2020-2021学年北京市石景山区八年级(上)期末数学试卷

2020-2021学年北京市石景山区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（2分）3的算术平方根是（）A．±B．C．﹣D．92．（2分）下列医院log o设计的图案中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．（2分）下列事件中，为必然事件的是（）A．明天早晨，大家能看到太阳从东方冉冉升起B．成绩一直优秀的小华后天的测试成绩也一定优秀C．从能被8整除的数中，随机抽取一个数能被2整除D．从10本图书中随机抽取一本是小说4．（2分）代数式在实数范围内有意义的条件是（）A．x＞﹣B．x≠﹣C．x＜﹣D．x≥﹣5．（2分）如图所示在△ABC中，AB边上的高线画法正确的是（）A．B．C．D．6．（2分）下列式子的变形正确的是（）A．B．＝a+bC．D．＝﹣2n7．（2分）下列说法正确的是（）A．无理数是开方开不尽的数B．一个实数的绝对值总是正数C．不存在绝对值最小的实数D．实数与数轴上的点一一对应8．（2分）剪纸是我国传统的民间艺术．如图①，②将一张纸片进行两次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是（）A．B．C．D．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）一个均匀的正方体，6个面中有1个面是黄色的、2个面是红色的、3个面是绿色的．任意掷一次该正方体，则绿色面朝上的可能性是．10．（2分）如果三角形的三边长分别为5，8，a，那么a的取值范围为．11．（2分）如图，将一副直角三角尺按图③放置，使三角尺①的长直角边与三角尺②的某直角边在同一条直线上，则图③中的∠1＝°．12．（2分）将分式约分可得，依据为．13．（2分）若[x]表示实数x的整数部分，例如：[3.5]＝3，则[]＝．14．（2分）如图，D，E分别是AB，AC上的点，AD＝AE，请添加一个条件，使得△ABE ≌△ACD．这个条件可以为（只填一个条件即可）．15．（2分）我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽．问绳索长是多少？”示意图如图所示，设绳索AC的长为x尺，木柱AB的长用含x的代数式表示为尺，根据题意，可列方程为．16．（2分）有效的垃圾分类，可以减少污染、保护地球上的资源．为了更好地开展垃圾分类工作，某社区居委会对本社区居民掌握垃圾分类知识的情况进行调查．从中随机抽取部分居民进行垃圾分类知识测试，并把测试成绩分为A，B，C，D四个等次，绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．下面有四个推断：①本次的调查方式是抽样调查，样本容量是40；②扇形统计图中，表示C等次的扇形的圆心角的度数为72°；③测试成绩为D等次的居民人数占参测总人数的10%；④测试成绩为A或B等次的居民人数共30人．所有合理推断的序号是．三、解答题（本题共68分，第17-22每小题5分；第23-27题，每小题5分；28题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．（5分）下面是小石设计的“过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．已知：如图1，直线l及直线l上一点P．求作：直线PQ，使得PQ⊥l．作法：如图2：①以点P为圆心，任意长为半径作弧，交直线l于点A，B；②分别以点A，B为圆心，以大于AB的同样长为半径作弧，两弧在直线l上方交于点Q；③作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线．根据小石设计的尺规作图过程：（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接QA，QB．∵QA＝，P A＝，∴PQ⊥l（）（填推理的依据）．18．（5分）计算：﹣+（1﹣π）0．19．（5分）计算：3×﹣+2．20．（5分）解方程：＝1+．21．（5分）如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是BA，CB延长线上的点，且AD＝BE．求证：AE＝CD．22．（5分）在如图的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，请在图中画出2个形状不同的等腰三角形，使它的腰长为，且顶点都在格点上，则满足条件的形状不同的等腰三角形共个．23．（6分）已知a2+a＝1，求代数式﹣÷的值．