重庆2021年中考数学专题二次函数(新题型)(无答案)
2021年重庆年中考二次函数综合专题练习
2021年重庆年中考25题二次函数综合专题练习（11月中旬期中集合）1（一外2021级初三上期中测试）如果，直线3y x =-与x 轴，y 轴分别交于B 、C 两点，点A 为x 轴上一点，抛物线2y x bx c =++恰好经过A 、B 、C 三点，对称轴分别与抛物线交于点D ，与x 轴交于点E ，连接AC 、EC ， （1）求抛物线的解析式（2）点P 是抛物线上异于点D 的一动点，若PBCAECSS=求此时点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，若P 在BC 下方，Q 是直线PO 上一点，M 是射线PC 上一点，请问对称轴上是否存在一点N ，使得P 、Q 、M 、N 构成以PN 为对角线的菱形，若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明.2（南开2021级初三上期中测试）抛物线21+4y x bx c =-+与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且A （2,0），B （-6,0）.（1）求抛物线以及直线BC 的解析式；（2）如图1，点P 是直线BC 上方抛物线的一动点，谷点P 作PQ//y 轴交直线BC 于点Q ，点T 在直线QB 上，连接PT ，若△PQT 是以PQ 为底的等腰三角形，则△PQT 的周长是否存在最大值？若存在，求出周长的最大值以及此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，过点A 作AF//y 轴交直线BC 于点F ，点D 是抛物线的顶点，连接BD 、CD 、OF,△OAF 沿射线AB 防线以每秒1个单位长度运动，运动时间为t （t>0），当点F 与点D 重合时立即停止运动，设运动过程中△OAF 与四边形OCDB 重叠部分面积为S ，请直接写出S 与t 的函数关系式.3（育才2020级初三上期中考试）如图，在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =--与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C.（1）求直线BC 的解析式；（2）若点P 为抛物线上一动点，当点P 运动到某一位置时，43ABPABC SS =,求此时点P 的左边.（3）若将△AOC 沿射线CB 方向平移，平移后的三角形记为111A O C △,连接1A A 交抛物线于M 点，是否存在点1C ,使得1AMC △为等腰三角形？若存在，直接写出1C 点横坐标；若不存在，请说明理由.4（一中共同体2021级初三上期中测试）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线223=-++与x轴交y x x=+恰好经过于A、B两点，与y轴交于点D，抛物线顶点为E，C、D两点关于抛物线的对称轴对称，直线y kx bA、C两点.（1）求直线AC的解析式；（2）设点P是直线AC上方抛物线上的一动点，求当△PAC的面积取得最大值时，求此时点P的坐标；（3）若点M在此抛物线上，点N在对称轴上，则以A、C、M、N为顶点的四边形能否成为以AC为边的平行四边形？若能，请直接写出所有满足要求的点M的坐标；若不能，请说明理由.5（巴蜀2021级初三上期中测试）如图，点A 在抛物线26y x x =-+上，且横坐标为1，点B 与点A 关于抛物线的对称轴对称，直线AB 与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点，点E 的坐标为（2,2）. （1）求线段AB 的长；（2）点P 为线段AB 上方抛物线上的任意一点，P 作AB 的垂线交AB 于点H ，点F 为y 轴上一点，当△PBE 的面积最大时，求PH HF +的最小值；（3）在（2）中，2PH HF ++取得最小值时，将△CFH 绕点C 顺时针旋转60后得到''CF H △,过点'F 作'CF 的垂直与直线AB 交于点Q ，点R 为y 轴上一动点，M 为平面直角坐标系中的一动点，是否存在使以点D 、Q 、R 、M 为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点R 的坐标；若不存在，请说明理由.6（八中2021级初三上期中测试）如图1，抛物线)0(32≠++=a bx ax y 与x 轴交于点A （－3，0）和B（1，0）两点，与y 轴交于点C （1）求该抛物线的函数表达式；（2）P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，过点P 作PD ∥y 轴交AC 于点D ，过点P 作PE ⊥AC 于点E ，过点E 作EF ⊥y 轴于点F ，求出PD +EF 的最大值及此时点P 的坐标；M ，点N 为，N ，H 为顶点的四边7（南开2021级初三上阶段测试二）如图，抛物线21322y x x =-++与坐标轴分别交于A ，B ，C 三点，D 是抛物线的顶点，连接BC ，BD ，（1）求点D 的坐标及直线BC 的解析式；（2）点P 是直线BC 上方抛物线上的一点，E 为BD 上一动点，当PBC 面积为2716时，求点P 的坐标，并求出此时2PE BE +的最小值； （3）在（2）的条件下，延长PE 交x 轴于点F ，在抛物线的对称轴上是否存在一点Q ，使得PFQ △为直角三角形？若存在请直接写出点Q 的坐标，若不存在请说明理由．8（十八中2021级初三上周测五）如图1，抛物线21333y x x =--+与x 轴交于点A 、B 两点，与y 轴交于点C,连接AC 、BC. （1）求线段AC 的长；（2）如图2，E 为抛物线的顶点，F 为AC 上方的抛物线上一动点，M 、N 为直线AC 上的两动点（M 在N 的左侧），且MN=4，作FP ⊥AC 于点P ，FQ//y 轴交AC 于点Q ，当△FPQ 的面积最大时，连接EF 、EN 、FM,求四边形ENMF 周长的最小值.（3）如图3，将△BCO 沿x '''B C O △,再将'''B C O △绕点'O 顺时针旋转α度，得到'''''B C O △（其中0180α<<），旋转过程中直线''''B C 与直线AC 交于点G ，与x 轴交于点H ，当△AGH 时等腰三角形时，求α的度数.9（八中2021级九上周测六）如图1，抛物线与坐标轴分别交于A（-1,0），B（3,0），与y轴交于C点，D是抛物线的顶点且纵坐标为2.（1）求点D的坐标及直线BC的解析式；（2）如图2，连接BD，P点为BD上方抛物线一点，过点P作PH⊥BD于H，过P点作y轴平行线交BC于E，有最大值时的P点坐标及最大值为多少？PE（3）在抛物线对称上有一点M ，在平面直角坐标系中有一点N ，使以B 、C 、M 、N 为顶点的四边形为矩形，求出N 点坐标.10（八中2021级九上定时训练八）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于点A （-1,0），B （6,0）两点，与y 轴交于点C （0,3），顶点为D. （1）求该抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上且位于直线BC 上方的一个动点，过点P 作PQ//y 轴交BC 于点Q ，求5PQ CQ +的最大值及此时点P 的坐标；（3）如图2，将原抛物线向右下方平移得到抛物线'y ，使得'y 的顶点在直线BC 上且过点F （2，-1），'y 与原抛物线相交于点E ，点G 我射线BC 上的一动点，是否存在点G ，使得180DBE BEG ∠+∠=,若存在，请直接写出点G 的坐标；若不存在，请说明理由.11（一中2021级初三上国庆作业一）如图，已知抛物线y＝﹣x2+x﹣4与x轴交于A、B两点（点A在点B 的左侧），与y轴交于点C．（1）连接BC，P是线段BC上方抛物线上的一动点，过点P作PH⊥BC于点H，当PH长度最大时，在△APB 内部有一点M，连接AM、BM、PM，求AM+BM+PM的最小值．（2）若点D是OC的中点，将抛物线y＝﹣x2+x﹣4沿射线AD方向平移个单位得到新抛物线y′，C′是抛物线y′上与C对应的点，抛物线y'的对称轴上有一动点N，在平面直角坐标系中是否存在一点S，使得C′、N、B、S为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点S的坐标；若不存在，请说明理由．12（巴蜀2021级初三上第一次月考）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线6332612++-=x x y 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C 。
2021年九年级数学重庆中考22题新型函数研究专题(2)(无答案)
2021重庆年中考12题反比例函数综合专题（2）1（巴蜀2021级初三上第一次月考）在函数的学习中，我们经历了“确定函数表达式—华函数图像—利用图像研究函数性质—利用图像解决问题”的学习过程在画函数图像时，我们常常通过描点法画函数图像，已知函数，2(50)21(x 2)4(x 0)4kx x y ⎧-≤<⎪⎪+=⎨⎪--+≥⎪⎩探究函数的表达式，函数和性质。
解决问题的过程：（1）下表是y 与x 的几组值，则函数表达式中的k= ，表格中的a= .（2）在平面直角坐标系中，补全描出表格中数据对应的各点，补全函数图像；（3）观察函数2(50)21(x 2)4(x 0)4kx x y ⎧-≤<⎪⎪+=⎨⎪--+≥⎪⎩的图像，请描述该函数（x ≥0时）性质： ；（4）若直线y=m （m 为常数）与该函数图像有且仅有两个交点，则m 的取值范围为 。
2（重一外2021级九上第一次月考）某班兴趣小组对函数21mxyx+=-的图像和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整。
（1）x与y的几组对应值列表如下：其中，m= ，n= 。
（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，请画出该函数的图像；（3）观察函数图像，写出一条函数的性质：。
