高一数学-宿迁市2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷

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XXX2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含答案

XXX2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含答案XXX2015-2016学年度第一学期期末考试高一数学一、选择题：本大题共8小题，共40分。

1.设全集 $U=\{1,2,3,4,5,6\}$，集合 $M=\{1,4\}$，$N=\{1,3,5\}$，则 $N\cap (U-M)=()$A。

$\{1\}$ B。

$\{3,5\}$ C。

$\{1,3,4,5\}$ D。

$\{1,2,3,5,6\}$2.已知平面直角坐标系内的点 $A(1,1)$，$B(2,4)$，$C(-1,3)$，则 $AB-AC=()$A。

$22$ B。

$10$ C。

$8$ D。

$4$3.已知 $\sin\alpha+\cos\alpha=-\frac{1}{\sqrt{10}}$，$\alpha\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$，则 $\tan\alpha$ 的值是（）A。

$-\frac{3}{4}$ B。

$-\frac{4}{3}$ C。

$\frac{3}{4}$ D。

$\frac{4}{3}$4.已知函数 $f(x)=\sin(\omega x+\frac{\pi}{4})$（$x\inR,\omega>0$）的最小正周期为 $\pi$，为了得到函数$g(x)=\cos\omega x$ 的图象，只要将 $y=f(x)$ 的图象（）：A.向左平移 $\frac{\pi}{4}$ 个单位长度B.向右平移$\frac{\pi}{4}$ 个单位长度C.向左平移 $\frac{\pi}{2}$ 个单位长度D.向右平移$\frac{\pi}{2}$ 个单位长度5.已知 $a$ 与 $b$ 是非零向量且满足 $3a-b\perp a$，$4a-b\perp b$，则 $a$ 与 $b$ 的夹角是（）A。

$\frac{\pi}{4}$ B。

$\frac{\pi}{3}$ C。

江苏省宿迁市2015-2016学年高一数学下学期期末考试试题

宿迁市2015-2016学年高一下学期期末考试数学（考试时间120分钟，试卷满分160分)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知直线l 经过点(2,0)A -，(5,3)B -，则直线l 的倾斜角为 ▲ ．2．在ABC ∆中，已知AB =，1AC =，30A = ，则ABC ∆的面积为 ▲ ． 3．不等式(1)0x x ->的解集为 ▲ ．4．经过点(1,2)-，且与直线052=-+y x 平行的直线方程为 ▲ ．5．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bc a c b =-+222，则角A 的大小为 ▲ ．6．在数列{}n a 中，已知11a =，且1n n a a n +=+，*n ∈N ，则9a 的值为 ▲ ． 7．已知正四棱锥底面边长为2，则此四棱锥的体积为 ▲ ．8．已知直线1:(2)10l ax a y +++=，2:20l x ay ++=，若21l l ⊥，则实数a 的值为 ▲ ． 9．若实数x ，y 满足条件,4,3120y x x y x y ⎧⎪+⎨⎪-+⎩≥≥≥，则2z x y =+的最大值为 ▲ ．10．在等比数列{}n a 中，已知22a =，832a =，则5a 的值为 ▲ ．11．已知实数x ，y 满足42=-y x ，则yx ⎪⎭⎫⎝⎛+214的最小值为 ▲ ．12．已知m ，n 表示两条不同的直线，α表示平面，则下列四个命题中，所有正确命题的序号为 ▲ ． ① 若m α⊥，n α⊥，则n m //； ② 若m α⊥，n α⊂，则n m ⊥； ③ 若m α⊥，m n ⊥，则α//n ； ④ 若//m α，//n α，则n m //． 13．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11,1,1,2,n n a n n =⎧=⎨+⎩≥*n ∈N ，则n Sn 的最小值为 ▲ ．14．已知直线l 的方程为0=++c by ax ，其中a ，b ，c 成等差数列，则原点O 到直线l 距离的最大值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，15-17题每小题14分，18-20题每小题16分，共计90分．请在答．题卡指定区域内作答．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知AB AC =，D F ，分别是棱BC ，11B C 的中点，E 是棱1CC 上的一点．求证： (1)直线1A F //平面ADE ；(2)直线1A F ⊥直线DE ．16．已知α,(0,)2βπ∈,π3sin()45α-=，21tan =β．(1) 求αsin 的值；(2) 求)2tan(βα+的值．17．已知直线l 的方程为210x my m +--=，m ∈R 且0m ≠．(1) 若直线l 在x 轴，y 轴上的截距之和为6，求实数m 的值；(2) 设直线l 与x 轴，y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求AOB ∆面积最小时直线l 的方程．BACDE A 1C 1B 1F（第15题）18．如图，洪泽湖湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台P ，已知射线AB ，AC 为湿地两边夹角为120 的公路（长度均超过2千米），在两条公路AB ，AC 上分别设立游客接送点M ，N ，从观景台P 到M ，N 建造两条观光线路PM ，PN ，测得2AM =千米，2AN =千米．(1) 求线段MN 的长度；(2) 若60MPN ∠= ，求两条观光线路PM 与PN 之和的最大值．19．已知函数22()24f x x ax a =-+-，8)(22-+-=a x x x g ，a ∈R ．(1) 当1a =时，解不等式()0f x <；(2) 若对任意0>x ，都有)()(x g x f >成立，求实数a 的取值范围；(3) 若对任意[]1,01∈x ，总存在[]1,02∈x ，使得不等式)()(21x g x f >成立，求实数a 的取值范围．20．在等差数列{}n a 中，已知11a =，公差0d ≠，且1a ，2a ，5a 成等比数列，数列{}n b 的前n 项和为n S ，11b =，22b =，且243n n S S +=+，*n ∈N ．(1) 求n a 和n b ；(2) 设(1)n n n c a b =- ，数列{}n c 的前n 项和为n T ，若(1)n λ-≤2(3)n n T n +-对任意*n ∈N 恒成立，求实数λ的取值范围．MBNC P(第18题)宿迁市2015—2016学年度第二学期高一年级期末调研测试数学参考答案及评分标准一、填空题 1.34p(0,1) 4.20x y += 5.3p 6.37 7.838.0a =或3a =- 9. 18 10. 8± 11.8 12. ①② 13.234二、解答题15.（1）连结DF ，因为三棱柱111C B A ABC -为直三棱柱，D F ，分别是棱11,C B BC 上的中点，所以1//BB DF 且1BB DF =，11//BB AA 且11BB AA =．所以1//AA DF 且1AA DF =，所以四边形1AA FD 为平行四边形， …………………………………4分所以1A F ∥AD ，又因为1A F ⊄平面A D F ，AD ⊂平面A D F所以直线//1F A 平面ADE ． ………………………………………6分（2）因为AC AB =，D 是棱BC 的中点，所以AD BC ⊥．………………………………………8分又三棱柱111C B A ABC -为直三棱柱，所以1BB ⊥面ABC ．又因为AD ⊂面ABC ，所以1AD BB ⊥． ………………………………………10分因为1BC BB ⊂，面11BB C C ，且1=BC BB B所以AD ⊥面11BB C C ， ……………………………………………………………………12分又因为DE ⊂面11BB C C ，所以直线⊥AD 直线DE ． ………………………………………14分 16.（1）因为π(0,)2α∈，所以πππ(,)444α-∈-，故π4cos()45α-=． ……………………………………2分所以ππππsin =sin +=sin()cos +cos()sin 4444---a a a a a a 轾骣÷ç犏÷ç÷犏ç÷桫臌……………………5分 BA CDE A 1C 1B 1F=102722542253=⨯+⨯． …………………………………………………………6分（2）因为π(0,)2α∈，由（1）知，cos 10α=8分所以tan 7α= ………………………………………9分因为1tan 2β=，所以22tan 14tan 211tan 314βββ===--． ………………………………………12分故47tan tan 23tan(2)141tan tan 2173αβαβαβ+++===--⋅-⨯． ………………………………14分 17.(1)令0=x ，得my 12+=．令0=y ，得12+=m x ． …………………………………2分由题意知，12126m m+++=．………………………………………………………4分即01322=+-m m ，解得12m =或1=m ． ………………………………………6分 (2)方法一：由（1）得 )12,0(),0,12(mB m A ++，由210,120.m m +>⎧⎪⎨+>⎪⎩解得0m >．………………………………………………………………8分 BO AO S ABC ⋅=∆21)12)(12(21121221mm m m ++=+⋅+= …………………10分 )12)(21(mm ++= 1222242m m=+++=≥， ………………………………………………………12分当且仅当m m 212=，即21=m 时，取等号． ………………………………………13分此时直线l 的方程为042=-+y x ． ……………………………14分方法二：由210x my m +--=，得0)2()1(=-+-y m x ．所以1020x y -=⎧⎨-=⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩．所以直线l 过定点)2,1(P ．……………………………………………………………………8分设)0,0)(,0(),0,(>>b a b B a A ，则直线l 的方程为:)0,0(1>>=+b a bya x ．将点)2,1(代人直线方程，得121=+ba ．…………………………………………………10分由基本不等式得12a b +≥8ab ≥．………………………………………………12分当且仅当ba 21=，即4,2==b a 时，取等号．…………………………………………13分所以142ABC S ab ∆=≥，当AOB ∆面积最小时，直线l 的方程为042=-+y x ．………………………………14分 18.（1）在AMN ∆中，由余弦定理得，2222cos120MN AM AN AM AN =+-⋅ ……………………………………………………2分=12)21(2222222=-⨯⨯⨯-+，所以32=MN 千米． ………………………………4分（2）设α=∠PMN ，因为60MPN ∠= ，所以120PNM α∠=-在PMN ∆中，由正弦定理得，sin sin(120)sin MN PM PNMPN αα==∠- .………………………………………………………6分因为sin MNMPN ∠4==，所以ααsin 4),120sin(40=-=PN PM ……………………………………8分因此ααsin 4)120sin(40+-=+PN PM ………………………………………10分=αααsin 4)sin 21cos 23(4++ =ααcos 32sin 6+=)30sin(340+α ……………………………13分因为0120α<< ，所以3030150α<+< ．所以当009030=+α，即060=α时，PN PM +取到最大值34．………15分答：两条观光线路距离之和的最大值为34千米. ………………………………16分 19.(1)当1=a 时，032)(2<--=x x x f所以(23)(1)0x x -+<，…………………………………………………………………2分解得312x -<<． ………………………………………………3分所以当1=a 时，不等式0)(<x f 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-231|x x ． ……………4分（2）由)()(x g x f >，得8422222-+->-+-a x x a ax x ，即2(1)40x a x --+>．所以2(1)4a x x -<+，因为0x >，所以41a x x-<+．……………………………6分因为44x x +≥，当且仅当xx 4=，即2=x 时，取等号．所以5a <，所以实数a 的取值范围为)5,(-∞ ． …………………………………………8分 (3)由题意知，min min )()(x g x f >． ………………………………………10分因为433)21()(22-+-=a x x g ，当[]1,0∈x 时，433)21()(2min -==a g x g ． ………………………………12分又因为22()24f x x ax a =-+-487)4(222-+-=a a x当0<a 时，4)0()(2min -==a f x f ，因为 433422->-a a 成立，所以0a <时，min min )()(x g x f > …………………………………………13分当04a ≤≤时，2min 7()()448a f x f a ==-，由43348722->-a a ，解得34<a ．因此04a ≤≤． ………………………………………………14分当4>a 时，2)1()(2min --==a a f x f ，因为433222->--a a a ，解得425<a ，所以2544a << …………………15分综上，a 的取值范围为)425,(-∞ ． ………………………………………………16分20. （1）设数列{}n a 的公差为d ，由题设可得2(1)1(14)d d +=⨯+．解得 d=0（舍）或d=2，所以21n a n =-． ………………………………………2分由243n n SS +=+，可得214(1)n n S S ++=+ ………………………………………4分又因为11b =，22b =，所以112S +=，214S +=．当n 为奇数时，12nn S +=；当n 为偶数时，12n n S +=．所以12,nn S n *+=∈N ………………………………………6分当2n ≥时，112n n n n b S S --=-=，所以12,n n b n -*=∈N ． ………………………………………8分（2）因为 11(21)(21)(21)2(21)n n n c n n n --=--=-⋅--，则012212123252(23)2(21)2n n n T n n n --=⨯+⨯+⨯++-+-- ．设01221123252(23)2(21)2n n n M n n --=⨯+⨯+⨯++-+-则12121232(23)2(21)2n n n M n n -=⨯+⨯++-+-两式相减，得231222(21)2(23)23nnnn M n n -=++++--=--+ 所以(23)23nn M n =--．所以2(23)23n n T n n =--- ………………………………………12分令 2(3)(23)2nn n e n T n n n =+-=-，由1n n e e +< ，得1(23)2(1)(21)2n n n n n n +-<+-即(23)2(1)(21)n n n n -<+-，解得对任意*n ∈N 成立，即数列{}n e 为单调递增数列．…14分当n 为奇数时，12e λ-=-≤，所以2λ≥；当n 为偶数时，28e λ=≤，所以28λ≤≤． ………………………………………16分。

