最新题库2017-2018年广东省佛山市高二(上)期末数学试卷和答案(理科)
2017-2018学年广东省佛山市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若命题p：?x0∈R，x02+2x0+2≤0，则￢p为（）A．?x0∈R，x02+2x0+2＞0 B．?x0?R，x02+2x0+2＞0C．?x∈R，x2+2x+2≥0 D．?x∈R，x2+2x+2＞0是“关于x的方程x2+a=2x有实数根”的（）2．（5分）“a=1”A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）两条平行直线3x+4y﹣12=0与ax+8y+11=0间的距离为（）A．B．C．D．4．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）上点M（4，m）到其焦点的距离为6，则该抛物线的准线方程为（）A．x=﹣4 B．x=﹣2 C．x=2 D．x=45．（5分）直线2x﹣3y+2=0关于x轴对称的直线方程为（）A．2x+3y+2=0 B．2x+3y﹣2=0 C．2x﹣3y﹣2=0 D．2x﹣3y+2=06．（5分）已知双曲线的一条渐近线方程为y=x，则双曲线方程可以是（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=17．（5分）若圆C1：（x﹣1）2+y2=1与圆C2：x2+y2﹣8x+8y+m=0相切，则m等于（）A．16 B．7 C．﹣4或16 D．7或168．（5分）已知曲线C的方程为+=1，给定下列两个命题：p：若9＜k＜25，则曲线C为椭圆；q：若曲线C是焦点在x轴上的双曲线，则k＜9；那么，下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∧（￢q）C．（￢p）∧q D．（￢p）∧（￢q）9．（5分）若直线x﹣y+m=0与曲线y=有公共点，则m的取值范围是（）A．[﹣5，4﹣3]B．[﹣4﹣3，4﹣3]C．[﹣4﹣3，﹣5] D．[﹣5，﹣]10．（5分）已知椭圆E：的右焦点为F，过点F的直线l交E于A，B两点．若过原点与线段AB中点的直线的倾斜角为135°，则直线l的方程为（）A．x﹣ B．x C．x﹣y﹣3=0 D．x﹣2y﹣3=011．（5分）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，E，F分别是AB，AD的中点，PF⊥平面ABCD，且AB=BC=PF=，则异面直线PE，CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°12．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD 的面积为ab，则双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．4二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）过点（1，1）且与直线3x+4y+2=0垂直的直线方程．14．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．15．（5分）《九章算术?商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两壍堵．斜解壍nàｏ）”，就是在对长方体堵，其一为阳马，一为鳖臑．”这里所谓的“鳖臑（biē 进行分割时所产生的四个面都为直角三角形的三棱锥．已知三棱锥A﹣BCD是一个“鳖臑”，AB⊥平面BCD，AC⊥CD，且AB=，BC=CD=1，则三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为．16．（5分）P为双曲线x2﹣=1右支上一点，M、N分别是圆（x+4）2+y2=4和（x﹣4）2+y2=1上的点，则|PM|﹣|PN|的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知平行四边形ABCD的三个顶点坐标为A（﹣1，2），B（0，﹣1），C（4，1）．（Ⅰ）求顶点D的坐标；（Ⅱ）求四边形ABCD的面积．18．（12分）已知A为圆F：（x﹣4）2+y2=36上的动点，B的坐标为（﹣2，0），P在线段AB上，满足=．（Ⅰ）求P的轨迹C的方程．（Ⅱ）过点（﹣1，3）的直线l与C交于M，N两点，且|MN|=2，求直线l 的方程．19．（12分）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长均为2，E为CC1中点．（Ⅰ）求证：A1C1∥平面BED1；（Ⅱ）若∠DAB=60°，求平面BED1与平面ABCD所成锐二面角的大小．20．（12分）已知抛物线C的顶点在原点O，对称轴是x轴，且过点（3，2）．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）已知斜率为k的直线l交y轴于点P，且与曲线C相切于点A，点B在曲线C上，且直线PB∥x轴，P关于点B的对称点为Q，判断点A，Q，O是否共线，并说明理由．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△PAB、△ACD、△PBC均为等边三角形，AB⊥BC．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）求直线CD与平面PBC所成角的正弦值．22．（12分）已知椭圆F的两个焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），且经过点P（）．（Ⅰ）求椭圆F的标准方程；（Ⅱ）△ABC的顶点都在椭圆F上，其中A，B关于原点对称，试问△ABC能否为正三角形？并说明理由．2017-2018学年广东省佛山市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若命题p：?x0∈R，x02+2x0+2≤0，则￢p为（）A．?x0∈R，x02+2x0+2＞0 B．?x0?R，x02+2x0+2＞0C．?x∈R，x2+2x+2≥0 D．?x∈R，x2+2x+2＞0【解答】解：由特称命题的否定为全称命题，可得若命题p：?x0∈R，x02+2x0+2≤0，则￢p为?x∈R，x2+2x+2＞0．故选：D．是“关于x的方程x2+a=2x有实数根”的（）2．（5分）“a=1”A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：关于x的方程x2+a=2x有实数根，则△=4﹣4a≥0，解得a≤1．是“关于x的方程x2+a=2x有实数根”的充分不必要条件．∴“a=1”故选：A．3．（5分）两条平行直线3x+4y﹣12=0与ax+8y+11=0间的距离为（）A．B．C．D．【解答】解：直线3x+4y﹣12=0，即直线6x+8y﹣24=0，根据直线3x+4y﹣12=0与ax+8y+11=0平行，可得a=6，故两条平行直线3x+4y﹣12=0与ax+8y+11=0间的距离为=，故选：C．4．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）上点M（4，m）到其焦点的距离为6，则该抛物线的准线方程为（）A．x=﹣4 B．x=﹣2 C．x=2 D．x=4【解答】解：根据题意，抛物线的方程为y2=2px，则其准线为x=﹣，又由抛物线上点M（4，m）到其焦点的距离为6，则M到准线的距离为6，则有|4﹣（﹣）|=6，解可得﹣=﹣2，即抛物线的准线方程为x=﹣2；故选：B．5．（5分）直线2x﹣3y+2=0关于x轴对称的直线方程为（）A．2x+3y+2=0 B．2x+3y﹣2=0 C．2x﹣3y﹣2=0 D．2x﹣3y+2=0【解答】解：点（x，y）关于x轴对称的特点为（x，﹣y），将直线2x﹣3y+2=0中的x不变，y换为﹣y，可得2x+3y+2=0．故选：A．6．（5分）已知双曲线的一条渐近线方程为y=x，则双曲线方程可以是（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，双曲线的方程为﹣=1，其焦点在x轴上，a=，b=2，渐近线方程为y=±x，不符合题意；对于B，双曲线的方程为﹣=1，其焦点在y轴上，a=，b=2，渐近线方程为y=±x，不符合题意；对于C，双曲线的方程为﹣=1，其焦点在x轴上，a=4，b=3，渐近线方程为y=±x，不符合题意；对于D，双曲线的方程为﹣=1，其焦点在y轴上，a=4，b=3，渐近线方程为y=±x，符合题意；故选：D．7．（5分）若圆C1：（x﹣1）2+y2=1与圆C2：x2+y2﹣8x+8y+m=0相切，则m等于（）A．16 B．7 C．﹣4或16 D．7或16【解答】解：圆C1：（x﹣1）2+y2=1的圆心为（1，0），半径为1；圆C2：x2+y2﹣8x+8y+m=0化为（x﹣4）2+（y+4）2=32﹣m，表示以（4，﹣4）为圆心，半径等于的圆；由题意，两个圆相内切时，两圆的圆心距等于半径之差的绝对值，可得5=|﹣1|，解得m=﹣4．两个圆相外切，两圆的圆心距等于半径之和，可得5=+1，解得m=16，综上，m的值为﹣4或16．故选：C．8．（5分）已知曲线C的方程为+=1，给定下列两个命题：p：若9＜k＜25，则曲线C为椭圆；q：若曲线C是焦点在x轴上的双曲线，则k＜9；那么，下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∧（￢q）C．（￢p）∧q D．（￢p）∧（￢q）【解答】解：由25﹣k=k﹣9时，2k=34，得k=17时，方程不表示椭圆，即命题p 是假命题，若曲线C是焦点在x轴上的双曲线，则，即，得k＜9，即命题q是真命题，则（￢p）∧q为真命题，其余为假命题，故选：C．9．（5分）若直线x﹣y+m=0与曲线y=有公共点，则m的取值范围是（）A．[﹣5，4﹣3]B．[﹣4﹣3，4﹣3]C．[﹣4﹣3，﹣5] D．[﹣5，﹣]【解答】解：显然曲线y=有表示一个圆心为（3，0），半径r=2的半圆，根据题意画出图形，如图所示：当直线与圆相切时，圆心到直线y=x+m的距离d=r，，解得：m=4﹣3或m=﹣4﹣3（舍去），当直线过（5，0）时，代入得：5+m=0，解得：m=﹣5，则满足题意的m的范围是[﹣5，4﹣3]，故选：A．10．（5分）已知椭圆E：的右焦点为F，过点F的直线l交E于A，B两点．若过原点与线段AB中点的直线的倾斜角为135°，则直线l的方程为（）A．x﹣ B．x C．x﹣y﹣3=0 D．x﹣2y﹣3=0【解答】解：由椭圆E：，得a2=18，b2=9，则c=，∴椭圆E：的右焦点为F（3，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点M（x0，y0），则，，两式作差可得：，即，∵过原点与线段AB中点的直线的倾斜角为135°，∴，则，即AB所在直线的斜率为，∴直线l的方程为y﹣0=（x﹣3），即x﹣2y﹣3=0．故选：D．11．（5分）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，E，F分别是AB，AD的中点，PF⊥平面ABCD，且AB=BC=PF=，则异面直线PE，CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：∵在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，E，F分别是AB，AD的中点，PF⊥平面ABCD，且AB=BC=PF=，∴以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，过A作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，P（2，0，2），E（0，1，0），C（2，2，0），D（4，0，0），=（﹣2，1，﹣2），=（2，﹣2，0），设异面直线PE，CD所成的角为θ，则cosθ＝==，∴θ=45°，∴异面直线PE，CD所成的角为45°．故选：B．12．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD 的面积为ab，则双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．4【解答】解：以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为x2+y2=a2，双曲线的两条渐近线方程为y=±x，设A（x，x），（x＞0），由对称性可得四边形ABCD为矩形，∵四边形ABCD的面积为ab，∴2x?=ab，∴x=a，将A（a，b）代入x2+y2=a2，可得a2+b2=a2，∴b2=3a2，∴双曲线的离心率e====2，故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）过点（1，1）且与直线3x+4y+2=0垂直的直线方程4x﹣3y﹣1=0．【解答】解：设与直线3x+4y+2=0垂直的直线方程为：4x﹣3y+m=0，把点（1，1）代入可得：4﹣3+m=0，解得m=﹣1．∴要求的直线方程为：4x﹣3y﹣1=0．故答案为：4x﹣3y﹣1=0．14．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为12+．【解答】解：由几何体的三视图得：该几何体是长方体和圆锥的组合体，其中长方体的长为2，宽为2，高为3，圆锥的底面半径r=，高为2，∴该几何体的体积：V==12+．故答案为：．15．（5分）《九章算术?商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两壍堵．斜解壍nàｏ）”，就是在对长方体堵，其一为阳马，一为鳖臑．”这里所谓的“鳖臑（biē 进行分割时所产生的四个面都为直角三角形的三棱锥．已知三棱锥A﹣BCD是一个“鳖臑”，AB⊥平面BCD，AC⊥CD，且AB=，BC=CD=1，则三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为4π．【解答】解：∵三棱锥A﹣BCD是一个“鳖臑”，AB⊥平面BCD，AC⊥CD，且AB=，BC=CD=1，∴三棱锥A﹣BCD的外接球的半径：R====1，∴三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为：S=4πＲ2=4π．故答案为：4π．16．（5分）P为双曲线x2﹣=1右支上一点，M、N分别是圆（x+4）2+y2=4和（x﹣4）2+y2=1上的点，则|PM|﹣|PN|的最大值为5．【解答】解：双曲线的两个焦点为F1（﹣4，0）、F2（4，0），为两个圆的圆心，半径分别为r1=2，r2=1，|PM|max=|PF1|+2，|PN|min=|PF2|﹣1，故|PM|﹣|PN|的最大值为（|PF1|+2）﹣（|PF2|﹣1）=|PF1|﹣|PF2|+3=5．故答案为：5．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知平行四边形ABCD的三个顶点坐标为A（﹣1，2），B（0，﹣1），C（4，1）．（Ⅰ）求顶点D的坐标；（Ⅱ）求四边形ABCD的面积．【解答】解：（Ⅰ）如图，设AC∩BD=M，因为四边形ABCD为平行四边形，所以对角线互相平分，又A（﹣1，2），C（4，1）．∴M，又B（0，﹣1），所以顶点D的坐标为（3，4）．（Ⅱ）依题意可得k BC==，故直线BC的方程为y=x﹣1，即x﹣2y﹣2=0，又|BC|==2，点A到直线BC的距离d==．所以四边形ABCD的面积S=|BC|?d=2=14．18．（12分）已知A为圆F：（x﹣4）2+y2=36上的动点，B的坐标为（﹣2，0），P在线段AB上，满足=．（Ⅰ）求P的轨迹C的方程．（Ⅱ）过点（﹣1，3）的直线l与C交于M，N两点，且|MN|=2，求直线l 的方程．【解答】解：（Ⅰ）设点P的坐标为（x，y），点A的坐标为（x0，y0），依题意得，即（x﹣x0，y﹣y0）=2（﹣2﹣x，﹣y），所以，解得，又：（x0﹣4）2+y02=36，即x2+y2=4．又|AP|≠0，所以点P的轨迹C的方程为x2+y2=4．（x≠﹣2）．（Ⅱ）因为直线l与曲线C交于M，N两点，且|MN|=2，所以原点O到直线l的距离d==1．若l斜率不存在，直线l的方程为x=﹣1，此时符合题意；若l斜率存在，设直线l的方程为y﹣3=k（x+1），即kx﹣y+k+3=0，则原点O到直线l的距离d=，解得k=﹣，此时直线l的方程为4x+3y﹣5=0所以直线l的方程为4x+3y﹣5=0或x=﹣1．19．（12分）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长均为2，E为CC1中点．（Ⅰ）求证：A1C1∥平面BED1；（Ⅱ）若∠DAB=60°，求平面BED1与平面ABCD所成锐二面角的大小．【解答】（Ⅰ）证明：连结AC交BD于O，取BD1的中点F，连结EF，FO．∵AA1∥CC1，且AA1=CC1，∴ACC1A1是平行四边形，故A1C1∥AC．又OF是△BDD1的中位线，∴OF∥DD1，OF=，则OF∥EC，OF=EC，∴四边形OCEF为平行四边形．∴OC∥EF，则A1C1∥EF，又A1C1?平面BED1，EF?平面BED1，∴A1C1∥平面BED1；（Ⅱ）解：以O为原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz如图所示，则B（0，1，0），E（，0，1），D1（0，﹣1，2），，，设平面BED1的法向量，则，令y=1，得，显然平面ABCD的一个法向量，∴cos＜＞=，∴平面BED1与平面ABCD所成锐二面角的大小为45°．20．（12分）已知抛物线C的顶点在原点O，对称轴是x轴，且过点（3，2）．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）已知斜率为k的直线l交y轴于点P，且与曲线C相切于点A，点B在曲线C上，且直线PB∥x轴，P关于点B的对称点为Q，判断点A，Q，O是否共线，并说明理由．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，可设抛物线C的标准方程为y2=2px（p＞0），∴，解得p=2，∴抛物线C的方程为y2=4x；（Ⅱ）点A，Q，O共线，理由如下：设直线l：y=kx+m，联立，得k2x2+（2km﹣4）x+m2=0．①由△=（2km﹣4）2﹣4m2k2=16（1﹣mk）=0，得m=，则直线l：y=kx+，得P（0，），B（，），又P关于点B的对称点为Q，故Q（，），此时，①可化为，解得x=，∴y=kx+=，即A（），∴k OA=k OQ=2k，即点A、Q、O共线．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△PAB、△ACD、△PBC均为等边三角形，AB⊥BC．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）求直线CD与平面PBC所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：因为AB=CB，AD=CD，BD为公共边，所以△ABD≌△CBD，所以∠ABD=∠CBD，又AB=CB，所以AC⊥BD，且O为AC中点．又PA=PC，所以PO⊥AC，又AB⊥BC，所以OA=OB=OC，结合PA=PB，可得Rt△POA≌Rt△POB，所以∠POB=∠POA=90°，即PO⊥OB，又OA∩OB=O，故PO⊥平面ABCD，又BD?平面ABCD，所以PO⊥BD．又PO∩AC=O，所以BD⊥平面PAC．（Ⅱ）解：以O为原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz如图所示，不妨设OA=1，易得OP=1，OD=，则P（0，0，1），B（﹣1，0，0），C（0，1，0），D（，0，0），所以，，，设平面PBC的法向量为，则，得，设直线CD与平面PBC所成角为θ，则|cos|=||==，sinθ＝所以CD与平面PBC所成角的正弦值为．22．（12分）已知椭圆F的两个焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），且经过点P（）．（Ⅰ）求椭圆F的标准方程；（Ⅱ）△ABC的顶点都在椭圆F上，其中A，B关于原点对称，试问△ABC能否为正三角形？并说明理由．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆F的标准方程为（a＞b＞0），依题意得c=2，2a=|PF1|+|PF2|=，∴a=，则b2=a2﹣c2=6，故椭圆F的标准方程为；（Ⅱ）若△ABC为正三角形，则AB⊥OC且|OC|=|OA|，显然直线AB的斜率存在且不为0，设AB方程为y=kx，则OC的方程为y=﹣，联立，解得，，∴|OA|=，同理可得|OC|=．又|OC|=|OA|，∴，化简得：k2=﹣3，k无实数解，∴△ABC不可能为正三角形．。
