点击勒洛三角形
勒洛三角形
勒洛三角形1、定义勒洛三角形是由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛(1829～1905)首先发现的，并以他的名字命名的。
2、性质定宽曲线和定宽性定宽曲线的概念：具有（类似圆的）定宽性的曲线称为定宽曲线。
定宽性，几何上的理解是：将一个圆放在两条平行线中间，使之与这两平行线相切。
则可以做到：无论这个圆如何运动，它还是在这两条平行线内，并且始终与这两条平行线相切。
勒洛三角形就是典型的定宽曲线。
勒洛三角形的等宽性质很容易证明，其宽度等于构造等边三角形的边长。
当勒洛三角形在边长为其宽度的正方形内旋转时，每一个角走过的轨迹基本上就是一个正方形。
面积关系通过勒贝格积分可以算出，勒洛三角是定宽曲线所能构成的面积最小的图形，其面积为1/2[π-(3^1/2)]s^2，s为定宽宽度。
[1]勒洛三角形的应用在美国旧金山，有一些市政检修井井盖的形状就是勒洛三角形，其最大优点是这种形状的井盖绝不会掉到井里去。
此外，一种基于勒洛三角形的变体的设备，它能钻出方孔来，其“方度”非常之好。
勒洛不能用作轮子，因为其中心并不稳定，每旋转一圈会有三次跳动。
而作为滚轴使用则是相当平稳。
马自达的转子发动机也是这个原理，因为勒洛三角形是定宽曲线中面积最小的。
转子发动机用来做轮子勒洛三角形的定义以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形（reuleaux triangle ）这个就是一个定义，勒洛三角形不是咱们平常理解的三角形。
按照语文来说，三角形前的定语（勒洛）不能去掉二、以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形(reuleaux triangle)，也称鲁洛三角形勒洛三角形是由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛(1829～1905)首先发现的，并以他的名字命名的。
性质定宽曲线和定宽性定宽曲线的概念：具有(类似圆的)定宽性的曲线称为定宽曲线。
和圆一样的三角形
和圆一样的三角形Maxwellsdemon 2012-02-03 21:17:07如果说三角形和圆是一家，你大概不信。
但确确实实，一个以 19 世纪德国工程师命名的三角形，勒洛三角 形，就和圆有很多相同之处。
并且，它还经常出现在制造业中，无数奇怪或者常用的东西，按照它的样子 被造出来。
数学之所以重要，不仅因为它是科学理论的基石，还因为数学在日常生活、工业制造甚至是 艺术品审美上都用着非常广泛的应用和体现。
如果不知道一些基本的数学道理， 就是被科学 武装到牙齿的 NASA 工程师也会犯一些低级错误。
比如今天的故事主角——勒洛三角形。
这 个和圆是一家的多边形，不仅性质奇特，还是制造业的宠儿。
它是如何渗透到广大劳动人民 身边的？死理性派告诉你。
不识勒洛三角形，NASA 都要犯错误历史上，一枚美国火箭的发射流程是这样的：先在工厂完成推进器的组装，然后用驳船运至 佛罗里达的肯尼迪航天中心进行整体吊装，最后在发射台上点火发射。
然而，一些 NASA 的 工程师发现一个问题：在运抵总装车间之前，推进器需要横躺着跋涉数千公里（例如在加利 福尼亚组装的土星 -5 的第二级推进器甚至需要绕道巴拿马运河），但在这一过程中，由于 其本身的巨大重量，推进器有可能会发生变形。
对于液体燃料火箭来说，轻微的变形也可能 导致燃料泄漏造成发射事故。
为了检验火箭截面是否是正圆， NASA 的技术人员们提出了一个标准， 每隔 60° 测量一次火箭的直径 （该方向上界面内两点距离的最大值） 如果 3 次 ， 测得的直径都相等，那火箭的截面即使不是标准的圆形也差不多了。
然而这个方案真的靠谱么？很不幸， 一种叫做定宽曲线的曲线族粉碎了他们的幻想。
定宽曲 线是这样的一种几何图形，它们在任何方向上的直径（或称宽度）都是定值。
当然，圆也是 一种定宽曲线，但是定宽曲线可远远不止这么一种，其中最具有代表性的当属勒洛三角形。
