江苏省苏、锡、常、镇四市2010年高三教学情况调查(二)(数学)

江苏省苏、锡、常、镇四市2010年高三教学情况调查（二）数 学（正题） 2010．5注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷分填空题和解答题两部分，共160分．考试用时120分钟．2．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考试号写在答题纸的密封线内．答题时，填空题和解答题的答案写在答题纸上对应题目的空格内，答案写在试卷上无效．．．．．．．．．．本卷考试结束后，上交答题纸．3．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔． 4．文字书写题统一使用0．5毫米及0．5毫米以上签字笔．5．作图题可使用2B 铅笔，不需要用签字笔描摹．参考公式: 球的体积公式为343V R =p ,其中R 为球的半径．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 已知集合A ＝{x |－1＜x ＜2}，集合B ＝{x |1＜x ＜3}，则A ∩B ＝ ▲ ．2． 函数sin y x x =()x ∈R 的值域为 ▲ ．3． 若2()(31)i 25i a a a -+-=+，其中i 是虚数单位，则实数a 的值为 ▲ ． 4． 在平面直角坐标系xOy 中，“方程22113x y k k +=--表示焦点在x轴上的双曲线”的充要条件是k ∈ ▲ ．5． 若关于x 的不等式mx 2＋2x ＋4＞0的解集为{x |－1＜x ＜2}，则实数m 的值为 ▲ ．6． 将A ，B ，C ，D 四个人平均分成两组，则“A ，B 两人恰好在同一组”的概率为 ▲ ． 7． 在平面直角坐标系x o y 中，点p （ 0 ，1 ）在曲线c ：32y x x ax b =--+（a ，b 为实数）上，已知曲c 在点p 处 的切线方程为21y x =+，则a ＋b ＝ ▲ ．8． 数列{a n }满足a 1＝1，111111n na a +=+++，则a 10＝ ▲ ．9． 满足π4π1sinsin cos cos 552x x +=的锐角x ＝ ▲ ． 10． 右图是一个算法的流程图，最后输出的n ＝ ▲ ．11． 如图，在△OAC 中，B 为AC 的中点，若OC xOA yOB =+，（x ，y ∈R ），则x －y ＝ ▲ ．（第10题）A（第11题）12． 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，给出以下四个结论：① D 1C ∥平面A 1ABB 1；② ②A 1D 1与平面BCD 1相交； ③ AD ⊥平面D 1DB ；④ ④平面BCD 1⊥平面A 1ABB 1． 上面结论中，所有正确结论的序号为 ▲ ．13． 如图，在平面直角坐标系x O y 中，点A 为椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点，B ，C 在椭圆E 上，若四边形OABC 为平行四边形，且∠OAB ＝30°，则椭圆E 的离心率等于 ▲ ．14． 已知函数()f x 是定义在(0,)+∞上是单调增函数，当n *∈N 时，()f n *∈N ，若[()]3f f n n =，则f(5)的值等于 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在四边形ABCD 中，CA ＝CD ＝12AB ＝1， AB AC ⋅ ＝1，sin ∠BCD ＝35．（1）求BC 的长； （2）求四边形ABCD 的面积；（3）求sin D 的值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ＝PB ．底面ABCD 是菱形，且 ∠ABC ＝60°，点M 是AB 的中点，点E 在 棱QD 上，满足DE ＝2PE ．求证： （1）平面P AB ⊥平面PMC ； （2）直线PB ∥平面EMC ．（第13题） BC D A 1 A B 1 C 1 D 1 （第12题） D CBA （第15题）DABCPEM （第16题）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且122n n a S +=+()n *∈N ． （1）求a 2，a 3的值，并求数列{a n }的通项公式；（2）解不等式13nn i iS a =>∑()n *∈N ．18．（本小题满分16分）在等腰△ABC 中，已知AB ＝AC ，B （－1，0），D （2，0）为AC 的中点． （1）求点C 的轨迹方程；（2）已知直线l ：x ＋y －4＝0，求边BC 在直线l 上的投影EF 长的最大值．（第18题）如图一块长方形区域ABCD，AD＝2（km），AB＝1（km）．在边AD的中点O处，有一个可转动的探照灯，其照射角∠EOF始终为π4，设∠AOE＝α，探照灯O照射在长方形ABCD内部区域的面积为S．（1）当0≤α＜π2时，写出S关于α的函数表达式；（2）当0≤α≤π4时，求S的最大值．