人教版八年级上册数学 第14章《整式的乘法与因式分解》分解因式的常用方法
分解因式的常用方法
一、本节学习指导
本节较为复杂，因式分解大多讲究技巧，于是我们要多做练习，慢慢总结。
本节有配套
二、知识要点
1、因式分解的思路与解题步骤:
(1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式;
(2)再看能否使用公式法;
(3)用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的;
(4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解;
(5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止.
2、提公共因式法
（1）、如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种分解因式的方法叫做提公因式法.
如:ab＋ac＝a（b＋c）
（2）、概念内涵:
(1)因式分解的最后结果应当是“积”;
(2)公因式可能是单项式,也可能是多项式;
(3)提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律,即: ma＋mb－mc＝m(a＋b－c) （3）、易错点:
(1)注意项的符号与幂指数是否搞错;
(2)公因式是否提“干净”;
(3)多项式中某一项恰为公因式,提出后,括号中这一项为＋1,不漏掉.
3、运用公式法
（1）、如果把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解因式.这种分解因式的方法叫做运用公式法.
（2）、主要公式:
(1)平方差公式:
)
)(
(
2
2b
a
b
a
b
a-
+
=
-
(2)完全平方公式:
2
2
2)
(
2b
a
b
ab
a+
=
+
+2
2
2)
(
2b
a
b
ab
a-
=
+
-
（3）、易错点:
因式分解要分解到底.如
)
)(
(2
2
2
2
4
4y
x
y
x
y
x-
+
=
-就没有分解到底.
4、怎样选择公式
(1)、平方差公式:
①应是二项式或视作二项式的多项式;
②二项式的每项(不含符号)都是一个单项式(或多项式)的平方;
③二项是异号.
(2)、完全平方公式:
①应是三项式;
②其中两项同号,且各为一整式的平方;
③还有一项可正负,且它是前两项幂的底数乘积的2倍.
5、分组分解法:
（1）、分组分解法:利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.
如:
)
)(
(
)
(
)
(n
m
b
a
n
m
b
n
m
a
bn
bm
an
am+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
（2）、概念内涵:
分组分解法的关键是如何分组,要尝试通过分组后是否有公因式可提,并且可继续分解,分组后是否可利用公式法继续分解因式.
（3）、注意: 分组时要注意符号的变化.
6、十字相乘法
有些二次三项式，可以把第一项和第三项的系数分别分解为两个数之积，然后借助画十字交叉线的方法，把二次三项式进行因式分解，这种方法叫十字相乘法。
简单的说十字相乘法就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
注意：十字相乘法不是适合所有二次三项式，只有在一次项系数和二次项系数以及常数项存在一种特殊关系时才能用，这个特殊关系我们通过例题来说明：
例：分解2
67x x +-
顺口溜：竖分常数交叉验，横写因式不能乱。
＝(x ＋7)(x －1)步骤：
①竖分二次项与常数项
②交叉相乘，和相加
③检验确定，横写因式
﹣1
171
x 2＋6x －7＝
分析：
第一步：观察常数项－7和二次项系数1以及一次项系数6我们可以得出：因为－7＝7×（－1）
所以把－7列竖式表示为7、－1，如上图；二次项系数1＝1×1，所以列竖式 1、1我们把它们交叉相乘然后相加得到7－1＝6，我们发现刚好是一次项系数于是决定用十字相乘法。
这一步也是能不能使用十字相乘法的条件。
第二步：我们把横着的第一排1、7用括号括起来写成（1x ＋7），1为x 的系数，把第二排1、－1也用括号括起来（1x －1），最后把两个括号括起来的相乘就得到最终结果。
第三步：写出分解结果得：（1x ＋7）×（1x －1）
注意：我们在用十字相乘法之前一定要根据第一步判断是否能用十字相乘法。
我们在分解常数项和二次项系数时变化多端，目的是交叉相乘之和要等于一次项系数，如何分配常数项和二次项系数要根据情况而定。
十字相乘法在对系数分解时易出错,因此我们要小心；分解的结果与原式不等,这时通常采用多项式乘法还原后检验分解的是否正确。
易错点:
(1)十字相乘法在对系数分解时易出错;
(2)分解的结果与原式不等,这时通常采用多项式乘法还原后检验分解的是否正确.
三、经验之谈：
通常，把一个多项式分解因式，应先提公因式，再应用公式法，或者其他方法。
进行多项式因式分解时，必须把每一个因式都分解到不能再分解为止。
第14章整式知识点
第十四章 整式的乘除与分解因式一、知识概念：1.基本运算：⑴同底数幂的乘法：m n m n a a a +⨯= （m 、n 为正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加．⑵幂的乘方：()n m mn a a =（m 、n 为正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘．⑶幂的乘方：()nn n ab a b =（n 为正整数）积的乘方等于各因式乘方的积．（4）幂的除法：n m a a ÷＝ a m －n （a ≠0，m 、n 都是正整数，且m ＞n ） 同底数幂相除，底数不变，指数相减．（5）零指数幂的概念： a 0＝1 （a ≠0） 任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l ．（6）负指数幂的概念：a －p ＝p a 1（a ≠0，p 是正整数）任何一个不等于零的数的－p （p 是正整数）指数幂，等于这个数的p 指数幂的倒数． 也可表示为：pp n m m n ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-（m ≠0，n ≠0，p 为正整数） 2.整式的乘法：⑴单项式⨯单项式：系数⨯系数，同字母⨯同字母，不同字母为积的因式.⑵单项式⨯多项式：用单项式乘以多项式的每个项后相加.⑶多项式⨯多项式：用一个多项式每个项乘以另一个多项式每个项后相加.3.整式的除法：⑴同底数幂的除法：m n m n a a a -÷=⑵单项式÷单项式：系数÷系数，同字母÷同字母，不同字母作为商的因式.⑶多项式÷单项式：用多项式每个项除以单项式后相加.⑷多项式÷多项式：用其中一个多项式除以另一个多项式再把所得的商相加4.计算公式：⑴平方差公式：()()22a b a b a b -⨯+=-⑵完全平方公式：()2222a b a ab b +=++； ()2222a b a ab b -=-+ 二、因式分解：因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。
人教版八年级数学上册第14章 整式的乘法与因式分解2 第2课时 运用完全平方公式因式分解
针对训练 因式分解： (1) -3a2x2 + 24a2x - 48a2； (2) (a2 + 4)2 - 16a2.
有公因式要先 提公因式
解：(1) 原式＝-3a2(x2 - 8x + 16)
＝-3a2(x - 4)2.
