2019年全国一卷高考数学试题分析
2019年高考数学试题整体分析
1.试题突出特色：
“突出数学学科特色，着重考查考生的理性思维能力，综合运用数学思维方法分析问题、解决问题的能力。
”2019年高考数学卷一个突出的特点是，试题突出学科素养导向，注重能力考查，全面覆盖基础知识，增强综合性、应用性，以反映我国社会主义建设的成果和优秀传统文化的真实情境为载体，贴近生活，联系社会实际，在数学教育、评价中落实立德树人的根本任务。
2.试题考查目标：
（1）素养导向，落实五育方针
2019年高考数学科结合学科特点，在学科考查中体现五育要求，整份试卷站在落
实“五育”方针的高度进行整体设计。
理科Ⅰ卷第4题以著名的雕塑“断臂维纳斯”
为例，探讨人体黄金分割之美，将美育教育融入数学教育。
文科Ⅰ 卷第17题以商场
服务质量管理为背景设计，体现对服务质量的要求，倡导高质量的劳动成果。
理科Ⅰ
卷第（15）题引入了非常普及的篮球运动，以其中普遍存在的比赛结果的预估和比赛
场次的安排提出问题，要求考生应用数学方法分析、解决体育问题。
这些试题在考查
学生数学知识的同时，引导学生加强体育锻炼，体现了对学生的体育教育。
（2）突出
重点，灵活考查数学本质
2019年高考数学试题，突出学科素养导向，将理性思维作为重点目标，将基础性和创新性作为重点要求，以数学基础知识为载体，重点考查考生的理性思维和逻辑推理能力。
固本强基，夯实发展基础。
理科（4）题源于北师大版必修五67页；理科（22）题源于北师大版4-4第53页；理科（16）和华师大附中五月押题卷（14）几乎一模一样。
理科（21）题可视为2011清华大学七校联考自主招生考试题的第15题改编。
题稳中有变，助力破解应试教育。
主观题在各部分内容的布局和考查难度上进行动态设计，打破了过去压轴题的惯例。
这些改革释放了一个明显的信号：对重点内容的考查，在整体符合《考试大纲》和《考试说明》要求的前提下，在各部分内容的布局和考查难度上都可以进行调整和改变，这在一定程度上有助于考查考生灵活应变的能力和主动调整适应的能力，有助于学生全面学习掌握重点知识和重点内容，同时有助于破解僵化的应试教育。
（3）情境真实，综合考查应用能力数学试题注重考查数学应用素养，体现综合性和应用性的考查要求。
试卷设置的情境真实、贴近生活，同时具有深厚的文化底蕴，体现数学原理和方法在解决问题中的价值和作用。
理科Ⅰ卷第（6）题以我国古代典籍《周易》中描述事物变化的“卦”为背景设置了排列组合试题，体现了中国古代的哲学思想。
理科第（21）题情境结合社会现实，贴近生活，反映了数学应用的广阔领域，体现了数学的应用价值，有利于在中学数学教育中激发学生学习数学的热情，提高对数学价值的认识，提升数学素养，对中学的素质教育有很好的导向和促进作用。
3.试题传达信息
（1）以后的数学，靠刷题可能不行了，你要多参加劳动，劳动最光荣！（2）回归课本，发展学生的基本数学思维，注重数学思维的培养。
说白了，考生需要“吃透课本、抓实基础、注重通法通性，注重阅读理解，学会数学应用，理解数学思想”，才能在高考中考出理想成绩。
（3）不要猜题了。
老师猜题导致学生有些题不做了，缩小了范围。
在复习的时候，覆盖面要广，模拟时，把各种题型都模拟到位。
借鉴高考试卷参考答案，培养学生平时做题规范，以后考试大题可以随便排序，压轴题可以用各种模块压轴。
4.试题考点分布
5.近三年试题比较
理科数学如下：
文科数学如下：
6.试题变化情况大多数试题都是以往高考和课本作业题适度拓展改编，即使是高区分
度试题也是以中学数学主干知识和主要思想方法为载体的。
（1）对比2018，选填增加：1道数学文化，1道概率；减少：二项式定理和定
积分模块，三视图，线性规划。
（2）解答题压轴题由以往的导数调整为概率数列综合，而导数作为第二压轴题。
（3）选做题由解绝对值不等式调整为不等式的证明。
（4）概率题地位有所上升，18年概率题分布列是倒数第二题，今年概率题放在了必做题的最后一道21题，今年概率题第一问是比较常规的分布列，第二问的两小问其实主要知识还是考察数列的综合，特别是构造法证明等比数列，还有类似于累加法求p4，所以数列专题不够扎实这道题恐怕难以得全分，很多同学看到这个题目长久会恐惧。
（5）较以往圆锥曲线的计算量在减少，以往年来看圆锥曲线计算量是非常大的，今年的计算量相对较小，但是圆锥曲线的地位依然不变，依旧考了选择，填空，解题题共22分。
（6）今年导数地位有所下降，今年导数题主要零点定理，二阶导，分类讨论思想，难度不大。
（7）今年试卷的改变其实也算是可以看为以后不分文理的数学改革提供方向，平时的学习注意文化素养的积累，注重基础知识的拓展与延伸。
7.2020命题趋势和备考建议命题趋势：
（1）选填题中还将继续出现渗透数学文化的题目；
（2）理科概率统计解答题难度将逐渐增加；
（3）考题将更加创新，更注重综合能力和数学基本功；
（4）以数学基础知识为载体，对理性思维和逻辑推理能力进一步加强；（5）以反映
我国社会主义建设的成果和优秀传统文化的真实情境为载体，增强综合性、应用性。
备考建议：
①研究大纲和真题，明确考情:
准确把握高考数学命题的特点和方向是提高复习效率的必要条件。
考试说明明确地告诉我们高考考什么、考多难、怎样考，而高考试题是考试说明的具体体现，因此要认真研读高考考试说明，认真分析高考数学试题，不仅要明确考试的内容，更要对知识点的能力要求了然于心，找准高考数学命题的特点，把握高考数学命题的方向，让我们的复习更有针对性、有效性，有的放矢，减少盲目性，使宝贵的复习时间发挥最大的效用。
②落实基础知识，以不变应万変: 近几年的高考试卷中，容易题、中档题的分值
占了总分的大多数，如果能
保证这些题都不出错，那么达到120分左右是不难的。
如果学生平时的模考和练习中的得分没有上120分，不是由于难题不会做导致的，更多的是压根就没把握好中等难度的题。
因此“抓基础、抓常规、抓落实”应作为我们后期复习的首要任务。
那么我们怎么样去落实基础知识呢?可以从以下几个方面着手：牢记每一个定义、定理；归类、总结典型例题、习题；独立完成典型例题、
习题的求解或证明；尽可能地对典型例题、习题进行变式、引申和推广。
③把握重点、热点，强化专题训练：有一些内容是高考的热点，重点，常常考到，比如数学文化，比如数学应用。
那我们就要强化对这些热点，重点问题的练习，保证这些题型落实到位。
对自己薄弱的知识点，同学们也要进行相应的专题训练，从思路、运算、
表达三个方面去填补自己的不足。
④注重知识交汇处命题，运用知识间的交叉、渗透和整合:
这里所说的交汇包含这么几个意思：各个知识点之间的交叉；新旧教材知
识点上的整合；初等教育与高等教育的衔接。
这里涉及的知识点很多，如导数、函数、向量、概率等，这些知识点设计出来的考题不仅新颖而且能考验学生的思维能力，因此深受出题者青睐，在备考时要重点把握。
⑤注重培养学生的实践能力和解决实际问题的能力:
新课程标准下，考试大纲中将原来数学考察的能力进一步丰富为这些能力：空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算能力、数据处理能力以及应用能力和创新能力。
同时，高考命题思想也由知识立意改为能力立意。
在数学教学中，教师要有意识地多让学生练习一些能诱发猜想、论证且与生活息息相关地例题，培养学生推理能力和实际应用能力。
(完整word版)2019年高考数学试卷全国卷1文科真题附答案解析
2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）设312iz i-=+，则||(z = ) A ．2B ．3C ．2D ．12．（5分）已知集合{1U =，2，3，4，5，6，7}，{2A =，3，4，5}，{2B =，3，6，7}，则(UBA = )A ．{1，6}B ．{1，7}C ．{6，7}D ．{1，6，7}3．（5分）已知2log 0.2a =，0.22b =，0.30.2c =，则( ) A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．（5分）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5151(0.61822--≈，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512-．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是( )A ．165cmB ．175cmC ．185cmD ．190cm5．（5分）函数2sin ()cos x xf x x x+=+的图象在[π-，]π的大致为( ) A ．B ．C ．D ．6．（5分）某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号1，2，⋯，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是( ) A ．8号学生B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生7．（5分）tan 255(︒= ) A ．23-B ．23-+C ．23D ．23+8．（5分）已知非零向量a ，b 满足||2||a b =，且()a b b -⊥，则a 与b 的夹角为( ) A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 9．（5分）如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入( )A ．12A A=+ B ．12A A=+C ．112A A=+ D ．112A A=+10．（5分）双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为130︒，则C 的离心率为( ) A ．2sin40︒B ．2cos40︒C ．1sin50︒D ．1cos50︒11．（5分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 4sin a A b B c C -=，1cos 4A =-，则(bc= )A ．6B ．5C ．4D ．312．（5分）已知椭圆C 的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为( )A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019年高考理科全国1卷数学-解析
2019 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学1.已知集合Mx 4 x 2 ， N { x x2x 6 0 ，则MN =A. { x4 x 3B. { x4 x2C. { x2 x 2D.{ x 2 x3【答案】 C【解析】【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．【详解】由题意得，Mx 4 x 2 , Nx 2 x 3 ，则M Nx 2 x2 ．故选C．【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．2.设复数 z 满足z i =1，z在复平面内对应的点为(x，y) ，则A.( x+1)2y21B. ( x 1)2y 21C. x2( y 1)21D. x2( y+1)21【答案】 C【解析】【分析】本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x，y）和点(0， 1)之间的距离为1，可选正确答案C．【详解】 z x yi , z i x ( y 1)i , zix2( y 1)21, 则x2( y 1)21．故选C．【点睛】本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题．3.已知alog 2 0.2, b 2 0.2, c0.20.3，则A.a b cB. a cbC. c a bD.b c a【答案】 B【解析】【分析】运用中间量0 比较a , c，运用中间量1比较b , c【详解】 a log2 0.2 log 2 10, b 20.2201, 0 0.20.30.201, 则0c1,a c b ．故选B．【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512（5 1≈ 0.618，称为黄金分割比例 )，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体2的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是51．若某人满足上述两个黄金分割2比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是A. 165 cmB. 175 cmC. 185 cmD. 190cm 【答案】 B【解析】【分析】理解黄金分割比例的含义，应用比例式列方程求解．【详解】设人体脖子下端至腿根的长为x cm ，肚脐至腿根的长为y cm ，则26 2 6 x 5 1 42.07cm, y 5.15 cm ．又其腿长为105cm ，头顶至脖子下xy 1 0 5，得 x2端的长度为 26cm ，所以其身高约为 42．07+5．15+105+26=178 ．22，接近 175cm ．故选 B ．【点睛】本题考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取类比法，利用转化思想解题．sin x x5.函数 f( x)= cos x x 2在[— π， π]的图像大致为A.B.C.D.【答案】【解析】【分析】D先判断函数的奇偶性，得 f (x)是奇函数，排除A ，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．sin( x) ( x) sin x x f ( x) ，得f ( x)是奇函数，其图象关【详解】由 f ( x)x)( x)2cos x x 2cos(于原点对称．又 f ( )12422 0．故选D．21, f ( )12()22【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6 个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3 个阳爻的概率是5112111 A. B. C. D.16323216【答案】 A【解析】【分析】本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3 个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算．