福建省同安一中高二数学下学期期中考试 文 新人教版
福建省高二数学下学期期中试卷 文(含解析)
2016-2017学年福建高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）（n≥2，x1，x2，…，x n不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i，y i）（i=1，2，…，n）都在直线y=4x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为（）A．4 B．0 C．﹣1﹣i D．12．i为虚数单位，i607的共轭复数为（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣13．复数z=m2+2m+（m2+3m+2）i是纯虚数，则实数m的值是（）A．0 B．﹣2 C．0或﹣2 D．﹣14．给出下面类比推理：①“若2a＜2b，则a＜b”类比推出“若a2＜b2，则a＜b”；②“（a+b）c=ac+bc（c≠0）”类比推出“=+（c≠0）”；③“a，b∈R，若a﹣b=0，则a=b”类比推出“a，b∈C，若a﹣b=0，则a=b”；④“a，b∈R，若a﹣b＞0，则a＞b”类比推出“a，b∈C，若a﹣b＞0，则a＞b（C为复数集）”．其中结论正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．45．满足条件|z﹣i|=|3+4i|复数z在复平面上对应点的轨迹是（）A．一条直线 B．两条直线 C．圆D．椭圆6．下列推理是演绎推理的是（）A．由圆x2+y2=r2的面积S=πr2，猜想椭圆=1（a＞b＞0）的面积S=πabB．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电C．猜想数列，，的通项公式为a n=（n∈N*）D．半径为r的圆的面积S=πr2，则单位圆的面积S=π7．更相减损术是出自中国古代数学专著《九章算术》的一种算法，其内容如下：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也．以等数约之．”右图是该算法的程序框图，如果输入a=153，b=119，则输出的a值是（）A．16 B．17 C．18 D．198．已知圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ﹣2sinθ，圆心为C点A（，），则线段AC 的长为（）A．B．5 C．D．9．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（）A．∃xα∈R，f（xα）=0B．函数y=f（x）的图象是中心对称图形C．若xα是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（﹣∞，xα）单调递减D．若xα是f（x）的极值点，则f′（xα）=010．已知函数f（x）=f′（）sinx+x，则f′（π）=（）A．B．﹣ C．1 D．﹣111．已知函数g（x）=|e x﹣1|的图象如图所示，则函数y=g′（x）图象大致为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣2） D．（﹣∞，﹣1）二、填空题：（每小题5分，共20分）13． = ．14．已知方程x2﹣（2i﹣1）x+3m﹣i=0有实数根，则实数m为．15．某少数民族刺绣有着悠久历史，下图中的（1）（2）（3）（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成的，小正方形越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含f（n）个小正方形，则f（5）= ，f（n）= ．16．奇函数f（x）定义域为（﹣π，0）∪（0，π），其导函数为f′（x）．当0＜x＜π时，有f′（x）sinx﹣f（x）cosx＜0，则关于x的不等式f（x）＜f（）sinx的解集是．三、解答题：（本大题共2小题，共70分）17．某产品的广告支出x（单位：万元）与销售收入y（单位：万元）之间有下表所对应的数据：广告支出x（单位：万元） 1 2 3 4销售收入y（单位：万元）12 28 42 56（Ⅰ）求出y对x的线性回归方程；（Ⅱ）若广告费为9万元，则销售收入约为多少万元？（线性回归方程系数公式： ==， =﹣．18．某机构随机调查了某市部分成年市民某月骑车次数，统计如下：次数人数年龄[0，10）[10，20）[20，30）[30，40）[40，50）[50，60]18岁至31岁8 12 20 60 140 15032岁至44岁12 28 20 140 60 15045岁至59岁25 50 80 100 225 45060岁及以上25 10 10 18 5 2联合国世界卫生组织于2013年确定新的年龄分段：44岁及以下为青年人，45岁至59岁为中年人，60岁及以上为老年人．月骑车次数不少于30次者称为“骑行爱好者”．根据以上数据，用样本估计总体，能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“骑行爱好者”与“青年人”有关？P（K2≥k）0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 K2=．[选修4-4：坐标系与参数方程]19．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12，其左焦点F在直线l上．（1）若直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|•|FB|的值；（2）求椭圆C的内接矩形周长的最大值．[选修4-5：不等式选讲]20．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣m|（Ⅰ）当m=2时，求不等式f（x）＞4的解集；（Ⅱ）当m＞1时，若f（x）＞4的解集是{x|x＜0或x＞4}，且关于x的不等式f（x）＜a 有解，求实数a的取值范围．解答题21．已知函数f（x）=e x（ax+b）﹣x2﹣4x，曲线y=f（x）在x=﹣2和x=﹣ln2处有极值．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值．22．设函数f（x）=alnx+x2﹣bx（a≠1），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0（ I）求b；（II）若存在x0≥1，使得f（x0）＜，求a的取值范围．2016-2017学年福建师大附中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）（n≥2，x1，x2，…，x n不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i，y i）（i=1，2，…，n）都在直线y=4x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为（）A．4 B．0 C．﹣1﹣i D．1【考点】BK：线性回归方程．【分析】根据所有数据的样本点都在一条直线上，这组样本数据完全相关，其相关系数为1，得出结果【解答】解：在一组样本数据的散点图中，所有样本点（x i，y i）（i=1，2，…，n）都在一条直线y=4x+1上，那么这组样本数据完全正相关，且相关系数为1．故选：D．2．i为虚数单位，i607的共轭复数为（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣1【考点】A1：虚数单位i及其性质．【分析】直接利用复数的单位的幂运算求解即可．【解答】解：i607=i604+3=i3=﹣i，它的共轭复数为：i．故选：A．3．复数z=m2+2m+（m2+3m+2）i是纯虚数，则实数m的值是（）A．0 B．﹣2 C．0或﹣2 D．﹣1【考点】A2：复数的基本概念．【分析】由纯虚数的定义可得：m2+2m=0，m2+3m+2≠0，解得m．【解答】解：复数z=m2+2m+（m2+3m+2）i是纯虚数，∴m2+2m=0，m2+3m+2≠0，解得m=0．故选：A．4．给出下面类比推理：①“若2a＜2b，则a＜b”类比推出“若a2＜b2，则a＜b”；②“（a+b）c=ac+bc（c≠0）”类比推出“=+（c≠0）”；③“a，b∈R，若a﹣b=0，则a=b”类比推出“a，b∈C，若a﹣b=0，则a=b”；④“a，b∈R，若a﹣b＞0，则a＞b”类比推出“a，b∈C，若a﹣b＞0，则a＞b（C为复数集）”．其中结论正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】F3：类比推理．【分析】在数集的扩展过程中，有些性质是可以传递的，但有些性质不能传递，因此，要判断类比的结果是否正确，关键是要在新的数集里进行论证，当然要想证明一个结论是错误的，也可直接举一个反例，要想得到本题的正确答案，可对4个结论逐一进行分析，不难解答．【解答】解：①“若2a＜2b，则a＜b”类比推出“若a2＜b2，则a＜b”，不正确，比如a=1，b=﹣2；②“（a+b）c=ac+bc（c≠0）”类比推出“=+（c≠0）”，正确；③在复数集C中，若两个复数满足a﹣b=0，则它们的实部和虚部均相等，则a，b相等．故正确；④若a，b∈C，当a=1+i，b=i时，a﹣b=1＞0，但a，b 是两个虚数，不能比较大小．故错误．故选：B．5．满足条件|z﹣i|=|3+4i|复数z在复平面上对应点的轨迹是（）A．一条直线 B．两条直线 C．圆D．椭圆【考点】J3：轨迹方程；A3：复数相等的充要条件．【分析】据得数的几何意义可直接得出|z﹣i|=|3+4i|中复数z在复平面上对应点的轨迹是圆．【解答】解：|3+4i|=5满足条件|z﹣i|=|3+4i|=5的复数z在复平面上对应点的轨迹是圆心为（0，1），半径为5的圆．故应选C．6．下列推理是演绎推理的是（）A．由圆x2+y2=r2的面积S=πr2，猜想椭圆=1（a＞b＞0）的面积S=πabB．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电C．猜想数列，，的通项公式为a n=（n∈N*）D．半径为r的圆的面积S=πr2，则单位圆的面积S=π【考点】F6：演绎推理的基本方法．【分析】本题考查的是演绎推理的定义，判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义，能否从推理过程中找出“三段论”的三个组成部分．【解答】解：选项A：是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程，是类比推理，选项B：是由特殊到一般的推理过程，为归纳推理，C是由特殊到一般的推理过程，为归纳推理；选项D：半径为r圆的面积S=πr2，因为单位圆的半径为1，则单位圆的面积S=π中，半径为r圆的面积S=πr2，是大前提单位圆的半径为1，是小前提，单位圆的面积S=π为结论；故选：D．7．更相减损术是出自中国古代数学专著《九章算术》的一种算法，其内容如下：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也．以等数约之．”右图是该算法的程序框图，如果输入a=153，b=119，则输出的a值是（）A．16 B．17 C．18 D．19【考点】EF：程序框图．【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论．【解答】解：第一次循环得：a=153﹣119=34；第二次循环得：b=119﹣34=85；第三次循环得：b=85﹣34=51；同理，第四次循环b=51﹣34=17；第五次循环a=34﹣17=17，此时a=b，输出a=17，故选：B．8．已知圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ﹣2sinθ，圆心为C点A（，），则线段AC 的长为（）A．B．5 C．D．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ﹣2sinθ，即ρ2=ρ（4cosθ﹣2sinθ），利用互化公式化为直角坐标方程．可得圆心C（2，﹣1）．点A（，）化为直角坐标：A（1，1），利用两点之间的距离公式可得线段|AC|．【解答】解：圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ﹣2sinθ，即ρ2=ρ（4cosθ﹣2sinθ），利用互化公式化为直角坐标方程：x2+y2=4x﹣2y，配方为：（x﹣2）2+（y+1）2=5．可得圆心C（2，﹣1）．点A（，）化为直角坐标：A（1，1），则线段|AC|==．故选：A．9．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（）A．∃xα∈R，f（xα）=0B．函数y=f（x）的图象是中心对称图形C．若xα是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（﹣∞，xα）单调递减D．若xα是f（x）的极值点，则f′（xα）=0【考点】6C：函数在某点取得极值的条件；2K：命题的真假判断与应用．【分析】利用导数的运算法则得出f′（x），分△＞0与△≤0讨论，列出表格，即可得出．【解答】解：f′（x）=3x2+2ax+b．（1）当△=4a2﹣12b＞0时，f′（x）=0有两解，不妨设为x1＜x2，列表如下x （﹣∞，x1）x1（x1，x2）x2（x2，+∞）f′（x）+ 0 ﹣0 + f（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增由表格可知：①x2是函数f（x）的极小值点，但是f（x）在区间（﹣∞，x2）不具有单调性，故C不正确．②∵+f（x）=+x3+ax2+bx+c=﹣+2c，=，∵+f（x）=，∴点P为对称中心，故B正确．③由表格可知x1，x2分别为极值点，则，故D正确．④∵x→﹣∞时，f（x）→﹣∞；x→+∞，f（x）→+∞，函数f（x）必然穿过x轴，即∃xα∈R，f（xα）=0，故A正确．（2）当△≤0时，，故f（x）在R上单调递增，①此时不存在极值点，故D正确，C不正确；②B同（1）中②正确；③∵x→﹣∞时，f（x）→﹣∞；x→+∞，f（x）→+∞，函数f（x）必然穿过x轴，即∃xα∈R，f（xα）=0，故A正确．综上可知：错误的结论是C．由于该题选择错误的，故选：C．10．已知函数f（x）=f′（）sinx+x，则f′（π）=（）A．B．﹣ C．