（4）若关于x的方程2=1mxax+-有两个实数根，则a的取值范围是。
3（重庆西师附中2021级九上次定时训练）我们学习用过列表、描点、连线的方法作出函数图像，探究函数性质，请运用已有的学习经验，画出函数2182y x =-+的图像并探究该函数的性质，列表如下：（1）直接写出a 、b 的值：a= ，b ，并描点、连线，在所给平面直角坐标系中画出该函数图像；（2）观察函数图像，写出该函数的两条性质：性质1： ；性质2：（3）请结合所画函数图像，直接写出不等式218212x x ->-++的解集.4（重庆一中2021级九上第一定时练习）在研究函数的性质时，我们通过列表、描点、连线画出函数图像，并结合函数的图像研究函数的性质，结合已有的学习经验，请画出函数2262x y x =+的图像并研究该函数图像的性质.（1）直接写出表中a,b 的值，并在所给的平面直角坐标系中画函数图像；（2）观察函数图像，判断下列关于函数的性质的说法是否正确；①该函数2262xyx=+的图像关于y轴对称②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值；③当x>0时，y随x的增大而增大，当x<0，y随x的增大而减小；（3）请画出函数2833y x=+的吐下，结合你所画的函数图像，直接写出不等式22628233xxx>++的解集。
2021年重庆中考25题二次函数综合专题(八中试题集) (无答案)
2021年重庆年中考25题二次函数综合专题（八中试题集）1（八中2020级初三下定时训练九）如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣2+bx+c 经过B、C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E是抛物线上的一动点（不与B，C两点重合），当S△BEC＝S△BOC时，求点E的坐标；（3）若点F是抛物线上的一动点，当S△BFC为什么取值范围时，对应的点F有且只有两个？2（八中2020级初三下定时训练五））如图，在平⾯直⻆坐标系中，⾯次函数y＝ax2+bx+c的图象与直线AB交于A、B两点，A（1，﹣）、B（﹣2，0），其中点A是抛物线y＝ax2+bx+c的顶点，交y轴于点D．（1）求⾯次函数解析式；（2）如图1，点P是第四象限抛物线上⾯动点，若∠PBA＝∠BAD，抛物线交x轴于点C．求△BPC的⾯积；（3）如图2，点Q是抛物线第三象限上⾯点（不与点B、D重合），连接BQ，以BQ为边作正⾯形BEFQ，当顶点E或F恰好落在抛物线对称轴上时，直接写出对应的Q点的坐标．3（八中2020级初三下定时训练八）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝x+2交于C、D两点，其中点C在y 轴上，点D的坐标为（3，）．点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由．（3）若存在点P，使∠PCF＝45°，请直接写出相应的点P的坐标．4（八中2021级初三上第一次月考模拟）己知抛物线与x轴交于点A（﹣2，0）、B（3，0），与y轴交于点C（0，4）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P是抛物线上位于第一象限内的一点，当四边形ABPC的面积最大时，求出四边形ABPC的面积最大值及此时点P的坐标．（3）如图2，将抛物线向右平移个单位，再向下平移2个单位．记平移后的抛物线为y'，若抛物线y'与原抛物线对称轴交于点Q．点E是新抛物线y'对称轴上一动点，在（2）的条件下，当△PQE是等腰三角形时，求点E的坐标．5（八中2020级初三上定时练习十四）已知：抛物线y =ax 2 +bx +c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，线段OB 、OC 的长（OB<OC ）是方程x 2-10x +16=0的两个根，且抛物线的对称轴是直线2-=x .(1)求此抛物线的表达式；(2)若点E 是线段AB 上的一个动点（与点A 、B 不重合），过点E 作EF ∥AC 交BC 于点F ，连接CE ，设AE 的长为m ，△CEF 的面积为S ，求S 的最大值；(3)若点M 在抛物线的对称轴上，P 是平面坐标系上一点，在抛物线上是否存在一点N ，使以P 、C 、M 、N 为顶点的四边形是正方形？如果存在，请写出满足条件的点N 的坐标；如果不存在，请说明理由。
2021年九年级数学中考复习专题：二次函数综合(考察动点坐标、长度、面积等)(一)
2021年九年级数学中考复习专题：二次函数综合（考察动点坐标、长度、面积等）（一）1．如图，抛物线y＝x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与A重合），过点P作PD∥y轴交直线AC于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；（3）△APD能否构成直角三角形？若能，请直接写出所有符合条件的点P坐标；若不能，请说明理由．2．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点B坐标为（3，0），点C坐标为（0，3）．（1）求抛物线的表达式；（2）点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标；（3）如图2，点M为该抛物线的顶点，直线MD⊥x轴于点D，在直线MD上是否存在点N，使点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C．已知点D的坐标为（﹣1，0），点P为第二象限内抛物线上的一个动点，连接AP、PC、CD．（1）求这个抛物线的表达式．（2）当四边形ADCP面积等于4时，求点P的坐标．（3）①点M在平面内，当△CDM是以CM为斜边的等腰直角三角形时，直接写出满足条件的所有点M的坐标；②在①的条件下，点N在抛物线对称轴上，当∠MNC＝45°时，直接写出满足条件的所有点N的坐标．4．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，点A，B分别位于原点的左、右两侧，BO＝3AO＝3，过点B的直线与y轴正半轴和抛物线的交点分别为C，D，BC＝CD．（1）求b，c的值；（2）求直线BD的函数解析式；（3）点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方，点Q在射线BA上．当△ABD与△BPQ相似时，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．5．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴相交于点C，M是抛物线的顶点，直线x＝1是抛物线的对称轴，且点C的坐标为（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）已知P为线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D．若PD＝m，△PCD的面积为S．①求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；②当S取得最值时，求点P的坐标．（3）在（2）的条件下，在线段MB上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．6．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与直线BC交于点D．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使|BM﹣CM|的值最大，求出点M的坐标；（3）点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，直接写出点E的坐标．7．如图1，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A，B两点，其中点A的坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）点D为y轴上一点，如果直线BD与直线BC的夹角为15°，求线段CD的长度；（3）如图2，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO，求点P的坐标．8．已知二次函数图象过点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4）．（1）求二次函数的解析式．（2）如图，当点P为AC的中点时，在线段PB上是否存在点M，使得∠BMC＝90°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）点K在抛物线上，点D为AB的中点，直线KD与直线BC的夹角为锐角θ，且tanθ＝，求点K的坐标．9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点A（0，2），与x轴交于B（﹣3，0）、C两点（点B在点C的左侧），抛物线的顶点为D．（1）求抛物线的表达式；（2）用配方法求点D的坐标；（3）点P是线段OB上的动点．①过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，若PE＝PC，求点E的坐标；②在①的条件下，点F是坐标轴上的点，且点F到EA和ED的距离相等，请直接写出线段EF的长；③若点Q是射线OA上的动点，且始终满足OQ＝OP，连接AP，DQ，请直接写出AP+DQ的最小值．10．如图1，已知：抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）交x轴于A，C两点，交y轴于点B，且OB ＝2CO．