全称量词与存在量词(使用)
全称量词与存在量词(用)
贵州省三都民族中学高二数学备课组 潘洪存
2014年3月
思考?
下列语句是命题吗?(1)与(3)之间,(2)与(4)之间 有什么关系? (1) x 3 ; (2)2x+1是整数; (3)对所有的 x R, x 3; (4)对任意一个
x Z,
2x+1是整数.
短语“对所有的””对任意一 短语”对所有的””对任意一 个”在逻辑中通常叫做全称量词, 并用符号 ”表示.含有全称 “ 量词的命题,叫做全称命题. ,
常见的全称量词还有: “所有的”,“任意一个”,“对一 切”,“对每一个”,“任给”, “凡” 等.例如：
1 ）对任意n , 2n 1是奇数。 2 ）所有的正方形都是矩形。
通常，将含有变量x的语句用p(x)、q(x)、 r(x)表示，变量x的取值范围用M表示。
符号
全称命题“对M中任意一个x有 p(x)成立”可用符号简记为
小结1：同一个全称命题或特称命题，可能有不同 的表述方法 全称命题“∀x∈A， 特称命题“∃x∈A， p (x )” p (x )” ①所有的x∈A，p(x) ①存在x∈A，使 成立 p(x)成立 ②对一切x∈A，p(x) ②至少有一个x∈A， 成立 使p(x)成立 表述 ③对每一个x∈A， ③对有些x∈A， p(x)成立 方法 p(x)成立 ④任意一个x∈A， ④对某个x∈A， p(x)成立 p(x)成立 ⑤凡x∈A，都有p(x) ⑤有一个x∈A，使
解析： (1)为全称命题． (2)为特称命题． (3)不是命题． (4)为全称命题． (5)为特称命题．
将下列命题用量词符号“∀”或“∃”表 示，并判断真假． (1)实数的平方是非负数； (2)整数中1最小； (3) 方程 ax2 ＋ 2x ＋ 1 ＝ 0(a<1) 至少存在一个负根； (4)对于某些实数x，有2x＋1>0； (5)若直线l垂直于平面α内任一直线，则l⊥α.
1.5.1 全称量词与存在量词
§1.5全称量词与存在量词1.5.1全称量词与存在量词学习目标 1.理解全称量词、全称量词命题的定义.2.理解存在量词、存在量词命题的定义.3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假．导语同学们，生活中，我们经常听到“全体起立，所有人到操场集合，”也有“南使孤帆远，东风任意吹”这种体现出任意的句子的诗情画意；我们还经常听到“有的同学考上了清华大学，有的同学没有交作业，”还有“我该如何存在”这种拷问心灵的歌词．而这里出现了一些在我们数学中非常重要的量词，“全体，所有的，任意的，有的，存在”等，今天我们就对含有这些量词的命题展开讨论．一、全称量词与全称量词命题问题1下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？(1)x>3；(2)2x＋1是整数；(3)对所有的x∈R，x>3；(4)对任意一个x∈Z,2x＋1是整数．提示语句(1)(2)中含有变量x，由于不知道变量x代表什么数，无法判断它们的真假，所以它们不是命题．语句(3)在(1)的基础上，用短语“所有的”对变量x进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用短语“任意一个”对变量x进行限定，从而使(3)(4)成为可以判断真假的语句，因此语句(3)(4)是命题．知识梳理全称量词与全称量词命题全称量词所有的、任意一个、一切、每一个、任给符号表示∀全称量词命题含有全称量词的命题形式“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为“∀x∈M，p(x)”注意点：(1)从集合的观点看全称量词命题是陈述某集合中的所有的元素都具有某种性质的命题，全称量词表示的数量可能是有限的，也可能是无限的，由题目而定；(2)有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补充出来，例如：命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”；(3)要判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立；(4)要判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是假命题，只需举出一个反例即可．例1判断下列命题是否为全称量词命题并判断真假．(1)对任意直角三角形的两锐角A，B，都有sin A＝cos B；(2)自然数的平方大于或等于零；(3)所有的二次函数的图象的开口都向上．解(1)含有全称量词“任意”，故是全称量词命题．真命题；(2)全称量词命题．表示为∀n∈N，n2≥0.真命题；(3)全称量词命题．对于任意二次函数，它的图象的开口都向上．假命题．反思感悟(1)判断一个命题是否为全称量词命题，主要看命题中是否有“所有的，任意一个，一切，每一个，任给”等表示全体的量词，有些命题的全称量词是隐藏的，要仔细辨别．(2)判断真假时用直接法或间接法，直接法就是对陈述的集合中每一个元素都要使结论成立，间接法就是找到一个元素使结论不成立即可．跟踪训练1判断下列全称量词命题的真假．(1)每个四边形的内角和都是360°；(2)任何实数都有算术平方根；(3)∀x∈{y|y是无理数}，x2是无理数．解(1)真命题；(2)负数没有算术平方根，假命题；(3)x＝2是无理数，但x2＝2是有理数，假命题．二、存在量词与存在量词命题问题2下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？(1)2x＋1＝3；(2)x能被2和3整除；(3)存在一个x∈R，使2x＋1＝3；(4)至少有一个x∈Z，x能被2和3整除．提示容易判断，(1)(2)不是命题．语句(3)在(1)的基础上，用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用“至少有一个”对变量x的取值进行限定，从而使(3)(4)变成了可以判断真假的陈述句，因此(3)(4)是命题．知识梳理存在量词与存在量词命题存在量词存在一个、至少有一个、有一个，有些、有的注意点：(1)从集合的角度看，存在量词命题是陈述某集合中有或存在一些或至少一个元素具有某种性质的命题；(2)有些命题可能没有写出存在量词，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题；(3)要判断存在量词命题“∃x∈M，p(x)”是真命题，只需要在集合M中找到一个元素x，使p(x)成立即可；(4)要判断一个存在量词命题是假命题，需对集合M 中的任意一个元素x，证明p(x)都不成立．