积分表(例子)
没有初等原函数的积分
没有初等原函数的积分初等函数是指基本初等函数（如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等）及加、减、乘、除、复合等有限次运算构成的函数。
根据初等函数和初等运算的性质，它们的原函数可以用基本初等函数的表达式表示出来。
然而，并不是所有函数都有初等原函数。
这篇文章将从三个方面来介绍没有初等原函数的积分。
一、不存在初等原函数的例子指数函数e^x是一个重要的数学函数，在微积分中起到重要作用。
然而，e^x的积分却不能用有限次的初等运算来表示。
例如，∫e^x dx =e^x + C，只能给出一个不定积分的形式，而不能用基本初等函数的表达式来表示出来。
诸如sin(x),cos(x)等三角函数在微积分中也有重要的应用，但它们的积分同样不能用有限次的初等运算来表示。
例如，∫sin(x) dx = -cos(x) + C，只能给出一个不定积分的形式，而无法用基本初等函数的表达式来表示。
分式函数指的是多项式除以另一个多项式的函数形式。
一般情况下，分式函数的积分也不能用有限次的初等运算来表示。
以x/(x^2+1)为例，它的积分结果是arctan(x) + C，并不能用基本初等函数的表达式来表示。
二、没有初等原函数的原因1.函数形式导致的对于一些函数形式比较复杂的函数，其原函数很难用基本初等函数的组合来表示。
例如，e^(-x^2)是一个以e为底的幂函数和一个多项式的复合函数，由于其复杂的形式，不存在一个有限次的初等运算可以将其积分为初等函数。
2.求根问题对于一些函数，求其原函数需要解方程组，从而涉及到求根问题。
例如，∫sqrt(x^3+1) dx，虽然其积分值可以由换元法等手段求解，但求解的过程会涉及到对根式进行求解，因此不能用基本初等函数来表示。
3.函数的特殊性质有些函数由于其特殊的性质，例如无穷级数形式、特殊函数或特殊积分形式等，使得它们的原函数无法用基本初等函数来表示。
例如，∫e^x^2 dx是一个特殊函数的积分，无法用基本初等函数来表示。
三角函数常用积分表
三角函数常用积分表三角函数常用积分表_________________________三角函数是数学中非常重要的函数，它是在研究三角形和各种复杂几何图形时经常用到的。
三角函数可以用来求解空间几何图形的形状和面积，还可以用来计算一些复杂的数学表达式。
本文将介绍常见的三角函数积分表，并详细说明每个积分表的具体含义和用途。
一、正弦函数积分表正弦函数的定义为：y=sin x，它的积分表如下：$$\int_{0}^{x}sin tdt=1-cos x$$$$\int_{0}^{x}cos tdt=sin x$$$$\int_{0}^{x}tan tdt=ln|sec x+tan x|+C$$正弦函数的积分表可以用来求解各种三角形面积、复杂几何图形面积、曲线面积以及各类复杂数学表达式。
二、余弦函数积分表余弦函数的定义为：y=cos x，它的积分表如下：$$\int_{0}^{x}cos tdt=sin x$$$$\int_{0}^{x}sin tdt=1-cos x$$$$\int_{0}^{x}cot tdt=-ln|sin x|+C$$余弦函数的积分表可以用来求解各种三角形面积、复杂几何图形面积、曲线面积以及各类复杂数学表达式。
三、正切函数积分表正切函数的定义为：y=tan x，它的积分表如下：$$\int_{0}^{x}tan tdt=ln|sec x+tan x|+C$$$$\int_{0}^{x}cot tdt=-ln|sin x|+C$$$$\int_{0}^{x}sec^2tdt=tan x+C$$正切函数的积分表可以用来求解各种三角形面积、复杂几何图形面积、曲线面积以及各类复杂数学表达式。