高一数学-宿迁市2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷

宿迁市2015~2016学年度第一学期期末考试高一数学试卷（考试时间120分钟，试卷满分160分)注意事项:1．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上规定的地方．2．答题时，使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字迹工整，笔迹清楚． 3．请按照题号在答题卡上各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．请保持卡面清洁，不折叠，不破损．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．计算：cos120︒的值是 ▲ ．2．已知幂函数αx x f =)(的图象经过点（9，3），则α的值为 ▲ ．3．在平面直角坐标系中，已知角α的终边经过点)2,3(-P ，则tan α的值为 ▲ ． 4．已知集合[)3,9A =，[),B a =+∞．若B A ⊆，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 5．函数1()2f x x =-的定义域是 ▲ ． 6．已知向量(4,2)=a ，(3,-1)=b ，则向量a 与b 的夹角为 ▲ ． 7．扇形的半径为6，圆心角为3π，则此扇形的面积为 ▲ ． 8．计算：102293(lg 4lg 25)34-⎛⎫⎛⎫+⨯++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值是 ▲ ．9．若方程lg(1)30x x ++-=在区间(,1)k k +内有实数根，则整数k 的值为 ▲ ．10．已知函数()()4,10,5,10x x f x f x x -≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，则()4f 的值为 ▲ ．11．已知向量(2,sin ),(1,cos )θθ==a b ，若//a b ，则22sin 1cos θθ+的值为 ▲ ．12．已知函数(sin f x x =），1,0()lg ,0x g x xx x ⎧-<⎪=⎨⎪>⎩，，则函数)()()(x g x f x h -=在区间[2,4]-ππ内的零点个数为 ▲ ．13．将函数()cos f x x =图象上每一点的横坐标变为原来的)01>ωω（倍（纵坐标不变）,再将得到的图象向右平移12π个单位长度,所得图象关于直线4π=x 对称，则ω的最小值为 ▲ ．14．已知函数2()4f x x x a =+-（a 为常数）．若)(x f 的最小值为6，则a 的值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，15—17每题14分，18—20每题16分，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知函数()sin f x x =的值域为集合A ，集合1[,)2B =+∞，全集U=R ．（1）求A B ；（2）求．16．已知函数()sin(3)f x A x ϕ=+在12π=x 时取得最大值4，其中0,0πA ϕ><<．（1）求函数）x f (的单调增区间；（2）若π12()125f α+=，求cos(3)α+π的值．17．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(2,1)A ，(4,5)B ，(1,1)C --．（1）求以线段AC AB ,为邻边的平行四边形的两条对角线的长；（2）若向量AC tOB -与向量垂直，求实数t 的值．18．已知物体初始温度是0T ,经过t 分钟后物体温度是T ，且满足0()2kt T T T T αα-=+- ，（T α为室温，k 是正常数）．某浴场热水是由附近发电厂供应，已知从发电厂出来的95C 的热水，在15C 室温下，经过100分钟后降至25C ．（1）求k 的值；（2）该浴场先用冷水将供应的热水从95C 迅速降至55C ，然后在室温15C下缓慢降温供顾客使用．当水温在33C 至43C之间，称之为“洗浴温区”．问：某人在“洗浴温区”内洗浴时，最多可洗浴多长时间？（结果保留整数）（参考数据：0.520.70-≈， 1.220.45-≈）19．已知函数11ln)(-+=x x x f ．（1）判断函数()f x 的奇偶性，并给出证明；（2）解不等式：22(3)(247)0f x x f x x +++-+->；（3）若函数()ln (1)g x x x =--在),1(+∞上单调递减，比较(2)(4)(2)f f f n +++ 与n 2()*n ∈N 的大小关系，并说明理由．20．已知函数()22f x x x a =-+的最小值为0，a ∈R ．记函数()()f x g x x=．（1）求a 的值；（2）若不等式()1220x x g m +-⋅≤对任意[]1,1x ∈-都成立，求实数m 的取值范围；（3）若关于x 的方程()2|()1||()1|g f x k k f x -=-⋅-有六个不相等的实数根，求实数k 的取值范围．数学参考答案与评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1. 12-； 2. 21； 3. 23-； 4. (],3-∞； 5. {|1x x ≥且}2≠x ；6. 4π； 7. π6； 8. 5； 9. 2； 10. 10； 11.32； 12. 5； 13. 6； 14. 10-或10. 二、解答题：本大题共6小题，15—17每题14分，18—20每题16分，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (1)由题意知：[]1,1A =-， ……………………3分所以1,12A B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． ……………………7分（2） [)1,A B =-+∞ ……………………10分所以()(),1U C A B =-∞- . ………………14分 16.（1）因为函数()sin(3)f x A x ϕ=+在12x π=时取得最大值4且0A >. 所以4,sin(3)12A A A ϕ=⎧⎪⎨π=⨯+⎪⎩，所以242k ϕππ+=+π()k Z ∈，又因为 0ϕ<<π，所以4ϕπ=， ………………… 3分即()4sin(3)4f x x π=+.令232,242k x k k Z πππ-+π≤+≤+π∈， …………………5分得22,43123k k x k Z ππππ-+≤≤+∈. …………… 7分所以函数)(x f y =的单调增区间为22[,],43123k k k Z ππππ-++∈. ………8分（2）因为12()4sin[3()]4sin(3)4cos31212425f πααααπππ+=⨯++=+==，所以3cos35α=. …………………11分因此3cos(3)cos35αα+π=-=-. …………………14分17.（1）(2,4)AB =，(3,2)AC =-- ， …………………2分由)2,1(-=+AC AB ，得5||=+AC AB ， …………………4分由)6,5(=-，得||AB AC -=…………………6分故以线段AC AB ,……7分（2）)5,4(=OB ，由向量AC tOB -与向量OB 垂直，得()0AC tOB OB -⋅=， ……………………10分又因为()()()324534,25AC tOB t t t -=---=----，，，所以()()3442550t t -⨯+--⨯=-， ……………………13分所以2241t =-. ………………14分 18.（1）将 T α=15，0T =95，T =25，100t =代入0()2kt T T T T αα-=+- ，得1002515(9515)2k -=+- ， ……………3分整理得100-312=28k-=，解得3100k =. ……………6分（2）此时055T =，代入0()2kt T T T T αα-=+- ，得3310010015(5515)215402t t T --=+-=+ ， ………………9分由题意，令 3100331540243t -≤+≤，（有无等号均不扣分） ………………12分整理得31000.4520.7t -≤≤，因为0.520.70-≈， 1.220.45-≈，所以31.20.5100222t ---≤≤ ，解得50403t ≤≤. ………………15分所以某人在“洗浴温区”内最多洗浴时间是5040233-≈（分钟）. …………16分 19.（1）函数()f x 为奇函数. ………………1分证明如下：由011x >-+x ，解得1-<x 或1>x 所以函数的定义域为),1()1,(+∞--∞ ………………2分对任意的(,1)(1,)x ∈-∞-+∞ ，有11111()ln ln ln ln ()1111x x x x f x f x x x x x --+-++⎛⎫⎛⎫-====-=- ⎪ ⎪--+--⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 为奇函数. ………………4分（2）任取),1(,21+∞∈x x ，且21x x <，则12121211()()ln ln 11x x f x f x x x ++-=--- 1212(1)(1)ln(1)(1)x x x x +⋅-=-⋅+122112211ln()1x x x x x x x x ⋅+--=⋅---， ………………5分因为 112>>x x ，所以 ()12211221110x x x x x x x x ⋅+-->⋅--->，所以11)(112211221>---⋅--+⋅x x x x x x x x ，所以 0)()(21>-x f x f ，所以)()(21x f x f >，所以函数)(x f y =在),1(+∞单调递减；………7分由22(3)(247)0f x x f x x +++-+->得：22(3)(247)f x x f x x ++>--+-，即22(3)(247)f x x f x x ++>-+，又221113124x x x ⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭，()222472151x x x -+=-+>，所以 223247x x x x ++<-+， ………………9分解得：1x <或4x >，所以原不等式的解集为：()(),14,-∞+∞ . ………………10分（3）(2)(4)(2)f f f n +++ 2n >()*n ∈N .理由如下： ………………11分因为 35721(2)(4)(2)ln()ln(21)13521n f f f n n n ++++=⨯⨯⨯⨯=+- ，所以 ()(2)(4)(2)2ln(21)2ln(21)211f f f n n n n n n +++-=+-=+-+-⎡⎤⎣⎦ ，…13分又 ()ln (1)g x x x =--在),1(+∞上单调递减，所以当1x >时，()(1)0g x g <=，所以 (21)0g n +<， ………………15分即 ()ln(21)2110n n +-+-<⎡⎤⎣⎦，故 (2)(4)(2)f f f n +++ 2n >()*n ∈N . ………………16分20．（1）()()22211f x x x a x a =-+-+-=，所以当1x =时()f x 取最小值1a -，令10a -=，解得：1a =. ………………3分 (2) 由已知可得()()12f x g x x x x==+-，故不等式()1220x x g m +-⋅≤对任意的[]1,1x ∈-都成立，可化为：112222x x x m ++-≤ 对任意的[]1,1x ∈-都成立，即2111[1()2]222x x m +-≤ 对任意的[]1,1x ∈-都成立， ………………6分令12x t =，因为[]1,1x ∈-，所以11[,2]22x t =∈，则问题转化为不等式21(1)2m t ≥-对任意的1[,2]2t ∈都成立，记21()(1)2h t t =-，则 max 1()(2)2h t h ==， ………………8分所以m 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. ………………9分（3）当0,2x =时，()10f x -=，所以0,2x =不是方程的解；当02x x ≠≠且时，令2|()1|2t f x x x =-=-，则当(),0x ∈-∞时，22t x x =-递减，且()0,t ∈+∞，当(]0,1x ∈时，22t x x =-递增，且(]0,1t ∈，当()1,2x ∈时，22t x x =-递减，且()0,1t ∈，当()2,x ∈+∞时，22t x x =-递增，且()0,t ∈+∞； ………………11分故原方程有六个不相等的实数根可转化为()()22210t k t k -+++=有两个不相等的实数根1t ，2t ，其中101t <<， 21t >， ………………………13分记()()()2221t t t t k ϕ=-+++，则()()021010k k ϕϕ=+>⎧⎪⎨=<⎪⎩， ………………………15分所以实数k 的取值范围是1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭. ………………16分。

江苏省宿迁市高一上期末数学试卷

江苏省宿迁市高一（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．已知集合A={﹣1，0}，B={0，2}，则A∪B=．2．函数f（x）=sin（2x+）的最小正周期为．3．幂函数f（x）的图象过点，则f（4）=．4．函数f（x）=的定义域是．5．已知方程3x+x=5的根在区间[k，k+1）（k∈Z），则k的值为．6．在平面直角坐标系xOy中，，分别是与x轴、y轴方向相同的单位向量，已知=+2，=3+4，=2t+（t+5），若与共线，则实数t的值为．7．函数f（x）=cos2x，x∈[，]的值域是．8．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π））的图象，如图所示，则f（2016）的值为．9．计算（）﹣lg﹣lg的结果为．10．已知=2，则sin2α﹣sinαcosα的值为．11．函数f（x）=cos（x+）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，所得函数图象关于y轴对称，则φ的最小值为．12．若函数f（x）=是R上的单调函数，则实数a的取值范围为．13．如图，在△ABC中，D，E是BC上的两个三等分点，若•=2，•=4，则BC的长度为．14．定义在R上的偶函数f（x）的图象关于点（1，0）对称，且当x∈[1，2]时，f（x）=﹣2x+2，若函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）恰好有8个零点，则实数a的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，15-17每小题14分，18-20每小题14分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知集合A=[﹣1，3]，B=[m，m+6]，m∈R．（1）当m=2时，求A∩∁R B；（2）若A∪B=B，求实数m的取值范围．16．（14分）已知角θ的终边经过点P（3，﹣4）．（1）求sinθ，cosθ和tanθ的值；（2）求的值．17．（14分）已知向量，满足||=，=（4，2）．（1）若∥，求的坐标；（2）若﹣与5+2垂直，求与的夹角θ的大小．18．（16分）某公司拟设计一个扇环形状的花坛（如图所示），该扇环是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点AD的两条线段围成．设圆弧、所在圆的半径分别为f（x）、R米，圆心角为θ（弧度）．（1）若θ=，r1=3，r2=6，求花坛的面积；（2）设计时需要考虑花坛边缘（实线部分）的装饰问题，已知直线部分的装饰费用为60元/米，弧线部分的装饰费用为90元/米，预算费用总计1200元，问线段AD的长度为多少时，花坛的面积最大？19．（16分）已知函数f（x）=1﹣为定义在R上的奇函数．（1）求f（x）的解析式；（2）判断f（x）的单调性，并用定义证明；（3）若f（lnm）+f（2lnn）≤1﹣3lnm，求实数m的取值范围．20．（16分）已知二次函数f（x）对任意的x都有f（x+2）﹣f（x）=﹣4x+4，且f（0）=0．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设函数g（x）=f（x）+m，（m∈R）．①若存在实数a，b（a＜b），使得g（x）在区间[a，b]上为单调函数，且g（x）取值范围也为[a，b]，求m的取值范围；②若函数g（x）的零点都是函数h（x）=f（f（x））+m的零点，求h（x）的所有零点．2016-2017学年江苏省宿迁市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．已知集合A={﹣1，0}，B={0，2}，则A∪B={﹣1，0，2} ．【考点】并集及其运算．【分析】根据两集合并集的感念进行求解即可．【解答】解：集合A={﹣1，0}，B={0，2}，则A∪B={﹣1，0，2}故答案为：{﹣1，0，2}【点评】本题主要考查两集合的并集的感念，注意有重复的元素要当做一个处理．2．函数f（x）=sin（2x+）的最小正周期为π．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】根据三角函数的周期公式直接加以计算，即可得到函数的周期．【解答】解：∵函数中，振幅A=1，初相φ=，且ω=2∴函数的最小正周期为T==π故答案为：π【点评】本题给出三角函数的表达式，求它的周期，着重考查了三角函数的图象与性质的知识，属于基础题．3．幂函数f（x）的图象过点，则f（4）=2．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】设出幂函数的解析式，由图象过，确定出解析式，然后令x=4即可得到f（4）的值．【解答】解：设f（x）=x a，因为幂函数图象过，则有=3a，∴a=，即f（x）=x，∴f（4）=（4）=2．故答案为：2．【点评】考查学生会利用待定系数法求幂函数的解析式．会根据自变量的值求幂函数的函数值．4．函数f（x）=的定义域是（﹣∞，0）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】要使函数f（x）=有意义，只需1﹣2x＞0，即2x＜1，运用指数函数的单调性，即可得到所求定义域．【解答】解：要使函数f（x）=有意义，只需1﹣2x＞0，即2x＜1，解得x＜0．则定义域为（﹣∞，0）．故答案为：（﹣∞，0）．【点评】本题考查函数的定义域的求法，注意运用分式分母不为0，偶次根式被开方数非负，同时考查指数函数的单调性，属于基础题．5．已知方程3x+x=5的根在区间[k，k+1）（k∈Z），则k的值为1．【考点】函数零点的判定定理．【分析】方程3x+x=5的解转化为函数f（x）=3x+x﹣5的零点问题，把区间端点函数值代入验证即可．【解答】解：令f（x）=3x+x﹣5，由y=3x和y=x﹣5均为增函数，故f（x）=3x+x﹣5在R上为增函数，故f（x）=3x+x﹣5至多有一个零点，∵f（1）=3+1﹣5＜0f（2）=9+2﹣5＞0∴f（x）=3x+x﹣5在区间[1，2]有一个零点，即方程方程3x+x=5的解所在区间为[1，2]，故k=1，故答案为：1【点评】考查方程的根和函数零点之间的关系，即函数零点的判定定理，体现了转化的思想方法，属基础题．6．在平面直角坐标系xOy中，，分别是与x轴、y轴方向相同的单位向量，已知=+2，=3+4，=2t+（t+5），若与共线，则实数t的值为4．【考点】平行向量与共线向量．【分析】先求出=（2，2），=（2t﹣1，t+3），再由与共线，利用向量平行的性质能求出t的值．【解答】解：∵=+2，=3+4，=2t+（t+5），∴=（2，2），=（2t﹣1，t+3），∵与共线，∴，解得t=4．故答案为：4．【点评】本题考查实数值的求不地，是基础题，解题时要认真审题，注意向量平行的性质的合理运用．7．函数f（x）=cos2x，x∈[，]的值域是．【考点】二倍角的余弦．【分析】由已知可求2x的范围，利用余弦函数的图象和性质即可得解其值域．【解答】解：∵x∈[，]，∴2x∈[，]，∴f（x）=cos2x∈．故答案为：【点评】本题主要考查了余弦函数的图象和性质的应用，属于基础题．8．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π））的图象，如图所示，则f（2016）的值为．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】根据三角函数的图象求出A，ω和φ的值，结合三角函数的解析式进行求解即可．【解答】解：由图象知A=3，=3﹣（﹣1）=4，即函数的周期T=8=，即ω=，由五点对应法得3ω+φ=3×+φ=π，即φ=，则f（x）=3sin（x+），则f（2016）=3sin（×2016+）=3sin（504π+）=3sin（）=3×=，故答案为：【点评】本题主要考查三角函数值的计算，根据条件求出函数的解析式是解决本题的关键．9．计算（）﹣lg﹣lg的结果为．【考点】对数的运算性质．【分析】利用对数、有理数指数幂性质、对算法则求解．【解答】解：（）﹣lg﹣lg=（）﹣2﹣lg==．故答案为：．【点评】本题考查对数式、指数式化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意对数、有理数指数幂性质、对算法则的合理运用．10．已知=2，则sin2α﹣sinαcosα的值为．【考点】三角函数的化简求值．【分析】将分子分母同除以cosα，利用同角三角函数基本关系式可求tanα=3，利用同角三角函数基本关系式化简所求即可计算得解．【解答】解：∵==2，解得：tanα=3，∴sin2α﹣sinαcosα====．故答案为：．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．11．函数f（x）=cos（x+）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，所得函数图象关于y轴对称，则φ的最小值为．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】函数f（x）=cos（x+）的图象向右平移φ个单位所得图象关于y轴对称，可得出函数的形式变为了y=cos（φ+），k∈z，由余弦函数的对称性此得出φ的表达式判断出φ的最小正值得出答案．【解答】解：∵函数f（x）=cos（x+）的图象向右平移φ个单位，所得图象对应的函数解析式为：y=cos（φ+）由于其图象关于y轴对称，∴φ+=kπ，k∈z，∴φ=﹣2kπ，k∈z，由φ＞0，可得：当k=0时，φ的最小正值是．故答案为：【点评】本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，解题的关键是熟练掌握、理解三角函数图象的变换规律，由这些规律得到关于φ的方程，再根据所得出的方程判断出φ的最小正值，本题考查图象变换，题型新颖，题后注意总结此类题的做题规律，在近几年的高考中，此类题出现频率较高，应多加重视．12．若函数f（x）=是R上的单调函数，则实数a的取值范围为．【考点】分段函数的应用．【分析】通过函数的单调性，列出不等式，化简求解即可．【解答】解：当函数f（x）=是R上的单调增函数，可得：，解得a∈．当函数f（x）=是R上的单调减函数，可得：，解得a∈∅．故答案为：．【点评】本题考查分段函数的应用，考查分类讨论思想，转化思想以及计算能力．13．如图，在△ABC中，D，E是BC上的两个三等分点，若•=2，•=4，则BC的长度为3．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由已知求出，然后由求解，则答案可求．【解答】解：∵•=2，且•====，得，∴．∴=13﹣4=9．∴．故答案为：3．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了数学转化思想方法，是中档题．14．定义在R上的偶函数f（x）的图象关于点（1，0）对称，且当x∈[1，2]时，f（x）=﹣2x+2，若函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）恰好有8个零点，则实数a的取值范围是．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】①画出：x∈[1，2]时，f（x）=﹣2x+2，f（x）的图象，由于函数f（x）的图象关于点（1，0）对称，可得其在区间[0，1]上的图象．由于函数f（x）是偶函数，且关于点（1，0）对称，则f（﹣x）=f（x），f（x）+f（2﹣x）=0，可得f（x+4）=f（x），因此其周期T=4．当a＞1时，画出函数y=log a（|x|+1），由于此函数是偶函数，因此只要画出右边的图象即可得出．由于右边的图象与函数f（x）的图象只有4个交点，因此log a（|8|+1）=2，解得a．②当1＞a＞0时，画出函数y=log a（|x|+1），同理满足：log a（6+1）＞﹣2，log a （10+1）＜﹣2，解出即可得出．【解答】解：①画出：x∈[1，2]时，f（x）=﹣2x+2，f（x）的图象，由于函数f（x）的图象关于点（1，0）对称，可得其在区间[0，1]上的图象．由于函数f（x）是偶函数，且关于点（1，0）对称，则f（﹣x）=f（x），f（x）+f（2﹣x）=0，可得f（x+4）=f（x），因此其周期T=4．当a＞1时，画出函数y=log a（|x|+1），由于此函数是偶函数，因此只要画出右边的图象即可得出．由于右边的图象与函数f（x）的图象只有4个交点，因此log a（|8|+1）=2，解得a=3．②当1＞a＞0时，画出函数y=log a（|x|+1），由于此函数是偶函数，因此只要画出右边的图象即可得出．由于右边的图象与函数f（x）的图象只有4个交点，因此满足：log a（6+1）＞﹣2，log a（10+1）＜﹣2，解得：＜a＜．故所求的实数a的取值范围是．故答案为：．【点评】本题考查了函数的图象与性质、数形结合思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、解答题：本大题共6小题，15-17每小题14分，18-20每小题14分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）（2016秋•宿迁期末）已知集合A=[﹣1，3]，B=[m，m+6]，m∈R．（1）当m=2时，求A∩∁R B；（2）若A∪B=B，求实数m的取值范围．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】（1）写出m=2时集合B和∁R B，再计算A∩∁R B；（2）根据A∪B=B时A⊆B，得出关于m的不等式组，求出解集即可．【解答】解：（1）当m=2时，B=[m，m+6]=[2，8]，…（1分）∁R B=（﹣∞，2）∪（8，+∞）；…又A=[﹣1，3]，所以A∩∁R B=[﹣1，2）；…（7分）（2）因为A∪B=B，所以A⊆B，…（9分）由A=[﹣1，3]，B=[m，m+6]，得，…（12分）解得﹣3≤m≤﹣1，即m的取值范围是[﹣3，﹣1]．…（14分）【点评】本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题目．16．（14分）（2016秋•宿迁期末）已知角θ的终边经过点P（3，﹣4）．（1）求sinθ，cosθ和tanθ的值；（2）求的值．【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】（1）由题意可得x=3，y=﹣4，r=5，根据三角函数的定义可得sinθ，cosθ和tanθ的值．（2）利用诱导公式化简所求，结合（1）结论即可计算得解．【解答】（本题满分为12分）解：（1）因为角θ的终边经过点P（3，﹣4），所以x=3，y=﹣4，所以，…（1分）所以，…，…．…（7分）（2）因为cos（3π﹣θ）=﹣cosθ，…（8分），…（9分），…（10分）tan（π+θ）=tanθ，…（11分）所以…（12分）=．…（14分）【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式，诱导公式的应用，求出x、y、r 的值，是解题的突破口，属于基础题．17．（14分）（2016秋•宿迁期末）已知向量，满足||=，=（4，2）．（1）若∥，求的坐标；（2）若﹣与5+2垂直，求与的夹角θ的大小．【考点】平面向量数量积的运算；平行向量与共线向量；数量积表示两个向量的夹角．【分析】（1）设=（x，y），推出x2+y2=5，通过∥，即可求解的坐标．（2）因为﹣与5+2垂直，数量积为0，得到52﹣3•﹣22=0，求出•=﹣5，利用数量积求解cosθ，然后θ∈[0，π]，求出．【解答】解：（1）设=（x，y），则x2+y2=5…（2分）因为∥，所以4y﹣2x=0…由，可得或所以的坐标为：（2，1）或（﹣2，﹣1）；…（6分）（2）因为﹣与5+2垂直，所以（﹣）（5+2）=0…（8分）化简得：52﹣3•﹣22=0又因为，，所以•=﹣5…（10分）cosθ=…（12分）又因为θ∈[0，π]，所以．…（14分）【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量共线以及坐标运算，考查计算能力．18．（16分）（2016秋•宿迁期末）某公司拟设计一个扇环形状的花坛（如图所示），该扇环是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点AD的两条线段围成．设圆弧、所在圆的半径分别为f（x）、R米，圆心角为θ（弧度）．（1）若θ=，r1=3，r2=6，求花坛的面积；（2）设计时需要考虑花坛边缘（实线部分）的装饰问题，已知直线部分的装饰费用为60元/米，弧线部分的装饰费用为90元/米，预算费用总计1200元，问线段AD的长度为多少时，花坛的面积最大？【考点】扇形面积公式．【分析】（1）设花坛的面积为S平方米.，即可得出结论；（2）记r2﹣r1=x，则0＜x＜10，所以=，即可得出结论．【解答】解：（1）设花坛的面积为S平方米.…（2分）==…答：花坛的面积为；…（2）的长为r1θ米，的长为r2θ米，线段AD的长为（r2﹣r1）米由题意知60•2（r2﹣r1）+90（r1θ+r2θ）=1200即4（r2﹣r1）+3（r2θ+r1θ）=40*…（7分）…（9分）由*式知，…（11分）记r2﹣r1=x，则0＜x＜10所以=…（13分）当x=5时，S取得最大值，即r2﹣r1=5时，花坛的面积最大．…（15分）答：当线段AD的长为5米时，花坛的面积最大．…（16分）【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查扇形的面积，考查配方法的运用，属于中档题．19．（16分）（2016秋•宿迁期末）已知函数f（x）=1﹣为定义在R上的奇函数．（1）求f（x）的解析式；（2）判断f（x）的单调性，并用定义证明；（3）若f（lnm）+f（2lnn）≤1﹣3lnm，求实数m的取值范围．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】（1）法一：由奇函数的性质：f（x）+f（﹣x）=0列出方程，化简后列出方程组求出a、b的值，结合条件求出f（x）的解析式；法二：由奇函数的性质：f（x）+f（﹣x）=0取特值后，列出方程组求出a、b的值，即可求出f（x）的解析式；（2）先判断出f（x）的单调性，利用函数单调性的定义：取值、作差、变形、定号、下结论进行证明；（3）由奇函数的性质先化简不等式，构造h（x）=f（x）+x，利用单调性的定义、f（x）的单调性证明h（x）在R上的单调性，由单调性列出不等式，即可求出m 的范围．【解答】（1）（法一）因为函数f（x）为R上的奇函数，所以在R上恒成立．…（2分）所以（a﹣2b）（2x+2﹣x）+2ab﹣2b2﹣2=0恒成立．所以，解得或…由定义域为R舍去，所以．…（法二）函数的定义域为R，且f（x）是奇函数，当x=0时，得，得a=b+1，…（1分）当x=1时，f（1）+f（﹣1）=0，得，解得：，…此时为奇函数；…所以．…（2）函数f（x）为R上的单调增函数．…（6分）证明：设x1，x2是R上的任意两个值，且x1＜x2，则=…（8分）因为x1＜x2，又g（x）=2x为R上的单调增函数，所以，所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以函数f（x）为R上的单调增函数．…（10分）（3）因为f（lnm）+f（2lnm﹣1）≤1﹣3lnm，即f（lnm）+lnm≤﹣f（2lnm﹣1）+1﹣2lnm而函数f（x）为R上的奇函数，所以f（lnm）+lnm≤f（1﹣2lnm）+1﹣2lnm．…（12分）令h（x）=f（x）+x，下面证明h（x）在R上的单调性：（只要说出h（x）的单调性不扣分）设x1，x2是R上的任意两个值，且x1＜x2，因为x1﹣x2＜0，由（2）知f（x1）﹣f（x2）＜0，所以h（x1）﹣h（x2）=f（x1）+x1﹣（f（x2）+x2）=f（x1）﹣f（x2）+（x1﹣x2）＜0，即h（x1）＜h（x2），所以h（x）为R上的单调增函数．因为f（lnm）+lnm≤f（1﹣2lnm）+1﹣2lnm，所以h（lnm）≤h（1﹣2lnm）所以lnm≤1﹣2lnm，…（14分）解得，所以实数m的范围是．…（16分）【点评】本题考查了奇函数的性质，利用单调性的定义证明函数的单调性，以及构造法解不等式，考查方程思想，函数思想，化简、变形能力．20．（16分）（2016秋•宿迁期末）已知二次函数f（x）对任意的x都有f（x+2）﹣f（x）=﹣4x+4，且f（0）=0．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设函数g（x）=f（x）+m，（m∈R）．①若存在实数a，b（a＜b），使得g（x）在区间[a，b]上为单调函数，且g（x）取值范围也为[a，b]，求m的取值范围；②若函数g（x）的零点都是函数h（x）=f（f（x））+m的零点，求h（x）的所有零点．【考点】二次函数的性质；根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）设二次函数f（x）的解析式为f（x）=ax2+bx+c，利用待定系数法求解即可．（2）g（x）=﹣x2+4x+m，对称轴x=2，g（x）在区间[a，b]上单调，b≤2或a ≥2，①1°当b≤2时，2°当a≥2时，列出不等式组，求解m的取值范围为；②（法一）设x0为g（x）的零点，则，求出m=0或m=﹣3，1°当m=0时，求出h（x）所有零点为0，2，4；2°当m=﹣3时，求出h（x）所有零点为；（法二）函数g（x）的零点都是函数h（x）的零点，﹣（﹣x2+4x）2+4（﹣x2+4x）+m=﹣（﹣x2+4x+m）（﹣x2+sx+t），展开对应系数相等求解即可．【解答】解：（1）设二次函数f（x）的解析式为f（x）=ax2+bx+c，则f（x+2）﹣f（x）=a（x+2）2+b（x+2）+c﹣（ax2+bx+c）=4ax+4a+2b…（2分）由f（x+2）﹣f（x）=﹣4x+4得（4a+4）x+4a+2b﹣4=0恒成立，又f（0）=0所以，所以，所以f（x）=﹣x2+4x…（2）g（x）=﹣x2+4x+m，对称轴x=2，g（x）在区间[a，b]上单调，所以b≤2或a≥2①1°当b≤2时，g（x）在区间[a，b]上单调增，所以，即a，b为g（x）=x的两个根，所以只要g（x）=x有小于等于2两个不相等的实根即可，所以x2﹣3x﹣m=0要满足，得…（6分）2°当a≥2时，g（x）在区间[a，b]上单调减，所以，即两式相减得（b﹣a）（a+b﹣5）=0，因为b＞a，所以a+b﹣5=0，所以m=a2﹣5a+5，，得…（9分）综上，m的取值范围为…（10分）②（法一）设x0为g（x）的零点，则，即，即﹣m2﹣4m+m=0，得m=0或m=﹣3…（12分）1°当m=0时，h（x）=﹣（﹣x2+4x）2+4（﹣x2+4x）=﹣x（x﹣4）（x2﹣4x+4）所以h（x）所有零点为0，2，4…（14分）2°当m=﹣3时，h（x）=﹣（﹣x2+4x）2+4（﹣x2+4x）﹣3=﹣（﹣x2+4x﹣3）（﹣x2+4x﹣1）（因为必有因式﹣x2+4x﹣3，所以容易分解因式）由﹣x2+4x﹣3=0和﹣x2+4x﹣1=0得，所以h（x）所有零点为…（16分）（法二）函数g（x）的零点都是函数h（x）的零点，所以﹣（﹣x2+4x）2+4（﹣x2+4x）+m中必有因式﹣x2+4x+m，所以可设：﹣（﹣x2+4x）2+4（﹣x2+4x）+m=﹣（﹣x2+4x+m）（﹣x2+sx+t）展开对应系数相等得或（下同法一）．【点评】本题考查函数的零点的求法，二次函数的性质，待定系数法以及转化思想的应用，考查计算能力．。