例2判断下列命题是否为存在量词命题，并判断真假．(1)有些整数既能被2整除，又能被3整除；(2)某个四边形不是平行四边形；(3)方程3x－2y＝10有整数解；(4)有一个实数x，使x2＋2x＋4＝0.解(1)存在量词命题，表示为∃x∈Z，x既能被2整除，又能被3整除．真命题．(2)存在量词命题，表示为∃x∈{y|y是四边形}，x不是平行四边形．真命题．(3)可改写为存在一对整数x，y，使3x－2y＝10成立．故为存在量词命题．真命题．(4)存在量词命题，由于Δ＝22－4×4＝－12<0，因此方程无实根．假命题．反思感悟(1)判断一个命题是否为存在量词命题，主要看命题中是否有“存在一个，至少有一个，有些，有一个，对某些，有的”等表示部分的量词，有些命题的存在量词是隐藏的，要仔细辨别．(2)判断真假时用直接法或间接法，直接法就是对陈述的集合中有一个元素使结论成立即可，间接法就是对集合中所有的元素使结论不成立．跟踪训练2判断下列存在量词命题的真假．(1)存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直；(2)至少有一个整数n，使得n2＋n为奇数；(3)∃x∈{y|y是无理数}，x2是无理数．解(1)菱形的对角线互相垂直，真命题；(2)n2＋n＝n(n＋1)，故n和n＋1必为一奇一偶，其乘积为偶数，假命题；(3)当x＝π时，x2仍是无理数，真命题．三、依据含量词命题的真假求参数的取值范围例3已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠∅，若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围．解 由于命题p ：“∀x ∈B ，x ∈A ”是真命题，所以B ⊆A ，B ≠∅，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，解得2≤m ≤3.即m 的取值范围为{m |2≤m ≤3}．延伸探究1．把本例中命题p 改为“∃x ∈A ，x ∈B ”，求m 的取值范围．解 p 为真，则A ∩B ≠∅，因为B ≠∅，所以m ≥2.所以⎩⎪⎨⎪⎧ －2≤m ＋1≤5，m ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧－2≤2m －1≤5，m ≥2， 解得2≤m ≤4.2．把本例中的命题p 改为“∀x ∈A ，x ∈B ”，是否存在实数m ，使命题p 是真命题？若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，说明理由．解 由于命题p ：“∀x ∈A ，x ∈B ”是真命题，所以A ⊆B ，B ≠∅，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2m －1，m ＋1≤－2，2m －1≥5，解得m ∈∅，所以不存在实数m ，使命题p 是真命题．反思感悟 依据含量词命题的真假求参数取值范围问题的求解方法(1)首先根据全称量词和存在量词的含义透彻地理解题意．(2)其次根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式(组)求参数的取值范围．跟踪训练3 若命题“∃x ∈R ，x 2－4x ＋a ＝0”为真命题，求实数a 的取值范围． 解 ∵命题“∃x ∈R ，x 2－4x ＋a ＝0”为真命题，∴方程x 2－4x ＋a ＝0存在实数根，则Δ＝(－4)2－4a ≥0，解得a ≤4.即实数a 的取值范围为{a |a ≤4}．1．知识清单：(1)全称量词命题、存在量词命题的概念．(2)含量词的命题的真假判断．(3)依据含量词的命题的真假求参数的取值范围．2．方法归纳：定义法、转化法．3．常见误区：有些命题省略了量词，全称量词命题强调“整体、全部”，存在量词命题强调“个别、部分”．1．(多选)下列命题是全称量词命题的是()A．任意一个自然数都是正整数B．有的菱形是正方形C．梯形有两边平行D．∃x∈R，x2＋1＝0答案AC解析选项A中的命题含有全称量词“任意”，是全称量词命题，选项C中，“梯形有两边平行”是全称量词命题．2．下列命题中是存在量词命题的是()A．任何一个实数乘以0都等于0B．任意一个负数都比零小C．每一个正方形都是矩形D．一定存在没有最大值的二次函数答案 D解析D选项是存在量词命题．3．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是()A．每个二次函数的图象都开口向上B．存在一条直线与已知直线不平行C．对任意实数a，b，若a－b≤0，则a≤bD．存在一个实数x，使等式x2－2x＋1＝0成立答案 C解析B，D是存在量词命题，故应排除；对于A，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a<0)的图象开口向下，也应排除，故应选C.4．命题p：∃x∈R，x2＋2x＋5＝0是________(填“全称量词命题”或“存在量词命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)．答案存在量词命题假解析命题p是存在量词命题，因为方程x2＋2x＋5＝0的判别式22－4×5<0，即方程x2＋2x＋5＝0无实根，所以命题p是假命题．课时对点练1．下列命题是“∀x ∈R ，x 2>3”的另一种表述方式的是( )A ．有一个x ∈R ，使得x 2>3B ．对有些x ∈R ，使得x 2>3C ．任选一个x ∈R ，使得x 2>3D ．至少有一个x ∈R ，使得x 2>3答案 C解析 “∀”表示“任意的”．2．下列命题中既是全称量词命题又是真命题的是( )A ．∀x ∈R,2x ＋1>0B ．若2x 为偶数，则x ∈NC ．菱形的四条边都相等D ．π是无理数答案 C解析 对A ，是全称量词命题，但不是真命题，故A 不正确；对B ，是全称量词命题，但不是真命题，故B 不正确；对C ，是全称量词命题，也是真命题，故C 正确；对D ，是真命题，但不是全称量词命题，故D 不正确．3．下列命题中的假命题是( )A ．