§8.3 第一类边界条件下(tw=C)半无限大平板一维非稳态导热20110420155222
传热学 第3章
1) 数学模型
2 τ = 0, Θ = Θ 0 = 1 δ Fo是无量纲特征数 Fo是无量纲特征数， 是无量纲特征数， Θ X = 0, =0 称为傅里叶数 称为傅里叶数 x hδ Θ hδ 称为毕渥数 称为毕渥数 4 X = 1, = Θ Bi = λ X λ
2Θ = ( Fo) X 2 τ = 0, Θ = Θ 0 = 1 Θ X = 0, =0 X Θ X = 1, = Bi Θ X
2 1
上面两式之比
x f Bi , δ 可见， 非稳态导热进入正规状况阶段以后， 可见，当Fo ≥ 0.2，非稳态导热进入正规状况阶段以后， 都随时间变化，但它们的比值与时间无关， 虽然θ与θm都随时间变化，但它们的比值与时间无关， 只取决于毕渥数Bi与几何位置 与几何位置x/ 只取决于毕渥数Bi与几何位置x/δ 。 认识正规状况阶段的温度变化规律具有重要的实 际意义， 际意义，因为工程技术中的非稳态导热过程绝大部分 时间都处于正规状况阶段 。 10
第三章
主要内容： 主要内容：
非稳态导热
非稳态导热过程中温度场的变化规律及换热量的分 析求解方法。包括： 析求解方法。包括： 1. 一维非稳态导热的分析解法； 一维非稳态导热的分析解法； 2. 非稳态导热的集总参数分析法； 非稳态导热的集总参数分析法； 3. 半无限大固体的非稳态导热 ；
3－1 非稳态导热的基本概念
14
（ 2）
θ θ0 θ x = = cos 1 = θm θm θ0 δ
x f Bi , δ
15
2 Q 2sin 1 1 Fo （ 3） = 1 2 e = f ( Bi , Fo ) 1 + 1 sin 1 cos 1 Q0
2
16
几点说明：
传热学11 一维稳态和非稳态导热
• 两个边界条件中：一个为r=R时，T=Tw，由于内热源均 匀分布，圆柱体表面温度均为Tw，圆柱体内温度分布对 称于中心线，另一个边界条件可表示为 r=0时，dT/dr=0。 将微分方程分离变量后两次积分，结果为：
11.2 通过圆筒壁的一维稳态导热
qv 2 qv 2 dT T r C1 ln r C2 r r C1 4 dr 2 • 根据边界条件，在r=0时， dT/dr=0。可得C1=0；利用 另一个边界条件，在r=R时，T=Tw，可得
• 可见，该条件下平壁内温度是按抛物线规律分布。令 温度分布关系式中的x=0，则得平壁中心温度为：
qv 2 T Tw s 2
11.1 通过平壁的一维稳态导热
• 例题2：炉墙内层为粘土砖，外层为硅藻土砖， 它们的厚度分别为s1=460 mm；s2=230 mm，导 热系数分别为：λ1=0.7+0.64× 10-3T W/m℃； λ2=0.14+0.12× 10-3T W/m℃。炉墙两侧表面温度 各为T1=1400℃；T3=100℃，求稳态时通过炉墙 的导热通量和两层砖交界处的温度。
1
2
Tf1 Tf2 dT q C1 1 s 1 dx
q K (Tf1 Tf2 )
1 s
1
2
1
综合传热系数或传热系数 多层平壁
K
Tf1 Tf2 q n si 1 1
1
2
1
1
i 1
i
2
平壁面积A
Tf1 Tf2 Q n si 1 1 1 A i 1 i A 2 A
11.1 通过平壁的一维稳态导热
对T求导，得： dT C1
非稳态导热——精选推荐
∞ t
tw＝ tf
τ3
τ1 τ2
t0
τ3 τ4 τ1 τ2
∞
x
x a有限厚物体
∞ b半无限厚物体
图 有限厚与无限厚物体
§11.2 集总参数法的简化分析
1 定义：忽略物体内部导热热阻、认为物体温度均匀一致的
分析方法。此时， Bi → 0 ，温度分布只与时间有