要检查每一个多项
(2) 原式＝(a2 + 4)2 - (4a)2
式的因式，看能否 继续分解
＝(a2 + 4 + 4a)(a2 + 4 - 4a)
＝(a + 2)2(a - 2)2.
例4 简便计算： (1) 1002 - 2×100×99 + 99²； (2) 342 + 34×32 + 162. 解：(1) 原式 = (100 - 99)²
= 1. (2) 原式 = (34 + 16)2
下列各式是不是完全平方式？
（1）a2 - 4a + 4； 是 （3）4b2 + 4b - 1； 不是
（2）1 + 4a²； 不是 （4）a2 + ab + b2； 不是
（5）x2 + x + 0.25. 是
分析：（2）因为它只有两项. （3）4b²与 -1 的符号不统一. （4）因为 ab 不是 a 与 b 的积的 2 倍.
a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)²
首2
+ 尾2 (首±尾)2
±2×首×尾
两个数的平方和加上 (或减去) 这两个数积 的 2 倍，等于这两个 数的和 (或差) 的平方.
对照 a²± 2ab + b²= (a ± b)²，填空： 1. x²+ 4x + 4 = ( x )²+ 2·(x )·( 2 ) + ( 2 )²= ( x + 2 )²； 2. m²- 6m + 9 = ( m )²- 2·(m)·( 3) + ( 3)²= (m - 3 )²； 3. a²+ 4ab + 4b²= ( a )²+ 2·( a ) ·( 2b ) + ( 2b)²= (a + 2b)².
数学人教版八年级上册第14章整式的乘法与因式分解小结与(教案)
此外，在新课讲授过程中，我尽量以生动的语言和实际案例来讲解，让学生能够更好地理解和接受。但从学生的反馈来看，我觉得还可以尝试更多有趣的授课方式，比如运用多媒体教学、实物演示等，以提高学生的学习兴趣。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解整式的乘法与因式分解的基本概念。整式的乘法是指将两个或多个整式相乘，它是代数运算的基达式中有重要作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示如何将一个复杂的整式通过因式分解简化，以及它在实际中的应用。
在实践活动和小组讨论环节，学生们表现得相当积极，能够主动参与到讨论和实验操作中。但我也注意到，有些学生在小组讨论中发言不够积极，可能是因为他们对问题不够了解或者缺乏自信。针对这个问题，我打算在今后的教学中多关注这些学生，鼓励他们大胆发言，增强他们的自信心。
最后，通过这节课的教学，我意识到教学反思的重要性。在今后的教学中，我会更加关注学生的学习情况，及时发现并解决他们在学习中遇到的问题。同时，我也会不断调整和改进教学方法，努力提高教学质量，让每个学生都能在数学课堂上有所收获。
6.简单的分组分解法及应用；
二、核心素养目标
本节课旨在培养学生的以下核心素养：
1.掌握整式乘法与因式分解的基本法则，提高学生的数学运算能力；
2.通过运用完全平方公式、平方差公式等，培养学生的逻辑思维能力和数学建模素养；
3.能够灵活运用提公因式法、十字相乘法等分解因式，提升学生的问题解决能力和创新意识；
人教版八年级数学第十四章《整式的乘法与因式分解》教案
第十四章整式的乘法与因式分解1.了解幂的意义,并学会简单的同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及同底数幂的除法的运算,能根据幂的各种运算性质解决数学问题和简单的实际问题.2.了解零指数幂的意义;探索整式乘除法的法则,会进行简单的乘除法运算.3.要求学生说出平方差公式和完全平方式的特点,能正确地利用平方差公式和完全平方式进行多项式的乘法.4.了解因式分解的意义及其与整式乘法之间的关系,从中体会事物之间可以相互转化的思想,学会用提公因式法、公式法(直接用公式不超过两次)进行因式分解(指数是正整数).让学生主动参与到一些探索过程中来,逐步形成独立思考、主动探索的习惯,培养思维的批判性、严密性和初步解决问题的能力.通过本章中一些生活实例的学习,体会数学与生活之间的密切联系,在一定程度上了解数学的应用价值,提高学生学习的兴趣.本章是整式的加减的后续学习,首先,从幂的运算开始入手,逐步展开整式的乘除法运算;接着,在整式的乘法中提炼出两种特殊的乘法运算,即两个乘法公式;最后,从整式乘法的逆过程出发,引入因式分解的相关知识.本章主要有如下特点:1.注重知识形成的探索过程,让学生在探索过程中领悟知识,在领悟的过程中建构体系,从而更好地实现知识体系的更新和知识的正向迁移.2.知识内容的呈现方式力求与学生已有的知识结构相联系,同时兼顾学生的思维水平和心理特征.3.让学生掌握基本的数学事实与数学活动经验,减轻不必要的记忆负担.4.注意从生活中选取素材,给学生提供一些交流、讨论的空间,让学生从中体会数学的应用价值,逐步养成谈数学、想数学、做数学的良好习惯.5.教材的安排、例题的讲解与习题的处理都给教师留有较大的余地与足够的空间,教师能根据各地学生的实际情况,充分发挥自己的教学主动性和积极性,创造性地进行教学.【重点】1.理解和掌握幂的运算性质.2.掌握整式的乘除运算方法,理解乘法公式,能对多项式进行因式分解.【难点】1.整式的乘除运算.2.利用乘法公式进行计算,利用提公因式法和因式分解法对多项式进行因式分解.1.幂的运算是整式乘除的基础,在教学幂的运算性质时,要让学生经历探索的过程,通过特例计算,自己概括出有关运算法则,理解并掌握这些法则,并能用来进行简单的计算.要注意留给学生探索与交流的空间,让学生在自己的实践中获得运算法则.在教学中要注意渗透化归的思想.对于整式的乘除法要让学生通过适当的尝试,获得一些直接体验,体验单项式与单项式相乘的运算规律,在此基础上总结出整式乘除法的一些运算法则,对于一些法则的获得要注意结合图形,让学生体会特点,从而加深对知识的理解和掌握.2.对于乘法公式的教学,要留出更多的时间和空间让学生自主探索,发现规律,体验乘法公式的来源,理解公式的意义和作用,降低对公式的记忆要求.