2018-2019学年浙江省慈溪市六校高二上学期期中考试数学试题 解析版

绝密★启用前浙江省慈溪市六校2018-2019学年高二上学期期中考试数学试题一、单选题1．直线的倾斜角为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】利用直线的倾斜角与斜率的关系即可得出．【详解】设直线x+y﹣1=0的倾斜角为α．直线x+y﹣1=0化为．∴tanα=﹣．∵α∈[0°，180°），∴α=150°．故选：D．【点睛】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题．2．若直线过第一、三、四象限，则实数满足（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】根据题意画出图形，结合图形知a＞0且b＞0．【详解】直线过第一、三、四象限，如图所示；则a ＞0，-b ＜0． 即a ＞0且b ＞0． 故选：C ． 【点睛】本题考查了直线方程的应用问题，是基础题．3．点P ()51,12a a +在圆()2211x y -+=的内部，则a 的取值范围是 （ ）A ． 1a <B ． 113a <C ． 15a <D ． 113a < 【答案】D【解析】由圆（x ﹣1）2+y 2=1，得到圆心坐标为（1，0），半径r=1， 点P 在圆（x ﹣1）2+y 2=1内部⇔（5a+1﹣1）2+（12a ）2＜1⇔113a <． 故选D 4．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A ． 若，则B ． 若，则C ． 若，则D ． 若，则【答案】D 【解析】 【分析】依据空间中的线与线，线与面的有关结论，不难得到正确结论． 【详解】A 、由于α∥β，m ⊂α，则m ∥β，又n ⊂β，可得m ∥n 或m ，n 异面，故A 错；B 、由于，可得m ∥n 或m ，n 异面或m ，n 相交，故B 错；C 、由于，故则或相交，故C 错；D 、由于，结合面面垂直性质定理可知，故D 正确．故选：D ． 【点睛】本题考查的知识点是判断命题真假，比较综合的考查了空间中直线与平面的位置关系，我们需对四个结论逐一进行判断，可以得到正确的结论．5．已知直线l 过点(1,2)P -,且在x 轴和y 轴上的截距互为相反数，则直线l 的方程为（ ）A ．30x y --=B ．1020x y x y ++=+=或C ．3020x y x y --=+=或D ．103020x y x y x y ++=--=+=或或 【答案】C 【解析】试题分析：当直线过原点及()1,2-时，直线为20x y +=；当直线不过原点时，设直线为1x y a a+=-，代入()1,2-，得3a =，所以方程为30x y --=，故选C ． 考点：直线的方程．【易错点睛】对于直线的截距方程1x ya b+=中应注意：（1）其中a 为直线在x 轴上的截距，b 为直线在y 轴上的截距；（2）截距是坐标而不是距离，可正可负可为零．因此在解题过程设截距方程时，要分直线过原点和不过原点讨论，否则易造成漏解．6．已知不等式组表示的平面区域为，若函数的图象上存在区域内的点，则实数的取值范围是（ ）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】结合二元一次不等式（组）与平面区域的关系画出其表示的平面区域，再利用函数y=|x ﹣1|的图象特征，结合区域的角上的点即可解决问题．【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：作出函数y=|x﹣1|的图象如图：则函数的图象关于x=1对称，沿着对称轴x=1平移y=|x﹣1|图象，由图象可知当图象经过点B时函数m取得最小值，当图象经过点D时，m取得最大值，由，解得，即B（2，﹣1）．此时﹣1=|2﹣1|+m，即m=﹣2，由，解得，即D（1，1），此时1=m，即m=1，则实数m的取值范围﹣2≤m≤1，故选：A．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．利用平移确定目标函数取得最优解的条件是解决本题的关键．，分别在这个二面角的7．如右图在一个二面角的棱上有两个点A，B，线段AC BD两个面内，并且都垂直于棱AB，AB 4cm AC 6cm BD 8cm CD ====，，，，则这个二面角的度数为( )A ． 30°B ． 60°C ． 90°D ． 