（1）求二次函数解析式；（2）在二次函数图象（如图2）位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点P，使得△ABP为直角三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），∴，解得，∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3；（2）令x＝0，则y＝3，∴点C（0，3），则直线AC的解析式为y＝﹣x+3，设点P（x，x2﹣4x+3），∵PD∥y轴，∴点D（x，﹣x+3），∴PD＝（﹣x+3）﹣（x2﹣4x+3）＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣）2+，∵a＝﹣1＜0，∴当x＝时，线段PD的长度有最大值；（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，此时，点P（1，0），②∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），∵A（3，0），∴点P为在抛物线顶点时，∠PAD＝45°+45°＝90°，此时，点P（2，﹣1），综上所述，点P（1，0）或（2，﹣1）时，△APD能构成直角三角形．2．解：（1）∵点B（3，0），点C（0，3）在抛物线y＝﹣x2+bx+c图象上，∴，解得：，∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）∵点B（3，0），点C（0，3），∴直线BC解析式为：y＝﹣x+3，如图，过点P作PH⊥x轴于H，交BC于点G，设点P（m，﹣m2+2m+3），则点G（m，﹣m+3），∴PG＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，＝×PG×OB＝×3×（﹣m2+3m）＝﹣（m﹣）2+，∵S△PBC有最大值，∴当m＝时，S△PBC∴点P（，）；（3）存在N满足条件，理由如下：∵抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点，∴点A（﹣1，0），∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点M为（1，4），∵点M为（1，4），点C（0，3），∴直线MC的解析式为：y＝x+3，如图，设直线MC与x轴交于点E，过点N作NQ⊥MC于Q，∴DE＝4＝MD，∴∠NMQ＝45°，∵NQ⊥MC，∴∠NMQ＝∠MNQ＝45°，∴MQ＝NQ，∴MQ＝NQ＝MN，设点N（1，n），∵点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离，∴NQ＝AN，∴NQ2＝AN2，∴（MN）2＝AN2，∴（|4﹣n|）2＝4+n2，∴n2+8n﹣8＝0，∴n＝﹣4±2，∴存在点N满足要求，点N坐标为（1，﹣4+2）或（1，﹣4﹣2）．3．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0），∴抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+2ax﹣3a，即﹣3a＝2，解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣x+2；（2）连接OP，设点P（x，﹣x2﹣x+2），∵抛物线y＝﹣x2﹣x+2交y轴于点C，∵S ＝S 四边形ADCP ＝S △APO +S △CPO ﹣S △ODC ＝×AO ×y P +×OC ×|x P |﹣×CO ×OD ＝4，∴×3×（﹣x 2﹣x +2）+×2×（﹣x ）﹣×1×2＝4，∴x 1＝﹣1，x 2＝﹣2， ∴点P （﹣1，）或（﹣2，2）；（3）①如图2，若点M 在CD 左侧，连接AM ，∵∠MDC ＝90°，∴∠MDA +∠CDO ＝90°，且∠CDO +∠DCO ＝90°， ∴∠MDA ＝∠DCO ，且AD ＝CO ＝2，MD ＝CD ， ∴△MAD ≌△DOC （SAS ）∴AM ＝DO ，∠MAD ＝∠DOC ＝90°， ∴点M 坐标（﹣3，1），若点M 在CD 右侧，同理可求点M '（1，﹣1）； ②如图3，∵抛物线的表达式为：y ＝﹣x 2﹣x +2＝﹣（x +1）2+；∴对称轴为：直线x ＝﹣1，∴点D在对称轴上，∵MD＝CD＝M'D，∠MDC＝∠M'DC＝90°，∴点D是MM'的中点，∵∠MCD＝∠M'CD＝45°，∴∠MCM'＝90°，∴点M，点C，点M'在以MM'为直径的圆上，当点N在以MM'为直径的圆上时，∠M'NC＝∠M'MC＝45°，符合题意，∵点C（0，2），点D（﹣1，0）∴DC＝，∴DN＝DN'＝，且点N在抛物线对称轴上，∴点N（﹣1，），点N'（﹣1，﹣）延长M'C交对称轴与N''，∵点M'（1，﹣1），点C（0，2），∴直线M'C解析式为：y＝﹣3x+2，∴当x＝﹣1时，y＝5，∴点N''的坐标（﹣1，5），∵点N''的坐标（﹣1，5），点M'（1，﹣1），点C（0，2），∴N''C＝＝M'C，且∠MCM'＝90°，∴MM'＝MN''，∴∠MM'C＝∠MN''C＝45°∴点N''（﹣1，5）符合题意，综上所述：点N的坐标为：（﹣1，）或（﹣1，﹣）或（﹣1，5）．4．解：（1）∵BO＝3AO＝3，∴点B（3，0），点A（﹣1，0），∴抛物线解析式为：y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣x﹣，∴b＝﹣，c＝﹣；（2）如图1，过点D作DE⊥AB于E，∴CO∥DE，∴，∵BC＝CD，BO＝3，∴＝，∴OE＝，∴点D横坐标为﹣，∴点D坐标为（﹣，+1），设直线BD的函数解析式为：y＝kx+b，由题意可得：，解得：，∴直线BD的函数解析式为y＝﹣x+；（3）∵点B（3，0），点A（﹣1，0），点D（﹣，+1），∴AB＝4，AD＝2，BD＝2+2，对称轴为直线x＝1，∵直线BD：y＝﹣x+与y轴交于点C，∴点C（0，），∴OC＝，∵tan∠CBO＝＝，∴∠CBO＝30°，如图2，过点A作AK⊥BD于K，∴AK＝AB＝2，∴DK＝＝＝2，∴DK＝AK，∴∠ADB＝45°，如图，设对称轴与x轴的交点为N，即点N（1，0），若∠CBO＝∠PBO＝30°，∴BN＝PN＝2，BP＝2PN，∴PN＝，BP＝，当△BAD∽△BPQ，∴，∴BQ＝＝2+，∴点Q（1﹣，0）；当△BAD∽△BQP，∴，∴BQ＝＝4﹣，∴点Q（﹣1+，0）；若∠PBO＝∠ADB＝45°，∴BN＝PN＝2，BP＝BN＝2，当△DAB∽△BPQ，∴，∴，∴BQ＝2+2∴点Q（1﹣2，0）；当△BAD∽△PQB，∴，∴BQ＝＝2﹣2，∴点Q（5﹣2，0）；综上所述：满足条件的点Q的坐标为（1﹣，0）或（﹣1+，0）或（1﹣2，0）或（5﹣2，0）．5．解：（1）∵直线x＝1是抛物线的对称轴，且点C的坐标为（0，3），∴c＝3，﹣＝1，∴b＝2，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）①∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴点M（1，4），∵抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3与x轴相交于A，B两点（点A位于点B的左侧），∴0＝﹣x2+2x+3∴x1＝3，x2＝﹣1，∴点A（﹣1，0），点B（3，0），∵点M（1，4），点B（3，0）∴直线BM解析式为y＝﹣2x+6，∵点P在直线BM上，且PD⊥x轴于点D，PD＝m，∴点P（3﹣，m），∴S△PCD＝×PD×OD＝m×（3﹣）＝﹣m2+m，∵点P在线段BM上，且点M（1，4），点B（3，0），∴0＜m≤4∴S与m之间的函数关系式为S＝﹣m2+m（0＜m≤4）②∵S＝﹣m2+m＝﹣（m﹣3）2+，∴当m＝3时，S有最大值为，∴点P（，3）∵0＜m≤4时，S没有最小值，综上所述：当m＝3时，S有最大值为，此时点P（，3）；（3）存在，若PC＝PD＝m时，∵PD＝m，点P（3﹣，m），点C（0，3），∴（3﹣﹣0）2+（m﹣3）2＝m2，∴m1＝18+6（舍去），m2＝18﹣6，∴点P（﹣6+3，18﹣6）；若DC＝PD＝m时，∴（3﹣﹣0）2+（﹣3）2＝m2，∴m3＝﹣2﹣2（舍去），m4＝﹣2+2，∴点P（4﹣，﹣2+2）；若DC＝PC时，∴（3﹣﹣0）2+（m﹣3）2＝（3﹣﹣0）2+（﹣3）2，∴m5＝0（舍去），m6＝6（舍去）综上所述：当点P的坐标为：（﹣6+3，18﹣6）或（4﹣，﹣2+2）时，使△PCD为等腰三角形．6．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（1，0）、B（3，0）、C（0，3），∴，解得，∴抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+3；（2）∵抛物线对称轴是线段AB的垂直平分线，∴AM＝BM，由三角形的三边关系，|BM﹣CM|＝|AM﹣CM|＜AC，∴点A、C、M三点共线时，|BM﹣CM|最大，设直线AC的解析式为y＝mx+n，则，解得，∴直线AC的解析式为y＝﹣3x+3，又∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝2，∴x＝2时，y＝﹣3×2+3＝﹣3，故，点M的坐标为（2，﹣3）；（3））∵OB＝OC＝3，OB⊥OC，∴△BOC是等腰直角三角形，∵EF∥y轴，直线BC的解析式为y＝﹣x+3，∴△DEF只要是直角三角形即可与△BOC相似，∵D（2，1），A（1，0），B（3，0），∴点D垂直平分AB且到点AB的距离等于AB，∴△ABD是等腰直角三角形，∴∠ADB ＝90°，如图，①点F 是直角顶点时，点F 的纵坐标与点D 的纵坐标相同，是1，∴x 2﹣4x +3＝1，整理得x 2﹣4x +2＝0，解得x ＝2±， 当x ＝2﹣时，y ＝﹣（2﹣）+3＝1+， 当x ＝2+时，y ＝﹣（2+）+3＝1﹣， ∴点E 1（2﹣，1+）E 2（2+，1﹣）， ②点D 是直角顶点时，易求直线AD 的解析式为y ＝x ﹣1，联立，解得，，当x ＝1时，y ＝﹣1+3＝2，当x ＝4时，y ＝﹣4+3＝﹣1，∴点E 3（1，2），E 4（4，﹣1），综上所述，存在点E 1（2﹣，1+）或E 2（2+，1﹣）或E 3（1，2）或E 4（4，﹣1），使以D 、E 、F 为顶点的三角形与△BCO 相似．7．