2015-2016学年度第一学期期末考试高一数学试题及参考答案

2015-2016学年度第一学期期末考试高一数学试题一、选择题（该大题共12小题，每小题5分，共计60分） 1.下列图形中，表示⊆M N 的是（ ▲ ）2.120cos ︒= （ ▲ ） A.12-B.12C.32-D.223.下列命题正确的是（ ▲ ）A ．向量AB 与BA 是两平行向量；B ．若,a b 都是单位向量,则a b =；C ．若AB =DC ,则A B CD 、、、四点构成平行四边形； D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同. 4.45154515cos cos sin sin ︒︒-︒︒= （ ▲ ）A.22 B.32C.12D.12-5.如图，在ABC ∆中，D 是AC 的中点，向量AB a =，AC b =，那么向量BD 可表示为（ ▲ ） A.b a 1122- B.a b 12-C.b a 12-D.a b 12-6.函数2212()()=+-+f x x a x 在区间(],4-∞上是递减的，则实数a 的取值范（ ▲ ） A.3≤-a B.3≥-a C.5≤a D.5≥a 7.已知指数函数()xf x a =和函数2()g x ax =+，下列图象正确的是（ ▲ ）A. B. C. D.8.已知平面向量,a b ，8a =||，4||=b ，且,a b 的夹角是150︒，则a 在b 方向上的射影是（ ▲ ）A.4-B.43-C.4D.439.要得到函数2sin 2=y x 的图像，只需将2sin(2)6π=-y x 的图像（ ▲ ）A.向右平移6π个单位 B.向右平移12π个单位 C.向左平移6π个单位D.向左平移12π个单位10.若平面向量(3,4)b =与向量(4,3)a =，则向量,a b 夹角余弦值为（ ▲ ）A.1225 B. 1225- C. 2425- D.2425 11.设()338x f x x =+-,用二分法求方程(),338012xx x +-=∈在内近似解的过程中得()()(),.,.,101501250f f f <><则方程的根落在区间（ ▲ ）A ．(,.)1125B ．(.,.)12515C ．(.,)152D ．不能确定12.若函数tan ,0(2)lg(),0x x f x x x ≥⎧+=⎨-<⎩，则(2)(98)4f f π+⋅-= （ ▲ ）A.12B.12- C.2 D.2-二、填空题（共4小题，每小题5分，共计20分） 13.函数212()log ()=-f x x 的定义域是 ▲ ．14.有一半径为4的扇形，其圆心角是3π弧度，则该扇形的面积是 ▲ ． 15.已知平面向量(4,3)a =-和单位向量b ，且b a ⊥，那么向量b 为 ▲ ． 16.关于函数sin (()42)3f x x ＝＋π，(R)x ∈有下列命题： ①()y f x =是以2π为最小正周期的周期函数；②()y f x =可改写为cos (6)42y x ＝-π； ③()y f x =的图象关于(0)6-，π对称； ④()y f x =的图象关于直线6x =-π对称；其中正确的序号为 ▲ ．M N D.N M C. M N B. MN A. o 2 1 y x2 1 oy x2 1 oyx2 1 oy xD C AB 第5小题三、解答题（共6小题，共计70分） 17.化简或求值：(1)log lg lg 223212732548--⨯++ (2)已知3sin ,054x x =<<π,求cos 2cos()4xx +π. 18.已知全集U R =，集合{}A x x =<<17，集合{}B x a x a 125=+<<+，若满足A B B =，求（1）集合U C A ；（2）实数a 的取值范围．19.若平面向量(1,2)a =，(3,2)b =-， k 为何值时: （1）()(3)ka b a b +⊥-；（2）//()(3)ka b a b +-？20.设函数()2sin(2)(0)f x x =+<<ϕϕπ，()y f x =图象的一个对称中心是(,0)3π.（1）求ϕ；（2）在给定的平面直角坐标系中作出该函数在(0,)2x ∈π的图象；（3）求函数()1()f x x R ≥∈的解集21.已知函数2()3sin 22cos f x x x =+.(1)求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；(2)将()f x 的图象向右平移12π个单位长度，再将周期扩大一倍，得到函数()g x 的图象，求()g x 的解析式．22.已知定义域为R 的函数2()21x x af x -+=+是奇函数（1）求a 值；（2）判断并证明该函数在定义域R 上的单调性；（3）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围.2015-2016学年度第一学期期末考试高一数学试题参考答案一、选择题（该大题共12小题，每小题5分，共计60分）CAACC ADBDD BC二、填空题（共4小题，每小题5分，共计20分） 13. 2{|>x x ,且3}≠x 或者填(2,3)(3,)+∞ ．14.83π. 15.34(,)55和 34(,)55--.16. ② ③ .三、解答题（共6小题，共计70分） 17.（本小题满分8分）解：（1）原式=()lg lg 2193549-⨯-++=()lg 1931009-⨯-+=()19329-⨯-+=1113（2）3sin ,054x x π=<<2cos 1sin xx ∴=-=45227cos 2cos sin cos sin 72552222cos()cos sin 42222x x x x x x x x π-+∴====+-18.（本小题满分10分）解；（1）(,][,)U C A =-∞+∞17（2）A B B =B A ∴⊆（i ）当B φ=时，由a a 251+≤+得a 4≤-（ii ）当B φ≠时，由a a a a 11257125+≥⎧⎪+≤⎨⎪+<+⎩解得a 01≤≤a ∴的取值范围是(,][,]401-∞-.19.（本小题满分12分）解：（1）a b (1,2),(3,2)==- ka b k k (3,22)∴+=-+ a b 3(10,4)-=-()(3)ka b a b +⊥-(k 3)10(2k 2)(4)0∴-⨯++⨯-=解得 k 19=（2）由（1）及//()(3)ka b a b +-得(k 3)(4)(2k 2)100-⨯--+⨯=解得 1k 3=-20.（本小题满分14分）解：（1）(,)π03是函数()y f x = 的图像的对称中心sin()πϕ∴⨯+=2203()k k Z πϕπ∴+=∈23()k k Z πϕπ∴=-∈23(,)πϕπϕ∈∴=03()sin()f x x π∴=+223（2）列表：（3）()f x ≥1即sin()x π+≥2213sin()x π+≥1232解得,k x k k Z πππππ+≤+≤+∈5222636亦即,k x k k Z ππππ-+≤≤+∈124所以，()f x ≥1的解集是[,],k k k Z ππππ-++∈12421.（本小题满分12分）解：（1）依题意，得f x x x =++()3sin 2cos 21x x =++312(sin 2cos 2)122x π=++2sin(2)16将()y f x =的图像向右平移12π个单位长度，得到函数f x x x ππ=-++=+1()2sin[2()]12sin 21126的图像，该函数的周期为π，若将其周期变为π2，则得g x x =+()2sin 1 （2）函数f x ()的最小正周期为T π=，（3）当,k x k k Z πππππ-≤+≤-∈222262时，函数单调递增，解得,k x k k Zππππ-≤≤+∈36∴函数的单调递增区间为 [,],k k k Z ππππ-+∈36. 22.（本小题满分14分）解：（1）由题设，需(),,()xxa f a f x +-==∴=∴=+112001212经验证，()f x 为奇函数，a ∴=1xπ12π3 π712 π56πx π+23 π3π2 ππ32π2π73 ()f x32-23（2）减函数.证明：任意,,,x x R x x x x ∈<∴->1212210由（1）得()()()()()x x x x x x x x f x f x --⨯--=-=++++2112212121121222212121212 ,x x x x x x <∴<<∴-<121212022220，()()x x ++>2112120()()f x f x ∴-<210所以，该函数在定义域R 上是减函数（3）由22(2)(2)0f t t f t k -+-<得f t t f t k -<--22(2)(2)()f x 是奇函数∴f t t f k t -<-22(2)(2)，由（2），()f x 是减函数. ∴原问题转化为t t k t ->-2222，即t t k -->2320对任意t R ∈恒成立.∴k ∆=+<4120，解得k <-13即为所求.。