24．（6分）关于x的分式方程＝2的解是负数，求满足条件的整数m的最大值．25．（6分）创建文明城市，携手共建幸福美好．某地为美化环境，计划种植树木4800棵，由于志愿者的加入，实际每天植树的棵数比原计划多20%，结果提前4天完成任务．求原计划每天植树的棵数．26．（6分）某区为了了解本区内八年级男生的体能情况，从中随机抽取了40名八年级男生进行“引体向上”个数测试，将测试结果绘制成表格如下：个数123456789101521人数1168114122112请根据以上表格信息，解答如下问题：（1）分析数据，补全表格信息：平均数众数中位数6（2）在平均数、中位数和众数中，选择一个你认为比较合适的统计量作为该区八年级男生“引体向上”项目测试的“合格标准”，并说明选择的理由．（3）如果该区现有8000名八年级男生，根据（2）中选定的“合格标准”，估计该区八年级男生“引体向上”项目测试的合格人数．27．（6分）如图，△ABC中，AC＝2AB＝6，BC＝．AC的垂直平分线分别交AC，BC 于点D，E．（1）求BE的长；（2）延长DE交AB的延长线于点F，连接CF．若M是DF上一动点，N是CF上一动点，请直接写出CM+MN的最小值为．28．（8分）如图1，射线AP∥BQ，分别作∠P AB，∠ABQ的角平分线，这两条射线交于点O，过点O作一条直线分别与射线AP，直线BQ交于点C，D（不与点A，B重合）．（1）当CD⊥AP时，①补全图1；②若AC＝a，BD＝b，则AB的长为（用含a，b的式子表示）．（2）当CD与AP不垂直时，在备用图中补全图形，探索线段AB，AC，BD之间的数量关系，并证明．2020-2021学年北京市石景山区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（2分）3的算术平方根是（）A．±B．C．﹣D．9【解答】解：3的算术平方根是，故选：B．2．（2分）下列医院log o设计的图案中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：根据轴对称图形的定义，可知选项B是轴对称图形，故选：B．3．（2分）下列事件中，为必然事件的是（）A．明天早晨，大家能看到太阳从东方冉冉升起B．成绩一直优秀的小华后天的测试成绩也一定优秀C．从能被8整除的数中，随机抽取一个数能被2整除D．从10本图书中随机抽取一本是小说【解答】解：A、明天早晨，大家能看到太阳从东方冉冉升起，是随机事件；B、成绩一直优秀的小华后天的测试成绩也一定优秀，是随机事件；C、从能被8整除的数中，随机抽取一个数能被2整除，是必然事件；D、从10本图书中随机抽取一本是小说，是随机事件；故选：C．4．（2分）代数式在实数范围内有意义的条件是（）A．x＞﹣B．x≠﹣C．x＜﹣D．x≥﹣【解答】解：由题意得，2x+1≥0，解得x≥﹣，故选：D．5．（2分）如图所示在△ABC中，AB边上的高线画法正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：在△ABC中，AB边上的高线画法正确的是B，故选：B．6．（2分）下列式子的变形正确的是（）A．B．＝a+bC．D．＝﹣2n【解答】解：A、≠，原变形错误，故此选项不符合题意；B、分式的分子分母没有公因式，不能约分，原变形错误，故此选项不符合题意；C、＝＝，原变形正确，故此选项符合题意；D、分式的分子分母没有公因式，不能约分，原变形错误，故此选项不符合题意；故选：C．7．（2分）下列说法正确的是（）A．无理数是开方开不尽的数B．一个实数的绝对值总是正数C．不存在绝对值最小的实数D．实数与数轴上的点一一对应【解答】解：A．无理数不一定是开方开不尽的数，故本选项说法错误；B．一个实数的绝对值总是非负数，故本选项说法错误；C．存在绝对值最小的实数，故本选项说法错误；D．实数与数轴上的点一一对应，故本选项正确；故选：D．8．（2分）剪纸是我国传统的民间艺术．如图①，②将一张纸片进行两次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是（）A．B．C．D．【解答】解：按照图中的顺序，向右对折，向上对折，从斜边处剪去一个直角三角形，从直角顶点处剪去一个直角梯形，展开后实际是从原菱形的四边处各剪去一个直角三角形，从菱形的中心剪去一个六边形，可得：．故选：B．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）一个均匀的正方体，6个面中有1个面是黄色的、2个面是红色的、3个面是绿色的．任意掷一次该正方体，则绿色面朝上的可能性是．【解答】解：∵6个面中有1个面是黄色的、2个面是红色的、3个面是绿色的，∴任意掷一次该正方体，则绿色面朝上的可能性是＝，故答案为：．