四、反正切函数积分表反正切函数的定义为：y=cot x，它的积分表如下：$$\int_{0}^{x}cot tdt=-ln|sin x|+C$$$$\int_{0}^{x}tan tdt=ln|sec x+tan x|+C$$$$\int_{0}^{x}csc^2tdt=-cot x+C$$反正切函数的积分表可以用来求解各种三角形面积、复杂几何图形面积、曲线面积以及各类复杂数学表达式。
不定积分公式大全 含求积分通用方法及例题
不定积分小结一、不定积分基本公式(1)∫x a dx=x a+1a+1+C(a≠−1) (2)∫1xdx=ln|x|+C(3)∫a x dx=a xln a+C(4)∫sin x dx=−cos x+C(5)∫cos x dx=sin x+C(6)∫tan x dx=−ln|cos x|+C (7)∫cot x dx=ln|sin x|+C(8)∫sec x dx=ln|sec x+tan x|+C (9)∫csc x dx=ln|csc x−cot x|+C(10)∫sec2x dx=tan x+C (11)∫csc2x dx=−cot x+C(12)∫dx1+x2=arctan x+C(13)∫dxx2+a2=1aarctan xa+C(14)∫dxx2−a2=12aln|a−xa+x|+C(15)∫dxa2−x2=12aln|a+xa−x|+C(16)∫√1−x2=arcsin x+C(17)√a2−x2=arcsin xa+C(18)√x2±a2=ln|x+√x2±a2|+C(19)∫√a2−x2dx=x2√a2−x2+a22arcsinxa+C(20)∫√x2±a2dx=x2√x2±a2±a22ln|x+√x2±a2|+C二、两个重要的递推公式（由分部积分法可得）(1)D n=∫sin n x dx(详情请查阅教材166页)则D n=−cos x sin n−1xn+n−1nD n−2(求三角函数积分)易得D n：n为奇数时，可递推至D1=∫sin x dx=−cos x+C；n为偶数时，可递推至D2=∫sin2x dx=x2−sin2x4+C；(2)I n=∫dx(x2+a2)n(详情请查阅教材173页)则I n+1=12na2x(x2+a2)n+2n−12na2I n易得I n可递推至I1=∫dxx2+a2=1aarctan xa+C迅捷P DF编辑器（这是有理函数分解后一种形式的积分的求法，大家可以回顾课本恢复记忆）三、普遍方法(一)换元积分法：第一类换元积分法(凑微分法)这类方法需要敏锐的观察力，即观察出某个函数的导数，这就要求我们熟悉常见函数的导数。
第一换元积分法(凑微分法)
=
13 (3x +1)2 ( x + 2) + C. 5
由以上二例可以看出： 由以上二例可以看出：被积函数中含有被开方因式 可以消去根号， 为一次式的根式n ax + b 时,令n ax + b = t 可以消去根号， 从而求得积分． 从而求得积分．下面重点讨论被积函数含有被开方因式 为二次式的根式的情况． 为二次式的根式的情况．
x
∫ f (u)du = ∫ dF(u) =F(u) + C.
这个定理非常重要， 这个定理非常重要， 它表明： 它表明： 在基本积分公式中， 在基本积分公式中， 后公式仍成立． 自变量x换成任一可微函数u = ϕ(x)后公式仍成立． 这就大大扩充了基本积分公式的使用范围． 这就大大扩充了基本积分公式的使用范围．应用这一 结论，上述例题引用的方法, 结论，上述例题引用的方法, 可一般化为下列计算程 序： 令u = ϕ(x) 凑微分 ∫ f [ϕ(x)]ϕ′(x)dx ∫ f [ϕ(x)]dϕ(x)
1− (2x −1)
d(2x −1)
2
= arcsin(2x −1) + C.
二、第二换元积分法
第一换元积分方法是选择新的积分变量 u = ϕ( x), 但 x 对有些被积函数则需要作相反方式的换元， 对有些被积函数则需要作相反方式的换元， 即令 = ϕ(t ), 作为新积分变量，才能积出结果， 把 t 作为新积分变量，才能积出结果，即 x = ϕ (t )
例９
解 于是
1+ x 为了消去根式， 为了消去根式，可令 x = t 2 (t > 0), 则 dx = 2tdt.