解：（1）∵抛物线y ＝x 2+bx +c 交x 轴于点A （1，0），与y 轴交于点C （0，﹣3），∴，解得：，∴抛物线解析式为：y＝x2+2x﹣3；（2）∵抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴于A，B两点，∴点B（﹣3，0），∵点B（﹣3，0），点C（0，﹣3），∴OB＝OC＝3，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，如图1，当点D在点C上方时，∵∠DBC＝15°，∴∠OBD＝30°，∴tan∠DBO＝＝，∴OD＝×3＝，∴CD＝3﹣；若点D在点C下方时，∵∠DBC＝15°，∴∠OBD＝60°，∴tan∠DBO＝＝，∴OD＝3，∴DC＝3﹣3，综上所述：线段CD的长度为3﹣或3﹣3；（3）如图2，在BO上截取OE＝OA，连接CE，过点E作EF⊥AC，∵点A（1，0），点C（0，﹣3），∴OA＝1，OC＝3，∴AC＝＝＝，∵OE＝OA，∠COE＝∠COA＝90°，OC＝OC，∴△OCE≌△OCA（SAS），∴∠ACO＝∠ECO，CE＝AC＝，∴∠ECA＝2∠ACO，∵∠PAB＝2∠ACO，∴∠PAB＝∠ECA，＝AE×OC＝AC×EF，∵S△AEC∴EF＝＝，∴CF＝＝＝，∴tan∠ECA＝＝，如图2，当点P在AB的下方时，设AP与y轴交于点N，∵∠PAB＝∠ECA，∴tan∠ECA＝tan∠PAB＝＝，∴ON＝，∴点N（0，﹣），又∵点A（1，0），∴直线AP解析式为：y＝x﹣，联立方程组得：，解得：或，∴点P坐标为：（﹣，﹣），当点P在AB的上方时，同理可求直线AP解析式为：y＝﹣x+，联立方程组得：，解得：或，∴点P坐标为：（﹣，），综上所述：点P的坐标为（﹣，），（﹣，﹣）．8．解：（1）∵二次函数图象过点B（4，0），点A（﹣2，0），∴设二次函数的解析式为y＝a（x+2）（x﹣4），∵二次函数图象过点C（0，4），∴4＝a（0+2）（0﹣4），∴a＝﹣，∴二次函数的解析式为y＝﹣（x+2）（x﹣4）＝﹣x2+x+4；（2）存在，理由如下：如图1，取BC中点Q，连接MQ，∵点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4），点P是AC中点，点Q是BC中点，∴P（﹣1，2），点Q（2，2），BC＝＝4，设直线BP解析式为：y＝kx+b，由题意可得：，解得：∴直线BP的解析式为：y＝﹣x+，∵∠BMC＝90°∴点M在以BC为直径的圆上，∴设点M（c，﹣c+），∵点Q是Rt△BCM的中点，∴MQ＝BC＝2，∴MQ2＝8，∴（c﹣2）2+（﹣c+﹣2）2＝8，∴c＝4或﹣，当c＝4时，点B，点M重合，即c＝4，不合题意舍去，∴c＝﹣，则点M坐标（﹣，），故线段PB上存在点M（﹣，），使得∠BMC＝90°；（3）如图2，过点D作DE⊥BC于点E，设直线DK与BC交于点N，∵点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4），点D是AB中点，∴点D（1，0），OB＝OC＝4，AB＝6，BD＝3，∴∠OBC＝45°，∵DE⊥BC，∴∠EDB＝∠EBD＝45°，∴DE＝BE＝＝，∵点B（4，0），C（0，4），∴直线BC解析式为：y＝﹣x+4，设点E（n，﹣n+4），∴﹣n+4＝，∴n＝，∴点E（，），在Rt△DNE中，NE＝＝＝，①若DK与射线EC交于点N（m，4﹣m），∵NE＝BN﹣BE，∴＝（4﹣m）﹣，∴m＝，∴点N（，），∴直线DK解析式为：y＝4x﹣4，联立方程组可得：，解得：或，∴点K坐标为（2，4）或（﹣8，﹣36）；②若DK与射线EB交于N（m，4﹣m），∵NE＝BE﹣BN，∴＝﹣（4﹣m），∴m＝，∴点N（，），∴直线DK解析式为：y＝x﹣，联立方程组可得：，解得：或，∴点K坐标为（，）或（，），综上所述：点K的坐标为（2，4）或（﹣8，﹣36）或（，）或（，）．9．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点A（0，2），与x轴交于B（﹣3，0），∴∴∴抛物线解析式为：y＝x2﹣x+2；（2）∵y＝x2﹣x+2＝﹣（x+1）2+，∴顶点D坐标（﹣1，）；（3）①∵抛物线y＝x2﹣x+2与x轴交于B（﹣3，0）、C两点，∴点C（1，0）设点E（m，m2﹣m+2），则点P（m，0），∵PE＝PC，∴m2﹣m+2＝1﹣m，∴m＝1（舍去），m＝﹣，∴点E（﹣，）②如图，连接AE交对称轴于点N，连接DE，作EH⊥DN于H，交y轴于点F，∵点A（0，2），点E（﹣，），∴直线AE解析式为y＝﹣x+2，∴点N坐标（﹣1，）∴DH＝＝，HN＝＝，∴DH＝NH，且EH⊥DN，∴∠DEH＝∠NEH，∴点F到AE，DE的距离相等，∴DN∥y轴，EH⊥DN，∴EH⊥y轴，∴EF＝；③在x轴正半轴取点H，使OH＝OA＝2，∵OH＝OA，∠AOP＝∠QOH＝90°，OP＝OQ，∴△AOP≌△HOQ（SAS）∴AP＝QH，∴AP+DQ＝DQ+QH≥DH，∴点Q在DH上时，DQ+AP有最小值，最小值为DH的长，∴AP+DQ的最小值＝＝．10．解：（1）对于抛物线y＝a（x+1）（x﹣3），令y＝0，得到a（x+1）（x﹣3）＝0，解得x＝﹣1或3，∴C（﹣1，0），A（3，0），∴OC＝1，∵OB＝2OC＝2，∴B（0，2），把B（0，2）代入y＝a（x+1）（x﹣3）中得：2＝﹣3a，a＝﹣∴二次函数解析式为＝；（2）设点M的坐标为（m，），则点N的坐标为（2﹣m，），MN＝m﹣2+m＝2m﹣2，GM＝矩形MNHG的周长C＝2MN+2GM＝2（2m﹣2）+2（）＝＝∴当时，C有最大值，最大值为；（3）∵A（3，0），B（0，2），∴OA＝3，OB＝2，由对称得：抛物线的对称轴是：x＝1，∴AE＝3﹣1＝2，设抛物线的对称轴与x轴相交于点E，当△ABP为直角三角形时，存在以下三种情况：①如图1，当∠BAP＝90°时，点P在AB的下方，∵∠PAE+∠BAO＝∠BAO+∠ABO＝90°，∴∠PAE＝∠ABO，∵∠AOB＝∠AEP，∴△ABO∽△PAE，∴，即，∴PE＝3，∴P（1，﹣3）；②如图2，当∠PBA＝90°时，点P在AB的上方，过P作PF⊥y轴于F，同理得：△PFB∽△BOA，∴，即，∴BF＝，∴OF＝2+＝，∴P（1，）；③如图3，以AB为直径作圆与对称轴交于P1、P2，则∠AP1B＝∠AP2B＝90°，设P1（1，y），∵AB2＝22+32＝13，由勾股定理得：AB2＝P1B2+P1A2，∴12+（y﹣2）2+（3﹣1）2+y2＝13，解得：y＝1±，∴P（1，1+）或（1，1﹣），综上所述，点P的坐标为（1，﹣3）或（1，）或（1，1+）或（1，1﹣）。
2021年九年级数学中考复习专题之二次函数考察：最值问题综合(五)
2021年九年级数学中考复习专题之二次函数考察：最值问题综合（五）1．如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是第一象限抛物线上一点，设P点的横坐标为m．过点P作PD⊥x轴，交BC 于点D，过点D作DE⊥y轴，垂足为E，连接PE，当△PDE和△BOC相似时，求点P的坐标；（3）连接AC，Q是线段BC上一动点，过Q作QF⊥AC于F，QG⊥AB于G，连接FG．请直接写出FG的最小值和此时点Q的坐标．2．图①，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（﹣1，0），并且与直线y＝x ﹣2相交于坐标轴上的B、C两点，动点P在直线BC下方的二次函数的图象上．（1）求此二次函数的表达式；（2）如图①，连接PC，PB，设△PCB的面积为S，求S的最大值；（3）如图②，抛物线上是否存在点Q，使得∠ABQ＝2∠ABC？若存在，则求出直线BQ的解析式及Q点坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，直线y＝x+2与x轴，y轴分别交于点A，C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，C 两点，与x轴的另一交点为B．点D是AC上方抛物线上一点．（1）求抛物线的函数表达式；，（2）连接BC，CD，设直线BD交线段AC于点E，如图1，△CDE，△BCE的面积分别为S1 S，求的最大值；2（3）过点D作DF⊥AC于F，连接CD，如图2，是否存在点D，使得△CDF中的某个角等于∠BAC的两倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，说明理由．4．已知，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交点为A（﹣1，0）和点B，与y轴交点为C（0，﹣3），直线L：y＝kx﹣1与抛物线的交点为点A和点D．（1）求抛物线和直线L的解析式；（2）如图，点M为抛物线上一动点（不与A、D重合），当点M在直线L下方时，过点M 作MN∥x轴交L于点N，求MN的最大值；（3）点M为抛物线上一动点（不与A、D重合），M'为直线AD上一动点，是否存在点M，使得以C、D、M、M′为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点M的坐标，如果不存在，请说明理由．5．如图1，抛物线y＝x2+2x﹣6交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于C点，D点是该抛物线的顶点，连接AC、AD、CD．（1）求△ACD的面积；（2）如图1，点P是线段AD下方的抛物线上的一点，过P作PE∥y轴分别交AC于点E，交AD于点F，过P作PG⊥AD于点G，求EF+FG的最大值，以及此时P点的坐标；（3）如图2，在对称轴左侧抛物线上有一动点M，在y轴上有一动点N，是否存在以BN 为直角边的等腰Rt△BMN？若存在，求出点M的横坐标，若不存在，请说明理由．6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝x +m 与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B （0，﹣1），抛物线y ＝+bx +c 经过点B ，且与直线l 的另一个交点为C （4，n ）．（1）求n 的值和抛物线的解析式；（2）P 是直线AC 下方的抛物线上一动点，设其横坐标为a ．