高中物理一轮复习课件：选修3-4.1.1机械振动

(4分)
(3)振子经过一个周期位移为零,路程为5×4 cm=20 cm,前100 s
刚好经过了25个周期,所以前100 s振子位移x=0, (1分)
振子路程s=20×25 cm=500 cm=5 m. 答案：(1)x=5sin t(cm) (2)见规范解答
2
(3)0 5 m
(1分)
【总结提升】简谐运动问题的求解思路
数：
T= 1
f
ωt+φ
描述周期性运动在各个时刻所处的
_________不_ 同状态
简谐运动的五个特征 1.动力学特征:F=-kx，“-”表示回复力的方向与位移方向相反， k是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数. 2.运动学特征:简谐运动的加速度与物体偏离平衡位置的位移成 正比而方向相反，为变加速运动，远离平衡位置时，x、F、a、 Ep均增大，v、Ek均减小，靠近平衡位置时则相反. 3.运动的周期性特征:相隔T或nT的两个时刻振子处于同一位置 且振动状态相同.
(2)从正的最大位移处开始计时,函数表达式为x=__A_c_o_s_ω__t__,图 象如图乙所示.
1.对简谐运动图象的认识 (1)简谐运动的图象是一条正弦或余弦曲线，如图所示.
(2)图象反映的是位移随时间的变化规律，随时间的增加而延伸， 图象不代表质点运动的轨迹. (3)任一时刻图线上过该点切线的斜率数值表示该时刻振子的速度 大小.正负表示速度的方向，正时沿x正方向，负时沿x负方向.
实验原理 当偏角很小时，单摆做简谐运动，其运动周期为T=__2___gl_ ，由
42l
此得到g=_____T_2 _____.测出摆长l和振动周期T，就可以求出当 地重力加速度g的值.
1.数据处理的两种方法
方法一：计算法
根据公式T=2π l ,g= 42l .将测得的几次周期T和摆长l代入公
式
g=
则圆频率ω= 2 =rad/s，
(1分)
T2
故该振子做简谐运动的表达式为：x=5
sin
t(cm)(2分)
2
(2)由图可知,在t=2 s时振子恰好通过平衡位置,此时加速度为
零,随着时间的延续,位移值不断加大,加速度的值也变大,速度
值不断变小,动能不断减小,弹性势能逐渐增大.当t=3 s时,加速
度的值达到最大,速度等于零,动能等于零,弹性势能达到最大值.
.
2.注意事项 (1)选择材料时应选择细、轻又不易伸长的线，长度一般在1 m 左右，小球应选用密度较大的金属球，直径应较小，最好不超 过2 cm. (2)单摆悬线的上端不可随意卷在铁夹的杆上，应夹紧在铁夹中， 以免摆动时发生摆线下滑、摆长改变的现象. (3)摆动时注意控制摆线偏离竖直方向不超过10°.可通过估算 振幅的办法掌握.
(2)条件：驱动力的频率等于__固__有__频__率___. (3)特征：共振时振幅_最__大__. (4)共振曲线：如图所示.
自由振动、受迫振动和共振的比较
振动类型 比较项目
自由振动
受迫振动
受力情况
仅受回复力
周期性驱动力 作用
共振
周期性驱动力 作用
振动周期 或频率
由系统本身性质 决定，即固有周 期或固有频率
(2)平衡位置是回复力等于零的位置，但合力不等于零.
(3)公式T=2π l ，可以把l理解为等效摆长L′并不一定是绳
g
长，其大小等于悬点到球心的距离;把g理解为等效重力加速度
g′，其值等于单摆所处的相应的平衡位置且不摆动时(即摆球
相对悬点静止，不管悬点如何运动还是受别的力作用)摆线的拉
力F与摆球质量的比值，即g′= F .这样，等效单摆的周期公式
【总结提升】解答本题的关键是要明确简谐运动具有对称性的 特点，竖直方向的弹簧振子做简谐运动的回复力是重力和弹簧 弹力的合力，以及重力做功与路径无关的特点.对易错选项及错 误原因具体分析如下：
易错角度
错误原因
易错选B
在确定A项正确的基础上，与水平放置的弹簧振子类比，认为 回复力是弹簧的弹力，弹簧振子受到重力和回复力两个力， 半个周期内振子动能的变化为零，由动能定理知回复力做的 功与重力做的功的代数和为零，即W-2mgh=0，因此错选B 项.实际上竖直方向的弹簧振子的回复力是重力和弹簧弹力的 合力提供的
考点3 简谐运动的两种模型
名称 项目 模型示意图
做简谐运动 的条件
平衡位置
水平弹簧振子
①忽略弹簧质量
②无__摩__擦___③在弹簧弹
性限度内
弹簧处于_原___长_处
单摆
①细线不可伸缩②摆球
足够小且密___度__大_③摆角
很小 小球运动轨迹的最低点
名称 项目
回复力
周期公式
能量转化
水平弹簧振子
弹簧的_弹__力__提供
【解题指南】分析该题时应关注以下四点： (1)振子的初始位置及运动方向. (2)振子位移的大小、方向及其变化趋势. (3)由位移变化判断a、v、Ek、Ep的变化. (4)由运动特点确定位移和路程.