1 D．﹣1【考点】63：导数的运算．【分析】根据导数的求导公式，即可得到结论．【解答】解：f′（x）=f′（）cosx+1，∴f′（）=f′（）cos+1，∴f′（）=2，∴f′（π）=2cosπ+1=﹣2+1=﹣1，故选：D．11．已知函数g（x）=|e x﹣1|的图象如图所示，则函数y=g′（x）图象大致为（）A．B．C．D．【考点】3O：函数的图象．【分析】根据导数的几何意义：表示切线斜率，结合原函数图象可得切线斜率的变化情况，从而可得正确选项．【解答】解：根据函数图象可知当x＜0时，切线的斜率小于0，且逐渐减小，当x＞0时，切线的斜率大于0，且逐渐增加，故选C．12．已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣2） D．（﹣∞，﹣1）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；52：函数零点的判定定理；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（i）当a=0时，f（x）=﹣3x2+1，令f（x）=0，解得x=±，两个解，舍去．（ii）当a≠0时，f′（x）=3ax2﹣6x=3ax（x﹣），令f′（x）=0，解得x=0或．对a 分类讨论：①当a＜0时，由题意可得；②当a＞0时，推出极值点不满足题意，推出结果即可．【解答】解：（i）当a=0时，f（x）=﹣3x2+1，令f（x）=0，解得x=±，函数f（x）有两个零点，舍去．（ii）当a≠0时，f′（x）=3ax2﹣6x=3ax（x﹣），令f′（x）=0，解得x=0或．①当a＜0时，＜0，当x＜或x＞0时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减；当＜x＜0时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．∴是函数f（x）的极小值点，0是函数f（x）的极大值点．∵函数f（x）=ax3﹣3x2+1存在唯一的零点x0，且x0＞0，则：，即：，可得a＜﹣2．②当a＞0时，＞0，当x＞或x＜0时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；当0＜x＜时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．∴是函数f（x）的极小值点，0是函数f（x）的极大值点．不满足函数f（x）=ax3﹣3x2+1存在唯一的零点x0，且x0＞0，综上可得：实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）．故选：C．二、填空题：（每小题5分，共20分）13． = ﹣1﹣i ．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：原式==﹣1﹣i，故答案为：﹣1﹣i．14．已知方程x2﹣（2i﹣1）x+3m﹣i=0有实数根，则实数m为．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】首先分析题目关于x的方程x2﹣（2i﹣1）x+3m﹣i=0有实根，可把实根设出来，然后根据复数相等的充要条件列出方程组，求解即可得答案．【解答】解：设方程的实根为x0，则，∵x0、m∈R，∴方程变形为，由复数相等的充要条件得，解得．则实数m为．故答案为：．15．某少数民族刺绣有着悠久历史，下图中的（1）（2）（3）（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成的，小正方形越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含f（n）个小正方形，则f（5）= 41 ，f（n）= 2n2﹣2n+1 ．【考点】F1：归纳推理．【分析】先分别观察给出正方体的个数为：1，1+4，1+4+8，…总结一般性的规律，将一般性的数列转化为特殊的数列再求解．【解答】解：根据前面四个发现规律：f（2）﹣f（1）=4×1，f（3）﹣f（2）=4×2，f（4）﹣f（3）=4×3，…f（n）﹣f（n﹣1）=4（n﹣1）这n﹣1个式子相加可得：f（n）=2n2﹣2n+1．当n=5时，f（5）=41．故答案为：41；2n2﹣2n+1．16．奇函数f（x）定义域为（﹣π，0）∪（0，π），其导函数为f′（x）．当0＜x＜π时，有f′（x）sinx﹣f（x）cosx＜0，则关于x的不等式f（x）＜f（）sinx的解集是．【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】令g（x）=，x∈（﹣π，0）∪（0，π），g′（x）=＜0，0＜x＜π．可得函数g（x）在（0，π）上单调递减．奇函数f（x）定义域为（﹣π，0）∪（0，π），因此函数g（x）为偶函数．x∈（0，π），不等式f（x）＜f（）sinx化为：＜，利用单调性即可解出；x∈（﹣π，0），不等式f（x）＜f（）sinx化为：＞=，利用单调性即可得出．【解答】解：令g（x）=，x∈（﹣π，0）∪（0，π），g′（x）=＜0，0＜x＜π．∴函数g（x）在（0，π）上单调递减．奇函数f（x）定义域为（﹣π，0）∪（0，π），因此函数g（x）为偶函数．x∈（0，π），不等式f（x）＜f（）sinx化为：＜，∴π＞x∈（﹣π，0），不等式f（x）＜f（）sinx化为：＞=，∴．综上可得：x∈：．故答案为：．三、解答题：（本大题共2小题，共70分）17．某产品的广告支出x（单位：万元）与销售收入y（单位：万元）之间有下表所对应的数据：广告支出x（单位：万元） 1 2 3 4销售收入y（单位：万元）12 28 42 56（Ⅰ）求出y对x的线性回归方程；（Ⅱ）若广告费为9万元，则销售收入约为多少万元？（线性回归方程系数公式： ==， =﹣．【考点】BK：线性回归方程．【分析】（I）观察散点图可知各点大致分布在一条直线附近，得到这组数据符合线性相关，求出利用最小二乘法所需要的数据，做出线性回归方程的系数，得到方程．（Ⅱ）把x=9代入线性回归方程，估计出当广告费为9万元时，销售收入约为129.4万元．【解答】解：（Ⅰ）列出下列表格，x i 1 2 3 4y i12 28 42 561 4 9 16x i y i12 56 126 224x i y i=418，=30， =， =…代入公式得：b==，…a=﹣b=﹣×=﹣2．…故y与x的线性回归方程为y=x﹣2．…（Ⅱ）当x=9万元时，y=×9﹣2=129.4（万元）．…所以当广告费为9万元时，可预测销售收入约为129.4万元．…．18．某机构随机调查了某市部分成年市民某月骑车次数，统计如下：次数人数年龄[0，10）[10，20）[20，30）[30，40）[40，50）[50，60]18岁至31岁8 12 20 60 140 15032岁至44岁12 28 20 140 60 15045岁至59岁25 50 80 100 225 45060岁及以上25 10 10 18 5 2联合国世界卫生组织于2013年确定新的年龄分段：44岁及以下为青年人，45岁至59岁为中年人，60岁及以上为老年人．月骑车次数不少于30次者称为“骑行爱好者”．根据以上数据，用样本估计总体，能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“骑行爱好者”与“青年人”有关？P（K2≥k）0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 K2=．【考点】BO：独立性检验的应用．【分析】根据题意，填写列联表，根据表中数据计算K2，对照临界值得出结论．【解答】解：根据题意，得出2×2列联表：骑行爱好者非骑行爱好者总计青年人700 100 800^非青年人800 200 1000总计300 1500 1800…计算K2==18＞7.879，…根据这些数据，能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“骑行爱好者”与“青年人”有关．…[选修4-4：坐标系与参数方程]19．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12，其左焦点F在直线l上．（1）若直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|•|FB|的值；（2）求椭圆C的内接矩形周长的最大值．【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程；QL：椭圆的参数方程．【分析】（1）将直线l和椭圆C的转化为普通方程，左焦点F在直线l上，求解出直线1方程与椭圆C联立方程组，求解A，B坐标，利用两点之间的距离公式求解|FA|•|FB|的值．（也可以利用参数的几何意义做）．（2）设椭圆在第一象限上一点P（acosθ，bsinθ），内接矩形周长为：L=4（acosθ+bsinθ）=4sin（θ+φ），可得答案．【解答】解：（1）由椭圆C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12，可得x2+3y2=12，即．其左焦点为（﹣2，0）．直线l消去参数t可得：x﹣y=m，∵左焦点F在直线l上，∴直线l方程为：x﹣y=﹣2．联立，解得A（，），B（，）那么|FA|•|FB|=2．法二：几何法：∵左焦点为（﹣2，0）．左焦点F在直线l上，带入参数方程可得：，将直线参数方程带入椭圆x2+3y2=12，可得：t2﹣2t﹣2=0．那么|FA|•|FB|=|t1t2|=2（2）设椭圆在第一象限上一点P（2cosθ，2sinθ），（）内接矩形周长为：L=8cosθ+8sinθ）=16sin（θ+），∴当时，周长取得最大值为为16．∴椭圆C的内接矩形周长的最大值为16．[选修4-5：不等式选讲]20．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣m|（Ⅰ）当m=2时，求不等式f（x）＞4的解集；（Ⅱ）当m＞1时，若f（x）＞4的解集是{x|x＜0或x＞4}，且关于x的不等式f（x）＜a 有解，求实数a的取值范围．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（I）讨论x的范围，去绝对值符号解不等式；（II）判断f（x）的单调性，利用单调性列方程组解出m．【解答】解：（Ⅰ）当m=2时，由不等式f（x）＞4得|x﹣1|+|x﹣2|＞4，∴或或，解得或，∴原不等式的解集为．（Ⅱ）当m＞1时，，∴f（x）在（﹣∞，1）上单调递减，在（1，m）上为常数函数，在（m，+∞）上单调递增，∵f（x）＞4的解集是{x|x＜0或x＞4}，∴，即，解得m=3．解答题21．已知函数f（x）=e x（ax+b）﹣x2﹣4x，曲线y=f（x）在x=﹣2和x=﹣ln2处有极值．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，根据y=f（x）在x=﹣2和x=﹣ln2处有极值，得到关于a，b的方程组，解出即可；（Ⅱ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极大值即可．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=e x（ax+b+a）﹣2x﹣4因为曲线y=f（x）在x=﹣2和x=﹣ln2处有极值，所以，即，解得a=b=4，经检验a=b=4符合题意，所以a=b=4；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f（x）=4e x（x+1）﹣x2﹣4x，f′（x）=4（x+2）（e x﹣），令f′（x）＞0，解得：x＞﹣ln2或x＜﹣2，令f′（x）＜0，解得：﹣2＜x＜﹣ln2，故f（x）在（﹣∞，﹣2）递增，在（﹣2，﹣ln2）递减，在（﹣ln2，+∞）递增，故x=﹣2时，函数f（x）取极大值，极大值是f（﹣2）=4（1﹣e﹣2）．22．设函数f（x）=alnx+x2﹣bx（a≠1），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0（ I）求b；（II）若存在x0≥1，使得f（x0）＜，求a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f′（1），求出b的值即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，得到关于a的不等式，解出即可．【解答】解：（ I），由题设知 f'（1）=0，解得b=1．…（Ⅱ） f （x）的定义域为（0，+∞），由（Ⅰ）知，，…（i）若，则，故当x∈[1，+∞）时，f'（x）≥0，f（x）在[1，+∞）上单调递增．…所以，存在x0≥1，使得 a，b的充要条件为，…即，所以，满足，所以符合题意…（ii）若，则，故当x∈（1，）时，f'（x）＜0，x∈（）时，f'（x）＞0，f（x）在（1，）上单调递减，f （x）在（）单调递增．…所以，存在x0≥1，使得的充要条件为，而，所以不合题意．…（ⅲ）若a＞1，则．所以a＞1符合题意．…综上，a的取值范围为：…21。
福建省南安一中高二数学下学期期中考试试题 文【会员独享】
