高教版中等职业学校职业高中平面向量的数乘运算教案课件
高中数学必修4平面向量 向量的数乘精品PPT课件
、1、2，
对于任意的向量
以及任意实数
恒有
( 1 a 2 b ) = 1 a 2 b
17
基础知金太识阳教反育网馈
品质来自专业 信赖源于诚信
(1).设
a是非零向量,
是非零实数,下列结论正确的是
( B).
A. a与a的方向相反 C. a a
B. a与2 a的方向相同 D. a a (2). 下列四个说法正确的个数有( C ).
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
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例题分析 金太阳教育网
例1 计算下列各式
((12()) (2 (( 3) )2 ) 1 12) a aa ( (( b 2 ) )2 2 ( (a 1 )b a )) a 3( ( (a b 1 ) ) ba ) ; a
解 : (1) 2
计算下列各式
(1 ) ( 3) 4a 1 a 2
( 2 ) 3 ( a b ) 2 ( a b ) a 5b
( 3 )2 a ( 3 b c ) ( 3 a 2 b c )
a 5 b 2 c
( 4 )t 1 ( t2 )c ( b ) ( t 1 t2 )c ( b )
a A
a+b C
平行四边形
则 对角线 OC= a+b
4
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向量的减法(三角形法则）
如图,已知向量a和向量b,作向量a-b.
b a
o b
a a-b A
作法:
在平面中任取一点o,
B 过O作OA= a
过O作OB= b
则BA= a-b
5
引入新课 金太阳教育网
教案平面向量的数乘运算
平面向量的数乘运算教学目标：1. 理解平面向量的数乘运算概念。
2. 掌握平面向量的数乘运算规则。
3. 能够运用数乘运算解决实际问题。
教学内容：一、平面向量的数乘运算概念1. 引入实数与向量的乘积，即数乘运算。
2. 讲解数乘运算的定义及性质。
二、平面向量的数乘运算规则1. 讲解数乘运算的分配律。
2. 讲解数乘运算的结合律。
3. 讲解数乘运算的单位向量。
三、数乘运算在坐标系中的应用1. 讲解二维坐标系中向量的数乘运算。
2. 讲解三维坐标系中向量的数乘运算。
四、数乘运算与向量长度的关系1. 讲解数乘运算与向量长度的关系。
2. 讲解数乘运算在求向量长度中的应用。
五、数乘运算在向量运算中的应用1. 讲解数乘运算在向量加法中的应用。
2. 讲解数乘运算在向量减法中的应用。
教学方法：1. 采用讲授法，讲解数乘运算的概念、规则及应用。
2. 利用多媒体演示，直观展示数乘运算在坐标系中的应用。
3. 引导学生通过练习，巩固数乘运算的知识。
教学评估：1. 课堂练习：布置有关数乘运算的题目，检查学生掌握情况。
2. 课后作业：布置有关数乘运算的综合题目，要求学生在规定时间内完成。
3. 单元测试：进行有关数乘运算的测试，了解学生对知识的掌握程度。
教学资源：1. 教学PPT：展示数乘运算的概念、规则及应用。
2. 练习题库：提供丰富的数乘运算题目，供学生练习。
3. 坐标系软件：辅助展示数乘运算在坐标系中的应用。
教学建议：1. 在讲解数乘运算概念时，注意与实数的乘法进行对比，帮助学生理解。
2. 在讲解数乘运算规则时，举例说明，让学生更好地掌握。
3. 在数乘运算的应用部分，注重引导学生思考，提高解决问题的能力。
4. 针对不同程度的学生，合理安排课堂练习和课后作业，提高教学效果。
5. 及时进行教学评估，针对学生的薄弱环节进行有针对性的讲解和辅导。
平面向量的数乘运算教学内容：六、数乘运算与向量坐标的关系2. 举例说明数乘运算在坐标系中的应用。
平面向量的加法减法与数乘运算课件
数乘的运算性 质
结合律
$\lambda(\mu\mathbf{a})=(\lambda\mu)\mathbf{a}$。
分配律
$\lambda(\mathbf{a}+\mathbf{b})=\lambda\mathbf{a}+\lambd a\mathbf{b}$。
反交换律
$\lambda\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\lambda(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b})$。
