平面直角坐标系中的距离公式
初中数学知识归纳平面直角坐标系中两点的距离和中点的坐标
初中数学知识归纳平面直角坐标系中两点的距离和中点的坐标平面直角坐标系中，两点的距离和中点的坐标是初中数学中的基础知识。
通过学习和归纳，我们可以更好地理解和应用这些概念。
本文将对初中数学中关于平面直角坐标系中两点的距离和中点的坐标进行归纳总结。
1、两点间的距离在平面直角坐标系中，两点的距离可以通过勾股定理来求解。
设两点的坐标分别为A（x1，y1）和B（x2，y2），则两点间的距离d可表示为：d = √((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)2、中点的坐标中点是指连接两点线段的中心点，也是线段的对称点。
我们可以通过平均两点的x坐标和y坐标来求解中点的坐标。
设两点的坐标分别为A（x1，y1）和B（x2，y2），则中点的坐标M（x，y）可表示为：x = (x1 + x2) / 2y = (y1 + y2) / 2下面，结合具体的例子来说明两点的距离和中点的坐标的计算方法。
例子1：已知平面直角坐标系中点A（2，3）和点B（5，6），求两点间的距离和中点的坐标。
解：根据两点间的距离公式，可以得到两点A、B间的距离d：d = √((5-2)^2 + (6-3)^2)= √(9 + 9)= √18≈ 4.24根据中点的坐标公式，可以得到中点M的坐标：x = (2 + 5) / 2 = 3.5y = (3 + 6) / 2 = 4.5所以，点A和点B间的距离为4.24，中点的坐标为（3.5，4.5）。
例子2：已知平面直角坐标系中点C（-1，2）和点D（3，-4），求两点间的距离和中点的坐标。
解：根据两点间的距离公式，可以得到两点C、D间的距离d：d = √((3-(-1))^2 + (-4-2)^2)= √(16 + 36)= √52≈ 7.21根据中点的坐标公式，可以得到中点N的坐标：x = (-1 + 3) / 2 = 1y = (2 + (-4)) / 2 = -1所以，点C和点D间的距离为7.21，中点的坐标为（1，-1）。
两点坐标距离公式是什么初中
两点坐标距离公式是什么初中引言初中数学中的坐标系是一种重要的图示工具，用于表示平面上的点的位置。
在坐标系中，我们可以使用坐标来表示点的位置。
当我们想要计算任意两点之间的距离时，需要用到两点坐标距离公式。
本文将介绍初中中常用的两点坐标距离公式，以帮助初学者更好地理解和应用。
问题描述在平面直角坐标系中，给定两个点的坐标，我们希望计算它们之间的距离。
这个问题可以通过以下的两点坐标距离公式来解决。
两点坐标距离公式假设平面直角坐标系中有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，那么这两个点之间的距离可以通过以下公式得到：距离= √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)在这个公式中，x1和y1分别表示点A的横坐标和纵坐标，x2和y2分别表示点B的横坐标和纵坐标。
公式推导该公式的推导基于勾股定理。
根据勾股定理，直角三角形两直角边a和b的平方和等于斜边c的平方，即a² + b² = c²。
在这里，我们可以将两点A(x1, y1)和B(x2, y2)看作直角三角形的两个直角边，而它们之间的距离就是斜边的长度。
根据勾股定理，我们得到以下推导：距离² = (x2 - x1)² + (y2 - y1)²将等式两边开方，得到距离的表达式：距离= √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)这就是两点坐标距离的公式。
举例说明为了更好地理解和应用这个公式，我们可以通过一个例子来说明。
假设点A的坐标为A(2, 3)，点B的坐标为B(5, 7)。
我们希望计算点A和点B 之间的距离。
根据公式，我们可以计算距离如下：距离= √((5 - 2)² + (7 - 3)²) = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5因此，点A和点B之间的距离为5。
总结两点坐标距离公式是初中数学中的重要内容，用于计算平面上任意两点之间的距离。
平面直角坐标系中的距离公式(经典)
例2. 已知直线l1：2x－3y－8＝0， l2：6x－9y－3＝0， l1与l2是否平行？ 若平行，求l1与l2间的距离.