当a 为何值时，△APC 的面积最大，并求出其最大值．（3）M 是平面内一点，将△AOB 绕点M 沿逆时针方向旋转90°后，得到△A 1O 1B 1，点A 、O 、B 的对应点分别是点A 1、O 1、B 1，若△A 1O 1B 1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A 1的横坐标．7．如图1，已知抛物线y ＝ax 2﹣12ax +32a （a ＞0）与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）连接BC ，若∠ABC ＝30°，求a 的值．（2）如图2，已知M 为△ABC 的外心，试判断弦AB 的弦心距d 是否有最小值，若有，求出此时a 的值，若没有，请说明理由；（3）如图3，已知动点P （t ，t ）在第一象限，t 为常数．问：是否存在一点P ，使得∠APB 达到最大，若存在，求出此时∠APB 的正弦值，若不存在，也请说明理由．8．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．直线y＝x﹣5经过点B、C．（1）求抛物线的解析；（2）点P是直线BC上方抛物线上一动点，连接PB、PC．①当△PBC的面积最大时，求点P的坐标；②在①的条件下，y轴上存在点M，使四边形PMAB的周长最小，请求出点M的坐标；③连接AC，当tan∠PBO＝2tan∠ACO时，请直接写出点P的坐标．9．如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A、C，与y轴交于点B，直线y＝x+3经过A、B两点．（1）求b、c的值．（2）若点P是直线AB上方抛物线上的一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线AB于点D，求线段PD的最大值．（3）在（2）的结论下，连接CD，点Q是抛物线对称轴上的一动点，在抛物线上是否存在点G，使得以C、D、G、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线y＝x+m与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在轴y上．（1）求m的值及这个二次函数的关系式；（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x．①求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；②线段PE的长h是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时的x值；若不存在，请说明理由？参考答案1．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣；（2）如图1，令x＝0，得y＝4，∴C（0，4），∴OC＝4，∵B（3，0），∴OB＝3，设直线BC的解析式为y＝kx+n（k≠0），则，解得：，∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+4，设P（m，﹣m2+m+4），则D（m，﹣m+4），∴DP＝（﹣m2+m+4）﹣（﹣m+4）＝﹣m2+4m，DE＝m，∵∠BOC＝∠PDE＝90°，∵，∴当△PDE和△BOC相似时，∴＝或，∴3PD＝4ED或4PD＝3ED，①当3PD＝4ED时，3（﹣m2+4m）＝4m，4m2﹣8m＝0，m＝0（舍）或2，∴P（2，4），②当4PD＝3ED时，4（﹣m2+4m）＝3m，解得：m＝0（舍）或，∴P（，）；综上，点P的坐标为：（2，4）或（，）；（3）∵A（﹣1，0），C（0，4），同理可得：AC的解析式为：y＝4x+4，设F（t，4t+4），﹣1＜t＜0，∵FQ⊥AC，∴k FQ＝﹣＝﹣，同理可得：FQ的解析式为：y＝﹣x+t+4，则，解得：x＝﹣t，∴G（﹣t，0），∴FG2＝（t+t）2+（4t+4）2＝，∴当t＝﹣时，FG2有最小值＝，∴FG的最小值是，此时Q（，）．2．解：（1）对于直线y＝x﹣2，令x＝0，则y＝﹣2，令y＝0，即x﹣2＝0，解得：x＝4，故点B、C的坐标分别为（4，0）、（0，﹣2），抛物线过点A、B两点，则y＝a（x+1）（x﹣4），将点C的坐标代入上式并解得：a＝，故抛物线的表达式为y＝x2﹣x﹣2①；（2）如图2，过点P作PH∥y轴交BC于点H，设点P（x，x2﹣x﹣2），则点H（x，x﹣2），S＝S△PHB +S△PHC＝PH•（x B﹣x C）＝×4×（x﹣2﹣x2+x+2）＝﹣x2+4x，∵﹣1＜0，故S有最大值，当x＝2时，S的最大值为4；（3）①当点Q在BC下方时，如图2，延长BQ交y轴于点H，过点C作SC⊥BC交x轴于点R，交BQ于点S，过点S作SK⊥x 轴于点K，∵∠ABQ＝2∠ABC，则BC是∠ABH的角平分线，则△RSB为等腰三角形，则点C是RS的中点，在△BOC中，tan∠OBC＝＝＝tan∠ROC＝，则设RC＝x＝SB，则BC＝2x，则RB＝＝x＝BS，＝×SR•BC＝BR•SK，即2x•2x＝KS•x，解得：KS＝，在△SRB中，S△RSB∴sin∠RBS＝＝＝，则tan∠RBH＝，在Rt△OBH中，OH＝OB•tan∠RBH＝4×＝，则点H（0，﹣），由点B、H的坐标得，直线BH的表达式为y＝（x﹣4）②，联立①②并解得：x＝4（舍去）或，当x＝时，y＝﹣，故点Q（，﹣）；②当点Q在BC上方时，同理可得：点Q的坐标为（﹣，）；综上，点Q的坐标为（，﹣）或（﹣，）．3．解：（1）根据题意得A（﹣4，0），C（0，2），∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、C两点，∴，∴，∴y＝﹣x2﹣x+2；（2）如图1，令y＝0，∴﹣x2﹣x+2＝0，∴x1＝﹣4，x2＝1，∴B（1，0），过D作DM⊥x轴交AC于点M，过B作BN⊥x轴交AC于N，∴DM∥BN，∴△DME∽△BNE，∴＝＝，设D（a，﹣a2﹣a+2），∴M（a，a+2），∵B（1，0），∴N（1，），∴＝＝＝﹣（a+2）2+；∴当a＝﹣2时，的最大值是；（3）∵A（﹣4，0），B（1，0），C（0，2），∴AC＝2，BC＝，AB＝5，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，取AB的中点P，∴P（﹣，0），∴PA＝PC＝PB＝，∴∠CPO＝2∠BAC，∴tan∠CPO＝tan（2∠BAC）＝，过D作x轴的平行线交y轴于R，交AC的延长线于G，情况一：如图2，∴∠DCF＝2∠BAC＝∠DGC+∠CDG，∴∠CDG＝∠BAC，∴tan∠CDG＝tan∠BAC＝，即＝，令D（a，﹣a2﹣a+2），∴DR＝﹣a，RC＝﹣a2﹣a，∴＝，∴a1＝0（舍去），a2＝﹣2，∴x D＝﹣2，情况二，∴∠FDC＝2∠BAC，∴tan∠FDC＝，设FC＝4k，∴DF＝3k，DC＝5k，∵tan∠DGC＝＝，∴FG＝6k，∴CG＝2k，DG＝3k，∴RC＝k，RG＝k，DR＝3k﹣k＝k，∴＝＝，∴a1＝0（舍去），a2＝﹣，∴点D的横坐标为﹣2或﹣．4．解：（1）将点A、C的坐标代入抛物线表达式得，解得：，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3①，将点A的坐标代入直线L的表达式得：0＝﹣k﹣1，解得：k＝﹣1，故直线L的表达式为：y＝﹣x﹣1②；（2）设点M的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），点N的纵坐标与点M的纵坐标相同，将点N的纵坐标代入y＝﹣x﹣1得：m2﹣2m﹣3＝﹣x﹣1，解得：x＝﹣m2+2m+2，故点N（﹣m2+2m+2，m2﹣2m﹣3），则MN＝﹣m2+2m+2﹣m＝﹣m2+m+2，∵﹣1＜0，故MN有最大值，当m＝﹣＝时，MN的最大值为；（3）设点M（m，n），则n＝m2﹣2m﹣3③，点M′（s，﹣s﹣1），①当CD为边时，点C向右平移2个单位得到D，同样点M（M′）向右平移2个单位得到M′（M），即m±2＝s且n＝﹣s﹣1④，联立③④并解得：m＝0（舍去）或1或，故点M的坐标为（1，﹣4）或（，）或（，）；②当CD为对角线时，由中点公式得：（0+2）＝（m+s）且（﹣3﹣3）＝（n﹣s﹣1）⑤，联立③⑤并解得：m＝0（舍去）或﹣1，故点M（1，﹣4）；综上，点M的坐标为（1，﹣4）或（，）或（，）．5．解：（1）令x＝0，得y＝x2+2x﹣6＝﹣6，∴C（0，﹣6），令y＝0，得y＝x2+2x﹣6＝0，解得，x＝﹣6或2，∴A（﹣6，0），点B（2，0），设直线AC的解析式为：y＝kx+b（k≠0），则，∴，∴直线AC的解析式为：y＝﹣x﹣6，∵y＝x2+2x﹣6＝（x+2）2﹣8，∴D（﹣2，﹣8），过D作DM⊥x轴于点M，交AC于点N，如图1，则N（﹣2，﹣4），∴，∴△ACD的面积＝；（2）如图1，过点D作x轴的平行线交FP的延长线于点H，由点A、D的坐标得，直线AD的表达式为：y＝﹣2x﹣12，故tan∠FDH＝2，则sin∠FDH＝，∵∠HDF+∠HFD＝90°，∠FPG+∠PFG＝90°，而∠HFD＝∠PFG，∴∠FPG＝∠FDH，在Rt△PGF中，PF＝＝＝FG，则EF+FG＝EF+PF＝EP，设点P（x，x2+2x﹣6），则点E（x，﹣x﹣6），则EF+FG＝EF+PF＝EP＝﹣x﹣6﹣（x2+2x﹣6）＝﹣x2﹣3x，∵﹣＜0，故EP有最大值，此时x＝﹣＝﹣3，最大值为；当x＝﹣3时，y＝x2+2x﹣6＝﹣，故点P（﹣3，﹣）；（3）存在，理由：设点M的坐标为（m，n），则n＝m2+2m﹣6①，点N（0，s），（Ⅰ）当点M在x轴下方时，①当∠MNB为直角时，如图2，过点N作x轴的平行线交过点B与y轴的平行线于点H，交过点M与y轴的平行线于点G，∵∠MNG+∠BNH＝90°，∠MNG+∠GMN＝90°，∴∠GMN＝∠BNH，∵∠NGM＝∠BHN＝90°，MN＝BN，∴△NGM≌△BHN（AAS），∴GN＝BH，MG＝NH，即n﹣s＝2且﹣m＝﹣s②，联立①②并解得：m＝﹣2±2（舍去正值），故m＝﹣2﹣2；②当∠NBM为直角时，如图3，过点B作y轴的平行线交过点N与x轴的平行线于点G，交过点M与x轴的平行线于点H，同理可证：△MHB≌△BGN（AAS），则BH＝NG，即n＝﹣2，当n＝﹣2时，m2+2m﹣6＝﹣2，解得：m＝﹣2±2（舍去正值），故m＝﹣2﹣2；（Ⅱ）当点M在x轴上方时，同理可得：m＝﹣﹣或﹣3﹣；综上，点M的横坐标为﹣2﹣2或﹣2﹣2或﹣﹣或﹣3﹣．