2023
PART 04
平面向量的加法减法与数 乘运算的应用
REPORTING
在物理学中的应用
力的合成
电磁学中的向量表示
在物理中，向量加法可以应用于力的 合成，例如两个力的向量和可以表示 为它们的加法运算。
在电磁学中，向量加法可以用于表示 电磁场中的向量，例如电场强度和磁 场强度。
速度和加速度
速度和加速度是物理学中重要的向量 概念，通过向量加法可以计算出物体 在不同方向上的速度和加速度。
详细描述
2. 这类题目需要学生灵活运用所学知识，进行深入思考 和细致计算。
2023
REPORTING
THANKS
感谢观看
求解向量与轴的夹角
通过数乘运算可以求得向量与 轴之间的夹角。
投影问题
通过数乘运算可以求得一个向 量在另一个向量上的投影。来自 2023PART 03
平面向量的加法减法与数 乘运算的几何意 义
REPORTING
平面向量的几何意 义
01
02
03
04
向量表示为有向线段
向量的起点为线段的起点，终 点为线段的终点
向量的长度和方向
高中数学第六章平面向量及其应用-向量的数乘运算课件及答案
【对点练清】 1．若典例 3 中条件“―A→B ＝2e1－8e2”改为“―A→B ＝2e1＋ke2”且 A，B，D
三点共线，如何求 k 的值？
解：因为 A，B，D 三点共线，所以―A→B 与―B→D 共线．设―A→B ＝λ―B→D (λ∈R)， ∵―B→D ＝―C→D －―C→B ＝2e1－e2－(e1＋3e2)＝e1－4e2，
2e2＝3e1＋6e2， ―B→D ＝―B→C ＋―C→D ＝－5e1＋6e2＋7e1－2e2＝2e1＋4e2， ―A→C ＝―A→B ＋―B→C ＝e1＋2e2－5e1＋6e2＝－4e1＋8e2. (1)―A→D ＝3(e1＋2e2)＝3―A→B ，∴―A→B 与―A→D 共线． (2)―B→C 与―B→D 不共线．(3)―C→D 与―A→C 不共线．
【对点练清】
1．设向量
a
＝3i＋2j，b
＝2i－j，求13a
－b
－a
－23b
＋(2b
－a
)．
解：原式＝13a －b －a ＋23b ＋2b －a
＝13－1－1a ＋－1＋23＋2b ＝－53a ＋53b
＝－53(3i＋2j)＋53(2i－j)＝－53i－5j.
2．已知 a 与 b ，且 5x＋2y ＝a ,3x－y ＝b ，求 x，y .
知识点一 向量的数乘运算 (一)教材梳理填空 1．向量的数乘运算：
定义
一般地，实数 λ 与向量 a 的积是一个_向__量___，这种运算叫做 向量的数乘，记作 λa
长度
|λa |＝|λ||a |
λ＝0
方 向
λ＞0
λ＝0
λa 的方向与 a 的方向_相__同___ λa ＝_0__
λa 的方向与 a 的方向_相__反___
教案 平面向量的数乘运算
【教学过程】 *揭示课题7.2.3 平面向量的数乘运算 *情境导入有一同学从O 点出发，向东行进，1秒后到达A 点，按照相同的走法，问3秒后人在哪里，用向量怎么表示？观察图7－15可以看出，向量OC 与向量a 共线，并且OC ＝3a ．图7−15*引入新知一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的模为（7．3）若||λ≠a 0，则当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同，当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反．当λ＝0时，λa = 0。
实数λ与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算。
由上面定义可以得到，对于非零向量a 、b ，当0λ≠时，有（7．4）容易验证，对于任意向量a , b 及任意实数λμ、，向量数乘运算满足如下的法则： ()()111=-=-a a a a ， ；()()()()2a a a λμλμμλ== ；()()3a a a λμλμ+=+ ；()()a b a b λλλ+=+４ ． 【做一做】请画出图形来，分别验证这些法则．向量加法及数乘运算在形式上与实数的有关运算规律相类似，因此，实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形，可直接应用于向量的运算中．但是，要注意向量的运算与数a a aaOA BC的运算的意义是不同的． *例题讲解例1 在平行四边形ABCD 中，O 为两对角线交点如图7－16，AB ＝a ，AD ＝b ，试用a , b 表示向量AO 、OD ．