福建省南安一中-高二下学期期中考试数学（文）试题本试卷考试内容为：集合、函数与导数、选修1-2. 分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题），共4页，满分１５０分，考试时间１２０分钟.注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上.2．考生作答时，请将答案写在答题纸上，在本试卷上答题无效. 按照题号在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效. 考试结束后，将答题纸交回.第I 卷（选择题 共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．已知集合{1,2,3,4,5},{1,2,3}U A ==，则U C A = （ ）A ．{1，3，5}B ．{2，4}C ．{1，2，3}D ．{4，5}2．已知i 是虚数单位，则复数1i= （ ）A ．iB ．1C ．i -D ．1-3． 二次函数2()21f x x x =+-图像的对称轴方程是 （ ） A ．1x =-B ．1x =C ．2x =-D ．2x = 4．函数1()2xf x -=的定义域为（ ）A ．[]0,1B ．(],1-∞C ．[]1,1-D ．(),1-∞5. 已知集合{}3,2,1=A ，{}20,B x x x x =-=∈R ，则A B 为 ( )A ．∅B ．{}2C ．{}1 D ．{}2,1 [6．函数()2f x x =-的图像可以由幂函数12()f x x =的图像变换得到，这种变换是 （ ）A ．向上平移2个单位B ．向下平移2个单位C ．向左平移2个单位D ．向右平移2个单位7．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，2()log ,f x x =则(2)f -=（ ） A ．1 B ．1- C ．2D ．2-8. 某厂节能降耗技术改造后，在生产过程中记录了产量x （吨） 与相应的生产能耗y （吨）的几组对应数据如右表所示，根据右表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为ˆ0.7yx a =+，那么a 的值等于 （ ）A ．0.35B ．3.15C ．3.5D ．0.49. 已知函数()y f x =在R 上满足(1)(1)f x f x +=-，且在[)1,+∞上单调递增，则下列结论 正确的是 （ ）A ．(0)(1)(3)f f f >>B ．(0)(3)(1)f f f >>C ．(3)(1)(0)f f f >>D ．(3)(0)(1)f f f >>10. 若(),142,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为 ( ) A.()+∞,1B. ()4,8C.[)8,4D. ()1,811. 已知0x 是函数1()ln 1f x x x=+-的一个零点，若()()+∞∈∈,,,10201x x x x ，则 ( ) A. ()()120,0f x f x <>B. ()()120,0f x f x >>C. ()()120,0f x f x ><D. ()()120,0f x f x <<12. 已知函数()f x 的定义域为R ，其导函数()f x '的图象如图所示，则对于任意12,x x ∈R （12x x ≠），下列结论中正确的是 ( ) ① ()0f x <恒成立；② 1212()[()()]0x x f x f x --<； ③ 1212()[()()]0x x f x f x -->；④ 1212()()()22x x f x f x f >++； ⑤ 1212()()()22x x f x f x f <++． A. ①③ B. ①③④C. ②④D. ②⑤第II 卷（非选择题，共90分）二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 13. 已知函数()2xf x =，则((0))f f = .14. 函数2()ln(4)f x x x =-的单调递增区间是 . 15. 曲线xy 1=在点)1,1(处切线倾斜角是 . 16．对一块边长为1的正方形进行如下操作：第一步，将它分割成33⨯方格，接着用中心和四个角的5个小正方形，构成如图①所示的几何图形，其面积159S =；第二步，将图①的5个小正[来源: 方形中的每个小正方形都进行与第一步相同的操作，得到图②；依此类推， x 3 4 5 6 y2.5 344.5第12题图到第n 步，所得图形的面积5()9n n S =．若将以上操作类比推广到棱长为1的正方体中，则到第n 步，所得几何体的体积n V = . 三．解答题：本大题共6小题，共74分.17. （本小题满分12分）（Ⅰ）化简：11444242x xx x --+++； （Ⅱ）求值：22(lg5)2lg 2lg50+.18. （本小题满分12分）若集合{}2|230A x x x =--<，{}|0B x x m =-<. （Ⅰ）若A B φ=，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若A B B =，求实数m 的取值范围.19. （本小题满分12分）已知函数)(x f 是定义在R 上的单调函数，满足(3)2f -=，且对任意的实数x 有()()0f x f x -+=恒成立. （Ⅰ）试判断)(x f 在R 上的单调性,并说明理由. （Ⅱ）解关于x 的不等式(23)2f x -<.20.（本题满分12分）已知a 是实数，函数2()()f x x x a =-．（Ⅰ）若(1)3f '=，求a 的值及曲线()y f x =在点))1(,1(f 处的切线方程； （Ⅱ）若3a =，求)(x f 在区间[]0,2上的最大值.21.(本小题满分12分) 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：喜爱打篮球不喜爱打篮球合计 男生 5 女生 10 合计50已知在全部50人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为35． （Ⅰ）请将上面的列联表补充完整；（Ⅱ）是否有99.5％的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由.参考数据与公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ ，其中n a b c d =+++下面的临界值表供参考：2()p K k ≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.82822. (本小题满分14分)设函数2()2ln f x x x =-. （Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）求)(x f 在1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值（其中 2.71828e ≈）；(Ⅲ) 若关于x 的方程2()f x x x a =-+在区间[]1,3上恰好有两个相异的实根，求实数a 的取值范围. 南安一中～高二下学期期中考数学（文）试卷参考答案4242422442x x x xx+=+=+++----------------4分 1=----------------6分（Ⅱ）原式2102(lg5)2lglg(105)5=+⨯----------------8分 22(lg5)2(lg10lg5)(lg10lg5)=+-+22(lg5)2(1lg5)(1lg5)=+-+----------------10分222(lg5)21(lg5)2⎡⎤=+-=⎣⎦----------------12分∴1m ≤-，故实数m 的取值范围是{}|1m m ≤-----------------8分（Ⅱ） AB B =，∴A B ⊆----------------10分∴3m ≥，故实数m 的取值范围是{}|3m m ≥----------------12分20.（本题满分12分）已知a 是实数，函数2()()f x x x a =-．（Ⅰ）若(1)3f '=，求a 的值及曲线()y f x =在点))1(,1(f 处的切线方程； （Ⅱ）若3a =，求)(x f 在区间[]0,2上的最大值.解：（Ⅰ）2'()32f x x ax =-．因为(1)323f a '=-=，所以 0a =．--------------4分又当0a =时，(1)1,(1)3f f '==，--------------6分所以曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程为320x y --=--------------8分 （Ⅱ）由于3a =，令'()0f x =，解得02x x ==或． --------------9分当[]0,2x ∈时，有()0f x '≤，故()f x 在[]0,2上单调递减，--------------11分 所以)(x f 在区间[]0,2上的最大值为(0)0f =．--------------12分21.(本小题满分12分) 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：喜爱打篮球不喜爱打篮球合计 男生 5 女生 10 合计50已知在全部50人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为35．（Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）求)(x f 在1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值（其中 2.71828e ≈）；(Ⅲ) 若关于x 的方程2()f x x x a =-+在区间[]1,3上恰好有两个相异的实根，求实数a 的取值范围.解：（Ⅰ）函数的定义域为()0,+∞--------------1分22()1x g x x x-'=-=，--------------10分 由()0g x '>得20x x ><或（舍去），由()0g x '<得02x <<。
福建省南安一中高二下学期期中考试数学(文)试题.pdf
第Ⅰ卷（选择题共60分） 一、选择题（共12小题，每小题5分，只有一个选项正确，请把答案填在答题卡上）： 1.如图所示，是全集，是的子集，则阴影部分所表示的集合为 A. B. C.D. 2.已知角的终边经过点，则的值等于 A. B. C. D. 3.下列函数中，值域为的是 A. B. C. D. 4.若，则的大小关系为 A. B. C. D. . 5.设，则 B. C. D. 6.在相距千米的、两点处测量目标，若，则、两点之间的距离是A.４千米B.千米C.千米D.２千米 7.定义在上的偶函数满足：对任意的，有.则 A. B. C. D. ８.根据表格中的数据，可以断定方程的一个根所在的区间是 0123412.727.3920.0954.605791113A. B. C. D. 9. A. B. C. D.1 10.函数的图象大致是 11.为得到函数的图象，只需将函数的图像A.向左平移个长度单位B. 向右平移个长度单位C.向左平移个长度单位D. 向右平移个长度单位 12.设是定义在上的周期函数，周期为，对都有，且当 时，，若在区间内关于的方程＝0恰有3个不同的实根，则的取值范围是A.（1，2）B.C.D. 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题（共4小题，每小题4分，请把答案写在答题卡上）： 13.函数是幂函数，且在上是增函数，则实数 ▲ . 14.现有关于函数 的命题， ①函数是奇函数 ②函数在区间［0，］上是增函数 ③函数的图象关于点对称 ④函数的图象关于直线对称 其中的真命题是 ▲ .（写出所有真命题的序号） 15.已知,，、均为锐角，等于 ▲ . 16.对于非空实数集，记．设非空实数集合，满足． 给出以下结论： ①； ②； ③． 其中正确的结论是 ▲ .（写出所有正确结论的序号） 三、解答题（共6题，要求写出解答过程或者推理步骤）： 17.(本题满分12分) 设全集，已知集合，集合，. （Ⅰ）求，； （Ⅱ）记集合，集合，若，求实数的取值范围． 19.(本题满分12分) 函数 （Ⅰ）判断并证明函数的奇偶性； （Ⅱ）若，证明函数在上单调递增； （Ⅲ）在满足（Ⅱ）的条件下，解不等式. 20.(本题满分12分) 阅读下面材料： 根据两角和与差的正弦公式，有 ------① ------② 由①+② 得------③ 令 有 代入③得 ． （Ⅰ）类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明: ; （Ⅱ）若的三个内角满足,试判断的形状． 21.(本题满分12分) 某海边旅游景点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元。
福建省高二下学期期中联考数学试题(解析版)
．．
．．
．在所有不超过9且与9互质的正整数中，任取两个不同的数，则这两数之和仍为质数的概率是（）
(1)求证：平面平面ACE ⊥(2)若，求平面2ME DM =19．已知数列的前n 项和{}n a (1)求数列的通项公式；{}n a
【详解】 为直角三角形，且ABC AB 平面，平面ABC BC ⊂平面1,,AB A AA AB =⊂ABB 1
112BC S =⨯⨯=⨯⨯
17．(1)8
(2)0
【分析】（1）分别求出展开式中前三项的系数后结合等差数列可求（2）利用二项展开式的通项公式可求展开式中
∵，
2ME DM =∴()
()()3,0,0,0,1,0,0,0,0,A B C D
【点睛】方法点睛：直线与抛物线位置关系问题，从以下几个角度分析：（1）抛物线定义的应用；
（2）解设直线方程，尽量不要考虑斜率是否存在；
（3）通过含参的方程，消去一个，转化为交点直线系方程；
（4）数形结合思想的应用
22．(1)见解析。
高二下学期期中考试数学试题(解析版)