6．解：（1）直线l：y＝x+m过点B（0，﹣1），则m＝﹣1，则直线l：y＝x﹣1，将点C（4，n）代入上式并解得：n＝2，故点C（4，2），将点B、C的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣1；（2）如图1，过点P作PD∥y轴交AC于点D，点D在线段AC上，由题意得P（a，a﹣1），则D（a，a﹣1），A（，0），∴PD＝＝﹣+2a，∵A（，0），C（4，2），∴△APC 的面积＝S △PAD +S △PDC ＝×PD ×（4﹣）＝××＝﹣（a ﹣2）2+，∴a ＝2时，△APC 的面积最大，最大值为．同理当点D 在线段AB 上时，S △APC ＝S △PDC ﹣S △PAD ＝×PD ×（4﹣）＝﹣（a ﹣2）2+， ∴a ＝2时，△APC 的面积最大，最大值为．综合以上可得a ＝2时，△APC 的面积最大，最大值为． （3）∵△AOB 绕点M 沿逆时针方向旋转90°， ∴A 1O 1∥y 轴时，B 1O 1∥x 轴，设点A 1的横坐标为x ，①如图2，点O 1、B 1在抛物线上时，点O 1的横坐标为x ，点B 1的横坐标为x +1，∴x 2﹣x ﹣1＝（x +1）2﹣（x +1）﹣1， 解得x ＝，②如图3，点A 1、B 1在抛物线上时，点B 1的横坐标为x +1，点A 1的纵坐标比点B 1的纵坐标大，∴x 2﹣x ﹣1＝（x +1）2﹣（x +1）﹣1+， 解得x ＝﹣，综上所述，点A 1的横坐标为或﹣．7．解：（1）连接BC ，令y＝0，得y＝ax2﹣12ax+32a＝0，解得，x＝4或8，∴A（4，0），B（8，0），令x＝0，得y＝ax2﹣12ax+32a＝32a，∴C（0，32a），又∠ABC＝30°，∴tan∠ABC＝，解得，a＝；（2）过M点作MH⊥AB于点H，连接MA、MC，如图2，∴AH＝BH＝＝2，∴OH＝6，设M（6，d），∵MA＝MC，∴4+d2＝36+（d﹣32a）2，得2ad＝32a2+1，∴d＝16a+＝，∴当4时，有，即当a＝时，有；（3）∵P（t，t），∴点P在直线y＝x上，如图3，取AB的中点T，过T作MT⊥AB，以M为圆心，MA为半径作⊙M，MT与直线y＝x 交于点S，P′为直线y＝x上异于P的任意一点，连接AP′，交⊙M于点K，连接BK，MP，AP，BP，MB，MA，当⊙M与直线y＝x相切时，有∠APB＝∠AKB＞∠AP′B，∴∠APB最大，此时相切点为P，设M（6，d），而T（6，0），∴S（6，6），∴∠PSM＝90°﹣∠SOT＝45°，又MP＝MB＝，∴MS＝＝，∵MS+MT＝ST＝6，∴，解得，d＝2（负根舍去），经检验，d＝2是原方程的解，也符合题意，∴M（6，2），∴MB＝2，∵∠AMB＝2∠APB，MT⊥AB，MA＝MB，∴∠AMT＝∠BMT＝∠AMB＝∠APB，∴sin∠APB＝sin∠BMT＝．8．解（1）∵直线y＝x﹣5经过点B，C，∴点B（5，0），C（0，﹣5），∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B，C，∴，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+6x﹣5①；（2）①如图1，过点P作PD⊥x轴，交BC于点D，设点P（m，﹣m2+6m﹣5），则点D的坐标为（m，m﹣5），∴PD＝﹣m2+6m﹣5﹣（m﹣5）＝﹣m2+5m，S＝PD×OB＝×（﹣m2+5m）×5＝﹣m2+m＝﹣，△PBC取得最大值，此时点P的坐标为（，）；∵0＜m＜5，当m＝时，S△PBC②如图2，作点P关于y轴的对称点P’，连接P’A交y轴于点M，连接MP，此时，MP+MA的值最小，∵PB，AB为定长线段，此时四边形PMAB的周长最小，∵P 的坐标为（，）； ∴点P ′的坐标为（﹣，）， ∵抛物线y ＝﹣x 2+6x ﹣5交x 轴于A ，B 两点，且B （5，0），点A 的坐标为（1，0）， ∴直线P ′A 的解析式为y ＝﹣x +， ∴点M 的坐标为（0，）；③在Rt △AOC 中，tan ∠ACO ＝＝，则tan ∠P ′BO ＝2tan ∠ACO ＝， 如图3，当点P ′位于第一象限时，过点B 作直线BE 交抛物线于点P ′、交y 轴于点E ，∵tan ∠P ′BO ＝＝，∴， ∴OE ＝2，∴E （0，2），设直线BP ′的表达式为：y ＝kx +2，将点B 的坐标代入上式并计算得：k ＝﹣， 故直线BP ′的表达式为：y ＝﹣x +2②，联立①②并解得：x 1＝0（不合题意值舍去），x 2＝， 则点P ′的坐标为（，）； 当点P ″位于第四象限时，同理可得P ″（，﹣）； 综上，点P 的坐标为（，）或（，﹣）．9．解：（1）∵直线y＝x+3经过A、B两点．∴当x＝0时，y＝3，当y＝0时，x＝﹣4，∴直线y＝x+3与坐标轴的交点坐标为A（﹣4，0），B（0，3）．分别将x＝0，y＝3，x＝﹣4，y＝0代入y＝﹣x2+bx+c得，，解得，b＝﹣，c＝3，（2）由（1）得y＝﹣x2﹣x+3，设点P（m，﹣m+3），则D（m，m+3），∴PD＝﹣＝﹣，∴当m＝﹣2时，PD最大，最大值是．（3）存在点G，使得以C、D、G、Q为顶点的四边形是平行四边形，G点的坐标为或或；∵y＝﹣x2﹣x+3，∴y＝0时，x＝﹣4或x＝2，∴C（2，0），由（2）可知D（﹣2，），抛物线的对称轴为x＝﹣1，设G（n，﹣n+3），Q（﹣1，p），CD与y轴交于点E，E为CD的中点，①当CD为对角线时，n+（﹣1）＝0，∴n＝1，此时G（1，）．②当CD为边时，若点G在点Q上边，则n+4＝﹣1，则n＝﹣5，此时点G的坐标为（﹣5，﹣）．若点G在点Q上边，则﹣1+4＝n，则n＝3，此时点G的坐标为（3，﹣）．综合以上可得使得以C、D、G、Q为顶点的四边形是平行四边形的G点的坐标为或或；10．解：（1）∵点A（3，4）在直线y＝x+m上，∴4＝3+m．∴m＝1．设所求二次函数的关系式为y＝a（x﹣1）2．∵点A（3，4）在二次函数y＝a（x﹣1）2的图象上，∴4＝a（3﹣1）2，∴a＝1．∴所求二次函数的关系式为y＝（x﹣1）2．即y＝x2﹣2x+1．（2）①设P、E两点的纵坐标分别为y P和y E．∴PE＝h＝y P﹣y E＝（x+1）﹣（x2﹣2x+1）＝﹣x2+3x．即h＝﹣x2+3x（0＜x＜3）．②存在．∵h＝﹣（x﹣）2+，又∵a＝﹣1＜0，∴x＝时，h的值最大，最大值为．。
重庆中考数学2021年应用题和二次函数专题训练及答案(1)
重庆中考数学2021年应用题和二次函数专题训练及答案(1)重庆中考数学2021年应用题和二次函数专题训练及答案（1）1.超市首次从生产基地以3000元的价格购买了某种水果，并很快售罄。
该公司第二次以2400元购买了同一品种的水果。
第二次购买每公斤水果的购买价格是第一次的1.2倍，重量比第一次少20公斤（1）求两次购进水果每千克的进价分别是多少元？（2）在两个购买水果的运输过程中，总重量减少了10%。
如果两种水果的售价相同，超市必须在所有水果售完后获得至少20%的总利润，那么每公斤水果的最低售价应该是多少？（结果保持整数）解：（1）设第一次购进水果单价x元，则第二次购进水果单价1.2x元由题意得3000x-24001.2x=20，解决方案是：x=50，经检验的x=50是原方程的解，而1.2x=60，因此，两次购买的水果每公斤售价分别为50元和60元。
（2）最低应为每公斤y元，购买的水果总质量为：(300050+240060)=100公斤，由题意得：100×90%y-3000-2400≥5400×20%，解得：y≥72，A:水果的最低价格应该是每公斤72元2.一水果店主分两批购进同一种水果，第一批所用资金为2400元，因天气原因，水果涨价，第二批所用资金是2700元，但由于第二批单价比第一批单价每箱多10元，以致购买的数量比第一批少25%．（1）水果主人买了两次多少盒这种水果？（2）该水果店主计划第一批水果每箱售价定为40元，第二批水果每箱售价定为50元，每天销售水果30箱．实际销售时按计划售完第一批后发现第二批水果品质不如第一批，必须打折销售才能保证每天销售水果30箱．在销售过程中，该店主每天还需要支出其他费用60元，为了使这两批水果销售完后总利润率不低于30%，那么该店主销售第二批水果时最低可打几折？解决方案：（1）方法1：如果第一次购买x盒，那么第二次购买x盒（1-25%）=0.75x盒。
2021年数学二次函数中考真题(附解析)
2021年数学二次函数中考真题(附解析)一、选择题（共5小题；共25分）1. 抛物线的顶点坐标是A. B.2. 下列函数中，属于二次函数的是A. B.C. D.3. 将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位后，所得抛物线顶点坐标是A. C. D.4. 二次函数的图象如图所示，那么点在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5. 下列对二次函数的图象的描述中，不正确的是A. 抛物线开口向下B. 抛物线的对称轴是直线C. 抛物线与轴的交点坐标是D. 抛物线的顶点坐标是二、填空题（共15小题；共75分）6. 如果抛物线开口向下，那么的取值范围是．7. 已知点，为函数的图象上的两点，若，则（填“”、“”或“”）．8. 如果抛物线过点，且与轴的交点是，那么抛物线的对称轴是直线．9. 已知二次函数的图象经过原点，则的值是．10. 如果抛物线的对称轴是轴，那么顶点坐标为．11. 已知一条抛物线经过点，且在对称轴右侧的部分是下降的，该抛物战的表达式可以是（写出一个即可）．12. 如果抛物线的顶点在轴上，那么常数的值是．13. 如果某抛物线开口方向与抛物线的开口方向相同，那么该抛物线有最点（填“高”或“低”）14. 如图，已知点是抛物线图象上一点，将点向下平移个单位到点，再把绕点顺时针旋转得到点，如果点也在该抛物线上，那么点的坐标是．15. 如果点，在二次函数图象上，那么（填，，）．16. 将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位后，所得抛物线的表达式是．17. 已知二次函数（为常数），若该函数图象与轴只有一个公共点，则．