10．（2分）如果三角形的三边长分别为5，8，a，那么a的取值范围为3＜a＜13．【解答】解：由三角形的三边关系可得：8﹣5＜a＜5+8，则3＜a＜13，故答案为：3＜a＜13．11．（2分）如图，将一副直角三角尺按图③放置，使三角尺①的长直角边与三角尺②的某直角边在同一条直线上，则图③中的∠1＝105°．【解答】解：由题意得，∠2＝60°，∠3＝45°，则∠1＝∠2+∠3＝105°，故答案为：105．12．（2分）将分式约分可得，依据为分式的基本性质．【解答】解：＝（根据分式的基本性质，分式的分子和分母都除以2xy3），故答案为：，分式的基本性质．13．（2分）若[x]表示实数x的整数部分，例如：[3.5]＝3，则[]＝4．【解答】解：∵＜＜，∴4＜＜5，∴[]＝4，故答案为：4．14．（2分）如图，D，E分别是AB，AC上的点，AD＝AE，请添加一个条件，使得△ABE ≌△ACD．这个条件可以为AB＝AC，∠AEB＝∠ADC，∠B＝∠C（只填一个条件即可）．【解答】解：∵AE＝AD，∠A＝∠A，∴根据SAS，可以添加AB＝AC，使得△ABE≌△ACD，根据ASA，可以添加∠AEB＝∠ADC，使得△ABE≌△ACD，根据AAS，可以添加∠B＝∠C，使得△ABE≌△ACD，故答案为：AB＝AC，∠AEB＝∠ADC，∠B＝∠C．15．（2分）我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽．问绳索长是多少？”示意图如图所示，设绳索AC的长为x尺，木柱AB的长用含x的代数式表示为x尺，根据题意，可列方程为x2﹣（x﹣3）2＝82．【解答】解：设绳索长为x尺，根据题意得：x2﹣（x﹣3）2＝82，故答案为：x；x2﹣（x﹣3）2＝82．16．（2分）有效的垃圾分类，可以减少污染、保护地球上的资源．为了更好地开展垃圾分类工作，某社区居委会对本社区居民掌握垃圾分类知识的情况进行调查．从中随机抽取部分居民进行垃圾分类知识测试，并把测试成绩分为A，B，C，D四个等次，绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．下面有四个推断：①本次的调查方式是抽样调查，样本容量是40；②扇形统计图中，表示C等次的扇形的圆心角的度数为72°；③测试成绩为D等次的居民人数占参测总人数的10%；④测试成绩为A或B等次的居民人数共30人．所有合理推断的序号是①②④．【解答】解：①12÷30%＝40（人），因此调查的人数为40人，即样本容量为40，故①正确；②360°×＝72°，因此②正确；③“B等”频数40×45%＝18（人），“D等”频数为40﹣12﹣18﹣8＝2（人），因此“D等”所占的百分比为2÷40＝5%，故③不正确；④“A等”与“B等”的频数和为12+18＝30（人），因此④正确；综上所述，正确的结论有①②④，故答案为：①②④．三、解答题（本题共68分，第17-22每小题5分；第23-27题，每小题5分；28题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．（5分）下面是小石设计的“过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．已知：如图1，直线l及直线l上一点P．求作：直线PQ，使得PQ⊥l．作法：如图2：①以点P为圆心，任意长为半径作弧，交直线l于点A，B；②分别以点A，B为圆心，以大于AB的同样长为半径作弧，两弧在直线l上方交于点Q；③作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线．根据小石设计的尺规作图过程：（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接QA，QB．∵QA＝QB，P A＝PB，∴PQ⊥l（等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合）（填推理的依据）．【解答】解：（1）补全的图形如图2所示：（2）证明：连接QA，QB．∵QA＝QB，P A＝PB，∴PQ⊥l（等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合）．故答案为：QB；PB；等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合．18．（5分）计算：﹣+（1﹣π）0．【解答】解：﹣+（1﹣π）0＝3﹣4+1＝0．19．（5分）计算：3×﹣+2．【解答】解：原式＝3﹣2+8＝9﹣2+8＝15．20．（5分）解方程：＝1+．【解答】解：去分母得：x（x﹣3）＝x2﹣9+6，解得：x＝1，经检验x＝1是分式方程的解．21．