第四讲_数学归纳法(第一课时)
数学归纳法(第一课时)说课
化的美好境界。
错误（1）：用数学归纳法证题缺少第一步。 例：等式2+4+6+……+2n=n2+n+1成立吗？
证明：假设当n=k 时等式成立， 即
2+4+6+……+2k=k2+k+1 那么 2+4+6+……+2k+2(k+1)
=k2+k+1+2(k+1)
=(k+1)2+(k+1)+1 所以当n=k+1时等式也成立。 所以原等式成立。
显然当 n=1 时 等式不 成立。
错误（2）：把n=k+1直接代入左右两边
那么 1 3 5 ( 2k 1) [2( k 1) 1] ( k 1) 2 错误(3)：没有利用归纳假设，
而是利用等差数列前n项和公式
那么 1 3 5 ( 2k 1) [2( k 1) 1] ( k 1)[1 2( k 1) 1] ( k 1) 2 2
(2)师生共同证明该恒等式
（四）引导学生概括，提升理念形成新知
两个步骤，一个结论
证明一个与正整数n个值n0时命题成立；
注意
（2）(归纳递推) 假设当n=k(kN*，k≥n0)时命题成立， 证明当n=k+1时命题也成立。 (结论) 根据(1)、(2)，可知命题对从n0开始的所有正整数 n都成立。 这种证明方法就叫做数学归纳法。
（五）学以致用——证明恒等式
练习1
用数学归纳法证明：
1+３+５+……+（２n－１）= n2（n∈N*）
《数学归纳法》第一课时教学设计
《数学归纳法》第一课时教学设计教材分析：本节课是人教A版4―5第四讲第一节数学归纳法第一课时，主要是让学生了解数学归纳法原理，并能够用数学归纳法证明一些与正整数有关的实际问题。
它将一个无穷归纳过程转化为一个有限步骤的演绎过程，是促进学生从有限思维发展到无限思维，并培养学生严密的推理能力和抽象思维能力的重要载体。
学情分析：由于此前数列和推理与证明两部分的学习，使学生对归纳推理有了一定的认知。
教学目标：知识与技能目标：1.了解数学归纳法产生的根源及其无穷递推的本质，认清“奠基”和“递推”两者缺一不可。
2.体会数学归纳法的思想，会用数学归纳法证明一些简单的命题。
过程与方法目标：1.亲身感悟数学归纳法原理发现和提出的过程，体会其由无限问题化为有限问题这一转化的数学思想。
2.精心创设积极思考、大胆质疑的课堂愉悦情境，提高学习兴趣和课堂效率。
情感态度与价值观目标：1.通过对数学归纳法的学习，进一步感受数学来源于生活，并形成严谨的科学态度和数学思维品质。
2.认识有限与无限的辩证关系。
教学重点：数学归纳法产生过程的分析及其适用范围，掌握数学归纳法证题的基本步骤。
教学难点：认识数学归纳法的证明思路，对数学归纳法中递推思想的理解。
教具准备：传统板书与多媒体辅助教学相结合。
教学过程：一、情景设置问题1：通过计算下面的式子，你能猜想出-1+3-5+…+（-1）n（2n-1）的结果吗？证明你的结论。
-1+3=-1+3-5=-1+3-5+7=-1+3-5+7-9=问题2：多米诺骨牌是怎样全部倒下的？二、探究新知问题1中，要证明等式在n为正整数时都成立，虽然可以验证n=1，2，3，4……甚至10000000时等式（★）成立，但是正整数有无限多个，我们无法对它们一一验证，所以，通过验证是无法完成证明的。
下面我们先来看看多米诺骨牌的视频（多媒体播放视频材料），讨论问题2 。
如果不推倒起始的第一张骨牌，而从其后的第二张或某一张开始推倒，那么其前面的骨牌会倒吗？如果因为抽去中间的某一张或某一张牌摆放不标准等原因，使得此处前一张骨牌倒下后不能碰倒下一张，那么骨牌会全部倒下吗？显然，以上的情况都不能使得全部骨牌倒下，可见让所有的多米诺骨牌全部倒下，应具备如下条件：条件一：第一张骨牌倒下。
数学归纳法(第一课时)简明教案