教学时可以让学生直接计算较为简单的情况,在此基础上指出这一乘法结果的普遍性.教师要注意从已有的整式乘法的知识中提炼出这一乘法公式,让学生明确公式来源于整式的乘法,又应用于整式乘法的辩证性.3.对于因式分解这部分内容,要注意留给学生讨论的时间,引导学生进行归纳、概括.注意教给学生因式分解的方法和步骤,强化提公因式法和公式法的结构特点,让学生在不断练习中得以巩固和提高.总之,在本章的教学中,教师要创造性地使用教材,充分发挥自己在教学中的组织、引导、合作的作用,通过创设一定的问题情境,帮助学生在做一做、探索、交流与讨论中,主动地去获取知识.本章的教学中,教师不要人为地增加学生的记忆负担,提高对学生的要求,也不要人为地补充一些繁、难、偏、旧的内容,根据学生的具体情况,可以在某些具体问题上,让一部分学有余力的学生得到更好的发展,体现教材的弹性.14.1整式的乘法1.了解幂的意义,并学会简单的同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及同底数幂的除法的运算.2.从幂的运算入手,逐步展开整式的乘法,要了解单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式相乘的法则,会进行简单的整式乘法的计算.3.通过计算,提高学生独立思考、主动探索的能力.1.在推理的过程中,让学生学会类比的方法,培养学生的观察、抽象、概括的能力.2.在观察的过程中,让学生掌握整式乘法的一些计算方法,并能运用这些方法进行计算.1.让学生体验从特殊到一般的过程,能自己在实践中总结概括法则.2.培养学生学习数学的积极性,让学生树立热爱数学的情感.【重点】1.同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及同底数幂的除法法则.2.整式的乘法法则.【难点】1.能正确进行同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及同底数幂的除法计算.2.整式的乘法的一些计算.14.1.1同底数幂的乘法1.理解同底数幂的乘法法则.2.能运用同底数幂的乘法法则解决一些实际问题.1.在进一步体会幂的意义时,发展推理能力和有条理的表达能力.2.通过“同底数幂的乘法法则”的推导和应用,使学生初步理解特殊到一般,一般到特殊的认知规律.体会科学的思想方法,激发学生探索创新的精神.【重点】正确理解同底数幂的乘法法则.【难点】正确理解和应用同底数幂的乘法法则.【教师准备】多媒体课件(1,2,3).【学生准备】复习幂的意义.导入一:复习a n的意义:a n表示n个a相乘,我们把这种运算叫做乘方,乘方的结果叫做幂;a叫做底数,n是指数.提出问题:一种电子计算机每秒可进行1千万亿(1015)次运算,它工作103秒可进行多少次运算?【师】能否用我们学过的知识来解决这个问题呢?【生】运算次数=运算速度×工作时间,所以计算机工作103秒可进行的运算次数为:1015×103.【师】1015×103如何计算呢?【生】根据乘方的意义可知:1015×103=(10× (10)15个10×(10×10×10)=(10×10× (10)18个10=1018.【师】很好,通过观察大家可以发现1015,103这两个因数是同底数幂的形式,所以我们把像1015×103的运算叫做同底数幂的乘法,根据实际需要,我们有必要研究和学习这样的运算——同底数幂的乘法.[设计意图]首先让学生回忆幂的一些知识,然后根据教材中的问题1让学生列式、观察并计算出结果,从而导入到本节课的学习之中.导入二:“盘古开天辟地”的故事:公元前一百万年,没有天没有地,整个宇宙是混沌的一团,突然间窜出来一个巨人,他的名字叫盘古,他手握一把巨斧,用力一劈,把混沌的宇宙劈成两半,上面是天,下面是地,从此宇宙有了天地之分,盘古完成了这样一个壮举,累死了,他的左眼变成了太阳,右眼变成了月亮,毛发变成了森林和草原,骨头变成了高山和高原,肌肉变成了平原与谷地,血液变成了河流.【师】盘古的左眼变成了太阳,那么太阳离我们多远呢?光的速度为3×105千米/秒,太阳光照射到地球大约需要5×102秒,你能计算出地球距离太阳大约有多远吗?【生】可以列出算式:3×105×5×102=15×105×102=15ד?”.(引入课题)[设计意图]从远古到现代,让学生感受传说,极大地激发了学生的学习热情,同时相应问题的提出,也为学习同底数幂的乘法埋下了伏笔.导入三:北京奥运场馆一平方千米的土地上,一年内从太阳得到的能量相当于燃烧108千克煤所产生的能量.那么105平方千米的土地上,一年内从太阳得到的能量相当于燃烧多少千克煤?【师】你们能列式吗?(学生讨论得出108×105)【师】108,105我们称之为什么?(幂)【师】我们再来观察底数有什么特点?【生1】都是10.【生2】是一样的.【师】像这样底数相同的两个幂相乘的运算,我们把它叫做同底数幂的乘法.(揭示课题) [设计意图]利用提问题,一方面可以集中学生注意力,使之较快进入课堂学习状态,另一方面可以对学生进行爱国主义教育,增强学生的环保意识.问题1【课件1】计算下列各式:(1)25×22;(2)a3·a2;(3)5m·5n(m,n都是正整数).你发现了什么?注意观察计算前后底数和指数的关系,并能用自己的语言描述.【师】根据乘方的意义,同学们可以独立解决上述问题.【生】25×22 =(2×2×2×2×2)×(2×2)=27 =25+2.25表示5个2相乘,22表示2个2相乘,根据乘方的意义:a3·a2=(a·a·a)·(a·a)=a5=a3+2.5m.5n=(5×5× (5)m个5×(5×5× (5)n个5=5m+n.(让学生自主探索,在启发性设问的引导下发现规律,并用自己的语言叙述)【生】我们可以发现下列规律:(1)这三个式子都是底数相同的幂相乘;(2)相乘结果的底数与原来底数相同,指数是原来两个幂的指数的和.【师生共析】a m·a n表示同底数幂的乘法,根据幂的意义可得:a m·a n=(a×a×…×a)m个a ×(a×a×…×a)n个a=a m+n.于是有a m·a n=a m+n(m,n都是正整数),用语言来描述此法则即为:“同底数幂相乘,底数不变,指数相加”.