（3）若探照灯每9分钟旋转“一个来回”（OE自OA转到OC，再回到OA，称“一个来回”，忽略OE在OA及OC反向旋转时所用时间），且转动的角速度大小一定，设AB边上有一点G，且∠AOG＝π6，求点G在“一个来回”中，被照到的时间．20．（本小题满分16分）已知函数()|2|lnf x ax b x=-+（x＞0）．（1）若a＝1，f(x)在（0，＋∞）上是单调增函数，求b的取值范围；（2）若a≥2，b＝1，求方程1()f xx=在（0，1]上解的个数．E（第19题）数 学Ⅱ（附加题）B ．选修4—2：矩阵与变换一个22⨯的矩阵M 有两个特征值：128,2λλ==，其中1λ对应的一个特征向量111e ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，2λ对应的一个特征向量212e ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，求M 。

C ．选修4—4：坐标系与参数方程已知圆M的极坐标方程为2cos()604πρθ--+=，求ρ的最大值22． (本小题满分10分)在正四棱柱1111ABCD A BC D -中，11,2AB A A ==,点E 是棱1CC 的中点 （1） 求异面直线AE 与1BD 所成角的余弦值； （2） 求点1D 到平面1AB E 的距离。

23．(本小题满分10分)已知数列{}n a 满足11a =，*1112,)n n n a a n n N a --=+≥∈（.n a <苏、锡、常、镇2010届高三调研测试（二）参考答案一、填空题1．{x |1＜x ＜2} 2．[－2，2] 3．2 4．（1，3） 5．－26．137．－1 8．17- 9．7π15 10．100．11．－3 12．①④ 13 14．8二、解答题 15．（1）由条件，得AC ＝CD ＝1，AB ＝2．∵AB AC ⋅ ＝1，∴1×2×cos ∠BAC ＝1．则cos ∠BAC ＝12．∵∠BAC ∈（0，π），∴∠BAC ＝π3． ……………… 2分∴BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠BAC ＝4＋1－2×2×12＝3．∴BC ……………… 5分（2）由（1）得BC 2＋AC 2＝AB 2．∴∠ACB ＝π2． ……………… 6分∴sin ∠BCD ＝πsin()cos 2ACD ACD +∠=∠＝35．∵∠ACD ∈∈（0，π），∴4sin 5ACD ∠=． (8)分∴S △ACD ＝12×1×1×45＝25．∴S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD 25+． ……………… 10分 （3）在△ACD 中，AD 2＝AC 2＋DC 2－2AC ·DC cos ∠ACD ＝1＋1－2×1×1×35＝45．∴AD ． ……………… 12分∵sin sin AD AC ACD D=∠， ∴4sin sin 5AC D ACD AD =∠ ……………… 14分 16．（1）∵P A ＝PB ，M 是AB 的中点．∴PM ⊥AB ． …………………… 2分∵底面ABCD 是菱形，∴AB ＝AC ．∵∠ABC ＝60°．∴△ABC 是等边三角形． 则CM ⊥AB ． …………………… 4分 ∵PM ∩CM ＝M ，∴AB ⊥平面PMC ． ……………… 6分∵AB ⊂平面P AB ，∴平面P AB ⊥平面PMC ．………… 8分（2）连BD 交MC 于F ，连EF ．由CD ＝2BM ，CD ∥BM ，易得△CDF ∽△MBF ．DA B C P EMF∴DF ＝2BF ． ………… 10分 ∵DE ＝2PE ，∴EF ∥PB ．………… 12分∵EF ⊂平面EMC ，PB ⊄平面EMC ，∴PB ∥平面EMC ． ……………… 14分17．（1）∵2112223a S a =+=+=，∴232a =． ……………… 1分∵321292222a S a a =+=++=，∴394a =． ……………… 2分∵122n n a S +=+，∴122n n a S -=+（n ≥2），两式相减，得1122n n n n a a S S +--=-．∴122n n n a a a +-=．则132n n a a +=（n ≥2）． ……………… 4分∵2132a a =，∴132n n a a +=()n *∈N ． ……………… 5分∵110a =≠，∴{}n a 为等比数列，132n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭． ………… 6分（2）13233n n a -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，∴数列3{}n a 是首项为3，公比为23等比数列．………… 7分数列3{}n a 的前5项为：3，2，43，89，1627．