勒洛三角形 像上图这样把 3 个等半径的圆重合起来， 两两互相经过圆心， 3 个圆相交的部分就是勒洛 三角形，或者其发现者所称的“曲边三角形”。
选修课之勒洛三角形
勒洛三角形
如图，一个“凸轮”放置于直角坐标系X 轴上方，其“底端”落在远点O处，一顶点 及中心M在Y轴的正半轴上，它的外围由以 正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边 长为半径的三段等弧组成。今使“凸轮” 沿X轴正向滚动过程中，“凸轮”每时每刻 都有一个“最高点”，其中心也在不断移 动位置，则在“凸轮”滚动一周的过程中， 将其“最高点”和“中心点”所形成的图 形按上、下放置，应大致为（ ）
角轮自行车
下图就是马自达公司的转子发动机截面图。
由于等宽性，等宽曲线还可以在一个正方形内贴着边 沿滚动。1914 年，一位注意到这一特性的美国工程师 据此发明了方孔钻头。方孔钻头的截面是一个勒洛三 角形，为使钻头更锋利，它被削去了一部分的。在工 作时钻头的中心随着钻头的转动同时绕轴做圆周运动 （事实上并不是严格的圆周运动），就可以钻出四角 略圆的正方形。
A．
B．
C．
D．
定宽曲线
使用截面是定宽曲线的滚木来搬运东西，不会 发生上下抖动。
另外定宽曲线还有一个有趣的性质，就是宽度相等 的定宽曲线有相同的周长，所以下图中的圆形滚木 转过一周的时候，旁边的勒洛三角形滚木也恰好转 过一周。
既然等宽曲线始终是等宽的，能否利用 便士银币采用的就是由 7 条 弧组成的定宽曲线。
已知莱洛三角形内接圆形的半径-概述说明以及解释
已知莱洛三角形内接圆形的半径-概述说明以及解释1.引言1.1 概述莱洛三角形是指一个内心在三角形内部的特殊三角形。
内接圆形是指与三角形的三条边都相切的圆形。
而本文的目的是研究已知莱洛三角形内接圆形的半径。
在数学几何领域，研究内接圆形的性质一直是一个重要的课题。
通过分析三角形的特点和内接圆形的特性，我们可以推导出莱洛三角形内接圆形的半径的表达式。
在本文的正文部分，我们将首先介绍莱洛三角形的定义，包括其内心的特点以及与三角形的边的关系。
接着，我们将详细定义内接圆形，并讨论其与三角形边的相切关系。
最重要的是，我们将推导出已知莱洛三角形内接圆形的半径的方法。
通过运用几何定律和三角函数，我们将给出内接圆形半径与莱洛三角形边长的关系式，并通过实例来说明具体的计算步骤。
本文的结论部分将总结已知莱洛三角形内接圆形的半径对于解决相关数学问题的重要性。
我们将探讨该结论对进一步研究和应用的潜在影响，并给出对未来研究方向的展望。
通过本文的研究，我们可以更深入地理解莱洛三角形和内接圆形的性质，并为解决与此相关的数学问题提供了一种有效的方法。
同时，我们也希望能够吸引更多数学爱好者和专业研究者对于这一领域进行更深入的探索。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将按照以下顺序展开讨论已知莱洛三角形内接圆形的半径的推导过程：首先，我们将介绍莱洛三角形的定义，包括其特征和性质。
莱洛三角形是指一个具有特殊定位的三角形，它的顶点分别位于一个普通三角形的三条边上。
我们将深入探讨莱洛三角形的性质，为后面的推导奠定基础。
接下来，我们将给出内接圆形的定义及其与莱洛三角形的关联。
内接圆形是指一个圆形，它的圆心位于三角形内部，且与三角形的三边均相切。
我们将详细解释内接圆形的性质，并说明它与莱洛三角形的共同特点。
然后，我们将展示如何通过已知莱洛三角形内接圆形的半径来推导出内接圆的直接计算方法。
我们将引入一些数学定理和公式，以帮助读者理解推导过程。
同时，我们还会提供详细的计算步骤和实例，以加深读者对推导过程的理解。
采用勒洛三角形原理的流量计设计
２ 背 景 与 基本 思 路
随着科学技术的不断发展 ． 各个领域对于实验数据的要求也越来 越严格 。 仪器 的精密度要求也随之提升。 传统的流量计难以满足发展需 要。为提高流量计的精密度 。 我们提出采用勒洛三角形原理的流量计。 ２ ． １ 技术发 明内容 针对一 般流量计在计量大流量及小微 流量情况下的计量不准 确 的情况 ， 设计 出一种新型的流量计 ， 计量方法采用容积法 ， 以进人 流体 推动流量计转子转动 ： 以转子转动推 动流体流 出。保 证任 意时刻进水 量与出水量相 同。以转子转动圈数计量流体 ， 实现精 确测量 。