∃x ∈R ，|x |＝0B ．∃x ∈R,2x －10＝1C ．∀x ∈R ，x 3>0D ．∀x ∈R ，x 2＋1>0 答案 C解析 当x ＝0时，x 3＝0，故选项C 为假命题．4．下列存在量词命题是假命题的是( )A ．存在x ∈Q ，使4－x 2＝0B ．存在x ∈R ，使x 2＋x ＋1＝0C ．有的素数是偶数D ．有的有理数没有倒数答案 B解析 对于任意的x ∈R ，x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34>0恒成立． 5．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是( )A ．锐角三角形的内角是锐角或钝角B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0C ．两个无理数的和必是无理数D ．存在一个负数x ，使1x>2 答案 B解析 A 中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称量词命题；B 中x ＝0时，x 2＝0，所以B 既是存在量词命题又是真命题；C 中因为3＋(－3)＝0，所以C 是假命题；D 中对于任一个负数x ，都有1x<0，所以D 是假命题． 6．(多选)下列命题中是存在量词命题的是( )A ．有些自然数是偶数B ．正方形是菱形C ．能被6整除的数也能被3整除D ．存在x ∈R ，使得|x |≤0答案 AD解析 选项A 是存在量词命题；选项B 可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，是全称量词命题；选项C 可以叙述为“一切能被6整除的数也都能被3整除”，是全称量词命题；而选项D 是存在量词命题．7．命题“有些负数满足不等式(1＋x )(1－9x )2>0”用“∃”写成存在量词命题为______________________．答案 ∃x <0，(1＋x )(1－9x )2>0解析 存在量词命题“存在M 中的元素x ，使p (x )成立”可用符号简记为“∃x ∈M ，p (x )”．8．给出下列命题(1)∀x ∈R ，x 2>0；(2)∃x ∈R ，x ＋1≤0；(3)∃a ∈∁R Q ，b ∈∁R Q ，使得a ＋b ∈Q .其中真命题的个数为____________．答案 2解析 (1)当x ＝0时，x 2＝0，是假命题；(2)存在x ＝－2，使得x ＋1≤0，真命题；(3)当a ＝2－2，b ＝3＋2时，a ＋b ＝5，是真命题．9．判断下列命题哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假性．(1)对所有的正实数t ，t 为正且t <t ；(2)存在实数x ，使得x 2－3x －4＝0；(3)存在实数对(x ，y )，使得3x －4y －5>0；(4)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．解 (1)为全称量词命题，且为假命题，如取t ＝1，则t <t 不成立．(2)为存在量词命题，且为真命题，因为判别式Δ＝b 2－4ac ＝25>0，所以存在实数x ，使得x 2－3x －4＝0.(3)为存在量词命题，且为真命题，如取实数对(2,0)，则3x －4y －5>0成立．(4)为全称量词命题，且为真命题．10．已知命题“∃－3≤x ≤2,3a ＋x －2＝0”为真命题，求实数a 的取值范围．解 由3a ＋x －2＝0，得3a －2＝－x ，∵－3≤x ≤2，∴－2≤－x ≤3，∴－2≤3a －2≤3，即0≤a ≤53，故实数a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪ 0≤a ≤53.11．下列命题中形式不同于其他三个的是( )A ．∀x ∈Z ，x 2－9<x 2B ．∃x ∈R ，x 2－2x ＋1≠0C ．每一个正数的倒数都大于0D ．∀x <2，x －3<0答案 B解析 ACD 均为全称量词命题，B 为存在量词命题．12．下列命题中正确的个数是( )①∃x ∈R ，x ≤0；②至少有一个整数，它既不是合数也不是质数；③∃x ∈{x |x 是无理数}，x ＋5是无理数．A ．0B ．1C ．2D ．3答案 D解析 ①∃x ∈R ，x ≤0，正确；②至少有一个整数，它既不是合数也不是质数，正确，例如数1满足条件；③∃x ∈{x |x 是无理数}，x ＋5是无理数，正确，例如x ＝π.综上可得①②③都正确．13．已知命题p ：∃x ∈R ，x 2＋2x －a ＝0，若p 为假命题，则实数a 的取值范围是() A ．a >－1 B ．a <－1C．a≥－1 D．a≤－1答案 B解析依题意方程x2＋2x－a＝0无实根，所以必有Δ＝4＋4a<0，解得a<－1.14．若对任意x>3，x>a恒成立，则a的取值范围是________．答案a≤3解析对于任意x>3，x>a恒成立，即大于3的数恒大于a，所以a≤3.15．已知A＝{x|1≤x≤2}，命题“∀x∈A，x2－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是() A．a≥4 B．a≤4 C．a≥5 D．a≤5答案 C解析当该命题是真命题时，只需a≥(x2)max，x∈A＝{x|1≤x≤2}．又y＝x2在1≤x≤2上的最大值是4，所以a≥4.因为a≥4⇏a≥5，a≥5⇒a≥4.所以命题“∀x∈A，x2－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是a≥5.16．若∀x∈R，函数y＝x2＋mx－1－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围．解因为函数y＝x2＋mx－1－a的图象和x轴恒有公共点，所以Δ＝m2＋4(1＋a)≥0恒成立，即m2＋4a＋4≥0恒成立．设y1＝m2＋4a＋4，则可转化为此二次函数的图象恒在x轴上方(或图象顶点在x轴上)的充要条件是Δ1＝02－4(4a＋4)≤0，可得a≥－1.综上所述，实数a的取值范围是{a|a≥－1}．。
全称量词和存在量词
全称量词和存在量词
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示.含有全称量词的命题，叫做全称量词命题.