数学归纳法（第一课时）简明教案授课时间 2008年4月10日授课教师徐颖授课班级授课地点二南开综合楼510 指导教师梅雅芬高二（11）知识与使学生了解数学归纳法，能用数学归纳法证明一些简单的与正整数n有关技能的数学命题教学过程与培养学生观察, 分析, 论证的能力, 进一步发展学生的抽象思维能力和创目方法新能力，让学生经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想标情感态度努力创设课堂愉悦情境，使学生处于积极思考、大胆质疑的氛围，提高学与价值观生学习的兴趣和课堂效率借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证教学重点明一些与正整数n有关的数学命题1.学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的教学难点作用，不易根据归纳假设作出证明2.运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的归纳关系教学模式启发式教学教学手段多媒体辅助教学教学过程环节情境设计意图师生活动引例：已知a导入 naan,,,1,(1,2,3)n11，引入课题，揭示学习数学归纳法探求此猜想的证a1，n的必要性明方法猜想其通项公式后如何给出证明？借助实例揭示数学归纳法的原教师演示，师生实例演示理，培养学生观察分析的能力共同讨论类比实例揭示数学归让学生经历知识构建的过程，体教师启发，师生纳法的原理，归纳数会类比的数学思想，对数学归纳探共同总结学归纳法的解题步骤法的原理形成初步认识求新借助具体题目使学生进一步体师生共同分析后知例题1、2(见附录) 会数学归纳法的原理，规范利用教师板演数学归纳法解题的步骤学生独立完成后练习1、2、3(见附录) 巩固所学知识师生共同讨论总结利用数学归纳法使学生在总结过程中深化对数教师引导下学生小结解题的步骤及所需注学归纳法的认识总结概括意的方面作业布置作业运用知识解决问题教师布置作业2.3 数学归纳法板书例1 例2 练习1附录：例1.用数学归纳法证明nnn(1)(21)，，2222, 123 ()，，，，,,nnN6例2.用数学归纳法证明2,1427310(31)(1) ()，，，，，，，，,，,nnnnnN 练习用数学归纳法证明下列命题：nn(1)，,1. 123 ()，，，，,,nnN21,2. 122334(1)(1)(2) ()，，，，，，，，,，，,nnnnnnN33．下面是某同学用数学归纳法证明命题1111n,，，，,, （nN) ，，，，，122334(1)1nnn的过程，你认为他的证法正确吗？为什么？证明：1111（1）当时，左边，右边，左边右边，命题成立n,,,,,,1122112，，1111k（2）假设当时命题成立，即nk,，，，，,,12，，，，，2334(1)1kkk 则当时，nk,，111111 左边,，，，，，122334(1)1(2)，，，，，，kkkk（）111111111 1,,，,，,，，,，,（）（）（）（）（）22334112kkkk，，，11k， 1,,,,右边kk，，，2(1)1即当时命题也成立。
数学归纳法第一课时课件
瑞昌二中
伍志
2008.05.07
21
2 1 5
222 1 17
223 1 257
(费马猜想)
224 1 65537
都是质数，
于是他用归纳推理提出猜想 费尔马(1601.8—1665.1)
任何形如22n 1(n N *)的数都是质数 法国数学家。
结论是错误的。
[1 2(k 1) 1](k 1)
=
2
(k 1)2
即n=k+1时，命题成立。
根据①②问可知，对n∈N＊，等式成立。
第二步证明中没有用到假设，这不是数学归纳法证明。
小结
重点：两个步骤、一个结论； 注意：递推基础不可少，
归纳假设要用到， 结论写明莫忘掉。
例2、用数学归纳法证明：如果{an}是一 个等差数列，那么 an a1 (n 1)d 对 一切 n N * 都成立。
命这题种对证从明n方0开法始就的叫一做切正数整学数归都成纳立法。。
数学归纳法的原理图：
验证n=n0时命 题成立
归纳奠基
若n=k(k≥n0)时命题成立, 证明n=k+1时命题也成立.
