3数理统计

该密度函数的图象是取非负值的偏态分布
4. 分位点(数)
定义 设X为随机变量，对于给定的α(0< α <1) 称满足条件 P( X )
的实数 为X的上侧α分位点
和书上的“分位数”的定义做比较！！
二、正态总体抽样分布基本定理 定理1.4-3 设 X1, X2,…, Xn 是来自N(, 2) 的 样本，其样本均值和修正后的样本方差分 n 1 n 2 1 2 别为 X X i S Xi X 则有
Y1, Y2,…, Yn2 是来自N(2, 22) 的样本，
X , S12, Y , S22 分别是总体X和Y的样本均值和修正后的 样本方差
则，
2 S12 / S 2 (1) 2 ~ F (n1 1, n2 1); 2 1 / 2 2 (2) 当 12 2 2 时,
则X(k) (k=1,2,…,n)均为统计量, 统称为顺序统计量 X(1) 为最小项统计量; X(n)为最大项统计量
VIII.样本极差和中位数:
2 3. X 和 S0 的数字特征
设总体X的期望EX= ,方差DX=2
1 n 1 n 则 1) EX E X i EX i 1 1 n in n i n 2 1 1 DX D X i 2 DX i n n i 1 n i 1 n 2) ES 2 E 1 ( X X )2 n 1 2 0 n i n i 1
容易判断：T~t(n), 则 T2~F(1,n)
F 分布是1924年由英国统计学家R.A.Fisher(18901962)提出
Fisher是现代统计科学的奠基人之一 对数理统计学有众多贡献，内容涉及 估计理论、假设检验、实验设计和方 差分析等重要领域。费希尔除了是一 位著名的统计学家之外，还是一位举 世知名的遗传学家，优生学家，他用 统计方法对这些领域进行研究，作出 了许多重要贡献。1952年被授予爵士 称号。
格里纹科定理表明：当n 相当大时，经验分布函 数是总体分布函数F(x)的一个良好的近似。 经典的统计学中一切统计推断都以样本为依据， 其理由就在于此。
1.3 数理统计中常用的几个分布
一、统计三大抽样分布
大家很快会看到，有很多统计推断是基于正态分 布的假设的，以标准正态变量为基石而构造的三 个著名统计量在实际中有广泛的应用，这是因为 这三个统计量不仅有明确背景，而且其抽样分布 的密度函数有明显表达式，它们被称为统计中的 “ 三大抽样分布 ” 。
总体（理论分布） ？
样本 样本值
统计是从手中已有的资料--样本值，去推断总 体的情况---总体分布F(x)的性质.
样本是联系二者的桥梁
总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是 样本取到样本值的规律，因而可以由样本值去推断 总体.
1.2 统计量与样本矩
由样本值去推断总体情况，需要对样本值进行“加工 ” , 这就要构造一些样本的函数，它把样本中所含的 ( 某一方面)的信息集中起来. 1.定义1: 不含有任何未知参数的样本的函数T=f(X1,X2,…,Xn), 称为统计量, 它是随机变量. t= f(x1,x2,…,xn)为统计量T的观察值
1.1 总体与样本
一.总体和样本 总体(母体):研究对象的全体所构成的集合 个体: 组成总体的各个成员 总体容量: 总体中包含的个体总数目
总体
…
研究某批灯泡的质量
有限总体 总体 无限总体
通常，我们关心的是总体中的个体的某项指标 (如人的身高、灯泡的寿命,汽车的耗油量…) . 由于每个个体的出现是随机的，所以相应的数量指 标的出现也带有随机性 . 从而可以把这种数量指标看 作一个随机变量 X，因此随机变量X的分布就是该数 量指标在总体中的分布. 总体就可以用一个随机变量及其分布来描述.
0, x < x(1) Fn ( x ) k / n , x(k ) x x(k 1) , 1, x (n ) x
k 1, 2,..., n 1
则Fn(x)是一非减右连续函数，且满足
Fn() = 0 和 Fn() = 1
由此可见，Fn(x)是一个分布函数， 并称Fn(x)为经验分布函数。
( X Y ) ( 1 2 ) Sw 1 1 n1 n2
~ t (n1 n2 2),
2 2 ( n 1) S ( n 1) S 2 2 1 2 2 其中 S w 1 , Sw Sw . n1 n2 2
y> 0 其他.