通常，将含有变量X的语句用P(x),q(x)等表示，变量X的取值范围用M表示，那么全称量词命题“对M中任意一个X，P(x)成立”可用符号简记为
∀x∈M,p(x).
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示.含有存在量词的命题，叫做存在量词命题.
存在量词命题“存在M中的元素X，P(x)成立”可用符号简记为
∃x∈M,p(x).
全称量词命题和存在量词命题的否定.
一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这一命题称为原命题的否定.
一般来说，对含有一个量词的全称量词命题进行否定，我们只需把“所有的”“任意一个”等全称量词变成“并非所有的”“并非任意一个”等短语即可.也就是说，对于含有一个量词的全称量词命题的否定，有下面的结论：
全称量词命题：
∀x∈M,p(x)
它的否定：
∃x∈M,¬p(x)
也就是说，全称量词的命题的否定是存在量词命题.
一般来说，对含有一个量词的存在量词命题进行否定，我们只需把“”存在一个“”至少有一个“”有些等存在量词，变成“”不存在一个“”没有一个等短语即可.
也就是说，对含有一个量词的存在量词命题的否定，有下面的结论：
全称量词命题：
∃x∈M,p(x).
它的否定：∀x∈M,¬p(x).
也就是说，全称量词的命题的否定是存在量词命题.。
高中数学《存在量词与全称量词》教学课件
1.5.1 全称量词与存在量词
[跟进训练]
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情境导学·探新知 合作探究·释疑难 当堂达标·夯基础 课后素养落实
3．若命题“p：∀x∈R，x2－2x＋m≠0”是真命题，则实数 m 的
取值范围是( )
A．m≥1
B．m＞1
C．m＜1
D．m≤1
B [命题 p：∀x∈R，x2－2x＋m≠0 是真命题，则 Δ＜0，即 m＞
1．下列语句中，是全称量词命题的是________，是存在量词命题
的是________．
①菱形的四条边相等；
②所有含两个 60°角的三角形是等边三角形；
③负数的立方根不等于 0；
④至少有一个负整数是奇数；
⑤所有有理数都是实数吗？
1.5.1 全称量词与存在量词
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(5)存在一个实数 x，使等式 x2＋x＋8＝0 成立．
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[解] (1)真命题，因为 x2≥0，
所以 x2＋1≥1，x2＋1>12恒成立． (2)真命题，例如 α＝0，β＝1，符合题意．
(3)真命题，如数－2，－4 等，既是偶数又是负数． (4)假命题，如边长为 1 的正方形的对角线长为 2，它的长度就不
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[解] (1)全称量词命题，表示为∀x∈{x|x>－1},3x＋4>0. (2)全称量词命题，表示为∀a，b∈R，方程 ax＋b＝0 恰有一解． (3)存在量词命题，表示为∃x∈Z，x 既能被 2 整除，又能被 3 整 除． (4)存在量词命题，表示为∃x∈{y|y 是四边形}，x 不是平行四边形．
全称量词与存在量词(讲义)解析版--2023年初升高暑假衔接之高一数学
1.5全称量词与存在量词1.全称量词与全称量词命题（1）全称量词短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示（2）全称量词命题含有全称量词的命题，叫做全称量词命题（3）全称量词命题的符号及记法记作：M x ∈∀，()x p 读作：对任意x 属于M ，有()x p 成立考点1.判断全称量词命题的真假例1判断下列全称量词命题的真假：（1）每个四边形的内角和都是360°；（2）任何实数都有算术平方根；（3）{|x y y ∀∈是无理数}，3x 是无理数.【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）假命题【分析】对每个全称量词命题进行判断，从而得到答案.【详解】（1）真命题.连接一条对角线，将一个四边形分成两个三角形，而一个三角形的内角和180°，所以四边形的内角和都是360°是真命题；（2）假命题.因为负数没有算术平方根，所以任何实数都有算术平方根是假命题；（3）假命题，因为x =是无理数，3x 2=是有理数，所以{|x y y ∀∈是无理数}，3x 是无理数是假命题.【点睛】本题考查判断全称量词命题的真假，属于简单题.例2将下列命题用量词等符号表示，并判断命题的真假：（1）所有实数的平方都是正数；（2）任何一个实数除以1，仍等于这个实数．【答案】（1）2,0x R x ∀∈>，假命题；（2）,1x x R x ∀∈=，真命题【分析】(1)易得该命题为全称命题,再举出反例判定即可.(2)易得该命题为全称命题,再直接判定即可.【详解】(1)命题为：2,0x R x ∀∈>.易得当0x =时20x =,故原命题为假命题.(2)命题为：,1x x R x ∀∈=,易得为真命题.【点睛】本题主要考查了全称命题的定义与真假的判定.属于基础题.变式2-1判断下列全称量词命题的真假：（1）所有的素数都是奇数；（2）x R ∀∈，11≥+x ；（3）对任意一个无理数x ，2x 也是无理数.【答案】（1）假命题；（2）真命题；（3）假命题【分析】对每个全称量词命题进行判断，从而得到答案.【详解】（1）2是素数，但2不是奇数.所以全称量词命题“所有的素数是奇数”是假命题.（2）x R ∀∈，总有||0x ，因而||11x +.