归纳推理
命题对从n0开始所有 的正整数n都成立
例1.用数学归纳法证明:当 n N
1 3 5 ... (2n 1) n2
2k 1 2(k1)1 2*2k 1 2k1 1
即当n k 1时，等式也成立；
综上知：对于一切n N*,等式都成立。
想一想：
(1) 第一步，是否可省略？
不可以省略。
反例
(2)第二步，从n=k(k≥n0)时命题成立的假设出发， 推证 n=k+1 时命题也成立。既然是假设，为什么还 要把它当成条件呢？
第四讲 一 数学归纳法(优秀经典公开课比赛课件)
答案：(k＋1)2
人教A版数学·选修4-5
返回导航
上页
下页
3．数列{an}中，已知 a1＝1，当 n≥2(n∈N＋)时，an＝an－1＋2n－1，依次计算 a2， a3，a4 后，猜想 an 的表达式是________．
[答案]
D
人教A版数学·选修4-5
返回导航
上页
下页
[规律探究]
(1)认清待证命题的结构特征、 分清项数与 n 之间的关系是用数学归
纳法的基本条件，常见错误有：①没有认清 n0 是什么；②不会确定 n＝n0 时的具 体情形；③误认为 f(n)中就一定有 n 项；④误认为 f(n＋1)的最后一项就是由 f(n) 变到 f(n＋1)时增加的项． (2)证明 n＝k＋1 时命题成立的过程中必须用上归纳假设，即把 n＝k 时的命题作 为必备的已知条件，只有用上这个条件并推出 n＋1 时的命题成立才正确；如果 推证 n＝k＋1 时命题成立的过程中没用上归纳假设， 即使符合数学归纳法证题格 式也不是数学归纳法.
当 n＝k＋1
1 1 1 1 时，1－41－9…1－k21－k＋12
1 k＋1 k＋1 kk＋2 1－ ＝ · 2＝ k ＋ 1 2k 2 k k＋12 k＋2 k＋1＋1 ＝ ＝ . 2k＋1 2k＋1 ∴当 n＝k＋1 时，等式也成立，由(1)(2)知，对任意 n≥2，n∈N＋等式成立．
人教A版数学·选修4-5
返回导航
上页
下页
运用数学归纳法证题的常见错误 [典例] 1 A. 3n＋2 1 1 C. ＋ 3n＋1 3n＋2 1 1 1 设 f(n)＝1＋ ＋ ＋…＋ (n∈N＋)，则 f(n＋1)－f(n)等于( 2 3 3n－1 1 1 B． ＋ 3n 3n＋1 1 1 1 D． ＋ ＋ 3n 3n＋1 3n＋2 )
《数学归纳法》第一课时教学设计
《数学归纳法》第一课时教学设计《《数学归纳法》第一课时教学设计》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！【教学任务分析】(1)了解数学归纳法的意义，培养学生在观察的基础上进行归纳猜想和发现的能力，进而培养学生创造性思维的能力。
(2)使学生理解数学归纳法的实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤，会用数学归纳法证明有关正整数的命题。
【教学目标】1、知识与技能：理解“数学归纳法”的含意和本质;掌握数学归纳法证题的两个步骤一个结论;会用“数学归纳法”证明简单的恒等式和整除问题。
2、过程与方法：初步掌握归纳与推理的方法;培养大胆猜想，小心求证的辩证思维素质;让学生养成自主思维、主动发现的学习习惯。
3、情态与价值：培养学生对于数学内在美的感悟能力。
【教学重点】1、了解数学归纳法的原理及其使用题型和基本步骤;2、会用数学归纳法证明相关的等式和整除问题。
【教学难点】如何理解数学归纳法证题的有效性;递推步骤中如何利用归纳假设。
【教学基本流程】创设情景，从具体实例引入新课观看实验短片，类比得到引例的解决方法探究得到一般情况下证明步骤(得到数学归纳法定义)例题练习利用数学归纳法证题小结：数学归纳法的注意事项及其它应用【教学过程】一.课题导入在数学研究中，有很多与正整数或自然数有关的命题，它们要求对所有的正整数都成立，或者对于从某个正整数开始的所有正整数都成立，例如：能够被7整除我们怎么证明它们呢?这一节我们将讨论这类命题的证明。
思考：通过计算下面的式子，你能猜想出的结果吗?-1+3=————-1+3-5=————-1+3-5+7=————-1+3-5+7-9=————上面四个式子的结果分别是2，-3，4，-5，由此猜想：怎么证明它呢?师生活动：学生A回答四个结果，然后教师引导学生猜想加到第n项时的结果，学生分组进行讨论，学生B回答。
设计意图：培养学生在观察的基础上进行归纳猜想和发现的能力，进而培养学生创造性思维的能力。
2.3_数学归纳法(第一课时)
“找准起点，奠基要稳”
注意:数学归纳法使用要点： 两步骤,一结论。
1 2 3 1 , 6 2 3 5 2 2 1 2 , 6 3 4 7 2 2 2 1 2 3 , 6 4 5 9 2 2 2 2 1 2 3 4 , 6 . 归纳
2
思考：你由不完全归纳
法所发现的结论正确吗？
若正确，如何证明呢？
n (n 1) (2n 1) 1 2 3 4 n . 6
1 1 1 2 2
,
设”，故此法 不是数学归纳 法
②假设n=k(k∈N*)时原等式成立 ，即
1 1 1 k 请修改为数学 1 2 2 3 k (k 1) k 1 归纳法 1 1 1 1 1 那么n=k+1时, 左边 (1 2 ) ( 2 3 ) ( k 1 k 2 ) 1 k 1 1 =右边 k 2 (k 1) 1
练习2 用数学归纳法证明
1 3 5 (2n 1) n (n N ).
