2019高考数学一轮复习学案(北师大理科)： 课时分层训练21 函数y=Asin(ωx+φ)的图像及应用理 (59)
2019高考数学一轮复习学案(北师大理科)： 课时分层训练21 函数y=Asin(ωx+φ)的图像及应用理 (55)
课时分层训练(一) 集合A组基础达标一、选择题1．(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为( )A．3 B．2C．1 D．0B[集合A表示以原点O为圆心，半径为1的圆上的所有点的集合，集合B表示直线y＝x上的所有点的集合．结合图形可知，直线与圆有两个交点，所以A∩B中元素的个数为2.故选B.]2．设集合M＝{x|x2－2x－3＜0，x∈Z}，则集合M的真子集个数为( )【导学号：79140003】A．8 B．7C．4 D．3B[依题意，M＝{x|(x＋1)·(x－3)＜0，x∈Z}＝{x|－1＜x＜3，x∈Z}＝{0,1,2}，因此集合M的真子集个数为23－1＝7，故选B.]3．(2018·重庆调研(二))已知集合A＝{a，a2}，B＝{1}，若B⊆A，则实数a＝( ) A．－1 B．0C．1 D．2A[因为B⊆A，所以a＝1或a2＝1，且a≠a2，解得a＝－1，故选A.] 4．(2018·长春模拟(二))若集合M＝{1,3}，N＝{1,3,5}，则满足M∪X＝N的集合X的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4D[由M∪X＝N得集合X中必有元素5，则X＝{5}或{1,5}或{3,5}或{1,3,5}，共4个，故选D.]5．已知全集U＝Z，P＝{－2，－1,1,2}，Q＝{x|x2－3x＋2＝0}，则图112中阴影部分表示的集合为( )图112A ．{－1，－2}B ．{1,2}C ．{－2,1}D ．{－1,2}A [因为Q ＝{1,2}，所以P ∩(∁U Q )＝{－1，－2}，故选A.]6．(2018·南昌一模)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |y ＝lg x }，集合B ＝{y |y ＝x ＋1}，那么A ∩(∁U B )＝( ) A ．∅ B ．(0,1] C ．(0,1)D ．(1，＋∞)C [因为A ＝(0，＋∞)，B ＝[1，＋∞)，所以A ∩(∁U B )＝(0,1)，故选C.]7．若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，2，3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( ) A ．1 B ．3 C ．7D ．31B [具有伙伴关系的元素组是－1，12，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，2.]二、填空题8．(2017·江苏高考)已知集合A ＝{1,2}，B ＝{a ，a 2＋3}．若A ∩B ＝{1}，则实数a 的值为________．1 [∵A ∩B ＝{1}，A ＝{1,2}，∴1∈B 且2∉B . 若a ＝1，则a 2＋3＝4，符合题意． 又a 2＋3≥3≠1，故a ＝1.]9．已知集合A ＝{x |x 2－2x ＋a ＞0}，且1∉A ，则实数a 的取值范围是________.【导学号：79140004】(－∞，1] [∵1∉{x |x 2－2x ＋a ＞0}，∴1∈{x |x 2－2x ＋a ≤0}，即1－2＋a ≤0，∴a ≤1.]10．已知A ＝{x |x 2－3x ＋2＜0}，B ＝{x |1＜x ＜a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________．[2，＋∞) [因为A ＝{x |x 2－3x ＋2＜0}＝{x |1＜x ＜2}⊆B ，所以a ≥2.]B 组 能力提升11．(2018·辽宁五校模拟)已知集合P ＝{x |x 2－2x －8＞0}，Q ＝{x |x ≥a }，P ∪Q ＝R ，则a 的取值范围是( ) A. (－2，＋∞) B ．( 4，＋∞) C ．(－∞，－2]D ．(－∞，4]C[集合P＝{x|x2－2x－8＞0}＝{x|x＜－2或x＞4}，Q＝{x|x≥a}，若P∪Q＝R，则a≤－2，即a的取值范围是(－∞，－2]，故选C.]12．设全集U＝R，A＝{x|x2－2x≤0}，B＝{y|y＝cos x，x∈R}，则图113中阴影部分表示的区间是( )图113A．[0,1]B．(－∞，－1]∪[2，＋∞)C．[－1,2]D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D[A＝{x|x2－2x≤0}＝[0,2]，B＝{y|y＝cos x，x∈R}＝[－1,1]．图中阴影部分表示∁U(A∪B)＝(－∞，－1)∪(2，＋∞)．]13．已知集合A＝{x|x2－3x＜0}，B＝{1，a}，且A∩B有4个子集，则实数a的取值范围是( )【导学号：79140005】A．(0,3) B．(0,1)∪(1,3)C．(0,1) D．(－∞，1)∪(3，＋∞)B[∵A∩B有4个子集，∴A∩B中有2个不同的元素，∴a∈A，∴a2－3a＜0，解得0＜a＜3且a≠1，即实数a的取值范围是(0,1)∪(1,3)，故选B.]14．已知集合A＝{x|x2－2 019x＋2 018＜0}，B＝{x|log2x＜m}，若A⊆B，则整数m的最小值是( )A．0 B．1C．11 D．12C[由x2－2 019x＋2 018＜0，解得1＜x＜2 018，故A＝{x|1＜x＜2 018}．由log2x＜m，解得0＜x＜2m，故B＝{x|0＜x＜2m}．由A⊆B，可得2m≥2 018，因为210＝1 024,211＝2 048，所以整数m的最小值为11.]15．设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A且k＋1∉A，那么k是A的一个“单一元”，给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“单一元”的集合共有________个．6 [符合题意的集合为{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}，共6个．]16．已知集合A＝{x|4≤2x≤16}，B＝[a，b]，若A⊆B，则实数a－b的取值范围是________.【导学号：79140006】(－∞，－2] [集合A＝{x|4≤2x≤16}＝{x|22≤2x≤24}＝{x|2≤x≤4}＝[2,4]，因为A⊆B，所以a≤2，b≥4，所以a－b≤2－4＝－2，即实数a－b的取值范围是(－∞，－2]．]。
2019高考数学一轮复习学案(北师大理科)： 课时分层训练21 函数y=Asin(ωx+φ)的图像及应用理 (50)
课时分层训练(七十) 离散型随机变量的均值与方差A 组 基础达标一、选择题1．若离散型随机变量X 的分布列为( )则X 的数学期望EX ＝( ) A ．2 B ．2或12C ．12D ．1C [因为分布列中概率和为1，所以a 2＋a 22＝1，即a 2＋a －2＝0，解得a ＝－2(舍去)或a＝1，所以EX ＝12.]2．已知某一随机变量X 的分布列如下，且EX ＝6.3，则a 的值为( )A ．5 C ．7D ．8C [由分布列性质知：0.5＋0.1＋b ＝1，∴b ＝0.4， ∴EX ＝4×0.5＋a ·0.1＋9×0.4＝6.3，∴a ＝7.]3．(2018·湖北调考)已知随机变量η满足E (1－η)＝5，D (1－η)＝5，则下列说法正确的是( )A ．E η＝－5，D η＝5B ．E η＝－4，D η＝－4C ．E η＝－5，D η＝－5 D ．E η＝－4，D η＝5D [因为E (1－η)＝1－E η＝5，所以E η＝－4.D (1－η)＝(－1)2D η＝5，所以D η＝5，故选D.]4．罐中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，设X 为取得红球的次数，则X 的方差D (X )的值为( )【导学号：79140379】A.125 B.2425 C.85D.265B [因为是有放回地摸球，所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均为35，连续摸4次(做4次试验)，X 为取得红球(成功)的次数，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，35， 所以DX ＝4×35×⎝⎛⎭⎪⎫1－35＝2425.]5．(2018·合肥二检)已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为ξ，则E ξ＝( ) A ．3 B ．72 C ．D ．4B [ξ的可能取值为2,3,4，P (ξ＝2)＝A 22A 25＝110，P (ξ＝3)＝A 33＋C 12C 13A 22A 35＝310，P (ξ＝4)＝A 33C 12C 13＋A 33C 23C 12A 45＝35，则E ξ＝2×110＋3×310＋4×35＝72，故选B.] 二、填空题6．(2016·四川高考)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X 的均值是________． 32[法一：先求出成功次数X 的分布列，再求均值． 由题意可知每次试验不成功的概率为14，成功的概率为34，在2次试验中成功次数X 的可能取值为0,1,2，则P (X ＝0)＝116，P (X ＝1)＝C 12×14×34＝38，P (X ＝2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝916.所以在2次试验中成功次数X 的分布列为则在2次试验中成功次数X EX ＝0×116＋1×38＋2×916＝32.法二：此试验满足二项分布，其中p ＝34，所以在2次试验中成功次数X 的均值为EX ＝np ＝2×34＝32.]7．设X 为随机变量，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，13，若随机变量X 的均值EX ＝2，则P (X ＝2)等于________． 80243 [由X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，13，EX ＝2，得 np ＝13n ＝2，∴n ＝6，则P (X ＝2)＝C 26⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫1－134＝80243.]8．