【详解】由题知，每一爻有 2 中情况，一重卦的 6 爻有26情况，其中 6 爻中恰有 3 个阳爻情况有 C63，所以该重卦恰有 3 个阳爻的概率为C63=5，故选A．2616【点睛】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题．7.已知非零向量a， b 满足a = 2 b ，且（a–b）b，则 a 与 b 的夹角为π π 2π 5π A.B.C.D.6336【答案】 B【解析】【分析】本题主要考查利用平面向量数量积数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由 (a b) b 得出向量a,b 的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．【详解】因为(a b) b ，所以 (ab) b a b b 2 =0 ，所以a b b 2，所以cos =a b | b |2 1 a 与b 的夹角为 ，故选 B ．a b2 | b |2，所以23【点睛】对向量夹角的计算， 先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0, ]．1 8.如图是求21的程序框图，图中空白框中应填入2 121 B. A=21 1 A. A=C. A=D. A=2 AA1 2 A112 A【答案】 A【解析】【分析】本题主要考查算法中的程序框图，渗透阅读、分析与解决问题等素养，认真分析式子结构特征与程序框图结构，即可找出作出选择．1 , k 11， k k1【详解】执行第 1次， A 1 2 是，因为第一次应该计算1=2222A1=2，循环，执行第 2 次，k2 2 ，是，因为第二次应该计算1=1， k k1 2122A2=3，循环，执行第 3 次，k2 2 ，否，输出，故循环体为1，故选 A．AA21【点睛】秒杀速解认真观察计算式子的结构特点，可知循环体为A．2A9.记S n为等差数列 { a n} 的前n项和．已知 S40，a5 5 ，则A.a n2n5B. a n3n 10C.S n 2n28nD.S n 1 n22n2【答案】 A【解析】【分析】等差数列通项公式与前 n项和公式．本题还可用排除，对 B ，a5 5 ，S44(72)100 ，排除B，对C，S40, a5S5S4 2 5285010 5 ，2排除 C．对 D，S40, a5S5S4152 2 505 5 ，排除D，故选A．22S44a1d430a13a n n5 ，故选【详解】由题知，2，解得，∴A．2a5a14d5d2【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断．10. 已知椭圆 C 的焦点为F1( 1,0) ， F2( 1,0) ，过F2的直线与C 交于，两点若A B.│ AF│22│F2B│1，│ AB│ │ BF│，则C的方程为A.x2y21x2y2x2y2D. 2B.1C.13243x2y2154【答案】 B【解析】【分析】可以运用下面方法求解：如图，由已知可设F2 B n ，则 AF22n , BF1AB3n，由椭圆的定义有2a BF1BF24n ,AF12a AF22n．在△ 1 2△BF F中，AF F和 1 2由余弦定理得4n24 2 2n 2 cos AF2 F14n2 ,，又 AF F,BF F互补，n24 2 n 2 cos BF2 F19n22121c o s A F F c o s B F F ，0两式消去cos AF F , cos BF F，得3n2611n2，21212121解得n 3 ．2a4n 2 3 , a 3 ,b2a2c231 2 ,所求椭圆方程为2x2y21，故选B．32【详解】如图，由已知可设F2 B n ，则 AF22n , BF1AB3n，由椭圆的定义有2a BF1BF24n , AF12a AF22n ．在△A F1 B 中，由余弦定理推论得cos F1 AB 4n29n29n2122214 ，22n3n．在△AF1F2中，由余弦定理得4n4n2n 2n33解得n 3 ．22a 4n 2 3 , a3 , b2a2c2 3 1 2 ,所求椭圆方程为x2y21，32故选 B．【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．11. 关于函数f ( x)sin | x | | sin x |有下述四个结论：① f(x)是偶函数② f(x)在区间（, ）单调递增2③ f(x)在[ ,]有4个零点④ f(x)的最大值为 2其中所有正确结论的编号是A. ①②④B. ②④C. ①④D. ①③【答案】 C【解析】【分析】化简函数 f x sin x sin x ，研究它的性质从而得出正确答案．【详解】f x sin x sin xsin x sin x f x , f x为偶函数，故①正确．当2x时， f x2sin x，它在区间,单调递减，故②错误．当 0 x2时，f x2s i nx0；当x0时，，它有两个零点：f x s i n x s i x n ，它2有x一s个i零n点：，故 f x 在,有 3个零点：0，故③错误．当 x 2k , 2k k N时， f x 2 s i nx；当x 2k, 2k2k N时， f x si n x si nx ，0 又 f x 为偶函数，f x的最大值为2，故④正确．综上所述，①④正确，故选 C．【点睛】画出函数f x sin x sin x 的图象，由图象可得①④正确，故选C．12. 已知三棱锥P-ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA=PB=PC，△ ABC 是边长为2 的正三角形，E， F 分别是PA， PB 的中点，∠CEF =90 °，则球O 的体积为A.86B.46C.26D.6【答案】D【解析】【分析】先证得PB 平面PAC ，再求得PAPBPC2，从而得PABC为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解.【详解】解法一 :PA PB PC,ABC 为边长为2的等边三角形，P ABC 为正三棱锥，PB AC ，又 E ，F分别为 PA、 AB 中点，EF //PB，EF AC，又 EF CE ，CEAC C ,EF平面 PAC ， PB平面 PAC ，PAB PA PB PC 2 ，P ABC 为正方体一部分，2R 2 2 26，即 R 6 ,V4R34 6 6 6 ，故选D．2338解法二 :设 PA PB PC2x ， E, F 分别为PA, AB中点，EF //PB，且EF 1PB x ，ABC 为边长为 2 的等边三角形，2CF 3 又CEF90CE3x2,AE 1PA x 2AEC 中余弦定理 cos EAC x243x2，作 PD AC于D，PA PC，2 2xAD1x243x2 1 ，Q D 为 AC 中点，cos EAC，PA2x 4 x2x2x2 1 2x21x 2 ，PA PB PC2，又 AB=BC =AC=2 ，22PA , PB , PC 两两垂直，2R222 6 ，R 6 ，2V 4 R3466 6 ，故选D.338【点睛】本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决．二、填空题：本题共 4 小题，每小题5 分，共 20 分。
2019年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)(解析版)
【答案】2.
【思路引导】
通过向量关系得到 和 ，得到 ，结合双曲线的渐近线可得 从而由 可求离心率.
【解析】如图，
由 得 又 得OA是三角形 的中位线，即 由 ，得 则 有 ，
【点睛】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题．
7.已知非零向量a，b满足 =2 ，且（a–b） b，则a与b的夹角为
A. B. C. D.
【答案】B
【思路引导】
本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由 得出向量 数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．
【解为 ，故选B．
【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为 ．
1.已知集合 ，则 =
A. B. C. D.
【答案】C
【思路引导】
本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．
【解析】由题意得， ，则
．故选C．
【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．
2.设复数z满足 ，z在复平面内对应的点为(x，y)，则
【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断．
(完整word版)2019年高考全国卷Ⅰ数学试题解读
2019年高考全国卷Ⅰ数学试题解读蚌埠市教育教学创新研究会 杨培明 杨 熙每年高考后,一些“有才”的数学老师会说:“今年高考数学容易,所有的题目我都讲过了”.今年高考后依然如此,这些职业吹牛的“有才”老师,是不可能有进步的.2019年高考已落下帷幕,2019年的高考数学势必会给高中数学教学,尤其是高三数学迎考带来很大的冲击,也给许多希望进步的老师和学生,提出了一些值得深思的问题.一.小题真的大题化吗？[例1]:(2019年全国Ⅰ卷(理科)第10题,(文科)第12题)已知椭圆C 的焦点F 1(-1,0),F 2(1,0),过F 2的直线与C 交于A 、B 两点,若|AF 2|=2|F 2B|,|AB|=|BF 1|,则C 的方程为( ) (A)22x +y 2=1 (B)32x +22y =1 (C)42x +32y =1 (D)52x +42y =1本题(客观题,小题)与如下高考解答题(大题),不仅同构,而且难度相当. (2010年辽宁高考理科第20题)设椭圆C:22a x +22b y =1(a>b>0)的左焦点为F,过点F 的直线l 与椭圆C 相交于A,B 两点,直线l 的倾斜角为600,AF =2FB . (Ⅰ)求椭圆C 的离心率;(Ⅱ)如果|AB|=415,求椭圆C 的方程.[官方解析]:设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由题意知y 1>0,y 2<0; (Ⅰ)直线l 的方程为y=3(x+c),其中c=22b a -;联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=222222)(3ba y a xbc x y 得(3a 2+b 2)y 2-23b 2cy-3b 4=0(不易想到消x 得关于y 的方程),解得y 1=2223)2(3b a a c b ++,y 2=2223)2(3b a a c b +-(易想到利用韦达定理,不联系下一步,不知为何要解出y 1,y 2),因为AF =2FB ,所以-y 1=2y 2,即-2223)2(3ba a cb ++=2⋅2223)2(3ba a cb +-,得离心率e=ac =32;(Ⅱ)因为|AB|=211k+|y 1-y 2|,所以32⋅222334ba ab +=415,由ac =32得b=35a,所以45a=415,得a=3,b=5,椭圆C 的方程为:92x +52y =1.难道小题真的大题化吗？如果按照官方解析求解例1,则真的就是“小题大做”,即使得到正确结果,由于用时过长,也造成潜在失分.我们知道客观题只要结果,无需过程.因此,小题快解是应对高考的首要问题.多年的实践证明:利用高考数学母题,可达到小题快解之目的.我们在《2019年高考数学押题密卷(六套卷)》(见母题网、百度文库和豆丁网等网站,以下简称《六套卷》)的第三卷(理科)中,我们给出: (《六套卷》第三卷(理科)第10题)过双曲线C:43622y x -=1的右焦点F 的直线与其右支交于A,B 两点.若|AF|=m,|BF|=n,则nm 11+=( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 [母题]:设圆锥曲线(双曲线需同支)中,共线焦半径分别为r,R,通径为L,则r1+R1=L4.[解析]:由母题:nm 11+=22ba =3.故选(C). 利用上述母题,可给例1的绝妙解答. [解析]:由|AF 2|=2|F 2B|和||12AF +||12BF =22ba ⇒|F 2B|=ab 432,|AF 2|=ab 232;又由|AB|=|BF 1|⇒ab 232+2⋅ab 432=2a ⇒22a b =32.故选(B).根据上述母题,可妙解所有焦点分焦点弦比的问题,如:1.(2010年全国Ⅰ高考试题)已知F 是椭圆C 的一个焦点,B 是短轴的一个端点,线段BF 的延长线交C 于点D,且BF =2FD ,则C 的离心率为 .2.(2010年全国Ⅱ高考试题)已知椭圆C:22a x +22b y =1(a>b>0)的离心率为23,过右焦点F 且斜率为k(k>0)的直线与C 相交于A 、B 两点.若AF =3FB ,则k=( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)2高考数学母题不是解决某道试题的特殊技巧、方法和结论,而是解决一类试题的核心结论和本质方法.举例如下:[例2]:(《六套卷》第二卷(理科)第15题)如图,已知双曲线C:22ax -22b y =1的右焦点为F,以原点O 为圆心,|OF|为半径的圆O 与双曲线C 的一条渐近线相交于点B,若BF 的中点A 在双曲线C 的另一条渐近线上,则双曲线C 的两条渐近线夹角是 . [母题]:若双曲线C:22a x -22b y =1的右焦点为F,则以原点O 为圆心,|OF|为半径的圆O 与双曲线C 的渐近线相交于点的横坐标=±a.[解析]:由母题知,B(-a,b),又F(c,0)⇒BF 的中点A(2a c -,2b );由点A(2a c -,2b )在y=ab x 上⇒2b =ab ⋅2a c -⇒ac=2⇒ab=3⇒∠AOF=3π⇒双曲线C 的两条渐近线夹角=3π.利用上述母题,可快解:(2019年全国Ⅰ卷(理科)第16题)已知双曲线C:22a x -22b y =1的左、右焦点分别为F 1、F 2,过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A 、B 两点.