解：(方法一) 由k1=k2 可得： l1//l2
在直线l1上取点(4, 0)，其到直线l2的距离
d | 6 4 9 0 3 | 7 13
62 (9)2
13
∴直线l1与l2间的距离
d 7 13 13
例2. 已知直线l1：2x－3y－8＝0， l2：6x－9y－3＝0， l1与l2是否平行？ 若平行，求l1与l2间的距离.
解：(方法二) 由k1=k2 可得： l1//l2
将l2的方程变形为 ： 2x－3y－1＝0
∴直线l1与l2间的距离：
d | -18 | 7 13
22 (-3)2
想一想：
怎样用坐标的方法求点P(-3, 5)到直线 3x-4y＋5＝0的距离？P y
o
x
点ห้องสมุดไป่ตู้0(x0, y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离呢?
写出直线PQ的方程，
与l 联立求出点Ｑ的坐标，
然后用两点间的距离公式求得 |PQ|
.
y
P
l
Q
o
x
二、点到直线的距离公式：
P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离：
| AB | (x2 x1)2 ( y2 y1)2
二、点到直线的距离公式
d Ax0 By0 C . A2 B2
三、两条平行直线间的距离公式
d | C1 C2 | A2 B2
课后练：
1. 求过点M(－2, 1)，且与A(－1, 2)， B(3, 0)距离相等的直线方程.
2. 求与直线 l：5x－12y＋6＝0 平行且到 l 的距离为2的直线的方程.
2.1.5平面直角坐标系中的距离公式
x1 x2 5 x1 x2 3
2
| AB | 1 k | x1 x2 | 1 k ( x1 x2 ) 4 x1 x2
1 2 5 4 3 65
2 2
抽象概括
1. 平面上，点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)的距离为：
§1.5 平面直角坐标系中的
距离公式
（一）
分析理解
1. x轴上，点P1(x1，Fra bibliotek)和P2(x2，0)的距离为：
|P1P2|=|x1-x2|
y轴上，点P1(0，y1)和P2(0，y2)的距离为：
|P1P2|=|y1-y2|
2. 平面上，点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)的距离为：
| PP 1 2 | ( x2 x1 ) ( y2 y1 )
| x2 x1 | ( x1 x2 ) 4 x1 x2
2
例题分析
例6 设直线2 x y 1 0与抛物线y x 3x 4
2
相交于点A、B，求 | AB | 的值.
2x y 1 0 2 解：由 x 5x 3 0 2 y x 3x 4
解：设P( x, y), 则
| PA |2 | PB |2 10 y2 18 y 10
9 9 19 当P为( , )时，最小值为 . 5 10 10
几何意义：AB的中点M 与P的连线MP l.
例题分析
变式：已知等边三角形ABC的边长为a，P为ABC 平面内一点，求 | PA | | PB | | PC | 的最小值.