2 *
练习1
用数学归纳法证明：
如果{an } 是等差数列，已知首项为 a1，公差为 d ，那么 an a1 ( n 1)d n N 都成立． 对一切 递推基础 证明：（1）当n=1时， 左边 a1 , 右边 a1 0 d a1 , 等式是成立的． （2）假设当n=k时等式成立，就是ak a1 ( k 1)d , 那么当n=k+1时，
数学归纳法教学设计(第一节教案)
§2.3.1 数学归纳法（第一课时）【教材分析】数学归纳法是以解决与正整数有关问题的一种推理方法，它将一个无穷归纳过程转化为一个有限步骤的演绎过程，是证明与正整数有关问题的有力工具，本节课是数学归纳法第一课时，主要是让学生了解数学归纳法原理，并能够用数学归纳法解决一些简单的实际应用问题。
【学情分析】学生在学习本节之前已经学习过归纳推理，以及一些简单的数学证明方法，并且已经开始使用与正整数有关的结论（在求曲边梯形面积中），但学生只是停留在认知阶段，对问题本质没有作更进一步的研究。
另外高二学生经过了一年半的高中学习之后，已初步具有了发现和探究问题的能力，这为本节学习数学归纳法奠定了一定的基础。
【教学目标】１、知识与技能目标：（1）了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的数学命题；（2）进一步发展猜想归纳能力和创新能力，经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想。
2、过程与方法目标：（1）通过对例题的探究，体会由猜想到证明的数学方法；（2）努力创设积极思考、大胆质疑的课堂愉悦情境，提高学习兴趣和课堂效率。
3、情感态度与价值观目标：通过对数学归纳法的学习，进一步感受数学来源于生活，并形成严谨的科学态度和勤于思考、善于观察的学习习惯。
【教学重点】数学归纳法产生过程的分析和对数学归纳法的证题步骤的掌握。
【教学难点】数学归纳法中递推思想的理解。
【教法准备】讲授法，引导发现法，合作探究法。
【教具准备】传统板书与多媒体辅助教学相结合。
【教学过程】一、创设情境，引出课题1、复习旧知，铺垫新知：（1）不完全归纳法：地主花重金请了一名先生教儿子识字，第一天学了“一”，第二天学了“二”，之后，地主儿子想：“一”是一横，“二”是二横，那“三”肯定是三横，第三天果不其然是三横，于是地主儿子对地主说：不必学了，很简单，已经全会了。
地主大喜，为吹嘘儿子聪明，大摆宴席。
席间，一乡绅想讨好地主，就说让地主儿子给他写个名帖，没想到这让地主儿子出尽了洋相，因为那位乡绅的名字叫“万百千”。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数学运用
递推基础
例
2
n × ( n + 1) × (2 n + 1) 1 + 2 + 3 + 4 +L + n = ( n ∈ N * ). 6
2 2 2 2
证明： 证明：
证明 ①当n=1时，左边＝1 ＝右边,等式显然成立。 n=1时 左边＝ 右边,等式显然成立。 假设当n=k时等式成立， n=k时等式成立 ②假设当n=k时等式成立，即 那么, n=k+1时 那么,当n=k+1时，有 12 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + L + k 2 + ( k + 1) 2
n × (n + 1) × (2n + 1) 1 + 2 + 3 + 4 +L + n = . 6
2 2 2 2 2
数学建构
类比多米诺骨牌游戏证明中的猜想
n × (n + 1) × (2n + 1) 1 + 2 + 3 + 4 +L + n = . 6
2 2 2 2 2