所以全称量词命题“x R ∀∈，||11x +”是真命题.（3是无理数，但22=是有理数.所以，全称量词命题“对每一个无理数x ，2x 也是无理数”是假命题.【点睛】本题考查判断全称量词命题的真假，属于简单题.变式2-2判断下列全称量词命题的真假:(1)每一个末位是0的整数都是5的倍数;(2)线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;(3)对任意负数2,x x 的平方是正数;(4)梯形的对角线相等【答案】(1)真命题;(2)真命题;(3)真命题;(4)假命题.【分析】(1)根据整数的知识判断即可.(2)根据平面几何的知识判断即可.(3)根据平方的性质判断即可.(4)举出反例判断即可.【详解】(1)根据整数的性质,末位是0的整数都是5的倍数成立.故为真命题.(2)根据垂直平分线的性质可得线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.故为真命题.(3)对任意负数0x <,不等式两边同时乘以负数x 有20x >.故为真命题(4)举反例如直角梯形对角线显然不相等.故为假命题.【点睛】本题主要考查了命题真假的判定,属于基础题型.2.存在量词与存在量词命题（1）存在量词短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示（2）存在量词命题含有存在量词的命题，叫做存在量词命题（3）存在量词命题的符号及记法记法：M x ∈∃，()x p 读法：存在M 中的元素x ，使得()x p 成立考点2.判断存在量词命题的真假例3判断下列存在量词命题的真假:(1)有些实数是无限不循环小数;(2)存在一个三角形不是等腰三角形;(3)有些菱形是正方形;(4)至少有一个整数2,1n n +是4的倍数.【答案】(1)真命题;(2)真命题;(3)真命题;(4)假命题.【分析】(1)根据实数的定义分析即可.(2)根据等腰三角形的定义分析即可.(3)根据菱形与正方形的关系分析即可.(4)利用反证法证明是假命题即可.【详解】(1)实数包括有理数与无理数,其中无理数包括无限不循环小数如,e π等.故为真命题.(2)等腰三角形有两条长度相等的边,但并不是每个三角形都有两条长度相等的边,故为真命题.(3)四边长度相等的四边形为菱形,此时若相邻边互相垂直则为正方形,故为真命题.(4)假设有一个整数2,1n n +是4的倍数,则因为21n +能被4整除,故21n +为偶数,故2n 为奇数,故n 为奇数.设21,n k k N =+∈,则221442n k k +=++,故21n +除以4的余数为2与题设矛盾.故不存在整数,n 使得21n +是4的倍数.故为假命题.【点睛】本题主要考查了命题真假的判定,属于基础题型.变式3-1判断下列存在量词命题的真假，并说明理由．（1）存在一个质数是偶数；（2）有一个实数x ，使2230x x ++=．【答案】（1）真命题，详见解析（2）假命题，详见解析【分析】（1）由2既是质数，也是偶数，可判断命题；（2）根据()2223122x x x ++=++≥，可判断命题．【详解】（1）因为2既是质数，也是偶数，所以原命题为真命题．（2）由于()22231220x x x ++=++≥>，所以原命题是假命题．【点睛】本题考查特称命题的判断，属于基础题.例4试判断以下命题的真假：（1）2,20x x ∈+>R ；（2）N x ∈∀，14≥x （3）3,1x x ∃∈<Z ；（4）2,3x x ∃∈=Q ．【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）真命题；（4）假命题【分析】（1）根据不等式的性质判断即可；（2）全称命题判断为假，只需举一个反例即可；（3）特称命题判断为真，只需举一个正例即可；（4）解方程即可判断；【详解】解：（1）由于x ∀∈R ，都有20x ，因而有2220x +≥>，即220x +>．因此命题“2,20x x ∀∈+>R ”是真命题．（2）由于0∈N ，当0x =时，41x 不成立．因此命题“4,1x x ∀∈N ”是假命题．（3）由于1-∈Z ，当1x =-时，能使31x <成立．因此命题“3,1x x ∃∈<Z ”是真命题．（4）由于使23x =成立的数只有，而它们都不是有理数，因而没有任何一个有理数的平方能等于3．因此命题“2,3x x ∃∈=Q ”是假命题．【点睛】本题考查含有一个量词的命题的真假性判断，属于基础题.变式4-1判断下列命题的真假：（1）2,x x x ∃∈>R ；（2）2,x x x ∀∈>R ；（3）2,80x x ∃∈-=Q ；（4）2,20x x ∀∈+>R ．【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）假命题；（4）真命题【分析】（1）特称命题判断为真，只需举一个正例即可；（2）全称命题判断为假，只需举一个反例即可；（3）通过解方程可判断；（4）根据不等式的性质可证明；【详解】解：（1）因为2x =时，2x x >成立，所以“2,x x x ∃∈>R ”是真命题．（2）因为0x =时，2x x >不成立，所以“2,x x x ∀∈>R ”是假命题．（3）因为使280x -=成立的数只有x =与x =-，但它们都不是有理数，所以“2,80x x ∃∈-=Q ”是假命题．（4）因为对任意实数x ，有20x ≥，则220x +>，即对任意实数，都有220x +>成立，所以“2,20x x ∀∈+>R ”是真命题．【点睛】本题考查命题真假判断，属于基础题.3.全称量词命题和存在量词命题的否定（1）全称量词命题的否定全称量词命题：M x ∈∀，()x p 否定为：M x ∈∃，()x p ⌝（2）存在量词命题的否定存在量词命题：M x ∈∃，()x p 否定为：M x ∈∀，()x p ⌝考点3.