某商场在儿童节举行回馈顾客活动，凡在商场消费满100元者即可参加射击赢玩具活动，具体规则如下：每人最多可射击3次，一旦击中，则可获奖且不再继续射击，否则一直射击到3次为止．设甲每次击中的概率为p (p ≠0)，射击次数为Y ，若Y 的数学期望EY >74，则P 的取值范围是________.【导学号：79140380】⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 [由已知得P (Y ＝1)＝p ，P (Y ＝2)＝(1－p )p ，P (Y ＝3)＝(1－p )2， 则EY ＝p ＋2(1－p )p ＋3(1－p )2＝p 2－3p ＋3>74，解得p >52或p <12，又p ∈(0,1)，所以p ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.]三、解答题9．在一袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4)，现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号．(1)求X 的分布列、期望和方差；(2)若Y ＝aX ＋b ，EY ＝1，DY ＝11，试求a ，b 的值． [解] (1)X 的取值为0,1,2,3,4，其分布列为∴EX ＝0×12＋1×120＋2×110＋3×20＋4×5＝1.5，DX ＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75.(2)由DY ＝a 2DX 得2.75a 2＝11，得a ＝±2， 又EY ＝aEX ＋b ，∴当a ＝2时，由1＝2×1.5＋b ，得b ＝－2； 当a ＝－2时，由1＝－2×1.5＋b ，得b ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝4.10．(2017·天津高考)从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14.(1)记X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望；(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率． [解] (1)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3.P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－12×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×⎝⎛⎭⎪⎫1－14＝14，P (X ＝1)＝12×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×⎝⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×13×⎝⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝⎛⎭⎪⎫1－12×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×14＝1124，P (X ＝2)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－12×13×14＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×14＋12×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝14，P (X ＝3)＝12×13×14＝124.所以，随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望EX ＝0×4＋1×24＋2×4＋3×124＝1312.(2)设Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P (Y ＋Z ＝1)＝P (Y ＝0，Z ＝1)＋P (Y ＝1，Z ＝0) ＝P (Y ＝0)P (Z ＝1)＋P (Y ＝1)P (Z ＝0) ＝14×1124＋1124×14＝1148. 所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148.B 组 能力提升11．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球数为X ，已知EX ＝3，则DX ＝( ) A.85 B.65 C.45D.25B [由题意，X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫5，3m ＋3. 又EX ＝5×3m ＋3＝3，所以m ＝2.则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，35，故DX ＝5×35×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＝65.] 12．一射击测试每人射击三次，每击中目标一次记10分，没有击中记0分．某人每次击中目标的概率为23，则此人得分的数学期望为________；方差为________.【导学号：79140381】202003 [记此人三次射击击中目标X 次，得分为Y 分，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，23，Y ＝10X ， 所以EY ＝10EX ＝10×3×23＝20，DY ＝100DX ＝100×3×23×13＝2003.] 13．(2018·云南二检)为吸引顾客，某公司在商场举办电子游戏活动．对于A ，B 两种游戏，每种游戏玩一次均会出现两种结果，而且每次游戏的结果相互独立，具体规则如下：玩一次游戏A ，若绿灯闪亮，获得50分，若绿灯不闪亮，则扣除10分(即获得－10分)，绿灯闪亮的概率为12；玩一次游戏B ，若出现音乐，获得60分，若没有出现音乐，则扣除20分(即获得－20分)，出现音乐的概率为25.玩多次游戏后累计积分达到130分可以兑换奖品．(1)记X 为玩游戏A 和B 各一次所得的总分，求随机变量X 的分布列和数学期望； (2)设某人玩5次游戏B ，求该人能兑换奖品的概率．[解] (1)随机变量X 的所有可能取值为110,50,30，－30，分别对应以下四种情况： 玩游戏A ，绿灯闪亮，且玩游戏B ，出现音乐； 玩游戏A ，绿灯不闪亮，且玩游戏B ，出现音乐； 玩游戏A ，绿灯闪亮，且玩游戏B ，没有出现音乐； 玩游戏A ，绿灯不闪亮，且玩游戏B ，没有出现音乐．所以P (X ＝110)＝12×25＝15，P (X ＝50)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－12×25＝15，P (X ＝30)＝12×⎝⎛⎭⎪⎫1－25＝310，P (X ＝－30)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－12×⎝⎛⎭⎪⎫1－25＝310.所以X 的分布列为故EX ＝110×15＋50×15＋30×10－30×10＝32.(2)设某人玩5次游戏B 的过程中，出现音乐n 次(0≤n ≤5，n ∈N ＋)，则没出现音乐5－n 次，依题意得60n －20(5－n )≥130，解得n ≥238，所以n ＝3或4或5.设“某人玩5次游戏B 能兑换奖品”为事件M ， 则P (M )＝C 35×⎝ ⎛⎭⎪⎫253×⎝ ⎛⎭⎪⎫352＋C 45×⎝ ⎛⎭⎪⎫254×35＋⎝ ⎛⎭⎪⎫255＝9923 125.。
2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版文科)： 课时分层训练21 正弦定理和余弦定理 文 北师大版
课时分层训练(二十一)正弦定理和余弦定理A 组基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为() A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．不确定B [由正弦定理得sin B cosC ＋sin C cos B ＝sin 2A ， ∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin(π－A )＝sin 2A ，sin A ＝sin 2A ．∵A ∈(0，π)，∴sin A ＞0，∴sin A ＝1，即A ＝π2.]2．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是()A ．有一解B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定C [由正弦定理得b sin B ＝csin C，∴sin B ＝b sin Cc＝40×3220＝3＞1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．]3．在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，∠C ＝120°，则AC ＝() A ．1 B ．2 C ．3D ．4A [由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ，即13＝AC 2＋9－2AC ×3×cos120°，化简得AC 2＋3AC －4＝0，解得AC ＝1或AC ＝－4(舍去)．故选A ．] 4．△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积等于()A ．32 B ．34 C ．32或 3 D ．32或34D [由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ， 即1＝3＋BC 2－3BC ，解得BC ＝1或BC ＝2，当BC ＝1时，△ABC 的面积S ＝12AB ·BC sin B ＝12×3×1×12＝34.当BC ＝2时，△ABC 的面积S ＝12AB ·BC sin B ＝12×3×2×12＝32.总上之，△ABC 的面积等于34或32.] 5．在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则sin A ＝()A ．310 B ．1010C ．55D ．31010D [过A 作AD ⊥BC 于D ，设BC ＝a ，由已知得AD ＝a 3.