【规范解答】(1)由振动图象可得：振幅A=5 cm, (1分)
周期T=4ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱs,
(1分)
初相φ=0
(1分)
意义 描述质点振动中某时刻的位置相对
于__________平的衡位移位置
振幅 周期 频率 相位
振动物体离开平衡位置的
______最___大_ 距离
描述振动的__强__弱__和能量
振动物体完成一次
__全__振___动_所需时间
振动物体___单___位__时_内间完成
全振动的次数
描述振动的_____快__，慢两者互为倒
做初相.
3.回复力 (1)定义：使物体返回到__平__衡__位__置____的力. (2)方向：时刻指向__平__衡__位__置___. (3)来源：振动物体所受的沿__振__动__方__向____的合力.
4.描述简谐运动的物理量
物理量 位移
定义
由__平__衡___位__置指向质点 _所___在__位___置的有向线段
第1讲 机械振动
考点1 简谐运动
1.概念：质点的位移与时间的关系遵从__正__弦__函__数___的规律，即 它的振动图象(x-t图象)是一条__正__弦__曲__线__ 2.简谐运动的表达式 (1)动力学表达式:F=____-_k_x___，其中“-”表示回复力与_位__移__ 的方向相反.
(2)运动学表达式:x=Asin(ωt+φ),其中A代表振幅,ω=__2_π__f_ 表示简谐运动的快慢,(ωt+φ)代表简谐运动的__相__位___,φ叫
(1)应用简谐运动的表达式x=Asin(ωt+φ)解决简谐运动问题,
首先要明确表达式中各物理量的意义,找到各物理量对应的数值, 根据ω= 2=2πf确定此三个描述振动快慢的物理量间的关系.
T
对于同一质点的振动,不同形式的简谐运动位移表达式初相位并
不相同. (2)求解简谐运动问题的有效方法就是紧紧抓住一个模型——水
2.图象信息 (1)由图象可以得出质点做简谐运动的振幅、周期. (2)可以确定某时刻质点离开平衡位置的位移. (3)可以根据图象确定某时刻质点回复力、加速度和速度的方向. ①回复力和加速度的方向：因回复力总是指向平衡位置，故回 复力和加速度在图象上总是指向t轴. ②速度的方向：速度的方向可以通过下一时刻位移的变化来判 定，下一时刻位移如增加，振动质点的速度方向就是远离t轴， 下一时刻位移如减小，振动质点的速度方向就是指向t轴.
4.对称性特征
(1)相隔 T 或 (2n+1)T (n为正整数)的两个时刻，振子位置关于平
2
2
衡位置对称，位移、速度、加速度大小相等，方向相反.
(2)如图所示,振子经过关于平衡位置O
对称的两点P、P′(OP=OP′)时,速度的
大小、动能、势能相等,相对于平衡位置的位移大小相等.
(3)振子由P到O所用时间等于由O到P′所用时间,即tPO=tOP′. (4)振子往复过程中通过同一段路程(如OP段)所用时间相等，即
单摆
摆球_重__力___沿与摆
线垂直方向的分力
不作要求
T=
2 l g
弹性势能与动能相
互转化，机___械__能_守
恒
重力势能与动能相互
转化，_机__械___能_守恒
1.弹簧振子(是一种理想化的模型)的理解 (1)水平方向的弹簧振子，回复力是弹簧的弹力，振动过程中动 能和弹性势能间相互转化. (2)竖直方向的弹簧振子，回复力是弹簧的弹力和重力的合力， 振动过程中动能、弹性势能以及重力势能间相互转化. 2.单摆的理解 (1)回复力由重力的切向分力提供，在偏角最大时，回复力也可 以说成拉力和重力的合力.