全称量词命题和存在量词命题的否定例5命题“1x ∀>>”的否定是（）A ．01x ∃>≤B ．01x ∀>≤C ．01x ∃≤≤D ．01x ∀≤≤【答案】A【分析】根据全称命题的否定为特称命题即可判断；【详解】解：命题1x ∀>>，为全称命题，全称命题的否定为特称命题，故其否定为01x ∃>≤故选：A【点睛】本题考查全称命题的否定，属于基础题.变式5-1命题“(0,1),x ∀∈20x x -<”的否定是（）A ．0(0,1),x ∃∉2000x x -≥B ．0(0,1),x ∃∈2000x x -≥C ．0(0,1),x ∀∉2000x x -<D ．0(0,1),x ∀∈2000x x -≥【答案】B【分析】根据“全称命题”的否定一定是“特称命题”判断.【详解】“全称命题”的否定一定是“特称命题”，∴命题“(0,1),x ∀∈20x x -<”的否定是0(0,1),x ∃∈2000x x -≥，故选：B .【点睛】本题主要考查命题的否定，还考查理解辨析的能力，属于基础题.变式5-2命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是A ．所有不能被2整除的数都是偶数B ．所有能被2整除的数都不是偶数C ．存在一个不能被2整除的数是偶数D ．存在一个能被2整除的数不是偶数【答案】D试题分析：命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是“存在一个能被2整除的数不是偶数”．故选D ．考点：命题的否定．例6命题“0R x ∃∈，20010x x -+<”的否定是（）A ．R x ∃∈，210x x -+>B ．R x ∃∈，210x x -+≥C ．R x ∀∈，210x x -+>D ．R x ∀∈，210x x -+≥【答案】D【分析】特称命题的否定是全称命题【详解】因为特称命题的否定是全称命题所以命题“0R x ∃∈，20010x x -+<”的否定是“R x ∀∈，210x x -+≥”故选：D【点睛】本题考查的是特称命题的否定，较简单.变式6-1已知命题:N,21000n P n ∃∈>，则P ⌝为（）A ．N,2100n n ∀∈B ．N,21000n n ∀∈>C ．N,21000n n ∃∈D ．N,21000n n ∃∈<【答案】A【分析】【详解】写特称命题的否命题，将存在量词改为全称量词，再否定结果所以命题:N,21000n P n ∃∈>的否定P ⌝为N,2100n n ∀∈故选：A点评：掌握命题的改写方法变式6-2若命题[]2000:3,3,210p x x x ∃∈-++≤，则命题p 的否定为（）A ．[]23,3,210x x x ∀∈-++>B ．()()2,33,,210x x x ∀∈-∞-⋃+∞++>C ．()()2,33,,210x x x ∀∈-∞-⋃+∞++≤D ．[]20003,3,210x x x ∀∈-++<【答案】A【分析】利用存在性命题否定的结构形式写出其否定即可.【详解】命题p []23,3,210x x x ∀∈-++>.故选：A.【点睛】全称命题的一般形式是：x M ∀∈，()p x ，其否定为(),x M p x ∃∈⌝.存在性命题的一般形式是x M ∃∈，()p x ，其否定为(),x M p x ∀∈⌝.变式6-3写出下列各题中的p ⌝：（1）:,10p x Z x ∃∈->；（2）:,20p x Q x ∀∈-≥；（3）2:,10p x R x ∀∈+>；（4）2:,10p x R x ∃∈-<.【答案】（1）:,10p x Z x ⌝∀∈-≤；（2）:,20p x Q x ⌝∃∈-<；（3）2:,10p x R x ⌝∃∈+≤；（4）2:,10p x R x ⌝∀∈-≥.【分析】（1）特称量词变为全称量词，大于变小于等于得到命题的否定。
全称量词与存在量词(有答案)
姓 名 年级 性 别 学 校 学 科教师上课日期上课时间课题9.1 全称量词与存在量词知识点一、全称量词与全称命题1．短语“所有的”，“任意一个”在逻辑中通常叫做______________，并用符号“_______”表示． 2．含有_____________的命题叫做全称命题，用符号表示为：“对M 中任意一个x ，有p (x )成立”，记为________________.知识点二、存在量词与特称命题1．短语“存在一个”，“至少有一个”在逻辑中叫做____________，用符号“_______”表示．2．含有_______________的命题，叫做特称命题，用符号表示：“存在M 中的元素x 0，使p (x 0)成立，记为：________________”.知识点三、含有一个量词的命题的否定类型一 全称命题和特称命题的概念及真假判断例1 、指出下列命题是全称命题还是特称命题，并判断它们的真假．(1)∀x ∈N,2x ＋1是奇数；(2)存在一个x 0∈R ，使1x 0－1＝0；(3)对任意向量a ，|a|＞0；(4)有一个角α，使sin α＞1.【自主解答】 (1)是全称命题，因为∀x ∈N,2x ＋1都是奇数，所以该命题是真命题． (2)是特称命题．因为不存在x 0∈R ，使1x 0－1＝0成立，所以该命题是假命题．(3)是全称命题．因为|0|＝0，∴|a |＞0不都成立，因此，该命题是假命题． (4)是特称命题，因为∀α∈R ，sin α∈[－1,1]，所以该命题是假命题． 变式：判断下列命题的真假：(1)∀x ∈R ，x 2＋2x ＋1＞0；(2)∀x ∈(0，π2)，cos x ＜1；(3)∃x 0∈Z ，使3x 0＋4＝0；(4)至少有一组正整数a ，b ，c 满足a 2＋b 2＋c 2≤3. 【解】 (1)∵当x ＝－1时，x 2＋2x ＋1＝0，∴原命题是假命题． (2)由y ＝cos x 在(0，π2)的单调性．