120° 【答案】B【解析】过点A 作AE BD 且AE BD =，连接,CE DE ，则AE AB ⊥，即CAE ∠为二面角的平面角，由题意，得2228652AE BD AC CE CD ED ====-=，，，由余弦定理，得2226436521cos 22862AE AC CE CAE AE AC +-+-∠===⋅⨯⨯，则060CAE ∠=，即这个二面角的度数为060；故选B.8．如图，在长方形中，，，点为线段上一动点，现将沿折起，使点在面内的射影在直线上，当点从运动到，则点所形成轨迹的长度为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】根据图形的翻折过程中变与不变的量和位置关系知，若连接D'K ，则D'KA=90°，得到K 点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形的边长得到圆的半径，求得此弧所对的圆心角的弧度数，利用弧长公式求出轨迹长度． 【详解】由题意，将△AED沿AE折起，使平面AED⊥平面ABC，在平面AED内过点D作DK⊥AE，K为垂足，由翻折的特征知，连接D'K，则D'KA=90°，故K点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形知圆半径是，如图当E与C重合时，AK==，取O为AD′的中点，得到△OAK是正三角形．故∠K0A=，∴∠K0D'=，其所对的弧长为=，故选：【点睛】本题考查与二面角有关的立体几何综合题目，解题的关键是由题意得出点K的轨迹是圆上的一段弧，翻折问题中要注意位置关系与长度等数量的变与不变，属于中档题目．9．已知圆的方程为，圆与直线相交于两点，且（为坐标原点），则实数的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】将直线方程代入圆的方程，利用韦达定理，及以AB为直径的圆过原点，可得关于a的方程，即可求解．【详解】由直线x+2y﹣4=0与圆x2+y2﹣2x﹣4y+a=0，消去y，得5x2﹣8x﹣16+4a=0①设直线l和圆C的交点为A （x1，y1），B（x2，y2），则x1、x2是①的两个根．∴x1x2=，x1+x2=．②由题意有：OA⊥OB，即x1x2+y1y2=0，∴x1x2+（4﹣x1）（4﹣x2）=0，即x1x2﹣（x1+x2）+4=0③将②代入③得：a=．故选：A．【点睛】本题综合考查直线与圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于基本知识的考查与应用．10．如图，在棱长为的正方体中，分别为棱的中点，是线段的中点，若点分别为线段上的动点，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】连接B1D1交EF于G，连接PG，则EF⊥平面B1D1DB，故EF⊥PG，从而PM的最小值PG，可知G为EF的中点，D1G为D1B1的四分之一．其次，连接BD，设其中点为H，连接PH，BC1，则△D1DB≌△D1C1B，从而PN=PH．（实现了转化，这步是解题之关键），最后，连接GH交BD1于K，则当P为K时，PM+PN取得最小值，所求最小值为GH，即可得出结论．【详解】首先PM的最小值就是P到EF的距离．连接B1D1交EF于G，连接PG，则EF⊥平面B1D1DB，故EF⊥PG，从而PM的最小值PG，可知G为EF的中点，D1G为D1B1的四分之一．其次，连接BD，设其中点为H，连接PH，BC1，则△D1DB≌△D1C1B1，从而PN=PH．（实现了转化，这步是解题之关键）最后，连接GH交BD1于K，则当P为K时，PM+PN取得最小值，所求最小值为GH．∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，∴GH==．故选：D．【点睛】本题考查多面体和旋转体表面上的最短距离问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题11．已知直线与直线平行，则实数______，两条直线之间的距离是______．【答案】【解析】【分析】由直线平行易得m值，可得方程，代入平行线间的距离公式可得．【详解】由直线x+2y﹣1=0与直线2x+my+4=0平行，可得，∴m=4，直线2x+4y+4=0可化为x+2y+2=0，∴d==．故答案为：4，．【点睛】本题考查了两直线平行的条件及平行直线间的距离，属于基础题.12．