2.1.1指数与指数运算(1)
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新课标人教A版必修1同课异构课件：2.1.1 指数与指数幂的运算(一)
例如： 27的3次方根表示为 3 27 , －32的5次方根表示为 5 32, a6的3次方根表示为 3 a6 , 16的4次方根表示为 4 16,
第十五页，编辑于星期日：十二点 五十一分。
例如：27的3次方根表示为 3 27 , －32的5次方根表示为 5 32, a6的3次方根表示为 3 a6 , 16的4次方根表示为 4 16,
衰期”.根据此规律，人们获得了生物体内 碳14含量P与死亡年数t之间的关系
P
(
1
)
t 5730
.
2
提问：
(
1
)
6000 5730
，(
1
)
10000 5730
(
1
)
100000
5730 的意义是
2
2
2
什么？
第七页，编辑于星期日：十二点 五十一分。
讲授新课
根式： (1)求： ①9的算数平方根，9的平方根；
记作： x n a .
第二十一页，编辑于星期日：十二点 五十一分。
(3)性质 ①当n为奇数时：正数的n次方根为
正数，负数的n次方根为负数．
记作： x n a .
②当n为偶数时：正数的n次方根有
两个(互为相反数)．
第二十二页，编辑于星期日：十二点 五十一分。
(3)性质
①当n为奇数时：正数的n次方根为 正数，负数的n次方根为负数．
②8的立方根，－8的立方根；
③什么叫做a的平方根？a的立方根？
第八页，编辑于星期日：十二点 五十一分。
(2)定义 一般地，若xn＝a (n＞1, n∈N*)，则
x叫做a的n次方根.
n a 叫做根式，
n 叫做根指数， a 叫做被开方数．
2.1.1指数与指数幂的运算
二、课堂设问，任务驱动
内 14 问题2: 当 生 物 死 亡 后 ， 它 机 体 原 有 的 碳 会 按 确 这个时间称为“半衰期 ，根据此规律，人们 得了 ” 获 生 物 体 内 碳 含 量 与 死 亡 年 数之 间 的 关 系 14 t 1 5730 P( ) 2 由此可知：
t
定 的 规 律 衰 减 ， 大 约 每 过5730 衰 减 为 原 来 的 一 半 ， 经 年
2年后 2002 ),我国GDP可望为 ( 年 2000 年的 1 7.3% ) 倍; (
2
3年后( 2003 ),我国GDP可望为 年 2000 年的(1 7.3% )3 倍; 从2000 年起, x年后,我国GDP 可望为 2000 年的y倍,则
y (1 7.3% )x 1.073x ( x N * , x 20)
(1) a a a
r s
r s
rs
rs
(a 0, r , s Q);
(2) (a ) a (a 0, r , s Q); (3) (ab)r a r br (a 0, b 0, r Q).
三、新知建构，交流展示
2 .典例分析： 题型1、利用根式的性质化简、求值 ； 题型2、有条件的根式的化简 ； 题型3、分数指数幂的运算 ； 题型4、根式化为指数式。
4
c 5 c (c 0).
5 4
1)规定正数的正分数指数幂的意义:
三、新知建构，交流展示
a
m n
a (a 0, m` n N , 且n 1)
n m
正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿.
2)规定:
a
m n
2.1.1指数与指数幂的运算
若x a,
n
那么x叫做a的n次方根
*
（n>1,且n N ）
n次方根的性质：
（1）当n是奇数时，正数的n次方根 是一个 正数 ，负数的n次方根是一个负数
（2）当n是偶数时，数的n次方根 有 两个，它们 互为相反数 .
（3）负数 没有 偶次方根, 0的任何次方根都是 0 . 记作 n 0 0.
作业：
课本：P54练习1题; 2题(1),(4),(5); 3题(1),(3)
P59习题2.1
1题(3),(4)； 2题(1),(2)
第二章 基本初等函数 2.1.1指数函数与指数幂的运算
2.1.1.1 根式： 数学谜语：
猜一数学 名词
--------开方
1、n次方根的定义： 2＝４，则称x为４的 平方根 ， （1）x x= 4 = 2 （2）x3=8，则称x为8的 立方根
x=
3
；
8 =2
（3）x4=16，则称x为16的 四次方根 ， x = 4 16 = 2
ห้องสมุดไป่ตู้
（1）分数指数幂是根式的另一种表示； （2）根式与分式指数幂可以互化.
a 规定:（1）
m n
1
a
m n
0, m , n N * , 且 n 1) (a
（2）0的正分数指数幂等于0;0的负分数指 数幂没意义.