∵B ＝π4，∴AD ＝BD ，∴BD ＝AD ＝a3，DC ＝23a ，∴AC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23a 2＝53a，在△ABC 中，由正弦定理得a sin ∠BAC ＝53a sin 45°，∴sin ∠BAC ＝31010，故选D ．]二、填空题6．如图361所示，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin ∠BAC ＝223，AB ＝32，AD ＝3，则BD 的长为________．图3613[∵sin ∠BAC ＝sin(90°＋∠BAD )＝cos ∠BAD ＝223，∴在△ABD 中，有BD 2＝AB 2＋AD －2AB ·AD cos ∠BAD ， ∴BD 2＝18＋9－2×32×3×223＝3，∴BD ＝ 3.]7．已知△ABC 中，AB ＝3，BC ＝1，sin C ＝3cos C ，则△ABC 的面积为________．32[由sin C ＝3cos C 得tan C ＝3＞0，所以C ＝π3. 根据正弦定理可得BCsin A ＝ABsin C，即1sin A ＝332＝2， 所以sin A ＝12.因为AB ＞BC ，所以A ＜C ，所以A ＝π6，所以B ＝π2，即三角形为直角三角形，故S △ABC ＝12×3×1＝32.]8．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，则B ＝________.π3[由2b cos B ＝a cos C ＋c cos A 及正弦定理， 得2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A ． ∴2sin B cos B ＝sin(A ＋C )． 又A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋C ＝π－B ． ∴2sin B cos B ＝sin(π－B )＝sin B ． 又sin B ≠0，∴cos B ＝12.∴B ＝π3.]三、解答题9．已知△ABC 内接于单位圆，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a cos A ＝c cos B ＋b cos C ．(1)求cos A 的值；(2)若b 2＋c 2＝4，求△ABC 的面积． [解](1)∵2a cos A ＝c cos B ＋b cos C ， ∴2sin A ·cos A ＝sin C cos B ＋sin B cos C ， 即2sin A ·cos A ＝sin(B ＋C )＝sin A ． 4分又0＜A ＜π，∴sin A ≠0. ∴2cos A ＝1，cos A ＝12.6分(2)由(1)知cos A ＝12，∴sin A ＝32.∵△ABC 内接于单位圆，asin A ＝2R ＝2，∴a ＝2sin A ＝ 3.8分 由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得bc ＝b 2＋c 2－a 2＝4－3＝1， 10分 ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×1×32＝34.12分10．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，m ＝(sin B,5sin A ＋5sin C )与n ＝(5sin B－6sin C ，sin C －sin A )垂直． (1)求sin A 的值；(2)若a ＝22，求△ABC 的面积S 的最大值．[解](1)∵m ＝(sin B,5sin A ＋5sin C )与n ＝(5sin B －6sin C ，sin C －sin A )垂直，∴m ·n ＝5sin 2B －6sin B sinC ＋5sin 2C －5sin 2A ＝0， 即sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝6sinB sinC 5.3分根据正弦定理得b 2＋c 2－a 2＝6bc 5， 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35.∵A 是△ABC 的内角， ∴sin A ＝1－cos 2A ＝45.6分(2)由(1)知b 2＋c 2－a 2＝6bc 5，∴6bc 5＝b 2＋c 2－a 2≥2bc －a 2.8分又∵a ＝22，∴bc ≤10.∵△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝2bc5≤4，∴△ABC 的面积S 的最大值为4.12分B 组能力提升 (建议用时：15分钟)1．△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A ＝()A ．3π4B ．π3C ．π4D ．π6C [∵b ＝c ，∴B ＝C ．又由A ＋B ＋C ＝π得B ＝π2－A2.由正弦定理及a 2＝2b 2(1－sin A )得 sin 2A ＝2sin 2B (1－sin A )，即sin 2A ＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A 2(1－sin A )，即sin 2A ＝2cos 2A2(1－sin A )，即4sin 2A2cos 2A2＝2cos 2A2(1－sin A )，整理得cos 2A 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－sin A －2sin 2A 2＝0，即cos 2A2(cos A －sin A )＝0.∵0＜A ＜π，∴0＜A 2＜π2，∴cos A2≠0，∴cos A ＝sin A ．又0＜A ＜π，∴A ＝π4.]2．如图362，在△ABC 中，∠B ＝45°，D 是BC 边上的点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，则AB 的长为________．图362562[在△ADC 中，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3， 由余弦定理得cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC ＝－12，所以∠ADC ＝120°，∠ADB ＝60°.在△ABD 中，AD ＝5，∠B ＝45°，∠ADB ＝60°， 由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝ADsin B ，所以AB ＝562.]3．如图363，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝π3，AD ∶AB ＝2∶3，BD ＝7，AB ⊥BC ．图363(1)求sin ∠ABD 的值； (2)若∠BCD ＝2π3，求CD 的长.[解](1)∵AD ∶AB ＝2∶3，∴可设AD ＝2k ，AB ＝3k . 又BD ＝7，∠DAB ＝π3，∴由余弦定理，得(7)2＝(3k )2＋(2k )2－2×3k ×2k cos π3，解得k ＝1，∴AD ＝2，AB ＝3， sin ∠ABD ＝AD sin ∠DAB BD ＝2×327＝217.(2)∵AB ⊥BC ，∴cos ∠DBC ＝sin ∠ABD ＝217， ∴sin ∠DBC ＝277，∴BD sin ∠BCD ＝CDsin ∠DBC，∴CD ＝7×27732＝433.。
2019年高考数学一轮复习学案北师大版理科课时分层训练5函数的单调性与最值理
课时分层训练(五) 函数的单调性与最值A 组 基础达标一、选择题1．下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( )A ．y ＝2－xB ．y ＝xC ．y ＝log 2xD ．y ＝－1xB [由题知，只有y ＝2－x与y ＝x 的定义域为R ，且只有y ＝x 在R 上是增函数．] 2．(2017·广州七中期末)函数f (x )＝|x －2|x 的单调递减区间是( )【导学号：79140027】A ．[1,2]B ．[－1,0]C ．[0,2]D ．[2，＋∞)A [f (x )＝|x －2|x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x ＜2.其图像如图，由图像可知函数的单调递减区间是[1,2]．]3．已知函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，－1]C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)A [因为函数f (x )在(－∞，－1)上是单调函数，所以－a ≥－1，解得a ≤1.] 4．(2018·北京西城区二模)下列函数中，值域为[0,1]的是( )A ．y ＝x 2B ．y ＝sin xC ．y ＝1x 2＋1D ．y ＝1－x 2D [A 中，x 2≥0；B 中，－1≤sin x ≤1；C 中，0＜1x 2＋1≤1；D 中，0≤1－x 2≤1，故选D.]5．定义新运算○+：当a ≥b 时，a ○+b ＝a ；当a ＜b 时，a ○+b ＝b 2，则函数f (x )＝(1○+x )x －(2○+x )，x ∈[－2,2]的最大值等于( ) A ．－1 B ．1 C ．6D ．12C [由已知得，当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2， 当1＜x ≤2时，f (x )＝x 3－2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数， ∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.]二、填空题6．函数f (x )＝log 2(x 2－1)的单调递减区间为________．(－∞，－1) [由x 2－1＞0得x ＞1或x ＜－1，即函数f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．令t ＝x 2－1，因为y ＝log 2t 在t ∈(0，＋∞)上为增函数，t ＝x 2－1在x ∈(－∞，－1)上是减函数，所以函数f (x )＝log 2(x 2－1)的单调递减区间为(－∞，－1)．]7．函数f (x )＝1x －1在区间[a ，b ]上的最大值是1，最小值是13，则a ＋b ＝________. 