它的密度函数曲线如图：
E n,
2
Var( ) 2n
2
2. t 分布 定义 设随机变量X1 与X2 独立， 且X N(0,1), Y 2(n), 则称
T=X/ Y/n
的分布为自由度为n 的t 分布，记为Tt(n) 。 t 分布又称学生氏(Student)分布.
t 分布的密度函数的图象是一个关于纵轴对称的分 布，与标准正态分布的密度函数形状类似，只是 峰比标准正态分布低一些尾部的概率比标准正态 分布的大一些。
3. F 分布
定义 设X1 2(m), X2 2(n), X1与X2独立， 则称 F =(X1/m)/(X2/n) 的分布是自由度为 m 与 n 的 F分布，记为F F(m, n)，其中m 称为分子自 由度，n 称为分母自由度。
其简单随机样本的联合概率密度函数为
p ( x, x2 ,
, xn )=p(x1) p(x2) … p(xn)
简单随机样本是应用中最常见的情形，今后， 当说到“X1,X2,…,Xn是取自某总体的样本”时，若 不特别说明，就指简单随机样本.
总体、样本、样本值的关系
事实上我们抽样后得到的资料都是具体的、确 定的值. 如我们从某班大学生中抽取10人测量身高, 得到10个数，它们是样本取到的值而不是样本. 我 们只能观察到随机变量取的值而见不到随机变量.
比如 T1=X1+X2+…+Xn T2=(X1+5)/n T3=2X2+ (是未知参数）
2.几个常用统计量
n 1 I.样本均值: X X i n i 1
II.样本方差:
2 1 n S Xi X n i 1 2 0
III.样本标准差: S0 S02
IV.样本k阶原点矩:
从国产轿车中抽5辆 进行耗油量试验 样本容量为5
抽到哪5辆是随机的 对样本的要求: ------简单随机抽样
1.代表性: 总体中每一个个体都有同等机会 被选入样本----每个Xi与X同分布 2.独立性: 样本中每一样品的取值不影响其 它样品的取值 ---- X1, X2 ,…, Xn相互 独立
实际中总体中的个体数大多是有限的。当个体 数充分大时，将有限总体看作无限总体是一种 合理的抽象。
第一章 数理统计基本概念
一.何谓数理统计学 应用概率论的理论, 从实际观察资料出发, 对随机现 象所蕴含的内部规律进行分析及推断的一门学科 在概率论中已经知道，由于大量的随机试验中各 种结果的出现必然呈现它的规律性，因而从理论 上讲只要对随机现象进行足够多次观察，各种结 果的规律性一定能清楚地呈现，但是实际上所允 许的观察永远是有限的，甚至是少量的。
1 n n 2 令 S ( X i X )2 S0 n 1 i 1 n 1
2
称为修正的样本方差 ( ES 2 2 )
S S 2 称为修正的样本标准差
4.经验分布函数
设 x1, x2, …, xn 是取自总体分布函数为F(x)的样 本，若将样本观测值由小到大进行排列,为 x(1), x(2), …, x(n)，则称 x(1), x(2), …, x(n) 为有序样本， 用有序样本定义如下函数
n
i 1
n 1 i 1
(1) X 与 S2 相互独立； (2) X N(, 2/n) ； (3) (n1) S2/2 2(n1)。
定理1.4-4 设 X1, X2,…, Xn 是来自N(, 2) 的 样本，则
X- m ~ t (n - 1). S/ n
定理1.4-5 设 X1, X2,…, Xn1 是来i , k 1, 2, n i 1
k 1 n Xi X V.样本k阶中心矩: Mk n i 1 2 1 n 2 VI.修正的样本方差: S Xi X n 1 i 1
VII.顺序统计量: 设(X1,X2,…,Xn)是来自总体X的一个 样本,每当样本得到一组观察值 x1,x2,…,xn ,将其按从小到大的次序 排列为x(1),x(2),…,x(n) 第k个值x(k)作为X(k)的观察值,
例如：若规定灯泡寿命低于1000小时者为次品，如何确定 次品率？由于灯泡寿命试验是破坏性试验，不可能把整批 灯泡逐一检测，只能抽取一部分灯泡作为样本进行检验， 以样本的信息来推断总体的信息，这也是数理统计学研究 的问题之一。
基本任务： 研究如何有效地收集、整理和分析受随机因素 影响的数据, 并对所考察的问题做出推断和预 测,直至为采取决策和行为提供建议和依据 二.数理统计学的基本内容 1. 试验的设计与研究——以获得局部的有代表性的数据 2. 统计推断——利用有限的信息, 以一定的可靠程度对整 体进行推断 三.数理统计学的研究方法 由局部观察去推断总体
对无限总体，随机性与独立性容易实现，困难 在于排除有意或无意的人为干扰。 对有限总体，只要总体所含个体数很大，特别 是与样本量相比很大，则独立性也可基本得到 满足。
若总体的分布函数为F(x)、概率密度函数为 p(x),则其简单随机样本的联合分布函数为
F ( x, x2 ,
*
*
, xn ) =F(x1) F(x2) … F(xn)
因此在理论上可以把总体与概率分布等同起来.
例如:研究某批灯泡的寿命时，关心的数量指标 就是寿命，那么，此总体就可以用随机变量X表示， 或用其分布函数F(x)表示.