．
囱
图 １ 图２ 图３ 图 ４ 图５
（ ５ ） 充 分 利 用 勒 洛 三 角 形 转 动 与 流 量 方 向 的 对 应 关 系 。 ｅ
【 参考文献】
［ １ ］ 高俊． 三角形滑块双定子轴 向马达的分析［ Ｊ 】 ． 燕山大学， ２ ０ １ １ ． ［ ２ ］ 陆雅言 ， 丁 以山． 关于等宽曲线 的讨论［ Ｊ ］ ． 中国科 学技术大学学报， １ ９ ８ ３ （ ０ ４ ） ． ［ ３ ］ 徐晓俊 ， 何 俊生 ， 高业 田， 等． 竞 曲线 的数学原理 与等宽凸轮的机构设计 ｆ Ｊ 】 ｌ 东 北重型机械学院学报． １ ９ ８ ９ （ ０ ３ ） ．
【 关键词 】 流量计 ； 勒洛三 角形 ； 正方形约束 ； 转动 ； 容积法； 脉动
０ 引 言
在工业生产 、科学研究和 日常生活 中常使用流量计测量流 量． 现 有 流量计多是通过扇叶传递流速情况 ， 进而计算流量 的。存在下列 的 问题 ： 一是在小 、 微流量情况下 ， 扇叶及齿轮系统启动需要克 服较 大的 阻力 ： 二是在大流量的情况下 ， 扇 叶及齿轮系统的旋转偏快 。 这就造成 计量不准确的情况 。 典型的例子有 ： 水龙头开得很小 的时候 ， 会有水流 出， 但水表不会转 ； 水龙头在巨大流量的情况下迅速关闭 ， 水表还是会 跑很多圈才会停止 。 其它类 型的流量计大多也存在着湍流测量不准确 等问题。难 以实现精确测量。
勒洛多边形及绘制方法
勒洛多边形及绘制方法1. 勒洛多边形简介说到勒洛多边形，可能大家都觉得这个名字有点儿拗口，但其实它的原理一点也不复杂。
简单来说，勒洛多边形是一种特别的多边形，里面的每一条边都跟相邻的边有着一定的比例关系。
就像是跟朋友借钱一样，大家心里都得有个数，才能不尴尬，对吧？这多边形在数学和艺术中都有不少应用，真是个万能的小家伙！勒洛多边形的名字来源于一个法国数学家，叫勒洛（Léon Lhomond），他的研究让这个多边形得以被更多人所认识。
就好比是一个名不见经传的小明星，突然被人发掘，大家开始纷纷追捧。
你会发现，勒洛多边形不仅仅是数学课本里的理论，还是一个充满创意的玩意儿！2. 绘制方法2.1 准备工具要想画好勒洛多边形，咱们得先准备好工具。
这可不是高大上的科技设备，简单的纸和笔就能搞定。
当然，如果你想要追求更高大上的效果，使用绘图软件也是个不错的选择。
想象一下，轻轻一划，哗啦啦，图案就呈现出来，简直让人心花怒放！当然，别忘了量角器和直尺，这可是你绘制的好帮手，缺一不可。
2.2 步骤详解好啦，准备工作做好之后，咱们就可以开始动手了！第一步，先在纸上画一个简单的多边形，三角形、四边形都行，反正随便你喜欢。
接着，咱们要给每条边设定一个比例，比如说边AB是边BC的两倍，边CD是边AB的一半。
这样一来，整个形状就开始变得复杂起来，仿佛是给多边形穿上了一件华丽的衣服。
接下来，开始画各个边的比率。
这一步需要点耐心，毕竟万事开头难。
边与边之间的比例就像是关系一样，有的紧密无间，有的则相对疏远。
要注意保持这个比例，不然可就得了个四不像。
最后，连接这些边，哇！看！勒洛多边形就这样诞生啦！是不是有点小激动呢？3. 应用与趣味3.1 实际应用说到勒洛多边形的应用，简直无处不在。
设计师们用它来制作图案，建筑师们用它来规划空间，甚至连游戏设计中都能看到它的身影。
想想那些游戏中的地图，蜿蜒曲折的道路，都是在运用这些几何原理。
选修课之勒洛三角形课件
对未来学习的建议与展望
深化对勒洛三角形的理解
未来可以进一步学习勒洛三角形的高级性质，以及其在更广泛领域中的应用，深化对其的理解。
提高解决问题的能力
通过解决更多涉及勒洛三角形的问题，可以提高运用所学知识解决问题的能力，进一步增强几何思维。
关联其他学科知识 勒洛三角形不仅在几何学中有所应用，它与代数学、物理学等其他学科也有紧密的联系。未来可以将勒 洛三角形的知识与其他学科知识相结合，探索跨学科的学习和研究。