【导学号：79140028】6 [易知f (x )在[a ，b ]上为减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧f a ＝1，f b ＝13，即⎩⎪⎨⎪⎧1a －1＝1，1b －1＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4.∴a ＋b ＝6.]8．已知函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a 的取值范围为________．(－∞，1]∪[2，＋∞) [函数f (x )＝x 2－2ax －3的图像开口向上，对称轴为直线x ＝a ，画出草图如图所示．由图像可知，函数在(－∞，a ]和[a ，＋∞)上都具有单调性，但单调性不同，因此要使函数f (x )在区间[1,2]上具有单调性，只需a ≤1或a ≥2，从而a ∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．] 三、解答题9．已知函数f (x )＝ax ＋1a(1－x )(a ＞0)，且f (x )在[0,1]上的最小值为g (a )，求g (a )的最大值.【导学号：79140029】[解] f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a x ＋1a ，当a ＞1时，a －1a＞0，此时f (x )在[0,1]上为增函数，∴g (a )＝f (0)＝1a ；当0＜a ＜1时，a －1a＜0，此时f (x )在[0,1]上为减函数，∴g (a )＝f (1)＝a ；当a ＝1时，f (x )＝1，此时g (a )＝1.∴g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，0＜a ＜1，1a，a ≥1.∴g (a )在(0,1)上为增函数，在[1，＋∞)上为减函数，∴当a ＝1时，g (a )取最大值1.10．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)上单调递增；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围． [解] (1)证明：设x 1＜x 2＜－2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝x 1－x 2x 1＋x 2＋.∵(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0， ∴f (x 1)＜f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增． (2)f (x )＝xx －a ＝x －a ＋a x －a ＝1＋ax －a，当a ＞0时，f (x )在(－∞，a )，(a ，＋∞)上是减函数， 又f (x )在(1，＋∞)内单调递减，∴0＜a ≤1，故实数a 的取值范围是(0,1]．B 组 能力提升11．定义在[－2,2]上的函数f (x )满足(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0，x 1≠x 2，且f (a 2－a )＞f (2a －2)，则实数a 的取值范围为( ) A ．[－1,2) B ．[0,2) C ．[0,1)D ．[－1,1)C [函数f (x )满足(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0，x 1≠x 2，∴函数在[－2,2]上单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a 2－a ≤2，－2≤2a －2≤2，2a －2＜a 2－a .∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤a ≤2，0≤a ≤2，a ＜1或a ＞2，∴0≤a ＜1，故选C.]12．(2017·衡水调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0，x 2－2x ，x ＜0.若f (－a )＋f (a )≤2f (1)，则a的取值范围是( ) A ．[－1,0) B ．[0,1] C ．[－1,1]D ．[－2,2]C [因为函数f (x )是偶函数，故f (－a )＝f (a )，原不等式等价于f (a )≤f (1)，即f (|a |)≤f (1)，而函数在[0，＋∞)上单调递增，故|a |≤1，解得－1≤a ≤1.]13．函数y ＝2x ＋kx －2与y ＝log 3(x －2)在(3，＋∞)上具有相同的单调性，则实数k 的取值范围是________．(－∞，－4) [由于y ＝log 3(x －2)在(3，＋∞)上为增函数，故函数y ＝2x ＋kx －2＝x －＋4＋k x －2＝2＋4＋kx －2在(3，＋∞)上也是增函数，则有4＋k ＜0，得k ＜－4.]14．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)证明：f (x )为单调递减函数；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值.【导学号：79140030】[解] (1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.(2)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1， 当x >1时，f (x )<0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)，∴函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数． (3)∵f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数， ∴f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)．由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫93＝f (9)－f (3)， 而f (3)＝－1，∴f (9)＝－2.∴f(x)在[2,9]上的最小值为－2.。
2019高考数学一轮复习学案(北师大理科)： 课时分层训练21 函数y=Asin(ωx+φ)的图像及应用理 (56)
课时分层训练(二) 命题及其关系、充分条件与必要条件A 组 基础达标一、选择题1．命题“若a ＞b ，则a －1＞b －1”的否命题是( )A ．若a ＞b ，则a －1≤b －1B ．若a ＞b ，则a －1＜b －1C ．若a ≤b ，则a －1≤b －1D ．若a ＜b ，则a －1＜b －1C [根据否命题的定义可知：命题“若a ＞b ，则a －1＞b －1”的否命题应为“若a ≤b ，则a －1≤b －1”．故选C.] 2．下列命题是真命题的是( )【导学号：79140009】A ．若1x ＝1y，则x ＝yB ．若x 2＝1，则x ＝1 C ．若x ＝y ，则x ＝yD ．若x ＜y ，则x 2＜y 2A [由1x ＝1y得x ＝y ，A 正确；由x 2＝1得x ＝±1，B 错误；由x ＝y ，x ，y 不一定有意义，C 错误；由x ＜y 不一定能得到x 2＜y 2，如x ＝－2，y ＝－1，D 错误，故选A.] 3．设M ＝{1,2}，N ＝{a 2}，则“a ＝1”是“N ⊆M ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 A [若N ⊆M ，则a 2＝1或a 2＝2， 解得a ＝±1或a ＝±2，所以“a ＝1”是“N ⊆M ”的充分不必要条件，故选A.]4．已知m ∈R ，“函数y ＝2x ＋m －1有零点”是“函数y ＝log m x 在(0，＋∞)上为减函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [若函数y ＝2x ＋m －1有零点，则m －1＜0，得m ＜1；若函数y ＝log m x 在(0，＋∞)上为减函数，则0＜m ＜1，由于(0,1)(－∞，1)，所以“函数y ＝2x ＋m －1有零点”是“函数y ＝log m x 在(0，＋∞)上为减函数”的必要不充分条件．] 5．若x ＞5是x ＞a 的充分条件，则实数a 的取值范围为( )A．a＞5 B．a≥5C．a＜5 D．a≤5D[由x＞5是x＞a的充分条件知，{x|x＞5}⊆{x|x＞a}．∴a≤5，故选D.] 6．(2018·青岛质检)已知λ∈R，向量a＝(3，λ)，b＝(λ－1,2)，则“λ＝3”是“a∥b”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[由题意得a∥b⇔3×2－λ(λ－1)＝0，解得λ＝－2或λ＝3，所以“λ＝3”是“a∥b”的充分不必要条件，故选A.]7．(2017·浙江高考)已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d>0”是“S4＋S6>2S5”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件C[法一：∵数列{a n}是公差为d的等差数列，∴S4＝4a1＋6d，S5＝5a1＋10d，S6＝6a1＋15d，∴S4＋S6＝10a1＋21d,2S5＝10a1＋20d.若d>0，则21d>20d,10a1＋21d>10a1＋20d，即S4＋S6>2S5.若S4＋S6>2S5，则10a1＋21d>10a1＋20d，即21d>20d，∴d>0.∴“d>0”是“S4＋S6>2S5”的充分必要条件．故选C.法二：∵S4＋S6>2S5⇔S4＋S4＋a5＋a6>2(S4＋a5)⇔a6>a5⇔a5＋d>a5⇔d>0，∴“d>0”是“S4＋S6>2S5”的充分必要条件．故选C.]二、填空题8．(2017·北京高考)能够说明“设a，b，c是任意实数．若a>b>c，则a＋b>c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为________．－1，－2，－3(答案不唯一) [只要取一组满足条件的整数即可．如－1，－2，－3；－3，－4，－6；－4，－7，－10等．]9．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称的充要条件是________．