例2 计算： （1）（-3）×4a（2）5（a +b ）-2（a -b ） （3）（a +4 b -3c ）-（2 a -3 b -5c ）*练习强化1． 计算：（1）3（a −2 b ）－2（2 a ＋b ）；（2）3 a −2（3 a −4 b ）＋3（a −b ）．2．设a , b 不共线，求作有向线段OA ，使OA ＝12（a ＋b ）． *揭示课题7.4.1 平面向量的内积 *情境导入如图7－21所示，水平地面上有一辆车，某人用100 N 的力，朝着与水平线成︒30角的方向拉小车，使小车前进了100 m ．那么，这个人做了多少功？我们知道，这个人做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积．如图7－22所示，设水平方向的单位向量为i ，垂直方向的单位向量为j ，则F =x i + y j cos30sin 30=⋅+⋅F i F j ，Fs图7—21︒30O图7－16即力F 是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直方向上没有产生位移，没有做功，水平方向上产生的位移为s ，即W ＝｜F ｜cos ︒30·｜s ｜＝100×23·10＝5003 （J ） *引入新知力F 与位移s 都是向量，而功W 是一个数量，它等于由两个向量F ，s 的模及它们的夹角的余弦的乘积，W 叫做向量F 与向量s 的内积,它是一个数量，又叫做数量积．如图7－23，设有两个非零向量a , b ，作OA ＝a , OB ＝b ,由射线OA 与OB 所形成的角叫做向量a 与向量b 的夹角，记作<a ,b>．我们规定，0180θ≤≤两个向量a ,b 的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a 与向量b 的内积，记作a ·b , 即(7.10) 上面的问题中，人所做的功可以记作W ＝F ·s. 由内积的定义可知 a ·0＝0, 0·a ＝0． 由内积的定义可以得到下面几个重要结果：（1） 当<a ,b >＝0时，a ·b ＝|a ||b |；当<a ,b >＝180时，a ·b ＝−|a ||b |. （2） cos<a ,b >＝||||⋅a ba b . （3） 当b ＝a 时，有<a ,a >＝0，所以a ·a ＝|a ||a |＝|a |2，即|a |.（4） 当,90a b <>=时，a ⊥b ，因此，a ·b ＝cos900,a b ⋅=因此对非零向量a ，b ，有a ·b ＝0⇔a ⊥b.可以验证，向量的内积满足下面的运算律： （1） a ·b ＝b ·a ．（2） (a λ)·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )． （3）(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ．注意：一般地，向量的内积不满足结合律，即a ·(b ·c )≠（a ·b ）·c .B*例题讲解60,求a·b．例1 已知|a|＝3,|b|＝2, <a,b>＝︒-,求<a,b>．例2 已知|a|＝|b|＝2,a·b＝2*练习强化60，求a·b．1. 已知|a|＝7，|b|＝4，a和b的夹角为︒2. 已知a·a＝9,求|a|．30，求(2a＋b)·b．3. 已知|a|＝2,|b|＝3, <a,b>＝︒*归纳小结向量的数乘运算得到的是什么向量？向量的内积运算得到的是什么？。
高教版中职数学(基础模块)下册7.1《平面向量的概念及线性运算》ppt课件1
【例2】:如图，设O是正六边形的中心，分别写 出图中与向量 、 相等的向量， OA 、 OC 负向 OB OC B A 量。
C
O
F
D
E
解：
B
A
OA CB DO
OB DC EO
O
C F
OC AB ED FO
D E
OC BA DE OF
下面几个命题：
（1）若a = b， b = c，则a = c。
两个向量a、 b，其差a − b仍然是一
个向量，其起点是减向量b的终点，
B b O a
A
终点是被减向量a的终点．
a
b
b
O
a (b)
a
b
a b
向量减法法则
a
a
ab
b b
B
A
O
a
ba
A
b
B
作法：在平面内任取一 点O, 作OA a, OB b, 则BA a b.
• 要点:1.平移到同一起点；2.指向被减向量.