18. 抛物线的对称轴是直线．19. 若抛物线的顶点为，抛物线的顶点为，且满足顶点在抛物线上，顶点在抛物线上，则称抛物线与抛物线互为“关联抛物线”，已知顶点为的抛物线与顶点为的抛物线互为“关联抛物线”，直线与轴正半轴交于点，如果，那么顶点为的抛物线的表达式为．20. 定义：直线与抛物线两个交点之间的距离称作抛物线关于直线的“割距”，如图，线段长就是抛物线关于直线的“割距”．已知直线与轴交于点，与轴交于点，点恰好是抛物线的顶点，则此时抛物线关于直线的割距是．三、解答题（共10小题；共130分）21. 我们将平面直角坐标系中的图形和点给出如下定义：如果将图形绕点顺时针旋转得到图形，那么图形称为图形关于点的“垂直图形”．已知点的坐标为，点的坐标为，关于原点的“垂直图形”记为，点，的对应点分别为点，．（1）请写出：点的坐标为；点的坐标为；（2）请求出经过点，，的二次函数解析式；（3）请直接写出经过点，，的抛物线的表达式为．22. 已知抛物线上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表：（1）求该抛物线的表达式；（2）将抛物线沿轴向右平移个单位，使得新抛物线经过原点，求的值以及新抛物线的表达式．23. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于和点（点在点的左侧），与轴交于点，且．（1）求这个函数的解析式，并直接写出顶点的坐标；（2）点是二次函数图象上一个动点，作直线轴交抛物线于点（点在点的左侧），点关于直线的对称点为，如果四边形是正方形，求点的坐标；（3）若射线与射线相交于点，求的大小．24. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和点，顶点为点．（1）求直线的表达式；（2）求的值；（3）设线段与轴交于点，如果点在轴上，且与相似，求点的坐标．25. 如图，抛物线与轴相交于点，与轴交于点，为线段上的一个动点，过点作轴的垂线，交直线于点，交该抛物线于点．（1）求直线的表达式，直接写出顶点的坐标；（2）当以，，为顶点的三角形与相似时，求点的坐标；（3）当时，求与的面积之比．26. 二次函数的自变量的取值与函数的值列表如下：（1）根据表中的信息求二次函数的解析式，并用配方法求出顶点的坐标；（2）请你写出两种平移的方法，使平移后二次函数图象的顶点落在直线上，并写出平移后二次函数的解析式．27. 已知，二次函数的图象与轴交于点，点，与轴交点．（1）求二次函数解析式；（2）设点为轴上一点，且，求的值；（3）若点是直线上方抛物线上一动点，连接，过点作，交于点，求线段的最大值及此时点的坐标．28. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点（点在轴的正半轴上），与轴交于点，已知．（1）求顶点和点的坐标；（2）将抛物线向右平移个单位，得到的新抛物线与轴交于点，求点的坐标和的面积；（3）如果点在原抛物线的对称轴上，当与相似时，求点的坐标．29. 已知开口向上的抛物线与轴的交点为，顶点为，点与点关于对称轴对称，直线与交于点．（1）求点的坐标，并用含的代数式表示点的坐标；（2）当时，求抛物线的表达式；（3）当时，求的长．30. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点与轴交于点，点是抛物线的顶点，抛物线的对称轴与交于点，与轴交于点．（1）求抛物线的对称轴及点的坐标；（2）如果，求抛物线的表达式；（3）在（）的条件下，已知点是该抛物线对称轴上一点，且在线段的下方，，求点的坐标．答案第一部分1. A【解析】由，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为．2. C【解析】A、是二次根式的的形式，不是二次函数，故本选项不符合题意；B、，不是二次函数，故本选项不符合题意；C、是二次函数，故本选项符合题意；D、，不是二次函数，故本选项不符合题意；故选：C．3. D【解析】抛物线化成顶点式为，顶点坐标为，将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位后，所得抛物线的顶点坐标是．4. C【解析】由函数图象可得：抛物线开口向上，，又对称轴在轴右侧，，，又图象与轴交于负半轴，，，在第三象限．故选：C．5. C【解析】，抛物线的开口向下，故选项A正确，不符合题意；对称轴为直线，故选项B正确，不符合题意；当时，，即抛物线与轴的交点坐标是，故选项C错误，符合题意；顶点坐标为，故选项D正确，不符合题意．第二部分6.【解析】抛物线开口向下，，即．7.【解析】根据题意得：抛物线的对称轴为直线，且开口向下，在对称轴的左侧随的增大而增大，，．8.【解析】当和时，的值都是，该抛物线的对称轴是直线．【解析】二次函数的图象经过原点，．．10.【解析】中，，故，解得，故抛物线为，将代入有，故顶点坐标为．故答案为：．11.【解析】在对称轴右侧部分是下降，设抛物线的解析式可以为，经过点，解析式可以是．12.【解析】，二次函数顶点坐标为，顶点在轴上，，13. 低【解析】抛物线开口方向与抛物线的开口方向相同，抛物线中，开口方向向上，该抛物线有最低点．【解析】点是抛物线图象上一点，故设，将点向下平移个单位到点，故把绕点顺时针旋转得到点，如图，过点作于，过点作于，，，，故，，故，把代入，，解得，．15.【解析】二次函数的图象的对称轴是直线，且，在对称轴的右边随的增大而增大，点，是二次函数的图象上两点，，16.【解析】抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位后，所得抛物线的表达式是：，即，故答案为：．17.【解析】二次函数图象与轴有且只有一个公共点，，解得：．18.【解析】抛物线的对称轴方程，抛物线的对称轴是．即对称轴是．19.【解析】设顶点为的抛物线顶点坐标为，已知抛物线的顶点坐标为，，，即，解得，直线与轴正半轴交于点，点坐标为，则直线解析式为，点在直线上，点也在抛物线，故有化简得联立得，化简得，解得或（舍），将代入有，解得故点坐标为，则顶点为的抛物线的表达式为，将代入有，化简得，解得，故顶点为的抛物线的表达式为．20.【解析】直线与轴的交点，点坐标为，是抛物线的顶点，抛物线解析式为，解得或直线与抛物线的两个交点坐标为，，抛物线关于直线的割距是．第三部分21. （1）；【解析】根据题意作下图：根据旋转的性质得：，，，．（2）设过点，，的二次函数解析式为：，将点，，分别代入中得：解得：，，，．（3）【解析】设过点，的二次函数解析式为：，将点，，分别代入中得：解得：，，，．22. （1），；，，抛物线的对称轴为直线，则抛物线的顶点坐标为，设抛物线解析式为，把代入得，解得，抛物线解析式为．（2）将抛物线沿轴向右平移个单位，得到，经过原点，，解得，（舍去），，新抛物线的表达式为．23. （1）因为抛物线为的对称轴为直线，，所以，，把代入得，所以，所以抛物线的解析式为，；【解析】因为，所以；（2）因为四边形是正方形，所以是等腰直角三角形，连接交于点，所以，设，，则，即，，解得（舍），，所以；（3）因为，，，，所以直线：，直线：，所以点，，所以，作，所以，，所以，所以是等腰直角三角形，所以．24. （1）抛物线经过点，，解得：，抛物线解析式为，当时，，点的坐标为，设直线的解析式为，把，，代入得：解得：直线的解析式为；（2）如图，连接，，，点的坐标为，，，，，，，为直角三角形，；（3）设直线的解析式为，把点，代入得：解得：直线的解析式为，当时，，点的坐标为，当时，，如图，过点作轴于点，则，，，，由（）知，，，，，点的坐标为；当时，，此时点与点重合，点的坐标为，综上所述，点的坐标为．25. （1）令，则，或，，令，则，，设直线的解析式为；；【解析】，．（2），，是直角三角形，设，①如图，当时，，，，（舍）或，；②如图，当时，过点作交于点，，，，，，即，，，，（舍）或，；综上所述：点的坐标为或．（3）如图，作的垂直平分线交轴于点，连接，过点作于点，，，，，在中，，，，，，，设，则，，，，，，，，，，，．26. （1）因为二次函数过，，设，把代入抛物线的解析式可得：，解得：，所以抛物线为：．而，所以顶点坐标为：．（2）因为平移后二次函数图象的顶点落在直线上，所以顶点的横坐标与纵坐标相等，而顶点坐标为：，当顶点坐标变为：时，把抛物线向下平移个单位长度即可；此时抛物线为：，当顶点坐标变为：时，把抛物线向右平移个单位长度即可．此时抛物线为：．27. （1）把，代入中，得解得：，，．（2）在二次函数解析式为，令，则，则点坐标，而，，，，，，．（3）设直线为：，把和代入得：解得：，，，过点作轴，交于点，，，是等腰直角三角形，，设点，则，，当且仅当时，的最大值是，当点时，的最大值是．28. （1），．（2），．（3）．29. （1）令，可得，点的坐标为，抛物线的对称轴为：，点的坐标为，令，可得，顶点的坐标为．（2）如图：当时，即是直角三角形，，，解得，抛物线的表达式为：或．（3）如图：在抛物线的对称轴上，，，，，点，点，直线的解析式为，点坐标为，，或，解得或，点的坐标为或，设直线的解析式为，则或解得：或直线的解析式为或．或解得：或点的坐标为或，，的长为或．30. （1）二次函数，对称轴是，，，，．（2）二次函数，在轴上，的横坐标是，纵坐标是，轴平行于对称轴，，，，，的纵坐标是的横坐标是对称轴，，，解这个方程组得：，．（3）假设点在如图所示的位置上，连接，，，与相交于点，由（）可知：，，，，，，，，，，，，，，设，，，，，解这个方程组得：，，点在线段的下方，（舍去），．。
2021年重庆年中考25题二次函数综合专题(3)
2021重庆年中考25题二次函数综合专题（3）1（巴蜀2021级初三上定时训练二）如图，已知二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴交于A 、B ，与y 轴交于点C ， ∠ACB=90，且OC=2OA 。
（1）求此二次函数的关系式；（2）若点P 为直线BC 上方抛物线上的一动点，PM ⊥BC 与M ，PN//y 轴交BC 于N ，求△PMN 的周长的最大值及此时P 的坐标；（3）过点A 作BC 的平行线交抛物线与D 、E 为直线AD 上一动点，F 为平面内一动点，当以B 、C 、E 、F 为顶点的四边形为菱形是，请直接写出点E 的坐标。