关，即 t = f (τ ) ，与空间位置无关，因此，也称为
当 Bi → 0时，⇒ rλ << rα，因此，可以忽略导热热阻(薄材)
物体内有均匀的温度分布
第一类边界条件（流体温 度等于壁面温度）
0 < Bi < ∞
14
（4） 薄材的判断方法
Bi
=
αδ λ
≤ 0.1
是与物体几何形状 有关的无量纲常数
采用此判据时，物体中各点过余温度的差别小于5%
对厚为2δ的无限大平板; 对半径为δ的无限长圆柱
零维问题(薄材)，薄材的温度分布可用常微分方程描述。
α tf
2 温度分布
Q
如图所示，任意形状的物体， 参数均为已知。
τ = 0时，t = t 0
将其突然置于温度恒为 t f 的流 体中。
宗燕兵
20
当物体被冷却时（t>tf）,由能量守恒可知
常
Aα
(t
−
t
f
)
=
-
ρVc
dt
dτ
(τ = 0，t = t0 )
如上述，Bi小物体内外温度差就小。极端而言，
Bi →0，可理解为物体热导率λ→∞；
也可理解为h→0；
或者材料的厚度δ →0。 这时，物体内外温差也趋近于零。在实际上λ→∞或h→0
一维非稳态导热
一块无限大平板（如图3所示），其一半厚度为L=0.1m，初始温度T0=1000℃，突然将其插入温度T∞=20℃的流体介质中。
平板的导热系数λ=34.89W/m℃，密度ρ=7800kg/m3，比热c=0.712J/kg℃，平板与介质的对流换热系数为h=233W/m2.℃，求平板内各点的温度分布。
3．1 数学描述由于平板换热关于中心线是对称的，仅对平板一半区域进行计算即可。
坐标x的原点选在平板中心线上，因而一半区域的非稳态导热的数学描述为：(3-1)(3-2)(3-3)(3-4)该数学模型的解析解为:（3-5）其中,为方程的根，。
表3给出了在平板表面(x=L)处由式(3-5)计算得到的不同时刻的温度值。
表3 平板表面各不同时刻温度值。
时间1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （S）温度(℃) 981.84 974.47 968.88 964.20 960.11 956.14 953.08 949.97 947.07 944.34 3．2 数值离散3．3．1 计算区域的离散一维非稳态导热指的是空间坐标是一维的。
若考虑时间坐标，则所谓的一维非稳态导热实际上是二维问题(见图4)，即：有时间坐标τ和空间坐标x两个变量。
但要注意，时间坐标是单向的，就是说，前一时刻的状态会对后一时刻的状态有影响，但后一时刻的状态却影响不到前一时刻，图4示出了以x和τ为坐标的计算区域的离散，时间从τ=0开始，经过一个个时层增加到K时层和K+1时层。
3．3．2 微分方程的离散对于i节点，在K和K+1时刻可将微分方程(3-1)写成下面式子：(3-6)(3-7)将式(3-6)~(3-7)的左端温度对时间的偏导数进行差分离散为：(3-9)(3-8)观察式(3-8)和(3-9)，这两个式子的右端差分式完全相同，但在两个式子中却有不同含义。
对式(3-8)，右端项相对i点在K时刻的导数是向前差分。
而在式(3-9)中，右端项是I点在K+1时刻的导数的向后差分。
传热学讲义——第三章
第三章 非稳态导热(unsteady state conduction)物体的温度随时间而变化的导热过程称非稳态导热。
0≠τ∂∂t，任何非稳态导热过程必然伴随着加热或冷却过程。
根据物体内温度随时间而变化的特征不同，非稳态导热过程可分为两类：（1）周期性导热（periodic unsteady conduction ）：物体的温度按照一定的周期发生变化； 如建筑物的外墙和屋顶温度的变化。
（2）瞬态导热(transient conduction)：物体的温度随时间不断升高或降低，在经历相当长时间后，物体的温度逐渐趋于周围介质的温度，最终达到热平衡。