求∫
x
dx.
t t2 ∫1+ x dx = ∫1+ t 2tdt = 2∫1+ t dt x
让孩子听话的积分奖励表,为什么被我扔进了垃圾桶
让孩子听话的积分奖励表，为什么被我扔进了垃圾桶积分奖励这事，我做过(下方有我的手绘表)。
人都是需要被激励的，从经济学角度来看是一种有效行为。
有的行为是由道德、责任感、内心所驱动，但有些事情确实是需要让孩子了解等价交换是这个社会运行的基本规则。
我们应该怎么把握这个度?今天不妨一起讨论下。
亲爱的宝爸宝妈们，使用积分奖励这件事，一定要问问我们自己使用积分的目的到底是什么，不要把积分当紧箍咒，不要把家长和孩子的关系变成真正的交易关系。
从我的个人经验来看，最好不要物质化这个奖励。
*我给儿子画的好习惯记录积分表我家蛮蛮从小属于闹腾型，同样一件事得花数倍于别家孩子的时间讲道理。
有一段时间闺蜜突然发现蛮蛮异常“听话”，好奇问我使了什么招。
原来，我给蛮蛮做了一张积分奖励表，记录每天的各种好表现加分情况，累计积分可以换取乐高，就这么简单。
那段时间甚至包括“灯黑没叫爸爸”“一个人上楼”都记录加分，蛮蛮热情高涨，累计换得乐高玩具，更是家长孩子皆大欢喜的感觉。
因为我们也省下不少讲道理的时间，很多事情，一听有加分，他不问理由就自觉去做了。
美国有关这种孩子行为的奖励表格非常盛行，主要形式是贴纸表(stickerchart)。
谷歌搜索“stickerchart”、“rewardchart”，上百万条结果。
亚马逊也N多相关产品。
我自己也卖很多带星星或笑脸图案奖励贴纸的国外练习册。
这种贴纸表变成美国家长们家教常用的手段，起源无从查证。
有一种说法是美国家庭使用贴纸表常常开始于如厕训练，因为这时两三岁的小宝宝很需要正面的鼓励。
可是，看起来这么流行而又确实有效的积分奖励表，不到一个月，我就实行不下去了，上网查询了很多国外资料后，我果断把它扔进了垃圾桶。
一个家庭心理学家的工作故事艾瑞卡·瑞切尔是一位临床心理学家，著有《优秀的父母做什么》一书。
作为一个为上千个家庭做咨询的心理学家，她发现处于困境中的父母面临的最常见问题，就是如何让孩子按他们的要求去做，以及有什么好的工具。
（完整word版）积分公式
（完整word版）积分公式2.基本积分公式表(1)∫0d x=C(2)=ln|x|+C(3)(m≠-1，x>0)(4)(a>0,a≠1)(5)(6)∫cos x d x=sin x+C(7)∫sin x d x=-cos x+C(8)∫sec2x d x=tan x+C(9)∫csc2x d x=-cot x+C(10)∫sec x tan x d x=sec x+C(11)∫csc x cot x d x=-csc x+C(12)=arcsin x+C(13)=arctan x+C注．(1)不是在m=-1的特例．(2)=ln|x|+C，ln后⾯真数x要加绝对值，原因是(ln|x|)' =1/x．事实上，对x>0，(ln|x|)' =1/x；若x<0，则(ln|x|)' =(ln(-x))' =.(3)要特别注意与的区别：前者是幂函数的积分，后者是指数函数的积分．下⾯我们要学习不定积分的计算⽅法，⾸先是四则运算．3.不定积分的四则运算根据微分运算公式d(f(x)±g(x))=d f(x)±d g(x)d(kf(x))=k d f(x)我们得不定积分的线性运算公式(1)∫[f(x)±g(x)]d x=∫f(x)d x±∫g(x)d x(2)∫kf(x)d x=k∫f(x)d x，k是⾮零常数.现在可利⽤这两个公式与基本积分公式来计算简单不定积分．例2.5.4求∫(x3+3x++5sin x－4cos x)d x解.原式=∫x3d x+∫3x d x+7∫d x+5∫sin x d x－4∫cos x d x=+7ln|x|－5cos x－4sin x+C .注.此例中化为五个积分，应出现五个任意常数，它们的任意性使其可合并成⼀个任意常数C，因此在最后写出C即可．例2.5.5求∫(1+)3d x解.原式=∫(1+3+3x+)d x=∫d x+3∫d x+3∫x d x+∫d x=x+3+C=x+2x++C .注.∫d x与∫1d x是相同的，其中1可省略．例2.5.6求解.原式===－x+arctan x+C .注.被积函数是分⼦次数不低于分母次数的分式，称为有理假分式．先将其分出⼀个整式x2－1，余下的分式为有理真分式,其分⼦次数低于分母的次数．例2.5.7求.解.原式==∫csc2x d x－∫sec2x d x=－cot x－tan x+C .