若A F 1=AB ,B F 1⋅B F 2=0,则双曲线C的离心率为 .[解析]:由母题知,B(a,b),又F 1(-c,0)⇒BF 1的中点A(2c a -,2b );由点A(2c a -,2b )在y=-ab x ⇒2b =ab⋅2a c -⇒e=ac =2.对比以上两题:①由同一个母题生成;②所有条件相同;③解题程序同构,两题的契合度之高,令人称奇.利用高考数学母题预测高考试题不仅是可能的,可操作的,而且是有规律的.如:试题出处2019年全国Ⅰ卷(文理科)第5题《六套卷》第二卷(文科)第8题真题再现函数f(x)=2cossinxxxx++在[-π,π]的图像大致为( )已知函数f(x)=xx sin1-,则y=f(x)在(-π,0)∪(0,π)上的图像是( )解法母题[母题]:着意使用排除法.可妙解给定的函数图像选择题,常用手段有:取值排除、奇偶排除和凸凹排除.试题解答[解析]:由y=cosx+x2是偶函数,y=sinx+x是奇函数⇒f(x)是奇函数;排除(A)(D);又f(π)>0,排除(B)(C).故选(D).[解析]:由y=1是偶函数,y=x-sinx是奇函数⇒f(x)是奇函数;排除(B)(D);又f(2π)>0,排除(C).故选(A)对比分析两题为同一个方法母题的子题,且解题步骤完全同构,函数模型相似.试题出处2019年全国Ⅰ卷(文科)第11题《六套卷》第四卷(理科)第13题,(文科)第15题真题再现∆ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知asinA-bsinB=4csinC,cosA=-41,则cb=( )(A)6 (B)5 (C)4 (D)3在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b2-a2=21c2,则BAtantan= .结论母题[母题]:三角平方差公式:sin2α-sin2β=sin(α-β)sin(α+β).试题解答[解析]:由asinA-bsinB=4csinC⇒sin2A-sin2B=4sin2C⇒sin(A-B)sin(A+B)=4sin2C⇒sin(A-B)=4sinC⇒tanB=5153⇒cb=)sin(sin4BAB-=ABA coscotsin4-=6.故选(A).[解析]:由b2-a2=21c2⇒sin2B-sin2A=21sin2C⇒sin(B-A)sin(B+A)=21sin2C⇒2sin(B-A)=sin(B+A)⇒BAtantan=31对比分析两题为同一个结论母题的子题,由结论母题,可给出高考试题的另类解法.二.不能创新传统数学吗？数学具有严格的逻辑体系,中学数学的传统内容已有上千年的历史,已形成完备成熟的体系,对中学数学的创新可能吗？即使可以创新,难度之大可想而知;高考数学母题具有创新学习方法、打造高考利器、科学预测试题、革新中学教学、优化学科体系和助推素质教育等六大基本功能.[例3]:(2019年全国Ⅰ卷(理科)第18题)如图,直四棱柱ABCD-A1B2C3的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=600,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.(Ⅰ)证明:MN∥平面C1DE;(Ⅱ)求二面角A-MA1-N的正弦值.立体几何是最成熟、历史最悠久的数学分支之一,空间向量的引入给立体几何带来了一片生机,研究可得:[母题]:解决立体几何试题:①充分利用长方体模型的定位功能,把题中的几何体放置于长方体中,不仅可充分体现几何体中的线面位置关系,而且有利于建立空间直角坐标;②灵活利用母题:“若平面α与坐标轴分别交于点A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c),则平面α的法向量为m =(a1,b1,c1),特别的,若平α平行于某坐标轴,则平面α法向量的对应坐标为0”.直接写出平面的法向量(但要绕出过程),即可达到会解快解.[解析]:(Ⅰ)取AD 的中点F,则BF ∥DE,NF ∥AA 1,且NF=2,由BM ∥AA 1,且BM=2⇒NF ∥BM,且NF=BM ⇒MN ∥BF ⇒MN ∥DE ⇒MN/∥平面C 1DE;(Ⅱ)分别以直线BD 、AC 为x 、y 轴建立空间直角坐标系,则A(0,-3,0),A 1A(0,-3,4),M(1,0,2),N(-21,-23,2);设平面AMA 1的法向量m =(x,y,z)(平面AMA 1在x 轴上的截距为1,在y 轴上的截距为-3,且平面AMA 1∥z 轴,先由母题可写出m =(3,-1,0),再绕出解题过程),由m ⋅1AA =0,m ⋅AB =0⇒m =(3,-1,0),同理可得平面A 1MN 的法向量n =(-1,3,1)(平面A 1MN 在x 轴上的截距为-1,在y 轴上的截距为33,在z 轴上的截距为1)⇒cos<m ,n >=515⇒二面角A-MA 1-N 的正弦值=510.立体几何试题的统一解法的上述母题在《六套卷》第二卷(理科)第18题中给出. (《六套卷》第二卷(理科)第18题)如图,三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,侧面ACC 1A 1是菱形, ∠ACB=900,点A 1在平面ABC 内的射影D 是AC 的中点. (Ⅰ)证明:AC 1⊥A 1B;(Ⅱ)若∠DA 1B=600,求二面角A 1-AB-C 的余弦值.[解析]:(Ⅰ)在长方体中作出三棱柱ABC-A 1B 1C 1,由A 1D ⊥平面ABC ⇒A 1D ⊥BC ⇒BC ⊥A 1D,又∠ACB=900⇒BC ⊥AC ⇒BC ⊥平面ACC 1A 1⇒BC ⊥AC 1⇒AC 1⊥BC;又在菱形ACC 1A 1中,AC 1⊥A 1C ⇒AC 1⊥平面A 1BC ⇒AC 1⊥A 1B;(Ⅱ)以AC 1与A 1C 的交点O 为坐标原点,OA 1与OC 1分别为x,y 轴建立空间直角坐标系,设OA 1=2a,BC=h,则A(0,-23a,0),A 1(2a,0,0),C(-2a,0,0),B(-2a,0,h),B 1(0, 23a,h)⇒D(-a,-3a,0)⇒D A 1=(-3a,-3a,0),B A 1=(-4a,0,h);由∠DA 1B=60⇒cos<D A 1,B A 1>=21⇒h=42a;设平面A 1AB 的法向量m =(x,y,z),由m ⋅1AA =0,m ⋅BA 1=0⇒m =(6,-2,3);同理可得平面ABC的法向量n =(3,1,0)⇒cos<m ,n >=1122⇒二面角A 1-AB-C 的余弦值=1122.对于立体几何问题,母题①的思想具有普遍性,可妙解立体几何问题;母题②的方法可快求成角,距离;预测试题中的几何体恰是高考试题中几何体被平面ABC 1D 1截得的下半部分,两题的契合度之高,令人称奇.[例4]:(《六套卷》第一卷(文科)第20题)定圆C 的圆心的坐标为(3,0),半径为4,圆P 以动点P(a,b)为圆心,与直线x=-5相切且平分圆C 的周长. (Ⅰ)求动点P 的轨迹G 的方程;(Ⅱ)当b ≠0时,过点Q(a,0)作斜率为-ba 的直线,交轨迹G 于A 、B 两点,求证:PA ⊥PB.解析几何也是最成熟、历史最悠久的数学分支之一,针对抛物线,研究可得:[母题]:抛物线试题的统一解,就是巧设抛物线上的一点:①观察系数,先巧设抛物线方程中有平方项的变量;②代入抛物线方程中,求另一变量,即得点的坐标,标准是该点的纵、横坐标不含分母;A 、P 、B 三点共线⇔PA ∥PB ,即把A 、P 、B 三点共线,转化为坐标中的系数关系,从而为解决过一点的直线与抛物线交于两点的问题提供了有力手段.[解析]:(Ⅰ)由圆C:(x-3)2+y 2=16,圆P:(x-a)2+(y-b)2=(a+5)2,两圆方程相减得两圆公共弦方程:2(3-a)x-2by+b 2-10a-18=0;又由圆P 平分圆C 的周长⇒公共弦过圆心C(3,0)⇒b 2=16a ⇒动圆P 的圆心P 的轨迹方程:y 2=16x;(Ⅱ)设A(n 2,4n),B(m 2,4m),则k QA =an n -24=-ba ,k QB =am m -24=-ba⇒an 2+4bn-a 2=0,am 2+4bm-a 2=0⇒m 、n 是方程at 2+4bt-a 2=0⇒m+n=-a b 4,mn=-a ⇒m 2+n 2=2216a b +2a=a 216+2a ⇒k PA k PB =an bn --24⋅am b m --24=22222)()()(416a n m a mn b n m b mn ++-++-=22222216161616a a a a a +--++-=-1⇒PA ⊥PB.根据抛物线问题的统一解法母题,可巧解:(2019年全国Ⅰ卷(理科)第19题)已知抛物线C:y 2=3x 的焦点为F,斜率为23的直线l 与C 的交点为A,B,与x 轴的交点为P.(Ⅰ)若|AF|+|BF|=4,求l 的方程; (Ⅱ)若AP =3PB ,求|AB|.[解析]:设A(3a 2,3a),B(3b 2,3b)(a>0)⇒k AB =ba +1=23⇒a+b=32;直线AB:y-3a=23(x-3a 2)⇒P(3a 2-2a,0);(Ⅰ)|AF|+|BF|=(3a 2+43)+(3b 2+43)=3(a+b)2-6ab+23=4⇒ab=-367⇒a 2-32a-367⇒l:y=23x-87;(Ⅱ)AP =3PB⇒a=-3b ⇒b=-31,a=1⇒|AB|=3134.预测试题是作斜率为-ba 的直线,交轨迹G(抛物线:y 2=16x)于A 、B 两点;而高考试题则是斜率为23的直线l 与C(抛物线:y 2=3x)的交点为A,B,条件相同决定解法同构.导数是高等数学的基础,也是高考的重点,许多高考导数试题具有高等数学背景,如何恰当的引伸高中导数,并用高中导数解决呢？(Ⅰ)求证f(x)的导函数f '(x)在区间(0,2π)上单调递增;(Ⅱ)若f(x)>ax 在区间(0,2π)内恒成立,求a 的取值范围.[母题]:①若f(x)在区间D 上连续可导,且f '(x)在区间D 上单调递增,则当x 0∈D 时,f(x)≥f '(x 0)(x-x 0)+f(x 0),当且仅当x=x 0时,等号成立;②若f(x)在区间D 上连续可导,且f '(x)在区间D 上单调递减,则当x 0∈D 时,f(x)≤f '(x 0)(x-x 0)+f(x 0),当且仅当x=x 0时,等号成立. [解析]:(Ⅰ)由f(x)=sinx+63x ⇒f '(x)=cosx+22x ⇒f ''(x)=-sinx+x ⇒f '''(x)=-cosx+1≥0⇒f ''(x)在区间(0,2π)上单调递增⇒f ''(x)>f ''(0)=0⇒f '(x)在区间(0,2π)上单调递增;(Ⅱ)由f '(x)在区间(0,2π)上单调递增，且f(x)在x=0处的切线方程为:y=x ⇒f(x)>x ⇒a 的取值范围是（-∞,1].(非正规解题过程,只为揭示试题背景,另一母题可绕出标准解题过程).利用母题,可妙解:(2019年全国Ⅰ卷(文科)第20题)已知函数f(x)=2sinx-xcosx-x,f '(x)为f(x)的导数. (Ⅰ)证明:f '(x)在区间(0,π)存在唯一零点;(Ⅱ)若x ∈[0,π]时,f(x)≥ax,求a 的取值范围. [解析]:(Ⅰ)由f(x)=2sinx-xcosx-x ⇒f '(x)=cosx+xsinx-1⇒f ''(x)=xcosx ⇒f '(x)在区间(0,2π)上单调递增,在区间(2π,π)上单调递减,且f '(0)=0,f '(2π)=2π-1>0,f '(π)=-2⇒f '(x)在区间(0,π)存在唯一零点;(Ⅱ)由f(0)=f(π)=0,f '(x)在区间(0,2π)上单调递增，且f(x)在x=0处的切线方程为:y=0所以,f(x)≥ax ⇔a ≤0,故a 的取值范围是(-∞,0].(非正规解题过程,只为揭示试题背景,另一母题可绕出标准解题过程).两题不仅均以含三角函数的超越函数为模型,而且两题函数均过原点,因此两题第(Ⅱ)问的背景相同(生成于同一个母题),解法同构;若高考试题第(Ⅱ)问的条件x ∈[0,π],改为预测试题第(Ⅱ)问的条件x ∈(0,2π),两题第(Ⅱ)问是否一样？三.高考数学命题创新路在何方？高考数学命题的创新是势在必行,问题是创新之路在何方？解读2019年高考全国Ⅰ卷数学试题,可领悟到:1.着意于数学本质的创新[例6]:(《六套卷》第一卷(理科)第7题,(文科)第8题)如图所示是求数列{a n }:a n =2n -1通项a n 的程序框图(算法流程图),图中空白框中应填入的内容为( )(A)S=S+k (B)S=2S-1 (C)S=2S+1 (D)S=2S [母题]:对求数列{a n }:a n =f(n)通项a n 的程序框图,处理框中应填入的内容为f(n+1)与f(n)之间的递推关系.[解析]:由a n =2n-1⇒a n+1=2n+1-1=2(a n +1)-1⇒a n+1=2a n +1.故选(C).程序框图是高考数学的一个考点,常见题型是求输出的结果,即使出现填充程序框图的问题,大多是填充判断框型,较少出现填充处理框型,更没有出现过求数列通项的填充处理框型问题,而求数列的通项,恰是程序框图的本质之一;着意于数学本质的创新,是命制高考数学试题的一个重要方向.高考数学母题是数学本质的最有效的工具.理解该母题,才能把握下面:2019年全国Ⅰ卷(理科)第8题,(文科)第9题,进而秒杀该题.(2019年全国Ⅰ卷(理科)第8题,(文科)第9题)右图是求212121++的程序框图,图中空白框中应填入( ) (A)A=A+21 (B)A=2+A1 (C)A=A211+ (D)A=1+A21[解析]:令a n =A+⋅⋅⋅++2121,则a n+1=na +21.故选(A).两题不仅为同一个方法母题的子题,解题方法一样(均是建立a n+1与a n 的递推关系),而且两题均为首创.2.立足于数学综合的创新[例7]:(2019年全国Ⅰ卷(文理科)第22题)在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=2221411t t y t t x ,(t 为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.直线l 的极坐标方程为2ρcos θ+3ρsin θ+11=0.(Ⅰ)求C 和l 的直角坐标方程. (Ⅱ)求C 上的点到l 距离的最小值.本题不仅综合了“极坐标系与参数方程”内的主要内容,而且还结合了三角代换:sin θ=212t t +,cos θ=2211tt +-,tan θ=212t t -、辅助角公式和三角函数的有界性,正是与三角代换的结合,不仅构造了本题的难点(难在消去参数t),还呈现了本题的创新点.