[知识拓展]同底数幂是具有相同底数的幂.(1)幂可以看做是代数式中的一类,是形如a n的代数式.目前,在我们研究的这类式子中,可以是任何有理数,也可以是整式,而a n中的n只能是正整数.(2)35与155不是同底数幂,因为它们的底数一个是3,一个是15,是不一样的,这说明两个幂是不是同底数幂,与它们的指数是否相同毫无关系.(3)53与515是同底数幂,因为它们的底数相同(都是5).同理,x3与x5,(a+b)2与(a+b)5也都是同底数幂.同底数幂的乘法法则的关键在于底数,底数一定要相同,并且二者是相乘关系,这样指数才能相加,否则不能运用此法则.问题2(针对导入三)1.探索108×105等于多少.(鼓励学生大胆猜想)学生可能会出现以下几种情况:①10013;②1040;③10040;④1013.[设计意图]猜想产生疑问,激发兴趣,为学生推导公式做好情感铺垫.【师】那到底谁的猜想正确呢?小组合作讨论,生回答,师板演:108× 105=(10× 10×…×10) 8个10×(10 × 10× (10)5个10=10×10×…×10 13个10=1013.即108× 105=108+5. [设计意图]师给出适当的提示后,相信学生能在已有的知识基础上,利用集体的智慧,找出猜想中的正确答案,并通过“转化”思想得出结论,也找到了正确的推理过程.2.出示问题:(学生口答,课件显示过程)a 6·a 9=(a ·a ·…·a ) 6个a·(a ·a ·…·a )9个a=a ·a ·…·a 15个a=a 15. 即a 6·a 9=a 6+9.3.观察以上两个式子,你有什么发现? 【师】这是两个特殊的式子,它们的指数分别是8,5;6,9.底数相同的两数的任何次幂相乘,都是底数不变,指数相加吗?能找到一个具有一般性,代表性的式子吗?a m ·a n 怎么计算?[设计意图]a6·a9和a m·a n的推导过程由于108·105打好了坚实的基础,所以用填空的形式简化公式的推导过程,既避免了重复教学过程,也节约时间,同时也能达到让学生经历从具体到一般的推导过程.【板书】a m·a n=a m+n(m,n都是正整数).师补充解释m,n都是正整数的原因,并请学生用自己的语言概括该结论,之后全体学生用精炼的文字概括表述.【板书】同底数幂相乘,底数不变,指数相加.[设计意图]全班学生参与活动,经历从理解法则的含义的概括到用十分准确简练的语言概括过程,从而提高学生的表达能力.问题3【课件2】(教材例1)计算:(1)x2·x5;(2)a·a6;(3)(-2)×(-2)4×(-2)3;(4)x m·x3m+1.计算a m·a n·a p后,能找到什么规律?【师】我们先来看例1,是不是可以用同底数幂的乘法法则呢?【生1】(1)(2)(4)可以直接用“同底数幂相乘,底数不变,指数相加”的法则.【生2】(3)也可以,先算2个同底数幂相乘,将其结果再与第三个幂相乘,仍是同底数幂相乘,再用法则运算就可以了.【师】同学们分析得很好.请自己做一遍,每组出一名同学板演,看谁算得又准又快.【生板演】(1)解:x2·x5=x2+5=x7.(2)解:a·a6=a1+6=a7.(3)解:(-2)×(-2)4×(-2)3=(-2)5×(-2)3=(-2)8=256.(4)解:x m·x3m+1=x m+3m+1=x4m+1.【师】接下来我们来看例2.受例1中第(3)题的启发,能自己解决吗?与同伴交流一下解题方法.解法1:a m·a n·a p=(a m·a n)·a p=a m+n·a p =a m+n+p.解法2:a m·a n·a p=a m·(a n·a p)=a m·a n+p=a m+n+p.解法3:a m·a n·a p= (a×a×…×a)m个a ×(a×a×…×a)n个a×(a×a×…×a)p个a=a m+n+p.【归纳】解法1与解法2都直接应用了运算法则,同时还运用了乘法的结合律;解法3是直接应用乘方的意义.三种解法得出了同一结果,我们需要这种开拓思维的创新精神.【生】那我们就可以推断,不管是多少个幂相乘,只要是同底数幂相乘,就一定是底数不变,指数相加呢?【师】是的,能不能用符号表示出来呢?【生】a m1·a m2·a m3·…·a m n=a m1+m2+m3+…+m n.【师】(鼓励学生)那么例1中的第(3)题我们就可以直接应用法则运算了.(-2)×(-2)4×(-2)3=(-2)1+4+3=(-2)8=256.1.同底数幂的乘法的运算性质是底数不变,指数相加.应用这个性质时,应注意两点:一是必须是同底数幂的乘法才能运用这个性质;二是运用这个性质计算时一定是底数不变,指数相加,即a m·a n=a m+n(m,n 都是正整数).2.推广:a m·a n·a p=a m+n+p.3.(课件3)注意:在应用同底数幂乘法法则时,注意以下几点:(1)底数必须相同,如23与25,(a2b2)3与(a2b2)4,(x-y)2与(x-y)5等.(2)a可以是单项式,也可以是多项式.(3)按照运算性质,只有相乘时才是底数不变,指数相加.1.计算a6×a3的结果是()A.a9B.a2C.a18D.a3解析:原式=a6+3=a9.故选A.2.下列计算正确的是()A.x·x2=x2B.x2·x2=2x2C.x2+x3=x5D.x2·x=x3解析:A.底数不变,指数相加,故A错误;B.底数不变,指数相加,故B错误;C.不是同底数幂的乘法,指数不能相加,故C错误;D.底数不变,指数相加,故D正确.故选D.3.计算(-a)3·(-a)2的正确结果是()A.a5B.-a5C.a6D.-a6解析:原式=(-a)3+2=(-a)5=-a5.故选B.4.计算.(1)(-5)×(-5)2×(-5)3;(2)(-a)·(-a)3;(3)-a3·(-a)2;(4)(a-b)2·(a-b)3;(5)(a+1)2·(1+a)·(a+1)3.解析:利用同底数幂乘法法则进行计算,底数不同的利用互为相反数的奇偶次幂的性质进行转化.解:(1)(-5)×(-5)2×(-5)3=(-5)6=56.(2)(-a)·(-a)3=(-a)4=a4.(3)-a3·(-a)2=-a3·a2=-a5.