高一数学上学期期末考试试卷(含解析)-人教版高一全册数学试题

某某省某某第一中学2015-2016学年高一上学期期末考试数学一、选择题：共10题1．下列说法中,正确的是A.幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)B.当a＝0时,函数y＝xα的图象是一条直线C.若幂函数y＝xα的图象关于原点对称,则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大D.幂函数y＝xα,当a<0时,在第一象限内函数值随x值的增大而减小【答案】D【解析】本题主要考查幂函数的图象与性质.由幂函数的图象与性质可知，A错误；当x=0时，y=0，故B错误；令a＝-1，则y=x-1，显然C错误；故D正确.2．如图所示,则这个几何体的体积等于A.4B.6C.8D.12【答案】A【解析】由三视图可知所求几何体为四棱锥,如图所示,其中SA⊥平面ABCD,SA=2,AB=2,AD=2,CD=4,且四边形ABCD为直角梯形,∠DAB=90°,∴V=SA×(AB+CD)×AD=×2××(2+4)×2=4,故选A.3．下列关于函数y＝f(x),x∈[a,b]的叙述中,正确的个数为①若x0∈[a,b]且满足f(x0)＝0,则(x0,0)是f(x)的一个零点;②若x0是f(x)在[a,b]上的零点,则可用二分法求x0的近似值;③函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根,f(x)＝0的根也一定是函数f(x)的零点;④用二分法求方程的根时,得到的都是根的近似值.A.0B.1C.3D.4【答案】B【解析】本题主要考查方程与根、二分法.由零点的定义知，零点是曲线与x轴交点的横坐标，故①错误；当f(a)=0时，无法用二分法求解，故②错误；显然，③正确；若f(x)=2x-x-1，在区间(-1,1)上的零点，用二分法，可得f(0)=0，显然，④错误.4．如图,在三棱锥S-ABC中,E为棱SC的中点,若AC＝,SA＝SB＝SC＝AB＝BC＝2,则异面直线AC与BE所成的角为A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C【解析】本题主要考查异面直线所成的角.取SA的中点D，连接BD、DE，则,是异面直线AC与BE所成的角或补角，由题意可得BD=BE=，DE=，即三角形BDE是等边三角形，所以5．如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF＝,则下列结论中错误的是A.AC⊥BEB.EF∥平面ABCDC.直线AB与平面BEF所成的角为定值D.异面直线AE、BF所成的角为定值【答案】D【解析】本题主要考查线面平行与垂直的判定定理、线面所成的角、异面直线所成的角，考查了空间想象能力.易证AC⊥平面BDD1B1，则AC⊥BE，A正确，不选；易知平面A1B1C1D1∥平面ABCD，则EF∥平面ABCD，B正确，不选；因为平面BEF即是平面BDD1B1，所以直线AB 与平面BEF所成的角为定值，故C正确，不选；故选D.6．若函数且)有两个零点,则实数a的取值X围是A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要考查函数的性质与零点.当时，函数是减函数，最多只有1个零点，不符合题意，故排除A、D；令,易判断函数在区间上分别有一个零点，故排除C，所以B正确.7．已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则A.α∥β且l∥α B.α⊥β且l⊥βC.α与β相交,且交线垂直于lD.α与β相交,且交线平行于l【答案】D【解析】本题涉及直线与平面的基本知识,意在考查考生的空间想象能力、分析思考能力,难度中等偏下.由于m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β,则平面α与平面β必相交,但未必垂直,且交线垂直于直线m,n,又直线l满足l⊥m,l⊥n,则交线平行于l ,故选D.8．已知直线(1+k)x+y-k-2＝0过定点P,则点P关于直线x-y-2＝0的对称点的坐标是A.(3,﹣2)B.(2,﹣3)C.(3,﹣1)D.(1,﹣3)【答案】C【解析】本题主要考查直线方程、两条直线的位置关系.将(1+k)x+y-k-2＝0整理为：k(x-1)+x+y-2=0,则x-1=0且x+y-2=0,可得P(1,1),设点P的对称点坐标为(a,b),则，则x=3,y=-1,故答案：C.9．如图,平面⊥平面与两平面所成的角分别为和．过分别作两平面交线的垂线,垂足为,则＝A. B. C. D.【答案】A【解析】本题主要考查线面与面面垂直的判定与性质、直线与平面所成的角，考查了空间想象能力.根据题意，由面面垂直的性质定理可得，,则,则AB=2，则10．经过点P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正值,若截距之和最小,则直线的方程为A.x＋2y-6＝0 B.2x＋y-6＝0 C.x-2y＋7＝0 D.x-2y-7＝0【答案】B【解析】本题主要考查直线方程、基本不等式.由直线的斜率为k(k<0)，则y-4=k(x-1),分别令x=0、y=0求出直线在两坐标轴上的截距为：4-k，1-,则4-k+1-,当且仅当-k=-，即k=-2时，等号成立，则直线的方程为2x＋y-6＝0二、填空题：共5题11．已知直线: x+(1+m)y+m-2=0与直线:mx＋2y＋8＝0平行,则经过点A(3,2)且与直线垂直的直线方程为________．【答案】2x-y-4＝0【解析】本题主要考查直线方程、两条直线的位置关系.因为直线: x+(1+m)y+m-2=0与直线:mx＋2y＋8＝0平行,所以(m+1)m-2=0,且8-(m-2),则m=1，直线: x+2y-1=0,根据题意，设所求直线方程为2x-y+t＝0，将点A(3,2)代入可得t=-4，即：2x-y-4＝012．用斜二测画法得到的四边形ABCD是下底角为45°的等腰梯形,其下底长为5,一腰长为,则原四边形的面积是________.【答案】8【解析】本题主要考查平面直观图.根据题意，直观图中，梯形的下底长为5，一腰长为,则易求上底为3，高为1，面积为,所以原四边形的面积是13．已知三棱锥A-BCD的所有棱长都为,则该三棱锥的外接球的表面积为________．【答案】3π【解析】本题主要考查空间几何体的表面积与体积，考查了空间想象能力.将正方体截去四个角可得到一个正四面体，由题意，可将该三棱锥补成一个棱长为1的正方体，所以该三棱锥的外接球的直径即为正方体的对角线，所以2r=，则该三棱锥的外接球的表面积为S=14．已知关于x的方程有两根,其中一根在区间内,另一根在区间内,则m的取值X围是________．【答案】【解析】本题主要考查二次函数的性质与二元一次方程的根.设,由题意可知：，求解可得15．甲、乙、丙、丁四个物体同时以某一点出发向同一个方向运动，其路程关于时间的函数关系式分别为，，，，有以下结论：①当时，甲走在最前面；②当时，乙走在最前面；③当时，丁走在最前面，当时，丁走在最后面；④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲.其中，正确结论的序号为_________(把正确结论的序号都填上，多填或少填均不得分).【答案】③④⑤【解析】①错误.因为，，所以，所以时，乙在甲的前面.②错误.因为，，所以，所以时，甲在乙的前面.③正确.当时，，的图象在图象的上方.④正确.当时，丙在甲乙前面，在丁后面，时，丙在丁前面，在甲、乙后面，时，甲、乙、丙、丁四人并驾齐驱.⑤正确.指数函数增长速度越来越快，x充分大时，的图象必定在，，上方，所以最终走在最前面的是甲.三、解答题：共5题16．如图(1)所示,在直角梯形中,BC AP,AB BC,CD AP,又分别为线段的中点,现将△折起,使平面平面(图(2))．(1)求证:平面平面;(2)求三棱锥的体积．【答案】证明:(1)分别是的中点,∵平面,AB平面.∴平面.同理,平面,∵,EF平面平面∴平面平面.(2)＝.【解析】本题主要考查面面与线面平行与垂直的判定与性质、空间几何体的表面积与体积，考查了空间想象能力与等价转化.(1)根据题意,证明、,再利用线面与面面平行的判定定理即可证明;(2)由题意易知，则结果易得.17．已知两点,直线,求一点使,且点到直线的距离等于2．【答案】设点的坐标为.∵．∴的中点的坐标为．又的斜率．∴的垂直平分线方程为,即．而在直线上．∴．①又已知点到的距离为2．∴点必在于平行且距离为2的直线上,设直线方程为,由两条平行直线之间的距离公式得:∴或．∴点在直线或上．∴或②∴①②得:或．∴点或为所求的点．【解析】本题主要考查直线方程与斜率、两条直线的位置关系、中点坐标公式.设点的坐标为，求出统一线段AB的垂直平分线，即可求出a、b的一个关系式；由题意知，点必在于平行且距离为2的直线上, 设直线方程为,由两条平行直线之间的距离公式得:，求出m的值，又得到a、b的一个关系式，两个关系式联立求解即可.18．(1)已知圆C经过两点,且被直线y=1截得的线段长为.求圆C的方程;(2)已知点P(1,1)和圆过点P的动直线与圆交于A,B两点,求线段AB的中点M的轨迹方程.【答案】(1)设圆方程为.因为点O,Q在圆上,代入:又由已知,联立:解得:由韦达定理知:.所以:.即即:.即:.则.所以所求圆方程为:.(2)设点M (x ,y ), 圆的圆心坐标为C (0,2). 由题意:,又.所以: 化简:所以M 点的轨迹方程为【解析】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系、圆的性质、直线的斜率公式、方程思想.(1)设圆方程为，将y =1代入圆的方程，利用韦达定理，求出D 、E 、F 的一个关系式，再由点O 、Q 在圆上，联立求出D 、E 、F 的值，即可得到圆的方程;(2) 设点M (x ,y ), 圆的圆心坐标为C (0,2)，由题意:,又，化简求解即可得到结论.19．如图,在四棱锥P —ABCD 中,PA ⊥底面ABCD , AB ⊥AD , AC ⊥CD ,∠ABC ＝60°,PA ＝AB ＝BC ,E 是PC 的中点．C A PB D E(1)求PB 和平面PAD 所成的角的大小;(2)证明:AE ⊥平面PCD ;(3)求二面角A-PD-C的正弦值．【答案】(1)在四棱锥P—ABCD中,∵PA⊥底面ABCD,AB⊂平面ABCD,∴PA⊥A B.又AB⊥AD,PA∩AD＝A,从而AB⊥平面PAD,∴PB在平面PAD内的射影为PA,从而∠APB为PB和平面PAD所成的角．在Rt△PAB中,AB＝PA,故∠APB＝45°.所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°.(2)证明:在四棱锥P—ABCD中,∵PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴CD⊥PA.由条件CD⊥AC,PA∩AC＝A∵CD⊥平面PA C.又AE⊂平面PAC,∴AE⊥C D.由PA＝AB＝BC,∠ABC＝60°,可得AC＝PA.∵E是PC的中点,∴AE⊥P C.又PC∩CD＝C,综上得AE⊥平面PCD.(3)过点E作EM⊥PD,垂足为M,连接AM,如图所示．由(2)知,AE⊥平面PCD,AM在平面PCD内的射影是EM,则可证得AM⊥PD.因此∠AME是二面角A—PD—C的平面角．由已知,可得∠CAD＝30°.设AC＝a,可得PA＝a,AD＝a,PD＝a,AE＝在Rt△ADP中,∵AM⊥PD,∴AM·PD＝PA·AD,则AM＝＝.在Rt△AEM中,sin∠AME＝＝.所以二面角A—PD—C的正弦值为.【解析】本题主要考查线面垂直的判定定理与性质定理、线面角与二面角，考查了空间想象能力.(1)根据题意，证明AB⊥平面PAD,即可得证∠APB为PB和平面PAD所成的角，则易求结果；(2)由题意，易证CD⊥平面PA C，可得AE⊥C D，由题意易知AC＝PA，又因为E是PC 的中点,所以AE⊥P C，则结论易证；(3) 过点E作EM⊥PD,垂足为M,连接AM,如图所示，由(2)知,AE⊥平面PCD,AM在平面PCD内的射影是EM,则可证得AM⊥PD，因此∠AME是二面角A—PD—C的平面角，则结论易求.20．诺贝尔奖的奖金发放方式为:每年一发,把奖金总额平均分成6份,分别奖励给在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人,每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半;另一半利息计入基金总额,以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r＝6.24%.资料显示:1999年诺贝尔发放后基金总额约为19 800万美元．设f(x)表示第x(x∈N*)年诺贝尔奖发放后的基金总额(1999年记为f(1),2000年记为f(2),…,依次类推)(1)用f(1)表示f(2)与f(3),并根据所求结果归纳出函数f(x)的表达式;(2)试根据f(x)的表达式判断网上一则新闻“2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真,并说明理由．(参考数据:1.031 29≈1.32)【答案】(1)由题意知:f(2)＝f(1)(1＋6.24%)-f(1)·6.24%＝f(1)×(1＋3.12%),f(3)＝f(2)×(1＋6.24%)-f(2)×6.24%＝f(2)×(1＋3.12%)＝f(1)×(1＋3.12%)2,∴f(x)＝19800(1＋3.12%)x-1(x∈N*)．(2)2008年诺贝尔奖发放后基金总额为f(10)＝19800(1＋3.12%)9＝26136,故2009年度诺贝尔奖各项奖金为·f(10)·6.24%≈136(万美元),与150万美元相比少了约14万美元,是假新闻．【解析】本题主要考查指数函数、函数的解析式与求值,考查了分析问题与解决问题的能力、计算能力.(1)由题意知: f(2)＝f(1)(1＋6.24%)-f(1)·6.24%，f(3)＝f(2)×(1＋6.24%)-f(2)×6.24%，化简，即可归纳出函数f(x)的解析式；(2)根据题意，求出2008年诺贝尔奖发放后基金总额为f(10)，再求出2009年度诺贝尔奖各项奖金为·f(10)·6.24%，即可判断出结论.。