莆田华侨中学2022-2023学年下学期期中考试高二数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 下列导数运算正确的是（）A.B.()121x x-'=11ln 222x x '⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦C. D. ()cos sin x x '=()1ln 1x x x'+=+【答案】D 【解析】【分析】利用求导公式和法则逐个分析判断即可【详解】因为，，，， ()121x x -'=-11ln 222x x'⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()cos sin x x '=-()1ln 1x x x '+=+所以选项A ，B ，C 均不正确，选项D 正确， 故选：D.2. 如图，在四面体中，是的中点，设，，，则（ ）OABC G BC OA a = OB b = OC c == AGA.B.C.D.1122a b c -- 1122a b c -++12a b c -++12a b c -- 【答案】B 【解析】【分析】根据三角形法则先求得向量、，进而求得． AB ACAG 【详解】解：，AC OC OA c a =-=-， AB OB OA b a =-=- ．()()111122222AG AC AB a b c a b c ∴=+=-++=-++ 故选：B ．3. 函数的单调递增区间是（ ）()2ln f x x x =-A. 和B.C. D.(),0∞-()0,2()2,+∞(),2-∞()0,2【答案】B 【解析】【分析】求出导函数，由确定增区间．()f x '()0f x '>【详解】，的定义域为， 22()1x f x x x'-=-=()f x (0,)+∞由，得， ()0f x '>2x >∴的单调递增区间为． ()f x ()2,+∞故选：B ．4. 如图，用、、三类不同的元件连接成一个系统．当正常工作且、至少有一个正常工作K 1A 2A K 1A 2A 时，系统正常工作．已知、、正常工作的概率依次为、、，则系统不能正常工作的K 1A 2A 0.90.70.7概率为（ ）A. B. C. D.0.8640.1560.1810.819【答案】C 【解析】【分析】利用独立事件的概率乘法公式计算出该系统正常工作的概率，再利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】由题意可知，该系统正常工作的概率为，()20.9110.70.819⎡⎤⨯--=⎣⎦因此，该系统不能正常工作的概率为.10.8190.181-=故选：C.5. 向量，，，，1，，，0，，若，，共面，则等于（ ） (1a = x 2)(0b = 2)(1c = 0)a b cx A. B. 1C. 2D. 01-【答案】B 【解析】【分析】根据向量共面关系，建立等式即可得解.a mb nc =+ 【详解】向量，，，，1，，，0，，，，共面，(1a = x 2)(0b = 2)(1c = 0)a b c ，，，，，，，，∴a mb nc =+0m ≠0n ≠(1∴x 2)(n =m 2)m ，解得，． ∴122nx m m =⎧⎪=⎨⎪=⎩1x m ==1x ∴=故选：B ．6. “”是“函数在区间（1，2）上单调递减”的（ ）5a >()3f x x ax =-A. 充分不必要条件 B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据函数的单调性与导数的关系和必要不充分条件的判断即可求解. 【详解】若在区间（1，2）上单调递减，()3f x x ax =-所以在区间（1，2）上恒成立， 2()30f x x a '=-≤所以在区间（1，2）上恒成立， 23x a ≤所以，()2max3xa ≤所以，23212a ≥⨯=所以“”是“”的必要不充分条件，5a >12a ≥所以“”是函数在区间（1，2）上单调递减”的必要不充分条件，5a >()3f x x ax =-故选：C .7. 如图，圆柱的轴截面为矩形，点，分别在上、下底面圆上，，ABCD M N 2NB AN = 2CMMD =，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）2AB =3BC =AM CNA.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】利用圆柱的性质、异面直线所成的角即可求解.【详解】方法一 如图（1），在上取点，使，连接，，，，． AB E 2AE EB=NE AN NB BE EA 易知四边形为矩形，则，且． ANBE NB AE ∥NB AE =连接，．因为，且，MN CM MN BC ∥MN BC =所以四边形为平行四边形，所以，且． MNBC CM NB ∥CM NB =连接，则，且，CE AE CM ∥AECM =所以四边形为平行四边形，则， AECM AM CE ∥所以或其补角是异面直线与所成的角． NCE ∠AM CN 在中，，，所以．Rt BNC △3CB=BN =CN ==在中，，，所以，Rt BCE 3CB =1BE =CE==2NE AB==所以．cos NCE ∠==故选：D ．方法二 如图（2），在上取点，使，连接，，，． AB E 2AE EB=AN NB BE EA 易知四边形为矩形，，．ANBE 1AN =NB =MN 由已知条件，得为圆柱的一条母线．MN 以为坐标原点，分别以直线，，为轴、轴、轴建立如图（2）的空间直角坐标系N NB NA NM x y z ，Nxyz则，，，，()0,0,0N ()0,1,0A ()0,0,3M)C所以，，则， ()0,1,3AM =-)NC =cos ,AM NC ==所以异面直线与． AM CN 故选：D ．8. 已知定义在上的函数的导函数为，且对于任意的，都有0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x ()f x '0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ）()()sin cosf x x f x x '<A.B. 43ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()13f f π⎛⎫> ⎪⎝⎭C.D.64f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭63f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】构造函数，利用导数判断函数的单调性，再利用函数的单调性处理即可. 【详解】设则，因为对于任意的，都有()(),sin f x g x x=()()()2sin cos sin f x x f x x g x x'-'=0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以，所以在上单调递减，所以()()sin cos f x x f x x '<()0g x '<()g x 0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，即，所以，所以643g g g πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭643sin sin sin643f f f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭>>64312f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎝⎭>>又故无法比,64f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,63f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,43f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()sin 1sin1,33f fππ⎛⎫> ⎪⎝⎭较与，故B ，C ，D 错误. 3f π⎛⎫⎪⎝⎭()1f 故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件 “第一次出现2点”，“第二次A =B =的点数小于5点”，“两次点数之和为奇数”，“两次点数之和为9”，则下列说法正确的有（ ） C =D =A. 与不互斥且相互独立 B. 与互斥且不相互独立 A B A D C. 与互斥且不相互独立 D. 与不互斥且相互独立B D AC 【答案】ABD 【解析】【分析】根据事件的互斥与独立的定义对选项一一验证即可.【详解】对于A ：连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次与第二次的结果互不影响，即与相互A B 独立；第一次出现2点，第二次的点数小于5点可以同时发生，与不互斥；故A 正确；A B 对于B ：连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次的结果会影响两次点数之和，即与不相互独A D 立；第一次出现2点，则两次点数之和最大为8，即与不能同时发生，即与互斥，故B 正确； A D A D 对于C ：连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第二次的结果会影响两次点数之和，即与不相互独立； B D 若第一次的点数为5，第二次的点数4点，则两次点数之和为9，即与可以同时发生，即与不互B D B D 斥，故C 错误；对于D ：连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次的结果不会影响两次点数之和的奇偶，即与相A C 互独立；若第一次的点数为2，第二次的点数3点，则两次点数之和为5是奇数，即与可以同时发生，即A C A 与不互斥，故D 正确. C 故选：ABD.10. 以下命题正确的是（ ）．A. 直线l 的方向向量，直线m 的方向向量，则 ()112a ,,=-()1,2,1b = l m ⊥B. 直线l 的方向向量，平面的法向量，则或()0,1,1a =- α()1,1,1n =--l α∥l ⊂αC. 两个不同平面，的法向量分别为，，则αβ()12,1,0n =- ()24,2,0n =-αβ⊥D. 平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则α()1,0,1A -()0,1,0B ()1,2,0C -()1,,n u t =α，1u =0=t 【答案】BD 【解析】【分析】对于A ，利用直线的方向向量是否垂直即可求解；对于B ，利用直线的方向向量与平面的法向量是否垂直即可求解；对于C ，利用平面的法向量是否平行即可求解；对于D ，根据法向量得到方程组，求出和的关系即可求解.u t 【详解】对于A ，因为直线的方向向量，直线的方向向量，l ()1,1,2a =- m ()1,2,1b =所以，所以与不垂直，故直线与直线不垂直，故A 错误；()11122110a b ⋅=⨯+-⨯+⨯=≠ a bl m 对于B ，因为直线的方向向量，平面的法向量，l ()0,1,1a =- α()1,1,1n =--所以，所以，故或，故B 正确；()()()0111110a n =⨯+⨯-+-+-=⋅ a n ⊥//l αl ⊂α对于C ，因为两个不同平面的法向量分别为，,αβ()()122,1,0,4,2,0n n =-=-所以，即，所以，故C 错误；212n n =- 12//n n//αβ对于D ，因为，所以, ()()()1,0,1,0,1,0,1,2,0A B C --()()1,1,1,1,1,0AB BC =-=-又向量是平面的法向量，则,即，解得，故D 正确. ()1,,=r n u t α00n AB n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩1010u t u -++=⎧⎨-+=⎩1,0u t ==故选：BD.11. 如图所示几何体，是由正方形沿直线旋转得到，是圆弧的中点，是圆弧ABCD AB 90︒G CEH 上的动点，则（ ） DFA. 存在点，使得 H //EH BDB. 存在点，使得 H EH BG ⊥C. 存在点，使得平面H //EH BDG D. 存在点，使得直线与平面的夹角为 H EH BDG 45︒【答案】BC 【解析】【分析】先将图形补全为一个正方体，对四个选项一一验证： ADMF BCNE -对于A 、B ：利用正方体的性质直接判断；对于C 、D ：以A 为原点，为x 、y 、z 轴正方向建立空间直角坐标系，利用向量法求解. ,,AD AF AB【详解】由题意可将图形补全为一个正方体，如图示： ADMF BCNE -对于A ：因为面，而是圆弧上的动点，所以不成立.故A 错误； //BD EFMN H DF//EH BD 对于B ：因为正方体中， 面，ADMF BCNE -EF ⊥BCNE 所以.EF BG ⊥所以当重合时，有.故B 正确；,F H EH BG ⊥对于C ：以A 为原点，为x 、y 、z 轴正方向建立空间直角坐标系.设，,,AD AF AB2BC =则()0,0,0,A ()2,0,0,D ()0,2,2,E ()0,2,0,F ()0,0,2,B ()2,0,2,C )2,G，()()22,,0,4,0,0H m n m n m n +=>>所以.())2,0,2,,BD BG =-=(),2,2EH m n =--设为平面的一个法向量，则， (),,e x y z =BDG 202000BD e x z BG e z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩不妨设，则.1x =()1,1,1e =-假设平面，则，所以.//EH BDG 220e EH m n ⋅=-+-=m n =因为，所以是圆弧的中点，符合题意.故C 正确； 224,0,0m n m n +=>>m n ==H DF对于D ：由B 的分析可知：当重合时，直线与平面的夹角最大.,F H EH BDG 此时.()0,0,2EH =-所以与平面所成的角的正弦值为EH BDG cos ,e EH e EH e EH⋅==<⨯ 所以与平面所成的角的最大值小于45°.故D 错误. EH BDG 故选： BC12. 若两曲线与存在公切线，则正实数a 的取值可以是（ ） 21y x =-ln 1y a x =-A. 1 B. e C. e 2 D. 3e【答案】AB 【解析】【分析】设两个切点分别为，，可得两函数的切线方程，从而可得()11,A x y ()22,B x y ，令，利用导数求出，可得的取值范围，从()2224ln 1a x x =-⋅-22()44ln (0)g x x x x x =->max ()g x a 而得答案.【详解】解：设两曲线与的两个切点分别为，， 21y x =-ln 1y a x =-()11,A x y ()22,B x y 由可得；由可得， 21y x =-2y x '=ln 1y a x =-a y x'=则过两切点的切线方程分别为，， 2111(1)2()y x x x x --=-()()222ln 1ay a x x x x --=-化简得，． 21121y x x x =--22ln 1ay x a x a x =+--因为两条切线为同一条，所以，122212ln a x x a x a x ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩解得．()2224ln 1a x x =-⋅-令，，22()44ln (0)g x x x x x =->()4(12ln )g x x x =-'令，得，()0g x '=x =当时，；当；0x <<()0g x '>x >()0g x '<所以在上单调递增，在上单调递减， ()gx )+∞则， max ()2e g x g ==所以． (0,2]a ∈e 故选：AB.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 函数在处有极值，则常数a ＝______． ()ln f x x ax =-1x =【答案】1 【解析】【分析】根据极值定义可得，求导并将代入计算即可求得 ()10f '=1x =1a =【详解】由可得， ()ln f x x ax =-()1f x a x'=-又在处有极值，所以可得， ()f x 1x =()10f '=即，所以.