偶数D .有的有理数没有倒数答案B1 3解析对于任意的x€ R , x2+ x+ 1 = (x + 2)2+ 4>0恒成立.3. 给出四个命题：①末位数是偶数的整数能被2整除；②有的菱形是正方形；③存在实数x, x>0 :④对于任意实数x,2x+ 1是奇数.下列说法正确的是()A .四个命题都是真命题B .①②是全称命题C .②③是特称命题D. 四个命题中有两个假命题答案C解析①④为全称命题；②③为特称命题；①②③为真命题；④为假命题.4. 下列全称命题中真命题的个数为()①负数没有对数；②对任意的实数a, b，都有a2+ b2>2ab；③二次函数f(x)= x2—ax—1与x轴恒有交点；④任意x € R, y€ R，都有x2+ |y|>0.A. 1B. 2C. 3D. 4答案C解析①②③为真命题.5. 下列全称命题为真命题的是()A .所有的素数是奇数B .任意x€ R, x2+ 3> 3C.任意x€ R,2x—1=0D .所有的平行向量都相等答案B6. _____________________________ 下列命题中，真命题是.①存在X o€ 0, n，sin X o+ cos x o》2；②任意x€ (3,+s ), X2>2X+ 1；③存在m€ R，使函数f(x)= x2+ mx(x€ R)是偶函数；n④任意x €, n , tan x>sin x.答案②③此命题为假命题；对于②，当 x € (3 ,+s )时，x 2— 2x — 1 = (x — 1)2— 2>0,•此命题为真命题；对于③，当m = 0时，f(x) = x 2为偶函数，•此命题为真命题；n对于④，当 x € , n 时，tan x<0<sin x ,•此命题为假命题.7. 判断下列命题是否为全称命题或特称命题，并判断其真假.(1)存在一条直线，其斜率不存在；⑵对所有的实数a , b ,方程ax + b = 0都有唯一解；1 (3)存在实数 x o ,使得 逐—xo + i = 2.解(1)是特称命题，是真命题.(2) 是全称命题，是假命题.(3) 是特称命题，是假命题.二、能力提升&对任意x>3, x>a 恒成立，则实数 a 的取值范围是 _____________ . 答案(―汽3]解析 对任意x>3, x>a 恒成立，即大于 3的数恒大于a , • a < 3.9. 给出下列四个命题：①a 丄b? a b = 0;②矩形都不是梯形；③ 存在 x , y € R , x 2 + y 2w 1 ；④ 任意互相垂直的两条直线的斜率之积等于- 1.其中全称命题是 _________ .答案①②④解析 ①②省略了量词“所有的”，④含有量词“任意”.10. 四个命题：①任意 x € R , x 2— 3x + 2>0恒成立；②存在 x € Q , x 2 = 2;③存在x € R , 解析对于①,任意x € sin x + cos x = 2sin x +X2+ 1 = 0；④任意x€ R,4x2>2x—1 + 3x2.其中真命题的个数为 ________ .答案0解析x2—3x+ 2>0, △= (—3)2—4X 2>0,•••当x>2 或x<1 时，x2—3x+ 2>0 才成立，①为假命题.当且仅当x= ± 2时，x2= 2,• •不存在x€ Q，使得x2= 2,•②为假命题，对任意x € R, x2+ 1工0,•③为假命题，4/ —(2x—1 + 3x2)= x2—2x+ 1 = (x—1)2> 0,即当x= 1 时，4x2= 2x—1+ 3x2成立，•④为假命题.•••①②③④ 均为假命题.11. 判断下列命题的真假：(1)对任意x € R, |x|>0;⑵对任意a € R，函数y= log a x是单调函数；⑶对任意x € R, x2> —1;⑷存在a € ｛向量｝，使a b= 0.解(1)由于0€ R，当x= 0时，|x|>0不成立，因此命题“对任意x€ R, xi>0”是假命题.⑵由于1 € R，当a = 1时，y= log a x无意义，因此命题“对任意a€ R，函数y = log a x是单调函数”是假命题.⑶由于对任意x€ R，都有x2》0,因而有x2> —1.因此命题“对任意x€ R , x2> —1 ”是真命题.⑷由于0€ ｛向量｝，当a= 0时，能使ab= 0，因此命题“存在a€ ｛向量｝，使ab = 0”是真命题.12. 已知函数f(x)= x2—2x+ 5.(1)是否存在实数m,使不等式m+ f(x)>0对于任意x€ R恒成立？