性质：(整数指数幂的运算性质对于实数指 数幂也同样适用）
(a 0, r , s R) a a a r s rs (a 0, r , s R) (a ) a r r r (ab) a b (a 0, b 0, r R)
练习: (1)2的平方根等于_____________ (2) 7的立方根等于_____________ (3)-32的五次方根等于___________ (4)81的四次方根等于____________
湖南省岳阳一中高一数学必修一《2.1.1指数与指数幂的运算1》课件.ppt
二、讲解新课 2．根式的概念
思考 2:一般地，当 n 为奇数时，实数 a 的 n 次 方根存在吗？有几个？
二、讲解新课 2．根式的概念
思考 2:一般地，当 n 为奇数时，实数 a 的 n 次 方根存在吗？有几个？
思考 3:一般地，当 n 为偶数时，实数 a 的 n 次 方根存在吗？有几个？
二、讲解新课
思考 1:4 的平方根是什么？任何一个实数都有 平方根吗？一个实数的平方根有几个？
思考 2:-27 的立方根是什么？任何一个实数都 有立方根吗？一个实数的立方根有几个？
思考 3:推广到一般情形，a 的 n 次方根是一个 什么概念？试给出其定义.
定义： 一般地，若 xn a(n 1, n N*) 则
二、讲解新课 1．方根的概念
二、讲解新课
1．方根的概念
思考 1:4 的平方根是什么？任何一个实数都有 平方根吗？一个实数的平方根有几个？
二、讲解新课 1．方根的概念
思考 1:4 的平方根是什么？任何一个实数都有 平方根吗？一个实数的平方根有几个？
思考 2:-27 的立方根是什么？任何一个实数都 有立方根吗？一个实数的立方根有几个？
x 叫做 a 的 n 次方根．
二、讲解新课 2．根式的概念
二、讲解新课
2．根式的概念
思考 1: -8 的立方根，16 的 4 次方根，32 的 5 次方根，-32 的 5 次方根，0 的 7 次方根，a6 的立方根分别是什么数？怎样表示？
二、讲解新课
2．根式的概念
思考 1: -8 的立方根，16 的 4 次方根，32 的 5 次方根，-32 的 5 次方根，0 的 7 次方根，a6 的立方根分别是什么数？怎样表示？那么，a 的 n 次方根又怎么表示呢？
2.1.1指数与指数幂的运算(必修一 数学 优秀课件)
a
性质：
（1）当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数， 负数的n次方根是一个负数. （2）当n是偶数时，正数的n次方根有两个，它们 互为相反数. （3）负数没有偶次方根, 0的任何次方根都是0. 记作 n 0 = 0.
(4)
(
n
a)
5
n
a
4
2 32 _______ 81 _______ 3
(
>0, 是
无理数)是一个确定的实数. 有理数指数幂的
运算性质同样适用于无理数指数幂.
思考：请说明无理数指数幂
2
3
的含义。
1、已知 x
3
3 6 1 a ，求 a 2ax x 的值。
2
2、计算下列各式
(1)
a b a b
2
1 2
1 2
1 2
1 2
a b a b
rs
r
(a b) a b (a 0, b 0, r Q)
r
例2、求值
8
2 3
;
25
1 2
;
1 2
5
16 ; 81
3 4
例3、用分数指数幂的形式表示下列各式(其中a>0):
(1) a
3
a ( 2) a
2
3
a
2
(3) a a
3
3 x y 2
)
7、若10x=2，10y=3，则10
2 6 3
。
B 8、a , b ，下列各式总能成立的是（ R
A .( a
6 6 6
）
2 2 8 2 2 8 b) a b B. ( a b ) a b
2.1.1指数与指数运算(根式)
P50探究 例如，3 33 = 3 ，5（-3）5 = -3
32 = 3 ，（-3）2 = 3
当n为奇数时, n an a;
当n为偶数时, n
an
| a |
a, a 0, a,a 0.