经检验满足题意， ()1011f a ='-=1a =故答案为：114. 一个数学兴趣小组共有2名男生3名女生，从中随机选出2名参加交流会，在已知选出的2名中有1名是男生的条件下，另1名是女生的概率为______． 【答案】67【解析】【分析】首先求出男女生各1名的概率，再应用对立事件概率求法求至少有1名男生的概率，最后应用条件概率公式求概率.【详解】若A 表示“2名中至少有1名男生”，B 表示“2名中有1名女生”， 所以2名中有1名是男生的条件下，另1名是女生的概率为， ()(|)()P AB P B A P A =而，，故. 112325C C 3()C 5P AB ==2325C 7()1C 10P A =-=6(|)7P B A =故答案为：6715. 在如图所示的三棱锥中，平面，，，，为-P ABC PA ⊥ABC 90ACB ∠=︒8CA =6PA =D AB 中点，为内的动点（含边界），且.当在上时，________；点的轨迹E PAC △PC DE ⊥E AC AE =E 的长度为________.【答案】 ①. ②.4125【解析】【分析】由题意建立空间直角坐标系可得当在上时，满足，求得的长；当为E AC PC DE ⊥AE E 内的动点（含边界）时，再取中点，，再过作，可证平面，得到PAC △AC F F FG PC ⊥PC ⊥DFG 的轨迹，求解三角形可得点的轨迹的长度．E E 【详解】因为平面，平面，所以，又，所PA ⊥ABC ,AC BC ⊂ABC ,PA AC PA BC ⊥⊥90ACB ∠=︒以，ACBC ⊥又平面，所以平面，过，如图建立空间直角坐标,,PA AC A PA AC ⋂=⊂PAC BC ⊥PAC //Ax BC 系，则，设，所以，则()()()0,0,0,0,8,0,0,0,6A C P BC a =(),8,0B a ,4,02a D ⎛⎫⎪⎝⎭①当在上时，设，因为，所以E AC ()0,,0E c PC DE ⊥，故，则()0,8,6,4,00832002a PC DE c c ⎛⎫⋅=-⋅--=+-+= ⎪⎝⎭ 4c =()0,4,0E 所以；4AE=②为内的动点（含边界）时，如图，取中点，过作，垂足为E PAC △ACF F FG PC ⊥G由①可得，又，平面，所以平面，因为PC DF ⊥FG PC ⊥,,DF FG F DF FG ⋂=⊂DFG PC ⊥DFG 平面，所以FG ⊂PAC PC FG ⊥即在线段上运动时，， E FG PC DE ⊥点的轨迹为线段．∴E FG 则． 12sin 425PA FG FC PCA PC =⋅∠=⨯==故答案为：；. 412516. 已知函数，若恰有两个零点，则的取值范围为__________.2ln ,0()1,0x kx x f x kx x x ->⎧=⎨-+≤⎩()f x k 【答案】 ()1,00,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】利用分离参数法得，，，，从而转化为直线与函数图象交ln x k x =0x >21x k x-=0x <y k =点个数问题，利用数形结合的思想即可得到答案. 【详解】当时，令，则， 0x >()ln 0f x x kx =-=ln xk x=令，，， ()ln x h x x=0x >()221ln 1ln x xx x h x x x ⋅--'==令，即，解得，此时单调递增， ()0h x '>1ln 0x ->0e x <<()h x 令，即，解得，此时单调递减， ()0h x '<1ln 0x -<e x >()h x 故在时，取得最大值，且当趋近于0时，趋近于负无穷， ()h x e x =()1e eh =x ()h x 当趋近于正无穷时，趋近于0，且大于0，x ()h x 当时，，当时，，故此时不是零点，所以，0x ≤()21f x kx x =-+0x =()01f =0x ≠令，，()201f x kx x =-+=22211111124x k x x x x -⎛⎫==-=--- ⎪⎝⎭令，， ()211x x xϕ=-0x <根据符合函数单调性可知，此时函数单调递减，当趋近于负无穷时，趋近于0，且小于0， x ()x ϕ当趋近于0时，趋近于负无穷， x ()x ϕ在同一坐标系中作出与如下图所示，()h x ()x ϕ题目转化为与函数与在图像上有两交点，y k =()h x ()x ϕ故由图得.()1,00,e k ⎛⎫∈-∞⋃ ⎪⎝⎭故答案为：.()1,00,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知，，．()1,3,4A ()1,5,4B -()1,2,1C -（1）求；,AB BC（2）求在上的投影向量．AC BC【答案】（1）2π3（2） ()0,2,2--【解析】【分析】（1）由向量夹角余弦公式,分别计算向量数量积和向量的模,再根据夹角范围,确定夹角的值. （2）根据投影向量定义分别计算两个向量的数量积和模,再求出向量的同方向单位向量,计算即可得到BC投影向量. 【小问1详解】解：因为，，()2,2,0AB =- ()0,3,3BC =--所以，，，6AB BC⋅=-AB =BC = 所以． 1cos ,2AB BC AB BC AB BC ⋅===-⋅因为，0,πAB BC ≤≤所以．2π,3AB BC = 【小问2详解】因为，， ()2,1,3AC =--- ()0,3,3BC =--所以．cos ,AC BC ==因为， 0,BC BC ⎛= ⎝所以在上的投影向量为AC BC．()cos ,0=0,2,2BC AC AC BC BC ⎛= ⎝⋅--18. 如图，四棱锥的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，，，M 为BC P ABCD -2PD DC ==AD =的中点.（1）求D 到平面APM 的距离；（2）求平面ABCD 与平面APM 所成角的余弦值. 【答案】（1 （2 【解析】【分析】（1）根据点面距离的法向量求法即可求解；（2）根据面面夹角的法向量求法即可求解. 【小问1详解】因为四棱锥的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，P ABCD -所以可以建立以D 为坐标原点，DA 方向为x 轴，DC 方向为y 轴，DP 方向为z 轴，如图所示的空间直角坐标系，又，，M 为BC 的中点， 2PD DC ==AD =所以，，，，(0,0,0)DA 2,0)M (0,0,2)P 所以，，2)PA =-2,2)PM =-DA = 设平面的法向量为，PAM (,,)n x y z =所以， ()()()),,220,,2,2220nPA x y z z n PM x y z y z ⎧⋅=⋅-=-=⎪⎨⋅=⋅-=+-=⎪⎩取，解得，， 1x=z=y =所以，n =所以D 到平面APM.==【小问2详解】易知，平面ABCD 的一个法向量为，(0,0,2)DP =. ()0,0,2·cos ,m n ⎛===平面ABCD 与平面APM . 19. 已知函数，.()sin cos f x x x x =+()0,2πx ∈（1）求函数在处的切线方程； ()f x πx =（2）求函数的极值. ()f x 【答案】（1）2ππ10x y +-+=（2）的极大值为;的极小值为. ()f x π2()f x 3π2-【解析】【分析】(1)根据导数的几何意义即可求解;(2)根据导数与极值的关系即可求解. 【小问1详解】因为，()sin cos f x x x x =+所以， ()sin cos (sin )f x x x x x =+-'+所以， ()cos f x x x '=所以， (π)πcos ππf '==-而，()ππsin πcos π1f =+=-所以函数f （x ）在处的切线方程为：， πx =(1)π(π)y x --=--即， 2ππ10x y +-+=【小问2详解】因为，()sin cos f x x x x =+所以， ()sin cos (sin )f x x x x x =+-'+所以， ()cos f x x x '=令， ()cos 0f x x x '==解得或， 0x =ππ,2x k k =+∈Z 又因为， ()0,2πx ∈所以或，1π2x =3π2x =x 10,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭ 12π 13π,π22⎛⎫ ⎪⎝⎭3π23π,2π2⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x '+-+()f x ↗极大值 ↘极小值↗函数的极大值为;()f x 1πππππsin cos 22222f ⎛⎫=+=⎪⎝⎭函数的极小值为.()f x 33π3π3π3ππsin cos 22222f ⎛⎫=+=-⎪⎝⎭20. 某同学买了7个盲盒，每个盲盒中都有一个礼物，有4个装小兔和3个装小狗． （1）依次不放回地从中取出2个盲盒，求第1次、第2次取到的都是小兔盲盒的概率； （2）依次不放回地从中取出2个盲盒，求第2次取到的是小狗盲盒的概率．【答案】（1）27（2）37【解析】【分析】（1）设事件“第次取到的是小兔盲盒”，，求出，，再根据条件概=i A i 1,2i =()1P A ()21P A A 率的概率公式计算可得；（2）设事件“第次取到的是小狗盲盒”，，求出，，，再根据全i B =i 1,2i =()1P B ()21P B B ()21P B A 概率的概率公式计算可得. 【小问1详解】设事件“第次取到的是小兔盲盒”，．=i A i 1,2i =∵，，()14117C 4C 7P A ==()132116C 1C 2P A A ==∴， ()()()12121412727P A A P A P A A ==⨯=即第次、第次取到的都是小兔盲盒的概率为．1227【小问2详解】设事件“第次取到的是小狗盲盒”，．i B =i 1,2i =∵，，，()13117C 3C 7P B ==()122116C 1C 3P B B ==()132116C 1C 2P B A ==∴由全概率公式，可知第次取到的是小狗盲盒的概率为2()()()()()2121121P B P B P B B P A P B A =⨯+⨯ 31417372=⨯+⨯． 37=21. 在三棱柱中，平面平面，侧面为菱形，，111ABC A B C -11A B BA ⊥ABC 11A B BA 1π3ABB ∠=，，E 是的中点.1A B AC ⊥2AB AC ==AC（1）求证：平面；1A B ⊥1AB C （2）点P 在线段上（异于点，），与平面所成角为，求的值.1A E 1A E AP 1A BE π41EP EA 【答案】（1）证明见解析（2）125EP EA =【解析】【分析】(1)根据线面垂直的判定定理证明； (2)利用空间向量的坐标运算表示线面夹角即可求解. 【小问1详解】因为四边形为菱形，所以，11A B BA 11A B AB ⊥又因为，，平面，， 1A B AC ⊥1AB AC ⊂1AB C 1AB AC A = 所以平面. 1A B ⊥1AB C 【小问2详解】取的中点O ，连接，四边形为菱形，且， AB 1B O 11A B BA 1π3ABB ∠=所以.1B O AB ⊥因为平面平面，平面平面，11A B BA ⊥ABC 11A B BA ⋂ABC AB =平面，1B O ⊂11A B BA 所以平面，所以，又因为，与相交， 1B O ⊥ABC 1B O AC ⊥1A B AC ⊥1B O 1A B 所以平面.取中点D ，连结， AC ⊥11A B BA BC OD 以O 为原点，，，为空间基底建立直角坐标系.OB OD 1OB则，，，，()1,0,0B ()1,0,0A-(1A -()1,1,0E -所以，.(1BA =-()2,1,0BE =- 设平面的一个法向量为，1A BE (),,n x y z =所以，令，则，，13020n BA x n BE x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩1x=z =2y =所以.(1,n =设，可得点，. 1EP EA λ=()1,1P λλ---(),1AP λλ=-- 由题意πsin cos ,4AP n AP n AP n ⋅===解得或（舍），即. 2=5λ0λ=125EP EA =22. 已知函数，.()ln 1f x x mx =-+()()e 2xg x x =-（1）若的最大值是1，求的值；()f x m （2）若对其定义域内任意，恒成立，求的取值范围. x ()()f x g x ≤m 【答案】（1） 1em =（2） [)1,+∞【解析】【分析】（1）先求定义域，再求导，分与两种情况，分类讨论得到当，时，0m ≤0m >0m >1x m=取得最大值，列出方程，求出的值；()f x m （2）转化为在上恒成立问题，构造，二次求导，利用1ln 2e x x m x +-≥-()0,∞+()1ln e xx x xϕ+=-隐零点求出，取对数后，利用同构得到，求出在处取得最大值，0020e n 0l x x x +=01e x x =()x ϕ0x x =列出不等式，求出的取值范围. m 【小问1详解】的定义域为，. ()f x ()0,∞+()11mx f x m x x-'=-=若，，在定义域内单调递增，无最大值；0m ≤()0f x ¢>()f x若，令,解得：，令，解得：， 0m >()0f x ¢>10,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '<1,x m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭故时，单调递增，时，单调递减. 10,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()f x 1,x m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()f x 时，取得极大值，也是最大值，故，1x m∴=()f x 11ln 1f m m ⎛⎫== ⎪⎝⎭；1em ∴=【小问2详解】原式恒成立，即在上恒成立，()ln 1e 2xx mx x -+≤-()0,∞+即在上恒成立. 1ln 2e xx m x+-≥-()0,∞+设，则. ()1ln e x x x x ϕ+=-()22e ln x x xx xϕ+'=-设，则， ()2e ln xh x x x =+()()212e 0xh x x x x'=++>在上单调递增，且，.()h x ∴()0,∞+112e e 211e 1e 10e eh -⎛⎫=⋅-=-< ⎪⎝⎭()1e 0h =>有唯一零点，且，()h x ∴01,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭020e n 0l xx x +=即. 000ln ex x x x -=两边同时取对数，得，易知是增函数，()()0000ln ln ln ln x x x x +=-+-ln y x x =+，即. 00ln x x ∴=-01ex x =因为，所以当时，， ()()2h x x x ϕ'=-()00,x x ∈()()20h x x xϕ'=->当时，， ()0,x x ∈+∞()()20h x x xϕ'=-<故在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，也是最大值，()x ϕ()00,x ()0,x +∞()x ϕ0x x =， ()()0000000e 11ln 11x x x x x x x x ϕϕ+-∴≤=-=-=-， 21m ∴-≥-，1m ∴≥故的取值范围是.m [)1,+∞【点睛】隐零点的处理思路：第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数；第二步：虚设零点并确定取值范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次.。