在空间直角坐标系中，已知点与点，则_______，若在轴上有一点满足，则点坐标为_________________．【答案】【解析】【分析】利用空间两点间的距离公式直接求得的值，设M（0，0，a），则|MA|=|MB|，由此利用两点间距离公式能求出M的坐标．【详解】∵点点，∴在空间直角坐标系中，z轴上有一个点M到点A（1，0，2）与点B（1，﹣3，1）的距离相等，设M（0，0，a），则|MA|=|MB|，即=，解得a=﹣3，∴M（0，0，﹣3）．故答案为：，（0，0，﹣3）．【点睛】本题考查点的坐标的求法，考查两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．13．过点的直线与圆交于,两点，当最小时，直线的方程为_________________，此时___________．【答案】【解析】【分析】利用当∠ACB最小时，CP和AB垂直，求出AB直线的斜率，用点斜式求得直线l的方程．【详解】圆C：的圆心为C（1，0），当∠ACB最小时，CP和AB垂直，∴AB直线的斜率等于﹣=﹣，用点斜式写出直线l的方程为y﹣=﹣（x﹣），即，，∴，∴，即故答案为：，．【点睛】本题考查用点斜式求直线方程的方法，两直线垂直，斜率之积等于﹣1．判断当∠ACB 最小时，CP和AB垂直是解题的关键．14．已知实数满足，目标函数的最大值是，则实数________，的最小值是________．【答案】【解析】【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求出最优解，然后求解目标函数的最小值即可．【详解】x，y满足可行域如图阴影部分所示，将直线2x﹣y﹣m=0分别与直线与直线x=1联立，解得A（1，2﹣m），B（，），C（1，），由图可知，当直线过点A时，取得最大值，根据已知条件最大值为-1，所以-，解得m=4，所以B （，），所以当直线经过B 点时，取得最小值，所以z=-3×﹣=．故答案为：，【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键． 15．已知实数,x y 满足()()22231x y ++-=，则3426x y +-的最小值为__________． 【答案】15 【解析】设2{3x cos y sin θθ=-+=+，则原式()63co s124s i n 265θθθϕ=-+++-=+-，故最小值为52015-=. 16．已知点为圆外一点，若圆上存在一点，使得，则正数的取值范围是____________．【答案】【解析】 【分析】求出圆心和半径，结合条件得到1＞≥sin30°，解不等式即可．【详解】由圆C ：（x ﹣a ）2+（y ﹣a ）2=2a 2， 得圆心为C （a ，a ），半径r=a ，（a ＞0），∴PC=，设过P 的一条切线与圆的切点是T ，则TC=a ，∴当Q 为切点时，∠CPQ 最大， ∵圆C 上存在点Q 使得∠CPQ=30°，∴满足≥sin30°，即≥，整理可得3a2+2a﹣2≥0，解得a≥或a≤，又≤1，即≤1，解得a≤1，又点 P（0，2）为圆C：（x﹣a）2+（y﹣a）2=2a2外一点，∴a2+（2﹣a）2＞2a2，解得a＜1，∵a＞0，∴综上可得≤a＜1．故答案为：．【点睛】本题考查直线和圆的位置关系的应用，根据条件转化为切线关系是解决本题的关键，是中档题．17．在平面直角坐标系中，设为不同的两点，直线的方程为，设，其中均为实数．下列四个说法中：①存在实数，使点在直线上；②若，则过两点的直线与直线重合；③若，则直线经过线段的中点；④若，则点在直线的同侧，且直线与线段的延长线相交．所有结论正确的说法的序号是______________．【答案】③④【解析】【分析】①点在直线上，则点的坐标满足直线方程，从而得到ax2+bx2+c=0，进而可判断①不正确；②若δ=1，则ax1+by1+c=ax2+by2+c，进而得到，根据两直线斜率的关系即可判定过M、N两点的直线与直线l平行或重合；③若δ=﹣1，则ax1+by1+c+ax2+by2+c=0，从而得到即，所以直线l经过线段MN的中点；④若δ＞1，则ax1+by1+c＞ax2+by2+c＞0，或ax1+by2+c＜ax2+by2+c＜0，根据点与直线的位置关系可知点M，N在直线l同侧，从而可判定④正确．【详解】若点N在直线l上则ax2+bx2+c=0，∴不存在实数δ，使点N在直线l上，故①不正确；若δ=1，则ax1+by1+c=ax2+by2+c，即，∴k MN=k l，即过M、N两点的直线与直线l平行或重合，故②错误；若δ=﹣1，则ax1+by1+c+ax2+by2+c=0即，，∴直线l经过线段MN的中点，即③正确；若δ＞1，则ax1+by1+c＞ax2+by2+c＞0，或ax1+by2+c＜ax2+by2+c＜0，即点M、N在直线l的同侧，且直线l与线段MN不平行．