的步骤为： 的步骤为： (1)证明当 证明当n=1时猜想成立 证明当 时猜想成立 相当于第一张牌能倒下 (2)证明若当 证明若当n=k时命题成立，则n=k+1时命 时命题成立， 证明若当 时命题成立 时命 题也成立. 题也成立 相当于使所有骨牌倒下的第2个条件 相当于使所有骨牌倒下的第 个条件 完成了这两个步骤以后就可以证明上述猜 完成了这两个步骤以后就可以证明上述猜 对于所有的正整数n都是成立的 都是成立的。 想对于所有的正整数 都是成立的。
思考：这个游戏中， 思考：这个游戏中，能使所有多米诺骨全部倒 下的条件是什么？ 下的条件是什么？
问题情境二
只要满足以下两个条件， 只要满足以下两个条件，所有多米诺骨 牌就能全部倒下： 牌就能全部倒下： 基础） （1）第一块骨牌倒下；（基础） ） （2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下 ）任意相邻的两块骨牌， 一定导致后一块倒下。 依据） 一定导致后一块倒下。 （依据） 条件（ ）事实上给出了一个递推关系： 条件（2）事实上给出了一个递推关系：当 块倒下时， 块也倒下。 第k块倒下时，相邻的第 块倒下时 相邻的第k+1块也倒下。 块也倒下 思考： 思考：你认为证明数列的通项公式 (−1) ⋅ n 这 个猜想与上述多米诺骨牌游戏有何相似性？ 个猜想与上述多米诺骨牌游戏有何相似性？你 能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？ 能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？
k × ( k + 1) × (2 k + 1) = + ( k + 1) 2 6 ( k + 1)[( k + 1) + 1][2( k + 1) + 1] = 6
2 2 2
k × (k + 1) × (2k + 1) 1 + 2 + 3 + 4 +L + k = 6
2 2 2 2 2
递推依据
(k + 1)[(k + 1) + 1][2(k + 1) + 1] 目标： + 2 + 3 + 4 + L + k + (k + 1) = 1 6 根据① 可知对任何n 等式都成立。 根据①和②，可知对任何n∈N*等式都成立。
验证n=n0时 验证 命题成立
时命题成立, 若n=k(k≥n0)时命题成立 时命题成立 证明n=k+1时命题也成立 时命题也成立. 证明 时命题也成立
归纳奠基
归纳递推
命题对从n 命题对从 0开始所有 的正整数n都成立 的正整数 都成立
问题情境
情境1.观察下列各等式，你发现了什么？ 情境 观察下列各等式，你发现了什么？ 观察下列各等式
回想等差数列通项公式的推导过程： 回想等差数列通项公式的推导过程： a1 = a1 + 0d a2 − a1 = d a2 = a1 + 1d
a3 − a2 = d a4 − a3 = d
......
a3 = a2 + d a4 = a3 + d
a3 = a1 + 2d a4 = a1 + 3d
......
= k +[(2(k +1) −1] = k + 2k +1
2 2
1+ 3+ 5 +L+ (2k −1) = k .
2
= (k +1)2
递推依据
2
这就是说， 这就是说，当n=k+1时，等式也成立． 时 等式也成立．
目 ）+3+5L+(2可知等式对任何正整数n都成立 标1 ： ），可知等式对任何正整数 由（1）和（2），可知等式对任何正整数 都成立． ）， k −1) +[2(k +1) −1] = (k +1) 都成立．
练习： 练习： 用数学归纳法证明
1+3+5+L+(2n −1) = n (n∈N ).