2（重庆一外2021级九上第四次周考）如图1，3y x =+与x 轴交于点B ，作点A 关于y 轴的对称点C ，连接BC ，作∠ABD 的平分线交x 轴于点D. （1）求线段CD 的长；（2）如图2，点E 为直线AB 位于y 轴右侧部分图像的一点，连接CE ，当32BCEABCSS =时，点F 为直线BC 上的一动点，当EF DF -的值最大时，求EF DF -的最大值及此时点F 的坐标；（3）将△BOD 沿水平方向平移个单位得到'''B O D △绕点'D 逆时针防线旋转，旋转角毒α满足0180α<<，在旋转的过程中直线''O B 分别于直线AB 、直线AC 交于点M 、点N ，是否存在某一时刻是的△AMN 是以∠MAN 为底角的等腰三三角形？若存在请直接写出AN 的长；若不存在请说明理由。
3（重庆育才成功学校2021级九上第一次周考）如图，抛物线23233y x x =-++与x 轴相交于点A 、B 两点，交y 轴于点C （A 点在B 点左侧），连接AC 、BC 。
（1）若点M 为线段BC 上方的抛物线上的一动点，过点M 作MN//y 轴交BC 于点N 当23MN 长度最大时，求点M 的坐标；（2）点P 为直线BC 上一动点，点Q 为抛物线上一动点，是否存在这样的点P 、Q 使得以O 、C 、P 、Q 为顶点的四边形时平行四边形？若存在。
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版初中数学类型一：面积问题
重庆2021年中考数学专题二次函数（新题型）
1、（西附初
2020 九上十二月周考）已知抛物线y =ax2 +b +c 经过点A(-1, 0)，且经过直线y =x - 3
与x 轴的交点B 及与y 轴的交点C。
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线的顶点坐标；
（3）将直线BC 向左平移27
个单位，与抛物线交于点E、F，与x 轴交于点G，求△BEF 的面积。
4
2、（巴蜀初2020 九下自主测试二）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =a (x + 1)(x- 3)与x 轴
交于点A、B（点A 在点B 的左侧），交y 轴于点C (0, - 3 )，连接BC。
（1）求a 的值及直线BC 的解析式；
（2）如图，点D 为直线BC 下方抛物线上动点，过D 作DE⊥BC 于点E，过D 作直线DF⊥x 轴
于点F，交BC 于点G，若S
∆DEG : S
∆BFG
= 1: 4 ，求点D 的坐标。
3、（八中初2020 九下定时练习四）如图，抛物线y =ax2 +bx + 6 经过点A(-2, 0), B (4, 0)两点，与y 轴交于点C，点D 是抛物线上一个动点，设点D 的横坐标为m，连接AC，BC，DB，DC。
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）△BCD 的面积等于△AOC 的面积的3
时，求点D 的坐标。
4
点，与y 轴交于点C，且OA =OC 。
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D 是抛物线顶点，求△ACD 的面积；
（3）如图2，射线AE 交抛物线于点E，交y 轴的负半轴于点F（点F 在线段AE 上），点P 是直
线AE 下方抛物线上的一点，当S
∆ABE =
22
时，求△APE 面积的最大值和此时点P 的坐标。
9
C (0, -3) 三点，直线l 是抛物线的对称轴。
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）设点 M 是直线上的一个动点，当点 M 到点 A ，点 C 的距离之和最短时，求点 M 的坐标；
（3）在抛物线上是否存在点 N ，使 S
理由。
∆ABN
= 4
S 3
∆ABC
，若存在，求出点 N 的坐标；若不存在，说明
6、（西附初2020 九上期末）如图，对称轴为直线x = 1 的抛物线y =x2 +bx +c 与x 轴交于A、B 两点，与y 轴交于点C，连接AC、AD，其中A 点坐标(-1, 0)。
（1）求抛物线的解析式；
（2）直线y =3
x - 3 与抛物线交于点C，D，与x 轴交于点E，求△CD 的面积；2
（3）在直线CD 下方抛物线上有一点Q，过Q 作QP⊥y 轴交直线CD 于点P，四边形PQBE 为平行四边形，求点Q 的坐标。
7、（一中初2020 九上期末）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y =ax2 +bx + 4 与x 轴交于点A(-2, 0), B (8, 0)，与y 轴交于点C。
（1）求抛物线的解析式和点 C 的坐标；
（2）连接AC，BC，点P 是直线BC 上方抛物线上的动点，连接PC、PB，若有S 求出点P 的横坐标；∆PBC
=
1
S
2∆ABC
，
（3）若将抛物线沿直线AC 方向移一定距离得到新抛物线L，且抛物线L 满足当1 ≤x ≤ 3 时，有最大值为0，直接写出抛物线L 的对称轴。
类型二：角度问题
1、（融侨南开初2020 九上期末）如图1，抛物线y =-x2 +bx +c 与x 轴交于点A、点B，与y 轴交于点C (0,3)，对称轴为直线x = 1 ，交x 轴于点D，顶点为点E。
（1）求该抛物线的解析式；
（2）连接AC，CE，AE，求△ACE 的面积；
（3）如图2，点F 在y 轴上，且OF = 2 ，点N 是抛物线在第一象限内一动点，且在抛物线对称轴右侧，连接ON 交对称轴于点G，连接GF，若GF 平分∠OGE，求点N 的坐标。
2、（一外初2020 九上期末）矩形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，A，C 两点的坐标分
别为A(6, 0),C (3, 0)，直线y =-3
x +
9
与BC 边相交于点D。
4 2
（1）求点D 的坐标；
（2）若抛物线y =ax2 +bx (a ≠ 0)经过A，D 两点（如图1），且点N (1, n)在该抛物线上，求四边形ADCN 的面积；
（3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线AD 交点M（如图2），点P 为对称轴上一动点，若∠ADP =∠ADB ，求符合条件的所有点P 的坐标。
3、（巴蜀初2020 九上期末复习四）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =-x2 +bx +c 与x 轴相交于原点O 和点B (4, 0)，点A(3, m)在抛物线上。
（1）求抛物线的表达式，并写出它的对称轴；
（2）求tan ∠OAB 的值；
（3）点D 在抛物线的对称轴上，如果∠BAD = 45︒，求点D 的坐标。
4、（巴蜀初2020 九上周考七）若二次函数y =ax2 +bx +c 的图象与x 轴、y 轴分别交于点A(3, 0)、
B (0, 2)，且过点
C (2, -2)。
（1）求二次函数表达式；
= 4 ，求点P 的坐标；
（2）若点P 为抛物线上第一象限内的点，且S
∆PBA
（3）在AB 下方的抛物线上是否存在点M，使∠ABO =∠ABM ，若存在，求出点M 的横坐标；若不存在，请说明理由。
5、8、（八中初2020 九下定时练习三）如图1，抛物线y =ax2 +bx + 3 与x 轴交于点A(-1, 0)、点B 与y 轴交于点C，顶点为点D，且D 的横坐标为1，对称轴交x 轴于点E，交BC 于F。
（1）求顶点D 的坐标；
（2）如图2，过点C 的直线交直线BD 于点M，交抛物线于点N。
①若直线CM 将△BCD 分成的两部分面积分成2 :1 的两部分，求点M 的坐标；
②若∠NCB =∠DBC ，求点N 的坐标。
6、（巴蜀初2020 九上期末）如图1，若二次函数y =ax2 +bx +c 的图像与x 轴交于点A(1, 0), B ，与y 轴交于点C (0, 4)，连接AC、BC，且抛物线的对称轴为直线x =3 。
2
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点P 是抛物线在一象限内BC 上方一动点，且点P 在对称轴的右侧，连接PB、PC，是否
存在点P，使S
∆PBC =
3
S
5∆ABC
？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由；
（3）如图2，若点Q 是抛物线上一动点，且满足∠QBC = 45︒-∠ACO ，请直接写出点Q 坐标。
7、（巴蜀初2020 九上期末复习三）如图，抛物线y =ax2 +bx +c 经过点B (4, 0), C (0, -2)，对称轴为直线x = 1 ，与x 轴的另一个交点为点A。
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M 从点A 出发，沿AC 向点C 运动，速度为1 个单位长度/秒，同时点N 从点B 出发，沿BA 向点A 运动，速度为2 个单位长度/秒，当点M、N 有一点到达终点时，运动停止，连接MN，设运动时间为t 秒，当t 为何值时，AMN 的面积S 最大，并求出S 的最大值；
（3）在y 轴上是否存在点P，使得∠BPC =1
∠BCO ，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请2
说明理由。
8、（巴蜀初 2020 九下自主测试三）如图，抛物线 y = ax 2 + 2x + c (a < 0) 与 x 轴交于点 A 和点 B （点
A 在原点的左侧，点
B 在原点的右侧），与 y 轴交于点
C , OB = OC = 3 。
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）如图 1，连接 BC ，点 D 是直线 BC 上方抛物线上的点，连接 OD ，CD ，OD 交 BC 于点 F ， 当 S ∆COF : S ∆CDF = 3 : 2 时，求点 D 的坐标；
（3）如图 2，点 E 的坐标为⎛ 0, - 3 ⎫ ，在抛物线上是否存在点 P ，使∠OBP = 2∠OBE ？若存在，
2 ⎪
⎝ ⎭
请直接写出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由。