m ＝－2 [∵f (x )＝x 2＋mx ＋1图像的对称轴为直线x ＝－m2，∴f (x )的图像关于直线x＝1对称⇔－m2＝1⇔m ＝－2.]10．已知集合A ＝{x |y ＝lg(4－x )}，集合B ＝{x |x ＜a }，若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________.【导学号：79140010】(4，＋∞) [A ＝{x |x ＜4}，由题意知A B ，所以a ＞4.]B 组 能力提升11．“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－4ax ＋3在区间[2，＋∞)上为增函数”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件B [函数f (x )＝x 2－4ax ＋3在区间[2，＋∞)上为增函数等价于－－4a 2＝2a ≤2，即a ≤1，所以“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－4ax ＋3在区间[2，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件，故选B.]12．(2018·石家庄质检(二))在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则“sin A ＞sin B ”是“a ＞b ”的( )【导学号：79140011】A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件C [由正弦定理a sin A ＝bsin B＝2R (R 为三角形外接圆半径)得，a ＝2R sin A ，b ＝2R sinB ，故sin A ＞sin B ⇔2R sin A ＞2R sin B ⇔a ＞b .]13．已知命题p ：x 2＋2x －3>0；命题q ：x >a ，且﹁q 的一个充分不必要条件是﹁p ，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1] B ．[1，＋∞) C ．[－1，＋∞)D ．(－∞，－3]B [解x 2＋2x －3>0，得x <－3或x >1，故﹁p ：－3≤x ≤1，又﹁q ：x ≤a ，由﹁q 的一个充分不必要条件是﹁p ，可知﹁p 是﹁q 的充分不必要条件，故a ≥1.]14．(2016·四川高考)设p ：实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2，q ：实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，则p 是q 的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [p 表示以点(1,1)为圆心，2为半径的圆面(含边界)，如图所示．q 表示的平面区域为图中阴影部分(含边界)． 由图可知，p 是q 的必要不充分条件．] 15．有下列几个命题：①“若a ＞b ，则a 2＞b 2”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题； ③“若x 2＜4，则－2＜x ＜2”的逆否命题． 其中真命题的序号是________.【导学号：79140012】②③ [①原命题的否命题为“若a ≤b ，则a 2≤b 2”错误． ②原命题的逆命题为：“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”正确． ③原命题的逆否命题为“若x ≥2或x ≤－2，则x 2≥4”正确．]16．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12＜2x＜8，x ∈R ，B ＝{x |－1＜x ＜m ＋1，x ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________．(2，＋∞) [A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12＜2x＜8，x ∈R ＝{x |－1＜x ＜3}，∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ， ∴A B ，∴m ＋1＞3，即m ＞2.]。
2019高考数学一轮复习学案(北师大理科)： 课时分层训练21 函数y=Asin(ωx+φ)的图像及应用理 (47)
课时分层训练(六十七) 几何概型A 组 基础达标一、选择题1．在区间[0，π]上随机取一个实数x ，使得sin x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12的概率为( ) A.1πB.2πC.13D.23C [由0≤sin x ≤12，且x ∈[0，π]，解得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤56π，π.故所求事件的概率P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π－56π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－0π－0＝13.]2．若将一个质点随机投入如图1066所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是()图1066A.π2B.π4C.π6D.π8B [设质点落在以AB 为直径的半圆内为事件A ，则P (A )＝阴影面积长方形面积＝12π·121×2＝π4.]3．(2018·深圳二调)设实数a ∈(0,1)，则函数f (x )＝x 2－(2a ＋1)x ＋a 2＋1有零点的概率为( )【导学号：79140364】A.34 B.23 C.13D.14D [由函数f (x )＝x 2－(2a ＋1)x ＋a 2＋1有零点，可得Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋1)＝4a －3≥0，解得a ≥34，即有34≤a <1，结合几何概型的概率计算公式可得所求的概率为P ＝1－341－0＝14，故选D.] 4．(2018·湖北调考)已知圆C ：x 2＋y 2＝4，直线l ：y ＝x ，则圆C 上任取一点A 到直线l 的距离小于1的概率为( ) A.34 B.23 C.12 D.13D[如图所示，设与y ＝x 平行的两直线AD ，BF 交圆C 于点A ，D ，B ，F ，且它们到直线y ＝x 的距离相等，过点A 作AE 垂直于直线y ＝x ，垂足为E ，当点A 到直线y ＝x 的距离为1时，AE ＝1，又CA ＝2，则∠ACE ＝π6，所以∠ACB ＝∠FCD ＝π3，所以所求概率P ＝2π32π＝13，故选D.]5．已知正三棱锥S ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P ABC ＜12V S ABC的概率是( ) A.78 B.34 C.12D.14A [当点P 到底面ABC 的距离小于32时，V P ABC ＜12V S ABC .由几何概型知，所求概率为P ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝78.]6．(2018·西宁检测(一))已知平面区域D 1＝{(x ，y )||x |<2，|y |<2}，D 2＝{(x ，y )|(x －2)2＋(y －2)2<4}，在区域D 1内随机选取一点P ，则点P 恰好取自区域D 2的概率是( )A.14B.π4C.π16D.π32C [平面区域D 1是边长为4的正方形，面积是16，其中区域D 1与D 2的公共部分是半径为2的14圆，其面积为14×π×22＝π，则所求概率为π16，故选C.]7．(2016·全国卷Ⅱ)从区间[0,1]内随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( ) A.4nmB.2nmC.4mnD.2mnC [因为x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n 都在区间[0,1]内随机抽取，所以构成的n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )都在正方形OABC 内(包括边界)，如图所示．若两数的平方和小于1，则对应的数对在扇形OAC 内(不包括扇形圆弧上的点所对应的数对)，故在扇形OAC 内的数对有m 个．用随机模拟的方法可得S 扇形S 正方形＝m n ，即π4＝m n ，所以π＝4mn.]二、填空题8.如图1067所示，在直角坐标系内，射线OT 落在30°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠yOT 内的概率为________．图106716 [如题图，因为射线OA 在坐标系内是等可能分布的，则OA 落在∠yOT 内的概率为60°360°＝16.]9．一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为________． 127[由已知条件，可知蜜蜂只能在一个棱长为1的小正方体内飞行，结合几何概型，可得蜜蜂“安全飞行”的概率为P ＝1333＝127.]10．正方形的四个顶点A (－1，－1)，B (1，－1)，C (1,1)，D (－1,1)分别在抛物线y ＝－x2和y ＝x 2上，如图1068所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是________.【导学号：79140365】图106823 [由对称性，S 阴影＝4⎠⎛01(1－x 2)d x ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 33⎪⎪⎪10＝83. 又S 正方形ABCD ＝2×2＝4，由几何概型，质点落在阴影区域的概率P ＝S 阴S 正方形ABCD ＝23.]B 组 能力提升11．设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为( )A.34＋12πB.12＋1πC.12－1πD.14－12πD [|z |＝(x －1)2＋y 2≤1，即(x －1)2＋y 2≤1，表示的是圆及其内部，如图所示．当|z |≤1时，y ≥x 表示的是图中阴影部分．因为S 圆＝π×12＝π，S 阴影＝π4－12×12＝π－24. 故所求事件的概率P ＝S 阴影S 圆＝π－24π＝14－12π.]12．