山东省济宁市高考数学专题复习第33讲基本不等式练习新人教A版

第四节 基本不等式[考情展望] 1.利用基本不等式ab ≤a ＋b2求最值、证明不等式.2.利用基本不等式解决实际问题．一、基本不等式ab ≤a ＋b21．基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. 2．等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时等号成立． 3．其中a ＋b2称为正数a ，b 的算术平均数，ab 称为正数a ，b 的几何平均数．由公式a 2＋b 2≥2ab 和ab ≤a ＋b2可以引申出的常用结论(1)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)； (2)b a ＋a b≤－2(a ，b 异号)； (3)21a ＋1b≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)(或ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)．二、利用基本不等式求最大、最小值问题 1．如果x ，y ∈(0，＋∞)，且xy ＝P (定值)．那么当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2P .(简记：“积定和最小”) 2．如果x ，y ∈(0，＋∞)，且x ＋y ＝S (定值)．那么当x ＝y 时，xy 有最大值S 24.(简记：“和定积最大”)1．函数y ＝x ＋1x(x ＞0)的值域为( )A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)【解析】 ∵x ＞0，∴y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2. 当且仅当x ＝1x，即x ＝1时等号成立．∴函数y ＝x ＋1x(x ＞0)的值域为[2，＋∞)．【答案】 C2．已知m ＞0，n ＞0，且mn ＝81，则m ＋n 的最小值为( ) A ．18 B ．36 C ．81 D ．243 【解析】 ∵m ＞0，n ＞0，mn ＝81， ∴m ＋n ≥2mn ＝281＝18. 当且仅当m ＝n ＝9时等号成立． 【答案】 A3．设0＜x ＜1，则x (3－3x )取得最大值时，x 的值为( ) A.13 B.12 C.34 D.23 【解析】 ∵0＜x ＜1， ∴x (3－3x )≤3·⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋－x 22＝34，当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时等号成立．【答案】 B4．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品应为________件．【解析】 设每件产品的平均费用为y 元，由题意得y ＝800x ＋x 8≥2800x ·x8＝20. 当且仅当800x ＝x8(x ＞0)，当且仅当x ＝80时，“＝”成立．【答案】 805．(2012·福建高考)下列不等式一定成立的是( )A ．lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x≥2(x ≠k π，k ∈Z) C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R) D.1x 2＋1>1(x ∈R) 【解析】 应用基本不等式：x ，y ∈R ＋，x ＋y2≥xy (当且仅当x ＝y 时取等号)逐个分析，注意基本不等式的应用条件及取等号的条件．当x >0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14≥lg x (x >0)，故选项A 不正确；运用基本不等式时需保证一正二定三相等，而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故选项B 不正确；由基本不等式可知，选项C 正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故选项D 不正确． 【答案】 C6．(2013·四川高考)已知函数f (x )＝4x ＋a x(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________.【解析】 f (x )＝4x ＋a x≥24x ·a x ＝4a (x >0，a >0)，当且仅当4x ＝a x，即x ＝a2时等号成立，此时f (x )取得最小值4a .又由已知x ＝3时，f (x )min ＝4a ，∴a2＝3，即a ＝36.【答案】 36考向一 [112] 利用基本不等式求最值(1)(2014·青岛模拟)下列命题中正确的是( ) A ．y ＝x ＋1x的最小值是2B ．y ＝2－3x －4x(x ＞0)的最大值是2－4 3C ．y ＝sin 2x ＋4sin 2x的最小值是4D ．y ＝2－3x －4x(x ＜0)的最小值是2－4 3(2)(2014·贵阳模拟)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245 B.285C ．5D ．6 【思路点拨】 (1)借助均值不等式的使用条件“一正、二定、三相等”逐一判断．(2)将条件变形35x ＋15y＝1，然后注意“1”的代换．【尝试解答】 (1)A 不正确，如取x ＝－1，则y ＝－2. B 正确，因为y ＝2－3x －4x＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋4x ≤2－23x ·4x＝2－4 3.当且仅当3x ＝4x ，即x ＝233时等号成立．C 不正确，令sin 2x ＝t ，则0＜t ≤1，所以g (t )＝t ＋4t，显然g (t )在(0,1]上单调递减，故g (t )min ＝g (1)＝1＋4＝5.D 不正确，∵x ＜0，∴－x ＞0 ∴y ＝2－3x －4x＝2＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ≥2＋4 3.当且仅当－3x ＝－4x ，即x ＝－233时等号成立．(2)由x ＞0，y ＞0，且x ＋3y ＝5xy ，得35x ＋15y ＝1.∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝⎛⎭⎪⎫35x ＋15y＝135＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋2 3x 5y ·12y5x＝5， 当且仅当x ＝2y ＝1时，等号成立． ∴3x ＋4y 的最小值为5. 【答案】 (1)B (2)C 规律方法1 1.第题的解题关键是“逐一验证均值不等式的适用条件”.第小题求解的关键是条件的恰当变形与“1”的代换，常见错误是条件与结论分别利用基本不等式，导致错选A ，根本原因忽视等号成立条件.2.利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”.常用的方法为拆、凑、代换、平方.对点训练 (1)已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝1，且3x ＋4y的最小值是________．(2)设x ，y 为实数，若x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________． 