故④正确．故答案为：③④．【点睛】本题考查两直线的位置关系，点与直线的位置关系，直线的一般式方程等知识的综合应用，属于难题．三、解答题18．已知OAB ∆的顶点()0,0O 、()2,0A 、()3,2B ， OA 边上的中线所在直线为l ． （Ⅰ）求l 的方程；（Ⅱ）求点A 关于直线l 的对称点的坐标． 【答案】(1) 10x y --=（2）()1,1【解析】试题分析：（Ⅰ）由()0,0O 、()2,0A 两点得到中点坐标()1,0，由()3,2B ，利用直线方程的两点式可得到中线方程；（Ⅱ）求点关于直线的对称点时首先设对称点坐标(),a b ，利用点的对称得到直线l 是对称点连线的垂直平分线可得到关于点(),a b 坐标的关系式，从而通过解方程得到,a b 值，求得对称点试题解析：（Ⅰ）线段OA 的中点为()1,0，于是中线方程为1y x =-；（Ⅱ）设对称点为(),A a b '，则012{ 2122b a b a -=--+=-，解得1{ 1a b ==，即()1,1A '．考点：1．直线方程；2．点关于直线的对称点19．如图，四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，24AD BC ==，AB =，090BAD ∠=，,M O 分别为CD 和AC 的中点，PO ⊥平面ABCD .（1）求证：平面PBM ⊥平面PAC ；（2）是否存在线段PM 上一点N ，使用//ON 平面PAB ，若存在，求PNPM的值；如果不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）13λ=. 【解析】试题分析：（1）以A 为原点建立空间直角坐标系A xyz -，可得(BM =，AC =，0BM AC ⋅=，BM AC ⊥又BM PO ⊥得BM ⊥平面PAC ，进而得结论；（2）设OP h =，可得平面PAB 的一个法向量为(0,,1)n h =-，再根据20ON n h h h λλ⋅=-+-=可解得λ.试题解析：（1）如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A xyz -，B，C ，(0,4,0)D ，所以CD 中点,3)M ，则(,3,0)BM =，AC =，则(320BM AC ⋅=⨯+⨯=，所以BM AC ⊥.又PO ⊥平面ABCD ，所以BM PO ⊥，由AC PO O = ， 所以BM ⊥平面PAC ，又BM ⊂平面PBM ，所以平面PBM ⊥平面PAC .（2）法一：设OP h =，则,0)O，,)P h ，则(0,2,)PM h =-，设平面PAB 的一个法向量为000(,,)n x y z =，,)AP h = ，(2,0,0)AB =， 所以00n AP n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，则0000020y hz x ++==⎪⎩，令01z =， 得(0,,1)n h =-，设(0,2,)PN PM h λλλ==-(01)λ≤≤，则 (0,2,)ON OP PN h h λλ=+=-，若//ON 平面PAB ，则20ON n h h h λλ⋅=-+-= ，解得13λ=.法二：（略解）：连接MO延长与AB交于点E，连接PE，若存在//ON平面PAB，则//ON PE，证明13OEEM即可.考点：1、利用空间向量证明线面垂直、面面垂直；2、利用空间向量研究线面平行. 20．如图，平面分别平行于，点分别在上，且，与所成的角的大小为．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）点在的什么位置时，四边形的面积最大，最大值是多少？【答案】（1）见解析；（2）当为线段的中点时，四边形的面积最大，最大值为．.【解析】【分析】（1）根据线面平行的性质定理证明四边形EFGH是平行四边形；（2）根据边长关系，记，则.建立函数关系，然后利用均值不等式即可得到最大值．【详解】（1）∵平面，平面，平面平面∴，同理 ∴，同理∴四边形为平行四边形．（2）由（1）可知在中，.记，则.在中，，则.∴∵，∴（或其补角）为与所成的角，故或∴，当且仅当，即时等号成立，故当为线段的中点时，四边形的面积最大，最大值为．