注.利⽤三⾓函数公式将被积函数化简成简单函数以便使⽤基本积分公式.例2.5.8求.解.原式==+C .为了得到进⼀步的不定积分计算⽅法，我们先⽤微分的链锁法则导出不定积分的重要计算⽅法??换元法.思考题.被积函数是有理假分式时，积分之前应先分出⼀个整式，再加上⼀个有理真分式，⼀般情形怎样实施这⼀步骤？4.第⼀换元法（凑微分法）我们先看⼀个例⼦：例2.5.9求.解.因(1+x2)' =2x，与被积函数的分⼦只差常数倍数2，如果将分⼦补成2x,即可将原式变形：原式=(令u=1+x2)=(代回u=1+x2).注.此例解法的关键是凑了微分d(1+x2)．⼀般地在F'(u)=f(u),u=?(x)可导,且?' (x)连续的条件下,我们有第⼀换元公式(凑微分)：u=? (x) 积分代回u=? (x)∫f[?(x)]?' (x)d x=∫f[?(x)]d?(x)=∫f(u)d u=F(u)+C=F[?(x)]+C其中函数?(x)是可导的,且F(u)是f(u)的⼀个原函数．从上述公式可看出凑微分法的步骤：凑微分————→换元————→积分————→再换元' (x)d x=d(x) u=(x) 得F(u)+C得F[?(x)]+C注.凑微分法的过程实质上是复合函数求导的链锁法则的逆过程．事实上，在F'(u)=f(u)的前提下，上述公式右端经求导即得:[F[?(x)]+C]' =F '[?(x)]?' (x)=f[?(x)]?' (x)这就验证了公式的正确性．例2.5.10求∫(ax+b)m d x.(m≠-1,a≠0)解.原式=(凑微分d(ax+b))=(换元u=ax+b)=(积分)=. (代回u=ax+b)例2.5.11求.解.原式=(凑微分d(-x3)=-3x2d x)===(换元u=-x3).注.你熟练掌握凑微分法之后，中间换元u=?(x)可省略不写,显得计算过程更简练,但要做到⼼中有数．例2.5.12求∫tan x d x.解.原式==-ln|cos x|+C .同理可得∫cot x d x=ln|sin x|+C .例2.5.13求(a>0).解.原式==.例2.5.14求(a>0).解.原式==.例2.5.15求.解.原式====.例2.5.16∫sec x d x.解.原式=(换元u=sin x)===(代回u=sin x)===ln|sec x+tan x|+C .公式:∫sec x d x=ln|sec x+tan x|+C .例.2.5.17求∫csc x d x .解.原式===ln|csc x-cot x|+C .公式:∫csc x d x=ln|csc x-cot x|+C .凑微分法是不定积分换元法的第⼀种形式，其另⼀种形式是下⾯的第⼆换元法．5.第⼆换元法不定积分第⼀换元法的公式中核⼼部分是∫f[?(x)]?'(x)d x=∫f(u)d u我们从公式的左边演算到右边，即换元：u=?(x)．与此相反，如果我们从公式的右边演算到左边，那么就是换元的另⼀种形式，称为第⼆换元法．即若f(u),u=?(x),?'(x)均连续,u=?(x)的反函数x=?-1(u)存在且可导,F(x)是f[?(x)]?'(x)的⼀个原函数,则有∫f(u)d u=∫f[?(x)]?'(x)d x=F(x)+C=F[?-1(u)]+C .第⼆换元法常⽤于被积函数含有根式的情况．例2.5.18求解.令(此处?(t)=t2)．于是原式===(代回t= -1(x)=) 注.你能看到，换元=t的⽬的在于将被积函数中的⽆理式转换成有理式,然后积分．第⼆换元法除处理形似上例这种根式以外，还常处理含有根式，，(a>0)的被积函数的积分．例2.5.19求. (a>0)解.令x=a sec t，则d x=a sec t tan t d t,于是原式==∫sec t d t=ln|sec t+tan t|+C1 .到此需将t代回原积分变量x，⽤到反函数t=arcsec，但这种做法较繁．下⾯介绍⼀种直观的便于实施的图解法：作直⾓三⾓形，其⼀锐⾓为t及三边a，x，满⾜：sec t=由此，原式=ln|sec t+tan t|+C1==.注．C1是任意常数,-ln a是常数,由此C=C1-ln a仍是任意常数．(a>0)例2.5.20求.解.令x=a tan t，则d x=a sec2t d t，于是原式==∫sec t d t=ln|sec t+tan t|+C1 ．图解换元得原式=ln|sec t+tan t|+C1=.公式:.例2.5.21求(a>0).解.令x=a sin t，则d x=a cos t d t，于是原式===+C.