(4)(a-b)2·(a-b)3=(a-b)5.(5)(a+1)2·(1+a)·(a+1)3=(a+1)6.14.1.1同底数幂的乘法1.法则2.公式例题讲解例1例2一、教材作业【必做题】教材第96页练习.【选做题】教材第104页习题14.1第9,10题.二、课后作业【基础巩固】1.计算(-x2)·x3的结果是()A.x5B.-x5C.x6D.-x62.下列计算正确的是()A.a3·a2=a6B.b4·b4=2b4C.x5+x5=x10D.y7·y=y83.下列运算正确的是()A.a5·a5=2a5B.a5+a5=a10C.a5·a5=2a10D.a5·a5=a104.a2014可以写成()A.a2010+a4B.a2010·a4C.a2014·aD.a2007·a20075.下列运算错误的是()A.(-a)(-a)=(-a)2B.-32·(-3)4=(-3)6C.(-a)3·(-a)2=(-a)5D.(-a)3·(-a)3=a6【能力提升】6.设a m=8,a n=16,则a m+n等于()A.24B.32C.64D.1287.下列各式成立的是()A.(x-y)2=-(y-x)2B.(x-y)n=-(y-x)n(n为正整数)C.(x-y)2(y-x)2=-(x-y)4D.(x-y)3(y-x)3=-(x-y)6【拓展探究】8.阅读材料:求1+2+22+23+24+…+22013的值.解:设S=1+2+22+23+24+…+22012+22013,将等式两边同时乘以2得:2S=2+22+23+24+25+…+22013+22014,将下式减去上式得2S-S=22014-1,即S=22014-1,即1+2+22+23+24+…+22013=22014-1.请你仿照此法计算:(1)1+2+22+23+24+ (210)(2)1+3+32+33+34+…+3n(其中n为正整数).【答案与解析】1.B(解析:(-x2)·x3=-x2+3=-x5.故选B.)2.D(解析:A.应为a3·a2=a5,故本选项错误;B.应为b4·b4=b8,故本选项错误;C.应为x5+x5=2x5,故本选项错误;D.y7·y=y8,正确.故选D.)3.D(解析:A.应为a5·a5=a10,故本选项错误;B.应为a5+a5=2a5,故本选项错误;C.应为a5·a5=a10,故本选项错误;D.a5·a5=a10,正确.故选D.)4.B(解析:A.a2010+a4不能进行计算;B.a2010·a4 =a2014;C.a2014·a=a2015;D.a2007·a2007=a4014,故选B.)5.B(解析:A.(-a)(-a)=(-a)2,故本选项正确;B.-32·(-3)4=-32·34=-36,故本选项错误;C.(-a)3·(-a)2=(-a)3+2=(-a)5,故本选项正确;D.(-a)3·(-a)3=(-a)3+3=(-a)6=a6,故本选项正确.故选B.)6.D(解析:∵a m=8,a n=16,∴a m+n=a m·a n=8×16=128.故选D.)7.D(解析:A.(x-y)2=(y-x)2,故本选项错误;B.(x-y)n=-(y-x)n(n为奇数),故本选项错误;C.(x-y)2(y-x)2=(x-y)4,故本选项错误;D.(x-y)3(y-x)3=-(x-y)6,故本选项正确.故选D.)8.解:(1)设S=1+2+22+23+24+…+210,将等式两边同时乘以2得2S=2+22+23+24+…+210+211,将两式相减得2S-S=211-1,即S=211-1,则1+2+22+23+24+…+210=211-1.(2)设S=1+3+32+33+34+…+3n①,两边同(3n+1-1),则1+3+32+33+34+…时乘以3得3S=3+32+33+34+…+3n+3n+1②,②-①得3S-S=3n+1-1,即S=12(3n+1-1).+3n=12在教学中教师通过实际问题创设情境,导入新课,激发了学生学习数学的兴趣,通过学生的自主探索,让学生经历观察——类比——抽象——概括等过程,归纳出同底数幂的乘法法则,提高了学生的自主意识和自我解题的能力.在归纳出同底数幂的乘法法则之后,教师通过例1、例2的学习,让学生加深了对同底数幂的乘法法则的理解.整个过程学生对知识的接受和理解较好,突出了学生的主体地位和教师的主导作用,学生学得开心,知识掌握较好.因为本节课的内容较简单,所以在习题的设计上,教师可增加些难度,让学生通过变式训练,使学生的能力得到进一步的提高.另外,对于法则的概括和理解要尽量让学生自己去独立完善,教师要少说,多讲评.教学中要适当增加难度,增加变式训练,如法则的逆应用和底数为负数的习题.法则的逆应用要重点让学生掌握,以提高学生解决问题的能力.同时,一定要让学生分清幂的底数,明确只要在同底数幂相乘的时候才能用法则进行计算,否则不行.另外,对于法则的概括以及延伸的a m·a n·a p=a m+n+p,一定要让学生尽量发挥小组合作的能力,发现计算方法,从而总结出规律.教学过程能让学生独立完成的,教师绝不包办代替,把课堂应尽量还给学生.练习(教材第96页)解:(1)原式=b5+1=b6.(2)原式=-121+2+3=-126=164.(3)原式=a2+6=a8.(4)原式=y2n+n+1=y3n+1.题型1一般的同底数幂的乘法问题计算:(1)x2·x3;(2)(-2)4·(-2)3;(3)(a-1)4·(a-1)2.〔解析〕(1)可以直接得到x5;(2)中将(-2)看作相同的底数,由法则可得(-2)7;(3)中将(a-1)看作一个整体作为相同的底数.解:(1)x2·x3=x5.(2)(-2)4·(-2)3=(-2)7 =-27.(3)(a-1)4·(a-1)2=(a-1)6.题型2间接运用同底数幂的乘法法则计算:(1)-t3·(-t)4·(-t)5;(2)(z-y)3·(z-y)·(y-z)2.〔解析〕虽然底数不同,但仅仅只有符号之差,如z-y与y-z,可以先把底数变为相同的底数,再用法则计算.解:(1)-t3·(-t)4·(-t)5 =-t3·t4·(-t5)=t3·t4·t5=t12.(2)(z-y)3·(z-y)·(y-z)2=(z-y)3·(z-y)·(z-y)2=(z-y)6.