立足于数学综合的创新,是命制高考数学试题的又一个重要方向.[母题]:三角代换:sin θ=212tt +,cos θ=2211tt +-,tan θ=212t t -(见《专家讲座》[例013]);化参数方程为普通方程的本质是消去参数,常用方法有:①代入法:就是从参数方程组中的其中一个方程中解出参数,然后代入另一个方程中;②三角法:就是灵活运用三角等式,消去参数;③整体法:就是根据参数方程组中参数式的结构特征,构造等式,整体消去参数.[解析]:(Ⅰ)由C:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=2221411t t y t t x ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=22212211tty t t x ⇒x 2+42y =(2211t t +-)2+(212t t +)2=1(x ≠-1);由l:2ρcos θ+3ρsin θ+11=0⇒2x+3y+11=0;(Ⅱ)设C 上的点P(cos θ,2sin θ)⇒点P 到l 的距离d=77|2cos θ+23sin θ+11|=77|4sin(θ+6π)+11|≥7,当θ=-32π时,d min =7⇒C 上的点到l 距离的最小值=7.上述母题是在《六套卷》第四卷(文理科)第22题中给出的. (《六套卷》第四卷(文理科)第22题)已知曲线C 1:⎩⎨⎧==θθsin 3cos y x (θ为参数),曲线C 2:⎪⎩⎪⎨⎧+=+=ααsin 21cos 21y x (α为参数).(Ⅰ)化曲线C 1、C 2的方程为普通方程,并说明他们分别表示什么曲线; (Ⅱ)若曲线C 3:⎩⎨⎧+-==t y t x 1(t 为参数)和曲线C 2相交于A 、B 两点,点P 是曲线C 1上的动点,使确定点P 使ΔABP 的面积S 取得最大值. [解析]:(Ⅰ)由C 1:⎩⎨⎧==θθsin 3cos y x ⇔x 2+32y =1⇒C 1是焦点在y 轴上的椭圆;由C 2:⎪⎩⎪⎨⎧+=+=ααsin 21cos 21y x ⇔(x-1)2+(y-1)2=2⇒C 2是以M(1,1)为圆心,半径r=2的圆;(Ⅱ)由C 3:⎩⎨⎧+-==t y tx 1⇔x-y-1=0⇒点M 到C 3的距离d 1=22⇒|AB|=6;设P(cos θ,3sin θ)⇒点P 到C 3的距离d=22⋅|cos θ-3sin θ-1|=22|2sin(θ-6π)+1|⇒当θ=32π时,d max =223⇒P(-21,33),S max =233.两题的设问方式相同,结构同构,第(Ⅰ)问均是三种方程的互化,尤其第(Ⅱ)问的本质均是利用椭圆的参数方程,求椭圆的一点到直线距离的最小值,或最大值.3.着重于数学应用的创新[例8]:(2019年全国Ⅰ卷(理科)第21题)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验，对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得-1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得-1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为X. (Ⅰ)求X 的分布列；(Ⅱ)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,P i (i=0,1,…,8)表示“甲药的累计得分为i 时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则P 0=0,P 8=1,P i =aP i-1+bP i +cP i+1(i=1,2,…,7),其中a=P(X=-1),b=P(X=0),c= P(X=1).假设α=0.5,β=0.8.(i)证明:{P i+1-P i }(i=0,1,2,…,7)为等比数列; (ii)求P 4,并根据P 4的值解释这种方案的合理性.今年高考数学试题,让人“震惊”的是:一改以往延续了18年全国Ⅰ卷解答题的布局,转而概率竟然成为压轴题,这本身就是一种大的变革;第21题压轴题源于实际,充分体现了数学的应用性与重要性,融概率与数列于一身,呈现了综合应用的创新性,该类试题曾经常出现在大学自主招生考试中,如:(2011年清华大学保送生考试试题)甲、乙等4人相互转球,第一次由甲将球传出,每次传球时,传球者将球等可能地传给另外3人中的任何一人.(Ⅰ)经过2次传球后,球在甲、乙手中的概率各是多少？(Ⅱ)经过n 次传球后,球在甲手中的概率记为P n (n=1,2,…),试求出P n+1与P n 的关系式,并求P n 的表达式及∞→n lim P n .[解析]:(Ⅰ)“经过2次传球后,球在甲手中”=“第二次传球时,甲外的其余3人之一将球传给甲”⇒球在甲手中的概率=31;球在乙手中的概率有两种解法:(法一)“经过2次传球后,球在乙手中”=“第一次转球,球不在乙手中,且第二次传球传给乙”⇒球在乙手中的概率=32×31=92;(法二)第二次传球,球不在甲手中的概率=1-31,而球在乙及其他2人手中的概率相等=31(1-31)=92;(Ⅱ)“经过n+1次传球后,球在甲手中”=“经过n 次传球后,球不在甲手中,且第n+1次传球传给甲”⇒P n+1=31(1-P n )⇒P n =41[1-(-31)n-1]⇒∞→n limP n =41.该题源于转球模型:[母题]:(传球模型)对于任意一个由N 个点组成的网络,如果对于这N 个点中的任意一个点都与另外的N-1个点相连,那么从其中任意一个点A 出发,每次都等概地选择一条道路到达另外一点,则求经i 步后又回到点A 的概率P i =11)1()1()1(----+-i i i N N n .[解析]:设P i 为从点A 出发经i 步后又回到点A 的概率,则P 0=1,P 1=0.又第i-1步不在点A 而在另外N-1个点上的概率为1-P i-1,从而第i 步回到点A 的概率为11-N (1-P i-1)⇒P i =11-N (1-P i-1)⇒P i =11)1()1()1(----+-i ii N N n .利用母题及其解题方法,可解第21题压轴题:[解析]:(Ⅰ)X 的所有可能取值为-1,0,1;且P(x=-1)=(1-α)β,P(x=1)=α(1-β)⇒P(x=0)=1-P(x=-1)- P(x=1)=αβ+(1-α)(1-β),所以X 的分布列为:(Ⅱ)(i)由α=0.5,β=0.8⇒a=P(X=-1)=0.4,b=P(X=0)=0.5,c=P(X=1)=0.1⇒P i =0.4P i-1+0.5P i +0.1P i+1⇒ Pi+1-P i =4(P i -P i-1),又因为P 1-P 0=P 1≠0⇒{P i+1-P i }(i=0,1,2,…,7)为公比为4,首项为P 1的等比数列; (ii)由(i)得:P i+1-P i -P 1×4n-1⇒P 8=P 1+(P 2-P 1)+(P 3-P 2)+…+(P 8-P 7)=3148-P 1;由P 8=1⇒3148-P 1=1⇒P 1=1438-利用数列的思想方法求概率;三由于文字过多,且读一遍未必能理解题意,因此,读懂这道题就是一个难点.同类的大学自主招生试题还有:1.(2002年上海交通大学保送生考试试题)A,B 两人轮流掷一个骰子,第一次由A 先掷,若A 掷到一点,下次仍由A 掷,若A 掷不到一点,下次换B 掷,对B 同样适用规则,如此依次投掷,记第n 次由A 掷的概率为A n . (Ⅰ)求A n+1与A n 的关系; (Ⅱ)求∞→n lim A n .[解析]:(Ⅰ)第一次由A 先掷⇒A 1=1;“第n+1次由A 掷”=“第n 次由A 掷,且第n+1次由A 掷”+“第n 次由B 掷,且第n+1次由A 掷”⇒A n+1=61A n +(1-61)(1-A n )⇒A n+1=-32A n +65; (Ⅱ)(法一)由A n+1=-32A n +65⇒A n+1-21=-32(A n -21)⇒A n -21=21(-32)n-1⇒A n =21+21(-32)n-1⇒∞→n lim A n =21;(法二)设∞→n lim A n =x ⇒∞→n lim A n+1=x 由A n+1=-32A n +65⇒∞→n lim A n+1=-32∞→n lim A n +65⇒x=-32x+65⇒x=21⇒∞→n lim A n =21.2.(2011年“华约”自主招生试题)投掷一枚硬币(正反等可能),记投掷n 次不连续出现三次正面向上的概率为P n . (Ⅰ)求P 1,P 2,P 3和P 4;(Ⅱ)写出P n 的递推公式,并指出单调性; (Ⅲ)∞→n lim P n 是否存在？有何统计意义.[解析]:(Ⅰ)P 1=P 2=1,P 3=1-(21)3=87,P 4=(第4次出现反面向上,其概率为21,且前3次不连续出现三次正面向上,其概率为P 3)21P 3+(第4次出现正面向上,除去第3,2次出现正面向上,第1次出现反面向上)21P 3-(21)4=P 3-(21)4=1613;(Ⅱ)P n =(第n 次出现反面向上)21P n-1+(第n 次出现正面向上,除去第n-1,n-2次出现正面向上,第n-3次出现反面向上) 21P n-1-(21)4P n-4⇒P n =21P n-1+21P n-1-(21)4P n-4⇒P n =P n-1-161P n-4(n ≥5);由P n =P n-1-161P n-4⇒P n <P n-1⇒{P n }单调递减;(Ⅲ)由{P n }单调递减,且P n >0⇒∞→n lim P n 存在;由P n =P n-1-161P n-4⇒∞→n lim P n =∞→n lim P n-1-161∞→n lim P n-4⇒∞→n lim P n =0;其统计意义是:当n →∞时,P=0,即当投掷次数充分大时,不连续出现三次正面向上的事件是小概率事件.广泛的应用性是数学的本质属性,2019年全国Ⅰ卷充分体现了“着重于数学应用的创新”:除第21题压轴题外还有4题,文理第4题均以著名的“断臂维纳斯”雕像为例,命制应用题;理科第6题以我国古代典籍《周易》中描述事物变化的“卦”为背景设置了排列组合题,体现了数学原理和方法在解决问题中的价值和作用;理科第15题，引入非常普及的篮球运动,以其中比赛的预估和比赛场次的提出问题;文科第17题以商场服务质量管理为背景,设计了统计应用问题.数学应用问题不仅每年必考,而且难度有逐年加大之趋势,2016年、2017年理科应用问题都为第19题,2018年理科应用问题是第20题,而今年移到了21题压轴题,其难度与用意不言而喻.2019年全国Ⅰ卷不仅提高了应用题的数量,而且加大了应用题的难度.可能受新课标的影响,新的高中教材删除的内容,如“三视图、线性规划等”没有出现在今年的高考试题中.总之,整套试题基本体现了由“以能力立意”过渡到“以素养立意”命题,试题难度虽有所上升,但其在高校选拔中的特殊地位和作用仍是不可替代,为今后的教学指明了方向.。
2019年云南省_全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅲ)及解析
2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2≤1}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1}B．{0，1}C．{﹣1，1}D．{0，1，2} 2．（5分）若z（1+i）＝2i，则z＝（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i3．（5分）《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为（）A．0.5B．0.6C．0.7D．0.84．（5分）（1+2x2）（1+x）4的展开式中x3的系数为（）A．12B．16C．20D．245．（5分）已知各项均为正数的等比数列{a n}的前4项和为15，且a5＝3a3+4a1，则a3＝（）A．16B．8C．4D．26．（5分）已知曲线y＝ae x+xlnx在点（1，ae）处的切线方程为y＝2x+b，则（）A．a＝e，b＝﹣1B．a＝e，b＝1C．a＝e﹣1，b＝1D．a＝e﹣1，b＝﹣1 7．（5分）函数y＝在[﹣6，6]的图象大致为（）A．B．C．D．8．（5分）如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则（）A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线9．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的ɛ为0.01，则输出s的值等于（）A．2﹣B．2﹣C．2﹣D．2﹣10．（5分）双曲线C：﹣＝1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点．若|PO|＝|PF|，则△PFO的面积为（）A．B．C．2D．311．（5分）设f（x）是定义域为R的偶函数，且在（0，+∞）单调递减，则（）A．f（log3）＞f（2）＞f（2）B．f（log3）＞f（2）＞f（2）C．f（2）＞f（2）＞f（log3）D．f（2）＞f（2）＞f（log3）12．（5分）设函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0），已知f（x）在[0，2π]有且仅有5个零点．下述四个结论：①f（x）在（0，2π）有且仅有3个极大值点②f（x）在（0，2π）有且仅有2个极小值点③f（x）在（0，）单调递增④ω的取值范围是[，）其中所有正确结论的编号是（）A．①④B．②③C．①②③D．①③④二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019年高考理科数学(全国1卷)答案详解(附试卷)
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PS：其实可以对题目进行抽象：即有 A、B 两种字母，填 6 个位置，求恰有 3 个 A 的概率.这样更
容易求解.
【答案】A
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7．（平面向量）已知非零向量 a，b 满足 | a | 2 | b | ，且 (a b) b ，则 a 与 b 的夹角为
头顶至肚脐的长度小于 68.07cm，所以身高小于 68.07+68.07÷0.618=178.21cm. 所以选答案 B.