2 *
递推基础
证明（ ） 证明（1）当n=1时，左边 ，右边 ，等式成立． 时 左边=1，右边=1，等式成立． （2）假设当 ）假设当n=k时，等式成立，即 时 等式成立， 那么当n=k+1时，1+ 3 + 5 +L+ (2k −1) +[2(k +1) −1] 那么当n=k+1时 n=k+1
用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是： 用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是： 正整数有关命题的步骤是
（1）证明当 n 取第一个值 n0 如 n0 = 1或2等）时结论正确； ） （ 等 时结论正确； 递推基 础 结论正确， （2）假设时 n = k ( k ∈ N ∗且k ≥ n0 ) 结论正确，证明 ） n = k + 1 时结论也正确． 时结论也正确． “用上假设，递推才真” 用上假设，递推才真” 递推依据 ）、（2）， 不可少！ “综合（1）、（ ）， 综合（ ）、（ ），……”不可少！ 不可少 “找准起点，奠基要稳” 找准起点，奠基要稳”
第四讲 数学归纳法
(第一课时) 第一课时)
问题情境一 问题: 已知: 问题 已知 －1=－1 － －1＋3= 2 ＋ －1＋3－5= －3 ＋ － －1＋3－5＋7= 4 ＋ － ＋ 可猜想： 可猜想： －1 + 3－5＋7－9=－5 － ＋ － － －1+3－5＋ …＋（－ ）n（2n－1）＝ － ＋ ＋（－1） － ）＝ （－1） （－ ）n n
an =
n
问题情境二 多 米 诺 骨 牌 课 件 演 示
第一块 骨牌倒下
任意相邻的两块牌， 任意相邻的两块牌， 前一块倒下一定导 致后一块牌倒下． 致后一块牌倒下．
1
2
3
4
……
k
K+1
……
= (−1) k
k
n=1时 a1 = 1
……
要证明：an =
如果n=k时猜想成立，即an
那么当n=k+1时猜想也成立，即
第一项 成立
(−1) ⋅ n
n
ak+1 =(−1) (k+1)
k
第k项成立， 项成立， k+1项成立 项成立． 第k+1项成立．
数学归纳法的概念： 数学归纳法的概念： 法的概念
定义：对于某些与正整数n有关的命题 定义：对于某些与正整数 有关的命题常 与正整数 有关的命题常 常采用下面的方法来证明它的正确性： 常采用下面的方法来证明它的正确性： 1.先证明当 取第一个值 0 (n0 ∈N*)时命题成立 先证明当n取第一个值 先证明当 取第一个值n 时命题成立 (归纳奠基） ； 归纳奠基） 归纳奠基 2.然后假设当 然后假设当n=k(k∈N*，k≥n0)时命题成立， 时命题成立， 然后假设当 ∈ ， 时命题成立 证明当n=k+1时命题也成立 归纳递推）。 时命题也成立(归纳递推 证明当 时命题也成立 归纳递推）。 数学归纳法 这种证明方法就叫做______________。 这种证明方法就叫做 。
回顾反思
(1)数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题 数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题 数学归纳法是一种证明与正整数 的重要方法 (2)数学归纳法证题的步骤：两个步骤，一个结论； 数学归纳法证题的步骤：两个步骤，一个结论； 数学归纳法证题的步骤 (3)数学归纳法的基本思想：运用“有限”的手段 数学归纳法的基本思想：运用“有限” 数学归纳法的基本思想 来 解决“无限” 解决“无限”的问题
猜测是否正确呢？ 猜测是否正确呢？
∗ 2 2
对一切n ∈ N ，都有an = (n − 5n + 5) = 1
由于a 由于 5＝25 ≠1，所以猜测是不正确的 ，
所以由不完全归纳得到的结论 所以由不完全归纳得到的结论不一定 不完全归纳 可靠 。
如何解决完全归纳存在的问题呢？ 如何解决完全归纳存在的问题呢？
多米诺骨牌（ 多米诺骨牌（domino）是一种用木制、骨 ）是一种用木制、 制或塑料制成的长方形骨牌。玩时将骨牌 制或塑料制成的长方形骨牌。 塑料制成的长方形骨牌 按一定间距排列成行， 按一定间距排列成行，轻轻碰倒第一枚骨 其余的骨牌就会产生连锁反应， 牌，其余的骨牌就会产生连锁反应，依次 倒下。 倒下。 多米诺是一项集动手、动脑于一体的运动。 多米诺是一项集动手、动脑于一体的运动。 一幅图案由几百、几千甚至上万张骨牌组成。 一幅图案由几百、几千甚至上万张骨牌组成。骨牌需要 一张张摆下去，它不仅考验参与者的体力、 一张张摆下去，它不仅考验参与者的体力、耐力和意志 而且还培养参与者的智力、想象力和创造力。 力，而且还培养参与者的智力、想象力和创造力。 多米诺是种文化。它起源于中国 有着上千年的历史。 中国， 多米诺是种文化。它起源于中国，有着上千年的历史。