∴∀x ∈(0，π2)，cos x ＜1为真命题．(3)由于3x ＋4＝5成立时，x ＝13∉Z ，因而不存在x ∈Z ，使3x ＋4＝5.所以特称命题“∃x 0∈Z ，使3x 0＋4＝5”是假命题．(4)由于取a ＝1，b ＝1，c ＝1时，a 2＋b 2＋c 2≤3是成立的，所以特称命题“至少有一组正整数a ，b ，c 满足a 2＋b 2＋c 2≤3”是真命题.类型二 含有一个量词的命题的否定例2、写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)p ：不论m 取何实数，方程x 2＋x －m ＝0必有实数根；(2)q: 存在一个实数x 0使得x 20＋x 0＋1≤0；【错因分析】错解中只否定了命题的结论，忘记了转换量词．【正解】命题的否定：∃x0∈R，若y＞0，则x20＋y≤0.。
高中全称量词与存在量词的正确读法
高中全称量词与存在量词的正确读法摘要：1.引言：介绍高中全称量词与存在量词的定义和作用2.高中全称量词的正确读法2.1 定义全称量词2.2 全称量词的种类2.3 全称量词的正确读法示例3.高中存在量词的正确读法3.1 定义存在量词3.2 存在量词的种类3.3 存在量词的正确读法示例4.结论：强调正确使用全称量词与存在量词的重要性正文：一、引言在高中阶段，量词是一个非常重要的语法知识点。
量词可以分为全称量词和存在量词两大类。
掌握全称量词与存在量词的正确读法，对于提高我们的语言表达能力和理解能力具有重要意义。
本文将为大家介绍高中全称量词与存在量词的正确读法。
二、高中全称量词的正确读法（1）定义全称量词全称量词是用来表示某一类事物的总量或全体的词语。
全称量词可以分为以下几类：1.表示数目的全称量词，如“一台”、“两辆”等。
2.表示度量的全称量词，如“一米”、“两千克”等。
3.表示时间的全称量词，如“一天”、“两年”等。
4.表示范围的全称量词，如“一次”、“两回”等。
（2）全称量词的正确读法示例例如：“所有的学生都喜欢运动。
”这句话中的“所有”就是一个全称量词，表示全部的学生。
在使用全称量词时，要注意其与名词的搭配，以及语境的理解。
三、高中存在量词的正确读法（1）定义存在量词存在量词是用来表示某一事物的存在或出现次数的词语。
存在量词可以分为以下几类：1.表示数量的存在量词，如“一些”、“几”等。
2.表示程度的存在量词，如“一点”、“几分”等。
3.表示范围的存在量词，如“一片”、“一段”等。
（2）存在量词的正确读法示例例如：“昨天下了一场雨。
”这句话中的“一场”就是一个存在量词，表示雨的量。
在使用存在量词时，要注意其与名词的搭配，以及语境的理解。
四、结论正确使用全称量词与存在量词，可以帮助我们更准确地表达思想和理解语言。
全称量词和存在量词教案
全称量词和存在量词教案以下是一份关于全称量词和存在量词的教学教案：一、教学目标1. 让学生理解全称量词和存在量词的概念。
2. 能够正确使用全称量词和存在量词表述命题。
3. 通过实例培养学生的逻辑思维能力。
二、教学重难点1. 重点：全称量词和存在量词的含义与运用。
2. 难点：理解含有全称量词和存在量词的命题的真假判断。
三、教学准备多媒体课件。
四、教学过程师：同学们，今天我们来学习一个新的内容，全称量词和存在量词。
那什么是全称量词呢？大家来看这个例子，“所有的正方形都是矩形”，这里的“所有的”就是一个全称量词。
谁能再举个例子呀？生：“所有的三角形内角和都是 180 度。
”师：非常好！那存在量词又是什么呢？比如“存在一个实数 x，使得x^2=1”，这里的“存在一个”就是存在量词。
谁再来举个例子？生：“存在一个质数是偶数。
”师：不错。
那我们来练习一下，用全称量词或存在量词改写这些命题。
比如“平行四边形的对角线互相平分”。
生：“所有平行四边形的对角线互相平分。
”师：很好。
那“方程 x^2-5x+6=0 有实数根”呢？生：“存在实数 x，使得方程 x^2-5x+6=0 有实数根。
”师：下面我们来探讨一下怎么判断含有这些量词的命题的真假。
大家思考一下这个命题“所有的实数 x，都有x^2≥0”是真还是假呀？生：真。
师：对啦。
那“存在一个整数 x，使得x^2+1=0”呢？生：假。
师：非常棒！大家理解得很不错。
五、教学反思通过这节课的教学，学生对于全称量词和存在量词的概念有了较好的理解，能够正确运用它们表述命题，在判断命题真假方面也掌握得较好。
但在一些复杂情境中，学生可能还需要更多练习来巩固。
在今后的教学中，可以增加更多实例，帮助学生深入理解和应用。
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命题，p 且 q 为假命题，则实数 a 的取值范围是
小结 含有一个量词的命题的否定
一般地，我们有： “x M , p( x )”的否定为“x M , p( x )” , “x M , p( x )”的否定为“x M , p( x )”。
结论：全称命题的否定是特称命题 特称命题的否定是全称命题
全 称 量 词 与 存 在 量 词
1.3
总结：
全称命题： （1）基本形式： x M , p( x) （2）意义：对任意x属于M，有p( x)成立 （3）真假性的判断： 只要有一个x值不成立，即为假命题 一假即假
特称命题： （1）基本形式： x0 M , p( x0 ) （2）意义：存在x0属于M，使p( x0 )成立 （3）真假性的判断： 只要有一个x值成立，即为真命题 一真即真
2 2
解：（1） ﹁p：存在两个等边三角形不相似 （2） ﹁p： ∀x∈R，x2+2x+2≠0
假命题 真命题
例2.写出下列命题的非，并判断它们的真假： （3）p：不论m取何实数，方程x2+x-m=0必有实根.