广东省佛山市2017-2018学年高二上学期期末教学质量检测数学(理)试题(无答案)
2017～2018学年佛山市普通高中高二教学质量检测数 学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,满分150分．考试时间120分钟． 注意事项:1．答卷前,考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目．2．选择题每小题选出答案后,用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．请考生保持答题卷的整洁．考试结束后,将答题卷和答题卡交回．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．若命题2000:,220,p x R x x p ∃∈++≤⌝则为( )A ．022,0200>++∈∃x x R xB ． 022,0200>++∉∃x x R xC ． 022,2≥++∈∀x x R xD ． 022,2>++∈∀x x R x 2．“1=a ”是“关于x 的方程x a x 22=+有实数根”的( )A ． 充分不必要条件B ．必要不充分条件C ． 充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3．两条平行直线01243=-+y x 与0118=++y ax 间的距离为( )A ．1013B ．513C.27D ．523 4．已知抛物线px y 22=()0>p 上点M ()m ,4到焦点的距离为6，则该抛物线的准线方程为( )A ．4-=xB ．2-=xC ．2=xD ．4=x5．直线0232=+-y x 关于x 轴对称的直线方程为( )A ．0232=++y xB ．0232=-+y xC ．0232=--y xD ．0232=+-y x 6．已知双曲线的一条渐近线方程为x y 34=，则双曲线方程可以是( ) A ．14322=-y x B ． 14322=-x y C ．191622=-y x D ．191622=-x y 7．若圆1C ：()1122=+-y x 与圆088:222=++-+m y x y x C 相切，则m 等于( )A ．16B ．7C ．-4或16D ．7或168．已知曲线C 的方程为221259x y k k +=--，给定下列两个命题： p ：若9<k<25，则曲线C 为椭圆q ：若曲线C 是焦点在x 轴上的双曲线，则k<9.2018年1月那么，下列命题为真命题的是( ) A ． q p ∧B ．)(q p ⌝∧C ．q p ∧⌝)(D ．)()(q p ⌝∧⌝90y m -+=与直线2)3(4--=x y 有公共点，则m 的取值范围是( )A ．4⎡--⎣B ．[]334,334---C ．[]35,334---D ． []3,35--10．已知椭圆E ：22+1189x y =的右焦点为F ，过点F 的直线l 交E 于B A ,两点，若过原点与线段AB 中点的直线的倾斜角为︒135，则直线l 的方程为( )A ． 03-y 2-x =B ．03-y 2x =+C ． 03-y -x =D ． 03-2y -x = 11．在直角梯形ABCD 中，FE AD AB BC AD ,,,//⊥分别是AD AB ,的中点，⊥PF 平面ABCD ，且，221====AD PF BC AB 则异面直线CD PE ,所成的角为( ) A ．︒30 B ． ︒45 C ． ︒60 D ．︒9012．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x ，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐进线相交于A ,B .C .D 四点，四边形ABCD 的面积为ab ，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．2C ．5D ． 4第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题:本大共4小题,每小题5分,满分20分．13．过点）（1,1且与直线024x 3=++y 垂直的直线方程 ． 14．一个几何体的三视图如图1所示，则该几何体的体积为 ．15．《九章算术•商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两壍堵．斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑．”这里所谓的“鳖臑（biē nào ）”，就是在对长方体进行分割时所产生的四个面都为直角三角形的三棱锥。
2017-2018学年广东省佛山市高二(上)期末数学试卷(理科)
2017-2018学年广东省佛山市高二（上）期末数学试卷（理科）副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若命题p：∃x0∈R，x02+2x0+2≤0，则￢p为（）A. ∃x0∈R，x02+2x0+2>0B. ∃x0∉R，x02+2x0+2>0C. ∀x∈R，x2+2x+2≥0D. ∀x∈R，x2+2x+2>02.“a=1”是“关于x的方程x2+a=2x有实数根”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.两条平行直线3x＋4y−12=0与ax＋8y＋11=0间的距离为（）A. 1310B. 135C. 72D. 2354.已知抛物线y2=2px（p＞0）上点M（4，m）到其焦点的距离为6，则该抛物线的准线方程为（）A. x=−4B. x=−2C. x=2D. x=45.直线2x-3y+2=0关于x轴对称的直线方程为（）A. 2x+3y+2=0B. 2x+3y−2=0C. 2x−3y−2=0D. 2x−3y+2=06.已知双曲线的一条渐近线方程为y=43x，则双曲线方程可以是（）A. x23−y24=1 B. y23−x24=1 C. x216−y29=1 D. y216−x29=17.若圆C1：(x−1)2+y2=1与圆C2：x2+y2−8x+8y+m=0相切，则m等于()A. 16B. 7C. −4或16D. 7或168.已知曲线C的方程为x225−k +y2k−9=1，给定下列两个命题：p：若9＜k＜25，则曲线C为椭圆；q：若曲线C是焦点在x轴上的双曲线，则k＜9；那么，下列命题为真命题的是（）A. p∧qB. p∧(￢q)C. (￢p)∧qD. (￢p)∧(￢q)9.若直线√3x-y+m=0与曲线y=√4−(x−3)2有公共点，则m的取值范围是（）A. [−5√3,4−3√3]B. [−4−3√3,4−3√3]C. [−4−3√3,−5√3]D. [−5√3,−√3]10.已知椭圆E：x218+y29=1的右焦点为F，过点F的直线l交E于A，B两点．若过原点与线段AB中点的直线的倾斜角为135°，则直线l的方程为（）A. x−√2y−3=0B. x+√2y−3=0C. x−y−3=0D. x−2y−3=011.在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，E，F分别是AB，AD的中点，PF⊥平面ABCD，且AB=BC=PF=12AD=2，则异面直线PE，CD所成的角为（）A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘12.已知双曲线x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为ab，则双曲线的离心率为（）A. √2B. 2C. √5D. 4二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.过点（1，1）且与直线3x+4y+2=0垂直的直线方程______．14.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______．15.《九章算术•商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两壍堵．斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑．”这里所谓的“鳖臑（biēnào）”，就是在对长方体进行分割时所产生的四个面都为直角三角形的三棱锥．已知三棱锥A-BCD是一个“鳖臑”，AB⊥平面BCD，AC⊥CD，且AB=√2，BC=CD=1，则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为______．16.P为双曲线x2-y215=1右支上一点，M、N分别是圆（x+4）2+y2=4和（x-4）2+y2=1上的点，则|PM|-|PN|的最大值为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知平行四边形ABCD的三个顶点坐标为A（-1，2），B（0，-1），C（4，1）．（Ⅰ）求顶点D的坐标；（Ⅱ）求四边形ABCD的面积．18.已知A为圆F：（x-4）2+y2=36上的动点，B的坐标为（-2，0），P在线段AB上，满足|BP||AP|=1 2．（Ⅰ）求P的轨迹C的方程．（Ⅱ）过点（-1，3）的直线l与C交于M，N两点，且|MN|=2√3，求直线l的方程．19.如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长均为2，E为CC1中点．（Ⅰ）求证：A1C1∥平面BED1；（Ⅱ）若∠DAB=60°，求平面BED1与平面ABCD所成锐二面角的大小．20.已知抛物线C的顶点在原点O，对称轴是x轴，且过点（3，2√3）．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）已知斜率为k的直线l交y轴于点P，且与曲线C相切于点A，点B在曲线C上，且直线PB∥x轴，P关于点B的对称点为Q，判断点A，Q，O是否共线，并说明理由．21.如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAB、△ACD、△PBC均为等边三角形，AB⊥BC．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）求直线CD与平面PBC所成角的正弦值．22.已知椭圆F的两个焦点分别为F1（-2，0），F2（2，0），且经过点P（52，−32）．（Ⅰ）求椭圆F的标准方程；（Ⅱ）△ABC的顶点都在椭圆F上，其中A，B关于原点对称，试问△ABC能否为正三角形？并说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】解：由特称命题的否定为全称命题，可得若命题p：∃x0∈R，x02+2x0+2≤0，则￢p为∀x∈R，x2+2x+2＞0．故选：D．运用特称命题的否定为全称命题，以及量词和不等号的变化，即可得到所求命题的否定．本题考查命题的否定，注意运用特称命题的否定为全称命题，以及量词和不等号的变化，考查转化思想，属于基础题．2.【答案】A【解析】【分析】本题考查了方程与不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．关于x的方程x2+a=2x有实数根，则△≥0，解得a范围．即可判断出关系．【解答】解：关于x的方程x2+a=2x有实数根，则△=4-4a≥0，解得a≤1．∴“a=1”是“关于x的方程x2+a=2x有实数根”的充分不必要条件．故选A．3.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查两平行线间的距离公式的应用，要注意先把两直线的方程中x，y的系数化为相同的，然后才能用两平行线间的距离公式，属于基础题.先把两直线的方程中x，y的系数化为相同的，然后才能用两平行线间的距离公式，求得结果.【解答】解：直线3x+4y-12=0，即直线6x+8y-24=0，根据直线3x+4y-12=0与ax+8y+11=0平行，可得a=6，故两条平行直线3x+4y-12=0与ax+8y+11=0间的距离为=，故选C.4.【答案】B【解析】【分析】本题考查抛物线的几何性质，关键是分析得到点M到准线的距离为6．根据题意，由抛物线的标准方程求出其准线方程，利用抛物线的定义可得|4-（-）|=6，解可得-=-2，即可得抛物线的准线方程．【解答】解：根据题意，抛物线的方程为y2=2px，则其准线为x=-，又由抛物线上点M（4，m）到其焦点的距离为6，则M到准线的距离为6，则有|4-（-）|=6，解可得-=-2，即抛物线的准线方程为x=-2；故选B.5.【答案】A【解析】解：点（x，y）关于x轴对称的特点为（x，-y），将直线2x-3y+2=0中的x不变，y换为-y，可得2x+3y+2=0．故选：A．由点（x，y）关于x轴对称的特点为（x，-y），即可得到所求对称的直线方程．本题考查直线关于直线的对称问题解法，注意特殊直线的代换方法，考查运算能力，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，双曲线的方程为-=1，其焦点在x轴上，a=，b=2，渐近线方程为y=±x，不符合题意；对于B，双曲线的方程为-=1，其焦点在y轴上，a=，b=2，渐近线方程为y=±x，不符合题意；对于C，双曲线的方程为-=1，其焦点在x轴上，a=4，b=3，渐近线方程为y=±x，不符合题意；对于D，双曲线的方程为-=1，其焦点在y轴上，a=4，b=3，渐近线方程为y=±x，符合题意；故选：D．根据题意，依次分析选项，求出选项中双曲线的渐近线方程，综合即可得答案．本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意分析双曲线的焦点的位置．7.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了两圆的位置关系应用问题，也考查了分类讨论思想，是中档题．根据两圆内切时两圆的圆心距等于半径之差的绝对值，两圆外切时两圆的圆心距等于半径之和，列方程求出m的值．【解答】解：圆C1：（x-1）2+y2=1的圆心为（1，0），半径为1；圆C2：x2+y2-8x+8y+m=0化为（x-4）2+（y+4）2=32-m，表示以（4，-4）为圆心，半径等于的圆；由题意，两个圆相内切时，两圆的圆心距等于半径之差的绝对值，可得5=|-1|，解得m=-4．两个圆相外切，两圆的圆心距等于半径之和，可得5=+1，解得m=16，综上，m的值为-4或16．故选C．8.【答案】C【解析】解：由25-k=k-9时，2k=34，得k=17时，方程不表示椭圆，即命题p是假命题，若曲线C是焦点在x轴上的双曲线，则，即，得k＜9，即命题q是真命题，则（￢p）∧q为真命题，其余为假命题，故选：C．判断命题p，q的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．本题主要考查复合命题真假判断的应用，根据条件判断p，q的真假是解决本题的关键．9.【答案】A【解析】【分析】此题考查了直线与圆相切时满足的关系，以及点到直线的距离公式，考查了数形结合的数学思想．准确判断出曲线方程为半圆且根据题意画出图形是解本题的关键．显然曲线有表示一个圆心为（3，0），半径r=2的半圆，根据题意画出图形，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离d，让d等于半径列出关于m的方程，求出m的值；当直线过（5，0）时，把（5，0）代入直线方程求出m的值，根据两次求出的m的值写出满足题意m的范围即可【解答】解：显然曲线可化为.表示一个圆心为（3，0），半径r=2的半圆，根据题意画出图形，如图所示：当直线与圆相切时，圆心到直线的距离d=r，，解得：或（舍去），当直线过（5，0）时，代入得：，解得：，则满足题意的m的范围是，故选A.10.【答案】D【解析】【分析】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用“点差法”求解与弦中点有关的问题，是中档题．由已知椭圆方程求出椭圆右焦点坐标，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点M（x0，y0），结合已知利用“点差法”求得直线l的斜率，代入直线方程点斜式得答案．【解答】解：由椭圆E：，得a2=18，b2=9，则c=，∴椭圆E：的右焦点为F（3，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点M（x0，y0），则，，两式作差可得：，即，∵过原点与线段AB中点的直线的倾斜角为135°，∴，则，即AB所在直线的斜率为，∴直线l的方程为y-0=（x-3），即x-2y-3=0．故选D．11.【答案】B【解析】【分析】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．以A为原点，AD为x轴，AB 为y轴，过A作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PE，CD所成的角．【解答】解：∵在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，E，F分别是AB，AD的中点，PF⊥平面ABCD，且AB=BC=PF=，∴以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，过A作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，P（2，0，2），E（0，1，0），C（2，2，0），D（4，0，0），=（-2，1，-2），=（2，-2，0），设异面直线PE，CD所成的角为θ，则cosθ===，∴θ=45°，∴异面直线PE，CD所成的角为45°．故选B．12.【答案】B【解析】【分析】本题考查双曲线的方程与性质，主要是离心率的求法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为x2+y2=a2，双曲线的两条渐近线方程为y=±x，利用四边形ABCD的面积为ab，求出A的坐标，代入圆的方程，结合离心率公式，即可得出结论．【解答】解：以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为x2+y2=a2，双曲线的两条渐近线方程为y=±x，设A（x，x），（x＞0），由对称性可得四边形ABCD为矩形，∵四边形ABCD的面积为ab，∴2x•=ab，∴x=a，将A（a，b）代入x2+y2=a2，可得a2+b2=a2，∴b2=3a2，∴双曲线的离心率e====2，故选B．13.【答案】4x-3y-1=0【解析】【分析】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．