【精编】2015-2016年江苏省宿迁市宿豫中学高一(上)数学期中试卷带解析答案

2015-2016学年江苏省宿迁市宿豫中学高一（上）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|x＜2}，则A∩B=．2．（5分）若幂函数f（x）=x m﹣1在（0，+∞）上是减函数，则实数m的取值范围是．3．（5分）满足{1}⊆A⊊{1，2，3}的集合A的个数是．4．（5分）若函数f（x）=x2﹣mx+2m的一个零点大于1，另一个零点小于1，则实数m的取值范围为．5．（5分）已知函数f（x）与g（x）分别由如表给出，那么g（f（2））=．6．（5分）函数f（x）=a x（a＞0，a≠1）在区间[0，1]上的最大值与最小值之差为3，则实数a的值为．7．（5分）函数y=的定义域为．8．（5分）已知函数f（x）=x2定义域是[a，2]，值域是[0，4]，则实数a的取值范围为．9．（5分）小强从学校放学回家，先跑步后步行，如果y表示小强离学校的距离，x表示从学校出发后的时间，则下列图象中最有可能符合小强走法的是（）A． B． C． D．10．（5分）已知，则a，b，c三个数用“＜”连接表示为．11．（5分）已知定义域为R的偶函数f（x）在区间[0，+∞）上是增函数，若f （1）＜f（lgx），则实数x的取值范围是．12．（5分）函数y=|log2x|的单调递减区间是．13．（5分）根据表，能够判断方程f（x）=g（x）在四个区间：①（﹣1，0）；②（0，1）；③（1，2）；④（2，3）中有实数解的是．（将正确的序号都填上）14．（5分）已知f（x）=（x+1）•|x﹣1|，若关于x的方程f（x）=x+m有三个不同的实数解，则实数m的取值范围．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知全集U=R，函数的定义域为集合A，集合B={x|﹣2＜x＜a}．（1）求集合∁U A；（2）若A∪B=B，求a的取值范围．16．（14分）（1）已知=3，求a2+a﹣2的值；（2）求值：lg25+lg2•lg50+（lg2）2．17．（14分）已知二次函数f（x）的图象顶点为A（1，16），且图象在x轴上截得线段长为8．（1）求函数f（x）的解析式；（2）当x∈[0，2]时，关于x的函数g（x）=f（x）﹣（t﹣x）x﹣3的图象始终在x轴上方，求实数t的取值范围．18．（16分）已知函数f（x）=为奇函数．（1）求实数m的值；（2）判断函数的单调性，并用函数的单调性定义证明；（3）求满足﹣的x的取值范围．19．（16分）某批发公司批发某商品，每个商品进价80元，批发价120元．该批发商为鼓励经销商批发，决定当一次批发量超过100个时，每多批发一个，批发的全部商品的单价就降低0.04元，但最低批发价每个不能低于100元．（1）当一次订购量为多少个时，每个商品的实际批发价为100元？（2）当一次订购量为x（x∈N）个，每件商品的实际批发价为P元，写出函数P=f（x）的表达式；（3）根据市场调查发现，经销商一次最大定购量为500个，则当经销商一次批发多少个零件时，该批发公司可获得最大利润．20．（16分）已知函数f（x）=ax2﹣x+2a﹣1（a＞0）．（1）若f（x）在区间[1，2]为单调增函数，求a的取值范围；（2）设函数f（x）在区间[1，2]上的最小值为g（a），求g（a）的表达式；（3）设函数，若对任意x1，x2∈[1，2]，不等式f（x1）≥h（x2）恒成立，求实数a的取值范围．2015-2016学年江苏省宿迁市宿豫中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|x＜2}，则A∩B=[﹣1，2）．【解答】解：由全集U=R，集合A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|x＜2}，则A∩B={x|﹣1≤x≤3}∩{x|x＜2}=[﹣1，2）．故答案为：[﹣1，2）．2．（5分）若幂函数f（x）=x m﹣1在（0，+∞）上是减函数，则实数m的取值范围是（﹣∞，1）．【解答】解：∵幂函数f（x）=x m﹣1在（0，+∞）上是减函数，∴m﹣1＜0，解得m＜1．故答案为：（﹣∞，1）．3．（5分）满足{1}⊆A⊊{1，2，3}的集合A的个数是3．【解答】解：∵，∴集合A一定要含有1元素，且不能由3个元素，即A={1}，{1，2}或{1，3}．共有3个，故答案为：3．4．（5分）若函数f（x）=x2﹣mx+2m的一个零点大于1，另一个零点小于1，则实数m的取值范围为m＜﹣1．【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣mx+2m的一个零点大于1，另一个零点小于1，∴f（1）=1﹣m+2m＜0，解得：m＜﹣1，故答案为：m＜﹣15．（5分）已知函数f（x）与g（x）分别由如表给出，那么g（f（2））=4．【解答】解：由题意可知f（2）=3，g（f（2））=g（3）=4．故答案为：46．（5分）函数f（x）=a x（a＞0，a≠1）在区间[0，1]上的最大值与最小值之差为3，则实数a的值为4．【解答】解：（1）当a＞1时，有题意可得a﹣a0=a﹣1=3，解得a=4；（2）当0＜a＜1时，有题意可得a0﹣a=3，解得a=﹣2，舍去．故a=47．（5分）函数y=的定义域为[2，+∞）．【解答】解：∵4x﹣16≥0，∴4x≥16，∴x≥2，故答案为：[2，+∞）．8．（5分）已知函数f（x）=x2定义域是[a，2]，值域是[0，4]，则实数a的取值范围为﹣2≤a≤0．【解答】解：∵函数f（x）=x2的图象是开口朝上，且以x=0为对称轴的抛物线，当且仅当x=0时，函数取最小值0，又由f（x）=x2=4时，x=±2，故函数f（x）=x2定义域是[a，2]，值域是[0，4]时，﹣2≤a≤0故答案为：﹣2≤a≤09．（5分）小强从学校放学回家，先跑步后步行，如果y表示小强离学校的距离，x表示从学校出发后的时间，则下列图象中最有可能符合小强走法的是（）A． B． C． D．【解答】解：由题意知，小强离学校的距离越来越大，且先快后慢，故选：C．10．（5分）已知，则a，b，c三个数用“＜”连接表示为b＜a＜c．【解答】解：∵0＜＜1，b=＜0，c=＞1，∴b＜a＜c，故答案为：b＜a＜c．11．（5分）已知定义域为R的偶函数f（x）在区间[0，+∞）上是增函数，若f（1）＜f（lgx），则实数x的取值范围是．【解答】解：∵函数f（x）是定义域为R的偶函数且函数f（x）在区间[0，+∞）上是增函数，则函数f（x）在区间（﹣∞，0]上是减函数，若f（1）＜f（lgx），则1＜|lgx|即lgx＜﹣1，或lgx＞1解得x∈故答案为：12．（5分）函数y=|log2x|的单调递减区间是（0，1] ．【解答】解：由对数函数性质知，函数y=log2x是一个增函数，当x∈（0，1]时，函数值小于等于0函数y=|log2x|的图象可由函数y=log2x的图象X轴下方的部分翻到X轴上面，X 轴上面部分不变而得到由此知，函数y=|log2x|的单调递减区间是（0，1]故答案为（0，1]13．（5分）根据表，能够判断方程f（x）=g（x）在四个区间：①（﹣1，0）；②（0，1）；③（1，2）；④（2，3）中有实数解的是②．（将正确的序号都填上）【解答】解：设函数h（x）=f（x）﹣g（x），则h（﹣1）=f（﹣1）﹣g（﹣1）=﹣0.6﹣（﹣0.5）=﹣0.1＜0，h（0）=f（0）﹣g（0）=3.1﹣3.4=﹣0.3＜0，h（1）=f（1）﹣g（1）=5.4﹣4.8=0.6＞0，h（2）=f（2）﹣g（2）=5.9﹣5.2=0.7＞0，h（3）=f（3）﹣g（3）=7﹣6=1＞0，∴h（0）•h（1）＜0，由零点存在定理，得函数h（x）=f（x）﹣g（x）的零点存在区间为（0，1），故答案为：②．14．（5分）已知f（x）=（x+1）•|x﹣1|，若关于x的方程f（x）=x+m有三个不同的实数解，则实数m的取值范围．【解答】解：由f（x）=（x+1）|x﹣1|=得函数y=f（x）的图象（如图）．由得x2+x+m﹣1=0，∴△=1﹣4（m﹣1）=5﹣4m，由△=0，得m=，∴由其图象可知f（x）=x+m有三个不同的实数解，就是直线y=x+m与抛物线f（x）=有三个交点，由图可知﹣1＜m＜，∴实数m的取值范围是﹣1＜m＜．故答案为：﹣1＜m＜．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知全集U=R，函数的定义域为集合A，集合B={x|﹣2＜x＜a}．（1）求集合∁U A；（2）若A∪B=B，求a的取值范围．【解答】解：（1）因为集合A表示的定义域，所以，即A=（﹣2，3）…（6分）所以C U A=（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）…（8分）（2）因为A∪B=B，所以A⊆B…（12分）∴a≥3 …（14分）16．（14分）（1）已知=3，求a2+a﹣2的值；（2）求值：lg25+lg2•lg50+（lg2）2．【解答】解：（1）由，得，即：，．（2）原式=lg25+lg2（lg50+lg2）=lg25+2lg2=lg100=2．17．（14分）已知二次函数f（x）的图象顶点为A（1，16），且图象在x轴上截得线段长为8．（1）求函数f（x）的解析式；（2）当x∈[0，2]时，关于x的函数g（x）=f（x）﹣（t﹣x）x﹣3的图象始终在x轴上方，求实数t的取值范围．【解答】解：（1）∵二次函数图象顶点为（1，16），∴函数的对称轴为x=1∵在x轴上截得线段长为8，∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣3，0），（5，0），…（2分）又∵开口向下，设原函数为f（x）=a（x+3）（x﹣5）（a＜0）…（4分）将（1，16）代入得a=﹣1，…（6分）∴所求函数f（x）的解析式为f（x）=﹣x2+2x+15．…（7分）（2）g（x）=f（x）﹣（t﹣x）x﹣3=（2﹣t）x+12，x∈[0，2]…（9分）由g（x）得图象在x轴上方，根据一次函数的性质可得，…（12分）即﹣2t+16＞0解得t＜8 …（14分）18．（16分）已知函数f（x）=为奇函数．（1）求实数m的值；（2）判断函数的单调性，并用函数的单调性定义证明；（3）求满足﹣的x的取值范围．【解答】解：（1）因为f（x）是奇函数，所以对x∈R恒成立，化简得（（m﹣2）（5x+1）=0，所以m=2…（4分）（2）在R上为单调增函数，…（6分）证明：任意取x1，x2∈R，且x1＜x2，则，所以f（x1）＜f（x2），所以f（x）在R上为单调增函数．…（10分）（3）因为，所以f（﹣1）=﹣，所以﹣可化为f（﹣1）＜f（x﹣1）＜…（14分）因为f（x）在R上为单调增函数，所以﹣1＜x﹣1＜，所以0＜x＜…（16分）19．（16分）某批发公司批发某商品，每个商品进价80元，批发价120元．该批发商为鼓励经销商批发，决定当一次批发量超过100个时，每多批发一个，批发的全部商品的单价就降低0.04元，但最低批发价每个不能低于100元．（1）当一次订购量为多少个时，每个商品的实际批发价为100元？（2）当一次订购量为x（x∈N）个，每件商品的实际批发价为P元，写出函数P=f（x）的表达式；（3）根据市场调查发现，经销商一次最大定购量为500个，则当经销商一次批发多少个零件时，该批发公司可获得最大利润．【解答】解：（1）设一次订购量为100+n（n∈N），则批发价为120﹣0.04n，令120﹣0.04n=100，解得n=500；所以当一次订购量为600个时，每件商品的实际批发价为100元；…（5分）（2）当0≤x≤100时，f（x）=120，当100＜x≤600时，f（x）=120﹣0.04（x﹣100）=124﹣0.04x，所以函数P=f（x）=；…（10分）（3）当经销商一次批发x个零件时，该批发公司可获得利润为y，根据题意知：当0≤x≤100时，y=40x，在x=100时，y取得最大值为4000；…（12分）当100＜x≤500时，y=[40﹣0.04（x﹣100）]•x=﹣0.04x2+44x=﹣0.04（x﹣550）2+12100；所以当x=500时，y取得最大值为12000；…（15分）答：当经销商一次批发500个零件时，该批发公司可获得最大利润．…（16分）20．（16分）已知函数f（x）=ax2﹣x+2a﹣1（a＞0）．（1）若f（x）在区间[1，2]为单调增函数，求a的取值范围；（2）设函数f（x）在区间[1，2]上的最小值为g（a），求g（a）的表达式；（3）设函数，若对任意x1，x2∈[1，2]，不等式f（x1）≥h（x2）恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）=ax2﹣x+2a﹣1（a＞0）的图象是开口朝上，且以直线x=为对称轴的抛物线，若f（x）在区间[1，2]为单调增函数则，解得：…（2分）（2）①当0＜＜1，即a＞时，f（x）在区间[1，2]上为增函数，此时g（a）=f（1）=3a﹣2…（6分）②当1≤≤2，即时，f（x）在区间[1，]是减函数，在区间[，2]上为增函数，此时g（a）=f（）=…（7分）③当＞2，即0＜a＜时，f（x）在区间[1，2]上是减函数，此时g（a）=f（2）=6a﹣3…（8分）综上所述：…（10分）（3）对任意x1，x2∈[1，2]，不等式f（x1）≥h（x2）恒成立，即f（x）min≥h（x）max，由（2）知，f（x）min=g（a）又因为函数，所以函数h（x）在[1，2]上为单调减函数，所以，…（12分）①当时，由g（a）≥h（x）max得：，解得，（舍去）…（13分）②当时，由g（a）≥h（x）max得：，即8a2﹣2a﹣1≥0，∴（4a+1）（2a﹣1）≥0，解得所以…（5分）③当时，由g（a）≥h（x）max得：，解得，所以a综上所述：实数a的取值范围为…（16分）赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。