（ 2）点 P( x0 , y0 ) 到直线 l : y y1 的距离是 d y0 y1 。
距离公式及中点公式
距离公式及中点公式距离公式和中点公式是数学中经常用到的公式，它们在解决空间几何问题和平面几何问题时非常有用。
本文将介绍距离公式和中点公式的概念、推导及应用。
一、距离公式距离公式用于计算平面上两点之间的距离。
假设平面上有点A(x1,y1)和点B(x2, y2)，我们可以使用以下距离公式来计算它们之间的距离：d = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]其中d表示点A和点B之间的距离。
这个公式的推导可以从勾股定理开始。
以点A和点B为两条直角边，连接点A和点B的线段为斜边，根据勾股定理可得到上述距离公式。
这个公式可以应用于多种问题，比如计算两个坐标点之间的直线距离或者判断某个点到直线的距离等。
通过计算平面上两点之间的距离，我们可以更好地理解它们之间的几何关系。
二、中点公式中点公式用于计算平面上线段的中点坐标。
假设平面上有一条线段AB，其中点A的坐标为(x1, y1)，点B的坐标为(x2, y2)，我们可以使用以下中点公式来计算该线段的中点坐标：M = ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2)其中M表示线段AB的中点坐标。
这个公式的推导非常简单，我们只需要计算线段的横坐标和纵坐标的平均值即可得到中点的坐标。
中点公式常用于平面几何和坐标系的计算中。
通过求解线段的中点坐标，我们可以更准确地确定线段的位置、长度和方向，并能够在计算中起到简化问题的作用。
三、应用示例接下来我们通过两个应用示例来演示距离公式和中点公式的具体应用。
应用示例一：平面直角坐标系中两点距离计算假设平面直角坐标系中有两点A(2, 3)和B(5, 7)，我们可以使用距离公式来计算它们之间的距离。
根据距离公式，代入坐标值进行计算得：d = √[(5 - 2)² + (7 - 3)²] = √[3² + 4²] = √(9 + 16) = √25 = 5因此，点A和点B之间的距离为5个单位。
平面直角坐标系中的距离公式
2 2
y
1 3 C( ， ) 2 2
O
B( 1， 0)
x
1 3 1, 4
AB 2，
3 3 AC 2 2
2
2
3,
2
所以 AC BC AB . 即ABC是直角三角形 .
34 . 5
l1 : 5x 12y 9 0的距离 . 例18 (1)求原点到直线
(2)求P(1 ， 2)到直线l2 : 2 x y 10 0的距离.
解 (1)原点到直线的距离为
d 5 0 12 0 9
9 . . 2 13 52 （ 12）
(2)点P到直线l2的距离为
d 2 (1) 2 10 2 1
2 2
2 5.
Ax0 By0 C 1.求下列点到直线的距离 . d . 2 2 （ 1 ）（0,0）， 3x 2 y 4 0; A B 解 (1)点(0,0)到直线的距离为
d 3 0 (2) 0 4
2 32 （ 2）
用上述方法可以得到
d
Ax0 By0 C A B
2 2
.
即点P到直线Ax By C 0的距离公式 .
点P(3,5)到直线l： 3x 4 y 5 0的距离 .
3 （ 3） （ 4） 5 （ 5） d . 2 2 （ 3） （ 4）
9 20 5 9 16 .
P78练习
4 4 13 . 13 13
（3）（2,3），x y; 解 (3)点(2,3)到直线的距离为
d 1 2 (1) (3) 0 1 （ 1 ）
平面直角坐标系中的距离公式
平面直角坐标系中的距离公式在平面直角坐标系中，可以使用勾股定理来计算两点之间的距离。
平面直角坐标系由x轴和y轴构成，每个点都有唯一的坐标表示(x,y)。
设两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)，根据勾股定理，两点之间的距离可以表示为：d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)根据这个公式，我们可以计算出平面直角坐标系中任意两点之间的距离。
下面我们通过几个例子来说明如何使用距离公式。
例1：计算两点之间的距离设点A(2,3)和点B(5,7)。
我们可以使用距离公式来计算两点之间的距离。
根据公式：d=√((5-2)²+(7-3)²)=√(3²+4²)=√(9+16)=√25=5所以点A和点B之间的距离为5个单位。
例2：判断点的位置关系设点A(0,0)和点B(3,4)。
我们可以使用距离公式来计算两点之间的距离。
根据公式：d=√((3-0)²+(4-0)²)=√(3²+4²)=√(9+16)=√25=5所以点A和点B之间的距离为5个单位。
如果我们进一步观察可以发现，点A到原点(0,0)的距离也是5个单位。
这说明点A和点B在平面上的位置关系是相等距离，也即位于同一个圆上。
这是因为在平面直角坐标系中，两点之间的距离就是它们在平面上的直线距离。
所以两点的距离可以帮助我们判断它们在平面上的位置关系。
例3：计算线段长度除了计算两点之间的距离，距离公式还可以用于计算线段的长度。
线段的长度是线段上各个点之间的距离之和。
设有线段AB的两个端点坐标分别为A(x1,y1)和B(x2,y2)。
要计算线段AB的长度，可以计算每个相邻点之间的距离，然后将它们的距离相加。
设有n个相邻点，距离公式可以表示为：d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²) + √((x3 - x2)² + (y3 - y2)²) + ... + √((xn - xn-1)² + (yn - yn-1)²)这样就可以计算出线段的长度。
高中数学课件-平面直角坐标系中的距离公式
A．1
B．2
1 C.2
D．4
B [∵63＝m4 ≠－143，∴m＝8，直线 6x＋my＋14＝0 可化为 3x＋
4y＋7＝0，两平行线之间的距离 d＝|－332＋－472|＝2.]