设与直线3x+4y+2=0垂直的直线方程为：4x-3y+m=0，把点（1，1）代入可得m，即可得出．【解答】解：设与直线3x+4y+2=0垂直的直线方程为：4x-3y+m=0，把点（1，1）代入可得：4-3+m=0，解得m=-1．∴要求的直线方程为：4x-3y-1=0．故答案为4x-3y-1=0．π14.【答案】12+32【解析】解：由几何体的三视图得：该几何体是长方体和圆锥的组合体，其中长方体的长为2，宽为2，高为3，圆锥的底面半径r=，高为2，∴该几何体的体积：V==12+．故答案为：．由几何体的三视图得：该几何体是长方体和圆锥的组合体，其中长方体的长为2，宽为2，高为3，圆锥的底面半径r=，高为2，由此能求出该几何体的体积．本题考查几何体的体积的求法，考查几何体的三视图、长方体及圆锥的体积等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．15.【答案】4π【解析】【分析】本题考查三棱锥的外接球的表面积的求法，考查新宝定义、球等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．三棱锥A-BCD的外接球的半径：R==，由此能求出三棱锥A-BCD的外接球的表面积．【解答】解：∵三棱锥A-BCD是一个“鳖臑”，AB⊥平面BCD，AC⊥CD，且AB=，BC=CD=1，∴三棱锥A-BCD的外接球的半径：R====1，∴三棱锥A-BCD的外接球的表面积为：S=4πR2=4π．故答案为4π．16.【答案】5【解析】【分析】本题主要考查双曲线的几何性质以及平面几何等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质和数形结合的数学思想，考查解决问题的能力和运算能力．先由已知条件知道双曲线的两个焦点为两个圆的圆心，再利用平面几何知识把|PM|-|PN|转化为双曲线上的点到两焦点之间的距离即可求|PM|-|PN|的最大值．【解答】解：双曲线的两个焦点为F1（-4，0）、F2（4，0），为两个圆的圆心，半径分别为r1=2，r2=1，|PM|max=|PF1|+2，|PN|min=|PF2|-1，故|PM|-|PN|的最大值为（|PF 1|+2）-（|PF 2|-1）=|PF 1|-|PF 2|+3=5．故答案为5．17.【答案】解：（Ⅰ）如图，设AC ∩BD =M ，因为四边形ABCD 为平行四边形，所以对角线互相平分，又A （-1，2），C （4，1）．∴M (32，32)， 又B （0，-1），所以顶点D 的坐标为（3，4）．（Ⅱ）依题意可得k BC =−1−10−4=12，故直线BC 的方程为y =12x -1，即x -2y -2=0，又|BC |=√(4−0)2+(−1−1)2=2√5，点A 到直线BC 的距离d =|−1−2×2−2|√12+(−2)2=7√55． 所以四边形ABCD 的面积S =|BC |•d =2√5×7√55=14． 【解析】本题考查了平行四边形的性质、点到直线的距离公式、中点坐标公式、四边形的面积，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．（Ⅰ）如图，设AC∩BD=M ，因为四边形ABCD 为平行四边形，所以对角线互相平分，利用中点坐标公式可得M ，进而得到D 的坐标．（Ⅱ）依题意可得k BC ，可得点斜式可得直线BC 的方程，利用两点之间的距离公式可得：|BC|．利用点到直线的距离公式可得点A 到直线BC 的距离d ，即可得出．18.【答案】解：（Ⅰ）设点P 的坐标为（x ，y ），点A 的坐标为（x 0，y 0），依题意得AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即（x -x 0，y -y 0）=2（-2-x ，-y ），所以{y −y 0=−2y x−x 0=2(−2−x)，解得{y 0=3y x 0=3x+4， 又：（x 0-4）2+y 02=36，即x 2+y 2=4．又|AP |≠0，所以点P 的轨迹C 的方程为x 2+y 2=4．（x ≠-2）．（Ⅱ）因为直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，且|MN |=2√3，所以原点O 到直线l 的距离d =√4−3=1．若l 斜率不存在，直线l 的方程为x =-1，此时符合题意；若l 斜率存在，设直线l 的方程为y -3=k （x +1），即kx -y +k +3=0，则原点O 到直线l 的距离d =|k+3|√1+k 2=1，解得k =-43，此时直线l 的方程为4x +3y -5=0所以直线l 的方程为4x +3y -5=0或x =-1．【解析】（Ⅰ）设点P 的坐标为（x ，y ），点A 的坐标为（x 0，y 0），可得，又：（x 0-4）2+y 02=36，即x 2+y 2=4．即可求出， （Ⅱ）若l 斜率不存在，直线l 的方程为x=-1，此时符合题意；若l 斜率存在，设直线l 的方程为y-3=k （x+1），即kx-y+k+3=0，根据点到直线的距离公式即可求出本题考查了点的轨迹方程以及直线和圆的位置关系，属于中档题．19.【答案】（Ⅰ）证明：连结AC 交BD 于O ，取BD 1 的中点F ，连结EF ，FO ．∵AA 1∥CC 1，且AA 1=CC 1，∴ACC 1A 1 是平行四边形，故A 1C 1∥AC ．又OF 是△BDD 1 的中位线，∴OF ∥DD 1，OF =12DD 1，则OF ∥EC ，OF =EC ， ∴四边形OCEF 为平行四边形．∴OC ∥EF ，则A 1C 1∥EF ，又A 1C 1⊄平面BED 1，EF ⊂平面BED 1，∴A 1C 1∥平面BED 1；（Ⅱ）解：以O 为原点，建立空间直角坐标系O -xyz 如图所示，则B （0，1，0），E （−√3，0，1），D 1（0，-1，2），BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3，−1，1)，BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，−2，2)，设平面BED 1 的法向量n ⃗ =(x ，y ，z)，则{n ⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−√3x −y +z =0n ⃗ ⋅BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2y +2z =0，令y =1，得n ⃗ =(0，1，1)， 显然平面ABCD 的一个法向量m ⃗⃗⃗ =(0，0，1)，∴cos ＜n ⃗ ，m ⃗⃗⃗ ＞=n ⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ |⋅|m ⃗⃗⃗ |=1√2×1=√22， ∴平面BED 1 与平面ABCD 所成锐二面角的大小为45°．【解析】本题考查直线与平面平行的判定，考查利用空间向量求解二面角的平面角，是中档题．（Ⅰ）连结AC 交BD 于O ，取BD 1 的中点F ，连结EF ，FO ．由已知可得ACC 1A 1 是平行四边形，故A 1C 1∥AC ．再由三角形中位线定理可得OF ∥DD 1，OF=，则OF ∥EC ，OF=EC ，即四边形OCEF 为平行四边形．得到A 1C 1∥EF ，由线面平行的判定可得A 1C 1∥平面BED 1；（Ⅱ）以O 为原点，建立空间直角坐标系O-xyz 如图所示，由已知求得所用点的坐标，求出平面BED 1的法向量与平面ABCD 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面BED 1与平面ABCD 所成锐二面角的大小． 20.【答案】解：（Ⅰ）根据题意，可设抛物线C 的标准方程为y 2=2px （p ＞0）， ∴(2√3)2=2p ×3，解得p =2，∴抛物线C 的方程为y 2=4x ；（Ⅱ）点A ，Q ，O 共线，理由如下：设直线l ：y =kx +m ，联立{y =kx +m y 2=4x ，得k 2x 2+（2km -4）x +m 2=0．①由△=（2km -4）2-4m 2k 2=16（1-mk ）=0，得m =1k ， 则直线l ：y =kx +1k ，得P （0，1k ），B （14k 2，1k ），又P 关于点B 的对称点为Q ，故Q （12k 2，1k ），此时，①可化为k 2x 2−2x +1k 2=0，解得x =1k 2，∴y =kx +1k =2k ，即A （1k 2，2k ），∴k OA =k OQ =2k ，即点A 、Q 、O 共线．【解析】 本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，训练了点关于点的对称点的求法，是中档题．（Ⅰ）根据题意，可设抛物线C 的标准方程为y 2=2px （p ＞0），把已知点的坐标代入可得p 值，则抛物线方程可求；（Ⅱ）设直线l ：y=kx+m ，联立直线方程与抛物线方程，利用判别式为0求得m=，可得直线l ：y=kx+，得P （0，），B （，），再求出Q 的坐标，由斜率的关系可得点A ，Q ，O 是否共线．21.【答案】（Ⅰ）证明：因为AB =CB ，AD =CD ，BD 为公共边，所以△ABD ≌△CBD ，所以∠ABD =∠CBD ，又AB =CB ，所以AC ⊥BD ，且O 为AC 中点．又PA =PC ，所以PO ⊥AC ，又AB ⊥BC ，所以OA =OB =OC ，结合PA =PB ，可得Rt △POA ≌Rt △POB ，所以∠POB =∠POA =90°，即PO ⊥OB ，又OA ∩OB =O ，故PO ⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，所以PO ⊥BD ．又PO ∩AC =O ，所以BD ⊥平面PAC ．（Ⅱ）解：以O 为原点，建立空间直角坐标系O -xyz 如图所示，不妨设OA =1，易得OP =1，OD =√3， 则P （0，0，1），B （-1，0，0），C （0，1，0），D （√3，0，0），所以PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，1，−1)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，1，0)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3，−1，0)，设平面PBC 的法向量为n ⃗ =(x ，y ，z)，则{n ⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =y −z =0n ⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x +y =0，得n ⃗ =(−1，1，1)， 设直线CD 与平面PBC 所成角为θ，则sinθ=|cos ＜n ⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＞|=|n ⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ ||CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ||=√3+12×√3=3+√36， 所以CD 与平面PBC 所成角的正弦值为3+√36．【解析】 本题考查了线面垂直的判定，向量法求二面角，属于中档题．（Ⅰ）由△ABD ≌△CBD ，可得∠ABD=∠CBD ，AC ⊥BD ，即可得PO ⊥AC ，即PO ⊥OB ，又PO ⊥BD ．即可证得BD ⊥平面PAC ．（Ⅱ）以O 为原点，建立空间直角坐标系O-xyz 如图所示，求出平面PBC 的法向量为，则sinθ=|cos |=||==，即可．22.【答案】解：（Ⅰ）设椭圆F 的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）， 依题意得c =2，2a =|PF 1|+|PF 2|=√(52+2)2+(−32)2+√(52−2)2+(−32)2=2√10， ∴a =√10，则b 2=a 2-c 2=6，故椭圆F 的标准方程为x 210+y 26=1； （Ⅱ）若△ABC 为正三角形，则AB ⊥OC 且|OC |=√3|OA |，显然直线AB 的斜率存在且不为0，设AB 方程为y =kx ，则OC 的方程为y =-1k x ，联立{3x 2+5y 2=30y=kx ，解得x 2=305k 2+3，y 2=30k 25k 2+3， ∴|OA |=√x 2+y 2=√30(1+k 2)5k 2+3， 同理可得|OC |=√30(1+1k 2)5×1k 2+3=√30(k 2+1)3k 2+5．又|OC |=√3|OA |，∴√30(k2+1)3k 2+5=√3√30(k2+1)5k 2+3， 化简得：k 2=-3，k 无实数解，∴△ABC 不可能为正三角形．【解析】本题考查利用椭圆定义求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．（Ⅰ）由题意设出椭圆的标准方程并得到c ，再由定义求得a ，结合隐含条件求得b ，则椭圆方程可求；（Ⅱ）若△ABC 为正三角形，则AB ⊥OC 且|OC|=|OA|，显然直线AB 的斜率存在且不为0，设AB 方程为y=kx ，则OC 的方程为y=-，分别联立直线方程与椭圆方程，求出A ，C 的坐标，得到|OC|与|OA|，代入|OC|=|OA|，得到k 2=-3，k 无实数解，说明△ABC 不可能为正三角形．。
广东省佛山市高二上学期期末教学质量检测数学(理)试题
2018年佛山市普通高中高二教学质量检测数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若命题2000:,220p x x x ∃∈++≤R ，则p ⌝为（ ） A ．2000,220x x x ∃∈++>R B ．2000,220x x x ∃∉++>R C ．2,220x x x ∀∈++≥R D ．2,220x x x ∀∈++>R2．“1a =”是“关于x 的方程22x a x +=有实数根”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件3．两条平行直线34120x y +-=与8110ax y ++=间的距离为（ ） A ．1310 B ．135 C ．72 D ．2354．已知抛物线()220y px p =>上点()4,M m 到其焦点的距离为6，则该抛物线的准线方程为（ ）A ．4x =-B ．2x =-C ．2x =D ．4x = 5．直线2320x y -+=关于x 轴对称的直线方程为（ ）A ．2320x y ++=B ．2320x y +-=C ．2320x y --=D ．2320x y -+=6．已知双曲线一条渐近线方程为43y x =，则双曲线方程可以是（ ） A ．22134x y -= B ．22134y x -= C ．221169x y -= D ．221169y x -= 7．若圆()221:11C x y -+=与圆222:880C x y x y m +-++=相切，则m 等于（ ）A ．16B ．7C ．-4或16D ．7或168．已知曲线C 的方程为221259x y k k +=--，给定下列两个命题： p ：若925k <<，则曲线C 为椭圆；q ：若曲线C 是焦点在x 轴上的双曲线，则9k <.那么，下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．()p q ∧⌝C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝90y m -+=与曲线y =m 的取值范围是（ ）A ．4⎡--⎣B ．44⎡---⎣C ．4⎡---⎣D ．⎡-⎣10．已知椭圆22:1189x y E +=的右焦点为F ，过点F 的直线l 交E 于,A B 两点.若过原点与线段AB 中点的直线的倾斜角为135°，则直线l 的方程为（ ）A ．30x --=B ．30x +-=C ．30x y --=D ．230x y --=11．在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB AD ⊥，,E F 分别是,AB AD 的中点，PF ⊥平面ABCD ，且122AB BC PF AD ====，则异面直线,PE CD 所成的角为（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°12．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于,,,A B C D 四点，四边形ABCD 的面积为ab ，则双曲线的离心率为（ ）A B ．2 C ．4第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．过点()1,1且与直线3420x y ++=垂直的直线方程 ．14．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．15．《九章算术·商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两壍堵.斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑.”这里所谓的“鳖臑（bi ē n ào ）”，就是在对长方体进行分割时所产生的四个面都为直角三角形的三棱锥.已知三棱锥A BCD -是一个“鳖臑”，AB ⊥平面BCD ，AC CD ⊥，且AB =，1BC CD ==，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为 ．16．P 是双曲线22115y x -=右支上一点，,M N 分别是圆()2244x y ++=和()2241x y -+=上的点，则PM PN -的最大值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知平行四边形ABCD 的三个顶点坐标为()1,2A -，()0,1B -，()4,1C . （Ⅰ）求顶点D 的坐标； （Ⅱ）求四边形ABCD 的面积.18．已知A 为圆()22:436x y Γ-+=上的动点，B 的坐标为()2,0-，P 在线段AB 上，满足12BP AP =. （Ⅰ）求P 的轨迹C 的方程.（Ⅱ）过点()1,3-的直线l 与C 交于,M N 两点，且MN =l 的方程. 19．如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长均为2，E 为1CC 中点.（Ⅰ）求证：11A C ∥平面1BED ；（Ⅱ）若60DAB ∠=︒，求平面1BED 与平面ABCD 所成锐二面角的大小.20．已知抛物线C 的顶点在原点O ，对称轴是x 轴，且过点(3,. （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）已知斜率为k 的直线l 交y 轴于点P ，且与曲线C 相切于点A ，点B 在曲线C 上，且直线PB x ∥轴，P 关于点B 的对称点为Q ，判断点,,A Q O 是否共线，并说明理由. 21．如图，在四棱锥P ABCD -中，PAB ∆、ACD ∆、PBC ∆均为等边三角形，AB BC ⊥. （Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）求直线CD 与平面PBC 所成角的正弦值.22．已知椭圆Γ的两个焦点分别为()12,0F -，()22,0F ，且经过点53,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；（Ⅱ）ABC ∆的顶点都在椭圆Γ上，其中A B 、关于原点对称，试问ABC ∆能否为正三角形？