（4）p：对所有的正实数a， a为正数且 a a; （5）q：存在一个实数x，使( x 1) 2 1或x 2 4.
思考
1.写出下列命题的否定并思考命题与命题的否定 在形式上有什么变化？
x M , p( x ) (1)所有的矩形都是平行四边形； x M , p( x ) x M , p( x )
否定:
x0 M , p( x0 )
x0 M , p( x0 )
x0 M , p( x0 )
全称命题与存在性命题的否定
全称命题： p: x∈A, p(x),
它的否定是： ￢p: 存在性命题： q:
x∈A, ￢p(x). x ∈A, q(x),
它的否定是：￢q: x∈A, ￢q(x).
全称命题的否定是存在性命题,
存在性命题的否定是全称命题.
例1. 写出下列命题的否定 (1) 所有能被3整除的数都是奇数; (2) x∈R， x2+1≥1; (3) 有的三角形是等边三角形; x∈R，x＞0; (4) (5) 奇函数的图象关于原点对称.
例4 已知p：函数
2
在
R上单调递减，q:函数 y lg(ax x a) 的定义域为R，如果﹁p∨q为假命题， 求实数a的取值范围.
a 1 ，即0 a 1 若p真q假，则有 0 a 2 a1 若p假q真，则有 ，即a 2 a 0或a 2 故a的取值范围是(0，1] ∪[2，+∞）
2. 已知命题 p：函数 y log0.5 ( x 2x a) 的定义域为
2
R ，命题 q：函数 y (7 3a) 是减函数。若 p 或 q 为真
+
练习：已知 p： x R, x 2 2 x 2 a 恒成立 q： x R ，使 x 2ax 2a 0 成 为假，求 a 的取值范围.
解：若p为真，∵x2-2x+2=(x-1)2+1≥1 ∴ a≤1 若q为真，则△=4a2-8a≥0，解得a≤0，或a≥2 ∵p∨q为真，p∧q为假 ∴p、q一真一假
（3） ﹁p： 存在实数m，使方程x2+x-m=0没有实根 真命题
（4）p : a R ，a 0或 a a； 真命题
（5）q：x R， ( x 1) 1且x 4； 假命题
2 2
练习
3.已知 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，则对 命题 p：∀n>m，an<am，q：∀n≥1，有 Sn≤0， 其中 n、m∈N ，若“p 且﹁q”是真命题，则 下列说法正确的是（ D ） A．数列{Sn} 是递减数列 B．数列{Sn} 是递增数列 C．数列{Sn} 是先减后增数列 D．数列{Sn} 是先增后减数列
例1 写出下列命题的否定: （1）p：所有能被3整除的整数都是奇数; （2）p：每一个四边形的四个顶点共圆; （3）p：对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3. （4）p：∃x0∈R，x02+2x0+2≤0； （5）p：有的三角形是等边三角形； （6）p：有一个素数含三个正因数.
（1）﹁p：存在一个能被3整除的整数不是奇数; （2）﹁p：存在一个四边形的四个顶点不共圆; （3）﹁p：∃x∈Z，x2的个位数字等于3.
例1 写出下列命题的否定: （1）p：所有能被3整除的整数都是奇数; （2）p：每一个四边形的四个顶点共圆; （3）p：对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3. （4）p：∃x0∈R，x02+2x0+2≤0； （5）p：有的三角形是等边三角形； （6）p：有一个素数含三个正因数.
（4）﹁p：∀x∈R，x2+2x+2>0
解:(1)有些能被3整除的数不是奇数;
(2) x∈R,x2+1＜1; (3)所有的三角形都不是等边三角形; (4) x∈R,x≤0; (5)存在一个奇函数的图象不关于原点对称.
例2. 写出下列命题的非，并判断其真假：
（1）p: x∈R, x2－x+
1 ≥0； 4
（2）q:所有的正方形都是矩形；
（3）r: x∈R, x2+2x+2≤0; （4）s: 至少有一个实数x，使x3+1=0
（5）﹁p：所有的三角形都不是等边三角形
（6）﹁p：所有的素数都不含三个正因数
例2.写出下列命题的非，并判断它们的真假： （1）p：任意两个等边三角形都是相似的； （2）p：∃x0∈R，x02+2x0+2=0； （3）p：不论m取何实数，方程x2+x-m=0必有 实根.
（4）p：对所有的正实数a， a为正数且 a a; （5）q：存在一个实数x，使( x 1) 1或x 4.
解：(1) ￢p:
x∈R, x2－x+
1 <0； 4 (假)
（2）￢q: 至少存在一个的正方形不是矩形；(假) (3)￢r: x∈R, x2+2x+2>0; (真) (4)￢s: x∈R，x3+1≠0. (假)
1.命题“不是每个人都会开车”的否定是（ ） A. 每个人都会开车 B. 所有人都不会开车 C. 有些人会开车 D. 存在一个人不会开车