21
3．已知两平行直线，其距离可利用公式 d＝ |CA1－2＋CB2|2求解，也可 在已知直线上取一点，转化为点到直线的距离．
|Ax0＋By0＋C| A2＋B2
.
思考：点到直线的距离公式对于 A＝0 或 B＝0 时的直线是否仍 然适用？
4
提示：仍然适用，①当 A＝0，B≠0 时，直线 l 的方程为 By＋C ＝0，
即 y＝－CB，d＝y0＋CB＝|By|0B＋| C|，适合公式． ②当 B＝0，A≠0 时，直线 l 的方程为 Ax＋C＝0，x＝－CA，d＝ x0＋CA＝|Ax|0A＋| C|，适合公式．
则这两条直线间的距离是________． 5 [d＝|3－(－2)|＝5.]
8
两点间的距离公式
【例 1】 (1)若 x 轴的正半轴上的点 M 到原点的距离与点(5，－
3)到原点的距离相等，则点 M 的坐标为( )
A．(－2,0)
B．(1,0)
C.32，0
D．( 34，0)
(2)直线 2x＋my＋2＝0(m≠0)与两坐标轴的交点之间的距离为
5
3．两平行线间的距离公式
两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的
距离d＝
|C1－C2| A2＋B2
.
6
1．已知 A(－1,0)，B(5,6)，C(3,4)，则||CACB||的值为( )
1 A.3 C．3
1 B.2 D．2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
y
3 2 1
如图，A,B两点间的距 离为5
B
A
-2 -1 -1 -2
0
1
2
3
x
结论：
y
|x2 –x1|
P1(x1 , y)
P2(x2 , y)
|x2 –x1|
P1(x1 , 0) O
P2(x2 , 0)
x
( x2 x1 ) x2 x1 当y1 = y2时, | P 1P 2 |
解： 作 AO ^ BC ，垂足为 O，以 BC 所在直线为 x 轴， 以 OA 所在直线为 y 轴，建立直角坐标系如图 . 设 A(0, a), B(b,0), C (c,0), D(d ,0) .
因为 | AB |2 = | AD |2 + | BD | ?| DC | ,所以，由距离公式可得
1, 0), B(2,3) A(4,3), B(7, - 1) （2 ）
解: (1) AB
（1）A(-
直接利用公 式
2 1
2
3 0 3 2.
2 2
2 AB
7 4
1 3 5.
2
【变式练习】
求下列两点间的距离： (1）A(-3,0) , (2) C(2,1) , B(2,0) D(-5,1)
思考：已知平面上两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，如
何求点P1和P2的距离|P1P2|？
y
P2(x2,y2)
P1(x1,y1)
O
x
y y2 P2(x2, y2)
| P2Q || y2 y1 |
y1
P1(x1,y1) Q(x2,y1) x2 x
O
x1
| P1Q || x2 x1 |
1.5 平面直角坐标系中的距离公式 第1课时 两点间的距离公式
在初中，我们已经学过数轴上两点间的距离公式； 如果把这个问题拓展到平面直角坐标系内又如何来 求两点间的距离呢？
xA A 0 AB ＝ x B -x A xB B
(x1,y2)
探究点 两点间的距离公式 思考：A（-2，0），B（3，0）两点间的距离是多
已知：P ，y1 和P2 x2，y2 ， 1 x1
试求：P1，P2两点间的距离.