2015-2016学年江苏省宿迁市高一(上)期末数学试卷

2015-2016学年江苏省宿迁市高一（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1. cos 120∘的值为________．2. 已知幂函数f(x)=x a的图象经过点(9, 3)，则a =________．3. 在平面直角坐标系中，已知角α的终边经过点P(3, −2)，则tan α的值为________．4. 已知集合A =[3, 9)，B =[a, +∞)．若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________．5. 函数f(x)=√x −1+1x−2的定义域是________．6. 已知向量a →=(4, 2)，b →=(3, −1)，则向量a →与b →的夹角为________．7. 扇形的半径为6，圆心角为π3，则此扇形的面积为________．8. 计算：(23)0+3×(94)−12+(lg 4+lg 25)的值是________．9. 若方程lg (x +1)+x −3=0在区间(k, k +1)内有实数根，则整数k 的值为________．10. 已知函数f(x)={x −4,x ≥10,f(x +5),x <10,则f(4)的值为________．11. 已知向量a →=(2, sin θ)，b →=(1, cos θ)，若a → // b →，则sin 2θ1+cos 2θ的值为________．12. 已知函数f(x)=sin x ，g(x)={−1x ，x <0，lg x,x >0，则函数ℎ(x)=f(x)−g(x)在区间[−2π, 4π]内的零点个数为________．13. 将函数f(x)=cos x 图象上每一点的横坐标变为原来的1ω(ω>0)倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移π12个单位长度，所得图象关于直线x =π4对称，则ω的最小值为________．14. 已知函数f(x)=x 2+|4x −a|（a 为常数）．若f(x)的最小值为6，则a 的值为________．二、解答题：本大题共6小题，15-17每题14分，18-20每题16分，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．已知函数f(x)=sin x 的值域为集合A ，集合B =[12，+∞)，全集U =R ．(1)求A ∩B ；(2)求∁U (A ∪B)．已知函数f(x)=A sin (3x +φ)在x =π12时取得最大值4，其中A >0，0<φ<π．(1)求函数f(x)的单调增区间；(2)若f(α+π12)=125，求cos (3α+π)的值．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(2, 1)，B(4, 5)，C(−1, −1)． (1)求以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)若向量AC →−tOB →与向量OB →垂直，求实数t 的值．已知物体初始温度是T 0，经过t 分钟后物体温度是T ，且满足T =T α+(T 0−T α)⋅2−kt ，（T α为室温，k 是正常数）．某浴场热水是由附近发电厂供应，已知从发电厂出来的 95∘C 的热水，在15∘C 室温下，经过100分钟后降至25∘C ． (1)求k 的值；(2)该浴场先用冷水将供应的热水从95∘C 迅速降至55∘C ，然后在室温15∘C 下缓慢降温供顾客使用．当水温在33∘C 至43∘C 之间，称之为“洗浴温区”．问：某人在“洗浴温区”内洗浴时，最多可洗浴多长时间？（结果保留整数）（参考数据：2−0.5≈0.70，2−1.2≈0.45）已知函数f(x)=ln x+1．x−1(1)判断函数f(x)的奇偶性，并给出证明；(2)解不等式：f(x2+x+3)+f(−2x2+4x−7)>0；(3)若函数g(x)=ln x−(x−1)在(1, +∞)上单调递减，比较f(2)+f(4)+...+f(2n)与2n(n∈N∗)的大小关系，并说明理由．．已知函数f(x)=x2−2x+a的最小值为0，a∈R．记函数g(x)=f(x)x(1)求a的值；(2)若不等式g(2x)−m⋅2x+1≤0对任意x∈[−1, 1]都成立，求实数m的取值范围；(3)若关于x的方程g(|f(x)−1|)=k−k⋅2有六个不相等的实数根，求实数k的取值范围．|f(x)−1|参考答案与试题解析2015-2016学年江苏省宿迁市高一（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1.【答案】−1 2【考点】诱导公式【解析】此题暂无解析【解答】解：cos120∘=cos(180∘−60∘)=−cos60∘=−12．故答案为：−12．2.【答案】12【考点】幂函数图象及其与指数的关系【解析】直接利用点满足函数的解析式求出a即可．【解答】解：幂函数f(x)=x a的图象经过点(9, 3)，所以3=9a，a=12．故答案为：12．3.【答案】−2 3【考点】象限角、轴线角任意角的概念【解析】根据题意任意角三角函数的定义即可求出．【解答】解：由α的终边经过点P(3, −2)，可知tanα=yx=−23.故答案为：−23．4.【答案】(−∞, 3]【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】由集合A，B又A⊆B，可直接求出实数a的取值范围．【解答】解：∵集合A=[3, 9)，B=[a, +∞)，若A⊆B，则a≤3，则实数a的取值范围是a≤3．故答案为：(−∞, 3]．5.【答案】{x|x≥1且x≠2}【考点】函数的定义域及其求法【解析】根据二次根式的性质得到关于x的不等式组，解出即可．【解答】解：由题意得：{x−1≥0，x−2≠0，解得：{x|x≥1且x≠2}.故答案为：{x|x≥1且x≠2}．6.【答案】π4【考点】数量积表示两个向量的夹角【解析】由题意和向量的夹角公式可得夹角余弦值，可得夹角．【解答】解：∵向量a→=(4, 2)，b→=(3, −1)，设a→与b→的夹角为θ，∴由夹角公式可得cosθ=|cos⟨a→,b→⟩|=|a→⋅b→|a→||b→||=20⋅10⋅=√22,由θ∈[0, π]可得夹角θ=π4.故答案为：π4.7.【答案】 6π【考点】扇形面积公式弧长公式【解析】先计算扇形的弧长，再利用扇形的面积公式可求扇形的面积．【解答】解：根据扇形的弧长公式可得l =αr =π3×6=2π，根据扇形的面积公式可得S =12lr =12×2π×6=6π．故答案为：6π． 8.【答案】 5【考点】对数的运算性质有理数指数幂的化简求值【解析】利用指数，对数的性质、运算法则求解．【解答】解：(23)0+3×(94)−12+(lg 4+lg 25)=1+3×23+lg 100=1+2+2 =5．故答案为：5． 9.【答案】 2【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】令f(x)=lg (x +1)+x −3，则f(x)在区间(k, k +1)(k ∈Z)上单调递增，方程lg (x +1)+x −3=0的实数根即为f(x)的零点，根据f(x)在(2, 3)上有唯一零点，可得k 的值．【解答】解：令f(x)=lg (x +1)+x −3，则f(x)在区间(k, k +1)(k ∈Z )上单调递增，由于f(2)=lg 3−1<0，f(3)=lg 4>0，∴ f(2)f(3)<0，f(x)在(2, 3)上有唯一零点．∵ 方程lg (x +1)+x −3=0的实数根即为f(x)的零点，故f(x)在区间(k, k +1)(k ∈Z )上有唯一零点． ∴ k =2.故答案为：2． 10.【答案】 10【考点】分段函数的应用【解析】直接利用分段函数化简求解即可．【解答】解：函数f(x)={x −4,x ≥10，f(x +5),x <10，则f(4)=f(4+5)=f(9+5)=f(14)=14−4=10．故答案为：10. 11. 【答案】23【考点】三角函数的化简求值平行向量的性质【解析】先求出tan θ的值，结合sin 2θ1+cos 2θ=tan 2θtan 2θ+2，代入求出即可．【解答】解：∵ a →=(2, sin θ)，b →=(1, cos θ)，a → // b →， ∴ 2cos θ=sin θ， ∴ tan θ=2， ∴sin 2θ1+cos 2θ=sin 2θsin 2θ+2cos 2θ=tan 2θtan 2θ+2=44+2=23.故答案为：23． 12.【答案】 5【考点】根的存在性及根的个数判断【解析】由ℎ(x)=f(x)−g(x)=0．得f(x)=g(x)，作出函数f(x)和g(x)的图象，利用数形结合进行判断即可．【解答】解：由ℎ(x)=f(x)−g(x)=0．得f(x)=g(x)，作出函数f(x)和g(x)的图象如图：由图象知两个函数在区间[−2π, 4π]内的交点个数为5个，即函数ℎ(x)=f(x)−g(x)在区间[−2π, 4π]内的零点个数为5个. 故答案为：5． 13.【答案】 6【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换【解析】由条件利用三角函数的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，求得ω的最小值．【解答】解：将函数f(x)=cos x 图象上每一点的横坐标变为原来的1ω(ω>0)倍（纵坐标不变），可得函数y =cos ωx 的图象；再将得到的图象向右平移π12个单位长度，可得函数y =cos [ω(x −π12)]=cos (ωx −ωπ12)的图象；再根据所得图象关于直线x =π4对称，可得：π4ω−ωπ12=kπ，(k ∈Z )，即ω=6k ，k ∈Z ，故φ的最小值为6．故答案为：6． 14.【答案】 −10或10 【考点】函数的最值及其几何意义【解析】去掉绝对值，讨论a =0，可得x =0处取得最小值；a >0，0<a ≤8时，a >8时，讨论对称轴和区间的关系，可得最小值，讨论a <0，−8≤a <0时，a <−8时，讨论对称轴和区间的关系，即可得到最小值，解方程可得a 的值．【解答】解：f(x)=x 2+|4x −a|={x 2+4x −a ，x ≥a 4x 2−4x +a ，x <a 4，当a =0时，f(x)在x ≥0递增，在x <0递减，可得x =0处取得最小值，且为0；当a >0时，f(x)在x ≥a4递增，若a4≤2，即0<a ≤8时，f(x)递减，可得x =a4处取得最小值，且为a 216，由a 216=6，解得a =4√6>8不成立；若a4>2，即a >8时，f(x)在x <2递减，2<x <a4递增，即有x =2处取得最小值，且为4−8+a =6，解得a =10；当a <0时，f(x)在x <a4递减，若a 4≥−2，即−8≤a <0时，f(x)在x ≥a4递增，可得x =a4处取得最小值，且为a 216，由a 216=6，解得a =−4√6<−8不成立；若a4<−2，即a <−8时，f(x)在a4<x <−2递减，在x >−2递增，即有x =−2处取得最小值，且为4−8−a =6，解得a =−10．综上可得a 的取值为−10或10．故答案为：−10或10．二、解答题：本大题共6小题，15-17每题14分，18-20每题16分，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【答案】解：(1)∵ f(x)=sin x 的值域为集合A ， ∴ A =[−1, 1]， ∵ 集合B =[12，+∞)，∴ A ∩B =[12，1].(2)A ∪B =[−1, +∞)， ∵ 全集U =R ．∴ C U (A ∪B)=(−∞, −1)．【考点】交、并、补集的混合运算【解析】由题意和交集并集的运算先求出A ∩B ，A ∪B ，再由补集的运算求出∁U(A ∪B)．【解答】解：(1)∵ f(x)=sin x 的值域为集合A ， ∴ A =[−1, 1]， ∵ 集合B =[12，+∞)， ∴ A ∩B =[12，1].(2)A∪B=[−1, +∞)，∵全集U=R．∴C U(A∪B)=(−∞, −1)．【答案】解：(1)因为函数f(x)=A sin(3x+φ)在x=π12时取得最大值4且A>0．所以A=4，且sin(3×π12+φ)=1，所以π4+φ=π2+2kπ，(k∈Z)，又因为0<φ<π，所以φ=π4，即f(x)=4sin(3x+π4)．令−π2+2kπ≤3x+π4≤π2+2kπ，k∈Z，得−π4+2kπ3≤x≤π12+2kπ3，k∈Z．所以函数y=f(x)的单调增区间为[−π4+2kπ3，π12+2kπ3]，k∈Z．(2)因为f(α+π12)=4sin[3×(α+π12)+π4]=4sin(3α+π2)=4cos3α=125，所以cos3α=35．因此cos(3α+π)=−cos3α=−35．