同安区第一中学2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题
同安区第一中学2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题一、选择题1． 设函数f （x ）在x 0处可导，则等于（）A ．f ′（x 0）B ．f ′（﹣x 0）C ．﹣f ′（x 0）D ．﹣f （﹣x 0）2． 将函数y=cosx 的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，所得函数图象的一条对称轴方程是（ ）A ．x=πB ．C ．D ．3． 如图是七位评委为甲，乙两名参赛歌手打出的分数的茎叶图（其中m ，n 为数字0～9中的一个），则甲歌手得分的众数和乙歌手得分的中位数分别为a 和b ，则一定有（）A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a=bD ．a ，b 的大小与m ，n 的值有关4． 集合,是的一个子集,当时,若有,则称为的一个“孤立{}5,4,3,2,1,0=S A S A x ∈A x A x ∉+∉-11且x A 元素”.集合是的一个子集, 中含4个元素且中无“孤立元素”,这样的集合共有个B S B B B A.4 B. 5 C.6 D.75． 数列中，，对所有的，都有，则等于（ ）{}n a 11a =2n ≥2123n a a a a n =gg L 35a a +A ．B ．C ．D ．2592516611631156． 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．16163π-32163π-1683π-3283π-【命题意图】本题考查三视图、圆柱与棱锥的体积计算，意在考查识图能力、转化能力、空间想象能力．7． 如图，AB 是半圆O 的直径，AB ＝2，点P 从A 点沿半圆弧运动至B 点，设∠AOP ＝x ，将动点P 到A ，B班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________两点的距离之和表示为x 的函数f （x ），则y ＝f （x ）的图象大致为（ ）8． 若方程x 2﹣mx+3=0的两根满足一根大于1，一根小于1，则m 的取值范围是（）A ．（2，+∞）B ．（0，2）C ．（4，+∞）D ．（0，4）9． 已知直线x+ay ﹣1=0是圆C ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y+1=0的对称轴，过点A （﹣4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B，则|AB|=（ ）A ．2B ．6C ．4D ．210．若点O 和点F （﹣2，0）分别是双曲线的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．11．设变量x ，y 满足约束条件，则目标函数z=4x+2y 的最大值为（ ）A ．12B ．10C ．8D ．212．若双曲线M 上存在四个点A ，B ，C ，D ，使得四边形ABCD 是正方形，则双曲线M 的离心率的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．若展开式中的系数为，则__________．6()mx y +33x y 160-m =【命题意图】本题考查二项式定理的应用，意在考查逆向思维能力、方程思想．14．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入的X 的值为2，则输出的结果是 ．15．已知函数，，则 ，的值域21,0()1,0x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩()21xg x =-((2))f g =[()]f g x 为．【命题意图】本题考查分段函数的函数值与值域等基础知识，意在考查分类讨论的数学思想与运算求解能力.16．若正方形P 1P 2P 3P 4的边长为1，集合M={x|x=且i ，j ∈{1，2，3，4}}，则对于下列命题：①当i=1，j=3时，x=2；②当i=3，j=1时，x=0；③当x=1时，（i ，j ）有4种不同取值；④当x=﹣1时，（i ，j ）有2种不同取值；⑤M 中的元素之和为0．其中正确的结论序号为 ．（填上所有正确结论的序号） 17．椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的右焦点为（2，0），且点（2，3）在椭圆上，则椭圆的短轴长为 ．18．已知双曲线x 2﹣y 2=1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|+|PF 2|的值为 ． 三、解答题19．在平面直角坐标系xOy 中．己知直线l 的参数方程为（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是ρ=4．（1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标系方程；（2）直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，求∠AOB 的值． 20．已知数列{a n}中，a1=1，且a n+a n+1=2n，（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}的前n项和S n，求S2n．21．我市某校某数学老师这学期分别用m，n两种不同的教学方式试验高一甲、乙两个班（人数均为60人，入学数学平均分和优秀率都相同，勤奋程度和自觉性都一样）．现随机抽取甲、乙两班各20名的数学期末考试成绩，并作出茎叶图如图所示．（Ⅰ）依茎叶图判断哪个班的平均分高？（Ⅱ）现从甲班所抽数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学，用ξ表示抽到成绩为86分的人数，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）学校规定：成绩不低于85分的为优秀，作出分类变量成绩与教学方式的2×2列联表，并判断“能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为成绩优秀与教学方式有关？”下面临界值表仅供参考：P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）22．已知A、B、C为△ABC的三个内角，他们的对边分别为a、b、c，且．（1）求A；（2）若，求bc的值，并求△ABC的面积．23．甲、乙两支篮球队赛季总决赛采用7场4胜制，每场必须分出胜负，场与场之间互不影响，只要有一队获胜4场就结束比赛．现已比赛了4场，且甲篮球队胜3场．已知甲球队第5，6场获胜的概率均为，但由于体力原因，第7场获胜的概率为．（Ⅰ）求甲队分别以4：2，4：3获胜的概率；（Ⅱ）设X表示决出冠军时比赛的场数，求X的分布列及数学期望．24．已知，且．（1）求sinα，cosα的值；（2）若，求sinβ的值．同安区第一中学2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题（参考答案）一、选择题1． 【答案】C 【解析】解： =﹣=﹣f ′（x 0），故选C ． 2． 【答案】B【解析】解：将函数y=cosx 的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y=cos x ，再向右平移个单位得到y=cos[（x ）]，由（x ）=k π，得x =2k π，即+2k π，k ∈Z ，当k=0时，，即函数的一条对称轴为，故选：B【点评】本题主要考查三角函数的对称轴的求解，利用三角函数的图象关系求出函数的解析式是解决本题的关键． 3． 【答案】C【解析】解：根据茎叶图中的数据，得；甲得分的众数为a=85，乙得分的中位数是b=85；所以a=b ．故选：C ． 4． 【答案】C 【解析】试题分析：根据题中“孤立元素”定义可知，若集合B 中不含孤立元素，则必须没有三个连续的自然数存在，所有B 的可能情况为：，，，，，共6个。
福建省高二数学下学期期中试题 文-人教版高二全册数学试题
某某省2016-2017学年高二数学下学期期中试题 文考试时间：120分钟；满分：150分学校:___________某某：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知集合{13}A x x =-<<，{}B x x a =<，若A B A =，则实数a 的取值X 围是（ ）A.3a >B. 3a ≥C. 1a ≥-D. 1a >-2.复数2(1)41i z i -+=+的虚部为（ ）A.-1B.-3C.1D.2 3.计算235log 5log 2log 3⋅⋅的值为（ ）A.1B.2C.4D.84.已知x 与y 之间的一组数据：（0，1），（1，3），（2，5），（3，7），则y 与x 的线性回归方程必过点（ ）A.（2，4）B.（1.5，2）C.（1，2）D.（1.5，4）5.已知函数2,0()21,0x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，若()1f x ≥，则x 的取值X 围是（ ）A.(,1]-∞-B. [1,)+∞C. (,0][1,)-∞+∞D.(,1][1,)-∞-+∞6.已知()f x 是定义在[0,)+∞上单调递增的函数，则满足1(21)()3f x f -<的x 取值X 围是（ ）A. 12(,)23B. 2(,)3-∞C. 12[,)23D. 2(,]3-∞7.参数方程2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）和极坐标方程6cos ρθ=-所表示的图形分别是（ ）A.圆和直线B.直线和直线C.椭圆和直线D.椭圆和圆 8.“0,0a b >>”是“2()2a b ab +<”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 9.已知实数,,a b c 满足1()32a=，31log 2b =-，21()log 3cc =，则实数,,a b c 的大小关系为（ ）A.a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D. b c a <<10.若直线l 的参数方程为1324x ty t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），则直线l 倾斜角的余弦值为（ ） A.45-B. 35-C. 35D. 4511.已知函数()()()f x x a x b =--()a b >的图象如图所示，则函数g （x ）=a x +b 的图象是（ ）A. B. C. D.12.已知定义在R 上的函数()f x 满足：(1)y f x =-的图象关于(1,0)点对称，且当0x ≥时恒有31()()22f x f x -=+，当[0,2)x ∈时，()1xf x e =-，则(2016)f +(2015)f -=（ ）A.1e -B.1e -C. 1e --D. 1e + 二、填空题(本大题共4小题，共20.0分) 13.全称命题：2,1x R x ∀∈>的否定是 ______ ．14..已知函数()f x 是定义在(0,)+∞上的函数，(2)0f =，且当120x x <<时有121()()0xf x f x x x ->-，则不等式()0f x <的解集是 ______ ．15.已知复数z x yi =+(,,0)x y R x ∈≠且23z -=，则yx的X 围为 ______ ． 16.对函数1()1ax f x x +=-（其中a 为实数，1x ≠），给出下列命题； ①当1a =时，()f x 在定义域上为单调递减函数；②对任意a R ∈，()f x 都不是奇函数； ③当1a =时，()f x 为偶函数；④关于x 的方程()0f x =最多有一个实数根，其中正确命题的序号为 ______ ，（把所有正确的命题序号写入横线） 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17.某种产品的广告费用支出x （万元）与销售额y （万元）之间有如下的对应数据：（1）求回归直线方程；（2）据此估计广告费用为12万元时的销售额约为多少？参考公式：1221ˆni ii nii x y nxybxnx ==-=-∑∑，ˆˆay bx =-，ˆˆˆy bx a =+．18.在某次电影展映活动中，展映的影片类型有科幻片和文艺片两种，统计数据显示．100名男性观众中选择科幻片的有60名，60名女性观众中选择文艺片的有40名． （1）根据已知条件完成2×2列联表：（2）判断是否有99%的把握认为“观影类型与性别有关”？随机变量22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++（其中n a b c d=+++）临界值表：19.已知a R∈，命题p：“2[1,2],0x x a∀∈-≥”，命题q：“2,220x R x ax a∃∈++-=”．