【解析】 (1)∵x ＞0，y ＞0，x ＋y ＝1，∴3x ＋4y＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋4y ＝3y x ＋4x y＋7≥23y x ·4xy＋7＝7＋43，当且仅当3y x ＝4xy且x ＋y ＝1，即x ＝－3＋23，y ＝4－23时等号成立， ∴3x ＋4y的最小值是7＋4 3.(2)由x 2＋y 2＋xy ＝1，得1＝(x ＋y )2－xy ， ∴(x ＋y )2＝1＋xy ≤1＋x ＋y24，解得－233≤x ＋y ≤233，∴x ＋y 的最大值为233.【答案】 (1)7＋4 3 (2)233考向二 [113] 简单的不等式证明(2013·课标全国卷Ⅱ)设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明： (1)ab ＋bc ＋ca ≤13；(2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.【思路点拨】 (1)将a ＋b ＋c ＝1两边平方，化简整理，借助不等式的性质，即得结论．(2)证a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥1，也即证a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c .可分别证a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a＋a ≥2c ，然后相加即得．【尝试解答】 (1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ， 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 由题设得(a ＋b ＋c )2＝1.即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1.所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13.(2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a＋a ≥2c ，故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )， 即a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c . 所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.规律方法2 1.“1”的代换是解决问题的关键，代换变形后能使用基本不等式是代换的前提，不能盲目变形．2．利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式必须是有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，达到放缩的效果，必要时，也需要运用“拆、拼、凑”的技巧，同时应注意多次运用基本不等式时等号能否取到．考向三 [114] 基本不等式的实际应用(2014·潍坊模拟)如图6－4－1，某广场要划定一矩形区域ABCD ，并在该区域内开辟出三块形状大小相同的矩形绿化区，这三块绿化区四周和绿化区之间设有1米宽的走道。

已知三块绿化区的总面积为800平方米，求该矩形区域ABCD 占地面积的最小值．图6－4－1【思路点拨】 设出小矩形的长和宽，建立矩形区域ABCD 的面积S 的表达式，借助不等式求最值．【尝试解答】 设绿化区域小矩形的一边长为x ，另一边长为y ，则3xy ＝800， 所以y ＝8003x，所以矩形区域ABCD 的面积S ＝(3x ＋4)(y ＋2)＝(3x ＋4)⎝⎛⎭⎪⎫8003x ＋2＝800＋6x ＋32003x ＋8≥808＋26400＝968当且仅当6x ＝32003x ，即x ＝403时取“＝”，∴矩形区域ABCD 的面积的最小值为968平方米． 规律方法3 解实际应用题要注意以下几点：设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值； 在求函数的最值时，一定要在定义域使实际问题有意义的自变量的取值范围内求解.对点训练 某厂家拟在2013年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m 万元(m ≥0)满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2012年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)．(1)将2013年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； (2)该厂家2013年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 【解】 (1)由题意知，当m ＝0时，x ＝1(万件)， ∴1＝3－k ，即k ＝2.∴x ＝3－2m ＋1. 又∵每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx(万元)．∴2012年的利润y ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫1.5×8＋16x x－(8＋16x ＋m ) ＝4＋8x －m ＝4＋8⎝⎛⎭⎪⎫3－2m ＋1－m ＝29－⎣⎢⎡⎦⎥⎤m ＋＋16m ＋1(m ≥0)． (2)∵m ≥0时，(m ＋1)＋16m ＋1≥216＝8. ∴y ≤29－8＝21，当且仅当16m ＋1＝m ＋1，即当m ＝3(万元)时，y max ＝21(万元)． 所以该厂家2013年的促销费用投入为3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元．思想方法之十六 消元思想在基本不等式求最值中的巧用所谓消元思想就是将未知数的个数由多化少，逐一解决的思想方法．由于应用基本不等式“ab ≤a ＋b2”求最值时需满足三个条件(一正、二定、三相等)，且只限于“二元”范畴之内，故对于多元求最值问题可采用消元思想，转化为“二元”问题．———— [1个示范例] ———— [1个对点练] —————(2013·山东高考)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z取得最大值时，2x ＋1y －2z的最大值为( )A ．0B ．1 C.94D ．3【解析】 含三个参数x ，y ，z ，消元，利用基本不等式及配方法求最值．z ＝x 2－3xy ＋4y 2(x ＞0，y ＞0，z ＞0)，∴xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4y x－3≤14－3＝1. 当且仅当x y ＝4y x，即x ＝2y 时等号成立，此时z ＝x 2－3xy ＋4y 2＝4y 2－6y 2＋4y 2＝2y 2，∴2x ＋1y －2z ＝22y ＋1y －22y 2＝－1y 2＋2y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －12＋1，∴当y ＝1时，2x ＋1y －2z 的最大值为1. 设x ，y ，z 为正实数，满足x －2y ＋3z ＝0，则y 2xz的最小值是________．【解析】 由x －2y ＋3z ＝0可得y ＝x ＋3z2所以y 2xz ＝x 2＋9z 2＋6xz 4xz＝x 4z ＋9z 4x ＋32≥2x 4z ·9z 4x ＋32＝32＋32＝3 当且仅当x ＝3z 时取“＝”． 【答案】 3。