并说明理由；⑵若存在实数x,使不等式m —f(x)>0成立，求实数m的取值范围.解⑴不等式m+ f(x)>0 可化为m> —f(x)，即m> —x2+ 2x—5 =—(x —1)2—4.要使m>—(x —1)2—4对于任意x€ R恒成立，只需m> —4即可.故存在实数m使不等式m+ f(x)>0对于任意x€ R恒成立，此时m> —4.(2)不等式m—f(x)>0 可化为m>f(x).若存在实数x使不等式m>f(x)成立，只需m>f(x)min.又f(x)= (x—1)2+ 4,所以f(x)min = 4,所以m>4.故所求实数m的取值范围是(4,+ a).三、探究与拓展13. 若任意x€ R，函数f(x)= mx2+ x—m—a的图像和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围.解①当m= 0时，f(x)= x —a与x轴恒相交，所以 a € R;②当m^0时，二次函数f(x) = mx2+ x—m—a的图像和x轴恒有公共点的充要条件是△= 1 + 4m(m+ a)> 0 恒成立，即4m2+ 4am+ 1 > 0 恒成立.又4m2+ 4am + 1> 0是一个关于m的二次不等式，恒成立的充要条件是△= (4a)2—16< 0, 解得—K a< 1.综上所述,当m=0 时, a€ R；当m^ 0 时，a€ [ —1,1].。
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真命题 假命题
x0 M , p ( x0 )
x M , p( x)
抽签助手
思考： 2 若存在x0 R, 使得x0 2ax0 a 0,
则a的取值范围是
4、对每一个无理数x, x 2也是无理数；假命题 5、至少有一个x0 Z , x0能被2和3整除；真命题
6、所有的矩形都是平行四边形； 真命题
7、有一个实数x0 R, 使x0 2 +2x0 +3=0； 假命题
8、有些整数只有两个正因数。 真命题
抽签助手
全称量词-----
全称命题
x M , p( x)
x0 M , p ( x0 )
抽签助手
判断命题的真假，并写出下列特称命题的否定
1、x0 R, x 1 0；
x R, x 1 0
2、x0 R, x 2 x0 2 0；
2 0
2 0 2
假命题 真命题 假命题 真命题 真命题 假命题
x R, x2 2x 2 0 3、有的三角形是等边三角形； 所有的三角形都不是等边三角形 4、有一个素数含三个正因数. 每一个素数都不含三个正因数
2、存在一个x0 R, x0 3； x0 R, x0 3
3、对任意一个x Z , 2 x 1是整数；x Z , 2 x 1 Z
真命题 真命题 假命题
3、存在一个x0 Z , 2 x0 1不是整数；x0 Z , 2 x0 1 Z
x M , p( x)
1.4 全称量词和存在量词
学习目标 1.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量 词与存在量词的意义。 2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定。
判断下列命题的真假
1、对所有的x R, x 3；假命题
2、存在一个x0 R, x0 3；真命题
3、对任意一个x Z , 2 x 1是整数； 真命题
6、所有的矩形都是平行四边形； 真命题
7、有一个实数x0 R, 使x0 2 +2x0 +3=0； 假命题
8、有些整数只有两个正因数。 真命题
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存在量词-----
特称命题
x0 M , p ( x0 )
真命题
2、存在一个x0 R, x0 3；
x0 R, x0 3
5、至少有一个x0 Z , x0能被2和3整除；
1、对所有的x R, x 3； 假命题存在一个x0 R, x0 3；真命题
3、对任意一个x Z , 2 x 1是整数； 真命题
4、对每一个无理数 x, x 2也是无理数； 假命题 5、至少有一个x0 Z , x0能被2和3整除；真命题
真命题
7、有一个实数x0 R, 使x02 +2x0 +3=0； 假命题
x0 R, x0 +2x0 +3=0
2
8、有些整数只有两个正因数。
真命题
抽签助手
写出下列全称命题的否定
1、所有的矩形都是平行四边形；
真命题
1、存在一个矩形不是平行四边形； 假命题 假命题 x R, x 3 2、对所有的x R, x 3；