分析非稳态导热的任务：找出温度分布和热流密度随时间和空间的变化规律。
第一节 非稳态导热的基本概念一、瞬态导热过程采暖房屋外墙墙内温度变化过程。
采暖设备开始供热前：墙内温度场是稳态、不变的。
采暖设备开始供热：室内空气温度很快升高并稳定；墙壁内温度逐渐升高；越靠近内墙升温越快；经历一段时间后墙内温度趋于稳定、新的温度分布形成。
墙外表面与墙内表面热流密度变化过程 采暖设备开始供热前：二者相等、稳定不变。
采暖设备开始供热：刚开始供热时，由于室内空气温度很快升高并稳定，内墙温度的升高相对慢些，内墙表面热流密度最大；随着内墙温度的升高，内墙表面热流密度逐渐减小；随着外墙表面的缓慢升高，外墙表面热流密度逐渐增大；最终二者相等。
上述非稳态导热过程，存在着右侧面参与换热与不参与换热的两个不同阶段。
（1）第一阶段（右侧面不参与换热）是过程开始的一段时间，特点是：物体中的一部分温度已经发生变化，而另一部分仍维持初始状态时的温度分布（未受到界面温度变化的影响），温度分布显现出部分为非稳态导热规律控制区和部分为初始温度区的混合分布，物体内各处温度随时间的变化率是不一样的，即：在此阶段物体温度分布受t分布的影响较大，此阶段称非正规状况阶段或初始阶段（initialregime）。
（2）第二阶段（右侧面参与换热）当右侧面参与换热以后，物体中的温度分布不受t影响，主要取决于边界条件及物性。
导热微分方程边界条件
t 数学表示式：Q F n Q t 或 q F n 说明： （1）负号表示热量传递方向 与温度梯度方向相反 （2）λ是导热系数
n
t t
n
q
t
2．导热系数λ
物理意义：表征物质的导热能力大小
即：单位温度梯度时的热流密度。单位:W／m.℃。
q
因此： 在实际求解时， 将平均温度的导 热系数看成常数 进行计算
(W)
若给定面积F:
Q qF
t1 t 2
av
F
t
av F
常用的简便方法----热阻法
根据 公 式：q
(t1 t 2 )av
数学表示式：
影响导热系数的因素：
（1）种类的影响
t n
f (种类、结构、湿度、密 度、温度）
决定于分子间的相互运动 范围：λ= 0.006～0.6W/（m·℃）。 在很大的压力变化范围内，仅是温度的函数，而和压力无关。
气体：
液体: λ= 0．07～0．7 W／（m· ℃）。
一般液体的导热系数随温度升高而减小，但标准 大气压下水的导热系数却随温度升高而增大。
qv =0
求解目的： （1）温度场 （2）热流密度
求解方法：
或热流量
qv t 2t 2t 2t ( ) （1）导热微分方程： 2 2 2 c x y z cv v 2
化简为
d t 0 d x2
（2）付氏定律
t Q F n
(一)、无限大平板的稳态无内热源的导热
若 若
t 0 t 0
则物体被加热 则物体被冷却
第三章 稳态导热分析
t w2 t w1 t t w1 ln( r r1 ) ln( r2 r1 )
由上式可知： （1）温度呈对数曲线分布。
（2）温度分布与材料导热系数无关。
材料成型传输原理－－热量传输
由圆筒壁内温度分布：
ln( r r1 ) t t w1 (t w1 t w2 ) ln( r2 r1 )
x
2 (t 2 t f 2 )
平壁内导热量：q t 2 t1
材料成型传输原理－－热量传输
连立求解上述三式得：
1 q (t f 1 t f 2 ) /( ) 1 2
1
平壁内温度分布：
dt c1 t c1 x c2 dx
d dt r 0 dr dr
d t 1 dt 0 2 r dr dr
2
材料成型传输原理－－热量传输
1.第一类边界条件下的圆筒壁导热分析
r r1时 t t w1 边界条件： r r2时 t t w2