【答案】B
5．（函数）函数
f
(x)
sin x x cos x x2
在[, ] 的图像大致为
A．
B．
C．
D．
【解析】∵
f (x)
sin x x cos x x2
A． (x+1)2 y 2 1 B． (x 1)2 y2 1 C． x2 ( y 1)2 1 D． x2 ( y+1)2 1
【解析】由题意得 z i x ( y 1)i ，∵ z i =1 ，∴ x2 ( y 1)2 1 ，即 x2 ( y 1)2 1
【答案】D
6．（概率统计）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的 6 个爻 组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦 恰有 3 个阳爻的概率是
5
A．
16
11
B．
32
21
C．
32
11
D．
16
【解析】所有重卦的个数为 26 64 ，恰有 3 个阳爻的个数为 C36C33 20 ，因此恰有 3 个阳爻的概率为
2019年全国统一高考数学试卷(理科)真题解析(解析版)
绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合A ={x |x 2-5x +6>0}，B ={ x |x -1<0}，则A ∩B =A. (-∞，1)B. (-2，1)C. (-3，-1)D. (3，+∞)【答案】A 【解析】 【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．【详解】由题意得，{}{}2,3,1A x x x B x x ==<或，则{}1A B x x ⋂=<．故选A ．【点睛】本题考点为集合的运算，为基础题目，难度偏易．不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．2.设z =-3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】C 【解析】 【分析】本题考查复数的共轭复数和复数在复平面内的对应点位置，渗透了直观想象和数学运算素养．采取定义法，利用数形结合思想解题．【详解】由32,z i =-+得32,z i =--则32,z i =--对应点（-3，-2）位于第三象限．故选C ．【点睛】本题考点为共轭复数，为基础题目，难度偏易．忽视共轭复数的定义致错，复数与共轭复数间的关系为实部同而虚部异，它的实部和虚部分别对应复平面上点的横纵坐标．3.已知AB =(2,3)，AC =(3，t )，BC =1，则AB BC ⋅= A. -3 B. -2 C. 2 D. 3【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平面向量数量积的坐标运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法，利用转化与化归思想解题．【详解】由(1,3)BC AC AB t =-=-，211BC ==，得3t =，则(1,0)BC =，(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=．故选C ．【点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．学生易在处理向量的法则运算和坐标运算处出错，借助向量的模的公式得到向量的坐标，然后计算向量数量积．4.2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L 点的轨道运行．2L 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M １，月球质量为M ２，地月距离为R ，2L 点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：121223()()M M M R r R r r R +=++.设r Rα=，由于α的值很小，因此在近似计算中34532333(1)ααααα++≈+，则r 的近似值为A.B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】本题在正确理解题意的基础上，将有关式子代入给定公式，建立α的方程，解方程、近似计算．题目所处位置应是“解答题”，但由于题干较长，易使考生“望而生畏”，注重了阅读理解、数学式子的变形及运算求解能力的考查． 【详解】由rRα=，得r R α= 因为121223()()M M M R r R r r R +=++，所以12122222(1)(1)M M M R R R ααα+=++，即543232221133[(1)]3(1)(1)M M αααααααα++=+-=≈++，解得3α=所以3.r R α==【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是复杂式子的变形出错．5.演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是A. 中位数B. 平均数C. 方差D. 极差【答案】A 【解析】 【分析】可不用动笔，直接得到答案，亦可采用特殊数据，特值法筛选答案． 【详解】设9位评委评分按从小到大排列为123489x x x x x x <<<<<．则①原始中位数为5x ，去掉最低分1x ，最高分9x ，后剩余2348x x x x <<<，中位数仍为5x ，∴A 正确． ②原始平均数1234891()9x x x x x x x =<<<<<，后来平均数234817x x x x x '=<<<（）平均数受极端值影响较大，∴x 与x '不一定相同，B 不正确③()()()22221119q S x x x x x x ⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦ ()()()222223817s x x x x x x ⎡⎤'=-'+-'++-'⎢⎥⎣⎦由②易知，C 不正确．④原极差91=x -x ，后来极差82=x -x 显然极差变小，D 不正确． 【点睛】本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解.6.若a >b ，则 A. ln(a −b )>0B. 3a <3bC. a 3−b 3>0D. │a │>│b │【答案】C 【解析】 【分析】本题也可用直接法，因为a b >，所以0a b ->，当1a b -=时，ln()0a b -=，知A 错，因为3xy =是增函数，所以33a b >，故B 错；因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，知C 正确；取1,2a b ==-，满足a b >，12a b =<=，知D 错．【详解】取2,1a b ==，满足a b >，ln()0a b -=，知A 错，排除A ；因为9333a b =>=，知B 错，排除B ；取1,2a b ==-，满足a b >，12a b =<=，知D 错，排除D ，因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，故选C ．【点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．7.设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A. α内有无数条直线与β平行 B. α内有两条相交直线与β平行 C. α，β平行于同一条直线 D. α，β垂直于同一平面 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断．【详解】由面面平行的判定定理知：α内两条相交直线都与β平行是//αβ的充分条件，由面面平行性质定理知，若//αβ，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内两条相交直线都与β平行是//αβ的必要条件，故选B ．【点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若,,//a b a b αβ⊂⊂，则//αβ”此类的错误．8.若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =A. 2B. 3C. 4D. 8【答案】D 【解析】 【分析】利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于p 的方程，即可解出p ，或者利用检验排除的方法，如2p =时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A ，同样可排除B ，C ，故选D ．【详解】因为抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2p 是椭圆2231x y p p +=的一个焦点，所以23()2pp p -=，解得8p =，故选D ．【点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．9.下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是 A. f (x )=│cos 2x │ B. f (x )=│sin 2x │ C. f (x )=cos│x │ D. f (x )= sin│x │【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查三角函数图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养．画出各函数图象，即可做出选择．【详解】因为sin ||y x =图象如下图，知其不是周期函数，排除D ；因为cos cos y x x ==，周期为2π，排除C ，作出cos2y x =图象，由图象知，其周期为2π，在区间单调递增，A 正确；作出sin 2y x =的图象，由图象知，其周期为2π，在区间单调递减，排除B ，故选A ．【点睛】利用二级结论：①函数()y f x =的周期是函数()y f x =周期的一半；②sin y x ω=不是周期函数；10.已知a ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sinα=A.15B.5C. D.【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案． 【详解】2sin 2cos21α=α+，24sin cos 2cos .0,,cos 02π⎛⎫∴α⋅α=αα∈∴α> ⎪⎝⎭．sin 0,2sin cos α>∴α=α，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5∴α=α=，又sin 0α>，sin α∴=B ．【点睛】本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉．11.设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为 A.B. C. 2 D.【答案】A 【解析】 【分析】准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率． 【详解】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c ==，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，A ∴为圆心||2cOA =．,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a =∴==．e ∴=A ．【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．12.设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是A. 9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B. 7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C. 5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ D. 8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】 【分析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决． 【详解】(0,1]x ∈时，()=(1)f x x x -，(+1)= ()f x 2f x ，()2(1)f x f x ∴=-，即()f x 右移1个单位，图像变为原来的2倍．如图所示：当23x <≤时，()=4(2)=4(2)(3)f x f x x x ---，令84(2)(3)9x x --=-，整理得：2945560x x -+=，1278(37)(38)0,,33x x x x ∴--=∴==（舍），(,]x m ∴∈-∞时，8()9f x ≥-成立，即73m ≤，7,3m ⎛⎤∴∈-∞ ⎥⎝⎦，故选B ．【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________. 【答案】0．98. 【解析】 【分析】本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题．【详解】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为100.97200.98100.9939.2⨯+⨯+⨯=，其中高铁个数为10+20+10=40，所以该站所有高铁平均正点率约为39.20.9840=． 【点睛】本题考点为概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养．侧重统计数据的概率估算，难度不大．易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算出正点列车数量与列车总数的比值．14.已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e axf x =-.若(ln 2)8f =，则a =__________.【答案】-3【解析】 【分析】本题主要考查函数奇偶性，对数的计算．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案． 【详解】因为()f x 是奇函数，且当0x <时，()ax f x e -=-．又因为ln 2(0,1)∈，(ln 2)8f =，所以ln 28a e --=-，两边取以e 为底的对数得ln 23ln 2a -=，所以3a -=，即3π． 【点睛】本题主要考查函数奇偶性，对数的计算．15.V ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则V ABC 的面积为__________.【答案】【解析】 【分析】本题首先应用余弦定理，建立关于c 的方程，应用,a c 的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查． 【详解】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以2221(2)2262c c c c +-⨯⨯⨯=， 即212c =解得c c ==-所以2a c ==11sin 222ABC S ac B ∆==⨯= 【点睛】本题涉及正数开平方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．16.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．【答案】 (1). 共26个面. (2). 1. 【解析】 【分析】第一问可按题目数出来，第二问需在正方体中简单还原出物体位置，利用对称性，平面几何解决． 【详解】由图可知第一层与第三层各有9个面，计18个面，第二层共有8个面，所以该半正多面体共有18826+=个面．如图，设该半正多面体的棱长为x ，则A B B E x ==，延长BC 与FE 交于点G ，延长BC 交正方体棱于H ，由半正多面体对称性可知，BGE ∆为等腰直角三角形，,21)122BG GE CH x GH x x x ∴===∴=⨯+==，1x ∴==．【点睛】本题立意新颖，空间想象能力要求高，物体位置还原是关键，遇到新题别慌乱，题目其实很简单，稳中求胜是关键．立体几何平面化，无论多难都不怕，强大空间想象能力，快速还原图形．三、解答题：共70分。
2019年高考文科数学全国卷Ⅰ文数(附参考答案和详解)
绝密★启用前 6月7日15:00-17:002019年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅰ）数学（文史类）总分：150分 考试时间：120分钟★祝考试顺利★注意事项：1、本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：选出每小题答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。
4、考试结束后，将本试卷和答题卡一并上交。