建筑设计美学
勒洛三角形的独特形状和几何特性可以为建筑设计带来独特的美学效果。例如， 作为建筑立面上的窗洞形状或者装饰元素，能够增加建筑的动感和视觉冲击力。
在机械工程中的应用
零件设计
勒洛三角形的等宽特性使其在机械工程中作为零件截面形状 具有优势。例如，作为轴承、齿轮等机械零件的截面形状， 能够在不同方向承受均匀载荷，提高零件的承载能力和寿命。
与其他等宽形状比较 除了勒洛三角形和圆形外，还有一些其他等宽形状，如勒 洛五边形等。这些形状各具特点，但勒洛三角形在其中以 其简单性和独特性而引人注目。
03
勒洛三角形的应用
在建筑设计中的应用
结构设计
在建筑结构中，勒洛三角形可以作为梁、柱等构件的截面形状，提供良好的承 载能力和稳定性。由于其等宽特性，能够在不同方向均匀受力，降低结构变形 和破坏的风险。
课程将涵盖勒洛三角形的定义、性质、判定方法以及与其相关的几何变
换、曲线拟合等数学内容。同时，还将介绍勒洛三角形在机械工程、计
算机科学等领域的应用案例。
03
授课方式
本课程采用线上授课方式，通过课件演示、视频讲解、互动讨论等多种
形式进行教学。学生可随时随地进行学习，并可通过在线平台与老师、
自平衡莱洛三角形
自平衡莱洛三角形
自平衡莱洛三角形是一个概念，它代表着生活中许多建议和决定的重要性。
这个概念指的是一个可以让人们从三个不同的方向来考虑并解决问题的模型。
一、概念介绍：
1、它的基本原理是：要求一个活动达到自平衡的基本条件，需要三个平衡因素：目标（Goals）、结构（Structure）和行动（Behaviour）的平衡。
2、通过这种模型，人们可以更好地理解复杂的行为，同时发现行为之间的关系，并采取适当的行动来实现目标。
3、自平衡莱洛三角形不仅提供了一个有效地利用行为规则以及结构与行为之间关系的方法，同时通过不断调整来实现目标也很有价值。
二、作用：
1、可以帮助人们更有效地管理组织中的行为，有助于管理者有效地沟通和落实目标。
2、它可以为观察的事件（如行为、感觉）定义参数，并有助于改善其规则和定义，增强组织的功能。
3、可以更好地识别组织中的优势和劣势，并把它们转化为目标达成的力量。
三、利用方法：
1、首先，应认真挖掘组织中的目标，确定明确的行为规则和结构，以
消除矛盾。
2、其次，要研究结构和行为之间的关系，精确地发掘它们之间的联系；以便在实施复杂的行为时能够明确其目的和活动的方式。
3、最后，可以根据需要不断调整，使组织能够自我调节，既能够实现
其目标，又能够根据变化的情境，采取适当的行动。
四、结论：
自平衡莱洛三角形是一种很好的参考模型，它可以帮助组织有序地实
现其目标，更有效地管理组织中的行为，为改善组织有效性和表现提
供重要的参考。
通过准确定义目标，精确把握结构和行为之间的关系，不断调整，可以让组织在不断变化的环境中得到更长久的发展和实现
更高要求的目标。
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作者：仓万林刘燕楠
来源：《新高考·高一数学》2012年第09期
生活中，数学的影子随处可见。
一、大师也困惑
有一青年郁郁不乐，向禅师请教：“大师，在单位里同事总嫌我棱角太突出，不合群！”禅师不语，掏出数根圆柱铺在地上，在上面搁了一块木板，并推动它，曰：“你看，轮子合作一致才能保持所承载木板的平稳前进，你能找到棱角突出的形状也让木板平稳前进吗？”
图1青年略一沉吟，默默地掏出一个勒洛三角形，用它来搬运东西，不会发生上下抖动。
这下轮到大师也郁闷了。
其实大师完全没有必要太郁闷，碰到同样问题的不仅仅是他一个。
历史上，美国国家航空航天局曾这样发射火箭：先在工厂完成推进器的组装，然后运至肯尼迪航天中心进行整体吊装，最后点火发射。
但工程师发现一个问题，在运抵总装车间之前，推进器需要横躺着跋涉数千千米，由于其本身的巨大质量，有可能会发生变形。
对于液体燃料火箭来说，轻微的变形也可能导致燃料泄漏造成发射事故。