{}n a 的前5项为：1，32，94，278，8116． ∴n ＝1，2，3时，13nn i iS a =>∑成立； ………… 10分 而n ＝4时，13nn i iS a =∑≤； ………… 11分∵n ≥5时，3n a ＜1，a n ＞1，∴13nn i iS a =∑≤．………… 13分 ∴不等式13nn i iS a =>∑()n *∈N 的解集为{1，2，3}． ………… 14分18．（1）设C （x ，y ），∵D （2，0）为AC 的中点， ∴A （4－x ，－y ）． …………………… 2分 ∵B （－1，0），由AB ＝AC ，得AB 2＝AC 2． ∴2222(5)(24)(2)x y x y -+=-+． …… 4分 整理，得22(1)4x y -+=． …………… 6分 ∵A ，B ，C 三点不共线，∴y ≠0． 则点C 的轨迹方程为22(1)4x y -+=（y ≠0）． …………… 7分 （2）解法1：由条件，易得BE ：x －y ＋1＝0． …………………… 8分 设CF ：x －y ＋b ＝0， 当EF 取得最大值时，直线CF 与圆22(1)4x y -+=相切．…… 10分设M （1，0）2=，得1b =（舍去），或1b =-．…… 13分∴CF ：x －y 1-＝0． ……………… 14分 ∴max EF 等于点B 到CF 的距离＝2=． ……………… 16分解法2：设点M （1，0），过M 作AE ，CF 的垂线，垂足分别为G ，H ，则EF ＝GH ． …………………… 9分由条件，得MG= ……… 11分∵MH 2 …………… 15分∴max EF2． ………………… 16分 19．解：（1）过O 作OH ⊥BC ，H 为垂足．①当0≤α≤π4时， E 在边AB 上，F 在线段BH 上（如图①），此时，AE ＝tan α，FH ＝πtan()4α-，… 2分∴S ＝S 正方形OABH －S △OAE －S △OHF ＝11π1tan tan()224αα---． ………… 4分 ②当π4＜α＜π2时，E 在线段BH 上，F 在线段CH 上（如图②），此时，EH ＝1tan α，FH ＝13πtan()4α-，… 6分∴EF ＝113πtan tan()4αα+-． ∴S ＝S △OEF ＝1113π2tan tan()4αα⎛⎫⎪+ ⎪ ⎪-⎝⎭． 综上所述，11ππ1tan tan(),(0),2244111ππ,().2tan 42tan()4S αααααα⎧---⎪⎪⎪⎛⎫=⎨ ⎪⎪+<< ⎪⎪ ⎪-⎪⎝⎭⎩≤≤ ………… 8分 （2）当0≤α≤π4时，S ＝11π1tan tan()224αα---，即S 122(1tan )21tan αα=-+++． ……………… 10分∵0≤α≤π4，∴0≤tan α≤1．即1≤1＋tan α≤2．∴21tan 1tan αα+++≥∴S ≤2当tan α1时，S 取得最大值为2……………… 12分O AD图②E D AO 图①（3）在“一个来回”中，OE 共转了2×3π4＝3π2． 其中点G 被照到时，共转了2×π6＝π3．……………… 14分则“一个来回”中，点G 被照到的时间为π3922⨯=（分钟）．…… 16分20．（1）2ln ,(02),()|2|ln 2ln ,(2).x b x x f x x b x x b x x -++<<⎧=-+=⎨-+⎩≥① 当0＜x ＜2时，()2ln f x x b x =-++，()1bf x x'=-+． 由条件，得10bx-+≥恒成立，即b ≥x 恒成立．∴b ≥2． …………………… 2分② 当x ≥2时，()2ln f x x b x =-+，()1bf x x'=+．由条件，得10bx+≥恒成立，即b ≥－x 恒成立．∴b ≥－2． …………………… 4分 综合①，②得b 的取值范围是b ≥2． …………………… 5分（2）令1()|2|ln g x ax x x =-+-，即122ln ,(0),()122ln ,().ax x x x ag x ax x x x a ⎧-++-<<⎪⎪=⎨⎪-+-⎪⎩≥当20x a <<时，1()2ln g x ax x x =-++-，211()g x a x x'=-++．∵20x a <<，∴12ax >．则2(2)()244a a a a g x a -'>-++=≥0． 即()0g x '>，∴()g x 在（0，2a）上是递增函数． ………………… 7分当2x a ≥时，1()2ln g x ax x x=-+-，211()g x a x x '=++＞0．∴()g x 在（2a，＋∞）上是递增函数．……… 9分∵g (x )的图象在（0，＋∞）上不间断，∴()g x 在（0，＋∞）上是递增函数． ………………… 10分∵22()ln 2a g a a =-，而a ≥2，∴2ln 0a ≤，则2()g a ＜0． …………… 12分∵a ≥2，∴3)1(-=a g 当a ≥3时，3)1(-=a g ≥0∴g (x )＝0在]1,0(上有惟一解．…………………………………………… 14分 当32<≤a 时，3)1(-=a g <0∴g (x )＝0在]1,0(上无解．………………………………………………… 16分。