d dt r 0 积分两次： 对 dr dr
i i 第 i 层：q (ti ti 11) ti 1 ti q i i
材料成型传输原理－－热量传输
多种材料多层复合平壁：（P98） (1) 串联电路各电阻上的电流相等且等于总电流 串联热路各热阻上的热流相等且等于总热流 (2) 并联电路各电阻上的电流相加等于总电流
（2）壁内温度由以下公式逐层求得：
n
第一类边界条件
ln( r rn ) t t n (t n t n 1 ) ln( rn 1 rn )
第一类边界条件
第三类边界条件下壁内温度分布如何求？
2011-第4章非稳态导热--02
t0
t∞
t∞
O
x
第三类边界条件下一维非稳态
hitaiqing@ 航空航天热物理研究所
（C）
h
与
的数值较接近
t
h 等价于
为有限值
t0
v这时，平板内不同时 刻的温度分布介于上 述两种极端情况之 间。
t∞
t∞
O
x
第三类边界条件下一维非稳态
无穷 级数
工程近似 分析解的级数第一项绘制的图线 科莫图 使用要求Fo>0.2
hitaiqing@
航空航天热物理研究所
什么情况下可利用集总参数法预测固体因热 环境变化而导致的瞬态响应？ 数的物理意义是什么？ 哪些参数决定了集总参数固体的瞬态热响应 有关的时间常数？增大对流换热系数会使这 种影响加速或减速？增大固体的密度或比热 容呢？ 傅里叶数（ ）的物理意义是什么？ 集总参数法更适用于热的铜质固体还是铝质 固体的冷却？
上堂课 复习
hitaiqing@ 航空航天热物理研究所
半无限大物体： 控制方程：常物性一维非稳态导热
∂t ∂ 2t =a 2 ∂τ ∂x
初始条 温度场分布 τ = 0, t x = t0 = const 件： f (0, t)=tw 第一类条件（定壁 温） 隐含边界条件 f (∞, t)=t
第三类边界条件下一维非稳态
hitaiqing@ 航空航天热物理研究所
Fo
a 2 l
l a
2
分子
是从边界上开始发生热扰动的时刻 起到所计算时刻为止的时间间隔。
2 m 2 l a m2 s
分母
⇒ s
可视为使边界上发生有限大小 的热扰动穿过一定厚度的固体 2 层扩散到 l 面积上所需的时间
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式确定θx／θ0 ：
θx／θ0 = θx／θm ×θm／θ0
P104 图9.14~9.16给出了圆柱体的非稳态加热线算图。要 给出了圆柱体的非稳态加热线算图。 给出了圆柱体的非稳态加热线算图 求熟练掌握其应用
例1（P103） （ ） 厚度为200mm的钢坯，在温度为1200℃的加热炉内双 的钢坯，在温度为 厚度为 的钢坯 ℃ 面对称加热，假定铸坯初始温度为 ℃ 面对称加热，假定铸坯初始温度为30℃，在加热过 程中炉内平均给热系数为h=174W/（m2·℃），钢的 （ ℃），钢的 程中炉内平均给热系数为 热物性参数为λ=34.8W/m·℃，a=0.555×10-5 m2/s， ℃ 热物性参数为 × ， 钢坯在炉内加热36min时钢坯的表面温度和断面 求(1)钢坯在炉内加热 钢坯在炉内加热 时钢坯的表面温度和断面 温差； 钢坯表面温度达到 钢坯表面温度达到800℃所需要的时间及在 温差；(2)钢坯表面温度达到 ℃ 此时间内钢坯每平方米获得的热量。 此时间内钢坯每平方米获得的热量。
t = t0 ∂t ∂x 0 = （对称性）
x =0
∂t = h(t f − t x=0 ) λ x＝δ ∂x x＝δ x =0
θ ( x,τ ) t ( x,τ ) − t f x = = f ( F0 , Bi , ) θ0 t0 − t f δ
θ ( x,τ ) t ( x,τ ) − t f x = = f ( F0 , Bi , ) t0 − t f θ0 δ