图解换元得：原式=+C=+C .除了换元法积分外，还有⼀个重要的积分公式，即分部积分公式．思考题.在第⼆换元法公式中，请你注意加了⼀个条件“u=?(x)的反函数x=?1-(u)存在且可导”，你能否作出解释，为什么要加此条件？6.分部积分公式我们从微分公式d(uv)=v d u+u d v两边积分，即∫d(uv)=∫v d u+∫u d v由此导出不定积分的分部积分公式∫u d v=uv -∫v d u下⾯通过例⼦说明公式的⽤法．例2.5.22求∫x2ln x d x解.∫x2ln x d x=(将微分dln x算出)==.例2.5.23求∫x2sin x d x.解.原式=∫x2d(-cos x) (凑微分)=-x2cos x-∫(-cos x)d(x2) (⽤分部积分公式)=-x2cos x+∫2x cos x d x=-x2cos x+2∫x dsin x(第⼆次凑微分)=-x2cos x+2[x sin x－∫sin x d x] (第⼆次⽤分部积分公式)=-x2cos x+2x sin x+2cos x+C .例2.5.24求∫e x sin x d x.解.∫e x sin x d x=∫sin x d e x (凑微分)=e x sin x-∫e x dsin x(⽤分部积分公式)=e x sin x-∫e x cos x d x(算出微分)=e x sin x-∫cos x d e x(第⼆次凑微分)=e x sin x-[e x cos x-∫e x dcos x] (第⼆次⽤分部积分公式)=e x(sin x-cos x)-∫e x sin x d x(第⼆次算出微分)由此得：2∫e x sin x d x=e x(sin x-cos x)+2C因此∫e x sin x d x=(sin x-cos x)+C ．注.(1)此例中在第⼆次凑微分时，必须与第⼀次凑的微分形式相同．否则若将∫e x cos x d x凑成∫e x dsin x,那将产⽣恶性循环，你可试试．(2)积分常数C可写在积分号∫⼀旦消失之后．例2.5.25求∫arctan x d x解.此题被积函数可看作x0arctan x，x0d x=d x，即适合分部积分公式中u=arctan x，v=x．故原式=x arctan x - ∫x d(arctan x) (⽤分部积分公式)=x arctan x - d x(算出微分)=x arctan x - (凑微分)=x arctan x - ln(1+x2)+C .⼩结.(1)分部积分公式常⽤于被积函数是两种不同类型初等函数之积的情形，例如x3arctan x，x3ln x 幂函数与反正切或对数函数x2sin x，x2cos x幂函数与正弦,余弦x2e x幂函数与指数函数e x sin x,e x cos x 指数函数与正弦,余弦等等．(2)在⽤分部积分公式计算不定积分时，将哪类函数凑成微分d v，⼀般应选择容易凑的那个．例如arctan x d，ln x d我们已学习了不定积分的⼏种常⽤⽅法，除了熟练运⽤这些⽅法外，在许多数学⼿册中往往列举了⼏百个不定积分公式，它们不是基本的，不需要熟记，但可以作为备查之⽤，称为积分表．思考题.你仔细观察分部积分公式，掌握其中使⽤的规律，特别是第⼀步凑微分时如何选择微分.7.积分表的使⽤除了基本积分公式之外，在许多数学⼿册中往往列举了⼏百个补充的积分公式，构成了积分表．下⾯列出本节已得到的基本积分公式．(1)∫0d x=C(2)=ln|x|+C(3)(m≠-1,x>0)(4)(a>0,a≠1)(5)(6)∫cos x d x=sin x+C(7)∫sin x d x=- cos x+C(8)∫sec2x d x=tan x+C(9)∫csc2x d x=- cot x+C(10)∫sec x tan x d x=sec x+C(11)∫csc x cot x d x=-csc x+C(12)=arcsin x+C(13)=arctan x+C(14)∫tan x d x=-ln|cos x|+C(15)∫cot x d x=ln|sin x|+C(16)=(a>0)(17)=(a>0)(18)(a>0)(19)=(a>0)(20)∫sec x d x=ln|sec x+tan x|+C(21)∫csc x d x=ln|csc x-cot x|+C利⽤积分表中的公式，可使积分计算⼤⼤简化．积分表的使⽤⽅法⽐较简单，现举⼀例说明之．例2.5.26求解.从积分表中查得公式则将a=3，b=－1，c=4代⼊上式并添上积分常数C即得解答：=.。