第I 卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.（2019全国卷Ⅰ·文）设3i12iz -=+，则||z =（ ）A.2D.1【解析】因为3i (3i)(12i)17i12i (12i)(12i)5z ----===++-，所以||z =故选C.【答案】C2.（2019全国卷Ⅰ·文）已知集合{1,2,3,4,5,6,7}U =，{2,3,4,5}A =，{2,3,6,7}B =，则U B A =I ð（ ）A.{1,6}B.{1,7}C.{6,7}D.{1,6,7}【解析】因为{1,2,3,4,5,6,7}U =，{2,3,4,5}A =，所以{1,6,7}U A =ð. 又{2,3,6,7}B =，所以U B A =I ð{6,7}.故选C.【答案】C3.（2019全国卷Ⅰ·文）已知2log 0.2a =，0.22b =，0.30.2c =，则（ ）A.a b c <<B.a c b <<C.c a b <<D.b c a <<【解析】由对数函数的单调性可得22log 0.2log 10a =<=，由指数函数的单调性可得0.20221b =>=，0.300.2100.2c <==<，所以a c b <<.故选B.【答案】B4.（2019全国卷Ⅰ·文）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度0.618≈，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是（ ）A.165cmB.175cmC.185cmD.190cm【解析】设某人身高为m cm ，脖子下端至肚脐的长度为n cm ， 则由腿长为105 cm，可得1050.618105m ->≈，解得169.890m >. 由头顶至脖子下端的长度为26 cm，可得260.618n >≈，解得42.071n <. 所以头顶到肚脐的长度小于2642.07168.071+=.68.072110.1470.618≈≈. 所以此人身高68.071110.147178.218m <+=. 综上，此人身高m 满足169.890178.218m <<. 所以其身高可能为175 cm.故选B. 【答案】B5.（2019全国卷Ⅰ·文）函数2sin ()cos x xf x x x +=+在[π,π]-的图象大致为（ ）A. B.C. D.【解析】因为22sin()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x --+-==-=--+-+，所以()f x 为奇函数，排除选项A.令πx =，则22sin ()0cos 1f πππππππ+==>+-+，排除选项B ，C.故选D.【答案】D6.（2019全国卷Ⅰ·文）某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1,2,,1000L ，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（ ） A.8号学生 B.200号学生 C.616号学生 D.815号学生【解析】根据题意，系统抽样是等距抽样，所以抽样间隔为100010100=. 因为46除以10余6，所以抽到的号码都是除以10余6的整数，结合选项知正确号码为616.故选C. 【答案】C7.（2019全国卷Ⅰ·文）tan255=o （ ）A.2--B.2-+C.2D.2【解析】1tan 45tan 3075tan(tan255tan(4530)2180)tan 71tan 45tan 305+++=+===+=-=ooo o o o o o o o .故选D. 【答案】D.8.（2019全国卷Ⅰ·文）已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-⊥a b b ，则a 与b 的夹角为（ ）A.π6B.π3C.2π3 5π6【解析】设a ，b 的夹角为θ，因为()-⊥a b b ，所以()0-=g a b b ，即2||0-=g a b b .又||||cos ,||2||θ==g g a b a b a b ， 所以222||cos ||0θ-=b b ，所以1cos 2θ=. 又因为0θπ≤≤，所以3πθ=.故选B.【答案】B9.（2019全国卷Ⅰ·文）如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入（ ）A.12A A=+ B.12A A =+C.112A A=+ D.112A A=+【解析】对于选项A ，第一次循环，1122A =+；第二次循环，112122A =++，此时3k =，不满足2k ≤，输出112122A =++的值.故A 正确；经验证选项B ，C ，D 均不符合题意.故选A.【答案】A10.（2019全国卷Ⅰ·文）双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为130o ，则C 的离心率为（ ）A.2sin40oB.2cos40oC.1sin50oD.1cos50o【解析】由题意可得tan130ba-=︒，所以11|cos130|cos50e ====︒︒.故选D.【答案】D11.（2019全国卷Ⅰ·文）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 4sin a A b B c C -=，1cos 4A =-，则bc=（ ）A.6B.5C.4D.3【解析】因为sin sin 4sin a A b B c C -=，所以由正弦定理得2224a b c -=，即2224a c b =+.由余弦定理得222222222(4)31cos 2224b c a b c c b c A bc bc bc +-+-+-====-，所以6bc=.故选A. 【答案】A12.（2019全国卷Ⅰ·文）已知椭圆C 的焦点为()11,0F -，()21,0F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为（ ）A.2212x y +=B.22132x y +=C.22143x y += D.22154x y += 【解析】设椭圆的标准方程为22221(0)bx y a b a +=>>，由椭圆定义可得11||||||4AF AB BF a ++=. 因为1||||AB BF =， 所以1||2||4AF AB a +=. 又22||2||AF F B =， 所以23||||2AB AF =，所以12||3||4AF AF a +=. 又因为12||||2AF AF a +=，所以2||AF a =. 所以A 为椭圆的短轴端点.如图，不妨设(0,)A b ，又2(1,0)F ，222AF F B =u u u u r u u u u r ，所以3,22b B ⎛⎫- ⎪⎝⎭.将B 点坐标代入椭圆方程22221(0)b x y a b a +=>>，得2229144b ba +=，所以22223,2a b a c ==-=.所以椭圆C 的方程为22132x y +=.故选B.【答案】B第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分。
2019年高考文科数学-全国卷Ⅰ试题及解析
2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国 I 卷）文科数学1. 设312iz i-=+，则z =（ ） A.2D.1 答案： C解析： 因为3(3)(12)1712(12)(12)5i i i iz i i i ----===++-所以z ==2. 已知集合}7,6,5,4,3,2,1{=U ，5}43{2，，，=A ，7}63{2，，，=B ，则=A C B U I （ ） A. }6,1{ B.}7,1{C.}7,6{D. }7,6,1{ 答案：C解析：Θ}7,6,5,4,3,2,1{=U ，5}43{2，，，=A ，则7}6{1，，=A C U ，又Θ7}63{2，，，=B ，则7}{6，=A C B U I ，故选C.3.已知2log 0.2a =，0.22b =，0.30.2c =，则（ ） A.a b c << B.a c b <<C.c a b <<D.b c a << 答案： B解答：由对数函数的图像可知：2log 0.20a =<；再有指数函数的图像可知：0.221b =>，0.300.21c <=<，于是可得到：a c b <<.4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是215-（618.0215≈-称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是215- .若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为cm 105，头顶至脖子下端的长度为cm 26，则其身高可能是（ ）A.cm 165B.cm 175C.cm 185D.cm 190 答案： B解析： 方法一：设头顶处为点A ，咽喉处为点B ，脖子下端处为点C ，肚脐处为点D ，腿根处为点E ，足底处为F ，t BD =，λ=-215， 根据题意可知λ=BD AB ,故t AB λ=；又t BD AB AD )1(+=+=λ，λ=DFAD，故t DF λλ1+=；所以身高t DF AD h λλ2)1(+=+=，将618.0215≈-=λ代入可得t h 24.4≈.根据腿长为cm 105，头顶至脖子下端的长度为cm 26可得AC AB <，EF DF >；即26<t λ，1051>+t λλ，将618.0215≈-=λ代入可得4240<<t 所以08.1786.169<<h ，故选B.方法二：由于头顶至咽喉的长度与头顶至脖子下端的长度极为接近，故头顶至脖子下端的长度cm 26可估值为头顶至咽喉的长度；根据人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是215-（618.0215≈-称为黄金分割比例）可计算出咽喉至肚脐的长度约为cm 42；将人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度相加可得头顶至肚脐的长度为cm 68，头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是215-可计算出肚脐至足底的长度约为110；将头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度相加即可得到身高约为cm 178，与答案cm 175更为接近，故选B.5. 函数2sin ()cos x xf x x x +=+在[,]ππ-的图像大致为（ ）A.B.C.D.答案： D解答： ∵()()()2sin ()cos x x f x x x ---=-+-=2sin cos x xx x+-+()f x =-， ∴()f x 为奇函数，排除A.又22sin 4222()02cos22f πππππππ++==>⎛⎫+ ⎪⎝⎭，排除C ，()22sin ()01cos f πππππππ+==>++，排除B ，故选D.6.某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1,2,3,,1000L ，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（ ）. A.8号学生B.200号学生C.616号学生D.815号学生 答案： C解答：从1000名学生中抽取100名，每10人抽一个，46号学生被抽到，则抽取的号数就为106(099,)n n n N +≤≤∈，可得出616号学生被抽到.7. tan 255︒=（ ）A.2-B.2-+C.2D.2 答案： D解析：因为tan 255tan(18075)tan 75︒=︒+︒=︒tan 45tan 30tan(4530)1tan 45tan 30︒+︒=︒+︒=-︒⋅︒化简可得tan 2552︒=8. 已知非零向量a ρ，b ρ满足||2||b a ρρ=，且b b a ρρϖ⊥-)(，则a ρ与b ρ的夹角为（ ）A.6πB.3πC.32πD.65π答案： B解答：Θ||2||b a ρρ=，且b b a ρρϖ⊥-)(，∴0)(=⋅-b b a ρρϖ，有0||2=-⋅b b a ρρϖ，设a ρ与b ρ的夹角为θ，则有0||cos ||||2=-⋅b b a ρρϖθ，即0||cos ||222=-b b ρρθ，0)1cos 2(||2=-θb ρ，Θ0||≠b ρ，∴21cos =θ，3πθ=，故a ρ与b ρ的夹角为3π，选B . 9. 右图是求112+12+2的程序框图，图中空白框中应填入（ ）A.12A A =+B.12A A =+C.112A A =+D.112A A=+答案：A解答：把选项代入模拟运行很容易得出结论选项A 代入运算可得1=12+12+2A ，满足条件，选项B 代入运算可得1=2+12+2A ,不符合条件， 选项C 代入运算可得12A =,不符合条件，选项D 代入运算可得11+4A =,不符合条件. 10.双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x C ：的一条渐近线的倾斜角为︒130，则C 的离心率为（ ）A.︒40sin 2B.︒40cos 2C.︒50sin 1D.︒50cos 1 答案： D解答： 根据题意可知︒=-130tan a b ，所以︒︒=︒=50cos 50sin 50tan a b ， 离心率︒=︒=︒︒+︒=︒︒+=+=50cos 150cos 150cos 50sin 50cos 50cos 50sin 1122222222a b e . 11. ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin 4sin a A b B c C -=，1cos 4A =-，则bc=（ ）A. 6B. 5C. 4D. 3答案： A解答：由正弦定理可得到：222sin sin 4sin 4a A b B c C a b c -=⇒-=，即2224a c b =+，又由余弦定理可得到：2221cos 24b c a A bc +-==-，于是可得到6b c =12. 已知椭圆C 的焦点坐标为1(1,0)F -，2(1,0)F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点，若222AF F B =，1AB BF =，则C 的方程为（ ） A. 2212x y +=B. 22132x y +=C. 22143x y +=D. 22154x y +=答案： B解答：由222AF F B =，1AB BF =，设2F B x =，则22AF x =，13BF x =，根据椭圆的定义21212F B BF AF AF a +=+=，所以12AF x =，因此点A 即为椭圆的下顶点，因为222AF F B =，1c =所以点B 坐标为3(,)22b ，将坐标代入椭圆方程得291144a +=，解得223,2a b ==，故答案选B.13.曲线23()xy x x e =+在点(0,0)处的切线方程为 . 答案：3y x =解答：∵23(21)3()x x y x e x x e '=+++23(31)xx x e =++，∴结合导数的几何意义曲线在点(0,0)处的切线方程的斜率3k =， ∴切线方程为3y x =.14. 记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若11a =，334S =，则4S = . 答案：58解析：11a =，312334S a a a =++=设等比数列公比为q ∴211134a a q a q ++=∴12q =-所以4S =5815．函数3()sin(2)3cos 2f x x x π=+-的最小值为___________． 答案： 4- 解答：23()sin(2)3cos cos 23cos 2cos 3cos 12f x x x x x x x π=+-=--=--+， 因为cos [1,1]x ∈-，知当cos 1x =时()f x 取最小值， 则3()sin(2)3cos 2f x x x π=+-的最小值为4-． 16.已知90ACB ∠=︒，P 为平面ABC 外一点，2PC =，点P 到ACB ∠两边,AC BC 的距，那么P 到平面ABC 的距离为 . 答案：解答：如图，过P 点做平面ABC 的垂线段，垂足为O ，则PO 的长度即为所求，再做,PE CB PF CA ⊥⊥，由线面的垂直判定及性质定理可得出,OE CB OF CA ⊥⊥，在Rt PCF ∆中，由2,PC PF ==1CF =，同理在Rt PCE ∆中可得出1CE =，结合90ACB ∠=︒，,OE CB OF CA ⊥⊥可得出1OE OF ==，OC =，PO ==17.某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服（1） 分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2） 能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d κ-=++++答案：(1)男顾客的的满意概率为404505P == 女顾客的的满意概率为303505P == (2) 有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.解答：（1） 男顾客的的满意概率为404505P == 女顾客的的满意概率为303505P ==. (2) 22100(40201030) 4.762(4010)(3020)(4030)(1020)κ⨯-⨯==++++ 4.762 3.841>有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.18.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知59a S -=；（1）若43=a ，求{}n a 的通项公式；（2）若01>a ，求使得n n a S ≥的n 的取值范围. 答案：（1）102+-=n a n （2）{}N n n n ∈≤≤,101 解答：（1）由59a S -=结合591992)(9a a a S =+=可得05=a ，联立43=a 得2-=d ，所以102)3(3+-=-+=n d n a a n（2）由59a S -=可得d a 41-=，故d n a n )5(-=，2)9(dn n S n -=. 由01>a 知0<d ，故n n a S ≥等价于010112≤+-n n ，解得101≤≤n ，所以n 的取值范围是{}N n n n ∈≤≤,101 19. 如图直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，14,2AA AB ==，60BAD ∠=o ，,,E M N 分别是11,,BC BB A D 的中点.（1）证明：//MN 平面1C DE （2）求点C 到平面1C DE 的距离.答案：见解析 解答：（1）连结1111,AC B D 相交于点G ，再过点M 作1//MH C E 交11B C 于点H ，再连结GH ，NG . Q ,,E M N 分别是11,,BC BB A D 的中点.于是可得到1//NG C D ，//GH DE ，于是得到平面//NGHM 平面1C DE ，由MN ⊂Q 平面NGHM ，于是得到//MN 平面1C DE（2）E Q 为BC 中点，ABCD 为菱形且60BAD ∠=oDE BC ∴⊥，又1111ABCD A B C D -Q 为直四棱柱，1DE CC ∴⊥1DE C E ∴⊥，又12,4AB AA ==Q ，1DE C E ∴==，设点C 到平面1C DE 的距离为h由11C C DE C DCE V V --=得1111143232h ⨯=⨯⨯解得h =所以点C 到平面1C DE 20. 已知函数()2sin cos f x x x x x =--，()f x '是()f x 的导数.（1）证明：()f x '在区间(0,)π存在唯一零点；（2）若[0,]x π∈时，()f x ax ≥，求a 的取值范围.答案：略解答：（1）由题意得()2cos [cos (sin )]1f x x x x x '=-+--cos sin 1x x x =+-令()cos sin 1g x x x x =+-，∴()cos g x x x '=当(0,]2x π∈时，()0g x '>，()g x 单调递增， 当(,)2x ππ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，∴()g x 的最大值为()122g ππ=-，又()2g π=-，(0)0g = ∴()()02g g ππ⋅<，即()()02f f ππ''⋅<， ∴()f x '在区间(0,)π存在唯一零点.