Q0~τ = ∫ Q dτ =∫ h(t f − t0 ) ⋅ e− Bi ⋅Fo dτ τ
0 0
τ
τ
= ρVCP (t f − to )(1 − e− Bi ⋅Fo )
J
Q0~τ Q0~τ 或： = = 1 − e− Bi ⋅Fo Qmax ρVCP (t f − to )
注意使用中首先要判定是不是薄材，不然不能使用。
§8.5 第三类边界条件下有限厚物体的 加热或冷却
设有一厚度为2δ 设有一厚度为 δ的无限大平 t 初始温度为t 板，初始温度为 0， 将其放置于 hf ,t f hf ,t f 温度为t 的流体介质中， 温度为 f的流体介质中，设tf >t0 ， τ 流体与板面间的对流换热系数为h 流体与板面间的对流换热系数为 τ 且为常数。 且为常数。试确定在非稳态传热 τ 过程中板内的温度分布。 过程中板内的温度分布。 τ t0 τ＝0 由于是双面对称加热， 由于是双面对称加热，板内的 x 温度分布也是对称的， 温度分布也是对称的，取坐标如 -δ δ 图所示： 图所示： 大平板加热过程中的温度分布
4 3 2 1
该加热过程的微分方
t
程从导热微分方程的一 般形式简化为： 般形式简化为：
hf ,t f
τ4 τ3
hf ,t f
∂t ∂ t =a 2 ∂τ ∂x
2
τ2 τ1
t0 -δ δ
τ＝0
x
定解条件： 定解条件：
τ = 0, τ > 0, τ > 0,
解的结果： 解的结果：
0 ≤ x ≤ ∞, x=0 x =δ
第一类边界条件下(t §8.3 第一类边界条件下 w=C)半无限 半无限 大平板一维非稳态导热
1 tw − t x = erf = erf 2 F t w − t0 2 aτ o
式中： 式中：
x erf 2 aτ
为高斯误差函数，其值可由附录中查得。 为高斯误差函数，其值可由附录中查得。
为一定加热时间下（ ），板内温度 图9.12为一定加热时间下（相同 ），板内温度 为一定加热时间下 相同Fo）， 的分布情况： 在同一Fo下 的分布情况： 在同一 下 ，当Bi ＜0. 1时, θx／θ m 时 的值均在0.95以上，即物体中各点的温差均小于0.5%， 以上，即物体中各点的温差均小于 的值均在 以上 ， 工程上可视为薄材。 工程上可视为薄材。 的计算图， 根据给出的是θm／θ0 和θx／θm 的计算图，可用下
物体的瞬时热流量： 物体的瞬时热流量：
Qτ = h(t f − t ) F = (t f − t0 ) F ⋅ e− Bi ⋅Fo
将介质温度tf 与物体温度t间的差值 f - t)或 (t - tf) 将介质温度 与物体温度 间的差值(t 或 间的差值 称为过余温度，记为 称为过余温度，记为θ
在0~τ时间内的总传热量为：
当
x =2 2 aτ
tw − t 时， ≈1 t w − t0
时间后壁内温度开始变化的距离为： 经τ 时间后壁内温度开始变化的距离为：
x = 4 aτ
时刻，通过壁面的热通量为： 在τ 时刻，通过壁面的热通量为：
∂t q =− λ ∂x
=λ
x =0
t w − t0
πaτ
W/m2
∴
§8.4薄材在恒温介质中的加热或冷却 薄材在恒温介质中的加热或冷却 第三类边界条件） （第三类边界条件） F tf −t t f − t0 − Bi ⋅Fo Bi ⋅Fo ： =e 或： =e t f − t0 tf −t
x=0处即为物体的中心温度， 处即为物体的中心温度， 处即为物体的中心温度 x= δ 处为物体的表面温度 Q0=2F·δρCp(tf –t0 ) J
解的结果都是无穷级数的形式，为便于计算, 解的结果都是无穷级数的形式，为便于计算 绘 成线算图以供使用。 成线算图以供使用。 （P102 图9.11; 图9.12） ）