P1 P2 ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2
o
y
P ，y1 1 x1
x
Qx1，y2
当y1=y2时， P 1P 2 | x2 x1 | 当x1=x2时， P 1P 2 | y2 y1 |
2
思考：A（0，2），B（0，-2）两点间的距离是 多少？我们能得到什么结论？ y
3 2 1 -2 -1 -1 -2 B A
如图，A,B两点间的距 离为4
1
0
2
3
x
结论：
y
|y2 –y1|
P1(0, y1) P1(x1 , y1)
|y2 –y1|
O x
P2(0, y2)
P2(x1 , y2)
2 | PP | ( y y ) y2 y1 当x1 = x2时, 1 2 2 1
解：因为 | BC |=
(3 - 5) 2 + (4 - 0) 2 = 2 5 ，
| AB |= | AC |=
(1- 3) 2 + (2 - 4) 2 = 2 2, (1- 5) 2 + ( 2 - 0) 2 = 2 5,
有 | AC |= | BC | , 所以 D ABC 是等腰三角形.
例 3. D ABC 中，D 是 BC 边上任意一点（D 与 B，C 不重合） ， 且 | AB |2 = | AD |2 + | BD | ?| DC | ， 求证： D ABC 为等腰三角形.
b2 + a2 = d 2 + a2 + (d - b)(c - d ) ,
即-(d-b)(b+d)=(d-b)(c-d). 又d - b? 0, 故- b- d = c- d , 即- b = c .
根据图形特点，建立适当 的直角坐标系，利用坐标 解决有关问题，这种方法 叫坐标法也称为解析法.
所以|AB|=|AC|定下列两点间的距离: (1)A（-3，1） ，B（5，1）. (2)A（1,-2）,B(1,7). (3)A(3,2), B(-1,5).
|AB|=8
|AB|=9 |AB|=5
4. 已知 D ABC 的三个顶点是 A(1,1),B(4,5),C(5,3), 试判断
D ABC 的形状.
解:|AB|=5,|BC|=
2
【提升总结】
用“坐标法”解决有关几何问题的基本步骤： 第一步:建立坐标系， 用坐标系表示有关的量 第二步：进行 有关代数运算
第三步：把代数运算结果 “翻译”成几何关系
1.已知点A（-2,-1），B（a，3）且AB=5，则a的值 是（ C ） A.1 B.-5 C.1或-5 D.-1或5 2.已知点M（-1,3），N（5,1），点P（x，y）到M,N 的距离相等，则点P（x，y）所满足的方程是（ B ） A.x+3y-8=0 C.x-3y+9=0 B.3x-y-4=0 D.x-3y+8=0
y
·
1 3 C( , ) 2 2
| AB |= 2,| AC |=
3 2 3 2 ( ) +( ) = 2 2
· O A(-1,0)
·
B(1,0) x
有 | AC |2 + | BC |2 = | AB |2 ， 所以 D ABC 是直角三角形 .
根据边的 关系判断.
【变式练习】
已知 D ABC 的三个顶点是 A(1, 2), B(3, 4), C(5,0) ,试判断 D ABC 的形状.
P2 x 2，y2
两点间距离公式
y2)，则A,B两点间的距离公式为
一般地，若两点A,B的坐标分别为(x1，y1)， (x2，
| AB | ( x2 x1 )2 ( y2 y 1 )2
特别地，点A（x，y）到原点（0，0）的距离为
| OA |
x2 y2
例1 求下列两点间的距离：
5 ,|AC|=
2 5,
满足|AB|2=|AC|2+|BC|2，所以 D ABC 是直角 三角形.
1.x轴上A，B两点间的距离公式
AB x B x A
2.平面直角坐标系中，A（x1,y1),B(x2,y2)两点间 的距离公式
AB ( x 2 x1 ) ( y 2 y1 )
2
3 (3) E ( , 2
答案： (1）5
2),
3 F ( 2, ) 2
(2) 7 (3)26 2
1 3 ), 例 2.已知 D ABC 的三个顶点是 A(- 1, 0), B(1, 0), C ( , 2 2
试判断 D ABC 的形状 .
解：如图,因为 | BC |=
1 3 (1- )2 + ( )2 = 1 ， 2 2 3,