2021新高考数学新课程一轮复习课件：第八章 第6讲 双曲线

第八章 平面解析几何
第6讲 双曲线
[考纲解读] 1.掌握双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单 的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)．(重点)
2.掌握直线与双曲线位置关系的判断，并能求解与双曲线有关的简单问 题，理解数形结合思想在解决问题中的应用．(难点)
[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的热点．预测 2021 年高考会考查：①双曲线定义的应用与标准方程的求解；②渐近线方程与离 心率的求解．试题以客观题的形式呈现，难度不大，以中档题为主.
1
PART ONE
基础知识过关
1．双曲线的定义
平面内与两个定点 F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离的差的绝对值为常数(小
□ 于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做 01 双曲线 这两个定点叫做双曲线 的 □02 焦点 ，两焦点间的距离叫做双曲线的 □03 焦距．
集合 P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a，c 为常数且 a>0，
1.利用双曲线的定义需注意的问题 在双曲线的定义中，要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即 “到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点 间的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时 需注意定义的转化应用. 2.利用焦点三角形需注意的问题 在焦点三角形中，注意定义、余弦定理的活用，常将||PF1|－|PF2||＝2a 两边平方，建立与|PF1|·|PF2|有关的方程．见举例说明 2 及条件探究.
2 2 x.
2
PART TWO
经典题型冲关
题型一 双曲线的定义及应用
1．若双曲线x42－1y22＝1 的左焦点为 F，点 P 是双曲线右支上的动点， A(1,4)，则|PF|＋|PA|的最小值是( )
A．8 B．9 C．10 D．12 答案 B
解析 由题意知，双曲线x42－1y22 ＝1 的左焦点 F 的坐标为(－4,0)，设双 曲线的右焦点为 B，则 B(4,0)，由双曲线的定义知|PF|＋|PA|＝4＋|PB|＋|PA|≥4 ＋|AB|＝4＋ 4－12＋0－42＝4＋5＝9，当且仅当 A，P，B 三点共线且 P 在 A，B 之间时取等号．∴|PF|＋|PA|的最小值为 9.故选 B.
解析 由题意，得双曲线 C 的焦点在 x 轴上，设其方程为ax22－by22＝1(a>0， b>0)，由已知得 a＝ 2，c＝2，所以 b2＝c2－a2＝2，b＝ 2，所以 C 的方程 为x22－y22＝1.
(2)设 P 是双曲线1x62 －2y02 ＝1 上一点，F1，F2 分别是双曲线左、右两个焦 点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝__1_7_____.
2．已知 F1，F2 为双曲线 C：x2－y2＝2 的左、右焦点，点 P 在 C 上，|PF1| 3
＝2|PF2|，则 cos∠F1PF2＝___4_____.
解析 由已知条件及双曲线的定义得
|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2 2，
∴|PF1|＝2|PF2|＝4 2，
则 cos∠F1PF2＝|PF1|22＋|P|PF1F|·2||P2－F2||F1F2|2
c>0：
(1)当 □04 a<c 时，P 点的轨迹是双曲线； (2)当 □05 a＝c 时，P 点的轨迹是两条 □06 射线 ； (3)当 □07 a>c 时，P 点不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准 方程
ax22－by22＝1 (a>0，b>0)
ay22－bx22＝1 (a>0，b>0)
解析 由题意知|PF1|＝9<a＋c＝10，所以 P 点在双曲线的左支，则有 |PF2|－|PF1|＝2a＝8，故|PF2|＝|PF1|＋8＝17.
(3)(2018·北
京
高
考
)
若
双曲线x来自22－y2 4＝
1(a>0)
的
离
心
率
为
5 2
，则
a＝
____4____.
解析 由已知，b2＝4，e＝ca＝ 25，即ac22＝ 252＝54，又因为 a2＋b2＝c2， 所以a2a＋2 4＝54，a2＝16，a＝4.
(3)方程xm2－yn2＝1(mn>0)表示焦点在 x 轴上的双曲线．( × ) (4)若双曲线xa22－yb22＝1(a>0，b>0)与yb22－xa22＝1(a>0，b>0)的离心率分别是 e1，e2，则e121＋e122＝1(此结论中两条双曲线为共轭双曲线)．( √ )
2．小题热身
(1)设双曲线 C 的两个焦点分别为(－2,0)，(2,0)，一个顶点是( 2，0)， 则 C 的方程为_x_22_－__y2_2＝__1___．
4 ＝
22×24＋22×222－2 42＝34.
条件探究 将本例中的条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“∠F1PF2＝60°”， 则△F1PF2 的面积为___2__3___．
解析 不妨设点 P 在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝2 2，在△ F1PF2 中，
由余弦定理，得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2 ＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|， 所以 42＝(2 2)2＋|PF1|·|PF2|. ∴|PF1|·|PF2|＝8， ∴S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|sin60°＝2 3.
图形
3．必记结论 (1)焦点到渐近线的距离为 b. (2)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫等轴双曲线，其方程可 写作：x2－y2＝λ(λ≠0)． (3)等轴双曲线⇔离心率 e＝ 2⇔两条渐近线 y＝±x 相互垂直．
1．概念辨析 (1)平面内到点 F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差等于 6 的点的轨迹是双曲 线．( × ) (2)双曲线方程mx22－ny22＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是mx22－yn22＝0， 即mx ±yn＝0.( √ )
(4)设双曲线xa22－yb22＝1(a>0，b>0)的虚轴长为 2，焦距为 2 3，则双曲线 的渐近线方程为_y_＝__±__22_x_．
解析 由已知，得 2b＝2,2c＝2 3，所以 b＝1，c＝ 3，所以 a＝ c2－b2
＝
2，所以双曲线ax22－by22＝1
的渐近线方程为
y＝±bax，即
y＝±