并说明理由.2017~2018年佛山市普通高中高二教学质量检测数学（理科）参考答案与评分标准一、选择题1-5：DACBA 6-10：DCCAD 11、12：BB二、填空题13．4310x y --= 14．3122π+15．4π 16．5 三、解答题17．解：(Ⅰ)如图，设AC BD M =I ，因为四边形ABCD 为平行四边形，所以对角线互相平分， 又()1,2A -，()4,1C ，所以33,22M ⎛⎫⎪⎝⎭， 又()0,1B -，所以顶点D 的坐标为()3,4.(Ⅱ)依题意可得111402BC k +==-， 故直线BC 的方程为112y x =-，即220x y --=，又BC ==点A 到直线BC的距离d ==所以四边形ABCD的面积145S BC d ===. 18．解：(Ⅰ)设点P 的坐标为(),x y ，点A 的坐标为()00,x y ，依题意得2AP PB =uu u r uu r，即()()00,22,x x y y x y --=---，所以()00222x x x y y y-=--⎧⎪⎨-=-⎪⎩，解得00343x x y y =+⎧⎨=⎩， 又()2200436x y -+=，所以229936x y +=，即224x y +=又0AP ≠，所以点P 的轨迹C 的方程为()2242x y x +=≠-. (Ⅱ)因为直线l 与曲线C 交于,M N两点，且MN =， 所以原点O 到直线l的距离1d ==.若l 斜率不存在，直线l 的方程为1x =-，此时符合题意；若l 斜率存在，设直线l 的方程为()31y k x -=+，即30kx y k -++=， 则原点O 到直线l的距离1d ==，解得43k =-，此时直线l 的方程为4350x y +-=所以直线l 的方程为4350x y +-=或1x =-.19．解：(Ⅰ)连结AC 交BD 于O ，取1BD 中点F ，连结,EF FO .因为11AA CC ∥，所以11ACC A 是平行四边形，故11AC AC ∥.又OF 是1BDD ∆的中位线，故112OF DD ∥，所以OF EC ∥， 所以四边形OCEF 为平行四边形. 所以OC EF ∥，所以11AC EF ∥， 又11A C ⊄平面1BED ，EF ⊂平面1BED ， 所以11A C ∥平面1BED.(Ⅱ)以O 为原点，建立空间直角坐标系O xyz -如图所示，则()0,1,0B，()E ，()10,1,2D -，()1,1BE =-uur ，()10,2,2BD =-uuu r，设平面1BED 的法向量()1,,n x y z =u r，则11100n BE n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r uur u r uuu r，即0220y z y z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩， 解得0x z y=⎧⎨=⎩，令1y =，得()10,1,1n =u r，显然平面ABCD 的一个法向量()20,0,1n =u u r，所以121212cos ,n n n n n n ⋅===u r u u ru r u u r u r u u r ， 所以平面1BED 与平面ABCD 所成锐二面角的大小为45°.20．解：(Ⅰ)根据题意，可设抛物线C 的标准方程为()220y px p =>，所以(223p =⋅，解得2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =. (Ⅱ)点,,A Q O 共线，理由如下：设直线:l y kx m =+，联立24y xy kx m⎧=⎨=+⎩得()222240k x mk x m +-+=(*)由()()2222441610mk m k mk ∆=--=-=，解得1m k=， 则直线1:l y kx k =+，得10,P k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，211,4B k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 又P 关于点B 的对称点为Q ，故211,2Q k k ⎛⎫⎪⎝⎭， 此时，(*)可化为222120k x x k -+=，解得21x k=，故12y kx k k =+=，即212,A k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以2OA OQ k k k ==，即点,,A Q O 共线.21．解：(Ⅰ)因为AB CB =，AD CD =，BD 为公共边， 所以ABD CBD ∆≅∆，所以ABD CBD ∠=∠，又AB BC =， 所以AC BD ⊥，且O 为AC 中点. 又PA PC =，所以PO AC ⊥，又AB BC ⊥，所以OA OB OC ==，结合PA PB =， 可得Rt Rt POA POB ∆≅∆， 所以90POB POA ∠=∠=︒， 即PO OB ⊥，又OA OB O =I ，故PO ⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，所以PO BD ⊥. 又PO AC O =I ，所以BD ⊥平面PAC .(Ⅱ)以O 为原点，建立空间直角坐标系O xyz -如图所示，不妨设1OA =，易得1OP =，OD =则()0,0,1P ，()1,0,0B -，()0,1,0C，)D， 所以()0,1,1PC =-uu u r ，()1,1,0BC =uu u r，)1,0CD =-uu u r ，设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =r，则 0n PC n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uu u r r uu ur ，即00y z x y -=⎧⎨+=⎩，解得x y z y =-⎧⎨=⎩， 令1y =得()1,1,1n =-r，设直线CD 与平面PBC 所成角为θ，则sin cos ,n CD n CD n CD θ⋅==r uu u r r uu u r r uu ur 36==， 所以CD 与平面PBC22．解：(Ⅰ)设椭圆Γ的标准方程为()222210x y a b a b+=>>，依题意得2c =，122a PF PF =+==，所以a =222b ac =-，故椭圆Γ的标准方程为221106x y +=. (Ⅱ)若ABC ∆为正三角形，则AB OC ⊥且OC OA =，显然直线AB 的斜率存在且不为0， 设AB 方程为y kx =，则OC 的方程为1y x k =-，联立方程223530y kx x y =⎧⎨+=⎩， 解得223053x k =+，2223053k y k =+，所以OA ==同理可得OC ==又OC OA ==化简得23k =-无实数解， 所以ABC ∆不可能为正三角形.。
2017年广东省佛山市高二上学期期末数学试卷与解析答案(理科)
2016-2017学年广东省佛山市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）过点A（2，1），且与直线x+2y﹣1=0垂直的直线方程为（）A．x+2y﹣4=0 B．x﹣2y=0 C．2x﹣y﹣3=0 D．2x+y﹣5=02．（5分）“a=3”是“直线ax﹣2y﹣1=0与直线6x﹣4y+c=0平行”的（）A．充分条件不必要 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）若命题“p∧（￢q）”与“￢p”均为假命题，则（）A．p真q真B．p假q真C．p假q假D．p真q假4．（5分）已知两条不同直线m、l，两个不同平面α、β，下列命题正确的是（）A．若l∥α，则l平行于α内的所有直线B．若m⊂α，l⊂β且l⊥m，则α⊥βC．若l⊂β，l⊥α，则α⊥βD．若m⊂α，l⊂β且α∥β，则m∥l5．（5分）在两坐标轴上截距均为m（m∈R）的直线l1与直线l2：2x+2y﹣3=0的距离为，则m=（）A．B．7 C．﹣或D．﹣1或76．（5分）已知圆锥的底面半径为1，侧面展开图的圆心角为60°，则此圆锥的表面积为（）A．3πB．5πC．7πD．9π7．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA=PC=BA=BC，则直线PB与平面PAC所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°8．（5分）已知圆C：x2+y2=4上所有的点满足约束条件，当m取最小值时，可行域（不等式组所围成的平面区域）的面积为（）A．48 B．54 C．24D．369．（5分）已知点A（，0）和P（，t）（t∈R）．若曲线x=上存在点B使∠APB=60°，则t的取值范围是（）A．（0，1+]B．[0，1+]C．[﹣1﹣，1+]D．[﹣1﹣，0）∪（0，1+]10．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，左焦点为F，过F作垂直于x轴的直线与双曲线相交于B、C两点，若△ABC为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围为（）A．（1，2） B．（1，）C．（，2）D．（2，+∞）11．（5分）矩形ABCD沿BD将△BCD折起，使C点在平面ABD上投影在AB上，折起后下列关系：①△ABC是直角三角形；②△ACD是直角三角形；③AD∥BC；④AD⊥BC．其中正确的是（）A．①②④B．②③C．①③④D．②④12．（5分）一架战斗机以1000千米/小时速度朝东偏北45°方向水平飞行，发现正东100千米外同高度有一架民航飞机正在以800千米/小时速度朝正北飞行，如双方都不改变速度与航向，两机最小距离在哪个区间内（单位：千米）（）A．（0，5） B．（5，10）C．（10，15）D．（15，20）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）命题“∀x∈R，x2+x+1＞0”的否定是．14．（5分）已知椭圆的两焦点坐标分别是（﹣2，0）、（2，0），并且过点（2，），则该椭圆的标准方程是．15．（5分）已知圆C的方程是x2+y2﹣4x=0，直线l：ax﹣y﹣4a+2=0（a∈R）与圆C相交于M、N两点，设P（4，2），则|PM|+|PN|的取值范围是．16．（5分）四面体ABCD中，AB=2，BC=CD=DB=3，AC=AD=，则四面体ABCD 外接球表面积是．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知某几何体如图1所示．（1）根据图2所给几何体的正视图与俯视图（其中正方形网络边长为1），画出几何图形的侧视图，并求该侧视图的面积；（2）求异面直线AC与EF所成角的余弦值．18．（12分）如图，面积为8的平行四边形ABCD，A为坐标原点，B坐标为（2，﹣1），C、D均在第一象限．（I）求直线CD的方程；（II）若|BC|=，求点D的横坐标．19．（12分）如图，三棱锥A﹣BCD中，BC⊥CD，AD⊥平面BCD，E、F分别为BD、AC的中点．（I）证明：EF⊥CD；（II）若BC=CD=AD=1，求点E到平面ABC的距离．20．（12分）已知动点P与两个顶点M（1，0），N（4，0）的距离的比为．（I）求动点P的轨迹方程；（II）若点A（﹣2，﹣2），B（﹣2，6），C（﹣4，2），是否存在点P，使得|PA|2+|PB|2+|PC|2=36．若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．21．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=，AA1=2，AD=1，E、F 分别是AA1和BB1的中点，G是DB上的点，且DG=2GB．（I）作出长方体ABCD﹣A1B1C1D1被平面EB1C所截的截面（只需作出，说明结果即可）；（II）求证：GF∥平面EB1C；（III）设长方体ABCD﹣A1B1C1D1被平面EB1C所截得的两部分几何体体积分别为V1、V2（V1＞V2），求的值．22．（12分）已知M是抛物线C：y2=2px（p＞0）上一点，F是抛物线的焦点，∠MFx=60°且|FM|=4．（I）求抛物线C的方程；（II）已知D（﹣1，0），过F的直线l交抛物线C与A、B两点，以F为圆心的圆F与直线AD相切，试判断圆F与直线BD的位置关系，并证明你的结论．2016-2017学年广东省佛山市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）过点A（2，1），且与直线x+2y﹣1=0垂直的直线方程为（）A．x+2y﹣4=0 B．x﹣2y=0 C．2x﹣y﹣3=0 D．2x+y﹣5=0【解答】解：设要求的直线方程为：2x﹣y+m=0，把点A（2，1）代入可得：4﹣1+m=0，解得m=﹣3．可得要求的直线方程为：2x﹣y﹣3=0，故选：C．2．（5分）“a=3”是“直线ax﹣2y﹣1=0与直线6x﹣4y+c=0平行”的（）A．充分条件不必要 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若“a=3”成立，则两直线的方程分别是3x﹣2y﹣1=0与6x﹣4y+c=0，当c=﹣1时，两直线重合，所以两直线不一定平行；反之，当“直线ax﹣2y﹣1=0与直线6x﹣4y+c=0平行”成立时，有，所以a=3；所以“a=3”是“直线ax﹣2y﹣1=0与直线6x﹣4y+c=0平行”的必要不充分条件，故选B．3．（5分）若命题“p∧（￢q）”与“￢p”均为假命题，则（）A．p真q真B．p假q真C．p假q假D．p真q假【解答】解：∵命题“￢p”为假命题，∴p为真命题，又∵“p∧（￢q）”为假命题，故命题“￢q”为假命题，∴q为真命题，故选：A．4．（5分）已知两条不同直线m、l，两个不同平面α、β，下列命题正确的是（）A．若l∥α，则l平行于α内的所有直线B．若m⊂α，l⊂β且l⊥m，则α⊥βC．若l⊂β，l⊥α，则α⊥βD．若m⊂α，l⊂β且α∥β，则m∥l【解答】解：由线面平行的性质定理：若l∥α，l⊆β，α∩β=m，则l∥m可知，A错误；若m⊂α，l⊂β且l⊥m，则α、β位置关系不确定，B错误；根据平面与平面垂直的判定定理，可知C正确；由平面与平面平行的性质定理，可知D不正确．故选C．5．（5分）在两坐标轴上截距均为m（m∈R）的直线l1与直线l2：2x+2y﹣3=0的距离为，则m=（）A．B．7 C．﹣或D．﹣1或7【解答】解：设直线l1的方程为2x+2y﹣2m=0，∵直线l1与直线l2：2x+2y﹣3=0的距离为，∴=，∴m=﹣或，故选C．6．（5分）已知圆锥的底面半径为1，侧面展开图的圆心角为60°，则此圆锥的表面积为（）A．3πB．5πC．7πD．9π【解答】解：设母线长为l，则，解得：l=6．∴圆锥的表面积为π•1•6+π•12=7π，故选：C．7．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA=PC=BA=BC，则直线PB与平面PAC所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：如图，设PA=PC=BA=BC=a，取AC中点O，连接PO，BO，则BO⊥AC，∵平面PAC⊥平面ABC，且平面PAC∩平面ABC=AC，∴BO⊥平面PAC，则∠BPO为直线PB与平面PAC所成的角，∵PA=PC=BA=BC，AC=AC，∴△PAC≌△BAC，则PO=OB，∴∠BPO=45°，故选：B．8．（5分）已知圆C：x2+y2=4上所有的点满足约束条件，当m取最小值时，可行域（不等式组所围成的平面区域）的面积为（）A．48 B．54 C．24D．36【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，要使圆C：x2+y2=4上所有的点满足约束条件，则m≥2，则m取最小值2时，阴影部分的面积最小，由得，即C（2，﹣6），由得，即A（2，12），由得，即B（﹣4，0），则三角形的面积S=[2﹣（﹣4）][12﹣（﹣6）]==54，故选：B．9．（5分）已知点A（，0）和P（，t）（t∈R）．若曲线x=上存在点B使∠APB=60°，则t的取值范围是（）A．（0，1+]B．[0，1+]C．[﹣1﹣，1+]D．[﹣1﹣，0）∪（0，1+]【解答】解：曲线x=，即x2+y2=3（0≤x），如图所示的半圆，取B（0，）时，∵∠APB=60°，∴k PB==，解得t=1+，利用圆的对称性可得：，0）∪．故选：D．10．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，左焦点为F，过F作垂直于x轴的直线与双曲线相交于B、C两点，若△ABC为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围为（）A．（1，2） B．（1，）C．（，2）D．（2，+∞）【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，左焦点为F，AF=a+c，|BC|=过F作垂直于x轴的直线与双曲线相交于B、C两点，若△ABC为锐角三角形，只要∠FAB为锐角，即|BC|＜AF；所以有＜a+c，即c2﹣a2＜a2+ac，即：e2﹣e﹣2＜0解出e∈（1，2），故选：A．11．（5分）矩形ABCD沿BD将△BCD折起，使C点在平面ABD上投影在AB上，折起后下列关系：①△ABC是直角三角形；②△ACD是直角三角形；③AD∥BC；④AD⊥BC．其中正确的是（）A．①②④B．②③C．①③④D．②④【解答】解：已知如图：折起后C记为P点，由P（C）O⊥底面ABD，可得P（C）O⊥AD，又由AB⊥AD，可得：AD⊥平面P（C）AB，进而AD⊥P（C）B，又由PD（CD）⊥PB（CB），故PB（CB）⊥平面P（C）AD，故PB（CB）⊥P（C）A，即：△ABP是直角三角形；即：△ABC是直角三角形；故①正确；由①中，AD⊥平面P（C）AB，可得：AD⊥P（C）A，即②△APD是直角三角形，即△ACD是直角三角形，故②正确；AD与BC，异面，故③错误；由①中，AD⊥平面P（C）AB，可得：AD⊥P（C）B，即AD⊥BC，故④正确；故选：A12．（5分）一架战斗机以1000千米/小时速度朝东偏北45°方向水平飞行，发现正东100千米外同高度有一架民航飞机正在以800千米/小时速度朝正北飞行，如双方都不改变速度与航向，两机最小距离在哪个区间内（单位：千米）（）A．（0，5） B．（5，10）C．（10，15）D．（15，20）【解答】解：建立如图所示的坐标系，t小时后，A（1000t，1000t），B（100，800t），则|AB|==，t=时，|AB|的最小值为=∈（15，20）．故选D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）命题“∀x∈R，x2+x+1＞0”的否定是∃x∈R，x2+x+1≤0．【解答】解：命题“∀x∈R，x2+x+1＞0“的否定是：∃x∈R，x2+x+1≤0．故答案为：∃x∈R，x2+x+1≤0．14．（5分）已知椭圆的两焦点坐标分别是（﹣2，0）、（2，0），并且过点（2，），则该椭圆的标准方程是．【解答】解：椭圆的两焦点坐标分别是（﹣2，0）、（2，0），可得c=2，设椭圆方程为：，椭圆经过点（2，），可得：，解得a=4，则该椭圆的标准方程是：．故答案为：．15．（5分）已知圆C的方程是x2+y2﹣4x=0，直线l：ax﹣y﹣4a+2=0（a∈R）与圆C相交于M、N两点，设P（4，2），则|PM|+|PN|的取值范围是（4，4] ．【解答】解：把直线l的参数方程，代入x2+y2﹣4x=0，可得t2+4（sinα+cosα）t+4=0，由△=16（sinα+cosα）2﹣16＞0，sinαcosα＞0，又α∈[0，π），∴α∈（0，），∴t1+t2=﹣4（sinα+cosα），t1t2=4．∴t1＜0，t2＜0．