向量加法法则总结与拓展
• 向量加法的三角形法则: – 1.将向量平移使得它们首尾相连 – 2.和向量即是第一个向量的首指向第二个向量的尾 • 向量加法的平行四边形法则: – 1.将向量平移到同一起点 – 2.和向量即以它们作为邻边平行四边形的共起点的 对角线 • 三角形法则推广为多边形法则：
多个向量相加， 如：AB BC CD DE EF AF ，
任一组平行向量都可移到同一条直线上,平行向量也叫
共线向量 规定：零向量与任一向量平行
记作:
0 // a
3. 向量的负向量：长度相等且方向相反的向量。
教案平面向量的数乘运算
教案：平面向量的数乘运算教学目标：1. 理解平面向量的数乘运算概念。
2. 掌握平面向量的数乘运算规则。
3. 能够运用数乘运算解决实际问题。
教学内容：一、平面向量的数乘运算概念1. 引入向量的概念，回顾向量的定义和表示方法。
2. 引入数乘运算的概念，解释数乘运算的含义。
二、平面向量的数乘运算规则1. 展示平面向量的数乘运算例子，引导学生总结数乘运算的规律。
2. 讲解平面向量的数乘运算规则，包括标量与向量的乘法以及向量的数乘。
三、数乘运算的性质1. 引导学生思考数乘运算的性质，如交换律、结合律等。
2. 讲解数乘运算的性质，并通过示例进行说明。
四、数乘运算在实际问题中的应用1. 给出实际问题，引导学生运用数乘运算进行解决。
2. 讲解数乘运算在实际问题中的应用方法，如速度和加速度的合成等。
五、巩固练习1. 提供练习题，让学生独立完成，巩固对数乘运算的理解和应用。
2. 解答学生的问题，给予指导和帮助。
教学资源：1. 教学PPT或黑板，用于展示向量和数乘运算的示例和性质。
2. 练习题，用于巩固学生的理解和应用能力。
教学评估：1. 课堂讲解的清晰度和连贯性。
2. 学生对数乘运算的理解程度和应用能力。
3. 学生练习题的完成情况。
教学时间安排：1. 第一节课：介绍平面向量的数乘运算概念。
2. 第二节课：讲解平面向量的数乘运算规则。
3. 第三节课：讲解数乘运算的性质。
4. 第四节课：讲解数乘运算在实际问题中的应用。
5. 第五节课：巩固练习和解答学生问题。
教案：平面向量的数乘运算（续）六、数乘运算与向量长度的关系1. 回顾向量长度的定义和计算方法。
2. 讲解数乘运算与向量长度的关系，引导学生理解数乘运算对向量长度的影响。
七、数乘运算与向量方向的关系1. 讲解数乘运算与向量方向的关系，包括数乘运算对向量方向的影响。
2. 引导学生通过示例理解数乘运算对向量方向的影响。
八、数乘运算的逆元素1. 引入逆元素的概念，解释数乘运算的逆元素。
教案平面向量的数乘运算
平面向量的数乘运算教学目标：1. 理解平面向量的数乘运算概念。
2. 掌握平面向量的数乘运算规则。
3. 能够运用数乘运算解决实际问题。
教学内容：第一章：平面向量数乘运算的概念1.1 向量的概念回顾1.2 数乘运算的定义1.3 数乘运算的性质第二章：平面向量的数乘运算规则2.1 数乘运算的分配律2.2 数乘运算的结合律2.3 数乘运算的单位向量第三章：数乘运算在坐标系中的应用3.1 坐标系的回顾3.2 数乘运算在坐标系中的表示3.3 数乘运算在坐标系中的应用举例第四章：数乘运算与向量长度的关系4.1 向量长度的概念回顾4.2 数乘运算与向量长度的关系4.3 数乘运算在求向量长度中的应用第五章：数乘运算与向量方向的关系5.1 向量方向的概念回顾5.2 数乘运算与向量方向的关系5.3 数乘运算在改变向量方向中的应用教学方法：1. 采用讲授法，讲解平面向量数乘运算的概念、规则及其应用。
2. 通过示例和练习，让学生熟练掌握数乘运算的计算方法。
3. 利用坐标系，直观地展示数乘运算在实际问题中的应用。
教学评估：1. 课堂练习：布置相关的习题，检查学生对数乘运算的理解和掌握程度。
2. 课后作业：布置综合性较强的题目，巩固学生对数乘运算的应用能力。
3. 单元测试：进行全面的测试，评估学生对平面向量数乘运算的整体掌握情况。
教学资源：1. 教学PPT：制作精美的PPT，展示平面向量数乘运算的概念、规则及应用。
2. 坐标系模型：准备实物或电子模型，直观展示数乘运算在坐标系中的应用。
3. 练习题库：收集相关的习题，供课堂练习和课后作业使用。
第六章：数乘运算与向量加法的结合6.1 向量加法的概念回顾6.2 数乘运算与向量加法的结合规则6.3 数乘运算在向量加法中的应用举例第七章：数乘运算与向量减法的结合7.1 向量减法的概念回顾7.2 数乘运算与向量减法的结合规则7.3 数乘运算在向量减法中的应用举例第八章：数乘运算与向量数乘的结合8.1 向量数乘的概念回顾8.2 数乘运算与向量数乘的结合规则8.3 数乘运算在向量数乘中的应用举例第九章：数乘运算在实际问题中的应用9.1 数乘运算在物理学中的应用9.2 数乘运算在工程学中的应用9.3 数乘运算在其他领域的应用第十章：总结与拓展10.1 数乘运算的总结10.2 数乘运算的拓展学习10.3 数乘运算在后续课程中的应用教学方法：1. 采用讲授法，讲解数乘运算与向量加法、减法、数乘的结合规则及其应用。
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仔细 分析 讲解 关键 词语