〔方法提示〕对于不能直接运用同底数幂乘法法则的问题,通常先将题目中各项进行转化,化为同底数幂再运用法则计算,此过程中注意符号的确定.题型3同底数幂乘法法则的逆用计算:(-2)2007+(-2)2008.〔解析〕若直接计算,则相当麻烦,可以运用同底数幂的逆运算,将(-2)2008化成(-2)2007×(-2),再进行计算,比较简便.解:(-2)2007+(-2)2008=(-2)2007+(-2)2007×(-2)=(-2)2007×(1-2)=(-2)2007×(-1)=22007.(2014·温州中考)计算m 6·m3的结果是()A.m18B.m9C.m3D.m2〔解析〕根据同底数幂的乘法法则,底数不变,指数相加可知m6·m3=m9.故选B.14.1.2幂的乘方1.知道幂的乘方的意义.2.会进行幂的乘方计算.1.经历探索幂的乘方的运算性质的过程,进一步体会幂的意义,发展推理能力和有条理的表达能力.2.了解幂的乘方的运算性质,并能解决一些实际问题.通过分组探究,培养学生合作交流的意识、提高学生勇于探究数学的品质.【重点】会进行幂的乘方的运算.【难点】幂的乘方法则的总结及运用.【教师准备】预设学生学习中容易混淆的知识.【学生准备】复习同底数幂的乘法法则.导入一:(1)叙述同底数幂乘法法则,并用字母表示.(2)计算:①a2·a5·a3;②a4·a4·a4.大家已经会进行同底数幂的乘法运算:a m·a n=a m+n(m,n都是正整数),那么幂的乘方运算又应该如何进行呢?[设计意图]通过复习巩固上节课所学的同底数幂的乘法法则的内容,为探索幂的乘方做好准备.导入二:(1)有甲、乙两个球,如果甲球的半径是乙球半径的n倍,那么甲球的体积是乙球体积的多少倍?学生口答:n3倍.(2)引导学生计算:(102)3=,怎样计算?(102)3=106.方法一:(102)3=102×102×102=102+2+2=106.方法二:(102)3=(100)3=1000000=106.[设计意图]在独立思考的基础上,组织学生交流、讨论,培养学生思维的严密性,让学生体验在交流中获益的乐趣.并在此过程中,引导学生主动反思,回顾解决问题的方法,为进入新课做准备.一、法则的探究1.思考.【课件1】根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空,看看计算的结果有什么规律:(1)(32)3=32×32×32 =3();(2)(a2)3=a2·a2·a2=a();(3)(a m)3=a m·a m·a m=a()(m是正整数).【师】教师要加强引导,强调应用中的注意事项.2.小组讨论.对正整数n,你认为(a m)n等于什么?能对你的猜想给出检验过程吗?【生】小组互相探索、交流,积极思考,然后各组派代表回答,相互点评,补充得出关于幂的乘方法则.幂的乘方法则:(a m)n=a m·a m·a m·…·a mn个a m =a m+m+m+…+mn个m=a mn.字母表示:(a m)n=a mn(m,n是正整数).语言叙述:幂的乘方,底数不变,指数相乘.教师说明法则中a可以是一个具体的数,也可以是单项式或多项式.[知识拓展]理解法则注意两点:(1)在形式上,幂的乘方的底数本身就是一个幂;(2)法则可推广到[(a m)n]k=a mnk(m,n,k是正整数);(3)幂的乘方不能和同底数幂的乘法相混淆,例如不能把(a5)2写成a7,也不能把a5·a2的计算结果写成a10;(4)幂的乘方是变乘方为乘法(底数不变,指数相乘),如(a3)2=a3×2=a6;而同底数幂的乘法是变乘法为加法(底数不变,指数相加),如a3·a2=a3+2=a5.[设计意图]在探索幂的乘方法则的过程中,学生经历了由特殊到一般的过程,让学生学会了归纳,同时培养学生的合作意识.思路二探索练习1.32表示个相乘;(32)3表示个相乘;a2表示个相乘;(a2)3表示个相乘.2.(32)3=××=(根据a m·a n=a m+n)=;(a2)3=××=(根据a m·a n=a m+n)=.引导学生观察、猜测(32)3与(a2)3的底数、指数,并用乘方的概念解答问题.3.(a m)3=××=(根据a m·a n=a m+n)=;(a m)n=××…×=(根据a m·a n=a m+n)=.通过上面的探索活动,你发现了什么?【归纳】幂的乘方,底数不变,指数相乘.(a m)n=a mn(m,n是正整数).【说明】 在此过程中教师应当鼓励学生,自己发现幂的乘方的性质特点(如底数、指数发生了怎样的变化),并运用自己的语言进行描述,然后再让学生回顾这一性质的得出过程,进一步体会幂的意义.[设计意图]学生在探索练习的指引下,自主完成有关的练习,并在练习中发现幂的乘方的法则,经历由猜测到探索的过程,从而理解法则的实际意义,在本质上认识、学习幂的乘方的来历.思路三1.x 3表示什么意义?2.如果把x 换成a 4,那么(a 4)3表示什么意义?3.怎样把a 2·a 2·a 2·a 2 =a 2+2+2+2写成比较简单的形式?4.由此你会计算(a 4)5吗?5.根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空: (1)(53)2 =53×53=5();(2)(52)3=()×( )×()=5();(3) (a 3)5 =a 3×()×( )×( )×()=a ().6.用同样的方法计算(a 3)4,(a 11)9,(b 3)n (n 为正整数).这几道题学生都不难做出,在处理这类问题时,关键是如何得出3+3+3+3=12,教师应多举几例.(a 11)9=a 11·a 11·…·a 11=a 11+11+11+…+119个11=a 99.(b 3)n =b 3·…·b 3=b 3+3+3+…+3n 个3=b 3n .教师应指出这样处理既麻烦,又容易出错,此时应让学生思考,有没有简捷的方法?引导学生认真思考,并得到:(23)2 =23×2=26;(32)3=32×3 =36;(a 11)9=a 11×9=a 99;(b 3)n =b 3×n = b 3n .观察结果中幂的指数与原式中幂的指数及乘方的指数,猜想它们之间有什么关系?结果中的底数与原式的底数之间有什么关系?