例1、求下列各式的值:
(1)3 (8)3 ＝－8 (2) (10)2 ＝︱－10︱＝10
P59A1
(3)4 (3 )4 ＝︱3－π ︱＝ π －3
(4) (a b)2 (a b) ＝ ︱a－b ︱=a－b
分析：
当n为奇数时，n an a
a(a 0)
当n为偶数时，n an a
-a (a<0)
补充练习：
（1） 5 －3）3 =-3
（3） （－3）4 = 92 = 9 =9
（4） （ 2－ 3）2 =︱ 2－ 3︱= 3－ 2
(5)
6 = （ 3）2 =︱x3︱
(6)
5－2 6 = （ 3）2－2 2 3 （ 2）2
= （ 3－ 2）2 =︱ 3－ 2 ︱ = 3－ 2
小结
a2
(3) a6 的三次方根是____
(4) 0 的七次方根是____0___
思考：a的n次方根有几个？
① n 为奇数时，a 的 n 次方根只有1个．记为：n a
正数的奇次方根是正数, 例如，3 8=2 负数的奇次方根是负数, 例如，3 -8=-2 零的奇次方根是零.
② n为偶数时，aa 0 的 n次方根有2个．记为： n a
例如，81的4次方根 4 81= 3.
（其中4 81=3， -4 81=-3）
n 0 0；负数没有偶次方根．
4、式子 n a 叫做根式． n 叫做根指数，a 叫
2.1.1指数幂运算与无理数指数幂
3, 3
例6：已知x+x =3，求下列各式的值 (1)x x
2 1 2 2 1 2
1
2 x x 3 3 3 x x
3
补充：x y x y x
3
2
xy y
2
1 a b a b ________
4 4
2 2 2 ______
【题型4】分数指数幂或根式中x的定义域问 题根式运算 例5.求下列各式中x的范围
(1) 1 x ;
4
。
x≤1
(2).( x 1)
1 3 X≠1
(3)( x 1)
2 3
X∈R
(4).(1 2 x)
3 4 x 1
2
(5).(| x | 1)
1 3
思考2:观察上面两个图表，你能发现 5 2 的 大小可以通过怎样的途径来得到吗？ 结论:由一串逐渐增大的有理数指数幂的值
5
1.4
,5
1.41
,5
1.414
,5
1.4142
,
和另一串逐渐减小的有理数指数幂的值
5 ,5
1.5
1.42
,5
1.415
,5
1.4143
, 无限逼近得到
无理数指数幂
51.4
-6x+4=0的两根且a>b,
a b 求 的值. a b
1.分数指数概念
(1) a n a m ; m (2) a n 1 m an
m n
(a＞0,m,n∈N*, n＞1)
n
1 ; am
(3)0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂 没有意义. 2.有理数指数幂运算性质
2.1.1指数与指数幂的运算(人教版)说课讲解
思考：请说明无理数指数幂 2 3 的含义。
1、已知 x 3 1 a ，求 a 2 2ax 3 x 6 的值。
方根只有一个，记为 x n ．a
得出结论
22 4 32 9
24 16
2 4 3 9
24 16
x6 12
x 6 12
结论：当 n 为偶数时，正数的 n次方根有两
个，它们互为相反数．正数a的正n次方根用符号 n a
表示；负的n次方根用符号 n a 表示，正数）
21
11
15
(1)(2a3b2)(6a2b3)(3a6b6)
(2)(m
1 4
n
3 8
)8
例5、计算下列各式
(1)( 3 25 - 125 ) 4 25 (2) a2 (a 0)
a 3 a2
一般地，无理数指数幂 a ( >0,是
无理数)是一个确定的实数. 有理数指数幂的 运算性质同样适用于无理数指数幂.
(ar)Sars(a0,r,s Q )
(a b )r a rb r(a 0 ,b 0 ,r Q )
例2、求值
2
83 ;
1
2 52 ;
1 5; 1 6 4 3
2 8 1
例3、用分数指数幂的形式表示下列各式(其中a>0):
(1) a 3 a (2) a 2 3 a 2 (3) a 3 a
（3）a 的n次方根是 n a ；
（4） n an a(a0).