（5分）如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是BA，CB延长线上的点，且AD＝BE．求证：AE＝CD．【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ABC＝∠BAC＝60°，∴∠ABE＝∠CAD＝180°﹣60°＝120°，在△ABE与△CAD中，，∴△ABE≌△CAD（SAS），∴AE＝CD．22．（5分）在如图的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，请在图中画出2个形状不同的等腰三角形，使它的腰长为，且顶点都在格点上，则满足条件的形状不同的等腰三角形共5个．【解答】解：如图，满足条件的三角形有5个．故答案为5．23．（6分）已知a2+a＝1，求代数式﹣÷的值．【解答】解：原式＝﹣•＝﹣＝﹣＝＝，当a2+a＝1时，原式＝＝﹣2．24．（6分）关于x的分式方程＝2的解是负数，求满足条件的整数m的最大值．【解答】解：解分式方程＝2得x＝m+2，∵关于x的分式方程＝2的解是负数，∴m+2＜0且m+2≠1，解得m＜﹣2，∴满足条件的整数m的最大值是﹣3．25．（6分）创建文明城市，携手共建幸福美好．某地为美化环境，计划种植树木4800棵，由于志愿者的加入，实际每天植树的棵数比原计划多20%，结果提前4天完成任务．求原计划每天植树的棵数．【解答】解：设原计划每天植树x棵，则实际每天植树（1+20%）x棵，依题意，得：﹣＝4，解得：x＝200，经检验．x＝200是原方程的解，答：原计划每天植树200棵．26．（6分）某区为了了解本区内八年级男生的体能情况，从中随机抽取了40名八年级男生进行“引体向上”个数测试，将测试结果绘制成表格如下：个数123456789101521人数1168114122112请根据以上表格信息，解答如下问题：（1）分析数据，补全表格信息：平均数众数中位数655（2）在平均数、中位数和众数中，选择一个你认为比较合适的统计量作为该区八年级男生“引体向上”项目测试的“合格标准”，并说明选择的理由．（3）如果该区现有8000名八年级男生，根据（2）中选定的“合格标准”，估计该区八年级男生“引体向上”项目测试的合格人数．【解答】解：（1）∵5个出现了11次，出现的次数最多，∴众数为5个，把这些数从小到大排列，中位数是第20、21个数的平均数，则中位数为＝5（个）．故答案为：5，5；（2）用中位数或众数5个作为合格标准次数较为合适，因为5个大部分同学都能达到．（3）根据题意得：8000×＝4800（人）．答：该区八年级男生“引体向上”项目测试的合格人数有4800人．27．（6分）如图，△ABC中，AC＝2AB＝6，BC＝．AC的垂直平分线分别交AC，BC 于点D，E．（1）求BE的长；（2）延长DE交AB的延长线于点F，连接CF．若M是DF上一动点，N是CF上一动点，请直接写出CM+MN的最小值为3．【解答】解：（1）∵AB＝3，AC＝6，BC＝3，∴AB2+BC2＝AC2，∴∠ABC＝90°，∵sin∠ACB＝＝，∴∠ACB＝30°，∵ED垂直平分线段AC，∴AD＝CD＝3，∴CE＝＝2，∴BE＝BC﹣CE＝．（2）连接AE，延长AE交CF于H，∵CB，FD是△ACF的高，∴AH也是高，∵FD垂直平分线段AC，∴CM＝AM，∴CM+MN＝AM+MN，∵AM+MN≥AH，∵AH＝AC•sin60°＝3，∴CM+MN≥3，∴CM+MN的最小值为3，故答案为：3．28．（8分）如图1，射线AP∥BQ，分别作∠P AB，∠ABQ的角平分线，这两条射线交于点O，过点O作一条直线分别与射线AP，直线BQ交于点C，D（不与点A，B重合）．（1）当CD⊥AP时，①补全图1；②若AC＝a，BD＝b，则AB的长为a+b（用含a，b的式子表示）．（2）当CD与AP不垂直时，在备用图中补全图形，探索线段AB，AC，BD之间的数量关系，并证明．【解答】解：（1）①如图1所示，②过O作OE⊥AB于E，∵OA平分∠BAC，OB平分∠ABD，OC⊥AP，OD⊥BQ，OE⊥AB，∴OE＝OD，OE＝OC，∴BE＝BD，AE＝AC，∴AB＝AE+BE＝AC+BD＝a+b，故答案为：a+b；（2）当点D在点B的右侧时，AB＝AC+BD，理由如下：过O作OE⊥AB于E，MN⊥AP于M，N，如图2，由（1）知AB＝AM+BN，OE＝OM＝ON，AM＝AE，BE＝BN，∵AP∥BQ，∴∠MCO＝∠NDO，在△OCM与△ODN中，，∴△OCM≌△ODN（AAS），∴OC＝OD，DN＝MC，∴AC+BD＝AM+MC+BD＝AM+MC+BN﹣DN＝AM+BN＝AE+EB＝AB．当点D在点B的左侧时，AB＝AC﹣BD，综上所述，AB＝AC+BD或AB＝AC﹣BD．。