在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≤12”的概率，p 2为事件“xy ≤12”的概率，则( ) A ．p 1<p 2<12B ．p 2<12<p 1C ．12<p 2<p 1 D ．p 1<12<p 2D [如图，满足条件的x ，y 构成的点(x ，y )在正方形OBCA 内，其面积为1.事件“x ＋y ≤12”对应的图形为阴影△ODE (如图(1))，其面积为12×12×12＝18，故p 1＝18<12，事件“xy ≤12”对应的图形为斜线表示部分(如图(2))，其面积显然大于12，故p 2>12，则p 1<12<p 2，故选D.]13. (2018·太原模拟(二))如图1069，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形(阴影部分)围成一个大正方形，中间空出一个小正方形组成的图形，若在大正方形内随机取一点，该点落在小正方形的概率为15，则图中直角三角形中较大锐角的正弦值为()图1069A.55B.255 C.15D.33B [设大正方形边长为a ，直角三角形中较大锐角为θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，则小正方形的面积为a 2－4×12×a cos θ×a sin θ＝a 2－a 2sin 2θ，则由题意，得a 2－a 2sin 2θa 2＝15，解得sin 2θ＝45.因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以sin θ＋cos θ＝1＋sin 2θ＝35 ①，sin θ－cos θ＝1－sin 2θ＝15②.由①＋②解得sin θ＝255，故选B.]14．(2018·贵州适应性考试)已知区域Ω＝{(x ，y )||x |≤2，0≤y ≤2}，由直线x ＝－π3，x ＝π3，曲线y ＝cos x 与x 轴围成的封闭图形所表示的区域记为A .若在区域Ω内随机取一点P ，则点P 在区域A 内的概率为( ) A.24 B.12 C.34D.64C [区域Ω＝{(x ，y )||x |≤2，0≤y ≤2}对应的区域是矩形，面积为22×2＝4，区域A 的面积为2⎠⎜⎛0π3cos x d x ＝2sin π3＝3，由几何概型的概率计算公式得所求的概率为P ＝34，故选C .]15．在三棱锥P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，PA ＝1，AB ＝AC ＝3，∠BAC ＝120°，D 为棱BC 上一个动点，设直线PD 与平面ABC 所成的角为θ，则θ不大于45°的概率为________.【导学号：79140366】23 [因为tan θ＝PA AD ＝1AD≤1，所以AD ≥1.在等腰三角形ABC 中，当BD ≤1或CD ≤1时，AD ≥1，又BC ＝3，故所求概率为23.]16.如图10610，正四棱锥S ABCD 的顶点都在球面上，球心O 在平面ABCD 上，在球O 内任取一点，则这点取自正四棱锥内的概率为________．图106101 2π[设球的半径为R，则所求的概率为P＝V锥V球＝13×12×2R×2R·R43πR3＝12π.]。
2019高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大理)： 分层训练21 函数y=Asin(ωx+φ)的图像应用理 (65)
课时分层训练(十一) 函数与方程A 组 基础达标一、选择题1．若函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( )A ．0,2B ．0，12C ．0，－12D ．2，－12C [由题意知2a ＋b ＝0，即b ＝－2a .令g (x )＝bx 2－ax ＝0，得x ＝0或x ＝a b ＝－12.]2．已知函数y ＝f (x )的图像是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：则函数y ＝f (x A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．5个B [由零点存在性定理及题中的对应值表可知，函数f (x )在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)内均有零点，所以y ＝f (x )在[1,6]上至少有3个零点．故选B.]3．(2017·广东揭阳一模)曲线y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x与y ＝x 12的交点横坐标所在区间为( )【导学号：79140063】A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，14．已知三个函数f (x )＝2x＋x ，g (x )＝x －2，h (x )＝log 2x ＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则( )A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜a ＜cD ．c ＜a ＜bB [由于f (－1)＝12－1＝－12＜0，f (0)＝1＞0，且f (x )为R 上的增函数，故f (x )＝2x＋x 的零点a ∈(－1,0)．因为g (x )是R 上的增函数，g (2)＝0，所以g (x )的零点b ＝2.因为h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－1＋12＝－12＜0，h (1)＝1＞0，且h (x )为(0，＋∞)上的增函数，所以h (x )的零点c ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，因此a ＜c ＜b .]5．(2018·合肥第一次质检)从[－2,2]中随机选取一个实数a ，则函数f (x )＝4x－a ·2x ＋1＋1有零点的概率是( ) A.14 B.13 C.12D.23A [函数f (x )有零点，即f (x )＝4x －2a ·2x ＋1＝0有解，则2a ＝2x＋12x ≥2，a ≥1，当且仅当x ＝0时，等号成立．所求概率为2－12＋2＝14，故选A.]二、填空题6．已知关于x 的方程x 2＋mx －6＝0的一个根比2大，另一个根比2小，则实数m 的取值范围是________．(－∞，1) [设函数f (x )＝x 2＋mx －6，则根据条件有f (2)＜0，即4＋2m －6＜0，解得m ＜1.]7．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －2，x ≤0，－1＋ln x ，x ＞0的零点所构成的集合为________．{－2，e} [由f (x )＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2＋x －2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－1＋ln x ＝0，解得x ＝－2或x ＝e.]8．若函数f (x )＝|2x－2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是__________.【导学号：79140064】(0,2) [由f (x )＝|2x－2|－b ＝0得|2x－2|＝b .在同一平面直角坐标系中画出y ＝|2x－2|与y ＝b 的图像，如图所示，则当0<b <2时，两函数图像有两个交点，从而函数f (x )＝|2x－2|－b 有两个零点．] 三、解答题9．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x 2＋14.证明：存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，使f (x 0)＝x 0.[证明] 令g (x )＝f (x )－x .∵g (0)＝14，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12＝－18，∴g (0)·g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜0. 又函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上连续， ∴存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，使g (x 0)＝0， 即f (x 0)＝x 0.10．设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x (x ＞0)．(1)作出函数f (x )的图像；(2)当0＜a ＜b ，且f (a )＝f (b )时，求1a ＋1b的值；(3)若方程f (x )＝m 有两个不相等的正根，求m 的取值范围．[解] (1)如图所示．(2)因为f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x ＝故f (x )在(0,1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数，由0＜a ＜b 且f (a )＝f (b )，得0＜a ＜1＜b ，且1a －1＝1－1b ，所以1a ＋1b＝2.(3)由函数f (x )的图像可知，当0＜m ＜1时，方程f (x )＝m 有两个不相等的正根．B 组 能力提升11．已知f (x )是奇函数且是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( ) A.14 B.18 C ．－78D ．－38C [令y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0，则f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )＝f (x －λ)，因为f (x )是R 上的单调函数，所以2x 2＋1＝x －λ只有一个实根，即2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－78.故选C.]12．(2018·杭州质检)设方程x ＝ln(ax )(a ≠0，e 为自然对数的底数)，则( )A ．当a ＜0时，方程没有实数根B ．当0＜a ＜e 时，方程有一个实数根C ．当a ＝e 时，方程有三个实数根D ．