解：（1）不正确； （2）不正确； （3）不正确；（4）正确。
二、分数指数幂
1．复习初中时的整数指数幂，运算性质
anaaaa,a01 (a0) , 00无 意 义
1、已知 x 3 1 a ，求 a 2 2ax 3 x 6 的值。
方根只有一个，记为 x n ．a
得出结论
22 4 32 9
24 16
2 4 3 9
24 16
x6 12
x 6 12
结论：当 n 为偶数时，正数的 n次方根有两
个，它们互为相反数．正数a的正n次方根用符号 n a
表示；负的n次方根用符号 n a 表示，正数）
21
11
15
(1)(2a3b2)(6a2b3)(3a6b6)
(2)(m
1 4
n
3 8
)8
例5、计算下列各式
(1)( 3 25 - 125 ) 4 25 (2) a2 (a 0)
a 3 a2
一般地，无理数指数幂 a ( >0,是
无理数)是一个确定的实数. 有理数指数幂的 运算性质同样适用于无理数指数幂.
(ar)Sars(a0,r,s Q )
(a b )r a rb r(a 0 ,b 0 ,r Q )
例2、求值
2
83 ;
1
2 52 ;
1 5; 1 6 4 3
2 8 1
例3、用分数指数幂的形式表示下列各式(其中a>0):
(1) a 3 a (2) a 2 3 a 2 (3) a 3 a
（3）a 的n次方根是 n a ；
（4） n an a(a0).
解：（1）不正确； （2）不正确； （3）不正确；（4）正确。
二、分数指数幂
1．复习初中时的整数指数幂，运算性质
anaaaa,a01 (a0) , 00无 意 义
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(4)( a )2 a
(a 0)
a2
a
一.根式
平方根，立方根是 怎么定义的？
平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。
即:如果x2=a，则x为a的平方根
立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根。
即:如果x3=a，则x为a的立方根
1、n次方根的定义P49：
如果一个数的n次方等于a，那么这个数 叫做a的n次方根。即: 如果xn=a，则x为 a的n次方根（n＞1，n∈N＊）
(2) (3)4 (3) ( 2 3)2 (4) 5 2 6
(5) (a 3)2 ; (6)5 (3)10 (7)6 (3)12
练习二
填空（1）3 64 ______,5 32 _______；
（2）4 81 ______,4 81 ______
（3）(4 3)4 ______,(5 6)5 ______；
2
2
4
81
解: （1）83 =（23）3 =22 =4
1
（2）1002 =
11 =
1 1=
1002 （10）22
1 10
（3）（1）3 =（2-2）-3 =2（-2）（-3）=26 4
（4）
（16
3
） 4
=（
2
）4（-
34）=（2）-3
=
27
81
3
38
例3:用分数指数幂表示下列各式(式中a>0)
（1）a2 a （2）a3 3 a2 （3） a a
正的偶次方根为 n a ,负的偶次方根为 n a;
负数没有偶次方根
当a=0时, n a 有意义吗?
因为05=0
即：5 0 0
; 04=0
4 0 0
;0100=0
100 0 0
无论n是奇数还是偶数,都有 0n=0 (n 0) 0的n次方根为0， n 0 0(n 0)
3、根式的定义:P49
作业:
1.课本P54 1,2 P591,2（做书上） 2.作业本2.1.1（一）
∵(-2)5=-32 , ∴-2是-32的5次方根
∵(a2)3=a6 , ∴a2是a6的3次方根
3 27 3 5 32 2
3 a6 a2
2、n次方根的性质：P49
一般地: 正数的奇次方根是一个正数,记作: n a 负数的奇次方根是一个负数,记作: n a
(1)求16的4次方根
(2)求-81的4次方根
如果一个数的n次方等于a，那么这个 数叫做a的n次方根。即:如果xn=a， 则x为a的n次方根（n＞1，n∈N＊）
因为n次方根x满足xn=a,
所以求一个数a的n次方根 就是求出哪个数的n次方等于a.
(1)求27的3次方根
(2)求-32的5次方根
(3)求a6的3次方根 解: ∵33=27 , ∴3是27的3次方根
解:
16
(2)4 a16 4 (a4 )4 a4 a 4
当根式的被开 方数的指数能 被根指数整除
思考:当根式的被开方数的指数不能被根指数
整除时,根式是否可以写成分数指数幂的形式?
时,根式可以写 成分数指数幂 的形式
2
3 a2 a3
如果幂的运算性质(2)(am)n=amn对于分数指数
幂也适用,则
a 式子 n 叫做根式 , 其中a为被开方数,n为根指数
根据n次方根定义,有: （n a）n a
n an
?
a
3（-2）3 -2 ；5 25 2 ；n 0n 0 ； 4 34 3 ；（-3）2 3
4、根式的运算性质:P50
当n为奇数时: 当n为偶数时:
n an a
nLeabharlann anaa（a 0） a（a<0）
；
（4）5 a10 _____,3 a12 _______；
（5）5（ 2）5 ___,7 (3)7 _____
（6）6 (4)6 ____,4 54 ______.