理解 记忆
引导 启发 学生 得出 结论 78
1 1 所以需要首先分别求 AC , OD BD ， 2 2
出向量 AC 与 BD . 强调 含义 思考 求解 注意 观察
图 7－16
解
AC
学生 是否 理解 领会 说明
＝a＋b, BD ＝b −a， 因为 O 分别为 AC，BD 的中点，所以
动手 求解
自我 发现 归纳 83
回答
及时 了解 学生 知识 掌握 情况 85
AB ．
a 与向量 b 的模相等并且方向相同时，称向量 a 与向量 b 相等，记作 a = b ． *归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？ *自我反思 目标检测 本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？ 你的学习效果如何？ 计算： （1） AB ＋ BC ＋ CD ； （2） OB ＋ BC ＋ CA ． 提问 反思 引导 回忆
知识 点
1 1 1 1 AO AC （a＋b）＝ a＋ b， 2 2 2 2
OD ＝
1 1 1 1 BD ＝ （b −a）＝− a+ b． 2 2 2 2
1 1 1 1 例 6 中， a＋ b 和− a+ b 都叫做向量 a， b 的线性组 2 2 2 2
合，或者说， AO 、 OD 可以用向量 a，b 线性表示． 一般地， a＋ b 叫做 a, b 的一个线性组合 （其中 , 均 为系数） ．如果 l ＝ a＋ b，则称 l 可以用 a，b 线性表示． 81 向量的加法、减法、数乘运算都叫做向量的线性运算． *运用知识 强化练习 1． 计算： （1）3（a −2 b）－2（2 a＋b） ； （2）3 a −2（3 a −4 b）＋3（a −b） ． 启发 引导 思考 了解 可以 交给 学生 思考 求解
【做一做】 请画出图形来，分别验证这些法则．
向量加法及数乘运算在形式上与实数的有关运算规律相 类似，因此，实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形， 可直接应用于向量的运算中．但是，要注意向量的运算与数的 运算的意义是不同的． *巩固知识 典型例题 例 6 在平行四边形 ABCD 中，O 为两对角线交点如图 7－ 16， AB ＝a ， AD ＝b，试用 a, b 表示向量 AO 、 OD ． 分析 因为 AO
*创设情境 兴趣导入 观察图 7－15 可以看出，向量 OC 与向量 a 共线，并且
OC ＝3a．
质疑
思考 引导 启发 学生
a a O A a B 图 7−15 *动脑思考 探索新知 一般地，实数 与向量 a 的积是一个向量，记作 a，它 的模为 a C 引导 分析 参与 分析
思考
74
| a || || a |
检验 学生 学习 巡视 指导 动手 求解 88 效果
*继续探索 活动探究 (1)读书部分：教材 (2)书面作业：教材习题 7．1 A 组（必做） ；7．1 B 组 （选做） (3)实践调查：试着用向量的观点解释生活中的一些问题 90 【教师教学后记】 项目 反思点 说明 记录 分层 次要 求
学生是否真正理解有关知识； 学生知识、技能的掌握情况 是否能利用知识、技能解决问题； 在知识、技能的掌握上存在哪些问题； 学生是否参与有关活动； 学生的情感态度 在数学活动中，是否认真、积极、自信； 遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服； 学生是否积极思考； 思维是否有条理、灵活； 学生思维情况 是否能提出新的想法； 是否自觉地进行反思； 学生是否善于与人合作； 学生合作交流的情况 在交流中，是否积极表达； 是否善于倾听别人的意见； 学生是否愿意开展实践； 能否根据问题合理地进行实践； 学生实践的情况 在实践中能否积极思考； 能否有意识的反思实践过程的方面；
1a a ， 1 1 a a ；
a ∥ b a b
ห้องสมุดไป่ตู้
总结 归纳
思考 归纳
带领 学生 分析
（7．4）
理解 记忆
2 a a a ； 3 a a a；
４ a b a b．
提问 1 2． 设 a, b 不共线， 求作有向线段 OA ， 使 OA ＝ （a＋b） ． 2 巡视 指导 *理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题： 向量、向量的模、向量相等是如何定义的？ 质疑 结论： 当一种量既有大小，又有方向，例如力、速度、位移等， 这种量叫做向量（矢量） 归纳 向量的大小叫做向量的模．向量 a, AB 的模依次记作 a ， 强调
（7．3）
若 | a | 0，则当 ＞0 时， a 的方向与 a 的方向相同， 当 ＜0 时， a 的方向与 a 的方向相反． 由上面定义可以得到，对于非零向量 a、b，当 0 时， 有 一般地，有 0a= 0, 0 = 0 ． 数与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算，容易验证，对 于任意向量 a, b 及任意实数 、 ，向量数乘运算满足如下的 法则：