当a ＞e 时，方程有两个实数根D [由x ＝ln(ax )得e x＝ax ，则函数y ＝e x，y ＝ax 图像的交点个数是原方程根的个数．当a ＜0时，在第二象限有一个根，A 错误；设过原点的直线与y ＝e x相切的切点坐标为(x 0，e x 0)，则e x 0＝ex 0x 0，x 0＝1，则切线斜率为e ，所以当0＜a ＜e 时，方程无根；当a ＝e 时，方程有一个实数根；当a ＞e 时，方程有两个实数根，D 正确，故选D.]13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m的取值范围是________．(0,1) [函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，转化为f (x )－m ＝0的根有3个，进而转化为y ＝f (x )，y ＝m 的交点有3个．画出函数y ＝f (x )的图像，则直线y ＝m 与其有3个公共点．又抛物线顶点为(－1,1)，由图可知实数m 的取值范围是(0,1)．]14．已知二次函数f (x )的最小值为－4，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝f (x )x－4ln x 的零点个数. 【导学号：79140065】[解] (1)∵f (x )是二次函数，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }，∴f (x )＝a (x ＋1)(x －3)＝ax 2－2ax －3a ，且a ＞0.∴f (x )min ＝f (1)＝－4a ＝－4，a ＝1.故函数f (x )的解析式为f (x )＝x 2－2x －3.(2)∵g (x )＝x 2－2x －3x －4ln x ＝x －3x －4ln x －2(x ＞0)，∴g ′(x )＝1＋3x 2－4x＝(x －1)(x －3)x2. 令g ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝3.当x 变化时，g ′(x )，g (x )的取值变化情况如下：所以当又因为g (x )在(3，＋∞)上单调递增，且g (3)＜0，g (e 3)＞0，所以g (x )在(3，＋∞)上只有1个零点．故g (x )在(0，＋∞)上仅有1个零点．。
2019高考数学一轮复习学案(北师大理科)： 课时分层训练21 函数y=Asin(ωx+φ)的图像及应用理 (51)
课时分层训练(七十一) 坐标系1．若函数y ＝f (x )的图像在伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 的作用下得到曲线的方程为y ′＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ′＋π6，求函数y ＝f (x )的最小正周期．[解] 由题意，把变换公式代入曲线方程y ′＝3 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ′＋π6得3y ＝3 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，整理得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.所以y ＝f (x )的最小正周期为2π2＝π.2．在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN的面积．[解] (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0. (2)法一：将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝2， 故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12.法二：直线C 3的直角坐标方程为x －y ＝0，圆C 2的圆心C 2(1,2)到直线C 3的距离d ＝12＝22，圆C 2的半径为1， 所以|MN |＝2×12－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝2，所以△C 2MN 的面积为12.3．(2018·合肥一检)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝3＋3t(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标轴中，曲线C 的方程为sin θ－3ρ cos 2θ＝0.(1)求曲线C 的直线坐标方程；(2)写出直线l 与曲线C 交点的一个极坐标． [解] (1)∵sin θ－3ρcos 2θ＝0， ∴ρsin θ－3ρ2cos 2θ＝0，即y －3x 2＝0. (2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝3＋3t ，代入y －3x 2＝0，得3＋3t －3⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t 2＝0，即t ＝0.从而交点坐标为(1，3)．∴交点的一个极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3.4．在直角坐标系xOy中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α<π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值.【导学号：79140387】[解] (1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0，联立⎩⎨⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝⎛⎭⎪⎫32，32. (2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α<π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)． 所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3. 当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4.5．(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t (t 为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .[解] (1)消去参数t 得到C 1的普通方程为x 2＋(y －1)2＝a 2，则C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0， 由已知tan θ＝2，得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0， 从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1. 当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，且在C 3上． 所以a ＝1.6．(2018·湖北调考)在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2 sin θ，正方形ABCD 的顶点都在C 1上，且依次按逆时针方向排列，点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π4.(1)求点C 的直角坐标；(2)若点P 在曲线C 2：x 2＋y 2＝4上运动，求|PB |2＋|PC |2的取值范围.【导学号：79140388】[解] (1)点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4的直角坐标为(1,1)． 由A ，C 关于y 轴对称，则C (－1,1)． (2)易得B (0,2)，C (－1,1)．曲线C 1：ρ＝2sin θ的直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝1. 设P (x ，y )，x ＝2cos θ，y ＝2sin θ， 则|PB |2＋|PC |2＝x 2＋(y －2)2＋(x ＋1)2＋(y －1)2＝2x 2＋2y 2－6y ＋2x ＋6 ＝14＋2(x －3y )＝14＋2(2cos θ－6sin θ)＝14＋4(cos θ－3sin θ)＝14＋410cos(θ＋φ)．所以|PB|2＋|PC|2∈[14－410，14＋410]．。
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课时分层训练(五) 函数的单调性与最值
A 组 基础达标
一、选择题
1．下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( )
A ．y ＝2－x
B ．y ＝x
C ．y ＝log 2x
D ．y ＝－1
x
B [由题知，只有y ＝2－x
与y ＝x 的定义域为R ，且只有y ＝x 在R 上是增函数．] 2．(2017·广州七中期末)函数f (x )＝|x －2|x 的单调递减区间是( )
【导学号：79140027】
A ．[1,2]
B ．[－1,0]
C ．[0,2]
D ．[2，＋∞)
A [
f (x )＝|x －2|x ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
－2x ，x ≥2，
－x 2
＋2x ，x ＜2.其图像如图，
由图像可知函数的单调递减区间是[1,2]．]
3．已知函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，则a 的取值范围是( )
A ．(－∞，1]
B ．(－∞，－1]
C ．[－1，＋∞)
D ．[1，＋∞)
A [因为函数f (x )在(－∞，－1)上是单调函数，所以－a ≥－1，解得a ≤1.] 4．(2018·北京西城区二模)下列函数中，值域为[0,1]的是( )
A ．y ＝x 2
B ．y ＝sin x
C ．y ＝
1x 2
＋1
D ．y ＝1－x 2
D [A 中，x 2
≥0；B 中，－1≤sin x ≤1；C 中，0＜1x 2＋1
≤1；D 中，0≤1－x 2
≤1，故选D.]