怎样说明你的猜想是正确的?(a m )n =a m ·a m ·a m·…·a m n 个a m(乘方的意义)=a m +m +m +…+mn 个m(同底数幂的乘法) =a mn (乘法定义),即(a m )n =a mn (m ,n 是正整数).这就是幂的乘方法则.你能用语言叙述这个法则吗?幂的乘方,底数不变,指数相乘. [设计意图]通过层层导入与渗透,让学生通过类比总结出幂的乘方的计算法则,整个过程由浅入深,体现了循序渐进的原则.二、例题讲解(教材例2)计算: (1)(103)5; (2)(a 4)4; (3)(a m )2;(4)-(x 4)3.〔解析〕要充分理解幂的乘方法则,准确地运用幂的乘方法则进行计算.启发学生共同完成例题.学生在教师启发下,完成例题的问题,并进一步理解幂的乘方法则.解:(1)(103)5=103×5=1015.(2)(a4)4=a4×4=a16.(3)(a m)2=a m×2=a2m.(4)-(x4)3=-x4×3=-x12.想一想:a mn等于(a m)n(m,n是正整数)吗?学生类比同底数幂的乘法运算得出a mn=(a m)n(m,n是正整数),也就是说对于幂的乘方法则,它的逆应用同样成立.当一个幂的指数是积的形式时,就可以写成幂的乘方的形式.a20=(a4)()=(a5)()=(a2)()=(a10)().已知x m=4,x n=5,试求代数式x3m+2n的值.〔解析〕x3m+2n x3m·x2n(x m)3·(x n)2,整体代入,x m=4,x n=5即可求解.解:x3m+2n=x3m·x2n=(x m)3·(x n)2=43×52=1600.1.(a m)n=a mn(m,n都是正整数)的使用范围:幂的乘方.方法:底数不变,指数相乘.2.知识拓展:这里的底数、指数可以是数,也可以是单项式或多项式.3.幂的乘方法则与同底数幂的乘法法则区别在于一个是“指数相乘”,一个是“指数相加”.1.下列运算正确的是()A.2a2+3a=5a3B.a2·a3=a6C.(a3)2=a6D.a3-a3=a解析:A.2a2+3a,不是同类项不能相加,故A选项错误;B.a2·a3=a5,故B选项错误;C.(a3)2=a6,故C选项正确;D.a3-a3=0,故D选项错误.故选C.2.下列运算中,计算结果正确的是()A.3x-2x=1B.2x+2x=x2C.x·x=x2D.(a3)2=a4解析:A.3x-2x=x,所以A选项不正确;B.2x+2x=4x,所以B选项不正确;C.x·x=x2,所以C选项正确;D.(a3)2=a6,所以D选项不正确.故选C.3.计算.(1)x n-2·x n+2;(n是大于2的整数)(2)-(x3)5;(3)[(-2)2]3;(4)[(-a)3]2.解析:(1)根据同底数幂的乘法法则求解;(2)(3)(4)根据幂的乘方的法则求解.解:(1)原式=x n-2+n+2=x2n.(2)原式=-x15.(3)原式=43=64.(4)原式=a6.14.1.2幂的乘方一、法则的探究推理过程:(a m)n=a m·a m·…·a mn个a m =a m+m+m+…+mn个m=a mn.公式:(a m)n=a mn(m,n都是正整数).法则:幂的乘方,底数不变,指数相乘.二、例题讲解一、教材作业【必做题】教材第97页练习.【选做题】教材第104页习题14.1第1题(1)~(4).二、课后作业【基础巩固】1.计算(-a3)2的结果是()A.a6B.-a6C.a8D.-a82.计算:(a3)2·a3=.3.若9x=3x+2,则x=.4.已知2m=3,2n=22,则22m+n=.5.若2·8m=42m,则m=.【能力提升】6.若m,n都是正整数,且a>1,则(a n)m和(a m)n是否一定相等?若一定相等,请给予证明;若不一定相等,请举出反例.7.已知a m=2,a n=3,m,n是正整数且m>n.求下列各式的值:(1)a m+1;(2)a3m+2n.【拓展探究】8.试比较35555,44444,53333三个数的大小.【答案与解析】1.A(解析:(-a3)2=a3×2=a6.故选A.)2.a9(解析:先计算幂的乘方,再计算同底数幂的乘法.所以原式=a6·a3=a9.)3.2(解析:9x=32x=3x+2,2x=2+x,解得x=2,故答案为2.)4.36(解析:∵2m=3,2n=22,∴22m+n=22m·2n=(2m)2·2n=32·22=9×4=36.)5.1(解析:∵2·8m=42m,∴2×23m=24m,∴1+3m=4m,解得m=1.)。
人教版八年级数学上册课件：14章 整式的乘法与因式分解--知识点复习 (共53张PPT)
A.(6a3+3a2)÷
1 2
a=12a2+6a
B.(6a3-4a2+2a)÷2a=3a2-2a
C.(9a7-3a3)÷(﹣
1 3
a3)=﹣27a4+9
C.( 14a2+a)÷(﹣12a)=﹣12 a-2
5.一个多项式与﹣2x2的积为﹣2x5+4x3﹣x2，则这个多项式
为
.
6.计算：⑴
(9x2y-6xy2)÷3xy;
2.已知M＝ a-1，N＝a2- a(a为任意实数)，则M，N的
大小关系为( A ) A. M＜N B. M=N C. M＞N D.不能确定
3.若x2+y2+ =2x+y，则y-x= .
3、am﹣n=am ÷ an(a≠0,m,n都
是正整数，并且m＞n).
10
知识点一：幂的运算性质
巩固练习
1.(易错题)若(1-x)1-3x＝1，则x的取值有（ C ）个.
A.0 B.1 C.2 D.3 4
2.若3x＝4，9y＝7，则3x-2y的值为 7 . 3.已知am＝3，an＝2，则a2m-n的值为 4.5 .
为( B ) A M<N
B M＞N
C M=N D.不能确定
10.计算：(1)(x+1)(x+4)； (2)(y-5)(y-6)； (3)(m-3)(m+4)
(x+p)(x+q)
18
知识点二：整式的运算
知识回顾
单项式的除法法则： 系数、同底数幂分别相除 只在被除式里含有的字母
19Βιβλιοθήκη 知识点二：整式的运算2
重点难点
重点:运用整式的乘法法则和除法法则进行运算;因式分 解. 难点:应用整式的乘法和因式分解决问题.