【考点】正弦函数的单调性【解析】（1）根据函数的最值确定A，和φ的值即可得到结论．（2）根据三角函数的诱导公式进行化简求解即可．【解答】解：(1)因为函数f(x)=A sin(3x+φ)在x=π12时取得最大值4且A>0．所以A=4，且sin(3×π12+φ)=1，所以π4+φ=π2+2kπ，(k∈Z)，又因为0<φ<π，所以φ=π4，即f(x)=4sin(3x+π4)．令−π2+2kπ≤3x+π4≤π2+2kπ，k∈Z，得−π4+2kπ3≤x≤π12+2kπ3，k∈Z．所以函数y=f(x)的单调增区间为[−π4+2kπ3，π12+2kπ3]，k∈Z．(2)因为f(α+π12)=4sin[3×(α+π12)+π4]=4sin(3α+π2)=4cos3α=125，所以cos3α=35．因此cos(3α+π)=−cos3α=−35．【答案】解：(1)AB→=(2,4)，AC→=(−3,−2)，由AB→+AC→=(−1,2)，得|AB→+AC→|=√5，由AB→−AC→=(5,6)，得|AB→−AC→|=√61．故以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长√5，√61．(2)OB→=(4,5)，由向量AC→−tOB→与OB→垂直，得(AC→−tOB→)⋅OB→=0，又AC→−tOB→=(−3,−2)−t(4,5)=(−3−4t,−2−5t)，∴(−3−4t)×4+(−2−5t)×5=0，解得t=−2241．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系向量加减混合运算及其几何意义【解析】（1）利用向量的坐标运算、数量积运算性质即可得出．（2）利用向量垂直与数量积的关系即可得出．【解答】解：(1)AB→=(2,4)，AC→=(−3,−2)，由AB→+AC→=(−1,2)，得|AB→+AC→|=√5，由AB→−AC→=(5,6)，得|AB→−AC→|=√61．故以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长√5，√61．(2)OB→=(4,5)，由向量AC→−tOB→与OB→垂直，得(AC→−tOB→)⋅OB→=0，又AC→−tOB→=(−3,−2)−t(4,5)=(−3−4t,−2−5t)，∴(−3−4t)×4+(−2−5t)×5=0，解得t=−2241．【答案】解：(1)将Tα=15、T0=95、T=25、t=100代入关系式T=Tα+(T0−Tα)⋅2−kt，得：25=15+(95−15)⋅2−100k，2−100k=18=2−3，解得：k=3100.(2)由(1)，将T0=55代入关系式T=Tα+(T0−Tα)⋅2−kt，得：T=15+(55−15)⋅2−3100t=15+40⋅2−3100t，令33≤15+40⋅2−3100t≤43，即0.45≤2−3100t≤0.7，∵2−0.5≈0.70，2−1.2≈0.45，∴2−1.2≤2−3100t≤2−0.5，解得：503≤t≤40，∴某人在“洗浴温区”内洗浴时，最多可洗浴40−503≈23分钟．【考点】函数模型的选择与应用【解析】（1）通过将Tα=15、T0=95、T=25、t=100代入T=Tα+(T0−Tα)⋅2−kt，进而计算可得结论；（2）通过（1）将T0=55代入T=Tα+(T0−Tα)⋅2−kt，整理得0.45≤2−3100t≤0.7，利用2−0.5≈0.70、2−1.2≈0.45化简即得结论．【解答】解：(1)将Tα=15、T0=95、T=25、t=100代入关系式T=Tα+(T0−Tα)⋅2−kt，得：25=15+(95−15)⋅2−100k，2−100k=18=2−3，解得：k=3100.(2)由(1)，将T0=55代入关系式T=Tα+(T0−Tα)⋅2−kt，得：T=15+(55−15)⋅2−3100t=15+40⋅2−3100t，令33≤15+40⋅2−3100t≤43，即0.45≤2−3100t≤0.7，∵2−0.5≈0.70，2−1.2≈0.45，∴2−1.2≤2−3100t≤2−0.5，解得：503≤t≤40，∴某人在“洗浴温区”内洗浴时，最多可洗浴40−503≈23分钟．【答案】解：(1)函数f(x)为奇函数．证明如下：由x+1x−1>0，解得x<−1或x>1，所以函数的定义域为(−∞, −1)∪(1, +∞),对任意的x∈(−∞, −1)∪(1, +∞)，有f(−x)=ln−x+1−x−1=ln x−1x+1=ln(x+1x−1)−1=−ln(x+1x−1)=−f(x)，所以函数f(x)为奇函数．(2)任取x1，x2∈(1, +∞)，且x1<x2，则f(x1)−f(x2)=ln x1+1x1−1−ln x2+1x2−1=ln(x1+1)⋅(x2−1)(x1−1)⋅(x2+1)=ln x1⋅x2−(x2−x1)−1˙，因为x2>x1>1，所以x1⋅x2+x2−x1−1>x1⋅x2−(x2−x1)−1>0，所以x1⋅x2−(x2−x1)−1˙>1，所以f(x1)−f(x2)>0，所以f(x1)>f(x2)，所以函数y=f(x)在(1, +∞)单调递减；由f(x2+x+3)+f(−2x2+4x−7)>0得：f(x2+x+3)>−f(−2x2+4x−7)，即f(x2+x+3)>f(2x2−4x+7)，又x2+x+3=(x+12)2+114>1，2x2−4x+7=2(x−1)2+5>1，所以x2+x+3<2x2−4x+7，解得：x<1或x>4，所以原不等式的解集为：(−∞, 1)∪(4, +∞)．(3)f(2)+f(4)+...+f(2n)<2n(n∈N∗)．理由如下：因为f(2)+f(4)+⋯+f(2n)=ln(31×53×75×…×2n+12n−1)=ln(2n+1)，所以f(2)+f(4)+...+f(2n)−2n=ln(2n+1)−2n=ln(2n+1)−[(2n+1)−1]，又g(x)=ln x−(x−1)在(1, +∞)上单调递减，所以当x>1时，g(x)<g(1)=0，所以g(2n+1)<0，即ln(2n+1)−[(2n+1)−1]<0，故f(2)+f(4)+...+f(2n)<2n(n∈N∗)．【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】（1）根据函数奇偶性的定义进行判断即可．（2）根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化即可．（3）根据函数单调性的性质结合对数函数的运算法则进行求解即可．【解答】解：(1)函数f(x)为奇函数．证明如下：由x+1x−1>0，解得x<−1或x>1，所以函数的定义域为(−∞, −1)∪(1, +∞), 对任意的x ∈(−∞, −1)∪(1, +∞)，有f(−x)=ln−x+1−x−1=lnx−1x+1=ln (x+1x−1)−1=−ln (x+1x−1)=−f(x)，所以函数f(x)为奇函数．(2)任取x 1，x 2∈(1, +∞)，且x 1<x 2，则 f(x 1)−f(x 2)=ln x 1+1x 1−1−ln x 2+1x 2−1=ln (x 1+1)⋅(x 2−1)(x 1−1)⋅(x 2+1)=ln x 1⋅x 2−(x 2−x 1)−1˙，因为x 2>x 1>1，所以x 1⋅x 2+x 2−x 1−1>x 1⋅x 2−(x 2−x 1)−1>0，所以x 1⋅x 2−(x 2−x 1)−1˙>1，所以f(x 1)−f(x 2)>0，所以f(x 1)>f(x 2)，所以函数y =f(x)在(1, +∞)单调递减；由f(x 2+x +3)+f(−2x 2+4x −7)>0得：f(x 2+x +3)>−f(−2x 2+4x −7)，即f(x 2+x +3)>f(2x 2−4x +7)，又x 2+x +3=(x +12)2+114>1，2x 2−4x +7=2(x −1)2+5>1，所以x 2+x +3<2x 2−4x +7，解得：x <1或x >4，所以原不等式的解集为：(−∞, 1)∪(4, +∞)． (3)f(2)+f(4)+...+f(2n)<2n(n ∈N ∗)．理由如下：因为f(2)+f(4)+⋯+f(2n)=ln (31×53×75×…×2n+12n−1)=ln (2n +1)，所以f(2)+f(4)+...+f(2n)−2n =ln (2n +1)−2n =ln (2n +1)−[(2n +1)−1]，又g(x)=ln x −(x −1)在(1, +∞)上单调递减，所以当x >1时，g(x)<g(1)=0，所以g(2n +1)<0，即ln (2n +1)−[(2n +1)−1]<0，故f(2)+f(4)+...+f(2n)<2n(n ∈N ∗)．【答案】解：(1)f(x)=x 2−2x +a =(x −1)2+a −1，即有x =1时f(x)取最小值a −1，令a −1=0，解得：a =1. (2)由已知可得g(x)=f(x)x=x +1x−2，故不等式g(2x )−m ⋅2x+1≤0对任意的x ∈[−1, 1]都成立，可化为：2x +12x −2≤m ⋅2x+1对任意的x ∈[−1, 1]都成立，即12[1+(12x )2−2⋅12x ]≤m 对任意的x ∈[−1, 1]都成立，令t =12x ，由x ∈[−1, 1]，所以t ∈[12, 2]，则问题转化为不等式m ≥12(t −1)2对任意的t ∈[12, 2]都成立，记ℎ(t)=12(t −1)2，则ℎ(t)max =ℎ(2)=12，所以m 的取值范围是[12, +∞).(3)当x =0，2时，f(x)−1=0，所以x =0，2不是方程的解；当x ≠0且x ≠2时，令t =|f(x)−1|=|x 2−2x|，则当x ∈(−∞, 0)时，t =x 2−2x 递减，且t ∈(0, +∞)，当x ∈(0, 1]时，t =2x −x 2递增，且t ∈(0, 1]，当x ∈(1, 2)时，t =2x −x 2递减，且t ∈(0, 1)，当x ∈(2, +∞)时，t =x 2−2x 递增，且t ∈(0, +∞)；故原方程有六个不相等的实数根可转化为t 2−(k +2)t +(2k +1)=0 有两个不相等的实数根t 1，t 2，其中0<t 1<1，t 2>1，记φ(t)=t 2−(t +2)t +(2k +1)，则{φ(0)=2k +1>0φ(1)=k <0，所以实数k 的取值范围是(−12, 0)．【考点】函数恒成立问题根的存在性及根的个数判断【解析】（1）配方，即可求出x =1时，二次函数的最小值，可得a =1；（2）化简g(x)，由题意可得2x +12x−2≤m ⋅2x+1对任意的x ∈[−1, 1]都成立，即12[1+(12x )2−2⋅12x]≤m对任意的x ∈[−1, 1]都成立，令t =12x ，由x ∈[−1, 1]，t ∈[12, 2]，即有不等式m ≥12(t −1)2对任意的t ∈[12, 2]都成立，求出右边函数的最大值，即可得到所求范围；（3）讨论当x =0，2时，f(x)−1=0，所以x =0，2不是方程的解；当x ≠0且x ≠2时，令t =|f(x)−1|=|x 2−2x|，讨论x <0，0<x <1，1<x <2，x >2，结合单调性，求得t 的范围，再由t 2−(k +2)t +(2k +1)=0有两个不相等的实数根t 1，t 2，其中0<t 1<1，t 2>1，运用二次方程实根分布即可得到所求范围．【解答】解：(1)f(x)=x 2−2x +a =(x −1)2+a −1，即有x =1时f(x)取最小值a −1，令a −1=0，解得：a =1. (2)由已知可得g(x)=f(x)x=x +1x −2，故不等式g(2x )−m ⋅2x+1≤0对任意的x ∈[−1, 1]都成立，可化为：2x +12x −2≤m ⋅2x+1对任意的x ∈[−1, 1]都成立，即12[1+(12x )2−2⋅12x ]≤m 对任意的x ∈[−1, 1]都成立，令t =12x，由x ∈[−1, 1]，所以t ∈[12, 2]，则问题转化为不等式m ≥12(t −1)2对任意的t ∈[12, 2]都成立，记ℎ(t)=12(t −1)2，则ℎ(t)max =ℎ(2)=12，所以m 的取值范围是[12, +∞).(3)当x =0，2时，f(x)−1=0，所以x =0，2不是方程的解；当x ≠0且x ≠2时，令t =|f(x)−1|=|x 2−2x|，则当x ∈(−∞, 0)时，t =x 2−2x 递减，且t ∈(0, +∞)，当x ∈(0, 1]时，t =2x −x 2递增，且t ∈(0, 1]，当x ∈(1, 2)时，t =2x −x 2递减，且t ∈(0, 1)，当x ∈(2, +∞)时，t =x 2−2x 递增，且t ∈(0, +∞)；故原方程有六个不相等的实数根可转化为t 2−(k +2)t +(2k +1)=0 有两个不相等的实数根t 1，t 2，其中0<t 1<1，t 2>1，记φ(t)=t 2−(t +2)t +(2k +1)，则{φ(0)=2k +1>0φ(1)=k <0，所以实数k 的取值范围是(−12, 0)．。

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