∴|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=4（sinα+cosα）=4sin（α+），由α∈（0，），可得α+∈（，），∴＜sin（α+）≤1，∴|PM|+|PN|的取值范围是（4，4]．故答案为（4，4]．16．（5分）四面体ABCD中，AB=2，BC=CD=DB=3，AC=AD=，则四面体ABCD 外接球表面积是16π．【解答】解：由题意，△ACD中，CD边上的高为AE=，△BCD中，CD边上的高为BE=，∴AE2=BE2+AB2，∴AB⊥BE，∵AB⊥CD，CD∩BE=E，∴AB⊥平面BCD，∵△BCD的外接圆的半径为，∴四面体ABCD外接球的半径为=2，∴四面体ABCD外接球表面积4π•22=16π，故答案为16π．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知某几何体如图1所示．（1）根据图2所给几何体的正视图与俯视图（其中正方形网络边长为1），画出几何图形的侧视图，并求该侧视图的面积；（2）求异面直线AC与EF所成角的余弦值．【解答】解：（1）侧视图如图所示：其中S=3×4+×4×3=18；（2）∵AC∥DF，∴AC与EF所成的角即为∠DFE，在△DEF中，DF=4，又AB=2，则DE=，∵△DEF为等腰三角形∴cos∠DFE==，∴异面直线AC与EF所成角的余弦值为18．（12分）如图，面积为8的平行四边形ABCD，A为坐标原点，B坐标为（2，﹣1），C、D均在第一象限．（I）求直线CD的方程；（II）若|BC|=，求点D的横坐标．【解答】解：（I）由题意，k AB=k CD=﹣，∴直线CD的方程为y=﹣x+m，即x+2y﹣2m=0，∵S=8，|AB|=，∴=，∴m=±4，由图可知m＞0，∴直线CD的方程为y=﹣x+m，即x+2y﹣8=0；（II）设D（a，b），若|BC|=，则|AD|=，∴，∴点D的横坐标a=1.2或2．19．（12分）如图，三棱锥A﹣BCD中，BC⊥CD，AD⊥平面BCD，E、F分别为BD、AC的中点．（I）证明：EF⊥CD；（II）若BC=CD=AD=1，求点E到平面ABC的距离．【解答】（I）证明：取CD的中点G，连接EG，FG，∵E为BD的中点，∴EG∥BC，∵BC⊥CD，∴EG⊥CD，同理FG∥AD，AD⊥平面BCD，∴FG⊥平面BCD，∴FG⊥CD，∵EG∩FG=G，∴CD⊥平面EFG，∴EF⊥CD；（II）解：S==，S△BCE==，△ABC设点E到平面ABC的距离为h，则，∴h=，即点E到平面ABC的距离为．20．（12分）已知动点P与两个顶点M（1，0），N（4，0）的距离的比为．（I）求动点P的轨迹方程；（II）若点A（﹣2，﹣2），B（﹣2，6），C（﹣4，2），是否存在点P，使得|PA|2+|PB|2+|PC|2=36．若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（I）设P（x，y），则∵动点P与两个顶点M（1，0），N（4，0）的距离的比为，∴2=，∴x2+y2=4，即动点P的轨迹方程是x2+y2=4；（II）由|PA|2+|PB|2+|PC|2=36，可得（x+2）2+（y+2）2+（x+2）2+（y﹣6）2+（x+4）2+（y﹣2）2=36，∴3x2+3y2+16x﹣12y+32=0，∵x2+y2=4，∴4x﹣3y+11=0，圆心到直线4x﹣3y+11=0的距离d=＞2，∴直线与圆相离，∴不存在点P，使得|PA|2+|PB|2+|PC|2=36．21．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=，AA1=2，AD=1，E、F 分别是AA1和BB1的中点，G是DB上的点，且DG=2GB．（I）作出长方体ABCD﹣A1B1C1D1被平面EB1C所截的截面（只需作出，说明结果即可）；（II）求证：GF∥平面EB1C；（III）设长方体ABCD﹣A1B1C1D1被平面EB1C所截得的两部分几何体体积分别为V1、V2（V1＞V2），求的值．【解答】解：（Ⅰ）取AD的中点M，连结EM，MC，则EMCB1即为长方体ABCD﹣A1B1C1D1被平面EB1C所截的截面．证明：（Ⅱ）设MC∩DB=N，连结B1N，依题意知AD∥BC，∴△DMN∽△BCN，∴，∵DG=2GB，∴DN=NG=GB，∵B1F=FB，∴FG∥B1N，∵FG⊄平面EB1C，B1N⊂平面EB1C，∴GF∥平面EB1C．解：（Ⅲ）延长B1E、CM必相交于BA延长线于点O，∵AM∥BC，∴△OAM∽△OBC，∴，∴OA=AB=，∴=﹣V O=﹣=，﹣AME=﹣=，∴===．故的值为．22．（12分）已知M是抛物线C：y2=2px（p＞0）上一点，F是抛物线的焦点，∠MFx=60°且|FM|=4．（I）求抛物线C的方程；（II）已知D（﹣1，0），过F的直线l交抛物线C与A、B两点，以F为圆心的圆F与直线AD相切，试判断圆F与直线BD的位置关系，并证明你的结论．【解答】解：（I）抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线方程为l′：x=﹣，过M作MN⊥l′于点N，连接NF，则|MN|=|FM|，∵∠NMF=∠MFx=60°，∴△MNF为等边三角形，∴|NF|=4，∴p=2，∴抛物线C的方程为y2=4x；（II）直线l的斜率不存在时，△ABD为等腰三角形，且|AD|=|BD|．∴圆F与直线BD相切；直线l的斜率存在时，设方程为y=k（x﹣1），代入抛物线方程，得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2=1，∴x1=，直线AD的方程为y=（x+1），即y1x﹣（x1+1）y+y1=0，∴R2=，直线BD的方程为y2x﹣（x2+1）y+y2=0，F到直线BD的距离d，d2==，∴R2=d2，∴R=d，∴圆F与直线BD相切，综上所述，圆F与直线BD相切．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。
2017-2018学年广东省广州市高二(上)期末数学试卷(理科)附解析
2017-2018学年广东省广州市高二（上）期末数学试卷（理科）副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={-1，0，1}，B={x|x2-2x-3≤0}，则A∩B=（）A. 0，B.C.D.2.若直线y=-2x+3k+14与直线x-4y=-3k-2的交点位于第四象限，则实数k的取值范围是（）A. B. C. D.3.齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，则田忌获胜的概率为（）A. B. C. D.4.已知cos（-x）=，则sin2x=（）A. B. C. D.5.椭圆E的焦点在x轴上，中心在原点，其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆E的标准方程为（）A. B. C. D.6.在某项体育比赛中，七位裁判为一个选手打出的分数如下：90，89，90，95，93，94，93去掉一个最高分和一个最低分，所剩分数的平均值和方差为（）A. 92，2B. 92，C. 93，2D. 93，7.若当x∈R时，函数f（x）=a|x|（a＞0，且a≠1）．满足0＜f（x）≤1，则函数y=log a||的图象大致是（）A. B.C. D.8.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其主视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是（）A. B. C. D.9.若正整数N除以正整数m后的余数为r，则记为N≡r（modm），例如10≡2（mod 4）．下面程序框图的算法源于我国古代算术《中国剩余定理》，则执行该程序框图，输出的i等于（）A. 8B. 16C. 32D. 4110.已知椭圆C的中心在原点，左焦点F1右焦点F2均在x轴上，A为椭圆的有顶点，B为椭圆的上端点，P是椭圆上的一点，且PF1⊥x轴，PF2∥AB，则此椭圆的离心率是（）A. B. C. D.11.已知圆x2+y2=1，点A（1，0），△ABC内接于圆，且∠BAC=60°，当B、C在圆上运动时，BC中点的轨迹方程是（）A. B.C. D.12.如图，在正方体ABCD-AB1C1D1中，E、F分别为棱DD1、AB上的点，则下列判断正确的个数有（）①A1C⊥平面B1EF；②△B1EF在侧面BCC1B1上的正投影是面积为定值的三角形；③在平面A1B1C1D1内总存在与平面B1EF平行的直线；④平面B1EF与平面ABCD所成的二面角（锐角）的大小与点E的位置有关，与点F的位置无关．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.命题“∀x∈R，x2+x+1≥0”的否定是______．14.已知向量||=1，||=2，且，，则向量，的夹角为______．15.函数f（x）=A sin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象如图所示，则f（）的值为______．16.设函数f（x）=x+，记函数g（x）=，求函数g（x）在区间[-2，-]上的最小值为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知锐角△ABC内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，且2a sin B=b，（1）求角A的大小；（2）若a=，b=2，求cos C．18.已知公比大于1的等比数列{a n}中，a2=2且6是a1+3与a3+4的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b1+2b2+3b3+••+nb n=a n，求数列{b n}的通项公式．19.如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形AA1B1B是边长为2的正方形，四边形BB1C1C是以∠BB1C1=60°的菱形，平面AA1B1B⊥平面BB1C1C，AC1=2（1）求证：B1C⊥AC1；（2）求平面AB1C1与平面BB1C1C所成二面角的正切值．20.2015年我国将加快阶梯水价推行，原则是“保基本、建机制、促节约”，其中“保基本”是指保证至少80%的居民用户用水价格不变．为响应国家政策，制定合理的阶梯用水价格，某城市采用简单随机抽样的方法分别从郊区和城区抽取5户和20户居民的年人均用水量进行调研，抽取的数据的茎叶图如下（单位：吨）：（1）在郊区的这5户居民中随机抽取2户，求其年人均用水量都不超过30吨的概率；（2）设该城市郊区和城区的居民户数比为1：5，现将年人均用水量不超过30吨的用户定义为第一阶梯用户，并保证这一梯次的居民用户用水价格保持不变．试根据样本估计总体的思想，分析此方案是否符合国家“保基本”政策．21.已知函数f（x）=．（1）用函数单调性的定义证明f（x）为R上的增函数；（2）若对任意的t∈R，不等式f（mt2+1）+f（1-mt）＞0恒成立，求实数m的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＞的离心率为，且椭圆C上一点N到点Q（0，3）的距离最大值为4，过点M（3，0）的直线交椭圆C于点A、B．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点），当＜时，求实数t的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：集合A={-1，0，1}，B={x|x2-2x-3≤0}=[-1，3]，则A∩B={-1，0，1}，故选：A．根据题意和交集的运算直接求出A∩B．本题考查交集及其运算，以及不等式的解法，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：解方程组，得，x=k+6，y=k+2∵直线y=-2x+3k+14与直线x-4y=-3k-2的交点位于第四象限，∴x=k+6＞0，y=k+2＜0，∴-6＜k＜-2．故选：A．解方程组，得，x=k+6，y=k+2，由直线y=-2x+3k+14与直线x-4y=-3k-2的交点位于第四象限，知x=k+6＞0，y=k+2＜0，由此能求出实数k 的取值范围．本题考查两条直线的交点坐标的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．3.【答案】A【解析】解：设齐王的上，中，下三个等次的马分别为a，b，c，田忌的上，中，下三个等次的马分别为记为A，B，C，从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛的所有的可能为Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，根据题设其中Ab，Ac，Bc是胜局共三种可能，则田忌获胜的概率为=，故选：A．根据题意，设齐王的上，中，下三个等次的马分别为a，b，c，田忌的上，中，下三个等次的马分别为记为A，B，C，用列举法列举齐王与田忌赛马的情况，进而可得田忌胜出的情况数目，进而由等可能事件的概率计算可得答案本题考查等可能事件的概率，涉及用列举法列举基本事件，注意按一定的顺序，做到不重不漏．4.【答案】B【解析】解：由cos（-x）=，可得cos cosx+sinxsin=即（sinx+cosx）=．∴sinx+cosx=．那么（sinx+cosx）2=．即1+2sinxcosx=．∴sin2x=-故选：B．利用和与差公式化简，在平方即可求解；本题考查的知识点是两角和与差的余弦公式，诱导公式，难度不大，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：设左右焦点为F1、F2，上顶点为A，正方形边长=2，∴|AF|=|AF2|=a=2，|F1F2|=2，c=b=，1则椭圆E的标准方程为：+=1．故选：C．用正方形的正方形边长为2，得|AF1|=|AF2|=a=2，|F1F2|=2，c=b即可本题考查用待定系数法求椭圆的标准方程，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：由题意知，所剩数据为90，90，93，94，93，所以其平均值为90+（3+4+3）=92；方差为（22×2+12×2+22）=2.8，故选：B．平均数就将剩余5个数的和除以5即可得到；方差就是将数据代入方差公式s2=[（x 1-）2+（x2-）2+（x3-）2+…+（x n-）2]即可求得．本题考查平均数与方差的求法，属基础题．7.【答案】A【解析】解：∵当x∈R时，函数f（x）=a|x|始终满足0＜|f（x）|≤1．因此，必有0＜a＜1，易知函数y=log a||为偶函数，当x＞0时，y=log a||=-log a x，此时函数为增函数，∴当x＜0时，函数y=log a||，此时函数为减函数，只有A符合，故选：A．根据题意可得0＜a＜1，再根据函数的奇偶性和单调性即可判断本题考查指数函数与对数函数的图象及性质，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：∵相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．∴其正视图和侧视图是一个圆，∵俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上∴俯视图是有2条对角线且为实线的正方形，故选：B．相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．根据三视图看到方向，可以确定三个识图的形状，判断答案．本题考查了几何体的三视图，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：模拟程序的运行，可得N=11，i=1i=2，N=13不满足条件“N=2（mod 3）”，i=4，N=17，满足条件“N=2（mod 3）”，不满足条件“N=1（mod5）”，i=8，N=25，不满足条件“N=2（mod 3）”，i=16，N=41，满足条件“N=2（mod 3）”，满足条件“N=1（mod5）”，退出循环，输出i的值为16．故选：B．模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，即可得出答案．本题考查了程序框图的应用问题，当循环的次数不多，或有规律时，采用模拟循环的方法解答，是基础题．10.【答案】D【解析】解：如图，设椭圆方程为，∴x=-c时，y2=，∴P（-c，），F2（c，0）；又A（a，0），B（0，b），PF2∥AB；∴；∴-=-；∴b=2c；a==c；∴=；即椭圆的离心率为：．故选：D．先画出图形，设椭圆方程为，求出P，F2，A，B四点的坐标，从而根据PF2∥AB即可得kPF2=kAB，从而可得到b=2c，根据a2=b2+c2即可得出a=c，从而得到该椭圆的离心率．考查椭圆的标准方程，根据椭圆标准方程可表示椭圆的焦点及顶点坐标，根据椭圆的方程，已知椭圆上点的横坐标能求其纵坐标，根据两点坐标求直线斜率，以及两平行直线的斜率关系，椭圆离心率的概念及计算．11.【答案】D【解析】解：设BC中点是D，∵圆心角等于圆周角的一半，∴∠BOD=60°，在直角三角形BOD中，有OD=OB=，故中点D的轨迹方程是：x2+y2=，如图，由角BAC的极限位置可得，x＜，故选：D．将圆周角为定值转化为圆心角为定值，结合圆心距构成的直角三角形得OD=，从而得BC中点的轨迹方程．本题主要考查求轨迹方程，解决与平面几何有关的轨迹问题时，要充分考虑到图形的几何性质，这样会使问题的解决简便些．12.【答案】B【解析】解：如图对于①A1C⊥平面B1EF，不一定成立，因为A1C⊥平面AC1D，而两个平面面B1EF与面AC1D不一定平行．对于②△B1EF在侧面BCC1B1上的正投影是面积为定值的三角形，此是一个正确的结论，因为其投影三角形的一边是棱BB1，而E点在面上的投影到此棱BB1的距离是定值，故正确；对于③在平面A1B1C1D1内总存在与平面B1EF平行的直线，此两平面相交，一个面内平行于两个平面的交线一定平行于另一个平面，此结论正确；对于④平面B1EF与平面ABCD所成的二面角（锐角）的大小与点E的位置有关，与点F的位置无关，此结论不对，与两者都有关系，可代入几个特殊点进行验证，如F与A重合，E与D重合时的二面角与F与B重合，E与D重合时的情况就不一样．故此命题不正确综上，②③是正确的故选：B．由正方体的结构特征，对所给的几个命题用线面，面面之间的位置关系直接判断正误即可本题考点是棱柱的结构特征，考查对正方体的几何特征的了解，以及线面垂直，线面平行等位置关系的判定，二面角的求法等知识，涉及到的知识点较多，综合性强．13.【答案】∃x∈R，x2+x+1＜0【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x∈R，x2+x+1≥0”的否定是：∃x∈R，x2+x+1＜0；故答案为：∃x∈R，x2+x+1＜0．直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．本题考查命题的否定特称命题与全称命题的关系，基本知识的考查．14.【答案】【解析】解：+=（1，），可得|+|=，即有2+2+2•=3，即为1+4+2•=3，即有•=-1，则cos＜，＞==-，由0≤＜，＞≤π，可得＜，＞=．故答案为：．由向量模的公式及向量的平方即为模的平方，可得•=-1，再由夹角公式计算即可得到所求值．本题考查向量的夹角的求法，考查向量的数量积的定义和性质，考查运算能力，属于中档题．15.【答案】【解析】解：：（1）由题设图象知，A=2，周期T=（-），解得：T=π．∴ω==2．∵点（，2）在函数图象上，∴2sin（2×+φ）=2，即sin（+φ）=1．∵0＜φ＜π，∴φ=．故得f（x）=2sin（2x），那么f（）=2sin（2×）=故答案为：．