人教版八年级上数学说课稿《第14章整式的乘法与因式分解》
人教版八年级上数学说课稿《第14章整式的乘法与因式分解》一. 教材分析《人教版八年级上数学》第14章整式的乘法与因式分解，是在学生掌握了有理数的运算、整式的加减、幂的运算等知识的基础上进行学习的。
这一章的内容包括整式的乘法运算、平方差公式、完全平方公式、因式分解等。
整式的乘法与因式分解在数学中占有重要的地位，它不仅在初中数学中有着广泛的应用，而且对高中数学的学习也有很大的帮助。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对整式的加减、幂的运算等知识有一定的了解。
但是，学生在学习这一章的内容时，可能会觉得比较困难，因为这一章的内容既有运算，又有公式的记忆，还有因式分解的方法，需要学生对知识进行深入的理解和掌握。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握整式的乘法运算，理解并掌握平方差公式、完全平方公式，学会因式分解的方法。
2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流的方式，培养学生解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自信心，使学生感受到数学的美。
四. 说教学重难点1.教学重点：整式的乘法运算，平方差公式、完全平方公式的记忆，因式分解的方法。
2.教学难点：平方差公式、完全平方公式的推导，因式分解的方法的灵活运用。
五. 说教学方法与手段在本节课的教学中，我将采用自主学习、合作交流、教师讲解等教学方法。
同时，利用多媒体教学手段，如PPT、网络资源等，帮助学生更好地理解和掌握知识。
六. 说教学过程1.导入：通过复习整式的加减、幂的运算等知识，引导学生进入整式的乘法与因式分解的学习。
2.教学新课：讲解整式的乘法运算，引导学生推导平方差公式、完全平方公式，教授因式分解的方法。
3.练习巩固：布置相关的练习题，让学生进行自主练习，巩固所学知识。
4.课堂小结：对本节课的内容进行总结，帮助学生加深对知识的理解。
5.布置作业：布置适量的作业，让学生在课后进行复习和巩固。
人教版八年级上册第十四章《整式的乘法与因式分解》14.1.4整式的乘法(教案)
-多项式乘以多项式的分配律综合应用：一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，并将结果相加。
-例如：(x + 3) * (x + 4) = x^2 + 4x + 3x + 12，强调每一项都要相乘并相加。
五、教学反思
今天我们在课堂上学习了整式的乘法，回顾整个教学过程，我觉得有几个地方值得反思和改进。
首先，我发现学生在理解整式乘法的基本概念时，对分配律的应用还不够熟练。在单项式乘以多项式的例子中，部分同学容易忽略对常数项的乘法，导致答案出错。针对这个问题，我考虑在下一节课中增加一些基础练习，让学生反复练习分配律的应用，帮助他们更好地掌握这个重点。
-将实际问题转化为整式乘法运算：学生需要掌握如何将实际问题的描述转化为数学表达式，并运用整式乘法进行计算。
-例如：将矩形的面积计算问题转化为(x + 2) * (x + 3)的乘法运算。
在教学过程中，教师应针对这些重点和难点，通过直观的示例、反复的练习和及时的反馈，帮助学生理解并掌握整式乘法的核心知识，确保学生能够透彻理解和正确应用。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了整式乘法的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对整式乘法的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
八年级上册数学《整式的乘法与因式分解》因式分解的常用方法
分解因式的常用方法一、本节学习指导本节较为复杂，因式分解大多讲究技巧，于是我们要多做练习，慢慢总结。
本节有配套二、知识要点1、因式分解的思路与解题步骤:(1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式;(2)再看能否使用公式法;(3)用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的;(4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解;(5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止.2、提公共因式法提公因式法.如:ab＋ac＝a（b＋c）（2）、概念内涵:(1)因式分解的最后结果应当是“积”;(2)公因式可能是单项式,也可能是多项式;(3)提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律,即: ma＋mb-mc=m(a＋b-c) （3）、易错点:(1)注意项的符号与幂指数是否搞错;(2)公因式是否提“干净”;(3)多项式中某一项恰为公因式,提出后,括号中这一项为+1,不漏掉.3、运用公式法运用公式法.（2）、主要公式:(1)平方差公式:))((22b a b a b a -+=- (2)完全平方公式: 222)(2b a b ab a +=++ 222)(2b a b ab a -=+-（3）、易错点:))((222244y x y x y x -+=-就没有分解到底.4、怎样选择公式(1)、平方差公式:①应是二项式或视作二项式的多项式;②二项式的每项(不含符号)都是一个单项式(或多项式)的平方;③二项是异号.(2)、完全平方公式:①应是三项式;②其中两项同号,且各为一整式的平方;③还有一项可正负,且它是前两项幂的底数乘积的2倍.5、 分组分解法:（1）、分组分解法:利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.如: ))(()()(n m b a n m b n m a bn bm an am ++=+++=+++（2）、概念内涵:分组分解法的关键是如何分组,要尝试通过分组后是否有公因式可提,并且可继续分解,分组后是否可利用公式法继续分解因式.（3）、 注意: 分组时要注意符号的变化.5、十字相乘法有些二次三项式，可以把第一项和第三项的系数分别分解为两个数之积，然后借助画十字交叉线的方法，把二次三项式进行因式分解，这种方法叫十字相乘法。
人教版八年级上册数学精品教学课件 第14章 整式的乘法与因式分解 提公因式法
典例精析 例1 下列从左到右的变形中是因式分解的有 ( B ) ① x2－y2－1＝(x＋y)(x－y)－1；② x3＋x＝x(x2＋1)；
③ (x－y)2＝x2－2xy＋y2；④ x2－9y2＝(x＋3y)(x－3y).
A．1 个 B．2 个
C．3 个
D．4 个
方法总结：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，
当堂练习
1. 多项式 15m3n2 + 5m2n - 20m2n3 的公因式是（ C ）
A．5mn B．5m2n2 C．5m2n
D ．5mn2
2. 把多项式 ( x + 2 )(x - 2) + (x - 2) 提取公因式 (x - 2) 后，余下的部分是（ D ）
A．x + 1 B．2x C．x + 2
问题2 如何确定一个多项式的公因式？ 找 3 x 2 – 6 x y 的公因式.
3 系数： 最大公约数
x
1
指数： 相同字母的
字母： 最低次数
相同的字母
所以公因式是 3x
找出多项式的公因式的一般步骤： 1. 定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公 约数； 2. 定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母； 3. 定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即 字母的因式相同 时，提公因式后剩余的项是 1.
正确解：原式 = 3x·x - 6y·x + 1·x = x(3x - 6y + 1)
注意：某项提出莫漏 1.
小华的解法有误吗？ 因式分解：- x2 + xy - xz. 解：原式 = - x(x + y - z).
错误
提出负号时括号 里的项没变号
4. 把下列各式分解因式： (1) 8m2n + 2mn =__2_m_n_(_4_m__+__1_)_；
人教版八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解小结与复习教学课件
考点二 整式的运算
例3 计算：[x(x2y2-xy)-y(x2-x3y)] ÷3x2y,其中x=1,y=3.
解析：在计算整式的加、减、乘、除、乘方的运算中，一要注意运算顺序；二要熟练
正确地运用运算法则.
解：原式=(x3y2-x2y-x2y+x3y2) ÷3x2y
=(2x3y2-2x2y) ÷3x2y
例6 把多项式2x2－8分解因式，结果正确的是( C )
A．2(x2－8)
B．2(x－2)2
C．2(x＋2)(x－2) D．2x(x－ )
4 x
归纳总结
因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式，它与整式乘法互为逆 运算，因式分解时，一般要先提公因式，再用公式法分解，因式分解要求 分解到每一个因式都不能再分解为止.
3.(1)已知3m=6,9n=2,求3m+2n,32m-4n的值. (2)比较大小：420与1510. 解：(1)∵3m=6,9n=2, ∴3m+2n=3m·32n=3m·(32)n=3m·9n=6×2=12. 32m-4n=32m÷34n=(3m)2÷(32n)2=(3m)2÷(9n)2=62÷22=9. (2) ∵420=（42）10=1610， ∵1610>1510,
=a2－(b－3)2=a2－b2＋6b－9. (3)原式＝[(3x－2y)(3x＋2y)]2
=(9x2－4y2)2=81x4－72x2y2＋16y4
11.用简便方法计算
(1)2002－400×199＋1992； (2)999×1 001. 解：(1)原式＝(200－199)2=1;
(2) 原式＝(1000－1)(1000+1) ＝10002－1 ＝999999.