为了检验火箭截面是否是正圆，技术人员们提出了一个标准，每隔60°测量一次火箭的直径（该方向上界面内两点距离的最大值），如果3次测得的直径都相等，那火箭的截面即使不是标准的圆形也差不多了。
这个方案真的靠谱么？大师的困惑也应验了工程师们的困惑。
二、神秘三角形
要想解释这个问题，还得从几何中的定宽曲线的曲线一族谈起。
定宽曲线是这样的一种几何图形，它们在任何方向上的直径（或称宽度）都是定值。
显然，圆是一种最常见的定宽曲线，可定宽曲线可远远不止这么一种，其中最具有代表性的当属勒洛三角形。
勒洛（1829～1905），德国机械工程专家，机构运动学的创始人。
勒洛的父亲是技术人员，他从小就受到技术的教育和熏陶，所著的《理论运动学》对机械元件的运动过程进行了系统的分析，成为机械工程方面的名著。
图2勒洛三角形，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形。
勒洛三角形和它的定宽曲线兄弟们都具有许多有趣的特性，其中最重要的当然就是它们的定宽性。
图3我们不妨动手做个实验。
把一硬纸卡片剪出一个如图2所画的定宽曲线的样子，而用另一硬纸卡片剪下一个正方形的洞。
如果正方形的边长等于曲线的宽度，那么不管方向怎样变化，它正好合适地装入这个曲线板，并且这个定宽曲线板可以在正方形内紧密无间地自由转动。
更为神奇的是，任何定宽曲线都可以在边长等于曲线宽度的正方形内紧密无间地自由转动；反之，可以在正方形内紧密无间地自由转动的曲线也是定宽曲线。
用定宽曲线做横断面的滚子，也能使载重物水平地移动，而不至于上下颠簸。
难怪禅师和工程师们要大跌眼镜了。
三、应用见风采
数学之所以重要，不仅因为它是科学理论的基石，还因为数学在日常生活、工业制造甚至是艺术品审美上都有着非常广泛的应用和体现。
图4应用定宽曲线的原理，可以制造出许多有趣的物品。
例如我国发明爱好者设计的利用定宽曲线轮的角轮自行车。
或许有人会说“角轮自行车”是观赏性大于实用性的玩具。
那不妨让我们再来看看定宽曲线在汽车工业上的应用。
当然，我们不会用定宽曲线制造轮子，而是用在了更核心的部分——发动机里。
图5就是马自达公司的转子发动机截面图。
其实转子发动机并不是什么新鲜发明，早在20世纪50年代德国工程师汪克尔就制造出了第一台转子发动机的样机。
图5熟悉汽车的同学可能已经注意到了转子发动机与其他发动机的不同之处，它没有活塞和曲杆。
没错，这些麻烦的东西已经完全不需要了，取而代之的是一个转子。
转子的截面是面积最小的定宽曲线勒洛三角形，无论转子转到什么角度，都严格地将汽缸分成三部分，同时进行进气、压缩、点火与排气的周期，当转子转过一周时可以做功三次，效率远高于旋转两周才做功一次的传统四冲程活塞发动机。
转子发动机具有体积更小、振动与噪音更低、结构简单、故障率低等优点。
但转子发动机对材料和工艺的要求也更高，所以目前采用转子发动机的汽车还并不多。
或许有一天，技术条件成熟的时候，大街小巷跑的全是采用转子发动机的汽车。
此外，一种基于勒洛三角形的变体的设备，它能钻出方孔来，其“方度”非常之好。
勒洛三角形的应用中，同样不乏东方智慧。
我国古代璇玑就类似勒洛三角形，其可在正方形内无晃动旋转，对应天圆地方思想的密切结合和统一，另外其三个外周点连接可形成等边三角形。
古人可能在以这样一个玉器向后人传达某种高深的知识：圆道成方，方圆不二。
小小勒洛三角形，蕴藏大乾坤。
感叹数学应用无处不在的同时，我们分明清晰体会到了其中浓烈的数学文化的韵味。
【编者按】谷超豪（1926～2012），浙江温州人，1948年毕
业于浙江大学，1959年获苏联莫斯科大学物理数学科学博士学位，复旦大学教授，1980年当选为中国科学院院士（学部委员）。
主要从事偏微分方程、微分几何、数学物理等方面的研究和教学工作。
他首次提出了高维、高阶混合型方程的系统理论，在超音速绕流的数学问题、规范场的数学结构、波映照和高维时空的孤立子的研究中取得了重要的突破。
这么一位著名的数学家、教育家，国家最高科学技术奖获得者，中国科学院院士，因病医治无效，于2012年6月24日凌晨1时08分在上海逝世，享年87岁。
先生虽然已经离开了我们，但是作为其遗留的点点滴滴，莫不鼓舞着后人奋勇向前。