（2）令()()F x f x ax =-2sin cos x x x x ax =---，∴()F x 'cos sin 1x x x =+-a -，由（1）知()f x '在(0,)π上先增后减，存在(,)2m ππ∈，使得()0f m '=，且(0)0f '=，()=1022f ππ'->，()2f π'=-， ∴()F x '在(0,)π上先增后减，(0)F a '=-，()122F a ππ'=--，()2F a π'=--， 当()02F π'≤时，()F x '在(0,)π上小于0，()F x 单调递减， 又(0)0F =，则()(0)0F x F ≤=不合题意， 当()02F π'>时，即102a π-->，12a π<-时， 若(0)0F '≥，()0F π'≤，()F x 在(0,)m 上单调递增，在(,)m π上单调递减，则(0)0()0F F π≥⎧⎨≥⎩解得0a ≤， 而(0)0()20F a F a π'=-≥⎧⎨'=--≤⎩解得20a -≤≤，故20a -≤≤， 若(0)0F '≥，()0F π'≥，()F x 在(0,)π上单调递增，且(0)0F =，故只需(0)0()20F a F a π'=-≥⎧⎨'=--≥⎩解得2a ≤-； 若(0)0F '≤，()0F π'≤，()F x 在(0,)2π上单调递增，且(0)0F =， 故存在(0,)2x π∈时，()(0)0F x F ≤=，不合题意， 综上所述，a 的取值范围为(],0-∞.21. 已知点,A B 关于坐标原点O 对称，4AB =，M e 过点,A B 且与直线20x +=相切.（1）若A 在直线0x y +=上，求M e 的半径；（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，MA MP -为定值？并说明理由.答案：（1）2或6；（2）见解析.解答：（1）∵M e 过点,A B ，∴圆心在AB 的中垂线上即直线y x =上，设圆的方程为 222()()x a y a r -+-=，又4AB =，根据222AO MO r +=得2242a r +=；∵M e 与直线20x +=相切，∴2a r +=，联解方程得0,2a r ==或4,6a r ==.（2）设M 的坐标为(,)x y ，根据条件22222AO MO r x +==+即22242x y x ++=+ 化简得24y x =，即M 的轨迹是以(1,0)为焦点，以1x =-为准线的抛物线，所以存在定点(1,0)P ，使(2)(1)1MA MP x x -=+-+=.22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22211()41t x t t ty t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩为参数.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos sin 110ρθθ+=.（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）求C 上的点到l 距离的最小值.答案：略解答：(1)曲线C :由题意得22212111t x t t-==-+++即2211x t +=+，则2(1)y t x =+，然后代入即可得到2214y x += 而直线l ：将cos ,sin x y ρθρθ==代入即可得到2110x ++=（2）将曲线C 化成参数方程形式为则d==所以当362ππθ+=23.已知a，b，c为正数，且满足1=abc，证明：（1）222111cbacba++≤++；（2）24)()()(333≥+++++accbba.答案：（1）见解析；（2）见解析.解析：（1）Θabba222≥+，bccb222≥+，acac222≥+，∴acbcabcba222222222++≥++，即acbcabcba++≥++222，当且仅当cba==时取等号.Θ1=abc且a，b，c都为正数，∴cab1=，abc1=，bac1=，故222111cbacba++≤++.（2）Θ3333333)()()(3)()()(accbbaaccbba+++≥+++++，当且仅当333)()()(accbba+=+=+时等号成立，即cba==时等号成立.又))()((3)()()(33333accbbaaccbba+++=+++acbcab2223⋅⋅⨯≥abc42=，当且仅当cba==时等号成立，Θ1=abc，故2424)()()(33333=≥+++abcaccbba，即得24)()()(333≥+++++accbba.。
2019年全国高考数学一卷总体分析
2019年全国高考数学一卷总体分析与2019年高考备考建议株洲县第五中学阳志长2019年湖南高考数学使用新课标高考全国数学一卷.与往年相比，2019年高考全国一卷数学试题，试卷结构保持不变，考查内容基本一致，体现了高考的稳定性与延续性；注重基础知识，体现数学思想，考查数学运算、应用、创新等能力.突出对数学抽象、逻辑推理、数据分析等核心素养的重视和“回归教材”，以及文理合卷等特点.2019年高考湖南省阅卷结果：文科数学平均分55分，比2019年湖南省文科数学平均分67.96分下降12.96分；理科数学79.9，比去年78.82升了1.08分,这是预料中的事情.今结合2019年高考试题、在权衡2019年上期所做《2019－2019年全国高考数学试卷（I）总体综合分析》（以下简称《分析报告》）报告得失的基础上，我们试图为大家提供备考2019年数学高考的方略，供一线数学教师参考.一、考点分布2019年全国高考数学一卷考点分布是按照所考的主要知识点分类、有交汇，分值不能严格区分时、是按照大题分值标注的.二、考查分析（一）常考知识点在《分析报告》中，我们列出常考知识点：集合运算、复数的代数计算、函数基本性质（单调性、奇偶性、周期性等）、导数及其运用、三角函数（恒等变换、图像及性质、解三角形）、平面向量的计算、数列（等差、等比的相关知识）、线性规划、二项式定理（理）、程序框图、概率（古典概型）、统计的基本知识、立体几何（空间点、线、面的位置关系）、圆锥曲线（定义、性质）等.从上面列表可以看出，2019年高考全国一卷基本上覆盖了高中数学的所有重要的知识点，预测是准确的.2019年高考数学全国一卷命题的基本思路仍然是：以选择题、填空题“小题”的形式覆盖知识点，引导高中数学教师落实《课程标准》的基本要求，做好“保底”工作；以解答题“大题”的形式着重考查综合素养，提高区分度、强化选拔功能；文理同题（同宗题或姊妹题）略有增加，为高考数学文理合卷进一步创造条件.（二）板块分析1.三角函数该知识点在整个试卷中理科占有17分、文科占有20分，文科以四道小题、理科以一道小题一道大题的形式呈现.题目之间互补，形成纵向“问题链”，主要考查三角恒等变换、三角函数图象与性质、解三角形，估计2019年不会有大的变化.2.数列该知识点在整个试卷中理科占有10分、文科占有12分，理科以两道小题，文科以一道大题的形式呈现.以特殊数列（等差数列、等比数列）为载体，考查求解数列的通项公式、前n项和，在解答题中靠前，属于容易题，在小题中靠后，属于较难题.与三角“嵌套”，理科在解答题中考查三角、文科在解答题中考查数列.考查风格与2019年相同，估计2019年也不会有大的变化.3.概率统计该知识点在整个试卷中文理都占有17分的分值，试题以一大一小的形式呈现.文科小题考查古典概型，大题以实际问题为背景，考查函数解析式、频率、数字特征等知识；理科小题考查几何概型，大题与文科同宗同源，考查离散型随机变量的分布列、数学期望等知识.文理均重统计，考查风格与2019年基本相同，估计2019年会有些变化，具体见后面专项分析.4.立体几何该知识点在整个试卷中文理科都占有22分的分值，试题以一大两小的形式呈现.小题考查三视图、空间线、面关系.大题分两小题设问，文科第1问证明线段相等，第2问求体积；理科第1问证明面面垂直，第二问求二面角的余弦值.理科考查风格与2019年相同，文科考查风格与2019年有点不同，大题“正投影”难住了较多考生，2019年备考还要关注折叠问题.5.解析几何该知识点在整个试卷中文理都占有22分的分值，试题以一大两小的形式呈现.小题考查圆、圆锥曲线定义、标准方程、简单几何性质.大题分两小题设问，文科第1问考查坐标法，求线段的比值；第2问为存在性问题、考查直线与抛物线的位置关系.理科第1问为定值问题，求轨迹方程；第2问考查直线与圆锥曲线的位置关系，与函数、不等式交汇在一起，属于较难题.考查风格与2019年相同，估计2019年不会有大的变化.6. 函数与导数该知识点在整个试卷中理科占有22分，试题以一大两小的形式呈现；文科占有27分，试题以一大三小的形式呈现.与导数相关的知识，小题中有一题也有涉及（理科第7题、文科第9题和12题）.大题分两小题设问，文科第1问考查定义域、单调性；第2问考查函数零点的相关知识；理科题考查函数零点的相关知识；文理科都与不等式等知识交汇在一起，考查分类讨论、综合运用知识的能力，属于难题.文理科此题属于姊妹题，考查风格与2019年相同，估计2019年不会有大的变化.三、热点透视（一）三角问题三角为数学的主干知识之一，一般情况下应该得满分.纵观近5年全国卷，不确定因素较多、难度较大、综合性较强，超出考生的想象.例1（2019高考全国卷1文科第14题）已知θ是第四象限角，且3sin45πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭，则tan ____4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ .分析1：由tan tansin cos 4tan 4sin cos 1tan tan 4πθπθθθπθθθ--⎛⎫-== ⎪+⎝⎭+，为求tan 4πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值，可从题目条件出发，求出sin cos θθ+、sin cos θθ-的值.解法1：因为3sin 45πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以sin cos 5θθ+=，且72sin cos 25θθ=- .又因为θ是第四象限角，所以sin cos 0θθ-<，且()()22sin cos sin cos θθθθ-=+－324sin cos 25θθ=，故sin cos θθ-=，结果填43-.本题考查三角函数的定义、符号和同角公式、和差角公式等知识，以及化归与转化、平方与开方等思想方法.考生的思维障碍是不知由sin cos θθ+的值可以求出sin cos θθ-的值；错点是sin cos θθ-的符号.其实，sin cos θθ+、sin cos θθ-、sin cos θθ“知一求二”；由单位圆和三角函数线容易判断sin cos θθ+或sin cos θθ-的符号.单位圆是三角函数的“原点”，“能力立意”的基本点是回归“原点”，按照数学家当初建构数学概念那样广开思路，备考时需要重建、理解三角公式体系：利用单位圆定义三角函数的坐标表示（数）和几何表示（形）；由它的坐标表示可以概括得到符号规律、特殊角的三角函数值；由它的几何表示可以简单推出同角公式；由单位圆的对称性和它的坐标表示可以直接得到诱导公式；由向量的数量积和它的坐标表示可以简单推导和差角公式、二倍角公式的“母公式”()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+.抓住了单位圆，就等于抓住了三角公式的“命门”：公式记不清时，可以利用单位圆简单推出；符号拿不准时，可以利用单位圆作出判断；特别是由单位圆推导公式的思路和方法，是解决相关问题的思想武器.分析2 ：由()444πππθθ-=+-，为求tan 4πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值，可从题目条件出发，求出tan 4πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.解法2：因为()222k k k Z ππθπ-<<∈ ，所以22444k k ππππθπ-<+<+.又因为3sin 45πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以4cos 45πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且3tan 44πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ .故tan 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭tan 42ππθ⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝tan 24ππθ⎡⎤⎛⎫--+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝1tan 4πθ-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，结果填43-. 这种解法明显优于第一种，更能体现命题者的意图.课本在章头指出：“三角变换包括变换的对象，变换的目标，以及变换的依据和方法等要素”.另解盯住角，从未知与已知关系中寻求突破，用已知角表示未知角、从中寻求三角变换的依据和方法，获得题目的更优解法.“角”是自变量，是三角变换的根本所在，因此三角变换思维起点是角：盯住未知与已知角的关系（互余、互补、和、差、倍、分），以及角的取值范围；三角变换的基本思想是转化与化归思想；三角变换的基本策略是：找“差异”，立足“化异为同”、消除差异找方法，正用、逆用、变用、联用以至活用公式.备考时，要结合具体题目的解答过程，回归课本，把握三角变换的特点和本质，实行方法创新，以“不变”驭“变”.例2 （2019高考全国卷1理科第12题）已知函数()()sin f x x ωϕ=+（0ω> ，2πϕ≤），4x π=-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴，且()f x 在5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭ 单调，则ω的最大值为A.11B. 9C. 7D. 5分析：为求ω的最大值，可从题目条件出发，得到关于ω、ϕ的方程和不等式，再从特殊值、一个周期内的图象特征出发筛选答案.解法1：因为4,42m m n πωϕπππωϕπ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=+⎪⎩、n Z ∈，所以()()1242n m n m ωππϕ⎧=+-⎪⎨=++⎪⎩.由2πϕ≤得 10n m -≤+≤.由0ω>得，0n m -≥且ω为奇数.当0n m +=即4πϕ=时，取11ω=，这时()sin 114f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，由311242x πππ<+<得，54444x ππ<<.因为55184436πππ<<，所以()f x 在区间5,1844ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是单调递减函数、在区间55,4436ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是单调递增函数，不合题意.同理，ω=7、5不合题意，只有9ω=符合题意. 当1n m +=-即4πϕ=-时，验算知11ω=、9、7不合题意，只有5ω=符合题意.综上所述，ω的最大值为9，结果选B .解法2：由题意知：12π+π 4ππ+π+42k k ωϕωϕ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则21k ω=+，其中k ∈Z .()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调，5π,123618122T ππω∴-=≤≤.接下来用排除法若π11,4ωϕ==-，此时π()sin 114f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()f x 在π3π,1844⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，在3π5π,4436⎛⎫⎪⎝⎭递减，不满足()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调；若π9,4ωϕ==，此时π()sin 94f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，满足()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，故选B ．本题考查正弦函数图象和零点、对称性、单调性等性质，以及数形结合、函数与方程、化归与转化等思想方法.考生的思维障碍不是列方程组、求ω和ϕ的表述式，而是处理整数n m +、n m -，以及验算()f x 在5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的单调性.其实，确定n m +的取值后，取ω的值验算时，为了减少字母运算带来的不便，可以考查函数在一个周期内的单调增区间或减区间，按照周期进行拓展、作出判断；作为一个选择题，本题只需对0n m +=取11ω=、9和对1n m +=-取11ω=三种情况作出判断就可以作出选择.无论是正弦型函数，还是余弦型、正切型函数，无论是奇偶性、单调性、对称性，还是求最值、解方程、不等式，都可以按照三角函数曲线、从一个周期出发按照周期进行拓展.课本是按照从一个周期出发进行拓展的思路探讨三角函数图象的，但是在后续例题列式、求解中带入了“k ”，备考时，要进行两种解题方式的比照，把握其共性，明确从三角函数图象出发、从一个周期出发思考解决问题的道理，化解难点，达到必要的复习深度.理科第17题考查三角形的内角和、周长、面积和正弦定理、余弦定理、诱导公式等知识，以及配方、函数与方程、化归与转化等思想方法.属于中低档题，思路不是问题，影响考生得分主要是表述规范和隐含条件运用等问题.其实，在三角形中常隐含了“内角和为π”、“两边之和大于第三边”、“大边对大角”等条件，解三角形时要特别注意发掘这些隐含条件，建构相应的“条件反射”.备考时，建议还要关注向量与三角的结合问题，以及建构三角函数模型解决“测量”、“潮汐”等问题.不管是哪一类问题，最终往往归结为“化一”、求三角函数在给定区间的最值问题，而隐含在其中的条件“给定区间”，测量着备考高度.模拟训练 1.已知点33sin,cos 44P ππ⎛⎫⎪⎝⎭是以x 轴正半轴为始边的角α的终边上一点，且[)0,2απ∈，则α=A.4πB. 34πC. 54πD. 74π2. 要得到函数)42sin(3π+=x y 的图象，只需将函数x y 2sin 3=的图象A.向左平移4π个单位B.向右平移4π个单位C.向左平移8π个单位D.向右平移8π个单位3.在ABC ∆中，已知︒=45B ，22=c ，334=b ，则=C _____. 4. 设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=______.5.如图，平面四边形ABCD中，AB =AD =CD =，30CBD ∠=，120BCD ∠=.求（Ⅰ）ADB ∠；（Ⅱ）四边形ABCD 的面积S . （二）数学思想数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中，能够迁移并广泛用于相关学科和社会生活.因此，对数学思想和方法的考查必然要与数学知识的考查结合进行，通过对数学知识的考查，反映考生对数学思想和方法理解和掌握的程度.