τ函数积分表
τ函数积分表
摘要：
1.τ函数概述
2.τ函数的积分表
3.τ函数积分表的应用
正文：
1.τ函数概述
τ函数，又称为正切函数，是数学中的一种基本函数。
它的符号表示为τ(x)，其定义域为实数集，值域为实数集。
τ函数的图像特征是周期性变化，具有奇偶性。
在数学分析、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。
2.τ函数的积分表
为了方便计算τ函数的积分，我们需要先了解τ函数的积分表。
τ函数的积分表如下：
∫τ(x)dx = 1/2 * τ(x) + C
其中，C 为积分常数。
3.τ函数积分表的应用
τ函数积分表在实际应用中有很多例子，下面我们举一个简单的例子来说明。
例：求解定积分∫(0~π) τ(x) dx
根据τ函数的积分表，我们可以直接得出结果：
∫(0~π) τ(x) dx = 1/2 * τ(x) |(0~π) = 1/2 * (τ(π) - τ(0))
由于τ函数是周期性函数，其值在π处和0 处相等，所以：∫(0~π) τ(x) dx = 1/2 * (τ(π) - τ(0)) = 0
通过τ函数积分表，我们可以轻松地求解这个定积分问题。
常见不定积分的求解方法
常见不定积分的求解方法的讨论马征指导老师：封新学摘要介绍不定积分的性质，分析常见不定积分的各种求解方法：直接积分法、第一类换元法（凑微法）、第二类换元法、分部积分法，并结合实际例题加以讨论，以便于在解不定积分时能快速选择最佳的解题方法。
关键词不定积分直接积分法第一类换元法（凑微法）第二类换元法分部积分法。
The discussion of common indefinite integral methodof calculatingMa ZhengAbstract there are four solutions of indefinite integration in this discourse: direct integration; exchangeable integration; parcel integration. It discussed the feasibility which these ways in the solution of integration, and it is helpful to solve indefinite integration quickly.Key words Indefinite integration,exchangeable integration, parcel integration.0引言不定积分是《高等数学》中的一个重要内容，它是定积分、广义积分、狭积分、重积分、曲线积分以及各种有关积分的函数的基础，要解决以上问题，不定积分的问题必须解决，而不定积分的基础就是常见不定积分的解法。
不定积分的解法不像微分运算时有一定的法则，它要根据不同题型的特点采用不同的解法，积分运算比起微分运算来，不仅技巧性更强，而且也已证明，有许多初等函数是“积不出来”的，就是说这些函数的原函数不能用初等函数来表示，例如⎰-x k dx 22sin 1（其中10<<k ）；dx x x ⎰sin ；dx e x ⎰-2；dx x ⎰ln 1等。
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2、分社下周计划活动报告
活动名称
计划准确时间
活动准确地点
活动类别
活动规模
活动负责人
活动目的
见面大会
9.26
力学楼207
院系二等
面向自强社新老社委
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方便新老社委交流经验，顺利交接工作
院系：人文学部(部门：办公室)周次：第4周提交时间：2012.9.28
1、分社上周活动报告
活动名称
活动时间
是否延迟
活动类别
是否单独举办（是/否）
提交计划时间
提交总结时间
是否提交照片
分社自身认定分数参观博物馆**** Nhomakorabea否
分社二等
否（合办院系为：创新组织部）
积分分配：人文8分
创新7分
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是
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