由驱动力的周期 或频率决定，即 T=T驱或f=f驱
T驱=T固或f驱=f固
振动类型 比较项目
自由振动
振动能量
振动物体的 机械能不变
受迫振动
共振
由产生驱动力 的物体提供
振动物体获得 的能量最大
常见例子
弹簧振子或单摆 (θ<10°)
机械工作时底座 发生的振动
共振筛、转速 计等
考点5 实验：用单摆测定重力加速度
由于振动的周期性和对称性，在半个周期内弹簧振子将运动到 O点下方的D点，C、D两点相对平衡位置O对称，因此弹簧振 子的高度降低了2h，重力做功2mgh，故弹簧振子的重力势能 减少了2mgh，A项正确；回复力是该振子所受的合外力，由对 称关系知，弹簧振子过D点的速度大小与过C点时相等，方向竖 直向下，因此回复力做的功等于弹簧振子动能的改变量为零， 而速度的变化为Δv=v-(-v)=2v，B错，C对；弹簧振子通过A 点时相对平衡位置的位移为2h，因此回复力F=-kx=-2kh，D 项错.
A.重力势能减少了2mgh B.回复力做功为2mgh C.速度的变化量的大小为2v D.通过A点时回复力的大小为kh
【解题指南】解答本题应把握以下三点： (1)简谐运动具有对称性. (2)重力做功与路径无关. (3)速度是矢量，速度变化按矢量运算法则. 【自主解答】选A、C.作出弹簧振子的振动图象如图所示，
(4)摆球振动时，要使之保持在同一个竖直平面内，不要形成圆 锥摆. (5)计算单摆的振动次数时，应从摆球通过最低位置时开始计时， 为便于计时，可在摆球平衡位置的正下方作一标记.以后摆球每 次从同一方向通过最低位置时进行计数，且在数“零”的同时 按下秒表，开始计时计数.
简谐运动的特征 【例证1】(多选)如图所示，一轻弹簧与质量为m的物体组成弹 簧振子，物体在同一条竖直线上的A、B间做简谐运动，O为平衡 位置，C为AO的中点，已知CO=h，弹簧的劲度系数为k.某时刻物 体恰好以大小为v的速度经过C点并向上运动.则以此时刻开始半 个周期的时间内，对质量为m的物体，下列说法正确的是( )
tOP=tPO. 5.能量特征:振动的能量包括动能Ek和势能Ep，简谐运动过程中， 系统动能与势能相互转化，系统的机械能守恒.
考点2 简谐运动的图象
1.物理意义：表示振子的_位__移___随时间变化的规律，为正弦(或 余弦)曲线 2.简谐运动的图象 (1)从平衡位置开始计时,把开始运动的方向规定为正方向，函 数表达式为x=__A_s_i_n_ω__t_,图象如图甲所示.
42l
g
T2
中算出重力加速度g的值，再算出g的平均值，即为
T2
当地的重力加速度的值.
方法二：图象法
由单摆的周期公式T=2π
l g
可得l=
g 42
T2
，
因此以摆长l为纵轴，以T2为横轴作出的
l-T2图象是一条过原点的直线，如图所
示，求出图线的斜率k，即可求出g值.
g=4π2k，
k=
l T2
=
l T2
平方向振动的弹簧振子，熟练掌握振子的振动过程以及振子振动
过程中各量的变化规律，遇到简谐运动问题，头脑中立即呈现出
m
变为T=2π L .
g
考点4 受迫振动和共振
1.受迫振动 (1)概念：振动系统在周期性__驱__动__力___作用下的振动. (2)特点：受迫振动的频率等于__驱__动__力___的频率，跟系统的固 有频率__无__关____. 2.共振 (1)现象：当驱动力的频率等于系统的__固__有__频__率__时，受迫振动 的振幅最大.
易错角度 易漏选C
错误原因
忽视了速度是矢量，误将速度作为标量，求速度 的变化量应按照矢量运算法则，即平行四边形定 则来计算
易错选D
审题不仔细，误将C点当做振动的平衡位置，而 实际上O点才是振动的平衡位置
简谐运动的公式与图象 【例证2】(12分)如图所示为一弹簧振子的振动图象,试完成以 下问题:
(1)写出该振子简谐运动的表达式. (2)在第2 s末到第3 s末这段时间内,弹簧振子的加速度、速度、 动能和弹性势能各是怎样变化的？ (3)该振子在前100 s的总位移是多少?路程是多少?