考查时要从学科整体意义和思想价值立意，要有明确的目的，加强针对性，注重通性通法，淡化特殊技巧，有效地检测考生对中学数学知识中所蕴涵的数学思想和方法的掌握程度.1. 数形结合的思想方法 （1）具体特征从“形”入手，直观助思；从“数”突破，验证直觉. （2）考题解析例 3 （2019高考全国卷1文理科第11题）平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，11//CB D α平面,ABCD m α=平面，11ABB A n α=平面，则m ，n 所成角的正弦值为ABDCA.2B.2C.3D.13解法1：如图所示：因为//α平面11CB D ，设平面11CB D 平面1ABCD m =，则1//m m .又因为平面//ABCD 平面1111A B C D ， 平面11B D C平面111111A B C D B D =，所以111//B D m ，故11//B D m .同理，1//CD n .故m 、n 的所成角的大小与11B D 、1CD 所成角的大小相等，即11CD B ∠的大小． 而1111B C B D CD ==，因此113CD B π∠=，即11sin CD B ∠． 解法2：如图，在正方体ABCD －1111A B C D 的下方补两个相同的正方体.因为11//AR B D ，1//AF D C ，可得平面ARF //平面11B CD .由题设可知AR 、AF 分别为m 、n .故m 、n 所成的角即为1B C 、11B D 所成的角，其角度为60.故m 、n 所本题考查线线、线面、面面关系，两异面直线所成角等知识，以及数形结合、化归与转化等思想方法.考生的思维障碍在于根据题意作出图形助思.显然，解2的图形更有利于考生思考、解决问题.求空间角包括求两条异面直线所成角、线面角和面面角，求解的基本路径是：“找（作）——说——求”.“找”是关键，没有现成的就需要“作”，作线线角重点是“平移直线”；作线面角重点是“线面垂直”；作面面角重点也是“线面垂直”.（3）基本类型与学生问题按照题目问题状态，可以分为“题给图形”和“自构图形”两种基本类型.学生的主要问题是：一是没有想到数形结合；二是构图马虎，不能达到“助思”效果；三是构图不够“常态”，产生误导.（4）方法分析数形结合是高中数学的核心思想方法之一.从“形”入手、用数形结合的思想方法，是解答选择、111nm SQ PR H G FE D 1C 1B 1A 1DCBA填空题的重要策略；而由“数”联想到“形”，是一种创造、创新，对学生本身是一个“坎”.建议高三复习时选用恰当的问题进行数形结合的思想立意；同时，结合距离、斜率等数式的几何意义，创造机会让学生思“形”，增长数形结合、由“数”思“形”的见识，激活学生的创新思维.（5）模拟训练① 一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的表面积为 ( ) A.722cm B. 482cm C. ()248122cm + D. ()235122cm +② 将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A －BD －C ，则二面角A －BC －D 的正切值为______.③函数()222548f x x x x x =-++++的最小值为 .④已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数. 当0x ≥时，5sin()0142()1()14x x x f x x π⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩ ，若关于的方程2[()]()0f x af x b ++=（,a b R ∈）,有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．59(,)24-- B ．9(,1)4-- C ．59(,)24--9(,1)4-- D ．5(,1)2-- 2. 转化与化归的思想方法 （1）具体特征归是归宿、目标，转化是为了达到目标所调用的一切手段和方法. （2）考题解析例4 （2019年文科12题）若函数()1sin 2sin 3f x x x a x =-+在(),-∞+∞上单调递增，则a 的取值范围是A.[]1,1-B. 11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D. 11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦解法1：()21cos 2cos 3f x x a x '=-+＝245cos cos 033x a x -++≥在(),-∞+∞上恒成立.令cos t x =，则()[]245,1,133h t t at t =-++∈-，只需()h t 的最小值不小于0即可.因为抛物线开口向下，对称轴为38t a =，当308a <时，最小值为()1103h a =+≥，解得103a -≤<；同理可得103a ≤≤.x综上，a 的取值范围是11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.解法2：同解法1，因为抛物线()y h t =开口向下，所以()()1010h h -≥⎧⎪⎨≥⎪⎩，解得1133a -≤≤，故选C.触发点：①为求a 的取值范围，需要将条件化归为不等式、转化为不等式恒成立问题；②为求函数的导数，需要将sin 2x 转化为2sin cos x x 、运用积的导数法则求导；③可将问题转化为求函数的最小值；④为求函数()y h t =的最小值，运用两种手段：分类讨论、各个击破；“同时限制”、转化为解不等式组.先有化归方向，再有化归方法.（3）基本类型与学生问题为了将生疏问题化归为熟悉问题，常用转化方法有数形转化法，数列中有并项公式法求和、裂项相消法求和、错位相减法求和，恒成立、能成立有更替主元法、分离参变法，转化为求函数的最值等等.学生的主要问题是：一是缺少积累，以致常规的转化方法能够达到什么目标不够清晰；二是审题意识不强，不能预测到目标、找不到方向，转化方法失灵.（4）方法分析转化与化归也是高中数学的核心思想方法之一.归根结底，数学解题就是转化与化归，由题目的初始状态向目标状态转化.转化与化归的思想方法是解答“小题”的利器，特别是一些较难的“小题”，常常转化为利用图形直观去考察，即转化与化归思想方法常与其他数学思想方法结合运用.建议高三复习时，加强预测、估算方面的训练.（5）模拟训练①已知函数12,1()tan(),13x x f x x x π-⎧>⎪=⎨≤⎪⎩，则1()(2)f f =A .3-3②已知各项均为正数的等比数列}{n a 中，465=⋅a a ，则数列{}2log n a 的前10项和为 (A)5 (B)6 (C)10 (D)12③若向量b a ,的夹角为3π11==，则向量a 与向量b a -的夹角为（ ） A.6π B.3πC.32πD.65π④由不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥-≥+1001x y e y x x确定的平面区域为M ，由不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤e y x 010确定的平面区域为N ，在N 内随机的取一点P ，则点P 落在区域M 内的概率为（ ）A.e 231-B. 231e- C. e 11- D. e 21-3. 函数与方程的思想方法： （1）具体特征函数思想集中体现在变量思想、对应与依存关系、运动与变化观点、数形结合观点，函数是特殊的方程；方程不一定是函数，但是大多数方程问题可以转化为函数问题、利用其图象直观求解.（2）考题解析例5 （2019理科21题）已知函数()()2()21xf x x e a x =-+-有两个零点.（I ）求a 的取值范围；（II ）设12,x x 是()f x 的两个零点，证明：122x x +<.解析：（Ⅰ）当1x =时，()10f e =-<，所以1x =不是函数零点.当1x ≠时，由()0f x =得()()221x x e a x -=-.设()()()221x x e g x x -=-，则()()()23451x e x x g x x --+'=-. 当1x <时，()0g x '>；当1x >时，()0g x '<.故函数()g x 在(),1-∞上单调递增、在()1,+∞上单调递减.在同一坐标系中画出函数()y g x =、y a =的图象可知，当0a >时两函数图象必有两个交点，故所求a 的取值范围为()0,+∞.（Ⅱ）设()()()11F x f x f x =+--，则()()()1111x x F x x xex e --=-++，且()()11x x F x x e e --'=-.当0x >时，110x x e e --->，()0F x '>.故函数()F x 在()0,+∞上单调递增.又()00F =，所以当0x >时，()()00F x F >=，即当0x >时，()()11f x f x +>-.设12x x <，由（I ）知函数()f x 的极值点为1，则有121,1x x <>.又()20f a =>，所以212x <<.因为()()()()()1222112f x f x f x f x ==+->-.又121,21x x <-<，由（I ）知函数()f x 的单调递减区间为(),1-∞，所以122x x <-，即122x x +<.触发点：第（I ）中，在函数与方程思想的导引下，“一分为二”、将一个函数分解为两个函数，在同一坐标系中画出函数()y g x =、y a =的图象，通过函数图象直观助思，将图形关系转化为数量关系，得到a 的取值范围为()0,+∞.第（II ）中，由()()112x x ++-=、与所要证明结果结构相似，构造函数()()()11F x f x f x =+--，按照函数单调性的定义，沟通函数值大小与自变量大小的关系， 实现“方程（不等式）——函数——图象——方程（不等式）”的相互转化.（3）基本类型与学生问题学生在学习指、对、幂函数的图象和性质的过程中，利用函数的单调性比较相关函数值的大小，使学生第一次接触到构造函数；在学习“函数与方程”时，为了解决函数零点的相关问题，常需要将一个复杂函数的零点问题，通过方程转化为两个较简单函数图象交点的问题，或将两个函数交点的问题，通过方程转化为一个函数的零点问题；在解答恒成立、能成立、最值等问题时，常需要将问题转化为求函数的最值，函数思想、运用构造函数的方法将问题转化为考查函数的最值就成为常态的方法.学生的主要问题：一是缺少函数思想、看不到问题的本质；二是不能把“方程——函数——不等式”联系起来，缺少解决相关问题的经验积累；三是转化的方向感不强，有时甚至将问题复杂化.（4）方法分析函数与方程的思想方法也是高中数学的核心思想方法之一.既常态又习以为常，建议高三复习时，结合具体问题，从易到难，开展小专题研究，对学生进行函数与方程的思想立意，并且与数形结合、化归与转化等数学思想融会，提高学生运用函数与方程思想的水平.至于其他的思想方法，教师可以根据学生的需求、进行合理提升.（5）模拟训练 ①若函数)()(R b xbx x f ∈+=的导函数在区间（1，2）上有零点，则)(x f 在下列区间上单调递增的是A.(]1,-∞-B. ()0,1-C. ()1,0D. ()+∞,2②定义一种新运算：a ⊗b=，已知函数f （x ）=（1+）⊗x 2log，若函数g （x ）=f （x ）﹣k 恰有两个零点，则k 的取值范围为（ ）A ．（1，2]B ．（1，2）C ．（0，2）D ．（0，1） ③已知函数()()()=,ln 24x aa x f x x eg x x e --+=+-，其中e 为自然对数的底数，若存在实数0x ，使()()00-3f x g x =成立，则实数a 的值为（ ）A. -ln 21-B. -1+ln2C. -ln 2D. ln 2④已知函数x e e x f x 2)(-=，方程01)()(2=-++a x af x f 有四个不同的实数根，则a 的取值范围为（ ）A. )1,(2ee +--∞ B. )1,1(2e - C. ),(2e -∞ D. )1,2(22e e -- （三）应用意识与应用能力 1. 考查情况2019年高考数学全国一卷很明显带有注重实际运用的特征.文理的第16题线性规划，以生产利润为模型，考查线性规划；文理的第19题，以成本控制为模型，考查概率统计（分布列）和决策问题；理科的第4题，以乘车上班为模型，考查几何概型.从2019年的全国新课标一卷来看，在数学的应用问题上，试题体现的应用意识大幅增强，除概率统计问题这个常见的实际问题外，在若干个小题中，也都能见到它实际应用的这种意识，在很多的问题中多有体现，考查考生的应用意识，这一点也充分地体现了新课程的理念.另外，对于概率统计的应用问题，全国新课标一卷着重考核统计方面的知识，有注重考查学生“用数据说话”的倾向，这与我们已经进入大数据时代有关.2.考题解析例6（2019高考全国卷1理科第19题）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得柱状图（如图）.以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.（I ）求X 的分布列；（II ）若要求()0.5P X n ≤≥，确定n 的最小值；（III ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在19n =与20n =之中选其一，应选用哪个？解析：（I ）每台机器更换的易损零件数为8，9，10，11，记事件i A 为第一台机器3年内换掉7i +个零件()1,2,3,4i =，记事件i B 为第二台机器3年内换掉7i +个零件()1,2,3,4i =，由题知()()()()()()1341340.2P A P A P A P B P B P B ======，()()220.4P A P B ==.设2台机器共需更换的易损零件数为X ，则X 的可能的取值为16，17，18，19，20，21，22，且()()()11160.20.20.04P X P A P B ===⨯=，()()()()()1221170.20.40.40.20.16P X P A P B P A P B ==+=⨯+⨯=，()()()()()()()132231180.20.20.20.20.40.40.24P X P A P B P A P B P A P B ==++=⨯+⨯+⨯=，()()()()()()()()()14233241190.20.20.20.2P X P A P B P A P B P A P B P A P B ==+++=⨯+⨯0.40.2+⨯0.20.40.24+⨯=，()()()()()()()243342200.40.20.20.40.20.20.2P X P A P B P A P B P A P B ==++=⨯+⨯+⨯=，()()()()()3443210.20.20.20.20.08P X P A P B P A P B ==+=⨯+⨯=， ()()()44220.20.20.04P X P A P B ===⨯=.所以X 的分布列为（II ）因为0.04)0.5X n ≤≥知n 的最小值为19.（III ）购买零件所需费用含两部分，一部分为购买机器时购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用.当19n =时，费用的期望为192005000.210000.0815000.044040⨯+⨯+⨯+⨯=； 当20n =时，费用的期望为202005000.0810000.044080⨯+⨯+⨯=. 综上所述，应选用19n =比较恰当.本试题为“概率统计”类型，属于中档试题，考查频率、概率、分布列、数学期望等基础知识，以及统计思想的应用和数据处理、分析等方面的能力.本试题背景公平，叙述简明易懂；情境新颖，不落俗套，由文字语言和“柱状图”共同提供数据和信息，考查应用意识和解决实际问题的能力.本试题分小题设问，前问的数据既是解答本问的依据，又是解答后问的依据；密切结合教材，既在情理之中，又有意料之外，考查数学的重点内容，以及基本的数学思想方法.本试题问题所涉及的数学知识和方法有一定的深度和广度.对于随机变量X 的每个取值，事件可以分解为独立事件的“积事件”，以及互斥事件的“和事件”，考生的错误在于缺少“基本事件”意识，概率计算公式列错，考查考生提取有价值数据的意识，以及化繁为简的解题策略；对于费用的期望，考生的错误在于按照思维惯性、列出费用的分布列后按照通常求期望的方法求解，考查考生挖掘数据价值、按照数学期望的本质含义求解的创新意识和能力.本试题立意深刻，突出数学在解决实际问题时的价值取向和应用价值.试题中以“现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图”诱导考生的数据思维，向他们传递面对实际问题时的基本做法、基本态度和基本观点，进行“数学育人”；试题中“以频率代替概率”、“以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据”导引考生的价值取向，引导他们按照数据处理的结果展开分析，用“数学的方式”，用数据说话、作出统计推断、进行科学决策.3.考纲解读应用意识体现在：能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决相关学科、生产、生活中简单的数学问题；能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题；能应用相关的数学方法解决问题进而加以验证，并能用数学语言正确地表达和说明.象前面的题目一样，核心在“建模”、“说明”上.应用能力不但强调“建模”、“说明”，而且强调“解模”：如湖南2019年理科第20题“L 路径”问题，建立的函数模型含有多个绝对值，对考生分类整合、解模能力要求相当高，令绝大多数考生望而止步 .4.备考建议：（1）顺应心理诉求，建构数据相关知识.近年来，随着互联网、云计算、手持及移动技术等现代信息技术的飞速发展及应用，人类进入大数据时代.数学高考按照“数学考试的内容和形式都应当有利于中学数学课程改革”的命题思路，2019年高考数学全国新课标试卷加大了“数据分析”的考查力度.上述试题，300多个字符，另加“柱状图”，要求考生能够从给定的大量信息材料中提取有用、有价值的数据，运算求解，分类整合，分析概括一些结论，并能将其应用于解决问题或做出新的判断.“数据分析”是我国高中数学课程标准在修订中提出的六大核心素养（数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析）之一，它包括“数据获取、数据分析、知识建构”三个维度.“数据”不仅指数字，而且指事实或观察的结果，是信息的表现形式和载体，可以是符号、文字、数字、语音、图像、视频等；数据和信息是不可分离的，数据是信息的表达，信息是数据的内涵.“大数据”是从信息量考虑的，具有规模大 (大量：Volume)、类型多 (多样：Variety)、速度快 (高速：Velocity)、价值密度低 (价值：Value)的“4V”特征.尽管新授课关注不够，但在高考复习中，教师还是应该顺应大数据时代学生的心理诉求，关注象上述试题那样“背景新颖、信息量大”的试题或模考题，让学生有机会经历“从大量数据中抽取对研究问题有用的信息”的全过程，建构数据的相关知识.（2）搭建互动平台，培养数据分析能力.数据分析能力集中体现在会收集、整理、分析数据，能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息，并做出判断等方面.其中收集、存储数据是基础，抽取、。