（Ⅰ）若命题p为真命题，某某数a的取值X围；（Ⅱ）若命题“p q∧”为假命题，某某数a的取值X围．20.已知直线l经过点(2,1)P，倾斜角4πα=，（Ⅰ）写出直线l的参数方程；（Ⅱ）设直线l与圆O：2ρ=相交于两点A，B，求线段AB的长度．21.以平面直角坐标系的原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设曲线C的参数方程为2cosxyαα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α是参数），直线l的极坐标方程为cos()6πρθ+=．（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；（2）设点P为曲线C上任意一点，求点P到直线l的距离的最大值．22. 已知函数1()log1amxf xx-=+（0,1,1a a m>≠≠-），是定义在(1,1)-上的奇函数．（I）求(0)f的值和实数m的值；（II）当1m=时，判断函数()f x在(1,1)-上的单调性，并给出证明；（III）若1()02f>且(2)(22)0f b f b-+->，某某数b的取值X围．答案和解析【答案】1.B2.B3.A4.D5.D6.C7.D8.D 9.A 10.B 11.A 12.A13.14.（0，2）15.16.②④17.解：（1）求回归直线方程==5==50b==6.5 a=50-6.5×5=17.5∴因此回归直线方程为y=6.5x+17.5；（2）当x=12时，预报y的值为y=12×6.5+17.5=95.5万元．即广告费用为12万元时，销售收入y的值大约是95.5万元．18.60；40；100；20；40；60；80；80；16019.解：（I）由命题p为真命题，a≤x2min，a≤1；（ II）由命题“p∧q”为假命题，所以p 为假命题或q为假命题，p为假命题时，由（I）a＞1；q为假命题时△=4a2-4（2-a）＜0，-2＜a＜1，综上：a∈（-2，1）∪（1，+∞）．20.解：（1）设直线l上任意一点为Q（x，y），∵直线l经过点P（2，1），倾斜角，∴PQ的斜率k==tan=，因此，设y-1=tsin=t，x-2=tcos=t，可得直线l的参数方程为（t为参数）．（2）圆O的方程为ρ=2，平方得ρ2=4，即x2+y2=4，将直线l的参数方程代入x2+y2=4，整理得．设A（2+t1，1+t1），B（2+t2，1+t2），∴，t1t2=1，可得线段AB长为：==．21.解：（1）∵直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）=2，即ρ（cosθ-sinθ）=2，即x-y-4=0．曲线C的参数方程为（α是参数），利用同角三角函数的基本关系消去α，可得+=1．（2）设点P（2cosα，sinα）为曲线C上任意一点，则点P到直线l的距离d==，tanβ=，故当cos（α+β）=-1时，d取得最大值为．22.解：（I）∵f（0）=log a1=0．因为f（x）是奇函数，所以：f（-x）=-f（x）⇒f（-x）+f（x）=0∴log a+log a=0；∴log a=0⇒=1，即∴1-m2x2=1-x2对定义域内的x都成立．∴m2=1．所以m=1或m=-1（舍）∴m=1．（II）∵m=1∴f（x）=log a；设设-1＜x1＜x2＜1，则∵-1＜x1＜x2＜1∴x2-x1＞0，（x1+1）（x2+1）＞0∴t1＞t2．当a＞1时，log a t1＞log a t2，即f（x1）＞f（x2）．∴当a＞1时，f（x）在（-1，1）上是减函数．当0＜a＜1时，log a t1＜log a t2，即f（x1）＜f（x2）．∴当0＜a＜1时，f（x）在（-1，1）上是增函数．（III）由f（b-2）+f（2b-2）＞0得f（b-2）＞-f（2b-2），∵函数f（x）是奇函数∴f（b-2）＞f（2-2b），∴0＜a＜1由（II）得f（x）在（-1，1）上是增函数∴∴∴b的取值X围是【解析】1. 解：∵集合A={x|-1＜x＜3}，B={x|x＜a}，A∩B=A，∴A⊂B，∴a≥3．∴实数a的取值X围是a≥3．故选：B．由A∩B=A，知A⊂B，由此能求出实数a的取值X 围．本题考查实数的取值X围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2. 解：∵z==，∴复数z=的虚部为-3．故选：B．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3. 解：原式==1，故选：A．利用对数换底公式即可得出．本题考查了对数换底公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4. 解：∵，=4，∴本组数据的样本中心点是（1.5，4），∴y与x的线性回归方程为y=bx+a必过点（1.5，4）故选D．要求y与x的线性回归方程为y=bx+a必过的点，需要先求出这组数据的样本中心点，根据所给的表格中的数据，求出横标和纵标的平均值，得到样本中心点，得到结果．本题考查线性回归方程，考查线性回归方程必过样本中心点，这是一个基础题，题目的运算量不大．5. 解：因为在每段定义域对应的解析式上都有可能使得f（x）≥1成立，所以将原不等式转化为：或，从而得x≥1或x≤-1．故选D．分段函数最本质的特点是在定义域的不同区间上对应关系（解析式）不同．在每段定义域对应的解析式上都有可能使得f（x）≥1成立，所以需要分情况解答．考查学生对分段函数本质的理解深度．6. 解：∵f（x）是定义在[0，+∞）上单调递增的函数，∴不等式等价为0≤2x-1＜，即≤x＜，即不等式的解集为，故选：C．根据函数单调性的性质，建立不等式关系进行求解即可．本题主要考查不等式的求解，根据函数单调性的性质建立不等式关系是解决本题的关键．7. 解：极坐标ρ=-6cosθ，两边同乘以ρ，得ρ2=-6ρcosθ，化为普通方程为x2+y2=-6x，即（x+3）2+y2=9．表示以C（-3，0）为圆心，半径为3的圆．参数方程（θ为参数），利用同角三角函数关系消去θ，化为普通方程为，表示椭圆．故选D．将极坐标方程、参数方程化为普通方程，再去判断即可．本题考查了极坐标方程、普通方程以及转化，曲线的普通方程．属于基础题．8. 解：“a＞0，b＞0”时，，当a=b时，“”不成立，故“a＞0，b＞0”是“”的不充分条件，“”时，a，b可以异号，故“a＞0，b＞0”不一定成立，故“a＞0，b＞0”是“”的既不充分也不必要条件，故选：D结合基本不等式和充要条件的定义，分析“a＞0，b＞0”与“”的关系，可得答案．本题考查的知识点是充要条件，正确理解充要条件的概念是解答的关键．9.解：∵=3，∴a=＜0；∵log3b=-，∴b==∈（0，1）；由c，作出指数函数与对数函数的图象如图：可知c＞1．∴a＜b＜c．故选：A．分别化指数式为对数式与化对数式为指数式得到a，b的X围，再由指数函数与对数函数的图象可得c的X围，则实数a，b，c的大小关系可求．本题考查对数值的大小比较，考查指数函数与对数函数的图象，是中档题．10. 解：由题意得，设直线l倾斜角为θ，直线l的参数方程为（t为参数），可化为，则，∵θ∈（0，π），∴，故选：B．把直线l的参数方程化为普通方程，利用斜率与倾斜角的关系、同角三角函数基本关系式即可得出．本题考查了参数方程化为普通方程、斜率与倾斜角的关系、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11. 解：由已知中函数f（x）=（x-a）（x-b）的图象可得：0＜a＜1，b＜-1，故g（x）=a x+b的图象如下图所示：故选：A．由已知中函数f（x）=（x-a）（x-b）的图象可得：0＜a＜1，b＜-1，进而结合指数函数的图象和性质及函数图象的平移变换法则，画出g（x）=a x+b 的图象，可得答案．本题考查的知识点是指数函数的图象和性质，其中根据已知分析出0＜a＜1，b＜-1，是解答的关键．12. 解：∵y=f（x-1）的图象关于（1，0）点对称，∴y=f（x）的图象关于（0，0）点对称，∴函数为奇函数，∵当x≥0时恒有f（x+2）=f（x），当x∈[0，2）时，f（x）=e x-1，∴f（2016）+f（-2015）=f（2016）-f（2015）=f（0）-f（1）=0-（e-1）=1-e，故选：A根据图象的平移可知y=f（x）的图象关于（0，0）点对称，可得函数为奇函数，由题意可知当x≥0时，函数为周期为2的周期函数，可得f（2016）+f（-2015）=f（0）-f（1），求解即可．本题主要考查了函数图象的平移，奇函数的性质和函数的周期性．难点是对知识的综合应用．13. 解：命题：∀x∈R，x2＞1的否定是：，故答案为：根据已知中的原命题，结合全称命题否定的方法，可得答案．本题考查的知识点是全称命题，命题的否定，难度不大，属于基础题．14. 解：∵当0＜x1＜x2时有＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，又f（2）=0，f（x）＜0，∴f（x）＜f（2），∵f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴不等式f（x）＜0的解集是（0，2）．故答案为：（0，2）．确定f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（2）=0，f（x）＜0，可得f（x）＜f（2），即可得出结论．本题考查函数的单调性，利用函数的单调性求解不等式问题，考查学生的计算能力，属于中档题．15. 解：∵|z-2|=|x-2+yi|，，∴．∴（x-2）2+y2=3．设，则y=kx．联立，化为（1+k2）x2-4x+1=0．∵直线y=kx与圆有公共点，∴△=16-4（1+k2）≥0，解得．∴则的X围为．故答案为．利用复数的运算法则和模的计算公式、直线与圆有公共点的充要条件即可得出．熟练掌握复数的运算法则和模的计算公式、直线与圆有公共点的充要条件是解题的关键．16. 解：对于①，当a=1时，f（x）=1+，是由y=向右，向上平移一个单位得到的，不是单调函数，∴不正确．对于②，用分离常数法转化，f（x）=，易得其图象关于（1，a）对称，若为是奇函数，则图象关于原点对称，∴正确；对于③，当a=1时，f（x）=1+，易得其图象关于（1，1）对称，不是偶函数，∴不正确；对于④，方程f（x）=0⇒ax+1=0且x-1≠0，⇒最多有一个实数根，故正确；故答案为：②④①，当a=1时，f（x）=1+，是由y=向右，向上平移一个单位得到的，不是单调函数．②，用分离常数法转化，f（x）=，易得其图象关于（1，a）对称，图象不关于原点对称；③，当a=1时，f（x）=1+，易得其图象关于（1，1）对称，不是偶函数；④，方程f（x）=0⇒ax+1=0且x-1≠0，⇒最多有一个实数根，故正确；本题考查了命题的真假判定，涉及到f（x）=型函数的性质，属于基础题．17.（1）根据所给的数据先做出横标和纵标的平均数，利用最小二乘法写出线性回归方程系数的表达式，把样本中心点代入求出a的值，得到线性回归方程．（2）根据所给的变量x的值，把值代入线性回归方程，得到对应的y的值，这里的y的值是一个预报值．本题考查线性回归方程的求法和应用，本题解题的关键是求出线性回归方程的系数，这是后面解题的先决条件．18. 解：（1）由题可得科幻片文艺片合计男60 40 100女20 40 60合计80 80 160（2）由题可得∴有99%的把握认为“观影类型与性别有关”（1）直接利用条件列表即可．（2）利用随机变量K2=，求出k2，判断即可．本题考查2×2列联表的填法，对立检验的运用，考查计算能力．19.（I）由命题p为真命题，问题转化为求出x2min，从而求出a的X围；（ II）由命题“p∧q”为假命题，得到p为假命题或q为假命题，通过讨论p，q的真假，从而求出a的X围．本题考查了复合命题的判断，考查函数恒成立问题，是一道基础题．20.（1）设直线l上任意一点为Q（x，y），根据直线的斜率公式与同角三角函数的商数关系，引入参数t可得y-1=t且x-2=t，由此即可得到直线l的参数方程；（2）将圆O化为直角坐标下的标准方程得x2+y2=4，将l的参数方程代入，化简整理得．再利用一元二次方程根与系数的关系和两点间的距离公式加以计算，可得求线段AB的长度．本题将直线l的方程化成参数方程，并求直线被圆截得的弦长．着重考查了参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．21.（1）利用极坐标和直角坐标的互化公式把直线l的极坐标方程化为直角坐标方程．利用同角三角函数的基本关系消去α，把曲线C的参数方程化为直角坐标方程．（2）设点P（2cosα，sinα），求得点P到直线l的距离d=，tanβ=，由此求得d 的最大值．本题主要考查把极坐标方程、参数方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式、辅助角公式的应用，属于中档题．22.（I）直接把0代入即可求出f（0）的值；再结合f（-x）+f（x）=0对定义域内的所有自变量成立即可求出实数m的值；（II）先研究真数的单调性，再结合复合函数的单调性即可判断函数f（x）在（-1，1）上的单调性；（III）先根据得到a的X围；再结合其为奇函数把f（b-2）+f（2b-2）＞0转化为f（b-2）＞f（2-2b），结合第二问的单调性即可求出实数b的取值X围．本题主要考察对数函数图象与性质的综合应用．本题第二问涉及到复合函数的单调性，复合函数的单调性遵循原则是：同增异减．word 11 / 11。
福建省南安一中高二数学下学期期中试题 文 新人教A版(1)
福建省南安一中2013-2014学年高二数学下学期期中试题 文 新人教A 版本试卷考试内容为：选修1-2，集合、简易逻辑、函数与导数。
分第I 卷（选择题）和第II 卷，共4页，满分１５０分，考试时间１２０分钟。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上。
2．考生作答时，请将答案答在答题纸上，在本试卷上答题无效。
按照题号在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。
3．答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚（英语科选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号）。
4．保持答题纸纸面清洁，不破损。
考试结束后，将本试卷自行保存，答题纸交回。
第I 卷（选择题 共60分）选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有1项符合题目要求。