根据图象求出A，ω和φ，即可求函数f（x）的解析式；可求f（）的值本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键．要求熟练掌握函数图象之间的变化关系．16.【答案】2【解析】解：当x＞0时，g（x）=f（x）=x+，当x＜0时，g（x）=f（-x）=-x-，导数为g′（x）=-1+，可得-2＜x＜-1时，g′（x）＜0，g（x）递减；-1＜x＜-时，g′（x）＞0，g（x）递增，可得x=-1处g（x）在区间[-2，-]上取得最小值，且为2．故答案为：2．分别求得x＞0，x＜0时g（x）的解析式，运用导数判断单调性，可得最小值．本题考查分段函数的运用：求解析式，考查导数的运用：求单调性和最值，考查运算能力和推理能力，属于基础题．17.【答案】（本题满分为10分）解：（1）∵2a sin B=b，∴2sin A sin B=sin B，∴由sin B≠0，可得：2sin A=，sin A=，∵△ABC为锐角三角形，∴∠A=…5分（2）∵a=，b=2，∠A=，∴由余弦定理可得：7=22+c2-2×，可得：c2-2c-3=0，解得：c=3或-1（舍去），∴cos C===…10分【解析】（1）利用正弦定理把已知等式转化，求得sinA的值，进而求得A．（2）利用余弦定理求得c，进而根据余弦定理求得cosC的值．本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．解题的关键是利用正弦定理完成边角问题的转化和化归，属于基础题．18.【答案】解：（1）公比q大于1的等比数列{a n}中，a2=2且6是a1+3与a3+4的等差中项，可得a1q=2，12=（a1+3）+（a3+4），即有12=（a1+3）+（a1q2+4），解得a1=1，q=2，（q=舍去），则a n=a1q n-1=2n-1，n∈N*；（2）数列{b n}满足b1+2b2+3b3+••+nb n=a n，①可得n=1时，b1=a1=1；由n≥2时，b1+2b2+3b3+••+（n-1）b n-1=a n-1，②①-②可得nb n=a n-a n-1=2n-1-2n-2=2n-2，则b n=，可得b n=，，．【解析】（1）由等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，解方程可得公比q，进而得到所求通项公式；（2）令n=1，可得首项b1，将n换为n-1，相减可得b n，n≥2，即可得到所求通项公式．本题考查等差数列中项性质和等比数列的通项公式，数列递推式的应用，考查化简运算能力，属于中档题．19.【答案】（1）证明：连接BC1，∵BB1C1C是菱形，BC1，B1C是菱形的对角线，∴BC1⊥B1C，∵AA1B1B是正方形，∴AB⊥BB1，∵平面AA1B1B⊥平面BB1C1C且平面AA1B1B∩平面BB1C1C=BB1，∴AB⊥平面BB1C1C，∵B1C⊂平面BB1C1C，∴AB⊥B1C，又AB∩BC1=B，AB，BC1⊂平面ABC1，∴B1C⊥平面ABC1，则B1C⊥AC1；（2）解：连接AB1，取B1C1的中点E，∵四边形AA1B1B是边长为2的正方形，∴，又∵AC1=2，∴△AB1C1是等腰三角形，则AE⊥B1C1，又四边形BB1C1C是以∠BB1C1=60°的菱形，E是B1C1的中点，∴，则∠BEB1=90°，即BE⊥B1C1．∴∠AEB是平面AB1C1与平面BB1C1C所成二面角的平面角，由（1）知AB⊥平面BB1C1C，BE⊂平面BB1C1C，∴AB⊥BE，可得△ABE是直角三角形．∵BE=，AB=2，∴tan∠AEB=．【解析】（1）连接BC1，由已知可得BC1⊥B1C，AB⊥BB1，再由平面AA1B1B⊥平面BB1C1C结合面面垂直的性质得AB⊥平面BB1C1C，则AB⊥B1C，由线面垂直的判定可得B1C⊥平面ABC1，则B1C⊥AC1；（2）连接AB1，取B1C1的中点E，由已知可得∠AEB是平面AB1C1与平面BB1C1C所成二面角的平面角，然后求解三角形可得平面AB1C1与平面BB1C1C所成二面角的正切值．本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了二面角的平面角的求法，是中档题．20.【答案】解：（1）从5户郊区居民用户中随机抽取2户，其年人均用水量构成的所有基本事件是：（19，25），（19，28），（19，32），（19，34），（25，28），（25，32），（25，34），（28，32），（28，34），（32，34），共10个，其中年人均用水量都不超过30吨的基本事件（19，25），（19，28），（25，28），共3个，∴从郊区的这5户居民中随机抽取2户，其年人均用水量都不超过30吨的概率：P=．（2）设该城市郊区的居民用户数为a，则其城区的居民用户数为3a，依题意，该城市年人均用水量不超过30吨的居民用户的百分率为：=＞80%，故此方案符合国家保“基本”政策．【解析】（1）从5户郊区居民用户中随机抽取2户，利用列举法求出其年人均用水量构成的所有基本事件和其中年人均用水量都不超过30吨的基本事件，由此能求出从郊区的这5户居民中随机抽取2户，其年人均用水量都不超过30吨的概率．（2）设该城市郊区的居民用户数为a，则其城区的居民用户数为3a，依题意，求出该城市年人均用水量不超过30吨的居民用户的百分率，从而得到此方案符合国家保“基本”政策．本题主要考查古典概率、茎叶图等知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．21.【答案】解：（1）任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=-=[（e-e）+（-）]=[（e-e）（1+）]=，∵x1＜x2，∴e＜e，∴e-e＜0，e+1＞0，∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．∴f（x）为R上的增函数．（2）x∈R，∵f（-x）==-=-f（x），∴f（x）是奇函数．又∵f（x）为R上的增函数，∴不等式f（mt2+1）+f（1-mt）＞0⇔f（mt2+1）＞f（mt-1），∴mt2+1＞mt-1对任意的t∈R都成立，即mt2-mt+2＞0对任意的t∈R都成立，①m=0时，不等式化为2＞0恒成立，符合题意；②m≠0时，有△ ，即0＜m＜8，综上所述：实数m的取值范围是：[0，8）．【解析】（1）用单调性定义证明即可；（2）先判断函数奇偶性，再利用函数奇偶性和单调性将不等式化为mt2+1＞mt-1，最后对m分两种情况讨论．本题考查了函数的奇偶性和单调性、分类讨论思想，属中档题．22.【答案】解：（Ⅰ）∵，∴a2=4b2，则椭圆方程为，即x2+4y2=4b2．设N（x，y），则=，当y=-1时，|NQ|有最大值为，解得b2=1，∴a2=4，椭圆方程是；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），AB方程为y=k（x-3），由，整理得（1+4k2）x2-24k2x+36k2-4=0．由△=242k4-16（9k2-1）（1+4k2）＞0，得＜，，．∴，，，则，．由点P在椭圆上，得，化简得36k2=t2（1+4k2）①，又由＜，即＜，将x1+x2，x1x2代入得＜，化简得（8k2-1）（16k2+13）＞0，则＞，＞，∴＜＜②，由①，得，联立②，解得3＜t2＜4，∴＜＜或＜＜．【解析】（Ⅰ）由离心率e=及a2=b2+c2可得关于a，b的方程，由此可简化椭圆方程，设N（x，y），则|NQ|可表示为关于y的函数，据此可求得其最大值为4，解得b，进而求得a；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），AB方程为y=k（x-3），与椭圆方程联立消掉y得x的二次方程，由△＞0得，由韦达定理及可用k、t表示出点P的坐标，代入椭圆方程得36k2=t2（1+4k2）①，由弦长公式及可得，故②，联立①②可求得t的范围；本题考查直线方程、椭圆方程、直线与椭圆的位置关系、向量的线性运算，考查学生的运算能力、解决问题的能力，综合性较强．。
广东省佛山一中2017-2018学年高二数学上学期第二次段考(12月)试题 理
佛山一中2017——2018学年上学期第二次段考高二年级理科数学试题一、选择题（共12小题；共60分）1. 给定下列四个命题：①如果一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②如果一条直线和两个平行平面中的一个平面垂直，那么这条直线也和另一个平面垂直；③如果一条直线和两个互相垂直的平面中的一个平面垂直，那么这条直线一定平行于另一个平面；④如果两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中为真命题的是A. ①和②B. ②和③C. ③和④D. ②和④2. 已知直线和平面，，，，，且在，内的射影分别为直线和，则直线和的位置关系是A. 相交或平行B. 相交或异面C. 平行或异面D. 相交、平行或异面3. 某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为的正方形，则此四面体的外接球的表面积为A. B. C. D.4. 设四边形的两条对角线为，，则“四边形为菱形”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5. 设入射光线沿直线射向直线，则被反射后，反射光线所在的直线方程是A. B. C. D.6. 已知双曲线的焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的方程为A. B. C. D.7. 如图，在四棱锥 中，侧面 为正三角形，底面 为正方形，侧面， 为底面 内的一个动点，且满足 ，则点 在正方形内的轨迹为下图中的A. B. C. D.8. 双曲线的两个焦点分别为 ，点在双曲线上，且满足，则的面积为A.B.C.1D.9. 已知球 的半径为 ，四点 ，，， 均在球 的表面上，且，，，则点 到平面的距离为A.B.C.D.10. 已知 是直线 上的动点，， 是圆的切线，， 是切点， 是圆心，那么四边形 面积的最小值是A.B.C.D.11.为正四面体棱的中点，平面 过点 ，且 ，，，则 ， 所成角的余弦值为A.B.C.D.12. 设椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ，，其焦距为 ，点 在椭圆的内部，点 是椭圆 上的动点，且 恒成立，则椭圆离心率的取值范围是 A. B.C.D.二、填空题（共4小题；共20分）13. 若命题” 使”是假命题，则实数 的取值范围为 .14. 如图所示，是一个由三根细铁杆 ，， 组成的支架，三根铁杆的两两夹角都是，一个半径为 的球放在支架上，则球心到 的距离为15. 在平面直角坐标系 中，圆 的方程为 ，直线 与圆相交于 ， 两点， 为弦 上一动点，若以 为圆心， 为半径的圆与圆 总有公共点，则实数 的取值范围为 ．16. 圆经过椭圆的两个焦点，，且与该椭圆有四个不同的交点，设 是其中的一个交点，若 的面积为 ，椭圆的长轴为，则．三、解答题（共6小题；共70分）17. （10分）如图，三棱锥 中， 平面 ，．（1）求证： 平面 ；（2）若 ， 为 中点，求三棱锥的体积．18. （12分）已知点 ，圆 ：．（1）求经过点 与圆 相切的直线方程；（2）若点 是圆 上的动点，求 的取值范围．19. （12分）如图，在四棱锥中，为正三角形，四边形为直角梯形，，，，点，分别为，的中点，．（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值．20. （12分）已知椭圆的离心率为，以椭圆的一个短轴端点及两个焦点为顶点的三角形的面积为，圆的方程为．（1）求椭圆及圆的方程：（2）过原点作直线与圆交于，两点，若，求直线被圆截得的弦长．21. （12分）如图，，分别是，的中点，，，沿着将折起，记二面角的度数为．（1）当时，即得到图，求二面角的余弦值；（2）如图中，若，求的值．22. （12分）已知两点(-1,0)及(1,0)，点P在以为焦点的椭圆C上，且构成等差数列。
广东省佛山市2017-2018学年高二上学期期末教学质量检测化学试题
佛山市2017—2018学年高二上学期期末教学质量检测试题化学可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 O-16 S-32 Cl-35.5 Ca-40 Zn-65第一部分选择题（共40分）一、选择题（本大题共20小题，每小题2分，共40分。
在每小题给出的4个选项中，只有一个选项符合题目要求，选对得2分，选错或不答得0分。
）1、化学与生产、生活、科技密切相关，下列有关说法错误的是（）A．为保护轮船的外壳，常在外壳上镶入锌块B．明矾溶于水后产生具有吸附性的胶体粒子，可作漂白剂C．燃料电池的能量转换效率远高于普通燃料燃烧的能量转换效率D．锅炉水垢中的硫酸钙可用碳酸钠溶液处理，使之转化为碳酸钙，再用酸除去2、下列关于化学反应的能量变化说法正确的是（）A．任何化学反应都伴随能量变化B．氧化还原反应一定是吸热反应C．化学反应过程中的能量变化都是热量变化D．化学键断裂放出能量，化学键形成吸收能量3、向足最稀硫酸中加入一定量的锌粒，再向其中加入CuSO4溶液，发现生成H2的速率先增大后减小。
下列有关说法错误的是（）A．生成H2的速率先增大可能由于溶液温度逐渐升高B．生成H2的速率先增大可能由于形成了铜锌原电池C．生成H2的速率后减小可能由于锌粒质量减小D．生成H2的速率后减小可能是由于置换出的铜太多，覆盖在锌粒表面4、下列事实不能用勒夏特列原理解释的是（）A．实验室中用排饱和食盐水法收集氯气B．合成氨工厂生产过程中通常采用较高压强C．工业上生产硫酸过程中，通入过量空气以提高SO2利用率D．由NO2 (g)、N2O4 (g)组成的平衡体系加压后最终颜色比加压前深5、设NA表示阿伏加德罗常数值，下列说法正确的是（）A．1L0.1mo/L的CuCl2溶液中Cu2+数为0.1N AB．常温常压下，1.11gCaCl2中含有的Cl—离子数为0.01 N AC．铜锌原电池中，锌片质量减少6.5g时，外电路中电子转移0.2N AD．向密闭容器中充入1molN2和3mol H2，充分反应时转移电子6N A6、常温下，在下列给定条件的溶液中，一定能大量共存的离子组是（）A．c(OH—)=l×10-13mol·L-1的溶液中：K+、Mg2+、Cl—、NO3—B．0.1mol/L的NaNO3溶液中：H+、Fe2+、Cl—、SO42—C．含有大量Al3+的水溶液中： Na+、NH4+、HCO3—、Br—D．水电离产生的c(H+)为1×10-l2mol·L-1的溶液：NH4+、Na+、Cl—、CO32-7、关于常温下pH=3的HF溶液，下列叙述正确的是（）A．c(H+)= c(F—)B．加水稀释时，c(F—)/c(HF)增大C．与pH=11的NaOH溶液等体积混合后，溶液呈碱性D．加入NaF固体可以抑制HF的电离，使溶液中c(F—)减小8、将10gCaCO3粉末分别加入到下列溶液中，充分搅拌，各溶液中Ca2+的浓度最小的为（）A．10mL水B．10mL，0.01 mol·L-1盐酸溶液C．10 mL，0.01mol·L-1Ca(NO3) 2溶液D．10mL，0.1 mol·L-1K2CO3溶液9、下列叙述正确的是（）A．95℃时纯水的pH<7，说明加热可导致水呈酸性B．pH=3的醋酸溶液，稀释至10倍时溶液的pH<4C．等浓度的醋酸溶液与氢氧化钠溶液等体积混合后pH=7D．等体积pH均为3的醋酸和盐酸分别与足量Zn反应，盐酸产生的H2多10、下列装置中铜电极的连接错误的是（）11、下列反应的速率受温度影响不大，主要决定于浓度和扩散速率的是（）A．N2 (g)+3H2(g)2NH3(g) ΔH<0 B．2H2 (g)+O2(g)2H2O(l) ΔH<0C．H+ (aq)+ OH—(aq)==H2O(l) ΔH<0 D．CaCO3(s)==CaO(s)+ CO2(g) ΔH >012、下列反应的离子方程式错误的是（ ）A ．H 2S 通入CuSO 4溶液中：H 2S+Cu 2+==CuS↓+2H +B ．AlCl 3溶液与Na 2S 溶液混合生成沉淀:：2Al 3++3S 2—==Al 2S 3↓C ．用惰性电极电解BaCl 2溶液：2Cl —+2H 2O Cl 2↑+H 2↑+2OH —D ．用TiCl 4制备TiO 2的第一步反应：Ti 4++ (x+2) H 2O(过量)TiO 2·xH 2O↓+ 4H + 13、已知可逆反应：A(S)+B(g)C(g)+ D(g) ΔH<0，达到平衡状态时，改变单一条件，下列说法正确的是（ ）A ．绝热环境下加压，体系的温度升高B ．加入合适的催化剂，B 的平衡转化率增大C ．物质A 由块状变为粉末状，正反应速率加快，平衡常数增大D ．恒温恒容下，当物质A 的质量不再改变，则反应达到平衡状态14、下列实验操作能达到目的是（ ）A ．用pH 试纸测定次氯酸溶液的pHB ．将FeCl 3溶液加热蒸干并灼烧获得Fe 2O 3固体C ．向明矾溶液中加入一定量NaOH ，制备Al(OH)3胶体D ．室温下，测得pH=5的NaHSO 4溶液与pH=9的NaHCO 3溶液中水的电离程度相等15、反应A→C 分两步进行：①A→B ，②B→C 。
广东省佛山市2017-2018学年高二上学期期末数学试卷(理科) Word版含解析