5．定义新运算○
+：当a ≥b 时，a ○+b ＝a ；当a ＜b 时，a ○+b ＝b 2
，则函数f (x )＝(1○+x )x －(2○+x )，x ∈[－2,2]的最大值等于( ) A ．－1 B ．1 C ．6
D ．12
C [由已知得，当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2， 当1＜x ≤2时，f (x )＝x 3
－2.
∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数， ∴f (x )的最大值为f (2)＝23
－2＝6.]
二、填空题
6．函数f (x )＝log 2(x 2
－1)的单调递减区间为________．
(－∞，－1) [由x 2
－1＞0得x ＞1或x ＜－1，即函数f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
令t ＝x 2
－1，因为y ＝log 2t 在t ∈(0，＋∞)上为增函数，
t ＝x 2－1在x ∈(－∞，－1)上是减函数，所以函数f (x )＝log 2(x 2－1)的单调递减区
间为(－∞，－1)．]
7．函数f (x )＝
1x －1在区间[a ，b ]上的最大值是1，最小值是1
3
，则a ＋b ＝________. 【导学号：79140028】
6 [易知f (x )在[a ，b ]上为减函数，
∴⎩
⎪⎨⎪
⎧
f a ＝1，f b ＝1
3，即⎩⎪⎨⎪⎧
1
a －1＝1，1
b －1＝1
3，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝2，
b ＝4.
∴a ＋b ＝6.]
8．已知函数f (x )＝x 2
－2ax －3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a 的取值范围为________．
(－∞，1]∪[2，＋∞) [函数f (x )＝x 2
－2ax －3的图像开口向上，对称轴为直线x ＝a ，画出草图如图所示．
由图像可知，函数在(－∞，a ]和[a ，＋∞)上都具有单调性，但单调性不同，因此要使函数f (x )在区间[1,2]上具有单调性，只需a ≤1或a ≥2，从而a ∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．] 三、解答题
9．已知函数f (x )＝ax ＋1
a
(1－x )(a ＞0)，且f (x )在[0,1]上的最小值为g (a )，求g (a )的最
大值.
【导学号：79140029】
[解] f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫a －1a x ＋1a ，当a ＞1时，
a －1a
＞0，此时f (x )在[0,1]上为增函数，∴g (a )
＝f (0)＝1a ；当0＜a ＜1时，a －1
a
＜0，此时f (x )在[0,1]上为减函数，∴g (a )＝f (1)
＝a ；当a ＝1时，f (x )＝1，此时g (a )＝1.∴g (a )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
a ，0＜a ＜1，1
a
，a ≥1.∴g (a )在(0,1)
上为增函数，在[1，＋∞)上为减函数，∴当a ＝1时，g (a )取最大值1.
10．已知f (x )＝
x
x －a
(x ≠a )．
(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)上单调递增；
(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围． [解] (1)证明：设x 1＜x 2＜－2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2
x 2＋2
＝
x 1－x 2
x 1＋x 2＋
.
∵(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0， ∴f (x 1)＜f (x 2)，
∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增． (2)f (x )＝
x
x －a ＝
x －a ＋a x －a ＝1＋a
x －a
，
当a ＞0时，f (x )在(－∞，a )，(a ，＋∞)上是减函数， 又f (x )在(1，＋∞)内单调递减，
∴0＜a ≤1，故实数a 的取值范围是(0,1]．
B 组 能力提升
11．定义在[－2,2]上的函数f (x )满足(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0，x 1≠x 2，且f (a 2
－a )＞f (2a －2)，则实数a 的取值范围为( ) A ．[－1,2) B ．[0,2) C ．[0,1)
D ．[－1,1)
C [函数f (x )满足(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0，x 1≠x 2，∴函数在[－2,2]上单调递增，∴⎩⎪⎨⎪
⎧
－2≤a 2
－a ≤2，－2≤2a －2≤2，2a －2＜a 2－a .
∴⎩⎪⎨⎪
⎧
－1≤a ≤2，0≤a ≤2，a ＜1或a ＞2，
∴0≤a ＜1，故选C.]
12．(2017·衡水调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
＋2x ，x ≥0，x 2
－2x ，x ＜0.
若f (－a )＋f (a )≤2f (1)，则a
的取值范围是( ) A ．[－1,0) B ．[0,1] C ．[－1,1]
D ．[－2,2]
C [因为函数f (x )是偶函数，故f (－a )＝f (a )，原不等式等价于f (a )≤f (1)，即
f (|a |)≤f (1)，而函数在[0，＋∞)上单调递增，故|a |≤1，解得－1≤a ≤1.]
13．函数y ＝2x ＋k
x －2与y ＝log 3(x －2)在(3，＋∞)上具有相同的单调性，则实数k 的取值范
围是________．
(－∞，－4) [由于y ＝log 3(x －2)在(3，＋∞)上为增函数，故函数y ＝
2x ＋k
x －2
＝x －＋4＋k x －2＝2＋4＋k
x －2
在(3，＋∞)上也是增函数，则有4＋k ＜0，得k ＜－4.]
14．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 1x
2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.
(1)求f (1)的值；
(2)证明：f (x )为单调递减函数；
(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值.
【导学号：79140030】
[解] (1)令x 1＝x 2>0，
代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.
(2)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2
>1， 当x >1时，f (x )<0，∴f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 1x 2<0，
即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)，
∴函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数． (3)∵f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数， ∴f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)．
由f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，得f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫93
＝f (9)－f (3)， 而f (3)＝－1，∴f (9)＝－2.
∴f(x)在[2,9]上的最小值为－2.。