1．在复平面内，复数i i21-对应的点位于（ ）Ａ．第一象限Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限2．设集合S={x|24x-<},T={}14|≤≤-x x ，则T S I =（ ）Ａ．[)+∞-,4Ｂ．),2(+∞-Ｃ．(]1,2-Ｄ．[]1,4-3.命题“若00,022===+b a b a 且则”的逆否命题是( ) Ａ.若022≠+b a ，则0≠a 且0≠b Ｂ．若022≠+b a ，则若0≠a 或0≠b Ｃ.若0=a 且0=b ，则022≠+b a 若 Ｄ．若0≠a 或0≠b 则022≠+b a 4．下列函数中，在其定义域内既是奇函数，又是减函数的是（ ）Ａ．0.5log y x =()0≠x Ｂ．x xy +=1()0≠x Ｃ．x x y --=3 Ｄ．xy 9.0= 5.某一个网站针对“是否同意恢复五一长假”进行了随机调查,在参加调查的2 600名男性公民中有1 600 名持反对意见,在2 400名女性公民中有1 300人持反对意见,在运用这些数据分析说明“是否同意恢复五 一长假”与性别有无关系时,比较适合的方法是( ).Ａ.平均数与方差 Ｂ.独立性检验 Ｃ. 回归分析 Ｄ.条件概率6.设111()1(2,)23f n n n N n=++++>∈L ，经计算可得(4)2,f >5(8),2f >(16)3,f >7(32)2f >.观察上述结果，可得出的一般结论是 （ ）Ａ．()212(2,)2n f n n n N +>≥∈ Ｂ．()22(2,)2n f n n n N +≥≥∈Ｃ．()22(2,)2n n f n n N +>≥∈ Ｄ． ()22(2,)2n n f n n N +≥≥∈7.按流程图的程序计算，若开始输入的值为3x =，则输出的x 的值是 ( )Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．8.设()()13.0log ,3.0,2223.0>+===x x c b a x ，则c b a ,,的大小关系是（ ）Ａ.c b a << Ｂ．a b c << Ｃ． c a b << Ｄ．a c b <<9.已知()f x 在R 上是奇函数,且)()2(x f x f -=+2(4)),(0,2)()2,(7)f x f x x f x x f +=∈==当时，则（ ）Ａ．2- Ｂ．2 Ｃ．98- Ｄ．98函数()f x 的定义域为{|1}x R x ∈≠，对定义域中任意的x ，都有(2)()f x f x -=，且当1x <时， 2()2f x x x =-，那么当1x >时，()f x 的递增区间是（ ）Ａ．5[,)4+∞ Ｂ．5(1,]4 Ｃ．7[,)4+∞ Ｄ．7(1,)411.函数xy a log =在[)+∞∈,2x 上总有1>y ，则a 的取值范围是（ ）Ａ．210<<a 或21<<aＢ． 21<<aＣ． 121<<a 或21<<a Ｄ．210<<a 或2>a 12．设定义在R 上的函数()f x 满足以下两个条件：（1）对,()()0x R f x f x ∀∈+-=都有成立； （2）当20,(2)'()0x x x f x <+≥时 则下列不等式关系中正确的是 ( )Ａ．(1)(2)f f ≥ Ｂ．(1)(0)f f -≤ Ｃ．(2)(3)f f -≤- Ｄ．(2)(0)f f ≥第II 卷（非选择题，共60分）填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13． 当0a >且1a ≠时，函数2()5x f x a +=+的图象必过定点 . 14．已知函数x e x x f 2)(+=，则函数)(x f 在点))0(,0(f 处切线方程为 .15．已知:p “对任意的[2,4]x ∈，2log 0x a -≥”，:q “存在x R ∈，2220x ax a ++-=”,若,p q 均 为命题，而且“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是 . 16.给出下列四个结论：①函数xy a =（0a >且1a ≠）与函数log xa y a =（0a >且1a ≠）的定义域相同； ②函数11221xy =+-（0≠x ）是奇函数；③函数22)(x x f x -=有两个零点;④函数f(x)的图象向右平移一个单位长度，所得图象与x e y =关于y 轴对称，则1)(--=x e x f .其中正确结论的序号是___________________．（填写你认为正确的所有结论序号）三、解答题（本大题共6小题，共74分。
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同安一中2009-2010年度下学期高二年级期中考文科数学试卷本试卷分客观题和主观题两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
一.选择题，本大题共12小题，每小题5分，共60分.1．集合A={0,2,a},B={1,a 2}.若A ∪B={0,1,2,4,16},则a 的值为（ ）。
A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 2．将函数y=sin2x 的图象向左平移4π个单位，再向上平移1个单位，得函数解析式是（ ）。
A ．y=2cos 2x B ．y=2sin 2x C ．y=1+sin(2x+4π)D ．y=cos2x3．程序框图（即算法流程图）如图右所示，其输出结果是（ ）。
A ．123B ．115C ．127D ．121 4．复数31ii--等于（ ）。
A ．i 21+ B ．12i - C ．2i +D ．2i -5．已知{}n a 为等差数列，且7a －24a ＝－1, 3a ＝0,则公差d ＝（ ）。
A ．－2B ．－12C ．12D ．26. 设2lg ,(lg ),a e b e c ===A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >> 7．设,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是（ ）。
A ．若,l ααβ⊥⊥，则l β⊂ B ．若//,//l ααβ，则l β⊂ C ．若,//l ααβ⊥，则l β⊥ D ．若//,l ααβ⊥，则l β⊥ 8. 已知单位向量a,b 的夹角为60，则a +b 的模是（ ）。
A ．2B. 3C. 1D. 49．偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调增加，则满足(21)f x -＜1()3f 的x 取值范围是（ ）。
A ．（13，23） B ．［13，23） C ．（12，23） D ．［12，23） 10. 已知log (2)a y ax =-在[0,1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是（ ）A. （0，1）B. ∞[2，+）C. （0，2）D. （1，2）11. 某路公共汽车5分钟一班准时到达某车站，任一人在该车站等车少于3分钟的概率（ ）。
A.53 B. 51C.54D.52 12. 定义{}⎩⎨⎧<≥=b a b ba ab a ,,,max ，设实数y x ,满足约束条件{},,max ,22y y x z y x -=⎩⎨⎧≤≤则z 的取值范围是（ ）。
A.［－4，4］B.［－2，4］C.［－1，4］D.［－4，2］二. 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分 13．设等比数列{}n a 的公比12q =，前n 项和为n S ， 则44S a = 14．若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是 3cm15．若实数,x y 满足不等式组2,24,0,x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩则23x y +的最小值是 。
16．过抛物线24y x =的焦点做直线交抛物线于两点=⋅212211),,(),,(x x y x B y x A 则三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. （本小题满分12分）已知函数21()1x f x x +=+（1）解不等式：()1f x ≥；（2）当[1,)x ∈+∞时，求函数()f x 的最小值。
18. （本小题满分12分）设0>a ，xx e aa e x f +=)(是R 上的偶函数。
（I ）求a 的值；（II ）证明)(x f 在),0(+∞上是增函数19.（本小题满分12分）甲、乙两人玩数字游戏，先由甲任想一个数字记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙想的数字记为b ，且,{1,2,3,4,5,6}.a b ∈（I ）求两人想的数字之差为3的概率；（II ）若两人想的数字相同或相差1，则称“甲乙心有灵犀”，求 “甲乙心有灵犀”的概率 20．（本小题满分12分）某企业为适应市场需求，准备投入资金20万生产W 和R 型两种产品．经市场预测，生产W 型产品所获利润w y (万元)与投入资金w x (万元)成正比例关系，又估计当投入资金6万元时，可获利润1.2万元．生产R 型产品所获利润R y (万元)与投入资金R x (万元)的关系满足R R x y 45=，为获得最大利润，问生产W ．R 型两种产品各应投入资金多少万元？获得的最大利润是多少？(精确到0.01万元)21．（本小题满分12分）设函数3222()1,()21,f x x ax a x g x ax x =+-+=-+其中实数0a >。
（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当函数()y f x =与()y g x =的图象只有一个公共点时，记()g x 的最小值为()h a ，求()h a 的值域；（Ⅲ）若()f x 与()g x 在区间(,2)a a +内均为增函数，求a 的取值范围22.（本小题满分14分）已知函数ay x x=+有如下性质：如果常数0a >，那么该函数在上是减函数，在)+∞上是增函数，(Ⅰ)如果函数3(0)my x x x=+>的值域是[6,)+∞，求实数m 的值； (Ⅱ)研究函数22()af x x x =+(常数0a >)在定义域内的单调性，并说明理由； (Ⅲ)若把函数22()a f x x x=+(常数0a >)在[1，2]上的最小值记为()g a ，求()g a 的表达式同安一中2009-2010年度下学期高二年级期中考文科数学答题卷命题教师：江晓陵审核教师：柯天补王思亮命题时间：2010年4月25日本试卷分客观题和主观题两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
________ 15三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．解:18解:.19.解:20.解:21.解:22.解:文科数学参考答案18．解：（I ）依题意，对R x ∈有)()(x f x f =-，即x x x x ae ae e a a e +=+--1，…2分 ∴0)1)(1(=--x x e e a a 对一切R x ∈成立， …………4分 由此得到01=-aa ，12=a ，又∵0>a ，∴1=a 。
…………6分（II ）证明：由xxe e xf -+=)(，得xx ee xf --=')()1(2-=-x x e e ………6分当),0(+∞∈x 时，有0)1(2>--x xee ，此时0)(>'xf 。
∴)(x f 在),0(+∞上是增函数。
…………6分19．解：所有基本事件共计n=36个。
………………2分（I ）记“两人想的数字之差为3”为事件A ， ………………3分 事件A 包含的基本事件为： （1，4），（4，1），（2，5），（5，2），（3，6），（6，3），共计m=6个。
…………5分20．设生产R 型产品应投入x 万元,则生产W 型产品应投入资金（20－x ）万元，……2分所获总利润为y 万元,设w y ＝K w x ,11.265K K ∴=⇒=…………4分 11(20)4,[0,20]55y x x x ∴=-+=-+∈ …………6分,t =则22215125381,4()545864x t t y t t t =∈=-++=--+ …………9分当258t =即2259.778x ⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭此时20－x=10.23,y 取最大值为381 5.9564≈ …………11分 答:生产W 型产品应投入资金10.23 万元, 生产R 型产品应投入资金9.77万元, 可获得的最大利润约为5.95万元 …………12分21. 解：（Ⅰ） 22()323()()3af x x ax a x x a '=+-=-+， …………1分又0a >，∴当3a x a x <->或时，()0f x '>；当3aa x -<<时，()0f x '< ……2分∴()f x 在(,)a -∞-和(,)3a +∞内是增函数，在(,)3a a -内是减函数．…………4分（Ⅱ）由题意知 3222121x ax a x ax x +-+=-+，即22[(2)]0x x a --=恰有一根（含重根）．22a -≤0，又0a >，∴a ∈ …………6分211()()g x a x a aa =-+-，∴1(),h a a a a=-∈． )为增函数在2,0()(,011)(2a h a a h >+=' 222)2(-=h∴()h a 的值域为]222,(--∞． …………8分(Ⅱ)由题设知：43322()()2a x a f x x x x-'=-==（6分） ∴当x <0x <<()0f x '<，得()f x 在(,-∞、上是减函数，当0x <或x >()0f x '>，得()f x在[、)+∞上是增函数。
（10分）(Ⅲ)由(Ⅱ)知，()f x 在上是减函数，在)+∞上是增函数， 2，即16a ≥时，()f x 在[1,2]上是减函数，得()(2)44ag a f ==+（11分） 当12<<，即116a <<时，()f x在上是减函数，在上是增函数，得()g a f== （12分）当1≤，即01a <≤时，()f x 在[1,2]上是增函数，得()(1)1g a f a ==+．（13分）∴1(01)()(116)4(16)4a a g a a aa ⎧+<≤⎪⎪=<<⎨⎪⎪+≥⎩． （14分）。