广东省佛山市2017-2018学年高二上学期期末数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）椭圆+=1的短轴长为（）A．B．2C．2D．42．（5分）若直线ax﹣y+1=0与直线2x+y+2=0平行，则a的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．D．13．（5分）圆x2+y2﹣2x+4y+3=0的圆心坐标为（）A．（﹣1，2）B．（1，﹣2）C．（﹣2，4）D．（2，﹣4）4．（5分）若￢p∨q是假，则（）A．p∧q是假B．p∨q是假C．p是假D．￢q是假5．（5分）已知p：“正数a的平方不等于0”，q：“a不是正数，则它的平方等于0”，则p是q 的（）A．逆B．否C．逆否D．否定6．（5分）已知平面α，β，直线m，n，下列中不正确的是（）A．若m⊥α，m⊥β，则α∥βB．若m∥n，m⊥α，则n⊥αC．若m⊥α，m⊂β，则α⊥βD．若m∥α，α∩β=n，则m∥n7．（5分）已知a，b∈R，则“＞”是“log 2a＞log2b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）已知F1、F2是椭圆的两个焦点，以线段F1F2为边作正△MF1F2，若边MF1的中点在此椭圆上，则此椭圆的离心率为（）A．B．﹣1 C．D．﹣19．（5分）已知圆（x+2）2+y2=16的圆心为M，设A为圆上任一点，N（3，0），线段AN的垂直平分线交直线MA于点P，则动点P的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线10．（5分）如果对于空间任意n（n≥2）条直线总存在一个平面α，使得这n条直线与平面α所成的角均相等，那么这样的n（）A．最大值为3 B．最大值为4 C．最大值为5 D．不存在最大值二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）11．（5分）已知空间向量=（x﹣1，1，﹣x），=（﹣x，3，﹣1），若⊥，则x的值为．12．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．13．（5分）某几何体的三视图如图所示，则它的体积为．14．（5分）如图，点A，B分别在x轴与y轴的正半轴上移动，且AB=2，若点A从（，0）移动到（，0），则AB中点D经过的路程为．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（12分）如图，等腰直角△ABC的直角顶点C（0，﹣1），斜边AB所在的直线方程为x+2y ﹣8=0．（1）求△ABC的面积；（2）求斜边AB中点D的坐标．16．（12分）如图，正方体ABC﹣A1B1C1D1中，点F为A1D的中点．（Ⅰ）求证：A1B∥平面AFC；（Ⅱ）求证：平面A1B1D⊥平面AFC．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，圆C与x轴、y轴都相切，直线l：x+y﹣4=0平分圆C的面积．（1）求圆C的方程；（2）过原点O的直线l1将圆C的弧长分成1：3的两部分，求直线l1的斜率．18．（14分）如图1，在△PBC中，∠C=90°，PC=4，BC=3，PD：DC=5：3，AD⊥PB，将△PAD 沿AD边折起到SAD位置，如图2，且使SB=．（Ⅰ）求证：SA⊥平面ABCD；（Ⅱ）求平面SAB与平面SCD所成锐二面角的余弦值．19．（14分）已知曲线C：x2=﹣2py（p＞0），点M是曲线C上的一个动点，过点M且与曲线C相切的直线l的方程为x+y﹣1=0．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）点A、B是曲线C上的两点，O为原点，直线AB与x轴交于点P（2，0），记OA、OB的斜率为k1、k2，试探求k1、k2的关系，并证明你的结论．20．（14分）已知圆：x2+y2=64，圆C与圆O相交，圆心为C（9，0），且圆C上的点与圆O 上的点之间的最大距离为21．（Ⅰ）求圆C的标准方程；（Ⅱ）在x轴上是否存在定点P，使得过点P的直线l被圆O与圆C截得的弦长d1、d2的比值总等于同一常数λ？若存在，求点P的坐标及λ的值，若不存在，说明理由．广东省佛山市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）椭圆+=1的短轴长为（）A．B．2C．2D．4考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：直接利用椭圆的标准方程求解即可．解答：解：椭圆+=1可得b=，椭圆+=1的短轴长为：2．故选：C．点评：本题考查椭圆的简单性质的应用，基本知识的考查．2．（5分）若直线ax﹣y+1=0与直线2x+y+2=0平行，则a的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．D．1考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：直线与圆．分析：利用直线平行的充要条件即可得出．解答：解：∵直线ax﹣y+1=0与直线2x+y+2=0平行，∴，解得a=﹣2，故选：A．点评：本题考查了直线平行的充要条件，属于基础题．3．（5分）圆x2+y2﹣2x+4y+3=0的圆心坐标为（）A．（﹣1，2）B．（1，﹣2）C．（﹣2，4）D．（2，﹣4）考点：圆的一般方程．专题：计算题；直线与圆．分析：由方程x2+y2﹣2x+4y+3=0可得（x﹣1）2+（y+2）2=2，即可得到圆心的坐标．解答：解：由方程x2+y2﹣2x+4y+3=0可得（x﹣1）2+（y+2）2=2，∴圆心坐标为（1，﹣2）．故选：B．点评：本题考查了圆的标准方程及其配方法，属于基础题．4．（5分）若￢p∨q是假，则（）A．p∧q是假B．p∨q是假C．p是假D．￢q是假考点：复合的真假．专题：常规题型．分析：由题意，可得￢p，q的真假性，进而得到正确选项．解答：由于￢p∨q是假，则￢p是假，q是假，所以p是真，q是假，所以p∧q是假，p∨q是真，￢q是真，故选A．点评：本题考查的知识点是复合的真假判定，解决的办法是先判断组成复合的简单的真假，再根据真值表进行判断．5．（5分）已知p：“正数a的平方不等于0”，q：“a不是正数，则它的平方等于0”，则p是q 的（）A．逆B．否C．逆否D．否定考点：四种．专题：简易逻辑．分析：写出P与q的条件与结论，再根据四种的定义判断即可．解答：解：P：正数a的平方不等于0；q：“a不是正数，则它的平方等于0”；满足否的定义，故P是q的否．故选：B．点评：本题考查四种的定义；基本知识的考查．6．（5分）已知平面α，β，直线m，n，下列中不正确的是（）A．若m⊥α，m⊥β，则α∥βB．若m∥n，m⊥α，则n⊥αC．若m⊥α，m⊂β，则α⊥βD．若m∥α，α∩β=n，则m∥n考点：的真假判断与应用．专题：空间位置关系与距离．分析：利用在与平面，直线与直线的平行与垂直的判定定理以及性质定理推出结果即可．解答：解：若m⊥α，m⊥β，则α∥β，满足平面与平面平行的判定定理，所以A正确；若m∥n，m⊥α，则n⊥α，满足满足直线与平面平行的性质，所以B正确；若m⊥α，m⊂β，则α⊥β，满足平面与平面垂直的性质，所以C正确；若m∥α，α∩β=n，则m∥n，也可能得到m，n是异面直线，所以D不正确．故选：D．点评：本题考查直线与直线，直线与平面，平面与平面平行与垂直的判断与性质，考查基本知识的应用．7．（5分）已知a，b∈R，则“＞”是“log 2a＞log2b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：分别解出关于＞以及log 2a＞log2b”的a，b的范围，从而得到答案．解答：解：由＞，解得：a＞b≥1，由log2a＞log2b解得：a＞b＞0，故“＞”是“log 2a＞log2b”的充分不必要条件，故选：A．点评：本题考察了充分必要条件，考察二次函数以及对数函数的性质，是一道基础题．8．（5分）已知F1、F2是椭圆的两个焦点，以线段F1F2为边作正△MF1F2，若边MF1的中点在此椭圆上，则此椭圆的离心率为（）A．B．﹣1 C．D．﹣1考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：通过题意画出图形，利用勾股定理及椭圆的定义计算即得结论．解答：解：不妨设椭圆方程为：+=1（a＞b＞0），则M点必在y轴上，如图，连结PF2，∵△MF1F2为正三角形，∴PF1=MF1=F1F2=c，PF2==c=2a﹣c，∴2a=（+1）c，即e==，故选：A．点评：本题考查椭圆的简单性质，注意解题方法的积累，属于基础题．9．（5分）已知圆（x+2）2+y2=16的圆心为M，设A为圆上任一点，N（3，0），线段AN的垂直平分线交直线MA于点P，则动点P的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线考点：轨迹方程．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：已知圆（x+2）2+y2=16，易知圆心和半径．A为圆上任一点和N（2，0），线段AN 的垂直平分线上任一点到两短点的距离相等且交MA于点P．有PN=PA，所以PM﹣PN=AM=4，即为动点P到两定点M、N的距离之差为常数4，根据双曲线的定义可得结论．．解答：解：已知圆（x+2）2+y2=16，则的圆心M（﹣2，0），半径为4．A为圆上任一点，且AM=4N（3，0），线段AN的垂直平分线上任一点到两端点的距离相等且交MA于点P．有PN=PA所以PM﹣PN=AM=4即为动点P到两定点M、N的距离之差为常数4，所以动点P的轨迹是双曲线．故选：C．点评：求点的轨迹方程常用的有定义法、待定系数法、直译法和间接法．其中定义法是最快捷的．这里就直接利用了双曲线的定义直接得到结论．10．（5分）如果对于空间任意n（n≥2）条直线总存在一个平面α，使得这n条直线与平面α所成的角均相等，那么这样的n（）A．最大值为3 B．最大值为4 C．最大值为5 D．不存在最大值考点：平面的基本性质及推论．专题：探究型．分析：分别探究直线的条数为2、3、4的情况，由线面角的定义、线线位置关系以及空间几何体进行判断．解答：解：当2条直线时，一定作出与它们都平行的平面，故这两条直线与平面所成的角是0度；当3条直线时，当它们共面时，一定存在平面与它们所成的角相等；不共面时，一定可以它们平移到一点，构成一个椎体，则存在一个平面作为椎体的底面，并且使得此底面与三条直线所成的角相等；当为4条直线时，且三条在一面内，另一条在面外，则面内3条要与一面成角等的话必须是0度，但另一条不可能也成0度，故不存在符合题意的平面．故选A．点评：本题是一个探究型的题目，需要耐心的一一进行分析，可以借助于空间几何体和反例进行说明，必须做到脑中有图，考查了分析、解决问题和空间信息能力．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）11．（5分）已知空间向量=（x﹣1，1，﹣x），=（﹣x，3，﹣1），若⊥，则x的值为﹣1或3．考点：空间向量的数量积运算．专题：空间向量及应用．分析：由⊥，可得=0，解出即可．解答：解：∵⊥，∴=﹣x（x﹣1）+3+x=0，化为x2﹣2x﹣3=0，解得x=3或﹣1．故答案为：﹣1或3．点评：本题考查了向量垂直与数量积之间的关系，考查了计算能力，属于基础题．12．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为2．考点：简单线性规划．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△AB0及其内部，再将目标函数z=x+y对应的直线进行平移，观察直线在y轴上的截距变化，可得当x=2且y=0时，z=x+y取得最大值2．解答：解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△AB0及其内部，其中A（2，0），B（2，﹣2），O为坐标原点．设z=F（x，y）=x+y，将直线l：z=x+y进行平移，观察直线在y轴上的截距变化，可得当l经过点A时，目标函数z达到最大值∴z最大值=F（2，0）=2故答案为：2点评：本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=x+y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．13．（5分）某几何体的三视图如图所示，则它的体积为16．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：判断三视图复原的几何体的形状，画出图形，利用三视图的数据求出几何体的体积即可．解答：解：几何体是底面为下底为4，上底为2，高为4的直角梯形，几何体的高为4的四棱锥，顶点在底面的射影是底面直角梯形高的中点，几何体的体积为：V=S底×h==16．故答案为：16．点评：本题考查三视图与几何体直观图的关系，判断几何体的形状以及数据对应值是解题关键．14．（5分）如图，点A，B分别在x轴与y轴的正半轴上移动，且AB=2，若点A从（，0）移动到（，0），则AB中点D经过的路程为．考点：弧长公式．分析：首先设出求出中点的轨迹是以原点为圆心半径为1的圆，然后求出点D和点D'的坐标，再由弧长公式得出结果．解答：解：设AB的中点为O（x，y），则A（2x，0），B（0，2y）∵AB=2∴（2x）2+（2y）2=4 即x2+y2=1所以中点是以原点为圆心半径为1的圆∵点A从（，0）移动到（，0），∴D（，）D'（，）tan∠D'OA=1 tan∠DOA=∴∠D'OD=∴为中点走过的路径∴l=×1=故答案为：点评：此题考查了轨迹方程的求法以及弧长公式的运用，求出中点的轨迹是解题的关键，属于中档题．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（12分）如图，等腰直角△ABC的直角顶点C（0，﹣1），斜边AB所在的直线方程为x+2y ﹣8=0．（1）求△ABC的面积；（2）求斜边AB中点D的坐标．考点：中点坐标公式；直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：直线与圆．分析：（1）由点到直线距离公式求得C到AB边所在直线距离，然后由等腰直角三角形的性质求得AB的长度，代入三角形面积公式得答案；（2）由等腰直角三角形斜边的高与斜边的中线重合，先求出斜边的高线所在直线方程，联立方程组求得斜边AB中点D的坐标．解答：解：（1）由点到直线的距离公式求得C到直线x+2y﹣8=0的距离为d=．根据等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的2倍可得|AB|=4．则=20；（2）∵AB所在的直线方程为x+2y﹣8=0，斜率为，则AB边上的高所在直线的斜率为2，高所在直线方程为y=2x﹣1，联立，解得．∴斜边AB中点D的坐标为（2，3）．点评：本题考查了直线的一般式方程与直线垂直间的关系，考查了等腰直角三角形的性质，是基础题．16．（12分）如图，正方体ABC﹣A1B1C1D1中，点F为A1D的中点．（Ⅰ）求证：A1B∥平面AFC；（Ⅱ）求证：平面A1B1D⊥平面AFC．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）根据线面平行的判定定理只需证明直线A1B平行平面AFC内的直线FO即可；（2）根据面面垂直判定定理只需证明AF⊥平面A1B1CD即可．解答：证明：（1）连接BD交AC于点O，连接FO，则点O是BD的中点．∵点F为A1D的中点，∴A1B∥FO．又A1B⊄平面AFC，FO⊂平面AFC，∴A1B∥平面AFC．（2）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，连接B1D．∵AC⊥BD，AC⊥BB1，∴AC⊥平面B1BD，AC⊥B1D．又∵CD⊥平面A1ADD1，AF⊂平面A1ADD1，∴CD⊥AF．又∵AF⊥A1D，∴AF⊥平面A1B1CD．∵AF⊂平面AFC．∴平面A1B1CD⊥平面AFC，即平面A1B1D⊥平面AFC．点评：本题考查平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查空间想象能力，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，圆C与x轴、y轴都相切，直线l：x+y﹣4=0平分圆C的面积．（1）求圆C的方程；（2）过原点O的直线l1将圆C的弧长分成1：3的两部分，求直线l1的斜率．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：（1）根据直线和圆的相切关系求出圆心和半径即可求圆C的方程；（2）根据直线l1将圆C的弧长分成1：3的两部分，转化为圆心到直线的距离进行求解即可．解答：解：（1）由题意知，圆心C在直线l：x+y﹣4=0上；∵圆C与x轴、y轴都相切，∴圆心C也在直线y=x上，即圆心C（2，2），半径r=2，故圆C的方程为（x﹣2）2+（x﹣2）2=4．（2）设直线l1的方程为y=kx，∵过原点O的直线l1将圆C的弧长分成1：3的两部分，∴劣弧所对的圆心角为90°，则圆心C到直线的距离d=rcos45°=，又d=，解得k=2±，故直线l1的斜率是2±．点评：本题主要考查直线和圆的方程的应用，以及圆的标准方程的求解，比较基础．18．（14分）如图1，在△PBC中，∠C=90°，PC=4，BC=3，PD：DC=5：3，AD⊥PB，将△PAD 沿AD边折起到SAD位置，如图2，且使SB=．（Ⅰ）求证：SA⊥平面ABCD；（Ⅱ）求平面SAB与平面SCD所成锐二面角的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）证明SA⊥AB，SA⊥AD，即可证明SA⊥平面ABCD；（Ⅱ）延长BA，CD相交于P，连接SP，取SP的中点M，连接MA，MD，证明∠AMD为平面SAB与平面SCD所成锐二面角的平面角，求出MA，MD，即可求平面SAB与平面SCD 所成锐二面角的余弦值．解答：（Ⅰ）证明：在直角三角形PBC中，PC=4，BC=3，PD：DC=5：3，所以PB=5，PD=2.5，DC=1.5，因为∠PAD=∠C=90°，∠P=∠P，所以△PAD∽△PCB，所以，所以PA=2，AB=PB﹣PA=3，AD=1.5，△SAB中，SA=PA=2，SB=，所以SA2+AB2=SB2，所以SA⊥AB因为AD∥PB，所以SA⊥AD，因为AB∩AD=A，所以SA⊥平面ABCD；（Ⅱ）解：在图2中，延长BA，CD相交于P，连接SP，取SP的中点M，连接MA，MD，则因为PA=SA，PD=SD，所以MA⊥SP，MD⊥SP，所以∠AMD为平面SAB与平面SCD所成锐二面角的平面角，因为SA⊥AD，AD⊥PB，SA∩PB=A，所以AD⊥平面SPB，因为MA⊂平面SPB，所以AD⊥MA．在直角三角形SPA中，PA=SA=2，M为SP的中点，所以SP=2，MA=，在△SPD中，PD=SD=2.5，M为SP中点，所以MD=，所以cos∠AMP==，所以平面SAB与平面SCD所成锐二面角的余弦值为．点评：考查线面垂直的性质于判定定理，考查平面SAB与平面SCD所成锐二面角的余弦值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．（14分）已知曲线C：x2=﹣2py（p＞0），点M是曲线C上的一个动点，过点M且与曲线C相切的直线l的方程为x+y﹣1=0．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）点A、B是曲线C上的两点，O为原点，直线AB与x轴交于点P（2，0），记OA、OB的斜率为k1、k2，试探求k1、k2的关系，并证明你的结论．考点：直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（I）联立，化为x2﹣2px﹣2p=0，由于直线l与抛物线相切，可得△=0，解得p即可．（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为：y=k（x﹣2），与抛物线方程联立化为x2+4kx﹣8k=0，利用斜率计算公式、根与系数的关系即可得出．解答：解：（I）联立，化为x2﹣2px﹣2p=0，∵直线l与抛物线相切，∴△=4p2﹣4（﹣2p）=0，p＞0，解得p=2．∴曲线C的方程为y2=﹣4y．（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为：y=k（x﹣2），联立，化为x2+4kx﹣8k=0，∴x1+x2=﹣4k，x1x2=﹣8k．∴k1===﹣，同理可得：k2=．∴k1+k2==k，k1•k2==﹣．消去k可得：k1k2=﹣，即=﹣2．点评：本题考查了直线与抛物线相切的相切、相交问题转化为方程联立与判别式的关系、根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．（14分）已知圆：x2+y2=64，圆C与圆O相交，圆心为C（9，0），且圆C上的点与圆O 上的点之间的最大距离为21．（Ⅰ）求圆C的标准方程；（Ⅱ）在x轴上是否存在定点P，使得过点P的直线l被圆O与圆C截得的弦长d1、d2的比值总等于同一常数λ？若存在，求点P的坐标及λ的值，若不存在，说明理由．考点：直线与圆的位置关系；圆的标准方程．专题：综合题；直线与圆．分析：（1）圆O1的半径为4，圆心为O1（9，0），从而可得圆O1的标准方程；（2）当直线l的斜率存在时，设方程为y=k（x﹣a），求出O，C到直线l的距离，从而可得d1、d2的值，利用d1、d2的比值总等于同一常数λ，建立方程，从而利用等式对任意实数k恒成立，得到三个方程，由此可得结论．解答：解：（1）∵圆O：x2+y2=64，圆O1与圆O相交，圆O1上的点与圆O上的点之间的最大距离为21，∴圆O1的半径为4，∵圆心为O1（9，0），∴圆O1的标准方程为（x﹣9）2+y2=16；（2）当直线l的斜率存在时，设方程为y﹣b=k（x﹣a），即kx﹣y﹣ka﹣b=0∴O，C到直线l的距离分别为h=，h1=，∴d1=2，d2=2∵d1与d2的比值总等于同一常数λ，∴64﹣=λ2[16﹣]∴[64﹣a2﹣16λ2+λ2（a﹣9）2]k2+2b[a﹣λ2（a﹣9）]k+64﹣b2﹣λ2（16﹣b2）=0由题意，上式对任意实数k恒成立，所以64﹣a2﹣16λ2+λ2（a﹣9）2=0，2b[a﹣λ2（a﹣9）]=0，64﹣b2﹣λ2（16﹣b2）=0同时成立，①如果b=0，则64﹣16λ2=0，∴λ=2（舍去负值），从而a=6或18；∴λ=2，P（6，0），P（18，0）②如果a﹣λ2（a﹣9）=0，显然a=9不满足，从而λ2=，3a2﹣43a+192=0，△=432﹣4×3×192=﹣455＜0，故方程无解，舍去；当点P的坐标为（6，0）时，直线l的斜率不存在，此时d1=2，d1=也满足综上，满足题意的λ=2，点P有两个，坐标分别为（6，0），（18，0），斜率不存在时P（18，0），直线与圆外离，舍去．点评：本题考查圆的标准方程，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力．。