【点睛】本题主要考查空间直线和平面位置关系的性质和应用，以及求四边形面积的最值，考查学生的运算和推理能力，注意解题方法的积累，属于中档题．21．已知ABC ∆的三个顶点()1,0A -， ()1,0B ， ()3,2C ，其外接圆为圆H ． （1）求圆H 的方程；（2）若直线l 过点C ，且被圆H 截得的弦长为2，求直线l 的方程；（3）对于线段BH 上的任意一点P ，若在以C 为圆心的圆上都存在不同的两点,M N ， 使得点M 是线段PN 的中点，求圆C 的半径r 的取值范围．【答案】（1）()22310x y +-=（2）3x =或4360x y --=（3）3r ≤<【解析】试题分析：(1)借助题设条件直接求解；(2)借助题设待定直线的斜率,再运用直线的点斜式方程求解；(3)借助题设建立关于的不等式,运用分析推证的方法进行求解.试题解析：（1）ABC ∆的面积为2；（2）线段AB 的垂直平分线方程为0x =，线段BC 的垂直平分线方程为30x y +-=， 所以ABC ∆外接圆圆心()0,3H ，半径=，圆H 的方程为()22310x y +-=，设圆心H 到直线l 的距离为d ，因为直线l 被圆H 截得的弦长为2，所以3d ==.当直线l 垂直于x 轴时，显然符合题意，即3x =为所求； 当直线l 不垂直于x 轴时，设直线方程为()23y k x -=-，3=，解得43k =， 综上，直线l 的方程为3x =或4360x y --=.（3）直线BH 的方程为330x y +-=，设()(),01P m n m ≤≤， (),N x y ， 因为点M 是线段PN 的中点，所以,22m x n y M ++⎛⎫⎪⎝⎭，又M ， N 都在半径为r 的圆C 上，所以2222((,{((.x y m xn y r r +++=+=即22((,{((4.x y x y r r +=+=因为该关于x ， y 的方程组有解，即以()3,2为圆心， r 为半径的圆与以()6,4m n --为圆心，2r 为半径的圆有公共点，所以()()()()2222236242r r m n r r -≤-++-+≤+，又330m n +-=，所以2221012109r m m r ≤-+≤对[]0,1m ∀∈成立.而()2101210f m m m =-+在[]0,1上的值域为32,105⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以2325r ≤且2109r ≤.又线段BH 与圆C 无公共点，所以()()2223332m m r -+-->对[]0,1m ∀∈成立，即2325r <. 故圆C 的半径r的取值范围为⎣⎭. 考点：直线与圆的位置关系等有关知识的综合运用．22．已知圆()22:44M x y +-=，点P 是直线:20l x y -=上的一动点，过点P 作圆M 的切线,PA PB ，切点为,A B ．（1）当切线PA的长度为P 的坐标；（2）若PAM ∆的外接圆为圆N ，试问：当P 在直线l 上运动时，圆N 是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由． （3）求线段AB 长度的最小值． 【答案】（Ⅰ）()1680,0,55P P ⎛⎫⎪⎝⎭或（Ⅱ）()840,4,,55⎛⎫⎪⎝⎭【解析】(1)由题意知，圆M 的半径()2,0,4r M =，设()2,P b b ， ∵PA 是圆M 的一条切线，∴90MAP ︒∠=， ∴4MP ==，解得80,5b b ==， ∴()0,0P 或168,55P ⎛⎫⎪⎝⎭． (2)设()2,P b b ，∵90MAP ︒∠=，∴经过,,A P M 三点的圆N 以MP 为直径，其方程为()()222244424b b b x b y +-+⎛⎫-+-=⎪⎝⎭， 即()()222440x y b x y y +--+-=，由22240{40x y x y y +-=+-=，解得0{4x y ==或85{45x y ==， ∴圆过定点()0,4， 84,55⎛⎫⎪⎝⎭， (3)由（2）知圆N 方程为()()222244424b b b x b y +-+⎛⎫-+-=⎪⎝⎭， 即()222440x y bx b y b +--++=，①圆()22:44M x y +-=，即228120x y y +-+=，②②-①得：圆M 与圆N 的相交弦AB 所在直线方程：()241240bx b y b +-+-=，点M到直线AB的距离d=，相交弦长即：AB===当45b=时，AB．21。