二.分数指数幂
10
(1) 5 a10 a 5
16
(2) 4 a16 a 4
10
(1) 5 a10 5 (a2 )5 a2 a 5
(1)an
aaa
1
(n N );
a0 1 (a 0);
an = an (a 0,n N )
(2)am an amn (m, n z); （am）n = amn (m, n z);
(ab)n = an bn (n z)
(3) 9 3 ； 9 -3 ；0 0
38 2
；3 -8= -2 ；3 0 0
二注意公式成立的前提条件,m,n互为质数; 根式与分数指数幂可以进行互化。
m
a n n am （a>0,m,n N 且n>1）
问题1：在上述定义中，若没有“a>0”这个限 制，行不行？
问题2：如何定义正数的负分数指数幂 和0的分数指数幂？
规定:正数的负分数指数幂:
m
a n
1
m
（a>0,m,n N 且n>1）
例1:求下列各式的值.
(1) 3 (8)3
(3) 4 (3 )4
(2) (10)2 (4) (a b)2 (a b)
解: (1) 3 (8)3 8
(2) (10)2 10 10
(3) 4 (3 )4 3 3
(4) (a b)2 a b a b (a b)
课堂练习一： 求下列各式的值:(1)5 32
解（ : 1）a2
a
1
a2 a2
2 1
a 2
5
a2
（2）a3 3
a2
2
a3 a3
3 2
a 3
11
a3
（3）a a
1
aa2
（a1
11
2）2
a
3 4
一、n次方根的定义
若xn a(n 1且n N * ), 则x叫a的n次方根。
二、n次方根的性质
偶次方根的性质
奇次方根的性质
① 正数的偶次方根有两个， 它们互为相反数，记为 n a
正数的奇次方根为正数，记为 n a
② 负数没有偶次方根
负数的奇次方根为负数，记为 n a
③ 0的偶次方根为0
0的奇次方根为0
你都掌握了吗?
三、根式的运算性质
n n a a
a
n an
a
四、有理数指数幂运算性质:
n为奇数 n为偶数
(1)ar as ars (a 0, r, s Q) 同底数幂相乘,底数不变指数相加 (2)(ar )s=ars (a 0, r, s Q) 幂的乘方底数不变,指数相乘 (3)(a b)r=arbr (a 0,r, s Q) 积的乘方等于乘方的积
(3) 根式与分数指数幂可以进行互化:分式
指数幂可以直接化成根式计算，也可利用
m
(a n ) n
a
nm n
am
来计算；反过来，根式也可化成分数指数幂来计算。
（4）同样可规定(见课本第52到53页)
a (a 0,是无理数）的意义：
例2:求值：
2
（1）8 3
1
（2）1002
（3）（ 1 ）-3
（4）（16）34
an
同时: 0的正分数指数幂等于0； 0的负分数指数幂
没有意义
说明： （1）分数指数幂的意义只是一种规定，前面所 举的例子只表示这种规定的合理性； （2）规定了分数指数幂的意义以后，指数的概 念就从整数指数推广到了有理数指数；
2、有理指数幂的运算性质:P51
(1)ar as ars (a 0, r, s Q) 同底数幂相乘,底数不变指数相加 (2)(ar )s=ars (a 0, r, s Q) 幂的乘方底数不变,指数相乘 (3)(a b)r=arbr (a 0,r, s Q) 积的乘方等于乘方的积
解: (1)∵24=16 , ∴ 2是16的4次方根
4 16 2
又∵(-2)4=16 , ∴ -2也是16的4次方根 4 16 2
∴ 16的4次方根有两个，分别是2和-2
(2) ∵任何实数的4次方都是非负数,不会为-81, ∴-81没有4 次方根.
一般地:正数的偶次方根有两个且它们互为相反数,
2
（a 3）32
2 3
a3
a2
说明a 3是a2的3次方根， 2
而3 a2也是a2的3次方根，于是有 a 3 3 a2
1、正数的m 正分数指数幂的定义:P51 a n n am （a>0,m,n N 且n>1）
注意:在分数指数幂里,根指数作分母,幂指数作分子.
注意两点:
一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；