2017-2018年高二上期末数学试卷(理科)含答案解析 (4)
2017-2018学年高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={0，l，3}，B={x|x2﹣3x=0}，则A∩B=（）A．{0}B．{0，1}C．{0，3}D．{0，1，3}2．（5分）“x＞2“是“x2+2x﹣8＞0“成立的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）函数的最大值是（）A．﹣1 B．1 C．6 D．74．（5分）已知双曲线的中心为原点，F（3，0）是双曲线的﹣个焦点，是双曲线的一条渐近线，则双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．5．（5分）若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则可能使l∥α的是（）A．B．C．D．6．（5分）A（，1）为抛物线x2=2py（p＞0）上一点，则A到其焦点F的距离为（）A．B．+C．2 D．+17．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输出的k的值为3，则输入的a的值可以是（）A．20 B．21 C．22 D．238．（5分）为得到函数的图象，只需要将函数的图象（）A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度9．（5分）若，，则sin2α等于（）A．B．C．D．10．（5分）若x，y满足约束条件，则的最大值是（）A．B．1 C．2 D．311．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）A．B．9πC．D．10π12．（5分）函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，图象如图1所示；函数g（x）的定义域为[﹣2，2]，图象如图2所示，方程f（g（x））=0有m个实数根，方程g（f（x））=0有n个实数根，则m+n=（）A．6 B．8 C．10 D．12二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知a＞0，b＞0，且a+b=1，则的最小值是．14．（5分）已知向量，，且⊥（+），则y的值为．15．（5分）已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为．16．（5分）椭圆上的任意一点P（短轴端点除外）与短轴上、下两个端点B1，B2的连线交x轴于点M和N，则|OM|+|ON|的最小值是．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知p：函数y=x2﹣2x+a在区间（1，2）上有1个零点；q：函数y=x2+（2a﹣3）x+1图象与x轴交于不同的两点．若“p∧q”是假命题，“p∨q”是真命题，求实数a的取值范围．18．（12分）在数列{a n}中，a1=，a n+1=•a n，n∈N*．（1）求证：数列{}为等比数列；（2）求数列{a n }的前n 项和S n ．19．（12分）已知顶点在单位圆上的△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2acosA=ccosB +bcosC ． （1）cosA 的值；（2）若b 2+c 2=4，求△ABC 的面积．20．（12分）某市电视台为了提高收视率而举办有奖问答活动，随机对该市15～65岁的人群抽样了n 人，回答问题统计结果及频率分布直方图如图表所示．（1）分别求出a ，b ，x ，y 的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？（3）在（2）的前提下，电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．21．（12分）已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆E的方程；（2）设不过原点O的直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆E交于P，Q两点，直线OP，OQ的斜率分别为k1，k2，满足4k=k1+k2，试问：当k变化时，m2是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由．22．（12分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，CD⊥BD，AB=AD，E为BC的中点．（1）求证：AE⊥BD；（2）设平面ABD⊥平面BCD，AD=CD=2，BC=4，求二面角B﹣AC﹣D的正弦值．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={0，l，3}，B={x|x2﹣3x=0}，则A∩B=（）A．{0}B．{0，1}C．{0，3}D．{0，1，3}【解答】解：由B中方程变形得：x（x﹣3）=0，解得：x=0或x=3，即B={0，3}，∵A={0，1，3}，∴A∩B={0，3}，故选：C．2．（5分）“x＞2“是“x2+2x﹣8＞0“成立的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由x2+2x﹣8＞0解得x＞2，或x＜﹣4．∴“x＞2“是“x2+2x﹣8＞0“成立的充分不必要条件．故选：B．3．（5分）函数的最大值是（）A．﹣1 B．1 C．6 D．7【解答】解：函数，其定义域为{x|3≤x≤4}，显然存在最大值是大于0的，则，当=0时，y取得最大值为1．故选：B．4．（5分）已知双曲线的中心为原点，F（3，0）是双曲线的﹣个焦点，是双曲线的一条渐近线，则双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．【解答】解：∵双曲线的中心为原点，F（3，0）是双曲线的﹣个焦点，∴设双曲线方程为，a＞0，∵是双曲线的一条渐近线，∴=，解得a2=4，∴双曲线方程为．故选D．5．（5分）若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则可能使l∥α的是（）A．B．C．D．【解答】解：在A中，=﹣2，不可能使l∥α；在B中，=1+0+5=6，不可能使l∥α；在C中，=﹣1，不可能使l∥α；在D中，=0﹣3+3=0，有可能使l∥α．故选：D．6．（5分）A（，1）为抛物线x2=2py（p＞0）上一点，则A到其焦点F的距离为（）A．B．+C．2 D．+1【解答】解：把A（，1）代入抛物线方程得：2=2p，∴p=1．∴抛物线的焦点为F（0，）．∴抛物线的准线方程为y=﹣．∴A到准线的距离为1+=．∴AF=．故选：A．7．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输出的k的值为3，则输入的a的值可以是（）A．20 B．21 C．22 D．23【解答】解：由题意，模拟执行程序，可得k=0，S=0，满足条件S≤a，S=2×0+3=3，k=0+1=1满足条件S≤a，S=2×3+3=9，k=1+1=2满足条件S≤a，S=2×9+3=21，k=2+1=3由题意，此时，应该不满足条件21≤a，退出循环，输出k的值为3，从而结合选项可得输入的a的值为20．故选：A．8．（5分）为得到函数的图象，只需要将函数的图象（）A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度【解答】解：由函数y=sin（2x﹣）=sin2（x﹣），且函数y=cos2（﹣x）=cos（﹣2x）=sin2x；为得到函数的图象，只需要将函数的图象向右平移个单位长度．故选：D．9．（5分）若，，则sin2α等于（）A．B．C．D．【解答】解：若，，则cosα+sinα=2（cos2α﹣sin2α），即1=4（cosα﹣sinα），平方可得1=16（1﹣sin2α），∴sin2α=，故选：A．10．（5分）若x，y满足约束条件，则的最大值是（）A．B．1 C．2 D．3【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．设k=，则k的几何意义为区域内的点到原点的斜率，由图象知OA的斜率最大，由，解得A（1，2），则k OA==2，即的最大值为2．故选：C．11．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）A．B．9πC．D．10π【解答】解：由三视图可知几何体为圆柱与球的组合体．圆柱的底面半径为1，高为3，球的半径为1．所以几何体的表面积为π×12+2π×1×3+++=9π．故选B．12．（5分）函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，图象如图1所示；函数g（x）的定义域为[﹣2，2]，图象如图2所示，方程f（g（x））=0有m个实数根，方程g（f（x））=0有n个实数根，则m+n=（）A．6 B．8 C．10 D．12【解答】解：由图象可知，若f（g（x））=0，则g（x）=﹣1或g（x）=0或g（x）=1；由图2知，g（x）=﹣1时，x=﹣1或x=1；g（x）=0时，x的值有3个；g（x）=1时，x=2或x=﹣2；故m=7；若g（f（x））=0，则f（x）==﹣1.5或f（x）=1.5或f（x）=0；由图1知，f（x）=1.5与f（x）=﹣1.5无解；f（x）=0时，x=﹣1，x=1或x=0；故n=3；故m+n=10；故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知a＞0，b＞0，且a+b=1，则的最小值是4．【解答】解：∵a＞0，b＞0，且a+b=1，则=（a+b）=2+≥2+2=4，当且仅当a=b=时取等号．∴的最小值是4．故答案为：4．14．（5分）已知向量，，且⊥（+），则y的值为12．【解答】解：+=（﹣2，y﹣1，5），∵⊥（+），∴•（+）=﹣4﹣（y﹣1）+15=0，则y=12．故答案为：12．15．（5分）已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为．【解答】解：∵圆的方程为：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0∴圆心C（1，1）、半径r为：1根据题意，若四边形面积最小当圆心与点P的距离最小时，距离为圆心到直线的距离时，切线长PA，PB最小圆心到直线的距离为d=3∴|PA|=|PB|=∴故答案为：16．（5分）椭圆上的任意一点P（短轴端点除外）与短轴上、下两个端点B1，B2的连线交x轴于点M和N，则|OM|+|ON|的最小值是2a．【解答】解：设P（x0，y0），⇒化为b2x02=a2（b2﹣y02）直线B1P的方程为：y=x+b，可得M（，0）；直线B2P的方程为：y=x﹣b，可得N（，0）．则|OM|•|ON|==（定值）则|OM|+|ON|≥2=2a．故答案为：2a．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知p：函数y=x2﹣2x+a在区间（1，2）上有1个零点；q：函数y=x2+（2a﹣3）x+1图象与x轴交于不同的两点．若“p∧q”是假命题，“p∨q”是真命题，求实数a的取值范围．【解答】解：对于p：设f（x）=x2﹣2x+a．该二次函数图象开向上，对称轴为直线x=1，所以，所以0＜a＜1；对于q：函数y=x2+（2a﹣3）x+1与x轴交于不同的两点，所以（2a﹣3）2﹣4＞0，即4a2﹣12a+5＞0，解得或．因为“p∧q”是假命题，“p∨q”是真命题，所以p，q一真一假．①当p真q假时，有，所以；②当p假q真时，有，所以或a≤0．所以实数a的取值范围是．18．（12分）在数列{a n}中，a1=，a n+1=•a n，n∈N*．（1）求证：数列{}为等比数列；（2）求数列{a n}的前n项和S n．=a n知=•，【解答】解（1）证明：由a n+1∴{}是以为首项，为公比的等比数列．（2）由（1）知{}是首项为，公比为的等比数列，∴=（）n，∴a n=，∴S n=++…+，①则S n=++…+，②①﹣②得S n=+++…+﹣=1﹣，∴S n=2﹣．19．（12分）已知顶点在单位圆上的△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2acosA=ccosB+bcosC．（1）cosA的值；（2）若b2+c2=4，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵2acosA=ccosB+bcosC，由正弦定理得：2sinA•cosA=sinCcosB+sinBcosC⇒2sinA•cosA=sin（B+C）=sinA，又∵0＜A＜π⇒sinA≠0，∴．…（6分）（2）由，由于顶点在单位圆上的△ABC 中，2R=2，利用正弦定理可得：．由余弦定理可得：a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ⇒bc=b 2+c 2﹣a 2=4﹣3=1．…（10分） ∴．…（12分）20．（12分）某市电视台为了提高收视率而举办有奖问答活动，随机对该市15～65岁的人群抽样了n 人，回答问题统计结果及频率分布直方图如图表所示．（1）分别求出a ，b ，x ，y 的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？（3）在（2）的前提下，电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．【解答】解：（1）第1组人数5÷0.5=10，所以n=10÷0.1=100；第2组人数100×0.2=20，所以a=20×0.9=18；第3组人数100×0.3=30，所以x=27÷30=0.9；第4组人数100×0.25=25，所以b=25×0.36=9；第5组人数100×0.15=15，所以y=3÷15=0.2．（2）第2，3，4组回答正确的人的比为18：27：9=2：3：1，所以第2，3，4组每组应依次抽取2人，3人，1人．（3）记抽取的6人中，第2组的记为a1，a2，第3组的记为b1，b2，b3，第4组的记为c，则从6名学生中任取2名的所有可能的情况有15种，它们是：（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，c），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，c），（b1，b2），（b1，b3），（b1，c），（b2，b3），（b2，c），（b3，c），其中第2组至少有1人的情况有9种，它们是：（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，c），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，c），故所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率为p=．21．（12分）已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆E的方程；（2）设不过原点O的直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆E交于P，Q两点，直线OP，OQ的斜率分别为k1，k2，满足4k=k1+k2，试问：当k变化时，m2是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）依题意，得，解得a2=4，b2=1．所以椭圆E的方程是．（2）当k变化时，m2为定值．证明如下：由得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0．设P（x1，y1），Q（x2，y2），，，（*）因为直线OP，直线OQ的斜率分别为k1，k2，且4k=k1+k2，所以，得2kx1x2=m（x1+x2），将（*）代入解得，经检验知成立．故当k变化时，m2为定值．22．（12分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，CD⊥BD，AB=AD，E为BC的中点．（1）求证：AE⊥BD；（2）设平面ABD⊥平面BCD，AD=CD=2，BC=4，求二面角B﹣AC﹣D的正弦值．【解答】证明：（1）设BD的中点为O，分别连接AO，EO．又因为AB=AD，所以AO⊥BD．因为E为BC的中点，O为BD的中点，所以EO∥CD．又因为CD⊥BD，所以EO⊥BD．又因为OA∩OE=O，OA，OE⊂平面AOE，所以BD⊥平面AOE．又因为AE⊂平面AOE，所以BD⊥AE，即AE⊥BD．解：（2）由（1）求解知AO⊥BD，EO⊥BD．因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AO⊂平面ABD，所以AO⊥平面BCD．又因为EO⊂平面BCD，所以AO⊥EO．所以OE，OD，OA两两相互垂直．因为CD⊥BD，BC=4，CD=2，所以．因为O为BD的中点，AO⊥BD，AD=2，所以，．以O为坐标原点，OE，OD，OA分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，则O（0，0，0），A（0，0，1），，，，所以，，．设平面ABC的一个法向量为，则，．所以，取，解得．所以是平面ABC的一个法向量．同理可求平面ADC的一个法向量．设二面角B﹣AC﹣D的大小为θ，则．因为0＜θ＜π，所以，所以二面角B﹣AC﹣D的正弦值为．。
2017-2018学年高二年级数学期末试卷(理数)含答案
2．若 x 2m2 3 是 1 x 4 的必要不充分条件，则实数 m 的取值范围是（ ）
10．已知函数 f x 1 x3 1 mx2 4x 3 在区间 1,2上是增函数，则实数 m 的取值范围是（
32
A . 3,3
B . ,3 3, C . ,1 1,
，则满足
11．已知函数
f
x
3|x1| , x2 2x
x 1,
0, x
0
若关于
x
的方程 f
x2
a
1f
x
a
0有
7
个不
等实根，则实数 a 的取值范围是(
)
A . 2,1
B .2,4
C . 2,1
D . ,4
12.
已知函数
A . loga c logb c B . logc a logc b C . a c bc
D . ca cb
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 9．已知函数 f x 2 xm 1 为偶函数，记 a f log0.5 3 ， b f log2 5 ， c f 2m，则
由题设知
，
则
解得 的横坐标分别是 则 有 又
，又 于是
， ，
，
，即 l 与直线 平行， 一定相交，分别联立方
设
是平面
的法向量，则
，即
。
对任意
，要使
与
的面积之比是常数，只需 t 满足
可取
，故，所以 与平面
20. （1）依题意可得
所成角的正弦值为 ---------12 分 ，